工程力学第2章平面基本力系

第2章 平面基本力系在工程中常常碰到一些特殊力系，如图2-1和2-2所示。

这种作用于物体上的各力作用线位于同一平面内，且汇交于一点的力系，称为平面汇交力系。

另外还有一种和转动作用有关的平面力偶系，如图2-3所示。

图2-1图2-2 图2-3本章主要研究平面汇交力系和平面力偶系这两个基本力系的合成和平衡问题。

2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法2.1.1 平面汇交力系合成的几何法1) 两个汇交力的合成两个力的合成可根据力的平行四边形法则或三角形法则求得合力的大小与方向。

如图2-4(a)，作用在物体上的任意两个不平行的力1F 和2F ，根据力的可传性，可将这两个力分别沿其作用线移到汇交点，即成为作用在物体上同一点的两个汇交力。

如图2-4(b)，其合力可根据力的平行四边形法则来确定，合力R 的作用线通过汇交点，用矢量式表示为21F F R += (2-1)图2-4合力R 的大小和方向，可通过三角形法则求得：以α表示两个分力1F 与2F 之间的夹角，应用余弦定理，得合力大小为：)180cos(22122212α-︒-+=F F F F R (2-2) 或αcos 2212221F F F F R ++= (2-3)以ϕ1和ϕ2分别表示合力R 与两边的夹角，应用正弦定理：21sin F ϕ=12sin Fϕ=)-sin(180R α︒ 得：αϕαϕsin sin sin sin 1221R F R F ==(2-4) 式中21ϕϕα+=。

由上式可确定合力R 的方向。

同理利用力的三角形法则也可确定合力R 的大小和方向。

但必须注意力三角形的矢序规则，分力矢1F 和2F 沿环绕三角形边界的某一方向首尾相接，而合力R 则沿相反方向从起点指向最后一个分力矢的末端。

作图时若变换分力矢1F 和2F 的顺序，则得到不同的力三角形。

但合力矢的大小和方向不变。

如果在刚体的点A 作用两个共线的力1F 和2F 。

如图2-5(a)所示，那么，当两力同向时，合力的大小等于这两力大小的和，方向与两力相同；当两力反向时，合力的大小等于两力的差，方向与其中较大的一个力相同，如图2-5(b)所示。

图2-52) 任意个汇交力的合成。

如图2-6(a)所示，设物体受到平面汇交力系1F 、2F 、3F 、4F 的作用。

求此力系的合力时，可连续使用力的三角形法则。

如先求1F 和2F 的合力1R ，再求1R 和3F 的合力2R ，最后将2R 与4F 合成，即得力系的合理R ，如图2-6(b)所示。

由作图的结果可以看出，在求合力R 时，表示1R 和2R 的线段完全可以不画。

可将各力1F ，…4F 依次首尾相接，形成一条折线，联接其封闭边，即从1F 的始端指向4F 的末端所形成的矢量则为合力的大小和方向，如图2-6(c)所示，此法称为力的多边形法则。

上述矢量加法，推广到n 个力的汇交力系求合力，可得出结论：平面汇交力系的合力等于力系各力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。

合力R 可用矢量式表示为i n F F F F R ∑=+++=...21 (2-5)图2-6画力多边形时，若改变各分力相加的次序，将得到形状不同的力多边形，但最后求得的合力不变，如图2-7所示。

图2-72.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件若刚体在一平面汇交力系作用下而处于平衡，则该力系的合力为零；反之，当力系的合力为零时，则刚体处于平衡状态。

由于平面汇交力系可用其合力来代替，显然，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。

以矢量等式表示为01=∑=ni i F (2-6)在平衡情况下，合力为零，因此力的多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时力的多边形成为封闭的力多边形。

即在力多边形中，所有各力首尾相接，形成一闭合多边形（所有各力矢沿着环绕力的多边形边界的同一方向）。

因此得出结论，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这就是平面汇交力系平衡的几何条件。

例2-1 支架ABC 由横杆AB 与支撑杆BC 组成，如图2-8(a)所示。

A 、B 、C 处均为铰链连接，B 端悬挂重物其重力W =5KN ，杆重不计，试求两杆所受的力。

图2-8解：（1）选择研究对象，以销子B 为研究对象。

（2）受力分析、画受力图。

由于AB 、BC 杆自重不计，杆端为铰链，故均为二力杆，两端所受的力的作用线必过直杆的轴线。

根据作用力与反作用力关系，它的约束反力1F 、2F 作用于B 点，此外，绳子的拉力W （大小等于物体的重力）也作用于B 点，1F 、2F 、W 组成平面汇交力系，其受力图如图2-8(b)所示。

（3）根据平衡几何条件求出未知力。

当销子平衡时，三力组成一封闭力三角形，先画W ，过a 、b 点分别作2F 、1F 的平行线，汇交于c 点，于是得力三角形abc ，则bc 为1F 的大小，ca 为2F 的大小，力指向符合首尾相接的原则，如图2-8(c)所示。

由平衡几何关系求得：1cot 308.66F W =︒==KN 10230sin 2==︒=W WF KN根据受力图可知AB 杆为拉杆，BC 杆为压杆。

例2-2 起重机吊起的减速箱盖重力W =900N ，两根钢丝AB 和AC 与铅垂线的夹角分别为︒=45α，︒=30β,如图2-9(a)所示，试求箱盖匀速吊起时，钢丝绳AB 和AC 的张力。

图2-9解：（1）选择研究对象。

以箱盖为研究对象。

（2）受力分析，画受力图。

可以证明：作用在刚体上三个相互平衡的力，其作用线必相交于一点。

这样，已知力W 和待求的钢丝绳张力AB F 和AC F 都作用在箱盖上，并必汇交于吊环中心A 处，画出它的受力图如图2-9(b)所示。

（3）应用平衡几何条件，求出未知力。

W 、AB F 、AC F 必构成一自行封闭的力三角形。

已知W 的大小和方向以及AB F 、AC F 的方向，只是AB F 和AC F 的大小未知。

为此，先画W ，再过其两端a 和b 分别作直线平行于AB F 和AC F ，这两条线相交于c 点，于是得力三角形abc ，如图2-9(c)。

AB F 和AC F 的指向应符合首尾相接的原则。

可见，画力三角形是以受力图为依据。

若力三角形的几何关系不复杂，可运用三角公式来计算。

例如在本题中，由正弦定理得︒=︒=︒105sin 45sin 30sin WF F AC AB 于是得466900966.05.0105sin 30sin =⨯=︒︒=N W F AB N659900966.0707.0105sin 45sin =⨯=︒︒=N W F AC N若在画力三角形时，W 是按图2-9(c)中选定的作图比例尺画出，则可在力三角形中直接量出结果。

460≈AB F N, 660≈AC F N在工程中，当结构的几何尺寸关系复杂时，用作图法解题较为简便。

2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成的几何法，虽比较简单，但作图要十分准确，否则会引起较大的误差。

工程中应用得较多的是解析法。

这种方法主要是应用力在坐标轴上的投影作为基础来进行计算。

2.2.1 力的分解由上节知道，两个共点力，可以合成为一个合力，解答是唯一的；可是反过来，要把一个已知力分解为两个力，若无足够的条件限制，其解答将是不定的。

因为在力的平行四边形法则21F F R +=中，每一个矢量都包含有大小和方向两个要素，故上式共有六个要素，必须已知其中四个才能确定其余两个。

在已知合力大小和方向的条件下，还必须规定另外两个条件：例如，规定两个分力的方向；或两个分力的大小；或一个分力的大小和方向；或一个分力的大小和另一个分力的方向等。

所以要使问题有确定的解答，必须附加足够的条件。

在工程实际中经常会遇到要把一个力沿两个已知方向分解，求这两个分力大小的问题。

2.2.2 力在直角坐标系上的投影如图2-10(a)所示，设在平面直角坐标系Oxy 内，有一已知力F ，从力F 的两端A 和B 分别向x 、y 轴作垂线，得到线段ab 和''b a ，其中ab 为力F 在x 轴上的投影，以X 表示；''b a 为力F 在y 轴上的投影，以Y 表示。

并且规定：当力的始端到末端投影的方向与坐标轴的正向相同时，投影为正；反之为负。

图2-10(a)中的X 、Y 均为正值，图2-10(b)中的X 、Y 均为负值。

所以，力在坐标轴上的投影是代数量。

图2-10力的投影的大小可用三角公式计算，设力F 与x 轴的正向夹角为α，则对于图2-10(a)的情况为ααsin cos F Y F X == (2-7)对于图2-10(b)的情况为ααsin cos F Y F X -=-= (2-8)如将力F 沿x 、y 坐标轴分解，所得分力x F 、YF ，其值与力F 在同轴的投影X 、Y 值相等，但必须注意：力的投影与力的分量是两个不同的概念。

力的投影是代数量，而分力是矢量。

只在直角坐标系中，两者大小相等，投影的正、负号表明分力的指向。

2.2.3 合力投影定理合力投影定理建立了合力的投影与分力的投影之间的关系。

图2-11表示平面汇交力系的各力矢1F 、2F 、3F 、4F 组成的力多边形，R 为合力。

将力多边形中各力矢投影到x 轴上，由图可见de cd bc ab ae -++=图2-11按投影定义，上式左端为合力R 的投影，右端为四个分力的投影的代数和，即x x x x x F F F F X X X X R 43214321+++=+++=显然，上式可推广到任意多个力的情况，即∑==+++=+++=ni ix nx x x n x F F F F X X X R 12121...... (2-9)同理 ∑==+++=+++=ni iyny y y n y FF F F Y Y Y R 12121...... (2-10)于是可得结论：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。

这就是合力投影定理。

2.2.4 平面汇交力系合成的解析法求平面汇交力系合力的解析法，是用力在直角坐标轴上的投影，计算合力的大小，确定合力的方向。

设在刚体上的点O ，作用了由n 个力1F 、2F 、…n F 组成的平面汇交力系，如图2-12(a)所示，求合力的大小和方向。

设1X 和1Y 、2X 和2Y 、… 、n X 和n Y 分别表示力1F 、2F 、…、n F 在正交轴Ox 和Oy 上的投影。

根据合力投影定理，可求得合力R 在这两轴上的投影（图2-14b ）为：∑==+++=+++=ni ix nx x x n x F F F F X X X R 12121......∑==+++=+++=ni iy ny y y n y F F F F Y Y Y R 12121......图2-12根据式（2-3）可求得合力的大小和方向为：∑∑==+=+=ni ni i i y x Y X R R R 112222)()( (2-11)xy R R =αtan (2-12)式中的α表示合力与x 轴所夹的锐角，R 的实际指向由x R 、y R 的正负号决定。