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九年级上册数学笔记整理人教版

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九年级上册数学笔记整理人教版一、一元二次方程。

(一)定义。

1. 只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程。

- 一般形式:ax² + bx + c = 0(a≠0),其中ax²是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。

(二)解法。

1. 直接开平方法。

- 对于方程x² = p(p≥0),解得x = ±√(p)。

- 例如,方程(x - 3)² = 4,则x - 3 = ±2,x = 3±2,即x = 1或x = 5。

2. 配方法。

- 步骤:- 把方程化为ax²+bx = - c的形式。

- 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方,即x²+(b)/(a)x+((b)/(2a))² = - (c)/(a)+((b)/(2a))²。

- 把左边写成完全平方式(x+(b)/(2a))²,然后用直接开平方法求解。

- 例如,对于方程x²+6x - 7 = 0,移项得x²+6x = 7,配方得x² + 6x+9 = 7 + 9,即(x + 3)²=16,解得x=-3±4,x = 1或x=-7。

3. 公式法。

- 对于一元二次方程ax²+bx + c = 0(a≠0),其求根公式为x=(-b±√(b² -4ac))/(2a)。

- 其中b² - 4ac叫做判别式,记作Δ=b² - 4ac。

- 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根。

- 当Δ = 0时,方程有两个相等的实数根。

- 当Δ<0时,方程没有实数根。

- 例如,方程2x² - 3x - 2 = 0,其中a = 2,b=-3,c=-2,Δ=(-3)²-4×2×(-2)=9 + 16 = 25>0,根据公式x=(3±√(25))/(4)=(3±5)/(4),解得x = 2或x =-(1)/(2)。

(完整word版)人教版数学九年级上册知识点整理

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ADC=180°.
知识点五:与圆有关的位置关系
5.点与圆
的位置关系
设点到圆心的距离为d.
⑴d<r?点在OO内;(2)d=r?点在OO上;(3)d>r?点在OO夕卜.
6.直线和 圆的位
m¥方
宀护¥方位置大糸
相离
相切
相交
图形
l®1
[GDI
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
dvr
知识点六:切线的性质与判定
解•
(2 )因式分解法:可化为(ax+m)(bx+ n)=0的方程,用因式分解法求
解•
(3 )公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为x=
2.一元二次方
b曲4ac(b2-4ac>0).2a
程的解法
(4)配方法:当元二次方程的二次项糸数为1, 次项糸数为偶数时,
也可以考虑用配方法.

先用其他,再用公式
(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于半圆的 弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧.
(4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角
(5)圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个 交点的角叫做圆周角.
(6)弦心距:圆心到弦的距离.
知识点二:垂径定理及其推论
2.垂径定
理及其推

定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
知识点三:二次函数的平移
4.平移与
解析式
的关系
x/_ov2向左(h<0)或向右(h>0)2向上(k>0)或向下(kv0)2
常”>y=a(x-h)—、y=a(x—h)2+k

最新人教版九年级数学上册知识点总结全套

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最新人教版九年级数学上册知识点总结全套数学上册知识点总结21.1 一元二次方程知识点一:一元二次方程的定义一元二次方程是指等号两边都是只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程。

注意以下几点:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。

知识点二:一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax2+ bx + c = 0(a≠0)。

其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。

知识点三:一元二次方程的根一元二次方程的根是指使方程左右两边相等的未知数的值。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一:直接开平方法解一元二次方程1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。

对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a。

2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。

3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。

知识点二:配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为:①把常数项移到等号的右边;②方程两边都除以二次项系数;③方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;④若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。

21.2.2 公式法知识点一:公式法解一元二次方程一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为x=b±b2-4ac2a,这个公式叫做一元二次方程的求根公式。

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一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式: x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
有括号的先算括号里的(或先去括号)。
4、因式分解法
我去人也就有人!为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意因式调分解剖法沙就是龙利用课因反式分倒解的是手龙段,卷求出风方前程的一解的天方我法,分这种页方符法简Z单N易BX吃噶十 行,是解一元二次方程最常用的方法。
开方数 a 必须是非负数。
ax2 bx c 0(a 0) ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数 x 的二次多
2、最简二次根式 若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开
项式,等式右边是零,其中 ax2 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,
得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。
弧也相等。
三、垂径定理及其推论
推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论 3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三
尽方的因数或因式开出来。 3、同类二次根式
直接开平方法适用于解形如 (x a)2 b 的一元二次方程。根据平方根的定义可知,
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫 做同类二次根式。
x a 是 b 的平方根,当 b 0 时, x a b , x a b ,当 b<0 时,方程没有
b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:

新人教版九年级数学上册知识点归纳

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一. 整式的加减法和乘法
- 整式的加减法
- 同类项的加减法原则
- 不同类项的加减法原则
- 整式的乘法
- 单项式乘法
- 多项式乘法
二. 因式分解与整式的乘法
- 因式分解
- 公因式提取法
- 平方差公式
- 立方差公式
- 和差化积公式
- 整式的乘法
- 定积分法
- 化简法
三. 一次函数与二次函数
- 一次函数
- 函数的概念和表示方法
- 函数的图象
- 函数的性质和应用
- 二次函数
- 函数的概念和表示方法
- 函数的图象
- 函数的性质和应用
四. 几何图形的认识
- 点、线和面的基本概念
- 几何图形的分类
- 几何图形的性质和判定方法
五. 平面坐标系
- 平面直角坐标系
- 平面直角坐标系中的点及其坐标- 平面直角坐标系中的线段及其长度- 平面直角坐标系中的图形
六. 相交与平行线
- 直线的概念和表示方法
- 直线的性质和判定方法
- 直线间的位置关系
- 平行线判定的方法
七. 形状与变换
- 图形的相似关系和判定方法
- 图形的全等关系和判定方法
- 图形的对称关系和判定方法
- 图形的平移、旋转和翻转
八. 数据的收集和处理
- 数据的收集和整理方法
- 数据的图表表示
- 数据的统计分析
以上是新人教版九年级数学上册的知识点归纳,包括整式的加减法和乘法、因式分解与整式的乘法、一次函数与二次函数、几何
图形的认识、平面坐标系、相交与平行线、形状与变换,以及数据的收集和处理。

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新人教版九年级上册数学知识点归纳第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式:ax2+bx+c=0时,应满足(a≠0)21.2 降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法:用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法,配方的依据是完全平方公式。

1.转化:将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式)2.系数化1:将二次项系数化为13.移项:将常数项移到等号右侧4.配方:等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形:将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方:左右同时开平方7.求解:整理即可得到原方程的根3、公式法公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的,由于一元一次方程未知数是一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决.如果未知数出现二次,用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题,数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等.第二十二章 二次函数22.1二次函数及其图像二次函数(quadratic function )是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

人教版九年级数学上册知识点

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人教版九年级数学上册知识点人教版九年级数学上册知识点概述一、实数与代数表达式1. 实数的概念与性质- 正实数、负实数、零- 实数的四则运算- 实数的大小比较2. 代数表达式的运算- 整式的加法与减法- 乘法分配律- 幂的乘方与积的乘方- 单项式与多项式的乘法- 多项式的因式分解3. 二次根式的运算- 二次根式的定义- 二次根式的乘法与除法- 二次根式的加法与减法- 完全平方公式与平方差公式二、方程与不等式1. 一元一次方程与不等式- 方程的解法- 含绝对值的一元一次方程- 一元一次不等式的解集2. 二元一次方程组- 代入法与消元法- 方程组的解的情况3. 一元二次方程- 一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法)- 一元二次方程根的判别式三、平面图形的性质1. 平行线与角- 平行线的判定与性质- 同位角、内错角、同旁内角- 角的平分线2. 三角形的性质- 三角形的内角和外角- 等腰三角形与等边三角形的性质- 三角形的中位线定理3. 特殊三角形- 直角三角形的性质与勾股定理- 直角三角形的判定- 含30°角的直角三角形的性质4. 平行四边形与圆- 平行四边形的性质与判定- 圆的基本性质- 圆周角与圆心角的关系- 扇形与弧长四、空间图形的性质1. 空间图形的观察- 视图的画法- 空间图形的展开图2. 空间图形的测量- 体积的计算- 表面积的计算五、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读2. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算- 用树状图法解决简单的概率问题以上是人教版九年级数学上册的主要知识点概述。

这些知识点构成了九年级数学课程的核心内容,学生需要掌握这些概念、公式和解题方法,以便在数学学习中取得良好的成绩。

教师和家长应指导学生通过练习和应用这些知识点,加深理解和记忆,提高解题能力。

九年级数学课本知识点人教版

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九年级数学课本知识点人教版初三新学期数学知识点一、圆的定义1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素1、半径:圆上一点与圆心的连线段。

2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧:圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

(1)劣弧:小于半圆周的弧。

(2)优弧:大于半圆周的弧。

5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。

6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。

7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形,它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。

(3)圆是对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论:平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

(1)同弧所对的圆周角相等。

(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r,OP=d。

7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

(2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距离相等。

(直角的外心就是斜边的中点。

)8、直线与圆的位置关系。

d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。

直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;直线与圆没有交点,直线与圆相离。

9、中,A(x1,y1)、B(x2,y2)。

10、圆的切线判定。

(1)d=r时,直线是圆的切线。

切点不明确:画垂直,证半径。

(2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

人教版初三上册数学各章节重要知识点概要

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人教版初三上册数学各章节重要知识点概要第二十一章一元二次方程一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。

研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ; 其中a 、 b,、c 可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.二、降次----解一元二次方程1.降次:把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程,都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如x2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。

3、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法解一元二次方程的步骤是:①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。

4、公式法:公式法是用求根公式,解一元二次方程的解的方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式: )04(2422≥--±-=ac b a acb b x当ac b 42->0时,方程有两个实数根。

当ac b 42-=0时,方程有两个相等实数根。

当ac b 42-<0时,方程没有实数根。

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人教版九年级数学上册知识点整理完整版一、代数与函数1.代数简介①常数:数值不变的量。

②变量:数量可能改变的量。

③代数式:由数、字母、加减乘除号、括号等符号组成的式子。

④同类项:指含有相同字母并且指数相同的项。

⑤合并同类项:指将同类项合并成一个项。

⑥因式分解:将代数式表示成幂或较简单的代数式,叫做因式分解。

⑦方程式&方程:一个代数式与另一个代数式在等号两边,称为方程式,且方程式构成了等式。

2.一次函数①函数:将自变量的某个取值代入函数中得到唯一的因变量的值,称为函数。

②自变量:输入的值③函数表达式:用代数式表示函数的式子称为函数表达式④一次函数:函数表达式中,最高次项是一次幂的函数叫一次函数,也叫线性函数。

⑤斜率:函数: y = kx + b ,函数图象的斜率 k,即为直线的斜率。

3.二次函数①二次函数:函数表达式中,最高次项是二次幂的函数,叫做二次函数。

②二次函数的一般式:f(x) = ax² + bx + c(a≠0)③二次函数的顶点:二次函数图象的转折点,称为顶点。

④二次函数的对称轴:图象关于 x = -b/ 2a 对称的直线,称为二次函数的对称轴。

⑤二次函数的最小值/最大值:二次函数)的顶点纵坐标所对应的函数值,是二次函数的最小值或最大值。

4.函数的研究①函数图象的基本性质:函数的零点、函数值的正负、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近线等。

②函数的零点:函数 f(x) = 0 的解叫做函数的零点。

即 f(x) = 0 时 x 的解。

③函数类型:函数分类标准通常有函数的定义域和值域、图象、函数表达式等。

二、图形的认识1.图形的一些概念①线段:由两个端点所组成的线段,叫做线段。

②射线:在一个端点处向一个方向上延伸的线段,叫做射线。

③直线:没有端点,在一个方向上延伸的线段,称为直线。

④平行线:永远不会相交的两条直线叫做平行线。

⑤垂直平分线:在一条直线上,垂直于该线段、且等分该线段的线,称为垂直平分线。

人教版九年级上册数学知识点总结

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人教版九年级上册数学知识点总结九年级上册知识点二次根式知识点考点1、无理数无限不循环的小数,叫做无理数。

常见的无理数:1、π以及π的有理数倍数。

2、、、;3、2.…………考点2、二次根式的概念形如(a≥)的式子叫做二次根式。

1、被开放数a是一个非负数;2、二次根式是一个非负数,即≥;3、有限个二次根式的和等于,则每个二次根式的被开方数必须是0.考点3、移因式于根号内、外的方法移因式于根号外1、当根号外的数是一个负数时,把负号留在根号外,然后把这个数平方后移到根号内2、当根号内的数是一个正数时,直接把这个数平方后移到根号内移因式于根号内1、当根号内的数是正数时直接开方移到根号外2、当根号内的数是负数时开方移到根号外后要添上负号考点4、最简二次根式知识回顾:满意下列前提的二次根式,叫做最简二次根式:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

知识特点:1、最简二次根式中一定不含有分母;n2、对于数大概代数式,它们不能在写成a×m的方式。

考点5、二次根式的化简与计算二次根式的化简,实际上就是把二次根式化成最简二次根式,然后,通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。

二次根式的加减运算:a二次根式的乘法运算:.+b==(a+b),(m≥);,( a≥0, b≥0);二次根式的除法运算:÷=,( a≥0, b>0);二次根式的乘方运算:=a,( a≥0);二次根式的开方运算:=考点6、1、不同点:XXX的平方,而与与的异同点表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平透露表现一个实数a的平方的算术平方根;时,=;时,2、不异点:当被开方数都长短负数,即无意义,而一元二次方程考点1、一元二次方程1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式:十一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中,它的特征是:等式左边叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。

人教版九年级上册数学知识点汇总

人教版九年级上册数学知识点汇总

作为资深教师,整理人教版九年级上册数学知识点汇总如下:一、一元二次方程1. 定义•等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。

一般形式为:ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)。

2. 解法•配方法:通过配成完全平方形式来解一元二次方程。

步骤包括:移项、除二次项系数、配方、开平方。

•公式法:利用一元二次方程的求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)(当b² - 4ac ≥ 0时)求解。

•因式分解法:将方程的一边化为0,另一边分解为两个一次因式的积,从而转化为求解两个一元一次方程。

3. 根与系数的关系•若一元二次方程x² + px + q = 0的两个根为x₁和x₂,则有:x₁ + x₂ = -p,x₁x₂ = q。

二、实际问题与一元二次方程1. 应用步骤•审:读懂题目,弄清题意,明确已知量和未知量以及它们之间的等量关系。

•设:设出未知数。

•列:列出方程,这是关键步骤,需找出能够表达应用题全部含义的相等关系,并列出含有未知数的等式。

•解:解方程,求出未知数的值。

•验:检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。

•答:写出答案。

2. 常见类型•数字问题:如三个连续整数、连续偶数(奇数)的表示。

•增长率问题:设初始量为a,终止量为b,平均增长率或降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)² = b。

•利润问题:常用关系式有总利润=总销售价-总成本,或总利润=单位利润×总销售量,或利润=成本×利润率。

•图形的面积问题:根据图形的面积与图形的边等高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程。

三、二次函数1. 定义•一般地,形如y = ax² + bx + c(a, b, c是常数,a ≠ 0)的函数,叫做二次函数。

人教版数学九年级上册知识点归纳

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人教版数学九年级上册知识点归纳1.二次根式二次根式是指含有二次根号“√”且被开方数a必须是非负数的式子。

最简二次根式是指被开方数的因数和因式都是整数和整式,且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。

化简二次根式的方法和步骤包括:将被开方数是分数或分式的式子先写成分式形式,再利用分母有理化进行化简;将被开方数是整数或整式的式子先分解因数或因式,再将能开得尽方的因数或因式开出来。

同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后,它们的被开方数相同。

2.一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程。

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(其中a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。

解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法和公式法。

直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程,利用平方根的定义直接开平方求解。

配方法是利用完全平方公式将一元二次方程转化为(x±b)2的形式,再求解。

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法,求根公式为x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)。

关于y轴对称的点的特征:当两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反。

即点P(x,y)关于y 轴的对称点为P’(-x,y)。

第四单元圆:一、圆的相关概念1、圆的定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示:以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”。

二、弦、弧等与圆有关的定义1、弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图中的AB)。

2、直径:经过圆心的弦叫做直径(如图中的CD),直径等于半径的2倍。

3、半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。

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−n± p m人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的有关概念(一)一元二次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程。

(二)一元二次方程的一般形式:ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)其中:二次项为ax 2;二次项系数为 a ;一次项为 bx ,一次项系数为 b ;常数项为 c 。

特殊形式:(三)一元二次方程中“未知数的最高次数是 2,二次项系数 a≠0”是针对整理合并的方程而言的。

(四)一元二次方程的解(根)1、概念:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。

2、判断一个数是否是一元二次方程的根将这个数代入一元二次方程的左右两边,看是否相等,若相等,则该数是这个方程的根;若不 相等,则该数不是这个方程的根。

3、关于一元二次方程根的三个重要结论(1)a+b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =1。

(2)a-b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =﹣1。

(3)c=0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =0。

二、解一元二次方程(一)直接开平方法解一元二次方程1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方,求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。

2、方程x 2 = p 的根(1) 当 p>0 时,根据平方根的意义,方程x 2 = p 有两个不相等的实数根x 1 = p ,x 2 =− p 。

(2) 当 p=0 时,方程x 2 = p 有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0。

(3) 当 p<0 时,因为对任意实数 x ,都有x 2≥0,所以方程x 2 = p 无实数根。

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人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)人教版九年级数学上册知识点整理一、有理数有理数是整数和分数的集合。

有理数的数轴上,0的左侧是负有理数,右侧是正有理数。

加、减、乘、除有理数的运算规则。

二、立方根如果一个数的立方等于另一个数,那么这个数叫做另一个数的立方根。

三、代数式由数、变量及运算符号组成的式子叫做代数式。

其中数叫做常数项,变量叫做一次项。

四、图形的基本要素和运动绿色的箭头表示平移,红色的箭头表示旋转,蓝色的箭头表示对称。

五、全等三角形若两个三角形的三边和三角形的三个角分别相等,则称这两个三角形全等。

六、相似三角形若两个三角形的三个角分别相等,则称这两个三角形相似。

七、平移与旋转1、平移:用平移将一个点沿一个方向移动到另一个位置,移动的距离及方向相同,不改变点的属性。

2、旋转:以一个点为中心旋转某个图形的每个点,旋转的角度相同,不改变图形的形状和大小。

八、直线和角两条不共线的直线分别与一条直线相交所形成的两个相邻角互为补角。

九、相反数两个数互为相反数,当且仅当它们的和为0。

十、分数的意义和性质1、通分:将几个分数化成分母相同的分数。

2、分数的约分、化分;十一、用比例表示实际问题利用比例,确定两个量之间的等比关系,以解决实际问题。

十二、扇形和弧1、扇形是由两条半径及其所夹的圆周构成。

2、弧是圆上任意两点之间的弧。

3、圆心角,切线和弦的关系。

十三、比例和类比1、比例含义:比例是两个量之间的等比关系。

2、异比例的解决方法:设比例系数为k,则两个量之间的关系为y=kx或xy=k。

十四、平行四边形和直角梯形1、平行四边形的性质:对角线互相平分;一个角的补角等于它的邻角。

2、直角梯形:有两条平行的底和两个底的夹角为90°的四边形。

十五、直角三角形1、勾股定理:直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。

2、定比分点定理:在一条线段上,任意三点A、B、C,如果AC:CB=k:1,则称B为AC上的k:1分点。

人教版九年级数学上册重点知识点总结

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人教版九年级数学上册重点知识点总结一、实数1.有理数1.1 定义:整数和分数统称为有理数。

1.2 分类:正有理数、负有理数和零。

1.3 性质:有理数加减乘除遵循交换律、结合律和分配律。

1.4 相反数、绝对值:一个数的相反数是与它的数值相等,但符号相反的数;一个数的绝对值是它与零的距离。

2.无理数2.1 定义:不能表示为两个整数比的数称为无理数。

2.2 性质:无理数不能精确表示,只能近似计算。

2.3 常见无理数:π、√2、√3等。

3.实数3.1 定义:有理数和无理数的集合称为实数。

3.2 性质:实数加减乘除遵循交换律、结合律和分配律。

二、代数式1.代数式的概念1.1 代数式是由数字、字母和运算符组成的表达式。

1.2 代数式的分类:单项式、多项式、函数等。

2.单项式2.1 定义:只有一个项的代数式称为单项式。

2.2 项的系数:单项式中字母的系数是该字母前的数字。

3.多项式3.1 定义:有两个或以上项的代数式称为多项式。

3.2 多项式的度:多项式中最高次项的次数称为该多项式的度。

4.函数4.1 定义:对于每个输入值,都有唯一输出值的代数式称为函数。

4.2 函数的表示方法:解析式、表格、图象等。

三、方程(含方程组)1.一元一次方程1.1 定义:只有一个未知数,且未知数的最高次数为1的方程称为一元一次方程。

1.2 解法:移项、合并同类项、化简等。

2.二元一次方程2.1 定义:有两个未知数,且未知数的最高次数为1的方程称为二元一次方程。

2.2 解法:代入法、消元法等。

3.方程组3.1 定义:由两个或以上方程组成的解集称为方程组。

3.2 解法:代入法、消元法、图解法等。

四、不等式(含不等式组)1.不等式1.1 定义:用“>”、“<”、“≥”、“≤”等不等号表示两个数之间大小关系的式子称为不等式。

1.2 解法:同方向不等式可以相加减,异方向不等式需要变号。

2.不等式组2.1 定义:由两个或以上不等式组成的解集称为不等式组。

人教版九年级上册数学各单元知识点归纳总结

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人教版九年级上册数学各单元知识点归纳总结数学九年级上册共有十个单元,分别是集合与函数、有理数与运算、整式的加减、整式的乘法、一次函数与方程、比例与百分数、线性方程组、平方根与整式的除法、直角三角形与勾股定理、统计与概率。

下面将详细介绍这些单元的知识点。

一、集合与函数:1.集合:元素、属于、不属于、集合的相等、全集、子集、交集、并集、差集、互斥集、余集。

2.函数:自变量、因变量、函数的值、定义域、值域、函数的相等、奇函数、偶函数、函数的和差积商、反函数。

3.函数的图象:平移、伸缩、翻折、求过给定点的直线方程。

二、有理数与运算:1.有理数:整数、分数、有理数的相反数、绝对值、有理数的大小、有理数的加减乘除。

2.小数:有限小数、无限小数、循环小数、无理数、实数。

3.数轴与有理数:数轴上的点、有理数与数轴的对应关系、有理数的大小关系、有理数的加法减法、有理数的乘法除法。

4.分式:分数的性质、带分数、分数的加减乘除。

三、整式的加减:1.代数式:字母、代数式的加减、整式、项、系数、常数项。

2.同类项:同类项的合并与分拆、整式的加法、整式的减法。

四、整式的乘法:1.乘法基本公式:乘法基本公式的应用、平方差公式、差的平方公式、完全平方公式、立方差公式、立方和公式、整式的乘法。

2.因式与倍式:因式分解、互质、最大公因式。

五、一次函数与方程:1.函数与方程:线性函数、一次函数、函数的表示、函数的图象、函数的性质、函数关系、一元一次方程、方程的解。

2.解一次方程:等式的性质、移项变号、等式的逆运算、绝对值不等式。

六、比例与百分数:1.比例:比例的概念、比例的扩大与缩小、比例的性质、四边形的对边比、折线的边长比。

2.百分数:百分数与百分数、百分数与小数、百分数与分数、百分数的运算、平均数、加权平均数。

七、线性方程组:1.二元一次方程组:线性方程组、二元一次方程组、方程组的解、解二元一次方程组。

2.三元一次方程组:解三元一次方程组。

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第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式:ax2+bx+c=0时,应满足(a≠0)21.2 降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法:用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法,配方的依据是完全平方公式。

1.转化:将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式)2.系数化1:将二次项系数化为13.移项:将常数项移到等号右侧4.配方:等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形:将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方:左右同时开平方7.求解:整理即可得到原方程的根3、公式法公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的,由于一元一次方程未知数是一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决.如果未知数出现二次,用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题,数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等.第二十二章二次函数22.1二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为y=ax2+bx+c(a不为0)。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:一般式y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,(b2-4ac)/4a) ;顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] ;重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。

a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的平方的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。

轴对称1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)xy顶点2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,4ac-b2)/4a )当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b2-4ac=0时,P在x轴上。

开口3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

|a|越大,则抛物线的开口越小。

决定对称轴位置的因素4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b 异号时即ab< 0 ),对称轴在y轴右。

事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

决定抛物线与y轴交点的因素5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)抛物线与x轴交点个数6.抛物线与x轴交点个数Δ= b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。

当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值,当a<0时,函数在x= -b/2a处取得最大值当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,7.特殊值的形式①当x=1时 y=a+b+c ②当x=-1时 y=a-b+c ③当x=2时 y=4a+2b+c④当x=-2时 y=4a-2b+c用函数观点看一元二次方程1. 如果抛物线y ax bx c=++2与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x x=0时,函数的值是0,因此x x=0就是方程ax bx c20++=的一个根。

2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。

这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。

实际问题与二次函数在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

第二十三章旋转23.1 图形的旋转1. 图形的旋转(1)定义:在平面内,将一个圆形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角称为旋转角。

(2)生活中的旋转现象大致有两大类:一类是物体的旋转运动,如时钟的时针、分针、秒针的转动,风车的转动等;另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案,如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。

(3)图形的旋转不改变图形的大小和形状,旋转是由旋转中心和旋转角所决定,旋转中心可以在图形上也可以在图形外。

(4)会找对应点,对应线段和对应角。

2. 旋转的基本特征:(1)图形在旋转时,图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

(2)图形在旋转时,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等;(3)图形在旋转时,图形的大小和形状都没有发生改变。

3. 几点说明:(1)在理解旋转特征时,首先要对照图形,找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。

(2)旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。

(3)旋转中心的确定分两种情况,即在图形上或在图形外,若在图形上,哪一点旋转过程中位置没有改变,哪一点就是旋转中心;若在图形外,对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。

23.2 中心对称中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180°,假如它能够与另一个图形重合,那么这刘遇图形关于这个点对称或中心对称。

中心对称的性质:①关于中心对称的刘遇图形,对应点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。

②关于中心对称的刘遇图形是全等形。

中心对称图形:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。

对称点的坐标规律:①关于x轴对称:横坐标不变,纵坐标互为相反数,②关于y轴对称:横坐标互为相反数,纵坐标不变,③关于原点对称:横坐标、纵坐标都互为相反数。

23.3 课题学习图案设计灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计.图案设计就是通过图形变换(平移、旋转、轴对称或几种的组合)把基本图形组成具有一定意义的新图形,图案设计时不仅要看是否正确使用了图形变换,还要看图案是否很好的体现了设计意图.第二十四章圆24.1 圆定义:(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

(2)平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆。

圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心(2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。

(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。

(4)垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注:圆心一般用字母O表示直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。

直径一般用字母d表示。

半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。

半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。

圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。

在同圆或等圆中:直径是半径的2倍,半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。

圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。

计算时,通常取它的近似值,π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。

πr^2,用字母S 表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。

周长计算公式1.、已知直径:C=πd 2、已知半径:C=2πr 3、已知周长:D=c\π4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长:1\2周长+直径面积计算公式:1、已知半径:S=πr 平方2、已知直径:S=π(d\2)平方3、已知周长:S=π(c\2π)平方24.2 点、直线、圆和圆的位置关系1. 点和圆的位置关系① 点在圆内⇔点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上⇔点到圆心的距离等于半径③ 点在圆外⇔点到圆心的距离大于半径2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

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