数值分析课程教学探讨

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职 时 业 空
数 值 分 析 课 程 教 学 探 讨
李 娜
（ 州 学 院 ，山东 德州 ２ ３ ２ 德 ５ ０ ３）
摘 要 ：根据 “ 数值 分析” 的课程特 点，在教 学方法 、教 学手段和加 强数值 实验方面做 了有 益 的探 索 尤其 是在教 学 中融入 了数 学建 模 的思想 ， 以培养 学生开拓 创新 的 能力。 关 键 词 ：数值 分析 ；数值 实验 ；数 学建 模 数值 分 析是 一 门与计 算 机使 用密 切 结合 的 、实 用性很强的课程 。它 内容丰富 ，涉及数学分析 、代数 、 方程和泛 函分析 等诸 多学科 ，研究方 法深刻 ，有 自身 严 密 的科学 系 统 。科学 与 工程 中的数值 计 算 已经成 为 各 门 自然 科 学 和 工程 技 术 科 学 的一 种 重 要 手段 ， 成 为实验 和理 论并 列的一 个不 可缺少 的环 节 … 。所 以数值 分析 既是一 个基 础性 的 ，同时 也是 一个 应用 性 的数学学 科 ，与其他学科 的联 系十分紧密 。那么在 平 时 的教学 中 ，如何 取 得 良好 的教 学效 果 呢？ 本文 从 以下几 个方 面进 行探讨 。 似计 算”的思想 。在实 际的计 算过程 中，有 许多 问题 的计算量 非常庞大 ，简 单的笔算费时费力 ，借 助计算 机 可 以快 速解 决这 些 问题 。但 由于计 算机 本 身位 数 的 限制 ，以及其它 误差 影 响 ，只能进 行近似 计 算 。 （ ） “ 差分 析 ”思想 。 由于是 近似计算 ，那 么 １ 误 就 存在一 定 的误 差 ，所 以在 计算过 程 中要 分析误 差 、 控 制 误差 和 比较误 差 ，只有 控制 好误 差 才 能找 到好 的近 似值 。误差 是衡 量 近似 计算 结 果好 坏 的一 个标 准 ，例如 ，在求解 线性 方程 组直接法时 ，通过误差分 析 可 以确 定 方程 组是 病态 的还是 良态 的 ，只有 良态 的方 程组 才 能保 证解 的 准确 性 。通 过分 析 误差 可 以 数 值 分 析 课 程 的 教 学 特 点 判断算法 的稳定性 、收敛性及收敛速度 。 由此 可见误 与其 它 纯数 学理 论课 程相 比 ，数值 分析 除 了具 差 分析 是非 常重要 的 。 备 数学 的高 度 抽象 性 与严密 科 学性 的特 点 之外 ，又 （ ）逼近和近似思想 。函数逼近是数值分析方法 ２ 有 应 用 的广 泛 性 与 实 际试 验 的高 度 技 术性 的特 点 。 中 的主要 内容之 一 ，许 多数 值方 法 都依 赖 于 函数逼 具 体来说 ，这 门课 程具有 以下的教学 特点 ： 近的思想 。如 ，各种插值方法 、数值微分和数值积分、 １． 识 面跨 度 大 知 微 分 方程 数值 解 等等 。函数 逼近 中常常 采 取 的各种 数值 分 析 是数学 与应用 数 学 、信 息与 计算 科学 近似 ，利用插值 函数对 数值近似处理 ，让学生意识 到 和 统计 学 专 业的 必修 课程 ，它 广 泛运 用 多 门数学 学 数值 分 析课 程 不是在 简 单地 做数 学 练 习 ，而 是在 训 科 的知识 ，内容包括数值逼近 、数值积分 、线性 代数 练通 过对 原 问题 的分 析 ，如 何 利用 已有 的 数学 知 识 方 程 组 的直接 解法 和 迭代 方法 、非 线性方 程 组 的计 和 工具 去逼 近和 近似 原 来 问题 的解 。逼近 和 近似 思 算 方法 、矩 阵特征值 与特 征向量的计算 、常微 分方程 想作为一种全新 的思维方式 ，它 使学生认识到 ：不能 数值 计算等 ，涉 及数学 分析 、代数学 、微分方 程 、泛 解 析 或精确 求 解 问题 并不 可怕 ，可怕 的是 不 会和 不 函分析 等众 多数学 理论 。 敢利用 已学数学 知识去近似 、简化原来 的问题 ，从而 ２． 可 靠 的理 论 分 析 有 获得 原来 问题 的近似 解 答 。 能任 意逼 近 并达 到精 度要 求 ，对 近似 算 法要 保 （ ３）“ 离散 化 ” 思想 ］ 。把 求连 续变 量 问题 转 证收 敛性和 数值 稳定 性 ，还要对 误差 进行 分析 。 化 为求离散 变量 问题 ，称 为 “ 离散化 ” 。一个 连续 的 ５． 重 理 论 与应 用 的结 合 注 数 学 问题要 实 现上 机计 算 ，必 须 先进 行离 散 化 。在 与传统 数学课程 强调理论 分析和 逻辑推 导不 同， 工 程计 算 中，常常 需要 求解 连续 性 问题 ，比如 求微 数 值 分析 课 程 更注 重运 用这 些理 论 构造 适合 计算 机 分 方程 的解 。一 般而 言 ，微 分方程很 难 找到解析 解 ， 执 行 的数 值 方法 ，要 根 据计 算机 特 点提供 实 际可行 所 以数 值 求解 微分 方程 是 计算 方 法 中的一 个 重要 的 的有 效算 法 。数值 分 析 主要研 究 那些 在理 论 上有 解 内容 。数值 求 解微 分方 程 并不 是依 靠 计算 机 给 出微 而用 手工 无 法计 算 、必 需借 助计 算 机求 解 的数学 问 分 方程 的解 析 形 式 ，而是 依靠 它 近似 给 出微 分方 程 题 。它 的许 多理 论 与方 法本 身 并不 是数学 学 科 的产 在 指 定点 的 函数值 。在 引人 离散 化思 想对 问题 离散 后 ，可 以采用 各 种 数 值 方法 来 求 解 各 点 函 数 的值 。 物 ，而是 以 “ 算” 为 目标发展 起来 的 。 计 通 过 离散 化思 想 ，原 来 的连 续性 问题 变 成 了一个 离 二 、教 学 体 会 散 问题 。离散 化 思 想 是 数值 计 算 的一 个 基 本 思想 ， 针对 数值 分 析课 程 的特 点 ，笔 者认 为 在教学 中 现 有 的数 值计 算 ，几 乎 完全 依赖 于对 问题 的离 散化 应注 重 以下几 个方面 ： 解 决 。离 散方 法一 直 是数 值分 析 研究 中一 个 很 重要
２． 多媒 体 课 件 与 板 书 相 结 合 的教 学手 段 ［
使用多媒体教学方法 ，能增大教学容量 ，提 高教 学效率 ，有 利于解决重点和难点 问题 。多媒体教学 可 以在一 定程 度 上突 破 时间和 空 间 的限制 ，充 实直 观 内容 ，能够 较彻底地分解知识 技能信 息的复杂度 ，减 少 信息 在大 脑 中从 形象 到抽 象 ，再 由抽象 到 形象 的 加工转换过程 ，充分传达教学意 图 ，并可 以通过计算 机 的丰富表 现手段突出教学重点 。如 ，龙格现象可 以 用屏 幕 动态 的 显示 在 哪个 区间 收敛 ，使 用 多媒 体 教 学 可 以帮 助教 师在 课 堂上根 据 学生 的信 息 反馈 ，进 行 现场 分析 和 答疑 ，以人 机对 话方 式灵 活 方便 地 进 行启发 式教学 。 同时 ，精彩 的多媒 体课件也 能激 发学 生 的兴趣 ，提 高学 生 的主动性 。
３． 强数 值 实 验 ，培 养 学生 解 决 实 际 问题 的 能 力 加
的洞 察力 和想 象力 ，对 实际 问题 的浓 厚 兴趣 和广 博 的知识面 。数学 建模 是联系数 学与 实际 问题 的桥 梁 ， 是数 学在 各个 领 域广 泛 应用 的媒 介 ，是 数学 科学 技 术 转 化 的主要 途 径 ，数学 建模 在 科学 技 术发 展 中的 重要 作 用 越 来 越 受 到数 学 界 和 工程 界 的普遍 重视 ， 它 已成为 现 代科 技工 作者 必备 的重要 能 力之 一 。在 数学 建模 过 程 中 ，必 然 要有 数学 模 型 的求解 ，其 中 很多 数学 模 型 的求解 要 用到 数值 分析 课 程 中所涉 及 的算法 。 比如 ，２ ０ ０ ９年全 国大学生 数学建模 竞赛 Ａ 题 ，其 中有 一 步就 要 用到 曲线 拟合 ，如 果 上课 时学 生 没有 明 白什么 是 曲 线拟合 ，也不 知道 拟 合可 以用 哪 种方程 ，那么 得 到 的模型 不 一定 合理 ，导致 事倍 功半 。所 以在教 学 中融 人数 学 建模 的思 想 是十 分必 要 的 。实践 证 明 ，通 过 对 数值 分 析 ） ）的学 习 ，大 大加 深 了学 生对 课程 内容 的理 解 ，也激 发 了学 生学 习 的积极 性 和主 动性 ，鼓励 了部 分优 秀 学生 组成 团 队 积极 地 参 加 建 模 竞 赛 １ ，确 实 提 高 了学 生 的开 拓 、创 新 能 力 。
１． 学方 法 上 注 重 数 值 思 想 的传 授 教 的方 面 。
计 算方 法这 门课 程 最主 要 阐述 的思 想就 是 近 “
（ ）“ 代”思想 。迭代是计算 机 中重要 的概 ４ 迭
收 稿 日期 ：２ １ － ６ １ ０ ２０— １ 作者简介：李娜 （ ９ ９ ） １７ ，女，硕士 ，德州学 院数学系讲师 ，主要研究方 向：计算数学 。
＿ 三 、结 语 ０ Ｈ ， … Ｉ － ， １
爱 因斯坦有句名言 ：“ 兴趣 是最好的老师 。 ”充分 激 发学 生 的学 习兴 趣 是优 化课 堂教 学 的最 根本 、最 有效 的途径之 一 。所 以，激 发学 生的学习兴趣 ，营 造 宽松 的课 堂气氛 ，是提 高课 堂效率的最佳方法 。最后 应制定合理 的考核办法 ，督促 学生学习 ，提高学 生学 习的积 极性 。 同时 ，还可 以督 促 学生 去看 一 些参 考 书 。由于 数值 分析涉及 到的知 识面很广 ，这也使 得它 的 内容 灵 活 多变 。多 看参 考 书是 学好 这 门课 程 的重 要 一环 。 参 考 文献 ：
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第８ ・ 期 卷 第７
职 业 时 空
教 Ｃ育教 学 研 究
ＡＲＥＥＲ ＨＯＲ ＩＯＮ ’ Ｚ
念 ，也是数值分析方法 中的重要的概念 。在 数学建模 过程 中，对结 果 可 能性 的猜 测可 以在 很 大程 度上 帮 助我 们在 建 模方 向上 进 行选 择 ，使 我们 少 走许 多 弯 路。 由于迭代方法大都 只有有限的收敛 区间 ，所 以如 何 利用 已有 的信 息对 解 进 行 猜 测 是 很重 要 的 一 点 ， 这依 赖于 学 生在 实 践 中能够 综合 运用 数 学分 析理 论 和各 种 方法 的 经验 。许 多 连续 问题 在转 化 为离 散 问 题后 ，利 用迭代 法 可 以求 解离散 问题 。
… 关治，陆金 甫． １ 数值分析基础 ［ ］ 北京 ：高等教 育 出版 Ｍ．
社 ， １９ ． ８ ９
上机 实 验课 是 数值 分析 区 别于 其他 数学 课 的 明 显 之处 。上机 课 的 目的主 要在 于培 养 学生 的 实践 和 编 程 能力 ，将 课堂 上 学 到的数 值分 析 方法 理论 应 用 到具 体 的实例 中 ，这 是一 个 消化 课堂 上 学 习的知 识 点的 过程 。学 生针 对 同一 个 问题 可 以尝 试不 同方 法 去解决 ，并且加 以比较 ，以此来验证各种方 法的优缺 点。数值分析 中的问题 仅靠 课堂教学 、理 论推导是很 难 讲明 白的 。可 以安排 一定的实验课 ，使学 生在实 际 的计 算过 程 中，通过 画 图或 列表 等 比较 的 方式对 课 堂 的知识 加 深理 解 。许 多工 程 技术学 科 中的 问题 都 需要 利用 数 值分 析课 程 的知 识 ，如 果 能够 让学 生参 与 到解决 实 际 问题 的实 践 中 ，必将对 数 值 分析 课程 的教 学起 到积极 的推 动作 用 。 ４． 在教 学 中融 入数 学建模 的思想 应用 数学 去 解决 各 类实 际 问题 时 ，建 立数 学模 型 是 十分 关键 的 一 步 ，同 时也 是 十 际问题 简 化 、抽象 为合理 的数学 结构的过程 。要通过调查 、收 集 数据 资料 ，观察 和研 究 实 际对象 的 固有 特 征和 内 在 规律 ，抓 住 问题 的 主要 矛盾 ，建立 起反 映 实 际问 题 的数 量 关系 ，然 后 利用 数学 的理 论 和方 法 去分 折 和 解决 问题 。这就 需 要深 厚扎 实 的数 学基 础 ，敏 锐