导数研究函数零点问题

利用导数研究方程的根

函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 1、已知函数()e ,x f x x =∈R .

(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线211

2

y x x =++有唯一公共点.

【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.

1(1)g'x

1

(x)g'==⇒=

k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线12

1

2++=x x y 有唯一公共点,过程如下.

则令,,121

121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---=

0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数 因此,

单调递增

时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =⇒>>=⇒<<0)(,0)0(')('===≥=⇒x R x h y h x h y 个零点上单调递增，最多有一在所以

所以,曲线y=f(x)与曲线12

12

++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2、已知函数()1x a

f x x e

=-+

(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)求函数()f x 的极值;

(2)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值. (1)()1x a f x e

'=-

, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.

(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.

所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,

故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值.

综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;

当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值. (2)当1a =时,()11x f x x e

=-+

. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程1

11x

kx x e -=-+

在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x

k x e -=

(*)

在R 上没有实数解.

①当1k =时,方程(*)可化为

1

0x e =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为1

1

x xe k =-.

令()x

g x xe =,则有()()1x

g x x e '=+.

令()0g x '=,得1x =-,

当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:

x (),1-∞-

1-

()1,-+∞

()g x '

-

+

()g x

1e

-

当1x =-时,()min g x e

=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭

.

所以当

11,1k e ⎛

⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭

时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -. 综上,得k 的最大值为1. 3、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=

，kx x g -=3

1

)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1） 求实数k 的取值范围；

（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．

解：（1）由题意x k x x f )1()(2

+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，

∴0)1()(2

>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立

即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k

（2）设3

12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，

①当1=k 时，0)1()(2

≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当1

x ),(k -∞ k

)1,(k 1 ),1(+∞ )(x h ' + 0 — 0 + )(x h ↗ 极大值3

12623-+-

k k ↘ 极小值21-k ↗ 由于02

<，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，

故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2

<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<0

2212k k k ，解得31-

4、 已知函数()()

ln ()x f x e a a =+为常数是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[一1，1]上的减函数． (I)求a 的值；

(II) 若()2

1g x t t λ≤++在x ∈[一1，1]上恒成立，求t 的取值范围．

(Ⅲ) 讨论关于x 的方程

2ln 2()

x

x ex m f x =-+的根的个数。

解：（I ）)ln()(a e x f x

+=是奇函数，则(0)0f =恒成立.0

ln()0.e a ∴+= 0

1,0.e a a ∴+=∴=（II ）又)(x g 在[－1，1]上单调递减，

,1sin )1()(max --=-=∴λg x g ,11sin 2++≤--∴t t λλ只需

.)1(011sin )1(2恒成立其中-≤≥++++∴λλt t 令),1(11sin )1()(2-≤++++=λλλt t h

则⎩⎨⎧≥+++--≤+,

011sin 1012

t t t ,

01sin 01sin 1

22恒成立而≥+-⎩⎨⎧≥+--≤∴t t t t t 1-≤∴t . （III ）由（I ）知,2ln ,)(2m ex x x

x

x x f +-=∴=方程为

令m ex x x f x x x f +-==2)(,ln )(221，2

1ln 1)(x

x

x f -=' ，