第三章流体运动学
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第三章流体运动学
第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
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折点
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强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
第三章 流体运动学.ppt
1786年，他接受法王路易十六的邀请， 定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领 域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于 拉格朗日的工作。
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
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z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
流体力学-第三章
空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
第三章 流体运动学基础
一、流场：充满运动流体的空间
场：分布在空间某一区域内的物理量或数学函数。
标量场：场内定义的是标量函数 矢量场：场内定义的是矢量函数 均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值都相等 不均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值不相等 定常场(稳定场)：如果场内函数不随时间改变 不定常场(不稳定场) ：如果场内函数随时间改变
x
y
y
z
z
v
t
x
x
y
y
z
z
xvi
y
v
j z
v k
v
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
vi
y
t
x
y
x
y
dt
dt
dt
y x
xy
yx
d xy
dt
=
d yx
dt
( x
y
y )
x
y dxdt
x
剪切变形速率：两条 正交流体边单位时间 角度变化的平均值
xOy平面
xy
yx
1
2
x
y
y
x
yOz平面
yz
zy
z
z t
z (a,b, c,t)
ax
x
t
2x t 2
ax
(a,b,c,t
)
a
y
y
t
场：分布在空间某一区域内的物理量或数学函数。
标量场：场内定义的是标量函数 矢量场：场内定义的是矢量函数 均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值都相等 不均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值不相等 定常场(稳定场)：如果场内函数不随时间改变 不定常场(不稳定场) ：如果场内函数随时间改变
x
y
y
z
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v
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x
x
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z
xvi
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dt
dt
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d xy
dt
=
d yx
dt
( x
y
y )
x
y dxdt
x
剪切变形速率：两条 正交流体边单位时间 角度变化的平均值
xOy平面
xy
yx
1
2
x
y
y
x
yOz平面
yz
zy
z
z t
z (a,b, c,t)
ax
x
t
2x t 2
ax
(a,b,c,t
)
a
y
y
t
第3章 流体运动学
第三章流体运动学§3.1 流体运动的描述方法§3.2 有关流场的几个基本概念§3.3 流体微团的运动分析§3.4 连续方程本章学习要点:研究流体运动的两种方法 研究流体运动的若干基本概念 流体的质量守恒定律——连续性方程 流体微团运动分析 有旋运动和无旋运动中国海洋大学高等流体力学王树青§3.1 流体运动的描述方法一、拉格朗日法（Lagrangian method）二、欧拉法 （Euler method）中国海洋大学高等流体力学王树青质点系和刚体运动的描述方法？质点系： 对有限的质点进行编号，给出每个质点的位移 随时间的变化过程。
刚体： 尽管无穷多质点组成，但没有变形，其运动可 以分解成随基点的平移及绕基点的转动。
中国海洋大学高等流体力学王树青流体的运动描述？同质点系法比较：流体质点有无穷多个， 编号困难； 同刚体比较：流体易于变形，运动及其复杂；中国海洋大学高等流体力学王树青一、拉格朗日法（Lagrangian method）1.方法概要拉格朗日法是质点系法（随体法）；着眼于流体各质点 的运动情况，即跟随流体质点运动，记录该质点在运动 过程中物理量（位移、速度、压力、密度等）随时间变 化规律，并通过综合所有被研究流体质点（即质点系） 的运动情况来获得整个流体运动的规律。
2.特点跟随选定的流体质点，研究其运动规律。
3.研究对象运动流体质点或质点系。
中国海洋大学 高等流体力学 王树青4. 运动描述区分质点？用流体质点在初始时刻t=t0的空间坐标(a,b,c)来标记。
(a,b,c)取不同的值代表不同的流体质点。
(a,b,c,t)称为拉格朗日坐标。
y M （a,b,c） M （a,b,c）o a中国海洋大学b c xy z王树青xz高等流体力学4. 运动描述设某质点标记为（a,b,c），该质点的物理量B在某时刻t时 的拉格朗日表示式为 B=B(a, b ,c, t) y M （a,b,c） M （a,b,c）B=B(a, b ,c, t) o a z中国海洋大学 高等流体力学b c xy zx王树青（1）位置(矢径）r (t ) = r (a, b, c, t )⎧ x = x ( a , b, c , t ) ⎪ ⎨ y = y ( a , b, c , t ) ⎪ z = z ( a , b, c , t ) ⎩yM （a,b,c） r0 r(t) b c a y z xox z （a,b,c）=const , t为变数，可以得出某个指定质点在 任意时刻所处的位置——轨迹。
第3章1 流体运动学基础
2、拉格朗日坐标：
在某一初始时刻t0，以不同的一组数(a,b,c)
来标记不同的流体质点，这组数 (a,b,c)就叫
拉格朗日变数。或称为拉格朗日坐标。
物理量的表示形式：若以f表示流体质点的某 一物理量，其拉格朗日描述的数学表达是： f=f(a,b,c,t)
如任意时刻t，任何质点在空间的位置(x,y,z) 都可以看成为拉格郎日变数和时间t的函数
流进的流体质量：
1u1dA1
在单位时间内从 2-2断面 流出的流体质量：
2u2 dA2
在单位时间内流入控制体的流体质量为：
dM 1u1dA1 2u2 dA2
对稳定流，各点的运动要素不随时间变化，且流体又是 无空隙的连续介质，由质量守恒定律得：
dM 0
即
1u1dA1 2u2 dA2
求：（1）流线方程以及t=0，1，2时的流线图
（2）迹线方程以及t=0时通过（0，0）点的迹线 dx dy dz dx dy 解：（1）由流线方程 得： 。 ux uy uz a bt 对自变量x，y积分，得： ay btx C bt y xC a 因此，流线为一簇平行的斜线。在不同的瞬时，流线的斜率不同。
后三项反映了在同一瞬时（即t不变）流体质点从 一个空间转移到另一个空间点，即流体质点所在空 间位置的变化而引起的速度变化率，称迁移加速度。
欧拉法的优越性：
1. 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。
2. 采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二 阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏 微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容
p p( x, y, z, t )
流体力学 3-1-2流体运动学-33页PPT资料
ayd d y t ty xyd d x t yyd d y t zyd dz tayd d y t ty x xy y yy z zy a zd d z t tz x zd d x t y zd d y t zzd dx ta zd d z t tz x xz y yz z zz
a xd d x t tx x x x y y x z zx ayd d y t ty x xy y yy z zy a zd d z t tz x xz y yz z zz
描述方法
拉格朗日法 欧拉法
质点轨迹：r r(a,b,c),t 参数分布：B = B（x, y, z,t）
一、拉格朗日法
着眼于流体质点，设法描述单个流体质点的运动过程，研 究流体质点的运动参数随时间的变化规律，以及相邻流体 质点之间这些参数的变化规律。如果知道了所有流体质点 的运动状况，整个流场的运动状况也就明了了。 实质是一种质点系法。
y, z,t)
y,
z
,
t
)
或
uu(x,y,z,t)
uz
uz (x,
y,
z
,
t
)
固定x,y,z而令t改变，各函数代表：
空间中某固定点上各物理量随时间的变化规律。
固定t而令 x,y,z改变，各函数代表：
某时刻各物理量在空间中的分布规律。
二、欧拉法
压力场、密度场和温度场表示为：
p px, y, z,t x, y, z,t T T x, y, z,t
第三章 流体运动学（Fluid Kinematics）
•流体运动学（kinematics）：研究流体运动的方式和 速度、加速度、位移、转角等参量随空间和时间的变 化；流体运动学主要研究流场中各个运动参数的变化 规律，以及这些运动参数之间的关系等问题。由于这 些问题并不涉及这些运动参量与力之间的关系，因此 流体运动学的结论对于理想流体和实际流体均适用。
a xd d x t tx x x x y y x z zx ayd d y t ty x xy y yy z zy a zd d z t tz x xz y yz z zz
描述方法
拉格朗日法 欧拉法
质点轨迹：r r(a,b,c),t 参数分布：B = B（x, y, z,t）
一、拉格朗日法
着眼于流体质点，设法描述单个流体质点的运动过程，研 究流体质点的运动参数随时间的变化规律，以及相邻流体 质点之间这些参数的变化规律。如果知道了所有流体质点 的运动状况，整个流场的运动状况也就明了了。 实质是一种质点系法。
y, z,t)
y,
z
,
t
)
或
uu(x,y,z,t)
uz
uz (x,
y,
z
,
t
)
固定x,y,z而令t改变，各函数代表：
空间中某固定点上各物理量随时间的变化规律。
固定t而令 x,y,z改变，各函数代表：
某时刻各物理量在空间中的分布规律。
二、欧拉法
压力场、密度场和温度场表示为：
p px, y, z,t x, y, z,t T T x, y, z,t
第三章 流体运动学（Fluid Kinematics）
•流体运动学（kinematics）：研究流体运动的方式和 速度、加速度、位移、转角等参量随空间和时间的变 化；流体运动学主要研究流场中各个运动参数的变化 规律，以及这些运动参数之间的关系等问题。由于这 些问题并不涉及这些运动参量与力之间的关系，因此 流体运动学的结论对于理想流体和实际流体均适用。
第三章 流体运动学(Y)
而与时间无关，这种流动称为恒定流动。 如图所示，当经过流场中A点的流体质点具有不变的速度和压强时， 则为恒定流动；这表明在恒定流动中，流场的运动图象是不变的。 当运动参数不随时间改变时，即
z p=常数
0 称为恒定流动（定常流动） t
u=常数
A
H=常数
E y x
F
定水头的孔口出流
自孔口射出的 流股形状是不 变的，但是E 点的速度并不 等于F点的速 度，即速度随 位臵变化
（2）非恒定流动
如果流体质点的运动要素既是坐标的函数又是时间的函数， 这种流动称为非恒定流动 流场的运动图 象随时间而变。 当 水 头 从 t0 时 刻 的 H0 变 到 t1 时刻的H1 时， 流股从黑线变 为红线，E点 的速度也将变 小。 变水头的孔口出流 当运动参数随时间和位臵改变时，
z
p =f ( t ) u=F(t ) B
p F4 ( x, y, z, t )
F5 ( x, y, z, t )
（a）当时间t 为常数时，表示在同一瞬时通过空间不同点的速度、 加速度、压强、密度等随位臵的变化规律。 （b）当x、y、z、t 都为变量时，表示在任意时刻t 通过空间任意点 x、y、z的流体质点的速度、加速度、压强、密度等随时间的 变化规律。 （c）当时间t 变化时，流体质点从一个空间点运动到另一个空间
流体运动学主要是研究运动参数（速度、加速度等） 随空间位臵和时间的变化规律。 流体只能在固体壁面所限制的空间内进行运动； 流场 —— 充满运动流体的空间称为流场 流场中流体质点的连续性决定表征流体质点运动参 数（速度、加速度等）和物理参数（压强、密度等） 在流场中也是连续的。
一、描述流体运动的两种方法
（2）流线 ——流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线
z p=常数
0 称为恒定流动（定常流动） t
u=常数
A
H=常数
E y x
F
定水头的孔口出流
自孔口射出的 流股形状是不 变的，但是E 点的速度并不 等于F点的速 度，即速度随 位臵变化
（2）非恒定流动
如果流体质点的运动要素既是坐标的函数又是时间的函数， 这种流动称为非恒定流动 流场的运动图 象随时间而变。 当 水 头 从 t0 时 刻 的 H0 变 到 t1 时刻的H1 时， 流股从黑线变 为红线，E点 的速度也将变 小。 变水头的孔口出流 当运动参数随时间和位臵改变时，
z
p =f ( t ) u=F(t ) B
p F4 ( x, y, z, t )
F5 ( x, y, z, t )
（a）当时间t 为常数时，表示在同一瞬时通过空间不同点的速度、 加速度、压强、密度等随位臵的变化规律。 （b）当x、y、z、t 都为变量时，表示在任意时刻t 通过空间任意点 x、y、z的流体质点的速度、加速度、压强、密度等随时间的 变化规律。 （c）当时间t 变化时，流体质点从一个空间点运动到另一个空间
流体运动学主要是研究运动参数（速度、加速度等） 随空间位臵和时间的变化规律。 流体只能在固体壁面所限制的空间内进行运动； 流场 —— 充满运动流体的空间称为流场 流场中流体质点的连续性决定表征流体质点运动参 数（速度、加速度等）和物理参数（压强、密度等） 在流场中也是连续的。
一、描述流体运动的两种方法
（2）流线 ——流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线
工程流体力学-第三章
四、有效断面、流量和平均流速
1. 有效断面 流束中处处与速度方向相垂直的横截面称为该流束的有效断面， 又称过流断面。 说明：
（1）所有流体质点的
速度矢量都与有效断面 相垂直，沿有效断面切
向的流速为0。
（2）有效断面可能是 平面，也可能是曲面。
2. 流量
(1) 定义：单位时间内通过某一过流断面的流体量称为流量。
压强的拉格朗日描述是：p=p(a,b,c,t)
密度的格朗日描述是：
(a, b, c, t)
二、欧拉法（Euler）
1. 欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何时刻物理量在场上 的分布规律的流体运动描述方法。 2. 欧拉坐标（欧拉变数）：欧拉法中用来表达流场中流体运动 规律的质点空间坐标(x,y,z)与时间t变量称为欧拉坐标或欧拉变 数。
（1）x,y,z固定t改变时， 各函数代表空间中某固
定点上各物理量随时间
的变化规律； （2）当t固定x,y,z改变 时，它代表的是某一时 刻各物理量在空间中的 分布规律。
密度场
压力场
( x, y , z , t )
p p ( x, y , z , t ) T T ( x, y , z , t )
u y du z du z ( x, y , z , t ) u z u z u z az ux uy uz dt dt t t t t du u a (u )u dt t
在同一空间上由于流动的不稳定性引起的加速度，称 为当地加速度或时变加速度。 在同一时刻由于流动的不均匀性引起的加 速度，称为迁移加速度或位变加速度。
一元流动
按照描述流动所需的空间坐标数目划分
二元流动
三元流动
工程流体力学-第三章
三、流管、流束和总流
1. 流管：在流场中任取一不是流 线的封闭曲线L，过曲线上的每 一点作流线，这些流线所组成的 管状表面称为流管。 2. 流束：流管内部的全部流体称 为流束。 3. 总流：如果封闭曲线取在管道 内部周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，这种情况通 常称为总流。 4. 微小流束：封闭曲线极限近于 一条流线的流束 。
ax
dux dt
dux (x, y, z,t) dt
ux t
ux
ux t
uy
ux t
uz
ux t
ay
du y dt
duy (x, y, z,t) dt
u y t
ux
u y t
uy
u y t
uz
u y t
az
du z dt
duz (x, y, z,t) dt
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
欧拉法中的迹线微分方程
速度定义
u dr (dr为质点在时间间隔 dt内所移动的距离) dt
迹线的微分方程
dx dt
ux (x, y, z,t)
dy dt uy (x, y, z,t)
dz dt uz (x, y, z,t)
说明： （1）体积流量一般多用于表示不可压缩流体的流量。 （2）质量流量多用于表示可压缩流体的流量。
(3) 质量流量与体积流量的关系
Qm Q
(4) 流量计算 单位时间内通过dA的微小流量
dQ udA
通过整个过流断面流量
Q dQ udA A
水力学 第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
第三章流体运动学
于是，对（3-1）式，速度表示为
d x x x(a, b, c, t ) vx x(a, b, c, t ) d t t t d y y y (a, b, c, t ) vy y(a, b, c, t ) d t t t d z z z (a, b, c, t ) vx z (a, b, c, t ) d t t t
vz 0
解：由vz=0，为二元流动，代入流线方程
dx 2 dy 2 2 (x y ) (x y2 ) ky kx
y v vy vx o x
k 0, x d x y d y 0
积分：
x y C
2 2
为以原点为圆心的圆。 因k>0，则 当x 0, y 0时
vx 0, v y 0
4、过流断面、湿周、水力半径、当量直径
与流束或总流中所有流线均垂直的断面，称过 流断面，面积用A表示。 在总流的过流断面上，与流体相接触的固体壁 面边壁周长称湿周，用χ表示[kai]。 总流过流断面积与湿周之比称水力半径，用R表 示。
4倍总流过流断面积与湿周之比称当量直径，用 de表示。
对圆管半充满
（3-4）
在不同时刻，给点上的原质点由其它质点替换而 出现不同，欧拉法不随质点走，只固定位置。 欧拉法应先确定v的表达式，而拉格朗日法先确 定x，y，z的关系式，然后给出速度。虽然变量 不同，但描述的核心不变，只是方法不同，数 学表达不同罢了。
其向量表示为：a v (v )v t
( vx ) v x vx x x x
( v y ) y vy y y v y
（3-9）
即为直角坐标系下的连续性方程。
水力学-第3章流体运动学 - 发
【解】由于 uz=0，所以是二维流动，其流线方程微分为
dx dy ux (x, y, z,t) uy (x, y, z,t)
将两个分速度代入流线微分方程（上式），得到
dx dy ky kx
xdx ydy 0 积分 x2 y2 c
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
流线的基本特性
• 流线的特性 – 流线一般不相交
§3.1 研究流体运动的两种方法
怎样描述整个流体的运动规律呢？
拉格朗日法
欧拉法
§3.1 研究流体运动的两种方法
1.拉格朗日法
拉格朗日法: 从分析流体质点的运动入手，设法描述出每一 流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的 规律，综合流场中所有流体质点的运动情况，来获得整个流 体运动的规律。
§3.1 研究流体运动的两种方法 迹线、流线和脉线
• 迹线
– 一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹
线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向
• 迹线方程
拉格朗日法
欧拉法
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a,b,c确定后，消去t 后可得迹线方程
dx uxdt dy uydt dz uzdt
(x, y, z) :
(a, b, c , t ) :
质点起始坐标 任意时刻 质点运动的位置坐标 拉格朗日变数
欧拉法
(x, y, z) : t:
(x, y, z , t ) :
空间固定点（不动） 任意时刻 欧拉变数
§3.1 研究流体运动的两种方法
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
a x
du ( x, y, z, t) x dt
dx dy ux (x, y, z,t) uy (x, y, z,t)
将两个分速度代入流线微分方程（上式），得到
dx dy ky kx
xdx ydy 0 积分 x2 y2 c
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
流线的基本特性
• 流线的特性 – 流线一般不相交
§3.1 研究流体运动的两种方法
怎样描述整个流体的运动规律呢？
拉格朗日法
欧拉法
§3.1 研究流体运动的两种方法
1.拉格朗日法
拉格朗日法: 从分析流体质点的运动入手，设法描述出每一 流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的 规律，综合流场中所有流体质点的运动情况，来获得整个流 体运动的规律。
§3.1 研究流体运动的两种方法 迹线、流线和脉线
• 迹线
– 一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹
线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向
• 迹线方程
拉格朗日法
欧拉法
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a,b,c确定后，消去t 后可得迹线方程
dx uxdt dy uydt dz uzdt
(x, y, z) :
(a, b, c , t ) :
质点起始坐标 任意时刻 质点运动的位置坐标 拉格朗日变数
欧拉法
(x, y, z) : t:
(x, y, z , t ) :
空间固定点（不动） 任意时刻 欧拉变数
§3.1 研究流体运动的两种方法
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
a x
du ( x, y, z, t) x dt
水力学-第三章流体运动学
例1 已知用欧拉变数表示的流体运动的速 度场为
ux kx, uy ky, uz 0
(式中，k 为非零常数) ，求流线与迹线。
例2 已知速度场，求流线和迹线
ux x t , u y y t , uz 0
解：流线方程
dx dy dz ux u y uz
式中，x ， y ， z ，t 为欧拉变数。
（2）加速度场： 加速度是速度的变化率，当速度分量 既随时间、又随空间坐标变化时，则速 度分量的全微分为：
u x u x u x u x du x dx dy dz dt x y z t u y u y u y u y du y dx dy dz dt x y z t u z u z u z u z du z dx dy dz dt x y z t
t 为流线方程的参数，积分时可视作常数。
2. 迹线
（1）定义：迹线是流体质点运动的轨迹。 （2）迹线方程 由
dx dy dz ux , u y , uz dt dt dt
得出迹线微分方程：
dx dy dz dt u x ( x, y , z , t ) u y ( x, y , z , t ) u z ( x, y , z , t )
dux (kx) (kx) (kx) (kx) ( ky) 0 k 2 x, dt t x y duy u y u y u y u y 2 ay ux uy uz k y, dt t x y z duz az 0, dt ax
得出欧拉法中的加速度表达式：
du x u x u x u x u x ax ux uy uz dt t x y z du y u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z du z u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z
第三章-流体运动学
1.连续性方程的微分形式(元流)
实质：质量守恒
o点的速度为 u(x, y, z), 其分量为 u x，u y，u z 分析在dt时间内，沿ox方向流入和流出控制体的流体质量。
abcd面，M点沿ox方向的速度用泰勒级数前两项表示
uMx
ux
1 2
u x x
dx
dt时间内，由abcd面流入控制体的流体质量为：
（2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。
解：（1）流线： y bt x c a
积分： dx dy
a bt
——流线方程
y c=2
c=1
c=0
o
x
t=0时流线
y c=2
c=1
c=0
o
x
t=1时流线
c=2
y
c=1
c=0
o
x
t=2时流线
（2）迹线：dx dy dt
a bt
即
dx dt a
第三章 流体运动学
主要内容 流体运动的描述 欧拉法的基本概念 连续性方程
流体运动的描述
§3-1 描述流体运动的两种方法 流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和。
描述流体的运动参数在流场中各个不同空间位置上随时间 连续变
化的规律。
1.拉格朗日法 着眼于流场中具体流体质点的运动，即跟踪每一个流体质点，分
运动参数只是一个空间坐标和时间变量的函数，仅沿着流 动方向变化的流动，比如管道和渠道内的流动。
（2）二元(二维)流动
运动参数只是两个空间坐标和时间变量的函数，比如 水流绕过很长的圆柱体。
（3）三元(三维)流动
以空间为标准，各空间点上的运动参数是三个坐标和 时间变量的函数。
3.流线 ： 某时刻流动方向的曲线，该曲线上各质点的速度矢量都
实质：质量守恒
o点的速度为 u(x, y, z), 其分量为 u x，u y，u z 分析在dt时间内，沿ox方向流入和流出控制体的流体质量。
abcd面，M点沿ox方向的速度用泰勒级数前两项表示
uMx
ux
1 2
u x x
dx
dt时间内，由abcd面流入控制体的流体质量为：
（2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。
解：（1）流线： y bt x c a
积分： dx dy
a bt
——流线方程
y c=2
c=1
c=0
o
x
t=0时流线
y c=2
c=1
c=0
o
x
t=1时流线
c=2
y
c=1
c=0
o
x
t=2时流线
（2）迹线：dx dy dt
a bt
即
dx dt a
第三章 流体运动学
主要内容 流体运动的描述 欧拉法的基本概念 连续性方程
流体运动的描述
§3-1 描述流体运动的两种方法 流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和。
描述流体的运动参数在流场中各个不同空间位置上随时间 连续变
化的规律。
1.拉格朗日法 着眼于流场中具体流体质点的运动，即跟踪每一个流体质点，分
运动参数只是一个空间坐标和时间变量的函数，仅沿着流 动方向变化的流动，比如管道和渠道内的流动。
（2）二元(二维)流动
运动参数只是两个空间坐标和时间变量的函数，比如 水流绕过很长的圆柱体。
（3）三元(三维)流动
以空间为标准，各空间点上的运动参数是三个坐标和 时间变量的函数。
3.流线 ： 某时刻流动方向的曲线，该曲线上各质点的速度矢量都
流体运动学
第三章 流体运动学流体运动学研究流体运动的位移、速度、加速度和转向等随时间和坐标的变化规律，不涉及力问题，但从中得出结论为流体动力学的研究奠定基础。
3.1 研究流体运动的方法运动要素：表征流体运动状态的物理量( v 、a 、p 、ρ、γ和F 等)。
运动要素之间的规律①每一运动要素都随空间与时间在变化； ②各要素之间存在着本质联系。
场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体运动空间的每一点、某时刻都对应着描述流体运动状态的参量的一个确定的值，即物理的场流场：将充满运动的连续流体的空间。
在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。
场的分类： 矢量场 稳定场标量场 时变场 流体中的场：位移场、速度场、加速度场、压强场等场的描述方法：Largrange 法和Euler 法1 拉格朗日法（随体法或跟踪法）拉格朗日法为随体描述法，着眼于流体质点。
其基本思路是跟踪单（每）个流体质点，并连续记录描述它们运动的空间位置坐标及其物理量的变化，是离散质点运动描述方法在流体力学中的应用。
某个确定质点的描述方法：取0t t =为初始时刻，质点的初始位置的坐标记为（a ，b ，c ），并将a 、b 、c 和t 称为拉格朗日变数，),t⎧⎨⎩⎧⎨⎩),,,(t c b a r r MP OM OP =+==若流体质点位移以直角坐标z y x ,,表示则有⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x 简记为 ),,,(i i t c b a x x = 3,2,1=i它表示Largrange 坐标为),,(c b a 的流体质点，在t 时刻处空间点),,(z y x 位置，矢径为z y x k j i r ++=。
质点速度u 的Largrange 描述为),,,(t c b a u u =，由物理和数学知识，则有tt c b a tt c b a t c b a ∂∂===),,,(d ),,,(d ),,,(r r u u或者⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂==∂∂==∂∂==t t c b a z t t c b a z t c b a u t t c b a y t t c b a y t c b a u tt c b a x t t c b a x t c b a u ),,,(d ),,,(d ),,,(),,,(d ),,,(d ),,,(),,,(d ),,,(d ),,,(z yx或者简记为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂==∂∂==3,2,1,d d d d i i i i tx tx u t t r r u速度u （或i u ）之所以用偏导数tr ∂∂（或tx u ∂∂=i i ）表示，原因在于a 、b 、c 虽然称为拉格朗日变数，却是一个伪变量。
《水力学》课件——第三章 流体运动学
是否是接
均匀流 否
？
渐变流
流线虽不平行，但夹角较小； 流线虽有弯曲，但曲率较小。
急变流
流线间夹角较大； 流线弯曲的曲率较大。
• 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的
划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况
来判定
急变流示意图
五. 流动按空间维数的分类
一维流动 二维流动 三维流动
• 根据流线的定
• 在非恒定流情况下，流
义，可以推断：除
线一般会随时间变化。在
非流速为零或无穷
恒定流情况下，流线不随
大处，流线不能相
时间变，流体质点将沿着
交，也不能转折。
流线走，迹线与流线重
合。
• 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流
体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观
点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速
• 由确定的流体质点组成
的集合称为系统。系统在 运动过程中，其空间位 置、体积、形状都会随时 间变化，但与外界无质量 交换。
• 有流体流过的固定不变
的空间区域称为控制 体，其边界叫控制面。 不同的时间控制体将被 不同的系统所占据。
• 通过流场中某曲面 A 的流速通量
u nd A
A
称为流量，记为 Q ，它的物理意 义是单位时间穿过该曲面的流体 体积，所以也称为体积流量，单 位为 m3/s .
n A
dA
u
• u n d A 称为质量流量，记为Qm，单位为 kg/s . 流量计算
A
公式中，曲面 A 的法线指向应予明确，指向相反，流量将反
s s — 空间曲线坐标
元流是严格的一维流动，空间曲线坐标 s 沿着流线。
第3章流体运动学上PPT课件
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2.1 Lagrange法
1.基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录 它们在运动过程中的各物理量及其变化
2.拉格朗日变数：（a,b,c,t）——区分流体 质点的标志
3.质点物理量：B(a,b,c,t)， 如：
pp(a,b,c,t) (a,b,c,t)
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2.0 流体质点和空间点
•流体质点：是个物理点，它是在 两者相互关系：流场
连续介质中取出的，在几何尺寸 中空间某一点，先后由 上无限小，可以看作一点，但包 不 同 的 流 体 质 点 所 占 含许多分子，具有一定物理量。 据；流体质点物理量会
发生变化，而空间点是
•空间点：几何点，表示空间位置 不动的。
Reynolds数的物理意义：
惯性力 Re 粘性力
惯性使扰动放大，导致湍流，粘性抑制扰动使流动保持稳定。 当 Re 时，流动趋于理想流体运动。
2. 机翼绕流风洞试验
机翼绕流流场的特点：
流线(streamline)： 上翼面：流线密 下翼面：流线稀
(a) Re~1
3. 卡门涡街(Karman vortex street)
第3章 流体运动学
(Fluid Kinematics)
第3章 流体运动学
从几何的观点研究流体的运动，不 讨论运动产生的动力学原因。
ma F
rrx,y,z,t vvx,y,z,t aax,y,z,t
3.1 流动图形观察 (flow visualization)
观察几个典型流动，感受实际流动现象和特征。 圆管流动——流动状态 机翼绕流——升力、阻力 圆柱绕流——涡激振荡
第三章：流体运动学
或：
欧拉型连续方程式的积分形式，物理意义是：单位时间内控制体内流体质量的增减，等于同一时间内进出控制面的流体质量净通量。
使用高斯定理，将其面积分变为体积分：
第一项的微分符号移入积分号内得
所以得：
积分域τ是任取的，必有：
上式即欧拉型连续方程的微分形式。
§３-４流体微团运动的分析
流体微团的运动比较复杂，具有平移，转动，变形运动。微团的运动速度也相应地由平移速度、变形速度和转动角速度所组成。
过水断面：流管的垂直截面，
流量：每秒钟通过过水断面的体积。
微小流管的流量积分：
平均流速：
用实验方法量出体积流量Ｑ，除以σ得平均流速Ｕ。
五、条纹线
举例烟囱的流动来说明。
轨迹线、流线、条纹线这三条线中，流线最为重要。
§３-３连续性方程式
连续性方程式：质量守恒定律在流体力学中的表达式。
一、一元运动的连续性方程式
§３-２几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
定常运动：任意固定空间点处所有物理量均不随时间而变化的流动，反之称为非定常运动。
对于定常运动，所有的物理量不随时间而变化，仅是空间坐标（ｘ，y，ｚ）的函数：
ｖｘ＝ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｙ＝ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｚ＝ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）
ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ）
３）质点的加速度
４）由质点一般运动规律
可求得拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为
代回拉格朗日法表示的速度表达式，得欧拉法表示的速度表达式：
欧拉法表示的加速度：
应用欧拉法研究流体运动，又有两种处理方法。一种是在流场空间取一微元体（如六面体），分析流体通过该微元体时流体微团的运动规律，建立流体运动时各种微分方程式。因此这种方法叫微分法。另一种方法是在流场中取一有限的任意形状的固定控制体（其边界封闭曲面称为控制面），分析流体通过该控制体时的运动规律，建立流体运动时各种整体关系式（即积分方程式），这种方法叫控制体方法，或称积分方法。
欧拉型连续方程式的积分形式，物理意义是：单位时间内控制体内流体质量的增减，等于同一时间内进出控制面的流体质量净通量。
使用高斯定理，将其面积分变为体积分：
第一项的微分符号移入积分号内得
所以得：
积分域τ是任取的，必有：
上式即欧拉型连续方程的微分形式。
§３-４流体微团运动的分析
流体微团的运动比较复杂，具有平移，转动，变形运动。微团的运动速度也相应地由平移速度、变形速度和转动角速度所组成。
过水断面：流管的垂直截面，
流量：每秒钟通过过水断面的体积。
微小流管的流量积分：
平均流速：
用实验方法量出体积流量Ｑ，除以σ得平均流速Ｕ。
五、条纹线
举例烟囱的流动来说明。
轨迹线、流线、条纹线这三条线中，流线最为重要。
§３-３连续性方程式
连续性方程式：质量守恒定律在流体力学中的表达式。
一、一元运动的连续性方程式
§３-２几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
定常运动：任意固定空间点处所有物理量均不随时间而变化的流动，反之称为非定常运动。
对于定常运动，所有的物理量不随时间而变化，仅是空间坐标（ｘ，y，ｚ）的函数：
ｖｘ＝ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｙ＝ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｚ＝ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）
ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ）
３）质点的加速度
４）由质点一般运动规律
可求得拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为
代回拉格朗日法表示的速度表达式，得欧拉法表示的速度表达式：
欧拉法表示的加速度：
应用欧拉法研究流体运动，又有两种处理方法。一种是在流场空间取一微元体（如六面体），分析流体通过该微元体时流体微团的运动规律，建立流体运动时各种微分方程式。因此这种方法叫微分法。另一种方法是在流场中取一有限的任意形状的固定控制体（其边界封闭曲面称为控制面），分析流体通过该控制体时的运动规律，建立流体运动时各种整体关系式（即积分方程式），这种方法叫控制体方法，或称积分方法。
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度 u可表示为： u u (uxy
ux(x, uy(x,
y,z,t) y,z,t)
uz uz(x,y,z,t)
(3.4)
式中x，y，z及 t 称为欧拉变量。ux,uy,uz 分别是速度 u在x，
y，z上的分量。
写成矢量形式：
u u x i u y j u z k ( 3 . 5 )
同理，在欧拉法中，密度ρ、压强 p也可以表示为欧拉变
量的函数：
( x ,y ,z ,t) ( 3 .6 )
p p ( x ,y ,z ,t) ( 3 .7 )
在式（3.4）中，当 t 为常数，x，y，z 为变数，式（3.4） 表示同一时刻，通过不同空间点上流体的速度分布情况，即 流体运动的流速场。
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
ayu ty2y(a ,tb 2,c,t) azu tz 2z(a ,tb 2,c,t)
式（3.2）、（3.3）仍为a、b、c、t 的函数。
（3.3）
同样，流体的密度、压强和温度也可用拉格朗日法写
成a、b、c和 t 的函数，即ρ= ρ （a，b，c，t），p=p (a，b， c，t )，T=T (a，b，c，t )。
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
将式（3.1）的起始坐标a、b、c看作常数，对 t 求一阶
（2） 欧拉法
欧拉法以流动的空间（即流场）作为研究对象，观察 不同时刻各空间点上流体质点的运动要素，来了解整个流 动空间的流动情况。它着眼于研究各运动要素的分布场， 所以欧拉法又称空间点法或流场法。
欧拉法把流场中各 运动要素表示成空间坐 标（x，y，z）和时间 t 的连续函数。
如图3.2 ，取空间任一固 定点M，其位置坐标（x, y, z）确定。 M为流场中 的点，其运动情况是M点 坐标（x, y, z）的函数， 也是时间 t 的函数。如速
当 x，y，z 为常数， t 为变数，式（3.4）表示某一固定空 间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。
欧拉法加速度的表示方法：加速度是个物理量，其物理 意义只能是流体质点的加速度（不是空间点的加速度）。所 谓流场中某点的加速度，应理解为流体质点沿其轨迹线通过 该空间点时所具有的加速度。
设已知速度场为 u u (x ,y ,z ,t) ，在研究 t 时刻某一
介质的流动。要研究这种连续介质的运动，首先必须建立 描述流体运动的方法。常用的方法有两种：拉格朗日法和 欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法和欧拉法
（1） Lagrange法（拉格朗日法）
拉格朗日法是把流体的运动看作是无数个质点运动的总 和。以个别质点作为研究对象，跟踪观察这一流体质点在不 同时间的位置、流速和压力的变化规律。通过对每一个质点 运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。这种方法也 称为质点系法。
这种方法和理论力学中研究固体质点和质点系运动的 方法是一致的。
为了研究流体质点的运动，首先要识别各个不同的质点。 设在直角坐标系中，起始时刻 t0 ，质点的起始位置坐标 为 (a,b,c)。当赋予(a,b,c)为一组确定值时，即表示跟踪这 一质点，因此，起始坐标可作为识别质点的标志；此外，质 点在空间所处的位置，即坐标 (x,y,z)，又与时间 t 有关。 所以质点在空间的坐标(x,y,z) 可以表示为起始坐标(a,b,c) 和时间 t 的函数，即：
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
(3.1)
式中a、b、c、t 称为拉格朗日变量。
在（3.1）式中如果设a、b、c 为常数（表示跟踪这一质 点），t 为变量，则 x、y、z只是时间 t 的函数，就可得到这 一质点任意时刻的位置情况。此时式（3.1）所表达的，就是 这一流体质点运动迹线，如图3.1所示。
流体质点通过空间点M(x,y,z)的加速度时，不能将x，y，z视 为常数，因为在微分时段dt中，这一流体质点将从M点运 动到新位置M’点，即运动着的流体质点本身的位置坐标x， y，z也是时间 t 的函数，因此有：
a d u u u d x u d y u dz dt t xdt ydt zdt
第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
几个基本概念： 流体质点：微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。
流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。
空间点：表示空间位置的几何点。 空间点是不动的，而流体质点是流动的。对同一空间点，
在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又被另一新 的流体质点所占据。也就是说，在流体连续流动的过程中， 同一空间点先后为不同的流体质点所经过。而同一流体质点 在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间点。
和二阶偏导数，就可得到任一流体质点在任意时刻的速度 和加速度：
速度表达式
x (a ,b ,c,t) u xu x(a ,b ,c,t) t
y(a ,b ,c,t) u yu y(a ,b ,c,t) t
（3.2）
u zu z(a ,b ,c,t) z(a , b t,c,t)
加速度表达式
axu tx2x(a ,tb 2,c,t)
因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续
ux(x, uy(x,
y,z,t) y,z,t)
uz uz(x,y,z,t)
(3.4)
式中x，y，z及 t 称为欧拉变量。ux,uy,uz 分别是速度 u在x，
y，z上的分量。
写成矢量形式：
u u x i u y j u z k ( 3 . 5 )
同理，在欧拉法中，密度ρ、压强 p也可以表示为欧拉变
量的函数：
( x ,y ,z ,t) ( 3 .6 )
p p ( x ,y ,z ,t) ( 3 .7 )
在式（3.4）中，当 t 为常数，x，y，z 为变数，式（3.4） 表示同一时刻，通过不同空间点上流体的速度分布情况，即 流体运动的流速场。
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
ayu ty2y(a ,tb 2,c,t) azu tz 2z(a ,tb 2,c,t)
式（3.2）、（3.3）仍为a、b、c、t 的函数。
（3.3）
同样，流体的密度、压强和温度也可用拉格朗日法写
成a、b、c和 t 的函数，即ρ= ρ （a，b，c，t），p=p (a，b， c，t )，T=T (a，b，c，t )。
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
将式（3.1）的起始坐标a、b、c看作常数，对 t 求一阶
（2） 欧拉法
欧拉法以流动的空间（即流场）作为研究对象，观察 不同时刻各空间点上流体质点的运动要素，来了解整个流 动空间的流动情况。它着眼于研究各运动要素的分布场， 所以欧拉法又称空间点法或流场法。
欧拉法把流场中各 运动要素表示成空间坐 标（x，y，z）和时间 t 的连续函数。
如图3.2 ，取空间任一固 定点M，其位置坐标（x, y, z）确定。 M为流场中 的点，其运动情况是M点 坐标（x, y, z）的函数， 也是时间 t 的函数。如速
当 x，y，z 为常数， t 为变数，式（3.4）表示某一固定空 间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。
欧拉法加速度的表示方法：加速度是个物理量，其物理 意义只能是流体质点的加速度（不是空间点的加速度）。所 谓流场中某点的加速度，应理解为流体质点沿其轨迹线通过 该空间点时所具有的加速度。
设已知速度场为 u u (x ,y ,z ,t) ，在研究 t 时刻某一
介质的流动。要研究这种连续介质的运动，首先必须建立 描述流体运动的方法。常用的方法有两种：拉格朗日法和 欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法和欧拉法
（1） Lagrange法（拉格朗日法）
拉格朗日法是把流体的运动看作是无数个质点运动的总 和。以个别质点作为研究对象，跟踪观察这一流体质点在不 同时间的位置、流速和压力的变化规律。通过对每一个质点 运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。这种方法也 称为质点系法。
这种方法和理论力学中研究固体质点和质点系运动的 方法是一致的。
为了研究流体质点的运动，首先要识别各个不同的质点。 设在直角坐标系中，起始时刻 t0 ，质点的起始位置坐标 为 (a,b,c)。当赋予(a,b,c)为一组确定值时，即表示跟踪这 一质点，因此，起始坐标可作为识别质点的标志；此外，质 点在空间所处的位置，即坐标 (x,y,z)，又与时间 t 有关。 所以质点在空间的坐标(x,y,z) 可以表示为起始坐标(a,b,c) 和时间 t 的函数，即：
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
(3.1)
式中a、b、c、t 称为拉格朗日变量。
在（3.1）式中如果设a、b、c 为常数（表示跟踪这一质 点），t 为变量，则 x、y、z只是时间 t 的函数，就可得到这 一质点任意时刻的位置情况。此时式（3.1）所表达的，就是 这一流体质点运动迹线，如图3.1所示。
流体质点通过空间点M(x,y,z)的加速度时，不能将x，y，z视 为常数，因为在微分时段dt中，这一流体质点将从M点运 动到新位置M’点，即运动着的流体质点本身的位置坐标x， y，z也是时间 t 的函数，因此有：
a d u u u d x u d y u dz dt t xdt ydt zdt
第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
几个基本概念： 流体质点：微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。
流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。
空间点：表示空间位置的几何点。 空间点是不动的，而流体质点是流动的。对同一空间点，
在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又被另一新 的流体质点所占据。也就是说，在流体连续流动的过程中， 同一空间点先后为不同的流体质点所经过。而同一流体质点 在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间点。
和二阶偏导数，就可得到任一流体质点在任意时刻的速度 和加速度：
速度表达式
x (a ,b ,c,t) u xu x(a ,b ,c,t) t
y(a ,b ,c,t) u yu y(a ,b ,c,t) t
（3.2）
u zu z(a ,b ,c,t) z(a , b t,c,t)
加速度表达式
axu tx2x(a ,tb 2,c,t)
因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续