2018年湖南省郴州市中考数学试卷(含解析)
2018年湖南省郴州市中考数学试卷及答案
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前湖南省郴州市2018年初中学业水平考试数学 ...................................................................... 1 湖南省郴州市2018年初中学业水平考试数学答案解析 (4)湖南省郴州市2018年初中学业水平考试数学(本试卷满分130分,考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题共24分)一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列实数：3,0,12,0.35,其中最小的实数是( )A .3B .0C.D .0.352.郴州市人民政府提出：在2 018年继续办好一批民生实事,加快补齐影响群众生活品质的短板,推进扶贫惠民工程,实现12.5万人脱贫,请用科学记数法表示125 000( ) A .51.2510⨯ B .60.12510⨯ C .412.510⨯D .61.2510⨯ 3.下列运算正确的是( )A .326 a a a =⋅B .221a a -=-C.-D .()()2224a a a +-=+4.如图,直线a ,b 被直线c 所截,下列条件中,不能判定a b ( ) A .24∠=∠ B .14180∠+∠=︒ C .54∠=∠D .13∠=∠5.如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形,它的主视图是( )ABCD6.甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示,下面结论不正确的是( ) A .甲超市的利润逐月减少B .乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C .8月份两家超市利润相同D .乙超市在9月份的利润必超过甲超市7.如图,60AOB ∠=︒,以点O 为圆心,以任意长为半径作弧交OA ,OB 于C ,D 两点；分别以C ,D 为圆心,以大于12CD 的长为半径作弧,两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ,在射线OP 上截取线段6OM =,则M 点到OB 的距离为 ( ) A .6B .2C .3D.8.如图,A ,B 是反比例函数4y x=在第一象限内的图象上的两点,且A ,B 两点的横坐标分别是2和4,则OAB △的面积是( ) A .4B .3C .2D .1第Ⅱ卷(非选择题共106分)二、填空题(每题3分,满分24分,将答案填在答题纸上) 9.计算：(2=__________.10.因式分解：3222a a b ab +-=__________.11.一个正多边形的每个外角为60︒,那么这个正多边形的内角和是__________. 12.在创建“平安校园”活动中,郴州市某中学组织学生干部在校门口值日,其中八位同学3月份值日的次数分别是：5,8,7,7,8,6,8,9,则这组数据的众数是__________. 13.已知关于x 的一元二次方程260x kx +-=有一个根为3-,则方程的另一个根为__________.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）14.则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是__________.(精确到0.01) 15.如图,圆锥的母线长为10 cm ,高为8 cm ,则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为__________cm .(结果用π表示)16.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的一个顶点在原点O 处,且60AOC ∠=︒,A 点的坐标是()0,4,则直线AC 的表达式是__________.三、解答题(本大题共10小题,共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分6分)计算1201812sin4|521--︒+-（-）-.18.(本小题满分6分)解不等式组：()3221 423 2 x x x x ⎧+-⎪⎨-≤-⎪⎩＞①②并把解集在数轴上表示出来.19.(本小题满分6分)如图,在ABCD 中,作对角线BD 的垂直平分线EF ,垂足为O ,分别交AD ,BC 于E ,F ,连接BE ,DF .求证：四边形BFDE 是菱形.20.(本小题满分8分)6月14日是“世界献血日”,某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血.献血时要对献血者的血型进行检测,检测结果有“A 型”、“B 型”、“AB 型”、“O 型”4种类型.在献血者人群中,随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计,并根据这个统计结果(1)这次随机抽取的献血者人数为__________人,m=__________； (2)补全上表中的数据；(3)若这次活动中该市有3 000人义务献血,请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人,其血型是A 型的概率是多少？并估计这3 000人中大约有多少人是A 型血？21.(本小题满分8分)郴州市正在创建“全国文明城市”,某校拟举办“创文知识”抢答赛,欲购买A 、B 两种奖品以鼓励抢答者.如果购买A 种20件,B 种15件,共需380元；如果购买A 种15件,B种10件,共需280元. (1)A 、B 两种奖品每件各多少元？(2)现要购买A 、B 两种奖品共100件,总费用不超过900元,那么A 种奖品最多购买多少件？ 22.(本小题满分8分)小亮在某桥附近试飞无人机,如图,为了测量无人机飞行的高度AD ,小亮通过操控器指令无人机测得桥头B ,C 的俯角分别为60EAB ∠=︒,30EAC ∠=︒,且D ,B ,C 在同一水平线上.已知桥30BC =米,求无人机飞行的高度AD (精确到0.01米.参考数1.414≈ 1.732)23.(本小题满分8分) 已知BC 是O 的直径,点D 是BC 延长线上一点,AB AD =,AE 是O 的弦,数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）30AEC ∠=︒.(1)求证：直线AD 是O 的切线；(2)若AE BC ⊥,垂足为M ,O 的半径为4,求AE 的长.24.(本小题满分8分)参照学习函数的过程与方法,探究函数()20x y x x-=≠的图象与性质. 因为221x y x x -==-,即21y x =-+,所以我们对比函数2y x=-来探究.描点：在平面直角坐标系中,以自变量x 的取值为横坐标,以y x=相应的函数值为纵坐标,描出相应的点,如图所示：(1)请把y 轴左边各点和右边各点,分别用一条光滑曲线顺次连接起来；(2)观察图象并分析表格,回答下列问题：①当0x ＜时,y 随x 的增大而__________；(填“增大”或“减小”) ②2x y x -=的图象是由2y x=-的图象向________平移________个单位而得到；③图象关于点__________中心对称.(填点的坐标)(3)设()11,A x y ,()22,B x y 是函数2x y x -=的图象上的两点,且120x x +=,试求123y y ++的值.25.(本小题满分10分)如图1,已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -,()3,0B 两点,与y 轴交于C 点,点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P 的横坐标为t .(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴为l ,l 与x 轴的交点为D .在直线l 上是否存在点M ,使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由. (3)如图2,连接BC ,PB ,PC ,设PBC △的面积为S . ①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值,并求出此时点P 的坐标.26.(本小题满分12分)在矩形ABCD 中,AD AB ＞,点P 是CD 边上的任意一点(不含C ,D 两端点),过点P 作PF BC ∥,交对角线BD 于点F .(1)如图1,将PDF △沿对角线BD 翻折得到QDF △,QF 交AD 于点E . 求证：DEF △是等腰三角形；(2)如图2,将PDF △绕点D 逆时针方向旋转得到''P DF △,连接'P C ,'F B .设旋转角为()0180αα︒︒＜＜.①若0BDC α︒∠＜＜,即'DF 在BDC ∠的内部时,求证：''DP C DF B △∽△. ②如图3,若点P 是CD 的中点,'DF B △能否为直角三角形？如果能,试求出此时tan 'DBF ∠的值,如果不能,请说明理由.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________。
湖南省郴州市2018年中考数学真题试题(含解析)
1拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
2答题顺序：从卷首依次开始一般来讲，全卷大致是先易后难的排列。
所以，正确的做法是从卷首开始依次做题，先易后难，最后攻坚。
但也不是坚决地“依次”做题，虽然考卷大致是先易后难，但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的，执着程度适当，才能绕过难题，先做好有保证的题，才能尽量多得分。
3答题策略答题策略一共有三点： 1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
4学会分段得分。
不会做的会做的题目要特别注意表达准确、书写规范、语言科学，防止被“分段扣点分”题目我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。
如果不能，说明这个途径不。
如对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”果题目有多个问题，也可以跳步作答，先回答自己会的问题。
5立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
6确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
7要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
2018年湖南省郴州市中考数学试卷及答案解析(含答案解析)-精选
2018年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3.00分）下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（）A．3 B．0 C．D．0.352．（3.00分）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000（）A．1.25×105B．0.125×106C．12.5×104D．1.25×1063．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6 B．a﹣2=﹣C．3﹣2=D．（a+2）（a﹣2）=a2+44．（3.00分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180°C．∠5=∠4 D．∠1=∠35．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3.00分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市7．（3.00分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．8．（3.00分）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．（3.00分）计算：= ．10．（3.00分）因式分解：a3﹣2a2b+ab2= ．11．（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是．12．（3.00分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是．13．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为．14．（3.00分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：抽取瓷砖数n100300400600100020003000合格品数m9628238257094919062850合格品频率0.9600.940.9550.950.9490.9530.95则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是．（精确到0.01）15．（3.00分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）16．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6.00分）计算|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．18．（6.00分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．19．（6.00分）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．20．（8.00分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：血型A B AB O人数105（1）这次随机抽取的献血者人数为人，m= ；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？21．（8.00分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？22．（8.00分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）23．（8.00分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．24．（10.00分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y=﹣…124﹣4﹣11﹣﹣…y=…235﹣3﹣10…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=﹣的图象向平移个单位而得到；③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．25．（10.00分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．26．（12.00分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．2018年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3.00分）下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（）A．3 B．0 C．D．0.35【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣＜0＜0.35＜＜3，所以最小的实数是﹣．故选：C．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（3.00分）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000（）A．1.25×105B．0.125×106C．12.5×104D．1.25×106【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决．【解答】解：125000=1.25×105，故选：A．【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．3．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6 B．a﹣2=﹣C．3﹣2=D．（a+2）（a﹣2）=a2+4【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算得出答案．【解答】解：A、a3•a2=a5，故此选项错误；B、a﹣2=，故此选项错误；C、3﹣2=，故此选项正确；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3.00分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180°C．∠5=∠4 D．∠1=∠3【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可．【解答】解：由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；由∠1=∠3，不能得到a∥b；故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．5．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到几何体的上面看所得到的图形即可．【解答】解：从几何体的上面看可得，故选：B．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．6．（3.00分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．【解答】解：A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．7．（3.00分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．【解答】解：过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB=×60°=30°，∴ME=OM=3．故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．8．（3.00分）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =（BD+AC ）•CD=（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3．【解答】解：∵A ，B 是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x=2时，y=2，即A （2，2）， 当x=4时，y=1，即B （4，1）．如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则S △AOC =S △BOD =×4=2． ∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ， ∴S △AOB =S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC =（BD+AC ）•CD=（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3． 故选：B ．【点评】本题考查了反比例函数中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积．二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上） 9．（3.00分）计算：= 3 ．【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果． 【解答】解：原式=3． 故答案为：3【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．10．（3.00分）因式分解：a3﹣2a2b+ab2= a（a﹣b）2．【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=a（a2﹣2ab+b2）=a（a﹣b）2．故答案为：a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是720°．【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．【解答】解：这个正多边形的边数为=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°．故答案为720°．【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．12．（3.00分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是8 ．【分析】根据众数的定义即可判断．【解答】解：这组数据8出现的次数最多，所以众数为8，故答案为8．【点评】本题考查众数的定义，记住在一组数据中次数出现最多的数是这组数据的众数．13．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为2 ．【分析】根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．【解答】解：设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，解得：a=2，故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．14．（3.00分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：抽取瓷砖数n100300400600100020003000合格品数m9628238257094919062850合格品频率0.9600.940.9550.950.9490.9530.95则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95 ．（精确到0.01）【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．【解答】解：由击中靶心频率都在0.95上下波动，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，故答案为：0.95．【点评】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．15．（3.00分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为12πcm．（结果用π表示）【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．【解答】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r==6，∴2πr=2π×6=12π，故答案为：12π．【点评】此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．16．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是y=﹣x+4 ．【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，根据待定系数法，可得答案．【解答】解：如图，由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC=OA=4．又∵∠1=60°，∴∠2=30°．sin∠2==，∴CD=2．cos∠2=cos30°==，OD=2，∴C（2，2）．设AC的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入函数解析式，得，解得，直线AC的表达式是y=﹣x+4，故答案为：y=﹣x+4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6.00分）计算|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018=﹣1﹣2×+0.5﹣1=﹣1.5【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．（6.00分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x＞﹣4，解不等式②，得：x≤0，则不等式组的解集为﹣4＜x≤0，将解集表示在数轴上如下：【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．（6.00分）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．【解答】证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF是解题关键．20．（8.00分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：血型A B AB O人数12 10523（1）这次随机抽取的献血者人数为50 人，m= 20 ；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；（3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此概率可估计这3000人中是A型血的人数．【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），所以m=×100=20；故答案为50，20；（2）O型献血的人数为46%×50=23（人），A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23=12（人），如图，故答案为12，23；（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率==，3000×=720，估计这3000人中大约有720人是A型血．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图．21．（8.00分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【解答】解：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：．答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤．∵a为整数，∴a≤41．答：A种奖品最多购买41件．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，找出关于a的一元一次不等式．22．（8.00分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=AD、BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度．【解答】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD=30，∴AD=15≈25.98．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD、BD=AD是解题的关键．23．（8.00分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠A OC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，∴AE=2AM=4．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出∠AOC=60°是解本题的关键．24．（10.00分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y=﹣…124﹣4﹣11﹣﹣…y=…235﹣3﹣10…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x 的增大而增大；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移 1 个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可； （2）利用图象法即可解决问题；（3）根据中心对称的性质，可知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）关于（0，1）对称，由此即可解决问题；【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； ②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标） 故答案为增大，上，1，（0，1）（3）∵x 1+x 2=0， ∴x 1=﹣x 2，∴A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）关于（0，1）对称， ∴y 1+y 2=2，∴y1+y2+3=5．【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（10.00分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t ≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==3，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．26．（12.00分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【解答】解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形，（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，。
湖南省郴州市2018年中考数学试卷(解析版)
2018年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（）A. 3B. 0C.D. 0.35【答案】C【解析】【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】根据实数比较大小的方法，可得﹣＜0＜0.35＜＜3，所以最小的实数是﹣，故选C．【点睛】本题考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2. 郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000（）A. 1.25×105B. 0.125×106C. 12.5×104D. 1.25×106【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】125000的小数点向左移动5位得到1.25，所以，125000用科学记数法表示为：1.25×105，故选A.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 下列运算正确的是（）A. a3•a2=a6B. a﹣2=﹣C. 3﹣2=D. （a+2）（a﹣2）=a2+4【答案】C【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、负指数幂的性质、二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算即可得出答案．【详解】A、a3•a2=a5，故A选项错误；B、a﹣2=，故B选项错误；C、3﹣2=，故C选项正确；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故D选项错误，故选C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．4. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...A. ∠2=∠4B. ∠1+∠4=180°C. ∠5=∠4D. ∠1=∠3【答案】D【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可．【详解】由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；由∠1=∠3，不能得到a∥b，故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解题的关键. 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．5. 如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据主视图是从几何体正面看得到的图形即可得到答案.【详解】从正面看可以看到有3列小正方形，从左至右小正方体的数目分别为1、2、1，所以主视图为：，故选B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．6. 甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A. 甲超市的利润逐月减少B. 乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C. 8月份两家超市利润相同D. 乙超市在9月份的利润必超过甲超市【答案】D【解析】【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．【详解】A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确，不符合题意；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确，不符合题意；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确，不符合题意；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误，符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．7. 如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D 为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A. 6B. 2C. 3D.【答案】C【解析】【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．【详解】如图，过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB=×60°=30°，∴ME=OM=3，故选C．【点睛】本题考查了基本作图——作角平分线、含30度角的直角三角形的性质，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．8. 如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=×（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3．【详解】∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∴当x=2时，y=2，即A（2，2），当x=4时，y=1，即B（4，1），如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=×4=2，∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，∴S△AOB=S梯形ABDC，∵S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=×（1+2）×2=3，∴S△AOB=3，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S与k的关系为S=|k|是解题的关键．二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9. 计算：=_____．【答案】3【解析】【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．【详解】=3，故答案为：3【点睛】本题考查了二次根式的平方，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．10. 因式分解：a3﹣2a2b+ab2=_____．【答案】a（a﹣b）2．【解析】【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．【详解】原式=a（a2﹣2ab+b2）=a（a﹣b）2，故答案为：a（a﹣b）2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．【答案】720°【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．【详解】这个正多边形的边数为=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，故答案为：720°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．12. 在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是_____．【答案】8【解析】【分析】根据众数的定义进行求解即可得答案.【详解】这组数据中数据8出现了3次，出现的次数最多，所以众数为8，故答案为：8．【点睛】本题考查众数的定义，熟知在一组数据中次数出现最多的数是这组数据的众数是解题的关键．13. 已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为_____．【答案】2【解析】【分析】设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．【详解】设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，解得：a=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．14. 某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：合格品频率则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是_____．（精确到0.01）【答案】0.95【解析】【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．【详解】由生产的瓷砖是合格品的频率都在0.95上下波动，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，故答案为：0.95．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．15. 如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为_____cm．（结果用π表示）【答案】【解析】【分析】先求出圆锥的底面半径，然后根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式进行求解即可．【详解】设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r==6，∴2πr=2π×6=12π，故答案为：12π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系．16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是_____．【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，从而可得点C 坐标，然后再根据待定系数法，即可求得直线AC的表达式.【详解】如图，由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC=OA=4，又∵∠1=60°，∴∠2=30°，sin∠2=，∴CD=2，cos∠2=cos30°=，OD=2，∴C（2，2），设AC的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入函数解析式，得，解得，直线AC的表达式是y=﹣x+4，故答案为：y=﹣x+4．【点睛】本题考查了菱形的性质、待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C点坐标是解题关键．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 计算|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．【答案】-1.5.【解析】【分析】按顺序先进行绝对值化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的计算、乘方的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018==-1.5.【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到特殊角的三角函数值、负指数幂的运算等，熟练掌握特殊角的三角函数值以及各运算的运算法则是解题的关键.18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】﹣4＜x≤0，在数轴上表示见解析.【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【详解】解不等式①，得：x＞﹣4，解不等式②，得：x≤0，则不等式组的解集为﹣4＜x≤0，将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19. 如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．【详解】∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）,∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF是解题关键．20. 6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：（1）这次随机抽取的献血者人数为人，m= ；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A 型血？【答案】（1）50，20；（2）12，23；见图；（3）大约有720人是A型血．【解析】【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后用B型的人数除以抽取的总人数即可求得m的值；（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；（3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此概率可估计这3000人中是A型血的人数．【详解】（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），所以m=×100=20，故答案为50，20；（2）O型献血的人数为46%×50=23（人），A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23=12（人），补全表格中的数据如下：故答案为12，23；（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率=，3000×=720，估计这3000人中大约有720人是A型血．【点睛】本题考查了扇形统计图、统计表、概率公式、用样本估计总体等，读懂统计图、统计表，从中找到必要的信息是解题的关键；随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．21. 郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【答案】（1）A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）A种奖品最多购买41件．【解析】【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【详解】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：，答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤，∵a为整数，∴a≤41，答：A种奖品最多购买41件．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据不等关系，正确列出不等式. 22. 小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）【答案】25.98米.【解析】【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=AD、BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度．【详解】∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD=30，∴AD=15≈25.98，答：无人机飞行的高度AD为25.98米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD、BD=AD是解题的关键．23. 已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．【详解】（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，∴AE=2AM=4．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键．24. 参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=﹣的图象向平移个单位而得到；③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．【答案】(1)图象见解析；（2）增大，上，1，（0，1）；（3）5.【解析】【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；（2）观察图象，利用图象法即可解决问题；（3）根据中心对称的性质，可知A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解决问题.【详解】（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称，故答案为：①增大；②上，1；③（0，1）；（3）∵x1+x2=0，∴x1=﹣x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，∴y1+y2=2，∴y1+y2+3=5．【点睛】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．25. 如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+；②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=，∴P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．26. 在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②或.【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴，∴△DP'C∽△DF'B；②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=BD，∴，∴tan∠DBF′=；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB，不符合题意；当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=BD，∴∠DBF′=30°，∴tan∠DBF′=.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.。
2018年湖南省郴州市中考数学试卷-答案
湖南省郴州市2018年初中学业水平考试数学答案解析1．【答案】C【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得， 100.3532＜＜＜所以最小的实数是C ．【考点】实数大小比较的方法．2．【答案】A【解析】解：，故选：A ．5125000 1.2510=⨯【考点】科学记数法﹣表示较大的数．3．【答案】C【解析】解：，故此选项错误；325.A a a a ⋅=B.，故此选项错误； 221a a-=C.，故此选项正确；-=D.，故此选项错误．故选：C ．()()2224a a a +-=-【考点】同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，．4．【答案】D【解析】解：由或或，可得； 24∠=∠14180∠+∠=︒54∠=∠ab ∥由，不能得到；故选：D ． 13∠=∠ab ∥【考点】平行线的判定．5．【答案】B【解析】解：从几何体的上面看可得，故选：B ．【考点】简单几何体的三视图．6．【答案】D 【解析】解：A.甲超市的利润逐月减少，此选项正确；B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；C.8月份两家超市利润相同，此选项正确；D.乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；故选：D ．【考点】折线统计图．7．【答案】C【解析】解：过点作于点，M ME OB ⊥E 由题意可得：是的角平分线，OP AOB ∠则， 160302POB ∠=⨯︒=︒．故选：C ． 132ME OM ∴==【考点】基本作图以及含30度角的直角三角形．8．【答案】B【解析】解：，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点A B 4y x =A B 的横坐标分别是2和4，当时，，即，∴2x =2y =()2,2A 当时，，即． 4x =1y =()4,1B如图，过，两点分别作轴于，轴于， A B AC x ⊥CBD x ⊥D 则． 1422AOC BOD S S ==⨯=△△，AO B BO D AO C AO D B ABD C S S S S S =+=+ △△△四边形梯形，A OB A B DC S S ∴=△梯形， ()()11 122322ABDC S BD AC CD =+⋅=+⨯= 梯形．故选：B ．3AO B S ∴=△【考点】反比例函数中的几何意义． k y x=k 9．【答案】3【解析】解：原式．3=故答案为：3 【考点】二次根式的乘除法．10．【答案】()2a a b -【解析】解：原式 ()222a a ab b -=+．()2a a b =-故答案为：．()2a a b -【考点】提公因式法与公式法的综合运用．11．【答案】..720︒【解析】解：这个正多边形的边数为， 360660︒=︒所以这个正多边形的内角和．故答案为．()62180720=-⨯︒=︒720︒【考点】多边形内角与外角．12．【答案】8【解析】解：这组数据8出现的次数最多，所以众数为8，故答案为8．【考点】本题考查众数的定义，记住在一组数据中次数出现最多的数是这组数据的众数．13．【答案】2【解析】解：设方程的另一个根为，a 则根据根与系数的关系得：，36a -=-解得：，故答案为：2．2a =【考点】根与系数的关系和一元二次方程的解．14．【答案】0.95【解析】解：由击中靶心频率都在0.95上下波动，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，故答案为：0.95．【考点】利用频率估计概率的思想．15．【答案】12π【解析】解：设底面圆的半径为， cm r由勾股定理得：， 6r =，2πr 2π612π∴=⨯=故答案为：．12π【考点】圆锥的计算．16．【答案】 4y x =+【解析】解：如图，由菱形的一个顶点在原点处，点的坐标是，得OABC O A ()0,4．4OC OA ==又，．160∠=︒ 230∴∠=︒， 1sin 22OD OC ∠==． 2CD ∴=， cos 2cos30OD OC ∠=︒==O D =．2C ∴（）设的解析式为，AC y kx b =+将，点坐标代入函数解析式，得A C ，24b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得，4k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩直线的表达式是，AC 4y x =+故答案为：．4y x =+【考点】待定系数法求一次函数解析式．17．【答案】解()2018112sin45|12--︒+﹣-：120.51=--⨯+-1.5=-【考点】实数的运算．18．【答案】解：解不等式①，得：，4x ＞-解不等式②，得：，0x ≤则不等式组的解集为，40x -≤＜将解集表示在数轴上如下：【考点】一元一次不等式组．19．【答案】证明：在中，为对角线的中点， ABCD O BD ，，BO DO ∴=EDB FBO ∠=∠在和中，EOD △FOB △， EDO FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩；DOE BOF ASA ∴△≌△（），OE OF ∴=又，OB OD = 四边形是平行四边形，∴E B F D，四边形为菱形．EF BD ⊥ ∴BFDE 【考点】菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．20．【答案】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为（人），510%50÷=所以； 101002050m =⨯=故答案为50，20；（2）O 型献血的人数为（人），46%5023⨯=A 型献血的人数为（人），501052312---=如图，故答案为12，23；（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A 型的概率， 1265025==， 6300072025⨯=估计这3000人中大约有720人是A 型血．【考点】概率公式、统计图．21．【答案】解：（1）设A 种奖品每件元，B 种奖品每件元， x y 根据题意得：， 20153801510280x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：． 164x y =⎧⎨=⎩答：A 种奖品每件16元，B 种奖品每件4元．（2）设A 种奖品购买件，则B 种奖品购买件，a 100a -（）根据题意得：， ()164100900a a +-≤解得：． 1253a ≤为整数，．a 41a ∴≤答：A 种奖品最多购买41件．【考点】一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用．22．【答案】解：，，60EAB ∠=︒ 30EAC ∠=︒，，60CAD ∴∠=︒30BAD ∠=︒，， tan C D AD C AD ∴=⋅∠=BD AD tan BAD AD =⋅∠=， 30BC CD BD AD ∴=-==．25.98AD ∴=≈【考点】直角三角形的应用中的仰角俯角问题．。
2018年湖南省郴州市中考数学试卷及答案解析
2018年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3.00分）下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（）A．3 B．0 C．D．0.352．（3.00分）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000（）A．1.25×105B．0.125×106C．12.5×104D．1.25×1063．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6 B．a﹣2=﹣C．3﹣2=D．（a+2）（a﹣2）=a2+4 4．（3.00分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180°C．∠5=∠4 D．∠1=∠35．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3.00分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市7．（3.00分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．8．（3.00分）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．（3.00分）计算：=．10．（3.00分）因式分解：a3﹣2a2b+ab2=．11．（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是．12．（3.00分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是．13．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为．14．（3.00分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：抽取瓷砖数n100300400600100020003000合格品数m9628238257094919062850合格品频率0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是．（精确到0.01）15．（3.00分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）16．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6.00分）计算|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．18．（6.00分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．19．（6.00分）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．20．（8.00分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：血型A B AB O人数105（1）这次随机抽取的献血者人数为人，m=；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？21．（8.00分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？22．（8.00分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）23．（8.00分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．24．（10.00分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y=﹣…124﹣4﹣11﹣﹣…y=…235﹣3﹣10…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=﹣的图象向平移个单位而得到；③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．25．（10.00分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．26．（12.00分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．2018年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3.00分）下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（）A．3 B．0 C．D．0.35【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣＜0＜0.35＜＜3，所以最小的实数是﹣．故选：C．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（3.00分）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000（）A．1.25×105B．0.125×106C．12.5×104D．1.25×106【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决．【解答】解：125000=1.25×105，故选：A．【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．3．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6 B．a﹣2=﹣C．3﹣2=D．（a+2）（a﹣2）=a2+4【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算得出答案．【解答】解：A、a3•a2=a5，故此选项错误；B、a﹣2=，故此选项错误；C、3﹣2=，故此选项正确；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3.00分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180°C．∠5=∠4 D．∠1=∠3【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可．【解答】解：由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；由∠1=∠3，不能得到a∥b；故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．5．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到几何体的上面看所得到的图形即可．【解答】解：从几何体的上面看可得，故选：B．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．6．（3.00分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．【解答】解：A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．7．（3.00分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．【解答】解：过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB=×60°=30°，∴ME=OM=3．故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP 是∠AOB的角平分线是解题关键．8．（3.00分）如图，A ，B 是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S△BOD=S △AOC +S梯形ABDC ，得出S △AOB =S梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC =（BD +AC ）•CD=（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3．【解答】解：∵A ，B 是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4， ∴当x=2时，y=2，即A （2，2）， 当x=4时，y=1，即B （4，1）．如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则S △AOC =S △BOD =×4=2． ∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ， ∴S △AOB =S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC =（BD +AC ）•CD=（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3． 故选：B ．【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积．二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．（3.00分）计算：=3．【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．【解答】解：原式=3．故答案为：3【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．10．（3.00分）因式分解：a3﹣2a2b+ab2=a（a﹣b）2．【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=a（a2﹣2ab+b2）=a（a﹣b）2．故答案为：a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是720°．【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．【解答】解：这个正多边形的边数为=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°．故答案为720°．【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．12．（3.00分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是8．【分析】根据众数的定义即可判断．【解答】解：这组数据8出现的次数最多，所以众数为8，故答案为8．【点评】本题考查众数的定义，记住在一组数据中次数出现最多的数是这组数据的众数．13．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为2．【分析】根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．【解答】解：设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，解得：a=2，故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．14．（3.00分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：抽取瓷砖数n100300400600100020003000合格品数m9628238257094919062850合格品频率0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95．（精确到0.01）【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．【解答】解：由击中靶心频率都在0.95上下波动，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，故答案为：0.95．【点评】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．15．（3.00分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为12πcm．（结果用π表示）【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．【解答】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r==6，∴2πr=2π×6=12π，故答案为：12π．【点评】此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．16．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是y=﹣x+4．【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，根据待定系数法，可得答案．【解答】解：如图，由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC=OA=4．又∵∠1=60°，∴∠2=30°．sin∠2==，∴CD=2．cos∠2=cos30°==，OD=2，∴C（2，2）．设AC的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入函数解析式，得，解得，直线AC的表达式是y=﹣x+4，故答案为：y=﹣x+4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C 点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6.00分）计算|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018=﹣1﹣2×+0.5﹣1=﹣1.5【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．（6.00分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x＞﹣4，解不等式②，得：x≤0，则不等式组的解集为﹣4＜x≤0，将解集表示在数轴上如下：【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．（6.00分）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE 为菱形．【解答】证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF是解题关键．20．（8.00分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：血型A B AB O人数1210523（1）这次随机抽取的献血者人数为50人，m=20；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；（3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此概率可估计这3000人中是A型血的人数．【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），所以m=×100=20；故答案为50，20；（2）O型献血的人数为46%×50=23（人），A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23=12（人），如图，故答案为12，23；（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率==，3000×=720，估计这3000人中大约有720人是A型血．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图．21．（8.00分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【解答】解：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：．答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤．∵a为整数，∴a≤41．答：A种奖品最多购买41件．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，找出关于a的一元一次不等式．22．（8.00分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=AD、BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度．【解答】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD=30，∴AD=15≈25.98．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD、BD=AD是解题的关键．23．（8.00分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，∴AE=2AM=4．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出∠AOC=60°是解本题的关键．24．（10.00分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y=﹣…124﹣4﹣11﹣﹣…y=…235﹣3﹣10…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而增大；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；（2）利用图象法即可解决问题；（3）根据中心对称的性质，可知A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解决问题；【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）故答案为增大，上，1，（0，1）（3）∵x1+x2=0，∴x1=﹣x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，∴y1+y2=2，∴y1+y2+3=5．【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（10.00分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==3，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．26．（12.00分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF 是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【解答】解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形，（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴，∴△DP'C∽△DF'B②当∠F′DB=90°时，如图所示，。
2018年湖南省郴州市中考数学试卷
2018年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（ ） 12‒2A ．3 B ．0 C ． D ．0.35‒2【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得 ﹣＜0＜0.35＜＜3， 212所以最小的实数是﹣．2故选：C ．2．（3分）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000为（ ）A ．1.25×105B ．0.125×106C ．12.5×104D ．1.25×106【解答】解：125000=1.25×105，故选：A ．3．（3分）下列运算正确的是（ ）A ．a 3•a 2=a 6B ．a ﹣2=﹣C ．3﹣2=D ．（a +2）（a﹣2）=a 2+4 1a 2333【解答】解：A 、a 3•a 2=a 5，故此选项错误；B 、a ﹣2=，故此选项错误；1a 2C 、3﹣2=，故此选项正确；333D 、（a +2）（a﹣2）=a 2﹣4，故此选项错误．故选：C ．4．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b （ ）A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3【解答】解：由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；由∠1=∠3，不能得到a∥b；故选：D．5．（3分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（ ）A．B．C．D．【解答】解：从几何体的上面看可得，故选：B．6．（3分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（ ）A ．甲超市的利润逐月减少B ．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C ．8月份两家超市利润相同D ．乙超市在9月份的利润必超过甲超市【解答】解：A 、甲超市的利润逐月减少，此选项正确；B 、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；C 、8月份两家超市利润相同，此选项正确；D 、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；故选：D ．7．（3分）如图，∠AOB=60°，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB于C ，D 两点；分别以C ，D 为圆心，以大于CD 的长为半径作弧，两弧相交于12点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 上截取线段OM=6，则M 点到OB 的距离为（ ）A ．6B ．2C ．3D ．33【解答】解：过点M 作ME ⊥OB 于点E ，由题意可得：OP 是∠AOB 的角平分线，则∠POB=×60°=30°， 12∴ME=OM=3． 12故选：C ．8．（3分）如图，A ，B 是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且4xA ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：∵A ，B 是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A ，4xB 两点的横坐标分别是2和4，∴当x=2时，y=2，即A （2，2），当x=4时，y=1，即B （4，1）．如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则S △AOC =S △BOD =×124=2．∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，∴S △AOB =S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC =（BD +AC ）•CD=（1+2）×2=3， 1212∴S △AOB =3．故选：B ．二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．（3分）计算：= 3 ．(‒3)2【解答】解：原式=3．故答案为：310．（3分）因式分解：a 3﹣2a 2b +ab 2= a （a﹣b ）2 ．【解答】解：原式=a （a 2﹣2ab +b 2）=a （a﹣b ）2．故答案为：a （a﹣b ）2．11．（3分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 720° ．【解答】解：这个正多边形的边数为=6， 360°60°所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°．故答案为720°．12．（3分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是 8 ．【解答】解：这组数据8出现的次数最多，所以众数为8，故答案为8．13．（3分）已知关于x 的一元二次方程x 2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为 2 ．【解答】解：设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：﹣3a=﹣6，解得：a=2，故答案为：2．14．（3分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示：抽取瓷砖数n100300400600100020003000合格品数m9628238257094919062850合格品频率mn0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是 0.95 ．（精确到0.01）【解答】解：由击中靶心频率都在0.95上下波动，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，故答案为：0.95．15．（3分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 12π cm．（结果用π表示）【解答】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r==6，102‒82∴2πr=2π×6=12π，故答案为：12π．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A 点的坐标是（0，4），则直线AC 的表达式是 y=﹣x +4 ． 33【解答】解：如图，由菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，A 点的坐标是（0，4），得OC=OA=4．又∵∠1=60°，∴∠2=30°． sin ∠2==， CD OC 12∴CD=2． cos ∠2=cos30°==， OD OC 32OD=2，3∴C （2，2）．3设AC 的解析式为y=kx +b ，将A ，C 点坐标代入函数解析式，得，{23k +b =2b =4解得， {k =‒33b =4直线AC 的表达式是y=﹣x +4， 33故答案为：y=﹣x +4． 33三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6分）计算：|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．2【解答】解：|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018 2=﹣1﹣2×+0.5﹣1 222=﹣1.518．（6分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．{3x +2＞2(x ‒1)，①4x ‒2≤3x ‒2②【解答】解：解不等式①，得：x ＞﹣4，解不等式②，得：x ≤0，则不等式组的解集为﹣4＜x ≤0，将解集表示在数轴上如下：19．（6分）如图，在▱ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD ，BC 于E ，F ，连接BE ，DF ．求证：四边形BFDE 是菱形．【解答】证明：∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中，， {∠EDO =∠FBO OD =OB ∠EOD =∠FOB∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．20．（8分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A 型”、“B 型”、“AB 型”、“O 型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表： 血型A B AB O 人数 12 10 5 23 （1）这次随机抽取的献血者人数为 50 人，m= 20 ；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A 型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A 型血？【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），所以m=×100=20； 1050故答案为50，20；（2）O 型献血的人数为46%×50=23（人），A 型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23=12（人），如图，故答案为12，23；（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A 型的概率==， 12506253000×=720， 625估计这3000人中大约有720人是A 型血．21．（8分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A 、B 两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A 种20件，B 种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B 种10件，共需280元．（1）A 、B 两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A 、B 两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A 种奖品最多购买多少件？【解答】解：（1）设A 种奖品每件x 元，B 种奖品每件y 元，根据题意得：，{20x +15y =38015x +10y =280解得：．{x =16y =4答：A 种奖品每件16元，B 种奖品每件4元．（2）设A 种奖品购买a 件，则B 种奖品购买（100﹣a ）件，根据题意得：16a +4（100﹣a ）≤900，解得：a ≤． 1253∵a 为整数，∴a ≤41．答：A 种奖品最多购买41件．22．（8分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D ，B ，C 在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD ．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732） 23【解答】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan ∠CAD=AD ，BD=AD•tan ∠BAD=AD ， 333∴BC=CD﹣BD=AD=30， 233∴AD=15≈25.98．3 23．（8分）已知BC 是⊙O 的直径，点D 是BC 延长线上一点，AB=AD ，AE 是⊙O 的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD 是⊙O 的切线；（2）若AE ⊥BC ，垂足为M ，⊙O 的半径为4，求AE 的长．【解答】解：（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD ，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA ，∴OA=OB ，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA ⊥AD ，∵点A 在⊙O 上，∴直线AD 是⊙O 的切线；（2）连接OA ，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC ⊥AE 于M ，∴AE=2AM ，∠OMA=90°，在Rt △AOM 中，AM=OA•sin ∠AOM=4×sin60°=2，3∴AE=2AM=4．324．（10分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性x ‒2x(x ≠0)质．因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究． x ‒2x =1‒2x 2x 2x列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 12121 2 3 4 … y=﹣ 2x… 12 231 2 4 ﹣4 ﹣1 1 ﹣ 23﹣ 12… y= x ‒2x … 32 532 3 5 ﹣3 ﹣1 0 13 12…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以y=相应的函x ‒2x数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x ＜0时，y 随x 的增大而 增大 ；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=﹣的图象向 上 平移 1 个单位而得到； x ‒2x 2x③图象关于点 （0，1） 中心对称．（填点的坐标）（3）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是函数y=的图象上的两点，且x 1+x 2=0，x ‒2x试求y 1+y 2+3的值．【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移1个单位而得到； x ‒2x 2x③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）故答案为增大，上，1，（0，1）（3）∵x 1+x 2=0，∴x 1=﹣x 2，∴A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）关于（0，1）对称，∴y 1+y 2=2，∴y 1+y 2+3=5．25．（10分）如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．【解答】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y=﹣x 2+bx +c ，，解得：， {‒1‒b +c =0‒9+3b +c =0{b =2c =3∴抛物线的表达式为y=﹣x 2+2x +3．（2）在图1中，连接PC ，交抛物线对称轴l 于点E ，∵抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C 、P 关于直线l 对称，此时存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x 2+2x +3，∴点C 的坐标为（0，3），点P 的坐标为（2，3），∴点M 的坐标为（1，6）；当t ≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM 是平行四边形，则CE=PE ，∵点C 的横坐标为0，点E 的横坐标为0，∴点P 的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t ≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P 作PF ∥y 轴，交BC 于点F ．设直线BC 的解析式为y=mx +n （m ≠0），将B （3，0）、C （0，3）代入y=mx +n ，，解得：， {3m +n =0n =3{m =‒1n =3∴直线BC 的解析式为y=﹣x +3．∵点P 的坐标为（t ，﹣t 2+2t +3），∴点F 的坐标为（t ，﹣t +3），∴PF=﹣t 2+2t +3﹣（﹣t +3）=﹣t 2+3t ，∴S=PF•OB=﹣t 2+t=﹣（t﹣）2+． 1232923232278②∵﹣＜0， 32∴当t=时，S 取最大值，最大值为． 32278∵点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3），∴线段BC==3，OB 2+OC 22∴P 点到直线BC 的距离的最大值为=，此时点P 的坐标为（，）． 278×2329283215426．（12分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P 是CD 的中点，△DF'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan ∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ ，∵PF ∥BC ，∴∠DFP=∠ADF ，∴∠DFQ=∠ADF ，∴△DEF 是等腰三角形，（2）①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF ，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC ，∴∠P′DC=∠F′DB ，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF ，∵PF ∥BC ，∴△DPF ∽△DCB ，∴△DP′F′∽△DCB∴， DC DB =DP 'DF '∴△DP'C ∽△DF'B②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=BD ， 12∴=， DF 'BD 12∴tan ∠DBF′==， DF 'BD 12当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意，当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=BD ， 12∴∠DBF′=30°，∴tan∠DBF′=3 3。
2018年湖南省郴州市中考数学试卷(解析版)
2018年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（）A．3B．0C．D．0.352．（3分）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000为（）A．1.25×105B．0.125×106C．12.5×104D．1.25×106 3．（3分）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a﹣2＝﹣C．3﹣2＝D．（a+2）（a﹣2）＝a2+44．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2＝∠4B．∠1+∠4＝180°C．∠5＝∠4D．∠1＝∠3 5．（3分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市7．（3分）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D 两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则M点到OB的距离为（）A．6B．2C．3D．8．（3分）如图，A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．（3分）计算：＝．10．（3分）因式分解：a3﹣2a2b+ab2＝．11．（3分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是．12．（3分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是．13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为．14．（3分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示：率则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是．（精确到0.01）15．（3分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC＝60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6分）计算：|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．18．（6分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．19．（6分）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．20．（8分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：（1）这次随机抽取的献血者人数为人，m＝；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？21．（8分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？22．（8分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）23．（8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．24．（10分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝的图象与性质．因为y ＝，即y ＝﹣+1，所以我们对比函数y ＝﹣来探究．列表：﹣描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②y＝的图象是由y＝﹣的图象向平移个单位而得到；③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝的图象上的两点，且x1+x2＝0，试求y1+y2+3的值．25．（10分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．26．（12分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．2018年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣＜0＜0.35＜＜3，所以最小的实数是﹣．故选：C．2．【解答】解：125000＝1.25×105，故选：A．3．【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；B、a﹣2＝，故此选项错误；C、3﹣2＝，故此选项正确；D、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故此选项错误．故选：C．4．【解答】解：由∠2＝∠4或∠1+∠4＝180°或∠5＝∠4，可得a∥b；由∠1＝∠3，不能得到a∥b；故选：D．5．【解答】解：从几何体的上面看可得，故选：B．6．【解答】解：A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；故选：D．7．【解答】解：过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB＝×60°＝30°，∴ME＝OM＝3．故选：C．8．【解答】解：∵A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2），当x＝4时，y＝1，即B（4，1）．如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．∵S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，∴S△AOB＝S梯形ABDC，∵S梯形ABDC＝（BD+AC）•CD＝（1+2）×2＝3，∴S△AOB＝3．故选：B．二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．【解答】解：原式＝3．故答案为：310．【解答】解：原式＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2．故答案为：a（a﹣b）2．11．【解答】解：这个正多边形的边数为＝6，所以这个正多边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°．故答案为720°．12．【解答】解：这组数据8出现的次数最多，所以众数为8，故答案为8．13．【解答】解：设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：﹣3a＝﹣6，解得：a＝2，故答案为：2．14．【解答】解：由合格品的频率都在0.95上下波动，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，故答案为：0.95．15．【解答】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r＝＝6，∴2πr＝2π×6＝12π，故答案为：12π．16．【解答】解：如图，由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC＝OA＝4．又∵∠1＝60°，∴∠2＝30°．sin∠2＝＝，∴CD＝2．cos∠2＝cos30°＝＝，∴C（2，2）．设AC的解析式为y＝kx+b，将A，C点坐标代入函数解析式，得，解得，直线AC的表达式是y＝﹣x+4，故答案为：y＝﹣x+4．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018＝﹣1﹣2×+0.5﹣1＝﹣1.518．【解答】解：解不等式①，得：x＞﹣4，解不等式②，得：x≤0，则不等式组的解集为﹣4＜x≤0，将解集表示在数轴上如下：19．【解答】证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO＝DO，∠EDB＝∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE＝OF，又∵OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∴四边形BFDE为菱形．20．【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%＝50（人），所以m＝×100＝20；故答案为50，20；（2）O型献血的人数为46%×50＝23（人），A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23＝12（人），如图，故答案为12，23；（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率＝＝，3000×＝720，估计这3000人中大约有720人是A型血．21．【解答】解：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：．答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤．∵a为整数，∴a≤41．答：A种奖品最多购买41件．22．【解答】解：∵∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，∴∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，∴CD＝AD•tan∠CAD＝AD，BD＝AD•tan∠BAD＝AD，∴BC＝CD﹣BD＝AD＝30，∴AD＝15≈25.98．23．【解答】解：（1）如图，∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD＝120°，连接OA，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°，∴∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵BC⊥AE于M，∴AE＝2AM，∠OMA＝90°，在Rt△AOM中，AM＝OA•sin∠AOM＝4×sin60°＝2，∴AE＝2AM＝4．24．【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）故答案为增大，上，1，（0，1）（3）∵x1+x2＝0，∴x1＝﹣x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，∴y1+y2＝2，∴y1+y2+3＝5．25．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，∴点C的坐标为（0，3）．若四边形CDPM是平行四边形，则CE＝PE，DE＝ME，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，∴点P的横坐标t＝1×2﹣0＝2，∴点P的坐标为（2，3），∴点E的坐标为（1，3），∴点M的坐标为（1，6）．故在直线l上存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，点M的坐标为（1，6）．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴S＝PF•OB＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0，∴当t＝时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC＝＝3，∴P点到直线BC的距离的最大值为＝，此时点P的坐标为（，）．26．【解答】解：（1）由翻折可知：∠DFP＝∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP＝∠ADF，∴∠DFQ＝∠ADF，∴△DEF是等腰三角形，（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′＝∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC＝∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC＝∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴，∴△DP'C∽△DF'B②当∠F′DB＝90°时，如图所示，∵DF′＝DF＝BD，∴＝，∴tan∠DBF′＝＝，当∠DBF′＝90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB，不符合题意，当∠DF′B＝90°时，如图所示，∵DF′＝DF＝BD，∴∠DBF′＝30°，∴tan∠DBF′＝。
湖南郴州-解析版
湖南省郴州市2018年中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1、（2018•郴州）的绝对值是（）A、B、C、﹣2 D、22、（2018•郴州）函数自变量x的取值范围是（）A、x≥﹣3B、x≥3C、x＞3D、x＞﹣33、（2018•郴州）图中所给的三视图表示的物体是（）A、B、C、D、4、（2018•郴州）我市“十二五”规划耕地保有量指标为4050000亩，4050000用科学记数法表示正确的是（）A、4.05×107B、4.05×106C、4.05×105D、405×1055、（2018•郴州）如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A、AB=DC，AD=BCB、AB∥DC，AD∥BCC、AB∥DC，AD=BCD、AB∥DC，AB=DC6、（2018•郴州）下列计算，正确的是（）A、x2+x3=x5B、x2•x3=x6C、（x2）3=x5D、2x﹣3x=﹣x7、（2018•郴州）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A、B、C、D、8、（2018•郴州）已知⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，R和r的值是（）A、R=4，r=2B、R=3，r=2C、R=4，r=3D、R=3，r=1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9、分解因式：x2﹣4x+4=_________．10、（2018•郴州）当x=_________时，分式的值为0．11、（2018•郴州）一元一次方程2x+4=0解是_________．12、（2018•郴州）不等式组的解集是_________．13、写出一个不可能事件_________．14、（2018•郴州）小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为_________．15、（2018•郴州）小亮同学为了估计全县九年级学生的人数，他对自己所在乡的人口和全乡九年级学生人数做了调查：全乡人口约2万，九年级学生人数为300．全县人口约35万，由此他推断全县九年级人数约为5250，但县教育局提供的全县九年级学生人数为3000，与估计数据有很大偏差，根据所学的统计知识，你认为产生偏差的原因是_________．16、（2018•郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有_________对全等三角形．三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）17、（2018•郴州）计算：．18、（2018•郴州）当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？19、（2018•郴州）作图题：在方格纸中，将△ABC向右平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．20、（2018•郴州）求与直线y=x平行，并且经过点P（1，2）的一次函数的解析式．21、（2018•郴州）如图是从《郴州市国民和社会发展第十二个五年规划纲要》中得到的郴州市2000-2019年城乡居民收入统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）城镇居民人均收入超过12000元的有哪几年？（2）十一年来，城镇居民人均收入与农民人均收入增长速度哪一个快？（3）如果今年城镇居民人均收入与农民人居年收入分别以10%与8%的增长率增长，今年城镇居民人均收入与农民人居年收入各是多少？（结果保留整数）22、（2018•郴州）如图，李军在A处测得风筝（C处）的仰角为30°，同时在A正对着风筝方向距A处30米的B处，李明测得风筝的仰角为60°．求风筝此时的高度．（结果保留根号）四、证明题（本题8分）23、（2018•郴州）在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC，对角线BD平分∠ABC．求证：梯形ABCD是一个等腰梯形．五、应用题（本题8分）24、（2018•郴州）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25、（2018•郴州）如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．26、（2018•郴州）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB 上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）．（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；（3）当P移动到点（）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．答案与评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1、（2018•郴州）的绝对值是（）A、B、C、﹣2 D、2考点：绝对值。
2018年湖南省郴州市初中毕业考试试卷数学试题(含参考答案和评分标准)
2018年郴州市初中毕业考试试卷数 学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目．2．考生作答时，选择题和非选择题均需作在答题卡上，在本试题卷上作答无效． 考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．4．本试卷包括试题卷和答题卡． 满分100分，考试时间120分钟．试题卷共4页．如缺页，考生需声明，否则后果自负．一、选择题（本题满分20分，共10小题，每小题2分） 1． －5的绝对值是（ ） A ．5 B ．5- C ．15 D ． 15-2． 函数12y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．0x ¹ B ． 2x ¹ C ． 2x > D ． 2x <3． 下列各式计算不正确．．．的是（ ）A ．(3)3--=B 2C ．()3339x x = D ．1122-=4．我市免费义务教育已覆盖全市城乡，2018年初中招生人数达到47600人，将数据47600用科学记数法表示为（ ） A ． 44.7610´B ． 54.7610´C ． 50.47610´D ． 347.610´5．点(35)p ，-关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ． (3,5)-- B ． (5,3) C ．(3,5)- D ． (3,5)6．为了支援地震灾区学生，学校开展捐书活动，以下是某学习小组5名学生捐书的册数：3，9，3，7，8，则这组数据的中位数是（ ）A ．3B ． 7C ．8D ． 9 7． 不等式26x ≤的解集为（ ）A ．3x ≥B ． 3x ≤C ． 13x ≥D ． 13x ≤ 8．两圆的半径分别为3cm 和8cm ，圆心距为7cm ，则该两圆的位置关系为（ ）A ．外离B ． 外切C ．相交D ．内含9． 如图1已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）A ． 24πcm B ． 26πcm C ． 29πcm D ． 212πcm10．如图2是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD =（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm 二、填空题（本题满分16分，共8小题，每小题2分） 11．7的倒数是___________．12．因式分解：2m m -=_______________．13．方程320x +=的解是______________．14．如图3，在四边形ABCD 中，已知AB CD =，再添加一个条件___________（写出一个即可），则四边形ABCD 是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)15． 如图4，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，1Ð与2Ð的和总是保持不变，那么1Ð与2Ð的和是_______度．16．抛物线23(1)5y x =--+的顶点坐标为__________．17．不透明的袋中装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外没有任何其它区别，搅匀后小红从中随机摸出一球，则摸出红球的概率是__________． 18．如图5，在O 中， 40AB AC A°=?，，则B Ð=________度．三、解答题（本题满分30分，共5小题，每小题6分） 19．计算：202(π2009)2sin 45+-+-?20．化简：1a b a b b a ++--21图4图1 120B OA6cm F E D B AC 图2D C B A 图321．如图6，在下面的方格图中，将△ABC先向右平移四个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°得到D A1B2C2，请依次作出△A1B1C1和△A1B2C2。
2018年湖南省郴州市中考数学试卷及答案解析
2018年湖南省郴州市中考数学试卷(含答案解析)一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3.00分）下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（）A．3 B．0 C．D．0.352．（3.00分）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000（）A．1.25×105B．0.125×106C．12.5×104D．1.25×1063．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6 B．a﹣2=﹣C．3﹣2=D．（a+2）（a﹣2）=a2+4 4．（3.00分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180°C．∠5=∠4 D．∠1=∠35．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3.00分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市7．（3.00分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．8．（3.00分）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．（3.00分）计算：=．10．（3.00分）因式分解：a3﹣2a2b+ab2=．11．（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是．12．（3.00分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是．13．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为．14．（3.00分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：抽取瓷砖数n100300400600100020003000合格品数m9628238257094919062850合格品频率0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是．（精确到0.01）15．（3.00分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）16．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6.00分）计算|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．18．（6.00分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．19．（6.00分）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．20．（8.00分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：血型A B AB O人数105（1）这次随机抽取的献血者人数为人，m=；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？21．（8.00分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？22．（8.00分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）23．（8.00分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．24．（10.00分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y=﹣…124﹣4﹣11﹣﹣…y=…235﹣3﹣10…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=﹣的图象向平移个单位而得到；③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．25．（10.00分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．26．（12.00分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．2018年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3.00分）下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（）A．3 B．0 C．D．0.35【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣＜0＜0.35＜＜3，所以最小的实数是﹣．故选：C．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（3.00分）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000（）A．1.25×105B．0.125×106C．12.5×104D．1.25×106【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决．【解答】解：125000=1.25×105，故选：A．【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．3．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6 B．a﹣2=﹣C．3﹣2=D．（a+2）（a﹣2）=a2+4【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算得出答案．【解答】解：A、a3•a2=a5，故此选项错误；B、a﹣2=，故此选项错误；C、3﹣2=，故此选项正确；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3.00分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180°C．∠5=∠4 D．∠1=∠3【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可．【解答】解：由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；由∠1=∠3，不能得到a∥b；故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．5．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到几何体的上面看所得到的图形即可．【解答】解：从几何体的上面看可得，故选：B．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．6．（3.00分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．【解答】解：A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．7．（3.00分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．【解答】解：过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB=×60°=30°，∴ME=OM=3．故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP 是∠AOB的角平分线是解题关键．8．（3.00分）如图，A ，B 是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =（BD +AC ）•CD=（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3．【解答】解：∵A ，B 是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x=2时，y=2，即A （2，2），当x=4时，y=1，即B （4，1）．如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则S △AOC =S △BOD =×4=2． ∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，∴S △AOB =S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC =（BD +AC ）•CD=（1+2）×2=3，∴S △AOB =3．故选：B ．【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积．二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．（3.00分）计算：=3．【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．【解答】解：原式=3．故答案为：3【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．10．（3.00分）因式分解：a3﹣2a2b+ab2=a（a﹣b）2．【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=a（a2﹣2ab+b2）=a（a﹣b）2．故答案为：a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是720°．【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．【解答】解：这个正多边形的边数为=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°．故答案为720°．【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．12．（3.00分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是8．【分析】根据众数的定义即可判断．【解答】解：这组数据8出现的次数最多，所以众数为8，故答案为8．【点评】本题考查众数的定义，记住在一组数据中次数出现最多的数是这组数据的众数．13．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为2．【分析】根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．【解答】解：设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，解得：a=2，故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．14．（3.00分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：抽取瓷砖数n100300400600100020003000合格品数m9628238257094919062850合格品频率0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95．（精确到0.01）【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．【解答】解：由击中靶心频率都在0.95上下波动，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，故答案为：0.95．【点评】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．15．（3.00分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为12πcm．（结果用π表示）【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．【解答】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r==6，∴2πr=2π×6=12π，故答案为：12π．【点评】此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．16．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是y=﹣x+4．【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，根据待定系数法，可得答案．【解答】解：如图，由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC=OA=4．又∵∠1=60°，∴∠2=30°．sin∠2==，∴CD=2．cos∠2=cos30°==，OD=2，∴C（2，2）．设AC的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入函数解析式，得，解得，直线AC的表达式是y=﹣x+4，故答案为：y=﹣x+4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C 点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6.00分）计算|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018=﹣1﹣2×+0.5﹣1=﹣1.5【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．（6.00分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x＞﹣4，解不等式②，得：x≤0，则不等式组的解集为﹣4＜x≤0，将解集表示在数轴上如下：【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．（6.00分）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE 为菱形．【解答】证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF是解题关键．20．（8.00分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：血型A B AB O人数1210523（1）这次随机抽取的献血者人数为50人，m=20；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；（3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此概率可估计这3000人中是A型血的人数．【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），所以m=×100=20；故答案为50，20；（2）O型献血的人数为46%×50=23（人），A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23=12（人），如图，故答案为12，23；（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率==，3000×=720，估计这3000人中大约有720人是A型血．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图．21．（8.00分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【解答】解：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：．答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤．∵a为整数，∴a≤41．答：A种奖品最多购买41件．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，找出关于a的一元一次不等式．22．（8.00分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=AD、BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度．【解答】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD=30，∴AD=15≈25.98．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD、BD=AD是解题的关键．23．（8.00分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，∴AE=2AM=4．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出∠AOC=60°是解本题的关键．24．（10.00分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y=﹣…124﹣4﹣11﹣﹣…y=…235﹣3﹣10…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而增大；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；（2）利用图象法即可解决问题；（3）根据中心对称的性质，可知A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解决问题；【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）故答案为增大，上，1，（0，1）（3）∵x1+x2=0，∴x1=﹣x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，∴y1+y2=2，∴y1+y2+3=5．【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（10.00分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==3，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．26．（12.00分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF 是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【解答】解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形，（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴，∴△DP'C∽△DF'B②当∠F′DB=90°时，如图所示，。
【精校】2018年湖南省郴州市中考真题数学
2018年湖南省郴州市中考真题数学一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列实数：3，0，12，，0.35，其中最小的实数是( ) A.3 B.0D.0.35解析：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可. 答案：C.2.郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000( )A.1.25×105B.0.125×106C.12.5×104D.1.25×106解析：根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决. 答案：A.3.下列运算正确的是( ) A.a 3·a 2=a 6 B.a -2=21a -C.=D.(a+2)(a-2)=a 2+4 解析：直接利用同底数幂的乘除运算法则以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算得出答案. 答案：C.4.如图，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件中，不能判定a ∥b( )A.∠2=∠4B.∠1+∠4=180°C.∠5=∠4D.∠1=∠3解析：由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；由∠1=∠3，不能得到a∥b.答案：D.5.如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是( )A.B.C.D.解析：找到几何体的上面看所得到的图形即可.答案：B.6.甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是( )A.甲超市的利润逐月减少B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C.8月份两家超市利润相同D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市解析：A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误.答案：D.7.如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为( )A.6B.2C.3D.33解析：过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB=12×60°=30°，∴ME=12OM=3.答案：C.8.如图，A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是( )A.4B.3C.2D.1解析：先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A(2，2)，B(4，1).再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=12×4=2.根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=12(BD+AC)·CD=12(1+2)×2=3，从而得出S△AOB=3.答案：B.二、填空题(每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上)9.计算：2=_____.解析：原式利用平方根的定义化简即可得到结果.答案：3.10.因式分解：a3-2a2b+ab2=_____.解析：原式提取a，再利用完全平方公式分解即可.答案：a(a-b)2.11.一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____.解析：这个正多边形的边数为36060︒︒=6，所以这个正多边形的内角和=(6-2)×180°=720°.答案：720°.12.在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是_____.解析：根据众数的定义即可判断.答案：8.13.已知关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为-3，则方程的另一个根为_____.解析：设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：a+(-3)=-k，-3a=-6，解得：a=2.答案：2.14.某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是_____.(精确到0.01)解析：由击中靶心频率都在0.95上下波动，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95.答案：0.95.15.如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为_____cm.(结果用π表示)解析：根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解.答案：12π.16.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是(0，4)，则直线AC的表达式是_____.解析：根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，根据待定系数法，可得答案.x+4.答案：y=-3三、解答题(本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.计算°+2-1-(-1)2018.解析：首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.答案：|-2sin45°+2-1-(-1)2018-1-2×2+0.5-1 =-1.518.解不等式组：()32214232x x x x +-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩＞①②并把解集在数轴上表示出来.解析：首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集.答案：解不等式①，得：x ＞-4， 解不等式②，得：x ≤0，则不等式组的解集为-4＜x ≤0， 将解集表示在数轴上如下：19.如图，在▱ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD ，BC 于E ，F ，连接BE ，DF.求证：四边形BFDE 是菱形.解析：根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE ≌△BOF ，得到OE=OF ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE 为菱形. 答案：∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点， ∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ， 在△EOD 和△FOB 中，EDO FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DOE ≌△BOF(ASA)； ∴OE=OF ， 又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形.20. 6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血.献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型.在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：(1)这次随机抽取的献血者人数为_____人，m=_____；(2)补全上表中的数据；(3)若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？解析：(1)用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m 的值；(2)先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；(3)用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此概率可估计这3000人中是A型血的人数.答案：(1)这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50(人)，所以m=1050×100=20；(2)O型献血的人数为46%×50=23(人)，A型献血的人数为50-10-5-23=12(人)，如图，(3)从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率=126 5025，3000×625=720，估计这3000人中大约有720人是A型血.21.郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者.如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B 种10件，共需280元.(1)A、B两种奖品每件各多少元？(2)现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？解析：(1)设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设A种奖品购买a件，则B种奖品购买(100-a)件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论. 答案：(1)设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：2015380 1510280x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：164xy=⎧⎨=⎩.答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元.(2)设A种奖品购买a件，则B种奖品购买(100-a)件，根据题意得：16a+4(100-a)≤900，解得：a≤1253.∵a为整数，∴a≤41.答：A种奖品最多购买41件.22.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上.已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD.(精确到0.01米.≈1.414≈1.732)解析：由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出、AD，再结合BC=30即可求出AD的长度.答案：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD·tan∠，BD=AD·tan∠，∴AD=30，∴≈25.98.23.已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°.(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长.解析：(1)先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；(2)先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论.答案：(1)如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；(2)连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA·sin∠AOM=4×sin60°∴24.参照学习函数的过程与方法，探究函数y=2xx-(x≠0)的图象与性质.因为y=221xx x-=-，即y=-2x+1，所以我们对比函数y=-2x来探究.列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=2xx-相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：(1)请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而_____；(填“增大”或“减小”)②y=2xx-的图象是由y=-2x的图象向_____平移_____个单位而得到；③图象关于点_____中心对称.(填点的坐标)(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y=2xx-的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值.解析：(1)用光滑曲线顺次连接即可；(2)利用图象法即可解决问题；(3)根据中心对称的性质，可知A(x1，y1)，B(x2，y2)关于(0，1)对称，由此即可解决问题；答案：(1)函数图象如图所示：(2)①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y=2xx的图象是由y=-2x的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点(0，1)中心对称.(填点的坐标)故答案为增大，上，1，(0，1)(3)∵x1+x2=0，∴x1=-x2，∴A(x1，y1)，B(x2，y2)关于(0，1)对称，∴y1+y2=2，∴y1+y2+3=5.25.如图1，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.(3)如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S.①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标.解析：(1)由点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；(2)连接PC ，交抛物线对称轴l 于点E ，由点A 、B 的坐标可得出对称轴l 为直线x=1，分t=2和t ≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形，再根据点C 的坐标利用平行四边形的性质可求出点P 、M 的坐标；当t ≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE ≠PE 可得出此时不存在符合题意的点M ；(3)①过点P 作PF ∥y 轴，交BC 于点F ，由点B 、C 的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，根据点P 的坐标可得出点F 的坐标，进而可得出PF 的长度，再由三角形的面积公式即可求出S 关于t 的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S 的最大值，利用勾股定理可求出线段BC 的长度，利用面积法可求出P 点到直线BC 的距离的最大值，再找出此时点P 的坐标即可得出结论.答案：(1)将A(-1，0)、B(3，0)代入y=-x 2+bx+c ，10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3.(2)在图1中，连接PC ，交抛物线对称轴l 于点E ，∵抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1.当t=2时，点C 、P 关于直线l 对称，此时存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形.∵抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3，∴点C 的坐标为(0，3)，点P 的坐标为(2，3)，∴点M 的坐标为(1，6)；当t ≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM 是平行四边形，则CE=PE ，∵点C 的横坐标为0，点E 的横坐标为0，∴点P 的横坐标t=1×2-0=2.又∵t ≠2，∴不存在.(3)①在图2中，过点P 作PF ∥y 轴，交BC 于点F.设直线BC 的解析式为y=mx+n(m ≠0)，将B(3，0)、C(0，3)代入y=mx+n ，303m n n +=⎧⎨=⎩，解得：13m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为y=-x+3.∵点P 的坐标为(t ，-t 2+2t+3)，∴点F 的坐标为(t ，-t+3)，∴PF=-t 2+2t+3-(-t+3)=-t 2+3t ，∴S=12PF ·OB=-32t 2+92t=-32(t-32)2+278. ②∵-32＜0， ∴当t=32时，S 取最大值，最大值为278. ∵点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)，∴线段= ∴P 点到直线BC2728⨯=，此时点P 的坐标为(32，154).26.在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，点P 是CD 边上的任意一点(不含C ，D 两端点)，过点P 作PF ∥BC ，交对角线BD 于点F.(1)如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E.求证：△DEF是等腰三角形；(2)如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′，连接P′C，F′B.设旋转角为α(0°＜α＜180°).①若0°＜α＜∠BDC，即DF′在∠BDC的内部时，求证：△DP′C∽△DF′B.②如图3，若点P是CD的中点，△DF′B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF′的值，如果不能，请说明理由.解析：(1)根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；(2)①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF′B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论.答案：(1)由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形，(2)①若0°＜α＜∠BDC，即DF′在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′-∠F′DC=∠PDF-∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴DC DP DB DF''＝，∴△DP′C∽△DF′B②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12 BD，∴12 DFBD'=，∴tan∠DBF′=12 DFBD'=，当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB，不符合题意，当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12 BD，∴∠DBF′=30°，∴tan∠DBF′=3考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
湖南省郴州市2018年中考数学试卷(解析版)
2018年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1． 2016的倒数是（）A．B．﹣C．2016 D．﹣20162．2016年5月23日，为期5天的第四届中国（湖南）国际矿物宝石博览会在郴州圆满落下帷幕，参观人数约32万人次，交易总额达17.6亿元人民币，32000用科学记数法表示为（）A．32×104B．3.2×104C．3.2×105D．0.32×1063．下列运算正确的是（）A．3a+2b=5ab B．a2×a3=a6C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．a3÷a2=a4．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．5．在郴州市中小学“创园林城市，创卫生城市，创文明城市”演讲比赛中，5位评委给靓靓同学的评分如下：9.0，9.2，9.2，9.1，9.5，则这5个数据的平均数和众数分别是（）A．9.1，9.2 B．9.2，9.2 C．9.2，9.3 D．9.3，9.26．下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（）A．B．C．D．7．当b＜0时，一次函数y=x+b的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（）A．7 B．8 C．7 D．7二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．计算：﹣1+= ．10．因式分解：m2n﹣6mn+9n= ．11．二次根式中，a的取值范围是．12．如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，∠A=110°，则∠1= 度．13．同时掷两枚均匀的硬币，则两枚都出现反面朝上的概率是．14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，1），C（0，1），以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1，B 为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为．15．如图是一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成绩的分布情况，则射击成绩的方差较小的是（填“甲”或“乙”）．16．观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，试猜想，32016的个位数字是．三、解答题（共10小题，满分82分）17．计算：（）0+（﹣1）2016﹣|﹣|+2sin60°．18．解不等式组．19．如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=（x＞0）的图象交于点M，作MN⊥x轴，N为垂足，且ON=1（1）在第一象限内，当x取何值时，y1＞y2？（根据图象直接写出结果）（2）求反比例函数的表达式．20．在中央文明办对2015年全国文明城市测评中，郴州市在全省五个全国文明城市提名城市中排名第一，成绩的取得主要得力于领导高度重视、整改措施有效、市民积极参与及市民文明素质进一步提高．郴州市某中学数学课外兴趣小组随机走访了部分市民，对A（领导高度重视）、B（整改措施有效）、C（市民积极参与）、D（市民文明素质进一步提高）四个类别进行满意度调查（只勾选最满意的一项），并将调查结果制作了如下两幅不完整的统计图．（1）这次调查共走访市民人，∠α=度．（2）请补全条形统计图．（3）结合上面的调查统计结果，请你对郴州市今后的文明城市创建工作提出好的建议．21．某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？22．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）23．如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求的长度（结果保留π）24．设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b=，例如：1⊕（﹣3）==﹣3，（﹣3）⊕2=（﹣3）﹣2=﹣5，（x2+1）⊕（x﹣1）=（因为x2+1＞0）参照上面材料，解答下列问题：（1）2⊕4= ，（﹣2）⊕4= ；（2）若x＞，且满足（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x），求x的值．25．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．26．如图1，矩形ABCD中，AB=7cm，AD=4cm，点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且DF=acm，点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE 的面积为ycm2，当0≤t≤1时，△PAE的面积y（cm2）关于时间t（s）的函数图象如图2所示，连结PF，交CD于点H．（1）t的取值范围为，AE= cm；（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1cm/s的速度运动，如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结PQ，QH．若a=cm，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由．2018年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．2016的倒数是（）A．B．﹣C．2016 D．﹣2016【考点】倒数．【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．【解答】解：∵2016×=1，∴2016的倒数是，故选A．【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握互为倒数之间关系是解题关键．2．2016年5月23日，为期5天的第四届中国（湖南）国际矿物宝石博览会在郴州圆满落下帷幕，参观人数约32万人次，交易总额达17.6亿元人民币，32000用科学记数法表示为（）A．32×104B．3.2×104C．3.2×105D．0.32×106【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将32000用科学记数法表示为3.2×104．故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列运算正确的是（）A．3a+2b=5ab B．a2×a3=a6C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．a3÷a2=a【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．【专题】推理填空题．【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可．B：根据同底数幂的乘法法则判断即可．C：根据完全平方公式判断即可．D：根据同底数幂的除法法则判断即可．【解答】解：∵3a+2b≠5ab，∴选项A不正确；∵a2×a3=a5，∴选项B不正确；∵（a﹣b）2=a2+2ab+b2，∴选项C不正确；∵a3÷a2=a，∴选项D正确．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）此题还考查了完全平方公式，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．4．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．在郴州市中小学“创园林城市，创卫生城市，创文明城市”演讲比赛中，5位评委给靓靓同学的评分如下：9.0，9.2，9.2，9.1，9.5，则这5个数据的平均数和众数分别是（）A．9.1，9.2 B．9.2，9.2 C．9.2，9.3 D．9.3，9.2【考点】众数；算术平均数．【分析】根据平均数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：这组数据的平均数是：（9.0+9.2+9.2+9.1+9.5）÷5=9.2；这组数据中9.2出现了2次，出现的次数最多，则众数是9.2；故选B．【点评】此题考查了平均数和众数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；众数是一组数据中出现次数最多的数．6．下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．【解答】解：A、球的三视图都是圆，故本选项正确；B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项错误；C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项错误；D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．7．当b＜0时，一次函数y=x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象；一次函数图象与系数的关系．【分析】根据一次函数系数的正负，可得出一次函数图象经过的象限，由此即可得出结论．【解答】解：∵k=1＞0，b＜0，∴一次函数y=x+b的图象经过第一、三、四象限．故选B．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出函数图象经过的象限．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的解析式结合一次函数图象与系数的关系找出函数图象经过的象限是关键．8．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（）A．7 B．8 C．7 D．7【考点】正方形的性质．【分析】由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，由SSS证明△ABE≌△CDF，得出∠ABE=∠CDF，证出∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，由AAS证明△ABE≌△ADG，得出AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，得出EG=GF=FH=EF=7，证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，∴∠BAE+∠DAG=90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SSS），∴∠ABE=∠CDF，∵∠AEB=∠CFD=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，即∠DGA=90°，同理：∠C HB=90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，∴EG=GF=FH=EF=12﹣5=7，∵∠GEH=180°﹣90°=90°，∴四边形EGFH是正方形，∴EF=EG=7；故选：C．【点评】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．计算：﹣1+= 1 ．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而求出答案．【解答】解：原式=﹣1+2=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．10．因式分解：m2n﹣6mn+9n= n（m﹣3）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：m2n﹣6mn+9n=n（m2﹣6m+9）=n（m﹣3）2．故答案为：n（m﹣3）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．11．二次根式中，a的取值范围是a≥1 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，a﹣1≥0，解得，a≥1，故答案为：a≥1．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．12．如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，∠A=110°，则∠1= 70 度．【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质求出∠AFD，根据对顶角相等得出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠AFD=180°，∵∠A=110°，∴∠AFD=70°，∴∠1=∠AFD=70°，故答案为：70．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出∠AFD的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．13．同时掷两枚均匀的硬币，则两枚都出现反面朝上的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两枚都出现反面朝上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两枚都出现反面朝上的有1种情况，∴两枚都出现反面朝上的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，1），C（0，1），以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1，B 为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为（4，2）．【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．【专题】数形结合．【分析】利用以原点为位似中心的位似图形的坐标之间的关系求解．【解答】解：∵B点坐标为（2，1），而B为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，∴B1的坐标为（2×2，1×2），即B1（4，2）．故答案为（4，2）．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．15．如图是一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成绩的分布情况，则射击成绩的方差较小的是甲（填“甲”或“乙”）．【考点】方差．【分析】从一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成绩的分布情况得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．【解答】解：由图中知，甲的成绩为7，8，8，9，8，9，9，8，7，7，乙的成绩为6，8，8，9，8，10，9，8，6，7，=（7+8+8+9+8+9+9+8+7+7）÷10=8，=（6+8+8+9+8+10+9+8+6+7）÷10=7.9，甲的方差S甲2=[3×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2]÷10=0.6，乙的方差S乙2=[2×（6﹣7.9）2+4×（8﹣7.9）2+2×（9﹣7.9）2+（10﹣7.9）2+（7﹣7.9）2]÷10=1.49，则S2甲＜S2乙，即射击成绩的方差较小的是甲．故答案为：甲．【点评】本题考查方差的定义与意义，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．16．观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，试猜想，32016的个位数字是 1 ．【考点】尾数特征．【分析】根据给出的规律，3n的个位数字是3，9，7，1，是4个循环一次，用2016去除以4，看余数是几，再确定个位数字．【解答】解：设n为自然数，∵34n+1的个位数字是3，与31的个位数字相同，34n+2的个位数字是9，与32的个位数字相同，34n+3的个位数字是7，与33的个位数字相同，34n的个位数字是1，与34的个位数字相同，∴32016=3504×4的个位数字与34的个位数字相同，应为1，故答案为：1．【点评】本题考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．三、解答题（共10小题，满分82分）17．计算：（）0+（﹣1）2016﹣|﹣|+2sin60°．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式（）0+（﹣1）2016﹣|﹣|+2sin60°的值是多少即可．【解答】解：（）0+（﹣1）2016﹣|﹣|+2sin60°=1+1﹣+2×=2﹣+=2．【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．18．解不等式组．【考点】解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】分别解两个不等式得到x＞1和x＜3，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：解①得x＞1，解②得x＜3，所以不等式组的解集为1＜x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=（x＞0）的图象交于点M，作MN⊥x轴，N为垂足，且ON=1（1）在第一象限内，当x取何值时，y1＞y2？（根据图象直接写出结果）（2）求反比例函数的表达式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据ON=1，MN⊥x轴，得到M点的横坐标为1，代入y1=x+1=2，求得M（1，2），于是得到结论；（2）点M在反比例函数y2=（x＞0）的图象上，于是得到2=，求得k=2，于是得到反比例函数的表达式为y2=．【解答】解：（1）∵ON=1，MN⊥x轴，∴M点的横坐标为1，∴当x=1时，y1=x+1=2，∴M（1，2），∴当x＞1时，y1＞y2；（2）∵点M在反比例函数y2=（x＞0）的图象上，∴2=，∴k=2，∴反比例函数的表达式为y2=．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．在中央文明办对2015年全国文明城市测评中，郴州市在全省五个全国文明城市提名城市中排名第一，成绩的取得主要得力于领导高度重视、整改措施有效、市民积极参与及市民文明素质进一步提高．郴州市某中学数学课外兴趣小组随机走访了部分市民，对A（领导高度重视）、B（整改措施有效）、C（市民积极参与）、D（市民文明素质进一步提高）四个类别进行满意度调查（只勾选最满意的一项），并将调查结果制作了如下两幅不完整的统计图．（1）这次调查共走访市民1000 人，∠α=54 度．（2）请补全条形统计图．（3）结合上面的调查统计结果，请你对郴州市今后的文明城市创建工作提出好的建议．【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】（1）由A人数及其占被调查人数的百分比可得总人数，根据扇形统计图可得B的百分比，再乘以360°可得答案；（2）总人数乘以D所占百分比可得；（3）结合统计图中数据提出合理建议即可．【解答】解：（1）这次调查共走访市民人数为：400÷40%=1000（人），∵B类人数所占百分比为：1﹣40%﹣20%﹣25%=15%，∴∠α=360°×15%=54°；（2）D类人数为：1000×20%=200（人），补全条形图如图：（3）由扇形统计图可知，对“整改措施有效”的占被调查人数的15%，是所有4个类别中最少的，故今后应加大整改措施的落实工作．故答案为：（1）1000，54．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”即可得出y关于x的函数关系式；（2）将y=960代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200．（2）令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x2﹣80x+1200，即x2+4x﹣12=0，解得：x=﹣6（舍去），或x=2．答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出函数关系式；（2）将y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时结合数量关系找出函数关系式是关键．22．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据正切的定义分别求出AD、BD的长，计算即可．【解答】解：在Rt△ADC中，tan∠ACD=，∴AD=DC•tan∠ACD=9×=3米，在Rt△ADB中，tan∠BCD=，∴BD=CD=9米，∴AB=AD+BD=3+9≈14米．答：楼房AB的高度约为14米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求的长度（结果保留π）【考点】切线的判定与性质；弧长的计算．【分析】（1）欲证明直线CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．（2）先证明∠B=∠OCB=∠ACO，推出∠B=30°，∠DOE=60°，利用弧长公式即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AC是⊙O切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵CO平分∠AOD，∴∠AOC=∠COD，在△AOC和△DOC中，，∴△AOC≌△DOC，∴∠ODC=∠OAC=90°，∴OD⊥CD，∴直线CD是⊙O的切线．（2）∵OD⊥BC，DC=DB，∴OC=OB，∴∠OCD=∠B=∠ACO，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠B=30°，∠DOE=60°，∴的长==π．【点评】本题考查切线的判定和性质、弧长公式、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，属于中考常考题型；解题的关键是发现全等三角形，证明∠B=30°．24．设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b=，例如：1⊕（﹣3）==﹣3，（﹣3）⊕2=（﹣3）﹣2=﹣5，（x2+1）⊕（x﹣1）=（因为x2+1＞0）参照上面材料，解答下列问题：（1）2⊕4= 2 ，（﹣2）⊕4= ﹣6 ；（2）若x＞，且满足（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x），求x的值．【考点】实数的运算；解分式方程；解一元一次不等式．【专题】新定义．【分析】（1）按照运算的规定直接列式计算即可；（2）按照运算的规定列方程，解出方程即可．【解答】解：（1）2⊕4==2，（﹣2）⊕4=﹣2﹣4=﹣6；（2）∵x＞，∴（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x），即=﹣4﹣（1﹣4x），=4x﹣5，4x2﹣1=（4x﹣5）（2x﹣1），4x2﹣1=4x2﹣14x+5，2x2﹣7x+3=0，（2x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=，x2=3．经检验，x1=是增根，x2=3是原方程的解，故x的值是3．故答案为：2，﹣6．【点评】此题考查有理数的混合运算和解分式方程，注意新运算的计算方法．25．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值即可；（2）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△OBC为等腰直角三角形，故此当CF=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则CF=a，PF=﹣a2+3a，接下来列出关于a的方程，从而可求得a 的值，于是可求得点P的坐标；（3）连接EC．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．然后依据S△=S四边形PCEB﹣S△CEB列出△PBC的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积．PBC【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：，解得：b=3，c=4．抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．（2）如图1所示：∵令x=0得y=4，∴OC=4．∴OC=OB．∵∠CFP=∠COB=90°，∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）（a＞0）．则CF=a，PF=|﹣a2+3a+4﹣4|=|a2﹣3a|．∴|a2﹣3a|=a．解得：a=2，a=4．∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．（3）如图2所示：连接EC．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．∵S四边形PCEB=OB•PE=×4（﹣a2+3a+4），S△CEB=EB•OC=×4×（4﹣a），∴S△PBC=S四边形PCEB﹣S△CEB=2（﹣a2+3a+4）﹣2（4﹣a）=﹣2a2+8a．∵a=﹣2＜0，∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，用含a的式子表示相关线段的长度，然后列出△PBC的面积与a的函数关系式是解题的关键．26．如图1，矩形ABCD中，AB=7cm，AD=4cm，点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且DF=acm，点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE 的面积为ycm2，当0≤t≤1时，△PAE的面积y（cm2）关于时间t（s）的函数图象如图2所示，连结PF，交CD于点H．（1）t的取值范围为0≤t≤3.5 ，AE= 1 cm；（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1cm/s的速度运动，如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结PQ，QH．若a=cm，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据列出与时间的关系可以确定t的范围，根据t=1时，△APE面积为1，即可求出AE．（2）只要证明∠MAD=∠MFD=30°即可解决问题．。
湖南省郴州市2021年中考数学试卷(解析版)
2018年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（）A. 3B. 0C.D. 0.35【答案】C【解析】【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】根据实数比较大小的方法，可得﹣＜0＜0.35＜＜3，所以最小的实数是﹣，故选C．【点睛】本题考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2. 郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000（）A. 1.25×105B. 0.125×106C. 12.5×104D. 1.25×106【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】125000的小数点向左移动5位得到1.25，所以，125000用科学记数法表示为：1.25×105，故选A.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 下列运算正确的是（）A. a3•a2=a6B. a﹣2=﹣C. 3﹣2=D. （a+2）（a﹣2）=a2+4【答案】C【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、负指数幂的性质、二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算即可得出答案．【详解】A、a3•a2=a5，故A选项错误；B、a﹣2=，故B选项错误；C、3﹣2=，故C选项正确；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故D选项错误，故选C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．4. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...A. ∠2=∠4B. ∠1+∠4=180°C. ∠5=∠4D. ∠1=∠3【答案】D【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可．【详解】由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；由∠1=∠3，不能得到a∥b，故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解题的关键. 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．5. 如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据主视图是从几何体正面看得到的图形即可得到答案.【详解】从正面看可以看到有3列小正方形，从左至右小正方体的数目分别为1、2、1，所以主视图为：，故选B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．6. 甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A. 甲超市的利润逐月减少B. 乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C. 8月份两家超市利润相同D. 乙超市在9月份的利润必超过甲超市【答案】D【解析】【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．【详解】A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确，不符合题意；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确，不符合题意；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确，不符合题意；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误，符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．7. 如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A. 6B. 2C. 3D.【答案】C【解析】【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．【详解】如图，过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB=×60°=30°，∴ME=OM=3，故选C．【点睛】本题考查了基本作图——作角平分线、含30度角的直角三角形的性质，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．8. 如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=×（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3．【详解】∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∴当x=2时，y=2，即A（2，2），当x=4时，y=1，即B（4，1），如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=×4=2，∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，∴S△AOB=S梯形ABDC，∵S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=×（1+2）×2=3，∴S△AOB=3，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S与k的关系为S=|k|是解题的关键．二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9. 计算：=_____．【答案】3【解析】【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．【详解】=3，故答案为：3【点睛】本题考查了二次根式的平方，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．10. 因式分解：a3﹣2a2b+ab2=_____．【答案】a（a﹣b）2．【解析】【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．【详解】原式=a（a2﹣2ab+b2）=a（a﹣b）2，故答案为：a（a﹣b）2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．【答案】720°【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．【详解】这个正多边形的边数为=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，故答案为：720°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．12. 在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是_____．【答案】8【解析】【分析】根据众数的定义进行求解即可得答案.【详解】这组数据中数据8出现了3次，出现的次数最多，所以众数为8，故答案为：8．【点睛】本题考查众数的定义，熟知在一组数据中次数出现最多的数是这组数据的众数是解题的关键．13. 已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为_____．【答案】2【解析】【分析】设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．【详解】设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，解得：a=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．14. 某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：抽取瓷砖数n 100 300 400 600 1000 2000 3000合格品数m 96 282 382 570 949 1906 2850合格品频率0.960 0.940 0.955 0.950 0.949 0.953 0.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是_____．（精确到0.01）【答案】0.95【解析】【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．【详解】由生产的瓷砖是合格品的频率都在0.95上下波动，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，故答案为：0.95．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．15. 如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为_____cm．（结果用π表示）【答案】【解析】【分析】先求出圆锥的底面半径，然后根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式进行求解即可．【详解】设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r==6，∴2πr=2π×6=12π，故答案为：12π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系．16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是_____．【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，从而可得点C坐标，然后再根据待定系数法，即可求得直线AC的表达式.【详解】如图，由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC=OA=4，又∵∠1=60°，∴∠2=30°，sin∠2=，∴CD=2，cos∠2=cos30°=，OD=2，∴C（2，2），设AC的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入函数解析式，得，解得，直线AC的表达式是y=﹣x+4，故答案为：y=﹣x+4．【点睛】本题考查了菱形的性质、待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C点坐标是解题关键．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 计算|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．【答案】-1.5.【解析】【分析】按顺序先进行绝对值化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的计算、乘方的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018==-1.5.【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到特殊角的三角函数值、负指数幂的运算等，熟练掌握特殊角的三角函数值以及各运算的运算法则是解题的关键.18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】﹣4＜x≤0，在数轴上表示见解析.【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【详解】解不等式①，得：x＞﹣4，解不等式②，得：x≤0，则不等式组的解集为﹣4＜x≤0，将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19. 如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．【详解】∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）,∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF是解题关键．20. 6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：血型 A B AB O人数10 5（1）这次随机抽取的献血者人数为人，m= ；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？【答案】（1）50，20；（2）12，23；见图；（3）大约有720人是A型血．【解析】【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后用B型的人数除以抽取的总人数即可求得m的值；（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；（3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此概率可估计这3000人中是A型血的人数．【详解】（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），所以m=×100=20，故答案为50，20；（2）O型献血的人数为46%×50=23（人），A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23=12（人），补全表格中的数据如下：血型 A B AB O人数12 10 5 23故答案为12，23；（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率=，3000×=720，估计这3000人中大约有720人是A型血．【点睛】本题考查了扇形统计图、统计表、概率公式、用样本估计总体等，读懂统计图、统计表，从中找到必要的信息是解题的关键；随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．21. 郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【答案】（1）A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）A种奖品最多购买41件．【解析】【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【详解】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：，答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤，∵a为整数，∴a≤41，答：A种奖品最多购买41件．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据不等关系，正确列出不等式.22. 小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）【答案】25.98米.【解析】【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=AD、BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度．【详解】∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD=30，∴AD=15≈25.98，答：无人机飞行的高度AD为25.98米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD、BD=AD是解题的关键．23. 已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．【详解】（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，∴AE=2AM=4．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键．24. 参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．列表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 …y=﹣… 1 2 4 ﹣4 ﹣1 1 ﹣﹣…y=… 2 3 5 ﹣3 ﹣1 0 …描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=﹣的图象向平移个单位而得到；③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．【答案】(1)图象见解析；（2）增大，上，1，（0，1）；（3）5.【解析】【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；（2）观察图象，利用图象法即可解决问题；（3）根据中心对称的性质，可知A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解决问题.【详解】（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称，故答案为：①增大；②上，1；③（0，1）；（3）∵x1+x2=0，∴x1=﹣x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，∴y1+y2=2，∴y1+y2+3=5．【点睛】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．25. 如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）P 点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+；②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=，∴P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．26. 在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②或.【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴，∴△DP'C∽△DF'B；②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=BD，∴，∴tan∠DBF′=；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB，不符合题意；当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=BD，∴∠DBF′=30°，∴tan∠DBF′=.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.。
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2018年湖南省郴州市初中毕业、升学考试数学学科（满分130分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2018湖南郴州，1，3） 下列实数:3、0、12、2-、0.35，其中最小的实数是（ ） A ．3 B.0 C. 2- D. 0.35【答案】C 2．（2018湖南郴州，2，3）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫.请用科学记数法表示125000为（ ） A ．51.2510⨯ B.60.12510⨯ C.41.2510⨯ D.41.2510⨯ 【答案】A 3．（2018湖南郴州，3，3）下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B.221aa -=-C. 33233-=D. ()()2224a a a +-=+【答案】C4．（2018湖南郴州，4，3）如图，直线a 、b 被直线c 所截，下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ） A ．∠2=∠4 B. ∠1+∠4=180° C. ∠5=∠4 D. ∠1=∠3【答案】D 5．（2018湖南郴州，5，3）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（ ）【答案】B 6．（2018湖南郴州，6，3）甲、乙两超市在1月至8月期间的赢利情况统计图如图所示，下列结论不正确的是（ ） A.甲超市的利润逐月减少 B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C.8月份两家超市利润相同D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市【答案】D7．（2018湖南郴州，7，3）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于点C，D两点，分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P，以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A.6B.2C.3D.33【答案】D【解析】由题意得OP是∠AOB的平分线，过点M作ME⊥OB于E，又∵∠AOB=60°，∴∠MOB=30°，在Rt△MOE中，OM=6，∴EM=12OM=3，故选C．8．（2018湖南郴州，8，3）如图，A，B是反比例函数yx在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，∵A ，B 是反比例函数4y x=在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴A ，B 两点的坐标分别为（2,2），（4，1），∴AC=2,BD=1,DC=2, ∴()112232ACBD S =??梯形，观察图形，可以发现：AOB BOD AOC ACBD S S S S D D D +=+梯形，而BOD AOC S S D D =，∴3AOB ACBD S S D ==梯形.二、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 9．（2018湖南郴州，9，3） 计算：(23 .【答案】310．（2018湖南郴州，10，3）因式分解：3222a a b ab -+= . 【答案】()2a ab -11．（2018湖南郴州，11，3） 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 . 【答案】720° 12．（2018湖南郴州，12，3）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是 . 【答案】813．（2018湖南郴州，13，3）已知关于x 的一元二次方程260x kx +-=有一个根为-3，则方程的另一个根为 . 【答案】2抽取瓷砖数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 合格品数m 96 282 382 570 949 1906 2850 合格品频率m n0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是 .（精确到0.01） 【答案】0.95 15．（2018湖南郴州，15，3）如图，圆锥的母线长为10cm ，高为8cm ，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 cm .（结果用π表示）【答案】12π 16．（2018湖南郴州，16，3） 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且∠AOC=60°，A 点的坐标是（0，4），则直线AC 的表达式是 .【答案】34y x =+ 【解析】延长BC 交x 轴于点D ，∵A 点的坐标是（0，4），∴OA=4，∵四边形OABC 是菱形，且∠AOC=60°，∴OA ∥BC ，OA=OC=4, ∠DOC=30°，∴∠AOD+∠ODB=180°，∴∠ODB=90°，∴BD ⊥x 轴，在Rt △ACD 中，sin 30CDCO︒=，cos30ODCO︒=，∴CD=2，3，∴C 点的坐标为（32）. ∵A 点的坐标是（0，4），∴可设直线AC 的表达式为4y kx =+，将C 点坐标代入，可得：2234k =+，解得：3k =，∴设直线AC 的表达式为34y x =+. 三、解答题（本大题共10小题，满分82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2018湖南郴州，17，6）计算：()20181122sin 4521--︒+--解：()20181122sin 4521--︒+--=211321212121222-+-=-=- 18．（2018湖南郴州，18，6）解不等式组：()32214232x x x x +>-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来.解：解不等式①，得：4x >-；解不等式②，得：0x ≤，将这两个不等式的解集分别表示在数轴上：∴不等式组的解集为：40x -<≤ 19．（2018湖南郴州，19，6） 如图，在□ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD 、BC 于E 、F ，连接BE 、DF.求证：四边形BFDE 是菱形.证明：∵BD 垂直平分EF ，∴EO=FO ，∠EOD=∠FOB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EDO=∠FBO ，∴△EOD ≌△FOB ，∴OB=OD ，∵EO=FO ，EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形. 20．（2018湖南郴州，20，8）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校举办“创文知识”抢答赛，欲购买A 、B 两种奖品以奖励抢答者.如果购买A 种20件，B 种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B 种10件，共需280元. （1）A 、B 两种奖品每件各是多少元？（2）现要购买A 、B 两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A 种奖品最多购买多少件？ 解：（1）设A 、B 两种奖品每件各是x 、y 元，依题意，得：20153801510280x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：164x y =⎧⎨=⎩. 答：A 、B 两种奖品每件各是16、4元.（2）设A 种奖品最多购买a 件，B 种奖品购买()100a -件，依题意，得：()164100900a a +-≤，解得：1253a ≤. 答：A 种奖品最多购买41件. 21．（2018湖南郴州，21，8） 小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B 、C 的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D ，B ，C 在同一水平线上，已知桥BC=30米，求无人机飞行高度AD.（精确到0.01米，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）解：由题意，易得：A E ∥CD ，∴∠EAC=∠ACD=30°，∠EAB=∠ABD=60°，设AD=x ， 在Rt △ACD 中，tan 30ADCD︒=，3x ；在Rt△ABD中，tan60AD BD︒=，BD=33x；∵CD-BD=BC，BC=30米，∴33303x x-=，15325.98x=≈（米）.答：无人机飞行高度AD约为25.98米.22．（2018湖南郴州，22，8）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°. （1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若A E⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长.解：（1）∵∠AEC=30°，∴∠B=∠AEC=30°，∵AB=AD，∴∠B=∠D=30°，连结OA，∴OA=OB，∴∠B=∠BAO=30°，∴∠AOD=60°，∴∠OAD=180°-30°-60°=90°，∴OA⊥A D，∴直线AD是⊙O的切线；（2）∵∠AOC=60°，OA=OB，∴△OAC是等边三角形，∵⊙O的半径为4，A E⊥BC，∴sinAMAOCOA∠=，23AM=，∴AE=243AM=.23．（2018湖南郴州，23，8）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血.献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型，在献血者人群中随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：血型 A B AB O人数10 5（1）这次随机抽取的献血者人数为人，m= ；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A 型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？解：（1）由统计图表知：AB型人数有5人，其所占百分比为10%，故总人数为：5÷10%=50（人）；∵B型血有10人，∴10÷50=20%；（2）∵O 型血人数为：50×46%=23（人），∴A 型血人数有：50-10-5-23=12（人）； （3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A 型的概率是：14； ∵A 型血所占的百分比为：12÷50=24%，∴3000人中A 型血大约有：3000×24%=720（人）. 24．（2018湖南郴州，24，8） 参照学习函数的过程与方法，探究函数()20x y x x-=?的图象与性质.因为221x y x x -==-，即21y x =-+，所以我们对比函数2y x=-来探究. 列表： x…-4-3-2-112-121 2 3 4 …2y x =-…12 23 1 2 4-4-2 -1-2312-…2x y x-=…32532 3 5 -3 -1 013 12…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以2x y x-=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示.（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来： （2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当0x <时，y 随x 的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②2x y x -=的图象是由2y x=-的图象向 平移 个单位而得到； ③图象关于点 中心对称.（填点的坐标） （3）设A ()11,x y ，B ()22,x y 是函数2x y x-=的图象上的两点，且12x x +=0，试求123y y ++的值.解：（1）连点成线，画出函数图象，描点如下图所示：（2）①当0x <时，y 随x 的增大而增大 ；（填“”或“减小”）； ②2x y x -=的图象是由2y x=-的图象向上平移1个单位而得到； ③图象关于点（1，0）中心对称.（3）方法1：观察表格，当1x 、2x 分别取互为相反数的一组数时，其函数值相加的和总为2，即122y y +=，∴123y y ++=2+3=5.方法2：∵()1212121212222221122x x y y x x x x x x +⎛⎫+=-+-=-+=-⎪⋅⎝⎭，12x x +=0， ∴12y y +=2，∴123y y ++=2+3=5.25．（2018湖南郴州，25，10） 如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，与x 轴的交点为D ，在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ，①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标.解：（1）∵2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0），∴01093b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为：223y x x =-++；（2）∵抛物线的表达式为：223y x x =-++，∴抛物线的对称轴为12bx a=-=，C 点的坐标为（0，3），∴D 点的坐标为（1，0），∵点P 的横坐标为t ，且点P 在抛物线223y x x =-++上，∴P 点的坐标为（t ，223t t -++），设M 点的坐标为（1，a ），分两种情况讨论：①M 点在x 轴的上方，当四边形CDPM 是平行四边形，且C 、P 和D 、M 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N ，根据平行四边形对角线互相平分，则N 点的坐标可表示为（02t +，23232t t -++）或（1，02a +），∴02t +=1，23232t t -++=02a +，解得：t =2，a =6, ∴M 点的坐标为（1，6）；②M 点在x 轴的下方，当四边形CDMP 是平行四边形，且C 、M 和D 、P 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N ′，根据平行四边形对角线互相平分，则N ′点的坐标可表示为（12，32a +）或（12t +，2232t t -++），∴12=12t +，32a +=2232t t -++，解得：t =0，a =0, ∴M 点的坐标为（1，0），此时M 点和D 点重合，且P 点不在第一象限，C 、D 、M 、P 四点不能形成平行四边形，故不存在； 综上，点M 的坐标为（1，6）；（3）①∵B （3，0），C （0，3），∴OB=3，OC=3，设P 点的坐标为（t ，223t t -++），过点P 分别作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，垂足分别为E 、F ，∴PE=223t t -++，PF=t ，连结OP ，则：POC POB BOC S S S S ∆∆∆=+-()2111332333222t t t =⨯⋅+⨯⋅-++-⨯⨯ ()2132332t t t =⨯⋅-++- ()223393222t t t t =-+=-+ ∴S 关于t 的函数表达式为S=23922t t -+；②∵B （3，0），C （0，3），∴OB=3，OC=3，∴BC=，设P 点到直线BC 的距离为h ，则△PBC 的面积S=122h ?，∵S=23922t t -+，∴2h =23922t t -+，)23h t t =--229933244228t t t ⎛⎫⎫=--+-=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴当t =32时，h ，此时P 点的坐标为（32，154）.26．（2018湖南郴州，26，12）在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，点P 是CD 边上的任意一点（不含C ，D 两端点），过点P 作PF ∥BC ，交对角线BD 于点F.（1）如图1，将△PDE 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，QF 交AD 于点E.求证：△DEF 是等腰三角形； （2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P ′DF ′，连接P ′C ，F ′B ，设旋转角为a ()0180a ?<?.①若0a ?<∠BDC ，即DF ′在∠BDC 内部时，求证：△DP ′C ～△DF ′B ；②如图3,若点P 是CD 的中点，△DF ′B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan ∠DBF ′的值，如果不能，请说明理由.解：（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∵PF∥BC，∴PF∥AD，∴∠ADB=∠DFP，∵将△PDE沿对角线BD翻折得到△QDF，∴∠DFE=∠DFP，∴∠ADB=∠DFE，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①∵PF∥BC，∴DP DFDC DB=，∵△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′，∴∠BDF′=∠CDP′，DP′=DP，DF=DF′，∴DP DFDC DB=′′，∴△DP′C～△DF′B；②由①知，△DP′C～△DF′B，∴∠DBF′=∠DCP′，∵点P是CD的中点，∴DP=12 DC，∵△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′，∴∠BDF′=∠CDP′，DP′=DP，∠DF′B=∠DP′C，当∠DF′B=90°时，有∠DP′C =90°，∴DP=DP′=12DC，∴∠P′CD =30°，故tan∠DBF′=tan∠DCP′=tan30°=3当∠B DF′=90°时，有∠C DP′=90°，∴DP=DP′=12DC，故tan∠DBF′=tan∠DCP′=12.。