三角函数高考计算题解析

三角函数五年高考荟萃（1）

12.（2008广东高三地区模拟）如图A 、B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限. C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为34,

55⎛⎫ ⎪⎝⎭，△AOB 为正三角形. （Ⅰ）求sin COA ∠；

（Ⅱ）求cos COB ∠.

解：（1）因为A 点的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角函数定义可知4sin 5COA ∠=---4分 （2）因为三角形AOB 为正三角形，所以060AOB ∠=， 4sin 5COA ∠=，3cos 5

COA ∠=， -----------------------------6分 所以cos COB ∠=0cos(60)COA ∠+

00cos cos60sin sin 60COA COA =∠-∠ -------------------------10分 =3143343525210

-⋅-⋅=. --------------------------------------12分 理（Ⅱ）求2||BC 的值．

解：(Ⅱ)因为三角形AOB 为正三角形，所以60AOB ∠=，5

4sin =∠COA ，5

3cos =∠COA ， ……5分 所以cos cos(60)cos cos60sin sin60COB COB COB COB ∠=∠+=∠-∠

10

34323542153-=⋅-⋅= ……8分 所以222||||||2||||cos BC OC OB OC OB BOC =+-∠

343743112105

-+=+-⨯= ……12分 13.（北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知函数()23sin 2cos f x x x =-． （Ⅰ）若[]0x π∈，，求()f x 的最大值和最小值；

O x

y B A C 34(,)55

（Ⅱ）若()0f x =，求2

2cos sin 122sin 4x x x π--⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的值． 解：（Ⅰ） ()23sin 2cos f x x x =-

314sin cos 22x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝

⎭．…………………………3分 又[]0x π∈∵，，ππ5π666x -∴-≤≤， π24sin 6x ⎛⎫∴-- ⎪⎝

⎭≤≤4， max min ()4()2f x f x ==-∴，．…………………………6分

（II ）由于()0f x =，所以23sin 2cos x x =

解得 1tan 3

x =…………………………8分 22cos sin 1cos sin 2222sin 2sin cos 422x x x x x x x π---=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

·· 1

1cos sin 1tan 3231

cos sin 1tan 13

x x x x x x ---====-+++ 14.(广东省2008届六校第二次联考)已知向量(cos ,sin )αα=a , (cos ,sin )ββ=b , 255

-=a b . （Ⅰ）求cos()αβ-的值; （Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5sin 13β=-, 求sin α. 解:（Ⅰ）(cos ,sin )αα=a , (cos ,sin )ββ=b ,

()cos cos sin sin αβαβ∴-=--a b ，.

255-=a b , ()()

2225cos cos sin sin 5αβαβ∴-+-=, 即 ()422cos 5αβ--=

, ()3cos 5αβ∴-=. （Ⅱ）0,0,022

ππ

αβαβπ<<-<<∴<-<, ()3cos 5αβ-=, ()4sin .5

αβ∴-= 5sin 13β=-, 12cos 13β∴=, ()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ

∴=-+=-+-⎡⎤⎣⎦412353351351365

⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. 15.(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x . (Ⅰ)求f (4

π)的值； (Ⅱ)设α∈(0，43

π)，f (2α)＝5

1，求cos2α的值. 解：（Ⅰ）∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f(

4π)=sin 2π+cos 2π=1………5分 （Ⅱ）∵f(2

α)=sin α+cos α=51,∴1+sin2α=251, sin2α=2524-,……7分 ∴cos2α=257±

∵α∈（0，43π）∴2α∈（π，23π） ∴cos2α<0. 故cos2α=25

7-……10分 16.(河北衡水中学2008年第四次调考)已知向量a →＝(cosx,sinx),b →＝(2，2)，若a →·b →＝85，且π4＜x ＜π2,x

x x tan 1)tan 1(2sin -+求的值. 解：5

4)4cos(,58sin 2cos 2,58b a =-=+∴=⋅→

→πx x x 即 …………2分 ∵4

3)4tan(,53)4sin(,440,24=-=-<-<∴<<ππππππx x x x ……4分 3

4)4cot()4tan(-=--=+ππx x 2571)4(cos 2)22cos(2sin 2=--=-=ππx x x …………6分

∴ .75

28)34(257)4tan(2sin tan 1)tan 1(2sin -=-⨯=+⋅=-+πx x x x x …………10分 17.(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，

4），C （ααsin 3,cos 3）.

（Ⅰ）若)0,(πα-∈，且BC AC =，求角α的大小； （Ⅱ）若BC AC ⊥，求α

ααtan 12sin sin 22++的值。 解、（Ⅰ）由已知得：2222)4sin 3(cos 9sin 9)4cos 3(-+=+-αααα

则ααcos sin = 因为 )0,(πα-∈ 4

3πα-=∴ …… …5分 （Ⅱ）由0)4sin 3(sin 3cos 3)4cos 3(=-⋅+⋅-αααα 得43cos sin =+αα 平方得 16

72sin -=α ………..8分 而16

72sin cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin 2tan 12sin sin 2222-===++=++αααααααααααα--10分 18.(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（

3π 2π2，），且a ⊥b ． （1）求tan α的值；

（2）求cos(π23

α

+)的值． 解：（1）∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0．而a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)， 故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2

α＝0． 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4 ＝0．解之，得tan α＝－43，或tan α＝12

． ∵α∈（3π 2π2，），tan α＜0，故tan α＝12（舍去）．∴tan α＝－43

． （2）∵α∈（3π 2π2，），∴3ππ24

α∈（，）． 由tan α＝－43，求得1tan 22α=-，tan 2

α＝2（舍去）． ∴525sin

cos 2525αα==-，， cos(π23α+

)＝ππcos cos sin sin 2323

αα- ＝251535252-⨯-⨯ ＝251510+-．