常微分方程期末试题复习资料

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常微分期末试题及答案

常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。

对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。

显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。

2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。

3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。

4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。

常微分方程复习(一)

M N y x 1 N x
因为
故存在仅与x有关的积分因子
( x) e

1 dx x
x
以 x乘方程两边得 :
( x2 2 xy)dx x2dy 0
( x2 2 xy)dx x2dy 0
这是恰当方程，对方程重新分项组合得
x dx (2xydx x dy) 0 1 3 d x ( ydx 2 x 2 dy ) 0 即 3 1 3 d ( x x2 y) 0 3 1 3 故方程的通解为: x x2 y c 3
dy f ( x, y ) 设 dx 解为y ( x, x0 , y0 ) y ( x0 ) y0
x f ( x, ) f ( x0 , y0 ) exp( dx) x0 x0 y x f ( x, ) exp( dx) x0 y0 y
exp(
1
1 dx) x x
题型：
一、填空（20分）二、求解微分方程（组）（60分）三、证明题（20分）
第一章（2---4分） 1.微分方程、线性微分方程概念 2.微分方程的解、通解 3.初值问题的解、定解条件
dy f ( x, y ) 一阶微分方程 dx 的解y ( x)所表示xy平面上的一条曲线,
称为微分方程的积分曲线.
x f ( x, ) ( x, x0 , y0 ) x0 1 [ f ( x0 , y0 ) exp( dx)]x 1 [ ] y0 0 y 0 x y x0 x1 ( x, 0, 0)
0 0 0
f (1, 0) exp(
0
x
cos(
x
) dx)
0

《常微分方程》期末练习

B）一阶变量可分离方程 D）一阶隐方程（ C）特解； D）不是解）
班级:＿＿＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿＿＿

x
0
e t dt 是 y"2 xy' 0 的
B）通解；
2
一．填空题（15 分）
1．已知一曲线上任一点 ( x, y ) 处的切线斜率为 y 则曲线方程为： 2．二阶线性常系数非齐次方程 x x (t 1)e 的特解可待定为：
（；）
*
则下列结论正确的是： A） x (t ) cos 2t 是（1）式的解
x * (t ) =
线
1 8
3．设 X 1 (t ), , X n (t ) 是一阶 n 维齐线性方程组
dX (t ) A(t ) X (t ) 的 n 个线性无关解， dt
封
X * (t ) 是非齐线性方程组
t
A）解；
1 ：且曲线过（1，1）点， x2
3．已知 x * (t ) ie 2 it i cos 2t
1 1 1 sin 2t 是方程 x 4 x 4 x e 2it 的解 8 8 8 记方程： x 4x 4x cos 2t （1）（2） x 4x 4x sin 2t （3） x 4x 4x cos 2t sin 2t
1.
dy xy x 2 y 4 dx
2.
x y x x t t y 2 x y e
班级:＿＿＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿＿＿
四．求下列方程的通解或特解（共 42 分）
线
1．（6 分）求方程 3x y dx 2 x ydy cos xdx 0 的满足初始条件 y( ) 1 解

常微分方程期末复习

1.求下列方程的通解。

1sin 4-=-x e dxdyy . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dxde y y令ye z =，得x z dxdzsin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得[]xx x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝xcex x -+-)cos (sin 22.求下列方程的通解。

1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y .解：设t p dxdysin ==，则有t y sec =，从而c tgt t tdt c tdt tgt tx +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1，故方程的解为221)(y c x =++，另外1±=y 也是方程的解 .3.求方程2y x dxdy+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 20121)(x xdx x x==⎰ϕ5204220121)41()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=0710402523201400141)20121()(ϕ 8115216014400120121x x x x +++=4.求解下列常系数线性方程。

0=+'+''x x x解：对应的特征方程为：012=++λλ， .解得i i 23,23212211--=+-=λλ 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=-5.求解下列常系数线性方程。

t e x x =-'''解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013=-λ，解得231,13,21i±-==λλ，故齐线性方程的基本解组为：i e i ee t23sin ,23cos ,2121--，因为1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，tt t t e Ate Ate Ae =-+3，所以31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x tt te i e c i 3123sin 23cos 213++-6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1--=+--=y x dtdyy x dt dx 解： ⎩⎨⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dtdy Y X dt dx因为,01111≠---又01)1(11112=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。

常微分方程期末考试题

常微分方程期末考试题以下是某校 ode 期末考试题一：计算题（ 1,2,3,5 各8分，第4题18分，总50分）1） \frac{dy}{dx}=\frac{x+y-3}{x-y+1}2) \frac{dy}{dx}+2xy+xy^4=03) x'=Ax,A=\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&3\end{matrix}\right) 求基解矩阵4） x^2y''+xy'-y=x （该题给出3种解法）5) x''+2x'-3x=e^t+cost二：解答题（每题10分，总50分）6）证明：如已知 Riccati 方程的一个特解，则可用初等解法得到它的通解.7）方程 \frac{dy}{dx}=x^2+y^2 定义在矩形域 \left| x\right|\leq1，\left| y \right|\leq1 试利用存在唯一性定理确定经过 y(0)=0 的解存在区间，并写出 \varphi_n(x) 的迭代序列，求第二次近似解及误差估计。

8）微分方程 \frac{dy}{dx}+ay=f(x)(a>0)\\f(x) 是以 2\pi 为周期的连续函数，试求方程的 2\pi 周期解。

9）设 \phi(x) 是齐次线性微分方程组\frac{dy}{dx}=A(x)y\\ 的一个基解矩阵，并且 n 维向量函数 f(x,y) 在区域 a<x<b,\left| \left| y\right|\right|<+\infty 上连续，试证明：求解初值问题\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x,y),y(x_0)=y_0\\ 等价于求解积分方程 y(x)=\phi (x)\phi^{-1}(x_0)y_0+\int_{x_0}^{x}\phi (x)\phi^{-1}(s)f(s,y(s))ds\\ 其中 x_0\in(a,b)10）证明：方程 y'=\sqrt[5]{\frac{y^4+2}{x^6+2}} 的每条积分曲线有两条水平渐近线。

试题集：常微分方程

1.常微分方程y′+2y=4e x的通解形式为？o A. y=2e x+Ce−2xo B. y=2e x+Ce2xo C. y=2e−x+Ce2xo D. y=2e−x+Ce−2x参考答案: A解析: 该方程为一阶线性常微分方程，通过积分因子法求解，积分因子为e2x，从而得到通解形式。

2.方程y″−4y′+4y=0的特征方程为？o A. r2−4r+4=0o B. r2+4r+4=0o C. r2−4r−4=0o D. r2+4r−4=0参考答案: A解析: 特征方程由方程的系数确定，对于y″−4y′+4y=0，特征方程为r2−4r+4=0。

3.方程y″+9y=0的解中包含的函数类型是？o A. 指数函数o B. 三角函数o C. 对数函数o D. 幂函数参考答案: B解析: 该方程的特征方程为r2+9=0，解得r=±3i，因此解中包含三角函数。

4.方程y′=2y+3的平衡点是？o A. y=−32o B. y=32o C. y=−3o D. y=3参考答案: A解析: 平衡点满足y′=0，解方程0=2y+3得y=−3。

25.方程y″+4y′+4y=e2x的特解形式为？o A. y=Ax2e2xo B. y=Axe2xo C. y=A2xe2xo D. y=Ae2x参考答案: B解析: 由于e2x的形式，特解形式应为Axe2x。

6.方程y′=y2−4的奇点是？o A. y=2o B. y=−2o C. y=0o D. y=2,y=−2参考答案: D解析: 奇点满足y′=0，解方程0=y2−4得y=2,y=−2。

7.方程y″−5y′+6y=0的特征根是？o A. r=2,r=3o B. r=−2,r=−3o C. r=2,r=−3o D. r=−2,r=3参考答案: A解析: 特征方程为r2−5r+6=0，解得r=2,r=3。

8.方程y′=3y+e x的通解中包含的函数是？o A. e3xo B. e−3xo C. e xo D. e−x参考答案: A解析: 该方程为一阶线性方程，通解中包含e3x。

临沂大学《常微分方程》期末考试复习题及参考答案

15、满足初值条件的解称为它的（2.0）
A、阶 B、解 C、通解 D、特解
正确答案： D
16、如果 f(x,y),f(x,y)/y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 dy/dx= f(x,y)的任一解的存在区间（2.0）
A、必为(-∞,+∞) B、必为(0,+∞) C、必为(-∞, 0) D、将因解而定
A、 y2-x=C B、 y-√x=C C、 y=x+C D、 y=-x+C
正确答案： BCD
三、判断题（共 10 题，20 分）
1、dy/dx=1+x+y2+xy2 是可分离变量的微分方程（2.0）
正确答案：正确
2、方程 xydx + (2x2 + 3y2-20)dy = 0 的只与 y 有关的积分因子为 y（2.0）
正确答案： ABC
9、下列方程中，全微分方程为（2.0）
A、 (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y +4y2)dy=0 B、 edx+ (x·eY-2y)dy= 0 C、 y(x- -2y)dx-x2dy= 0 D、 (x2-y)dx-xdy= 0
正确答案： ABD
10、微分方程 2ydy-dx = 0 的通解不为（2.0）
6、微分方程 y" -2y + 2y= ex 的通解为 y=ex(c*cosx+c*sinx+1)（2.0）
正确答案：正确
7、三阶常系数齐线性方程 y" -2y" +y= 0 的特征根是 1（2.0）
正确答案：错误
8、微分方程 y -2y-3y = 0 的通解为 y=c*e-x+c*e3x（2.0）

福师《常微分方程》期末复习题

(单选题)1.过点（1,3）且切线斜率为 2x 的曲线方程 y=y(x) 应满足的关系是（）。

A: y'=2xB: y''=2xC: y'=2x,y(1)=3D: y''=2x,y(1)=3正确答案: C(单选题)2.在下列函数中，能够是微分方程y''+y=0的解的函数是（）。

A: y=1B: y=xC: y=sinxD: y=ex正确答案: C(单选题)3.微分方程y'-y=0满足初始条件 y(0)=1的特解为（）。

A: exB: ex-1C: ex+1D: 2-ex正确答案: A(单选题)4.下列微分方程中， ( ) 是二阶常系数齐次线性微分方程。

A: y''-2y=0B: y''-xy'+3y=0C: 5y''-4x=0D: y''-2y'+1=0正确答案: A(单选题)5.下列函数中，哪个是微分方程dy-2xdx=0的解（）。

A: y = 2xB: y = x2C: y = -2xD: y = -x正确答案: B(单选题)6.微分方程 y'''-x2y''-x5=1 的通解中应含的独立常数的个数为（）。

A: 3B: 5C: 4D: 2正确答案: A(单选题)7.y''+y'-2y=0是（）阶常系数齐次线性微分方程。

A: 一B: 二C: 三D: 四正确答案: B(单选题)8.微分方程xyy''+x(y')^3-y^4-y'=0的阶数是（）。

A: 3B: 4C: 5D: 2正确答案: D(单选题)9.方程dy/dx=y^(1/2)+1（）奇解．A: 有一个B: 有两个C: 无D: 有无数个正确答案: C(单选题)10.微分方程2ydy-dx=0的通解为（）。

常微分方程期末试题复习资料

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的充分条件．4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

齐鲁师范学院成人高等教育期末考试常微分方程复习资料及参考答案

常微分方程(405)复习资料一、单选题1、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略2、A.1/eB.1/2C.2D.e参考答案:B答案解析:略3、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略4、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略5、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略6、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略7、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略8、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略9、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略10、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略11、A.1B.1/2C.D.参考答案:D答案解析:略12、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略13、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略14、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略15、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略16、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略17、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略18、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略19、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略20、A.有一个B.有二个C.无D.有无数个参考答案:C答案解析:略21、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略22、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略23、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略24、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略25、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略26、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略27、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略4、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略5、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略1、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略2、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略3、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略4、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略5、A.上半平面B.xoy平面C.下半平面D.除y轴外的全平面参考答案:D答案解析:略6、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略7、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略8、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略9、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略10、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略11、A.是所给微分方程的通解B.不是所给微分方程的通解C.是所给微分方程的特解D.可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解参考答案:D答案解析:略12、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略13、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略14、n阶线性非齐次微分方程的所有解（）．A.构成一个线性空间B.构成一个n-1维线性空间C.构成一个n+1维线性空间D.不能构成一个线性空间参考答案:D答案解析:略15、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略16、A.1B.1/2C.D.参考答案:D答案解析:略17、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略18、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略19、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略20、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略21、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略22、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略23、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略24、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略25、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略26、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略27、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略6、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略7、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略8、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略9、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略10、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略11、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略12、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略13、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略14、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略15、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略16、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略17、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略18、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略19、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略20、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略21、n阶线性非齐次微分方程的所有解（）．A.构成一个线性空间B.构成一个n-1维线性空间C.构成一个n+1维线性空间D.不能构成一个线性空间参考答案:D答案解析:略22、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略23、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略24、A.上半平面B.xoy平面C.下半平面D.除y轴外的全平面参考答案:D答案解析:略25、A.1/eB.1/2C.2D.e参考答案:B答案解析:略26、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略27、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略28、n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个A.nB.n-1C.n+1D.n+2参考答案:A答案解析:略29、A.是所给微分方程的通解B.不是所给微分方程的通解C.是所给微分方程的特解D.可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解参考答案:D答案解析:略30、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略二、名词解释1、解析方法参考答案:是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数答案解析:无2、几何方法参考答案:(或定性方法)把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族答案解析:无3、常微分方程参考答案:如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程为常微分方程。

常微分方程期末试卷

常微分方程期末试卷一、填空题（每小题4分，共20分）1. 方程13d 1d y y x=+解存在唯一的区域是． 2. 方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间是． 3. 如果函数),(y x f 在区域G 内，则方程),(d d y x f xy =的解00(,)y x x y ϕ=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内连续． 4. 向量函数组12(),(),,()n y x y x y x 在区间[,]a b 上的朗斯基行列式0)(=x W 是它们在区间[,]a b 上线性相关的条件．5. 若方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中的)(),(x q x p 满足条件 ,则方程有形如n n n x ax y ∑∞==0α的特解．二、解下列方程（每小题9分，共45分） 1.tan .dy y y dx x x =+ 2. 33y x xy dxdy =+. 3. 22().2dy dy x y x dx dx =-+ 4. 033222=-+y dx dy x dx y d x . 5. x y dx dy dx y d 2cos 4422=++. 三、证明题（每小题10分，共20分）1.试导出方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 具有形为)(y x +μ的积分因子的充要条件.2. 设12(),(),,()n x t x t x t 为方程组()x A t x '=的基本解组，这里()A t 是区间a t b ≤≤上连续的n n ⨯矩阵，则方程组的任一解()x t 可表示为1122()()()(),n n x t c x t c x t c x t =+++ 其中12,,,n c c c 为确定的常数．四、计算题（共15分）试求方程组2302x x ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦的标准基解矩阵At ex p , 并求满足条件⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21)0(X 的特解.。

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第 11 章常微分方程习题课一 .内容提要1.基本概念含有一元未知函数 y( x) ( 即待求函数 )的导数或微分的方程 ,称为常微分方程 ;其中出现的 y( x) 的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶; 使微分方程在区间 I 上成为恒等式的函数 y( x) 称为此微分方程在 I 上的解 ;显然一个微分方程若有解 ,则必有无穷多解 ;若 n 阶微分方程的解中含有 n 个不可合并的任意常数 ,则称其为此微分方程的通解 ;利用 n 个独立的附加条件 (称为定解条件 )定出了所有任意常数的解称为特解 ;微分方程连同定解条件一起 ,合称为一个定解问题 ;当定解条件是初始条件(给出 y, y ,, y ( n 1) 在同一点x 0 处的值 )时 ,称为初值问题 .2.一阶微分方程 y f ( x, y) 的解法(1)对于可分离变量方程dy(x) ( y) ,dx先分离变量 (当 ( y) 0 时)得 dy(x)dx ,ψ( y)再两边积分即得通解dy (x)dx C .( y)dyf y ,x(2)对于齐次方程 dx作变量代换y,即 yxu ,可将其化为可分离变量的方程 ,分x u 离变量后 ,积分得dudx C 再以y代替 u 便得到齐次方f (u) uxx程的通解 .(3)形如dyf ( ax by c) 的方程 , dxa 1 xb 1 yc 1 ①若 c,c 1 均为零 ,则是齐次方程 ;②若 c,c 1 不全为零 ,则不是齐次方程 ,但当ab k 时 ,只要作变换 va 1xb 1 y ,即可化为可分离a 1b 1变量的方程dvb 1 f (kvc ) a 1 ;dxv c 1当 a b时,只要作平移变换Xx x 0, 即a 1b 1 Y y y 0 x X x 0 ( 其中 (x 0 , y 0 ) 是线性方程组 ax byc 0 的惟一y Y y 0 a 1 x b 1 y c 1 0解 ),便可化为齐次方程dYf ( aX bY) .dXa 1 Xb 1Y(4)全微分方程若方程 P(x, y)dx Q ( x, y) dy 0 之左端是某个二元函数u u( x, y) 的全微分 ,则称其为全微分方程 ,显然 u( x, y)C 即为通解 ,而原函数 u( x, y) 可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得.通常用充要条件 PQ 来判定 P( x, y)dx Q(x, y)dy 0 是否yx为全微分方程.对于某些不是全微分方程的P( x, y)dx Q(x, y)dy0 ,可乘上一个函数 (, x, y) 使之成为全微分方程P(x, y)dx Q (x, y)dy 0２/19(注意到当 ( x, y) 0 时 P( x, y)dx Q (x, y)dy0 与原方程同解 ),并称(, x, y) 为积分因子 ;一般说来 ,求积分因子比较困难 ,但有时可通过观察得到 .(5)一阶线性微分方程 yp(x) y Q( x) 的通解公式当 Q( x) 不恒为零时 ,称其为一阶线性非齐次微分方程 ;当 Q(x) 恒为零 ,时,即 y p( x) y0 称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程 ,易知其通解为 Y Cep ( x )dx;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解y ep ( x)dx(CQ(x)e p( x)d x dx ).(6) 对于 Bernoulli 方程 yp( x) y Q (x) y n ( n 0,1 ),只需作变换z y1 n,即可化为一阶线性方程 dz (1 n) p( x)z (1 n)Q( x) .dx3.高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:(1)对于方程 y (n) f ( x) ,令 z y (n 1) 化为 zf (x) ; 在实际求解中 ,只要对方程连续积分 n 次 ,即得其通解ydxf (x)dx C 1 x n1C n 1 x C n .n 次(2)对于 y f ( x, y ) (不显含 y ),作变换 P y ,则 y P ,于是化一阶方程 P f (x, P) ;显然对 y ( n)f (x, y ( n 1) ) 可作类似处理 .(3)对于 yf ( y, y ) (不显含 x ),作变换 Py ,则 yPdP,于是dy可化为一阶方程 PdPf ( y, P) .dy4.线性微分方程解的结构(1)线性齐次微分方程解的性质对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解 .(2)线性齐次微分方程解的结构若 y1 , y2 , , y n是 n 阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为Y c1 y1c2 y2c n y n.(3)线性非齐次微分方程解的结构线性非齐次微分方程的通解y ,等于其对应的齐次方程的通解Y 与其自身的一个特解 y 之和 ,即y Y y .(4)线性非齐次微分方程的叠加原理1 设 y k( k 1,2, , m )是方程y ( n ) p1 (x) y( n 1) p n 1 (x) y p n ( x) y f k ( x)m的解 ,则y k 是方程k 1y ( n) p1 ( x) y (n 1) mp n 1 (x) y p n ( x) y f k (x)k 1的解 .2 若实变量的复值函数 u( x) i v( x) 是方程y (n) p1 ( x) y (n 1) p n 1 (x) y p n ( x) y f 1 ( x) if 2 ( x)的解 ,则此解的实部u( x)是方程y ( n)p1 ( x) y( n 1)p n 1 (x) y p n (x) y f1 ( x)的解 ;虚部v(x)是方程y ( n )p1 (x) y( n 1)p n 1 (x) y p n ( x) y f 2 ( x)的解 .(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.5.常系数线性微分方程的解法(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”1 写出y(n ) p1y( n 1) p n 1 y p n y 0 的特征方程r n p1 r n 1 p n 1 r p n 0 ，并求特征根；2 根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见下表 )特征根 r 为给出通解中的单实根 1 项: Ce rxk 重实根k 项: e rx(C1 C 2 x C k x k 1 )一对单复根 2 项: e x(C1cos x C 2 sin x)r1,2 i一对 k 重复根 2 k 项 : e x[( C1 C2 x C k x k 1 ) cos xr1,2 i(D1 D 2 x D k x k 1 ) sin x](2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解1对于 f ( x) P m (x)e x,应设特解y x k Q m ( x)e x x k ( a0 x m a1 x m 1a m 1 x a m )e x,其中 k 等于为特征根的重数( 0 k n ), a0, a1,L , a m是待定系数 .将 y 代入原方程,可定出 a0, a1,L , a m,从而求得 y .2 对于 f ( x) e x [ P l ( x) cos x P s sin x] (0 ),应设特解yx k e x [ R m (x) cos x T m ( x) sin x] ,其中 k 等于i 为特征根的重数 ( 0 kn), R m ( x),T m ( x) 是2待定的 m max{ l , s} 次多项式 . 将 y 代原方程,即可定出R m ( x),T m ( x) ,从而求得 y .或因为 f ( x) e x [ P l ( x) cos x P s (x)sin x]Re e x (P l (x) iP s ( x))(cos x isin x)Re Q m ( x)e ( i ) x（其中 Q m ( x) P l ( x) iP s ( x) 是 m max{ l , s} 次的复系数多项式） .对于方程y ( n)1 ( n 1)L p n 1y nyQ m ( x)e (i ) xp yp可设其特解Yx k Z m ( x)e (i ) x，（ Z m ( x) 是 m 次待定复系数多项式， k 等于 i 为特征根的重数），将 Yx k Z m (x)e ( i ) x代入方程y ( n )p 1 y ( n 1) Lp n 1 y p n y Q m ( x)e (i ) x中，可定出 Z m (x) ，于是 Yx k Z m ( x)e ( i ) x ，从而原方程的特解y Re Y .3o特例当 f ( x) e x P l ( x)cos x 或f (x) e x P l ( x)sin x 时,设Y Z l ( x)e ( i ) x , 将其代入y ( n) p 1 y ( n 1) Lp n 1 yp n y P l ( x)e ( i ) x ,６/19求得 Y ,则原方程的一个特解y ReY 或 y ImY .6.Euler 方程的解法(1)形如x n y (n )p1 x n 1 y( n 1)p n 1xy p n y f (x)的线性变系数微分方程称为 Euler 方程 ,是一种可化为常系数的变系数微分方程 .(2)解法只需作变换x e t,即t ln x ,即可将其化为常系数线性微分方程 .d ,则若引入微分算子 Ddtxy D y , x2 y D(D 1) y ,, x n y (n )D(D 1) (D n1) y , 于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.7.应用常微分方程解决实际问题的一般步骤(1)在适当的坐标系下 ,设出未知函数y y( x) ,据已知条件写出相关的量 ;(2)根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程 ;(3)提出定解条件 ;(4)求定解问题的解 ;(5)分析解的性质，用实践检验解的正确性 .二 .课堂练习 (除补充题外 ,均选自复习题12)1.填空题22(1)已知 y 1 e x 及 y 2xe x 是方程 y4xy( 4x 2 2) y0 的解 ,2则其通解为e x (C 1 C 2 x) .222解 : 因 y 1e x , y 2 xe x 都是解 ,且线性无关 ,故 e x (C 1 C 2 x) 是通解 .(2)设一质量为 m 的物体 ,在空气中由静止开始下落 .若空气阻力为 R kv,则其下落的距离 s所满足的微分方程是 sksg ,m 初始条件是 s(0) 0, s (0) 0 .解 : 因为 F ma 而 F mg k v v s , a s , 故得方程 O s(0), ,mg k sms ,化简得 sk sg ;s(t )m在如图所示的坐标系下 ,初始条件为 s( 0)0, s (0) 0.s(3) 微分方程 y 2 y y 6xe x 的特解 y的形式为x 2 (axb)e x .解 : 因为特征方程为 r 2 2r 1 0 , r 1 r 21, 而 1 是二重特征根 ,故应设 yx 2 (ax b)e x .(4)若 y 1x 2 , y 2x 2e 2 x , y 3 x 2e 2xe 5x 都是线性非齐次微分方程 yp( x) y q( x) yf (x)的解,则其通解为C 1e 2x C 2e 5xx 2 .解:由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可知 ,Y 1y 2 y 1 e 2 x , Y 2 y 3 y 2 e 5 x 都是对应的齐次方程的解,且线性无关 ,故对应的齐次方程的通解为Y C 1Y 1 C 2 Y 2 C 1e 2 xC 2 e 5 x ; 由非齐次方程解的结构得其通解y Y y 1C 1e 2 x C 2e 5 x x 2 .(5)(补充 )已知 f ( x) 满足 xf ( x)1x 2f (t) dt ,则 f (x)x2t 1 e 2 .x解 :两边对 x 求导得 f ( x)xf (x) x 2 f (x) ,整理得f ( x)x1f ( x) ,xx 2ln c ,即 f (x)x 2分离变量后积分得 ln f ( x)ln x ce 2, x 0 ;2xx 1时(1) 11t 2 1(e 111又当 , f2c e 2d tc 21) ,即 ce 21 ce 2ct1 ,所以 f (x)x 2故 c 1 e 2 .x(6)( 补充 ) 设 f ( x) 有连续导数 , 且 f (0) 1.若曲线积分 Lyf (x)dx[ f ( x) x 2 ]dy 与路径无关 ,则 f ( x)3e x 2x 2 .解 : 记 P yf ( x), Qf ( x) x 2.因为积分与路径无关,故有PQ,亦即.它的通解为 yx ,即f ( x) f (x) 2xf ( x) f ( x)2xf ( x) dxdxc] e x [ 2xe xdx c]2x2 ce x .e[ 2 xe dx由 f (0) 1 得 c 3 ,于是 f (x)3e x 2x 2 .(7)( 补充 ) 已知 yy( x)在任意点 x 处的增量 yy x , 其中 =o( x)，21xπy(0) π,则 y(1) πe 4.解：由题设知，dyy .dx1 x 2分离变量得dydx ，积分得 ln y arctanx C 1,即 y Ce arctan x .y1 x 2π由 y(0) π得C π,故y(1) πe 4 .2.选择题(1)函数 yc 1e 2x c 2 ( c 1 ,c 2 为任意常数 )是微分方程 yy 2 y 0的(A) 通解 .(B) 特解 .(C) 不是解 .(D) 解,但不是通解 ,也不是特解 .答(D)解 :因为 y c 1e 2 x c 2 ce 2x ,经检验是解 ,但含有任意常数 ,故不是特解 ,又因为只含一个独立的任意常数 ,故也不是通解 .(2)微分方程 y2 y2 sin 2 2x ,其特解形式为 y(A) A B cos4x C sin 4x . (B) A Bx cos4x Cx sin 4x .(C) Ax B cos4x C sin 4x .(D) Ax Bx cos4x Cxsin 4x .答( C) 解 : y 2 y 2 sin 2 2x1 cos4x 特解为 y y 1 y2 .,因为r 22 r0 , r1 0, r22 而 0 是特征方程的单根 , 故应, 设 y 1 Ax ; 而i4i 不是特征方程根,故应设y 2B cos 4xC sin 4x ,因此 y y 1 y 2Ax B cos4 x C sin 4x .(3)微分方程 (2 x y)dy (5x 4y)dx 是(A) 一阶线性齐次方程 .(B) 一阶线性非齐次方程 .(C) 齐次方程 .(D) 可分离变量方程 .答(C)解 :原方程可化为dy5x 4 y5 4 yx . dx 2x y y2x(4)(补充 )具有特解y1 e x, y2 2xe x, y3 3e x的三阶常系数线性齐次微分方程是(A) y y y y 0 . (B) y y y y 0 .(C) y y y y 0 . (D) y y y y 0 .答(B) 解 : 由方程的特解可知 ,其特征根为r1 r2 1, r3 1 ,于是特征方程为 ( r 1)2 ( r 1) 0 即 r 3 r 2 r 1 0 ,故方程为y y y y0 .(5)( 补充 ) 方程y9 y 0 通过点 ( , 1) 且在该点处与直线y 1 xπ相切的积分曲线为(A) y C1 cos3x C2 sin3x . (B) y cos3x C2 sin 3x .(C) y cos3x. (D) y cos3x 1sin3x .3答( D)解 : 因为r2 9 0 , r1, 2 3i ,故通解为 y C 1 cos3x C2 sin3x .由初始条件 y( ) 1, y ( ) 1得C1 1,C2 1,所以所求积分曲线3为y x 1sin 3x.cos3 3(6)(补充 ) 方程 y( 4 ) y e x 3sin x 的特解应设为(A) Ae x B sin x . (B) Ae x B cos x C sin x .(C) Axe xB cos xC sin x .(D) x(Ae xB cos xC sin x) .答(D)解 :对应的齐次方程的特征方程为 r 4 1 0 ,特征根为r 1 1, r 2 1, r 3 i, r 4 i .令 f ( x)e x 3sin xf 1 (x) f 2 (x) .对于 f 1 ( x) e x ,因1 是单特征根 ,故设 y 1 Axe x ; 对于 f 2 ( x) 3sin x ,因ii 是单特征根 ,故设y 2 x(B cos x C sin x) ；从而 yy 1 y 2x( Ae xB cos xC sin x) .(7)(06 考研 )函数 y C 1e x C 2e 2x xe x 满足的一个微分方程是 (A) y y 2y 3xe x .(B) y y 2 y 3e x .(C) yy2y 3xe x .(D) yy 2 y 3e x .答(D)解 :因为 r 1 1,r 22 ，即特征方程为 r 2 r 2 0 ，故排除（ A ）、（B ）.由1是特征方程的单根，知 f (x)Ae x ，故排除（ C ） .3.求下列方程的通解(2)dyy x ; dx2 ln y解 :方程化为dx2 x2ln y 是一阶线性方程.dyy y ,1 22ln y y 2 dy Cx2 y d y2y dydy C1ey ln yey 2y1121 212.y 222 y ln y4y Cln y 2 Cy(5) xdx ydyydx xdy0 ;x2y2解 :原方程可化为 1 21 2 d arctanx,故通解为d 2 x d 2 yy1 x21 y2arctanxC .22y(10) y x x 2 y .解 :设 ux2y ,即 u2x2y ,则dy2u du2x .代入原方程得dx dxdu1 x 1 .此为齐次方程 ,再设 v u ,则 duv xdv,故方程化dx 2 ux dxdx为 v x dvv 1.分离变量为2vdv11dx ，两边积分得dx2v2v 2 v x1 ln 2v 2v 1 1ln 2v 1 1ln v 1 ln x ln C 1 .2 3 3代回原变量并整理得 x 2 3 x 3 3 xy C .y24.求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) y 3dx 2 x 2xy 2 dy 0 , y x11 ;解 :原方程化为 y 3dx 2 xy 2x2,即dx2 x 2 x 2 .dydyyy 3令 Z x 1dZ 22,得 dy y Zy 3.221Ze yd y2 e y d ydyC 2 ln y C ,即 y 3y 21 12 ln y C 故通解为 y2x 2 ln y C .x y 2 ,由 y x 1 1 ,得 C 1 ,所以特解为 y 2 x 2 ln y 1 . (3) 2ysin 2 y 0 , y 02 , y 0 1 ;解:令 Py ,则 yPdP,原方程化为 2PdP2 sin y cos y ,即dydy2PdP 2 sin yd sin y .积分得 P 2sin 2 y C .由 y 0, y 0 1,sin y .解之得 ln tany2得 C 0 ,故 yPx C .由 y 0, C 0 .2arctan e x .22故特解为 y5(补充).设y e x是微分方程xy p(x) y x 的一个解,求此微分方程满足条件 y(ln 2)0 的特解.解 : 将y e x代入微分方程得 xe x p(x) e x x ,解之得p( x) xe x x ,于是此微分方程为 xy ( xe x x) y x ,即y (e x1) y 1 .x其对应的齐次方程的通解为Y Ce e x ,于是此微分方程的通Ce e x x e x 1解为 y . 由y(ln 2) 0得 C e 2,故特解为e x x1y e x e 2 .6(补充).设L : y y( x) 是一条向上凸的连续曲线,其上任意一点( x, y) 处的曲率为 1 ,且此曲线上点(0,1) 处的切线方程为1 y 2y x 1 ,求该曲线的方程.解 : 因为曲线向上凸 ,故y 0 ,于是有y 1 ,化简y 2 )3(1 1 y 2得二阶方程 y (1 y 2 ) .令 P y ,则 y P ,故方程化为P (1 P 2 ) .分离变量后积分得arctanP C1 x . 由题设有P(0) y (0) 1 ,于是可定出 C1 4 ,所以y P tan( 4x) ,再积分π得 y ln cos(πx) C2 . 由y(0) 1得C2 11ln 2 ,因此该曲线4 2L : y ln cos(πx) 11ln 2 .4 27(补充).某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 V ,流入湖泊内不含 A 的水量为 V ,流出湖泊的水量为 V.已知 6 6 31999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ,超过国家规定指标 .为了治理污染,从 2000 年初起 ,限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过m 0.V问至少需经过多少年 ,湖泊中污物 A 的含量降至 m 0 以内 ?(注 :设湖水中 A 的浓度是均匀的 .)解 :设 2000 年初 (记此时 t 0 )开始 ,第 t 年湖泊中污物 A 的总量为 m ,浓度为m,则在时间间隔 [t , t dt] 内,排入湖泊中污染物 A 的量为Vm 0 V dtm 0dt ,流出湖泊的水中 A 的量为 m Vdtmdt ,因而在 V6 6 V 3 3此间隔内湖泊中污染物 A 的改变量为 dm(mm)dt , m t 0 5m 0 .63m 0 t9m 0 , 故分离变量解得 mCe 3, 由 m t 05m 0 得 C2t2mm 0(1 9e 3 ) .2令 m m 0 ,解得 t 6 ln 3 ,即至少需经过 6 ln 3 年湖泊中污物 A 的含量降至 m 0 以内 .8.求下列 Euler 方程的通解(2) x 2 y 4xy6 y x .解 :设 xt,方程化为d 2 y dy6 y edt 25r2dt5r 6 0r 1 2 , r 23 .设 y ae t ,代入方程（ * ），得 e ta1, 故 y 1e t.从而原方程的通解为 2 2e t . .（* ）y C 1e 2 t C 2e 3 t.a 5a 6ae t .由此定出y C 1 x 2C 2 x 31x .2设对于半空间 , 都有内任意的光滑有向封闭曲面xf ( x)dydz xyf ( x)dzdx e 2 x zdxdy 0 ，S其中 f x 在 0,内具有连续的一阶导数 , 且 limf x 1 , 求x 0f x .解 :由曲面积分与曲面无关的条件PQ R 0, 有xyzxf xf xxf xe2x0 , 即 f x1 1f x 1 e 2 x .xx11所以 f xe1 xdx2 x e 1 x dxC1 edxxe x 1 1 e 2x e x xdx C1 e x e x C .x x x由 lim f x 1, 即 lim 1 e x e xC 1 ,可求出 C1 ,故 x 0x 0 x f x 1 e x e x 1 .x10(补充 ).设函数 y( x)( x 0) 二阶可导且 y (x)0, y(0) 1 .过曲线yy(x) 上任意一点 P( x, y) ,作该曲线的切线及 Ox 轴的垂线 ,上述二直线与 Ox 轴所围成的三角形的面积记为S 1 ,区间 [0, x] 上以y y(x) 为曲边的曲边梯形面积记为 S 2,并设 2S 1 S 2 恒为 1,求此曲线 yy(x) 的方程 .解 :曲线 y y( x) 上点 P(x, y) 处的切线方程为 Y yy (x)( X x) . 切线与 Ox 轴的交点为 (xy( x), 0) . 由 y ( x)0, y(0) 1 , 知y ( x)y( x) 0 ,于是S 11y( x) xx y( x)2( x); 而 S 2y(t )dt ( x 0 ); 故由yx2y ( x)2 y (x)1得y2x条件 2S 1 S 2y(t )dt1,由此还可得 y (0)1.y将y 2x( y )2 .令 y P ,y(t )dt 1 两边对 x 求导并整理得 yyy则 yPdP, 于是方程化为 ydPP , 解之得 y P C 1 y , 由dydyy (0) 1和 y( 0) 1得 C 1 1,于是 yy ,从而 yC 2e x .再由 y(0) 1得 C 2 1 ,故所求曲线方程为 ye x .11 .) 内具有二阶导数，且(06 考研 ) 设函数 f (u) 在 (0,zf ( x222z 2z0 .y) 满足等式2y 2x （ 1）验证 f(u)f (u) ；u（ 2）若 f (1) 0, f (1) 1，求函数 f (u) 的表达式 .解 : （1）由 zf (u),ux 2 y 2 ，得z f (u)x,2z f (u)x 2 f (u)y 2，x x 2y 2 x 2x 2y 2y 23x 2 2z f (u)y,2zf (u)y 2f (u)x 23.yx 2y 2 y 2x 2y 2y 2x 2 2 因为2z2z0 ，所以有 f(u)f (u) 0 ，即x 2 y 2x 2y 2f (u) f (u) 0 .u（2）由（1）得 f (u) 1C ，由f (1) 1 知 C0 ，即 f (u) 1 ；u11u于是得 f (u) ln u C 2 ，由 f (1) 0，得 C 2 0 ，所以 f (u)ln u .12(07 考研 ).解初值问题y ( x y 2 )y ,y(1)1, y (1)1.解：令 y P, 则 y P ,原方程化为 P (x P 2 ) P, 即dx1 x P. dP P1dPC1 1dPP C1 dP P(C1 P).于是 x e P Pe P dP由 P x 1 y (1) 1,得C1 0,且P x,即dyx. dx31,故 y 31 .解得 y 2 x2 C2 , 又由 y(1) 1得C2 2 x23 3 3 312（07 考研）. 设幂级数a n x n在 ( , ) 内收敛，其和n 0函数 y(x)满足y 2xy 4y 0, y(0) 0, y (0) 1.（I ）证明a n2 2 a n ,n 1,2,L ;n 1（I I ）求y( x)的表达式.解：（ I ）对yn 0a n x n求一、二阶导数，得y na n x n 1 , y n( n 1)a n x n 2 ,n 1 n 2代入 y 2xy 4 y 0并整理得( n 1)(n 2) a n 2 x n 2na n x n 4a n x n 0.n 0 n 1 n 0于是2a2 4a0 0,(n 1)(n 2)a n 2 2(n 2)a n 0, n 1,2,L ,从而有2a n 2 n 1an,n1,2,L .（ II ）因为y(0) a0 0, y (0) a1 1, 故a0, k 0,1,2L ;a2k 12 a2 k 11a 2k 11 1 a2 k 3L1 a 1 1 , k 0,1,2,L .2kkk k 1k ! k !所以ya n x na 2k 1x 2k 1x 2 k 1 ( x 2 )kx2).k 0k !xk!xe , x ( ,n 0k 0k 0补充设满足 xf ( x) 3 f (x) 6x 2 , 且由曲线y 与 13( ). f (x)f (x) 直线 x 1及 x 轴所围的平面图形 D 绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积最小 , 求 f (x).解：满足的方程可写为. f (x)y3 y6x,x3 d x3dx31其通解xxyf (x) eC6xedxxC6 dxx 2Cx 3 6x 2 .旋转体的体积为V (C) π01 f 2 (x)dx π01 (Cx 3 6x 2 )2 dxπ01 (C 2 x 6 12Cx 5 36x 4 )dx π C 2 2C36 .75令 V (C) 2C 2 ，得惟一驻点 C 7, 且 V (C)2π 0, π 7 0 7 故 C 7是极小值点，也是最小值.点于是f (x)6x 2 7 x 3 .１９/19。

常微分方程复习习题集

《常微分方程》复习习题集一．求解下列一阶微分方程1．3(ln )0ydx y x dy x++= 2．tan sec dyy x x dx+= 3．tan dy yx y x dx x-= 4．2(cos sin )dyy y x x dx+=- 5．222()2dy x dyy x dx dx=++ 6．(2)0yye dx y xedy ---+=7．2(cos cos 2)dyx y dx= 8．2dy y x dx x=- 9．()ln dy x y xy x y dx x+-=+ 10．411(12)33dy y x y dx +=- 11．(2)0y y e dx x xy e dy -+= 12．(1)y y y e ''=-13．(2)(2)0x y dx x y dy ++-= 14．dy xy e dx =+ 15．tan dy y y dxxx-=16．2()0ydx y x dy -+= 17．22()1y y '+=二．求解下列微分方程组1. 234dxx y dtdy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dtdx232 2. 5445dxx y dtdy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 4. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dtdx2543 三．求下列微分方程的通解1. x y y xe -''+=2. 65xy y y e '''++=3. 33xy y y y xe-''''''+++=4. 265xy y y e '''++=四．叙述“皮卡存在唯一性定理”，并求下列初值问题1.22,(0)0dyx y y dx=+= 2.22, (0)0dyx y y dx=-= 的第三次近似解。

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常微分方程复习资料一、填空题1．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线． 2．方程02=+'-''y y y 的基本解组是． 3．一个不可延展解的存在在区间一定是区间．4．方程21d d y x y-=的常数解是．5．方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x xy)(d d ϕ=的任一非零解与x 轴相交． 7．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上与x 轴相切．8．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y Λ在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．9．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是． 10．方程04=+''y y 的基本解组是．11．方程1d d +=y xy满足解的存在唯一性定理条件的区域是．12．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点．二、单项选择题1．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面 2．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（）条件．（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）必要非充分 3．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性4．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 5．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A ）n 维（B ）1+n 维（C ）1-n 维（D ）2+n 维 6. 方程2d d +-=y x xy（）奇解．（A ）有三个（B ）无（C ）有一个（D ）有两个7．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（）．（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+ （C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D ）)()(21x x C ϕϕ+8．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy=初值解唯一的（）条件．（A ）必要（B ）必要非充分（C ）充分必要（D ）充分9．方程y xy=d d 的奇解是（）．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y10. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（）个解．（A ）一（B ）无数（C ）两（D ）三11．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2 12．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解（B ）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解（D ）是非齐次微分方程组的通解13．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f xy=的任一解的存在区间（）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+ （C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定三、计算题求下列方程的通解或通积分：1.y y xyln d d = 2. x y x y x y +-=2)(1d d 3. 5d d xy y xy += 4．0)d (d 222=-+y y x x xy5．3)(2y y x y '+'= 6. 21d d xxy x y += 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y 10．0)(2='+''y y y11. x y x y x y tan d d += 12. 1d d +=x y x y13. 0d d )e (2=+-y x x y x y14．1)ln (='-'y x y15．022=+'+''x y y y 16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=xty ty t x d d sin 1d d 18．求方程x y y e 21=-''的通解．19．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x ty y x tx43d d 2d d ．五、证明题1．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．2．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．3．设),(y x f 在整个xoy 平面上连续可微，且0),(0≡y x f ．求证：方程),(d d y x f xy= 的非常数解)(x y y =，当0x x →时，有0)(y x y →，那么0x 必为∞-或∞+． 4．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．5．在方程)()(d d y y f xyϕ=中，已知)(y f ，)(x ϕ'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±ϕ．求证：对任意0x 和10<y ，满足初值条件00)(y x y =的解)(x y 的存在区间必为),(∞+-∞．6．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．参考答案一、填空题1．2 2．xx x e ,e 3．开 4．1±=y 5．xoy 平面 6．不能 7．不能 8．必要 9．1,1±=±=x y10．x x 2cos ,2sin 11．}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面） 12．没有二、单项选择题1.D2.B3.C4.A5.A6.A7.C8.D9.D 10.B 11.A 12.C 13.D三、计算题1．解当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得C x yy y+=⎰⎰d ln d 通积分为xC y e ln = 2．解令xu y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x ux-= 分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ）通积分为： Cx xyln arcsin = 3．解方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d 令 z y=-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得x z xz=--d d 41 通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C y x 4．解因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2即 C y y x =-3231 5．解原方程是克莱洛方程，通解为 32C Cx y += 6．解当0≠y 时，分离变量得x x x y y d 1d 2+= 等式两端积分得 C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为21x C y += 7．解齐次方程的通解为xC y 3e -= 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e)(-=代入原方程，确定出 C x C x+=5e 51)( 原方程的通解为xC y 3e-=+x2e51 8．解由于xNxy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x yx =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 9．解令t y ='，则原方程的参数形式为⎩⎨⎧='+=ty t x te由基本关系式t t x y y td )e 1(d d +='= 积分有C t t y t +-+=)1(e 212得原方程参数形式通解⎪⎩⎪⎨⎧+-+=+=Ct t y t x tt)1(e 21e 2 10．解原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=11．解令u x y =，则xux u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u xuxu tan d d +=+，u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C xxu u ln d tan d +=⎰⎰C x u ln ln sin ln +=即通积分为： Cx xy =sin12．解齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为 x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为Cx y =+x x ln 13．解积分因子为 21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d )(e C y x xy y x x =+-⎰⎰即 1e ,e C C C xyx+==+） 14．解令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1由基本关系式y xy'=d d ，有 p p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='=p p)d 11(-=积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 1 15．解原方程可化为0)(2='+'x y y于是 12d d C x xyy=+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= （6分） 16．解对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 xC C y 521e += 因为0=α是特征根。

福师《常微分方程》期末考试资料解析

福师《常微分方程》期末考试资料解析I. 考试大纲概览A. 考试目的本次考试旨在检验学生对《常微分方程》课程的理解和掌握程度，包括理论知识与应用能力的评估。

B. 考试形式期末考试采取闭卷笔试形式，满分100分，考试时间150分钟。

C. 考试内容考试内容涵盖课程全部章节，包括：1. 微分方程的基本概念与解的存在性2. 线性微分方程的理论3. 非线性微分方程的理论4. 常微分方程的解法5. 常微分方程组6. 微分方程在物理、工程等领域的应用II. 重点难点解析A. 微分方程的基本概念- 重点掌握微分方程的阶数、线性与非线性、显式与隐式微分方程的判别。

- 难点：理解解的概念及其在不同情况下的性质，如局部解、全局解、解的存在性与唯一性。

B. 线性微分方程- 重点：齐次与非齐次线性微分方程的解的结构，特解与通解的概念。

- 难点：理解线性微分方程组的解的结构，学会求解线性微分方程组。

C. 非线性微分方程- 重点：掌握一阶非线性微分方程的解法，如变换法、迭代法等。

- 难点：理解并掌握高阶非线性微分方程的解法，如特征线法、Lie群法等。

D. 常微分方程的解法- 重点：掌握分离变量法、积分因子法、变量替换法等常见解法。

- 难点：理解并掌握解法的适用条件与局限性，学会在不同情况下选择合适的解法。

E. 常微分方程组- 重点：理解常微分方程组的解的结构，学会求解线性微分方程组。

- 难点：掌握求解非线性微分方程组的策略与方法。

F. 微分方程的应用- 重点：理解微分方程在物理、工程等领域的应用背景。

- 难点：学会将实际问题转化为微分方程问题，并应用所学知识解决实际问题。

III. 复习建议A. 理论学习1. 系统复习课程教材，加强对重点知识点的理解。

2. 针对难点知识点，通过查阅资料、请教教师等方式，直至理解透彻。

B. 练习巩固1. 完成教材后的练习题，加强对知识点的应用能力。

2. 挑选近年来福师的《常微分方程》期末考试真题进行练习，熟悉考试题型与解题方法。