定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子
量子力学2.6一维无限深势阱
2008.5
Quantum Mechanics
a、偶宇称态 由于这里内外解
(
2 (x)
x)和 '(
~ cos kx
x)在 | x | a
| x | a 2
处是连续的，
2
更方便的方法是取 ' 连续或 (ln )' 连续。
因此在x
a 处，有 2
ln(cos
kx)
' x a
2
ln(
ex
)
' x
a
，得
2
k tan ka
2
（5）
在x a 处，结果同上。 2
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Quantum Mechanics
令 则(5)式化为
ka， a
2
2
tan
（6）
（7）
由
2m(V0
E)
,
k
2mE
有
2mV0 2k 2
再利用(6)式,有
2
2
mV0 a 2 2 2
2008.5
(8)
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Quantum Mechanics
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E ) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
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Quantum Mechanics
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
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量子力学(二)习题参考答案
2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2） 、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。 不过， 为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代 换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式， （16） 、 （17）变成 或由 （19） 式， （16） 、 （17） 变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0
清华大学物理-量子物理.第27章.薛定谔方程
第二十七章薛定谔方程§27.1 薛定谔方程§27.2 无限深方势阱中的粒子§27.3 势垒穿透§27.4 一维谐振子*§27.5 力学量算符§27.1 薛定谔方程薛定谔方程是决定粒子波函数演化的方程。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典力学中的地位。
和牛顿方程一样，薛定谔方程不能由其它的基本原理推导得到，是量子力学的一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。
▲薛定谔方程是线性的，满足解的叠加原理。
▲薛定谔方程关于时间是一阶的，经典波动方程关于时间是二阶的。
▲薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”，是非相对论形式的方程。
若和是方程的解，),(1t r Ψ ),(2t r Ψ 则也是方程的解。
),(),(2211t r Ψc t r Ψc ▲方程含有虚数i ，其解是复函数，不可直接测量，是概率密度，可直接测量。
Ψ2||Ψ一. 一维无限深方势阱模型极限理想化U (x )U =U 0U =U 0E U =0x 0§27.2 无限深方势阱中的粒子表面电子运动限于区间aa金属无限深方势阱U =0EU →∞U (x )x 0U →∞-a /2a /2n 很大时，阱内粒子概率分布趋于均匀| n|2E n-a/2a/2玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系行为向经典过渡。
§27.3 势垒穿透一.粒子进入势垒⎩⎨⎧>≤=)0( , )0( ,0 )(0x U x x U 金属与半导体接触处，势能隆起形成势垒。
势垒的物理模型：xII 区I 区U 0U (x )1.一维势垒模型粒子从x = - 处以特定能量E (E < U 0) 入射，xII 区0I 区U 0U (x )2.问题经典图像：量子图像：粒子无法跃上台阶，只能反射。
粒子具有波动性，波不仅被反射，而且能透射进入势垒区，只要U 0有限。
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
§3-2薛定谔方程 一维谐振子问题
度为a。则冲力为
F
2px
vx 2a
p
2 x
me a
将算符
pˆ
2 x
(i )2 x
2
x 2
代入上式，得
F
2 me a
2 x2
因电子是处于基态，则
1
1
2 sin x aa
6
电子对阱壁的平均冲力为
F
a
0
1
Fˆ
1dx
2π22 me a 4
a
0
sin
2
πx dx
a
2π 2 me a3
π
0
sin
由图可见，量子数n较小时，粒子位置的概率密度 分布与经典结论明显不同。随着量子数n的增大，概 率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。
5
例1 一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度 为1.011010m。求当电子处于基态时对阱壁的平均冲 力。
解 设电子的质量为me，速度为vx，动量为px，势阱宽
§3-2 薛定谔方程
一维谐振子问题
一、一维谐振子的定态薛定谔方程
经典力学中，简谐振动为 x Acos(t )
系统的势能为 U( x) 1 kx2 1 2 x2
2
2
简谐振子的能量为 E 薛定谔方程，得
[
2
2
d2 dx 2
1 2
2 x2 ] ( x)
(
x)
n
( x)dx
1
，得
Nn
( 1
2 2n
)1 n!
2
时间因子的一维谐振子的定态波函数为
n (x,t) n (x)eiEnt/
Nn (x)e2x2 2Hn (x)eiEnt/
16-4 一维谐振子问题
I p x p x 2 p x
电子与阱壁碰撞一次，阱壁所受到的冲量：
I I 2 px
'
电子连续两次碰撞同一 侧阱壁所需要的时间： 单位时间内电子碰撞同 一侧阱壁的次数：
2a T vx
1 vx f T 2a
2 px
单位时间内电子对同一侧阱壁的冲量，即冲力为
,
考虑一维谐振子的基态：
1 E 0 2 2 1 x
=
1 U ( x ) 2 x 2 2
——谐振子的特征长度
1 1
按照经典理论，
x , 经典允许区； x , 经典禁区.
按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经 典禁区中的概率为：
最简单的几个厄米多项式为： n=0,
H 0 ( ) 1,
n=1,
H1 ( ) 2 ,
iE n t /
n=2,
H 2 ( ) 4 2 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
n ( x, t ) n ( x)e
N ne
2 x 2 2
H n ( x ) e
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
————一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
由（2.7.2）可知方程(2.7.1)有解的条件为
1 2n, n 0,1,2,3,
2.7.3
d 2 Hn dH n 此时，有 2 2nH n 0 2 d d
解定态薛定谔方程的一般方法
从上式，有: i E , 2 p2
(4)
t
x
对于u(x) 0时,由(1)知 :
(i t
2 2m
2 x 2
)
(E
p2 )
2m
0
(5)
对于一般情形,作如下变换: E i ; p i
(6)
t
x
作用于波函数上得一维的薛定谔方程
第三章 量子力学基础
【内容】 1. 薛定谔方程 2. 势垒贯穿 3. 量子力学中的一些理论与方法 4. 氢原子
【重点】 薛定谔方程 态叠加原理
氢原子能量本征值与本征函数
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
一、薛定谔方程的引入
我们希望找到一个类似于牛顿方程的方程来描述这种新的量子现象，而且这个 方程应当能完全描述各种系统的状态。我们可从自由粒子出发，假定一个质量
§3.1 薛定谔方程
四、 态叠加原理
态叠加原理是量子力学中一个重要的基本概念，我们知道量子力学中波函 数是用来描述一个体系的量子态。如此态叠加原理显的很重要了，它是 “波叠加性”和“波函数完全描述一个体系的量子态”两个概念的概括。
若一个波函数可以表示为 cnn (r)
第二章一维无限势阱模型
Hˆ(r) E(r)
E是不依赖r和t的常数
i df Ef
f (t) C exp[iEt / ]
dt
体系处于
(r,t)
(r)
exp[
iEt
/
]
所描写的状态时
能量有确定的值，称这种状态为定态
在分离变量过程中引入的常数 E 为粒子的能量
(r,t) (r) exp[iEt / ] 定态波函数
1 一维线性谐振子 如果粒子的势能具有如下形式 U (x) 1 m 2 x2
2
这样绕平衡位置做周期性振动的粒子称为一维线性谐振子
➢ 任何在平衡位置附近的微振动(三维振动)都可以分解成 几个独立的一维谐振子
➢ 固体中原子的振动可以用这种模型近似地研究
➢ 晶体中格点的振动、分子与分子间的互作用势、核子之 间的核力势等等都可近似为线性谐振子问题
• 在粒子能量E<<U0时的情况下，透射系数不为零经典理论无 法解释。
入射波＋反射波
U(x)
透射波
x
隧道效应的实质
1 隧道效应
• 粒子能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 • 类似一列火车通过隧道穿过山峰，这里不存在有形的山峰， 只存在一条无形的势垒曲线
2 原因
微观粒子具有波动、粒子二象性；波原则上可以透过不同物理 性质的两空间的界面，例如，光波的透射
1 0
由定态波函数的边界条件
x a
(U )
1(a) 2 (a),1(a) 2 (a)
4 薛定谔方程的解
首先，引入符号
定态薛氏方程化为
2mE 2
1/ 2
d 2(x) 2(x) 0
dx 2
它的解为
2 Asin x B cosx
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较一维无限深势阱是量子力学中一个经典的问题，可以用两种方法进行求解：定态微扰论和定态井底近似。
1. 定态微扰论：定态微扰论是量子力学中解决简单势场问题常用的一种方法。
在无限深势阱问题中，可以将无穷深方势阱视为定态问题的微扰，将该势场加入到系统的哈密顿量中，然后使用微扰论进行求解。
定态微扰论的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱问题的哈密顿量记为H0，并找到H0的本征函数和本征能量。
- 然后，将无穷深势阱视为微扰，将微扰项H'加入到哈密顿量。
- 使用微扰论的公式，展开本征函数和本征能量的泰勒级数，得到微扰的一阶修正项。
- 最后，将微扰项的一阶修正项加到H0的本征能量上，得到精确的能级修正。
2. 定态井底近似：定态井底近似是另一种求解一维无限深势阱问题的常用方法。
该方法的核心思想是将无穷深方势阱问题看作是薛定谔方程在势能井底附近的近似解。
定态井底近似的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱的势能井底近似为一个宽度为a的矩阵势阱，且矩阵势阱的势垒高度为无穷大。
- 然后，将定态薛定谔方程在矩阵势阱内求解，得到在该势阱内的本征函数和本征能量。
- 最后，将势能井底趋于无穷深，即将势阱的势垒高度取极限使其趋于无穷大，此时得到的本征函数和本征能量就是无限深方势阱问题的精确解。
比较两种方法：- 定态微扰论适用于一般情况下的微扰问题，可以求得很多物理量的修正。
但是在计算过程中需要进行级数展开，需要考虑到每一阶的修正项，计算较为复杂。
- 定态井底近似是一种近似方法，适用于无穷深方势阱问题的求解。
它将无穷深方势阱问题转化为一个简单的矩阵势阱问题，简化了问题的求解过程。
- 在求解一维无限深势阱问题时，定态井底近似更加简单快速，能够直接得到问题的精确解。
而定态微扰论的应用范围更广，在求解一些复杂问题时更具有优势。
综上所述，定态井底近似适用于一维无限深势阱问题的精确解，而定态微扰论适用于更一般的微扰问题，并具有更广泛的应用范围。
一维无限深势阱薛定谔方程求解
一维无限深势阱薛定谔方程求解一维无限深势阱是量子力学中最经典的问题之一，其求解对于理解基本的量子力学原理以及波函数的性质具有重要的意义。
薛定谔方程是描述量子力学体系中粒子的行为的基本方程，通过求解薛定谔方程，我们可以获得系统的波函数及其相应的能级。
让我们来考虑一个无限深势阱，这个系统可以简单地用一个势能函数来描述。
在这个系统中，粒子只能在一个有限的空间区域内运动，而且势能在这个区域内是常数为零的。
首先，我们需要写出薛定谔方程。
对于一维情况，薛定谔方程可以写成：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx²+ V(x)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，ψ(x)是系统的波函数，V(x)是势能函数，E是波函数对应的能量。
对于无限深势阱，势能函数在阱内为零，在阱外为无穷大。
因此，V(x)在阱外的值可以视为一个很大的正数。
接下来，我们需要考虑边界条件。
在无限深势阱中，粒子是被约束在一个有限空间内的。
因此，在边界处，粒子的波函数必须为零。
对于一个无限深势阱，边界条件可以写为ψ(0)=ψ(a)=0，其中，a是阱的宽度。
现在，让我们尝试求解薛定谔方程。
由于系统的势能在阱内为零，薛定谔方程可以简化为：-d²ψ(x)/dx² = k²ψ(x)，其中，k=√(2mE/ħ²)。
这是一个常微分方程，我们可以通过分离变量和积分来求解。
假设ψ(x)可以分解为两个函数的乘积：ψ(x) = X(x)Y(y)。
将这个假设代入方程中，并整理得：1/X(x) * d²X(x)/dx² = -1/Y(y) * dY(y)/dy = -k²。
我们可以分别对X(x)和Y(y)进行求解，然后将两个解再组合起来得到系统的波函数。
针对常微分方程1/X(x) * d²X(x)/dx² = -k²，我们可以得到其解为X(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)，其中，A和B是常数。
一维薛定谔方程的定态解
一维薛定谔方程的定态解西安交通大学徐彬华问题描述对于定态薛定谔方程⎪⎩⎪⎨⎧===−+−0)()(0)()])((2[max min 22x x x E x V m dx d 2ψψψh ，在给定势阱的情况下，求使这个问题有非零解的能量本征值E 及其相应的波函数。
我们给定几种常见的势阱：（1）无限深平底势阱⎪⎩⎪⎨⎧>∞<<−−<∞=.1,;11,0;1,)(x x x x V （2）一维谐振子⎪⎩⎪⎨⎧>∞<<−−<∞=.1,,11,21,1,)(22x x x m x V ω问题分析及算法设计�算法描述我们利用打靶法来求解该本征值问题，打靶法的主要思想如下：本征值问题⎪⎩⎪⎨⎧==−=0)1()0(d d 222φφφφk x 相比边值问题，本征值问题多了一个待定参数k ——本征值。
因此，先猜测一个试验本征值k ，同时任取一个非零参数δ，把微分方程变为初始值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=′=−=δφφφφ)0( ,0)0(d d 222k x 再从x =0向前积分产生一个数值解。
如果该数值解在x =1处的值与边条件0)1(=φ在误差范围内不相等，就改变试验本征值的值，再度积分。
重复这个过程，直到最终找到本征值和对应的本征函数。
要注意的是，试验本征值k 是一个可调参数，而由于解的不唯一性，参数δ只是一个任意选定的辅助参数，并不影响本征值的求解，一般来说它可以由本征函数的归一化来确定。
而对于本题所要求解的定态薛定谔方程，我们要求的是束缚态解,因此本征值是负数，从x min 出发向前直接积分，可以产生一个数值解ψ<。
它在经典禁戒的区域内按指数方式增长,并且越过左转折点进入经典容许的区域，在经典容许的区域内振荡。
如果越过右转折点再继续积分下去，那么这个数值解将变得不稳定。
因为即使在一个精确的能量本征值上，也可能混入一个不想要的指数增长的成分，这将导致进入经典禁戒区的积分很可能是不准确的。
量子力学 一维无限深方势阱,线性谐振子,势垒贯穿
(7)
由此得到，
Asin a 0,
B cos a 0
(8)
第二章 波函数和薛定谔方程 2.6、 一维无限深方势阱
A 和 B 不能同时为零，否则 y 处处为零。因此，
A 0, B 0, cos a 0 sin a 0
(9) (10)
由此可求得：
n a , 2
(2n 1) 2 h2 En En1 En ， 8ma 2
a)、 En µ n 2 ，当 n ® ¥时，
DEn 1 n®¥ ~ ¾ ¾¾ ®0 En n
正如对应原理所示大量子数极限下量子理论将逐渐 逼近经典理论。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.6、 一维无限深方势阱
b)、 DEn µ
第二章 波函数和薛定谔方程 2.6、 一维无限深方势阱
一维无限深势阱的能量本征函数一维无限深势阱中粒子位置几率密度分布
第二章 波函数和薛定谔方程 2.7、 线性谐振子
2.7.1、谐振子模型
2.7、 线性谐振子 2.7.1、谐振子模型 经典力学中，当质量为 m 的粒子受到弹性力 F kx 作 用，其运动方程为，
考察上式解的渐进行为，当
很大时， 与 相比可
以忽略，方程（4）可以近似表示为：
d 2 2 0 2 d
(5)
第二章 波函数和薛定谔方程 2.7、 线性谐振子
2.7.2、 线性谐振子的能量本征值问题
不难证明，
时， ~ e
2
/2
，
~ e
第二章 波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程
第三部分、一维无限深方势阱，线性谐振子，势垒贯穿
第二章 波函数和薛定谔方程 引言
薛定谔方程——精选推荐
生足够强的电流了.
金属 E
真空 无场时的势能 E
有场时的势能
(2)超导体电子的隧道贯穿: 电子绝缘层穿过.
约瑟夫逊效应 两块或两片超导体之间存在的 势垒层（10～20埃）或弱连接形成超导结时， 超导电子对通过这些结而呈现的一系列电学、 磁学和辐射方面的特性、统称为约瑟夫逊效应 或超导电子隧道效应。
时间部分满足: 空间部分满足:
ih
∂ ∂t
f
(t)
=
Ef (t)
− h2 ∇2ϕ(r) +V (r)ϕ(r) = Eϕ(r)
2m
§25-3 一维无限深势阱
在这个问题里薛定谔方程为
−
h2 2m
dψ (x)
dx2
+
V
(
x)ψ
(
x)
=
Eψ
(
x)
其中势能为
V
(
x)
=
⎧ 0, ⎩⎨∞,
0< x<a x ≤ 0, x ≥ a
ξ=x α
薛定谔方程变为
d 2ψ dξ 2
+ (λ
− ξ 2 )ψ
=0
令
ψ = e−ξ 2 / 2u
考虑到
(e−ξ 2 / 2u)''= [u''−2ξu'+(ξ 2 −1)u]e−ξ 2 / 2
得到 u''−2ξu'+(λ −1)u = 0
u''−2ξu'+(λ −1)u = 0
这个方程的解称为厄米多项式. 在这里它要满足的边界条件为:
定态薛定谔方程的解法 一维无限深势阱与线性谐振子
（1）定态薛定谔方程； （2）波函数归一化条件； （3）波函数的标准条件；
一维无限深势阱中 运动的粒子与线性 谐振子的能级和波 函数。
最后介绍 “一维束缚定态的无简并定 理”
1.5.1 波函数的标准条件
波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概 率波的振幅。在数学上应满足：
用波函数标准条件和归一化条件求解上述势 场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解； 3. 有波函数标准条件确定参数k； 4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A； 5. 由参数k得粒子的能量E；
6. 解的物理意义。
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
薛定谔方程的解题步骤： 1.引入参数简化方程
ax,a
2 d d d d d 2 2 d a , 2 a dx d dx d dx d 2
引人 2 E 则，定态薛定谔方程可化为
- 0
E0
1 0 2
（4）线性谐振子的能级是无简并的；
（5）谐振子波函数的宇称为 - 1
n
n
由（1.5.30）式可得， n 1 1 n x ，可见 波函数 n x 的奇偶性由n决定，通常称谐振子 n 波函数 n x 的宇称为 - 1
（6）与经典谐振子的比较
一般情况下束缚态的能谱为离散谱
（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现
2 2 E1 0 2 2 a
在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确 定的坐标值和动量为零。
在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。
能级分别不均匀。 （3）激发态的能级 En与n 成正比，
固体物理-薛定谔方程
只能sin ka 等于零 ka n, ( k 0) 能量量子化并不是强行假设, 而是方程求解 的自然结果 2 2 n n π 2 2mE k , n 1,2,3, k ＝ 2 2 a a
B0
能量可能值
π 2 2 2 En n (n 1,2,3,) 2 2ma
解的形式为
A 0
B sin ka 0
( x ) B sin kx
x a 处 (a) 0
B不能再为零了 只能sin ka 等于零 n k , n 1,2,3, ( k 0) a
A已经为零了
即
要求
B0
ka n,
A已经为零了 即 要求
B不能再为零了
10
４、波函数应满足的条件
1）标准条件 粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的几率应该是 唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的、有限的；又因为 粒子在空间的几率分布不会发生突变，所以波函数还必须是连 续的。
波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，称为波函数 的标准条件。也就是说，波函数必须连续可微，且一阶导数也 连续可微。 2）归一化条件 由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任意时刻， 在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以应有：
2i ( Et px ) h
i E ( x, t )
①
12
( x , t ) i E0e t
对 x 求二阶偏导：
i ( Et px )
i E( x , t )
①
i ( Et px )
( x , t ) i i p0e p( x , t ) x i 2 2 ( Et px ) ( x , t ) ip 2 p ( ) 0e 2 ( x , t ) 2 x
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒
a
a2
能K量量子2m化E：E/ n2nn22/m2aa,22 . n 1,2,3,... 12
粒子的动量：
Pn
2mEn
n
a
K
.
粒子的德布罗意波长：
n
h Pn
2a
/
n
2
/
K
.
粒子的能量、动量、德布罗意波长 ( 及频率 )
均是量子化的。 其中最小能量和最小动量皆不为零，
其中 2m(V 0 E) / 2 .
当 x 0时 B 0, 当 x L 时C 0. 19
Cex , x 0 ;
(x) Acos(kx ) , 0 x L ;
Bex , x L.
k 2mE / 2 , 2m(V 0 E) / 2.
电子，当 E 1eV , V 0 2eV ,
o
a 2 A时 , T 0.51;
o
a 5A时 , T 0.006
制作扫描隧穿显微镜 ( STM )
15
STM下硅表面结构重现 16
利用STM搬迁原子为电子造的“量子围栏” 17
例：质量为 m的粒子处于一维
对称势场
V (x)
0 , 0 x L;
0, ,
x
a/2 a /
x a/2； 2, x a / 2
.
a/2 0 a/2 X
势壁无限高，阱内的粒子不可越出阱外：
( a) 0, (a) 0.
2
2
阱内 (a / 2 x a / 2) , 定态薛定谔方程：
d 2 (x) 2m E (x) 0 .
定态薛定谔方程
2 d 2 [ U ( x)] ( x) E ( x) 2 2 dx
已知
U ( x) 0,
2
x a
2
方程变为 令
d ( x) E ( x) 2 2 dx
2E ( 2 )
1 2
方程变为
d ( x) 2 ( x) 0 2 dx
定态：如果体系处于（3）式所描述的状态时，
具有确定的能量，这种状态叫定态。（3）式叫 定态波函数。
二、定态的性质 1：体系处于定态，其几率分布不随时间变化。
2
(r , t ) (r , t )
* i Et i Et
( r )e ( r )e * (r ) (r )
2 2
1 Y ( y) Ey 2 2 Y ( y) y
2 2
2 1 2 Z ( z) Ez 2 2 Z ( z ) z
式中，E x , E y , Ez 是常数，且有
E Ex E y Ez
由作业题2.3,得一维无限深势阱方程及波函数
n x 2 X ( x) sin( x) a a n y 2 Y ( y) sin( y) b b nz 2 Z ( z) sin( z) c c
2 [ U (r )] (r ) E (r ) 2 解出 (r )
然后得出 (r , t ) (r )e
i Et
2
§2.6 一维无限深势阱
一、波函数 如图，粒子在势场
U
U ( x) 0, U ( x ) ,
中运动。
变化的，要使上式对任意的变量 t , r 都成立，
量子力学薛定谔方程及理论(2)
在量子力学中，不可能同时用粒子坐标和动量的 确定值来描述粒子的量子状态，因为粒子具有波 粒二象性，粒子的坐标和动量不可能具有确定值。
波函数描述粒子的状态，波函数的模的平方表示粒 子在空间一点出现的概率。 并且粒子在空间中个点出现的概率总和等于1，另外 要注意要是把波函数乘上一个常数后，所描写的粒 子的状态并不改变
分理出变量后，我们很容易给出两个方程解的形式，大大简化 了方程的求解
f (t)满足i
df
(t )
=cf
(t )，则f
(t )可写为f
-
(t )=Ae
i
ct，
dt
与自由粒子波函数
Ae
i
(
pr
Et
)
i
=A e
pr
+A
-
e
i
Et
比较
我们可以知道c=E
所以有
i df (t) =Ef (t) dt
量子力学第二章
• 波函数的统计解释 • 态叠加原理 • 薛定谔方程 • 粒子流密度和粒子守恒定律 • 定态薛定谔方程 • 一维无限深势阱 • 线性谐振子 • 势垒贯穿
1、波函数的统计解释
自由粒子的波函数
指数形式：E =E0e-it-k r
正余弦形式：E=E0 cos t-k r
k= 2 ，r=k n
ak+2
k
所以方程可写为 n 2n+1 an+2 n -2 n 1 an1 n+1+ -1 an n
n0
n0
n0
各项合并
2a2 1 a0 2 6a3 2a1 1 a0 ... n 2n+1 an+2 2nan 1 an n
6-4-7一维线性谐振子
6-4-7 定态薛定谔方程的应用（三）线性谐振子其能量是振幅的连续函数一、经典线性谐振子在势场中运动的质量为的微观粒子2221)(x m x U m 二、量子线性谐振子xU 当时，势能谐振子的势能曲线亦为无限深势阱，只不过不是方势阱而已，所以粒子只能作有限的运动，即处于束缚态。
221E m A 2 谐振子在运动中能量守恒定态薛定谔方程1.谐振子的能量， )21()21( h n n E n n = 0, 1, 2, (22)222()1()()22d x m x x E x m dx (1) 能量量子化经典：能量连续(2) 最低能级01E h 2经典：的态对应00 E 0p x 零点能零点能不等于零是量子效应，是微观粒子波粒二相性的表现。
不可能静止E n nh 普朗克谐振子的能量：n = 1, 2, …(3) 能级间隔均匀E h假想存在许多虚构的粒子，其每个的能量为h 这种粒子叫做量子（Quantum ）在晶体中，这种量子叫做声子phonon(4) 当n 时，符合玻尔对应原理。
能量量子化 能量连续， 0Δ nE E(1)在E <U 区，概率密度不为0——隧道效应2. 概率密度例如基态位置概率分布在x =0处最大，经典振子在x = 0处概率最小。
(3) n 小时，概率分布与经典谐振子完全不同xn 很大E n E 1E 2E 00U (x )21 2n 22 20 (2) 波函数有n 个零点，在零点处概率为零。
n 为奇数时，x =0处，概率为零。
经典：无零点。
当n 时，符合玻尔对应原理。
量子概率分布 经典概率分布，简谐振子n =11 时的概率密度分布：211 11n x虚线是经典结果(4)只有在n 较大的情况下，有与经典相似。
谐振子的定态薛定谔方程谐振子的能量量子化线性谐振子势函数2221)(x m x U 小结22222()1()()22d x m x x E x m dx ， )21()21( h n n E n ,2,1,0 n。
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2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2
故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限
3. 连续性；
V0
x, t
2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
2 2 2n 1 En 2 2a
当量子n数很大时，能级可以看作是连续的， 量子效应消失，并过渡到经典情况。
当n
En 2n 1 时， E n 2 0 n
（4）激发态的能级
2 nx n x sin a a
n x 0
n x
（1.5.11）
6. 解的物理意义。
（1）束缚态与离散能级 由
2 nx sin ,0 x a n x a a 0, x 0, x a
可以知道，粒子不可能达到无穷远处 粒子被束缚在有 限的空间区域的 状态称为束缚态 粒子可达到无 限远处的状态 称为非束缚态
用波函数标准条件和归一化条件求解上述势 场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解； 3. 有波函数标准条件确定参数k； 4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A； 5. 由参数k得粒子的能量E；
6. 解的物理意义。
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
由此得到0<x<a区间内的解：
x Asin；
x A sinkx
由势阱外波函数：
0 a A sinkx ， 0
n k , n 1,2, a
x 0
当k=0;
nx 代入， x A sin kx 得： n x A sin , n 1,2, a
当n<0时，得到的解与n>0的线性相关，舍去
由0 0 0 c得 x Bx
由0 0 a Ba得B 0
0 x （舍去） 0
一般情况下束缚态的能谱为离散谱
（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现
2 2 E1 0 2 2 a
在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确 定的坐标值和动量为零。
在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。
能级分别不均匀。 （3）激发态的能级 En与n 成正比，
2
En En 1
4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A；
1 n x dx
2
a
0
nx a 2 A sin dx A a 2
2 2
取A为实数，则 A
a ,则 2
2 nx sin ,0 x a n x a a 0, x 0, x a
薛定谔方程的解题步骤： 1.引入参数简化方程
ax,a
2 d d d d d 2 2 d a , 2 a dx d dx d dx d 2
引人 2 E 则，定态薛定谔方程可化为
- 0
cn
2
1.5.3 线性谐振子
1 2 1 2 2 势场， U x kx x 2 2
（1）许多物理体 系的势能曲线可以 近似看作抛物线， 双原子分子的势能 曲线在稳定平衡点 a附近的势能曲线。
经典力学中，粒子 受到弹力F=-kx作 用时的势能
1 2 U x - F x dx kx 0 2
（5）薛定谔方程的解的线性组合
n x，t cn n x e
n 1
i En t
在一维无限深势阱中粒子可能的态： 定态： n x e E nt
i
线性叠加态： n x，t cn n x e
n 1
i En t
粒子处于定态的概率为：
2
2.求方程 - 2 0在 的渐进解
1.5.1 波函数的标准条件
波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概 率波的振幅。在数学上应满足：
1. 单调性；
2. 有限性； 3. 连续性；
这是指 x, t 应该是 x ，t 的单值函数。因为 x, t 是t 时刻在 x处发现粒子的概率密度，即要求 x, t 为单 值函数，但不要求 x, t 是单值函数。