1-4随机误差的统计分布
简述随机误差正态分布的主要规律
简述随机误差正态分布的主要规律
随机误差正态分布是指测量结果的随机误差遵循高斯分布的规律。
其主要规律包括以下几点:
1. 平均数和方差呈正态分布：随机误差的正态分布以测量平均值为重心，其分布形状类似于一个钟形曲线。
随着测量次数的增加，随机误差的方差会趋近于平均值，使得正态分布的曲线更加平缓。
2. 极端值的出现概率较小：正态分布的规律表明，测量结果中极端值的出现概率较小，而大多数测量结果都分布在平均值附近。
3. 误差分布的离散程度与测量次数有关：随着测量次数的增加，随机误差的分布形状不变，但是其离散程度会越来越大。
这主要是因为多次测量的结果会趋近于平均值，使得随机误差的分布更加集中。
4. 误差分布的形状与测量方法有关：不同的测量方法可能会导致误差分布的形状不同。
例如，在回归分析中，残差的正态分布形状取决于回归模型的准确度。
随机误差正态分布的主要规律表明，测量结果的随机误差遵循高斯分布的规律，而随机误差的分布形状、离散程度和形状取决于测量方法和测量次数等因素。
随机误差
测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈 多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数 来确定权的大小。 结论：每组测量结果的权与其相应的算术平均值的 标准差平方成反比。
加权算术平均值
若对同一被测量进行 ｍ 组不等权测量，得 到 ｍ 个测量结果 x1 , x2 ,L , xm ，设相应的测量 次数为 n1 , n2 ,L , nm ，即
0.001 0.0027 0.01
3、小样本标准差已知的情形
置信区间半宽度为(单次测量)
( x ) t p s
置信区间半宽度为(n次测量)
( x ) t p s / n
x ~ t ( ) s
x ~ t ( ) s n
n 自由度 n 1 ，为样本容量
x ~ N ( , n)
(单次测量) p ( x) k p p ( x ) k p n (n次测量)
2、大样本标准差已知的情形
总体标准差未知，但已知大样本标准差 s
p (x ) kp s
p ( x) k p s
n
(单次测量) (n次测量) 查表得到
p P( x k )
x ~ N ( , )
2
k
k
x 2 1 exp dx 2 2 2
2 2
k
0
t2 exp dt 2
2(k ) 1
置信区间半宽度为
x ~ N (0,1) n
这时应利用以下的公式计算：
v xi xi x
x
2 p i v xi i 1 m
( m 1) p i
随机误差的正态分布
1.3
0.3
0.1179
1.4
0.4
0.1554
1.5
0.5
0.1915
1.6
0.6
0.2258
1.7
0.7
0.2580
1.8
0.8
0.2881
1.9
0.9
0.3159
1.96
1.0
0.3413
2.0
1
u u2
e 2 du
2 0
面积
u
0.3643
2.1
0.3849
2.2
0.4032
2.3
0.4192
频率分布图
规律
1. 测量过程中随机误差的存在，使分析结 果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。
第二章随机误差
特征量为：
2
2
2
六、t分布
316
设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布
N（0，1），Y服从自由度为的χ2分布，则随机变 X t 量 Y / 的概率密度
f x
(
1
2
（2－32） （2－33）
)
( )
2
(1
x
2
15
设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服从
标准正态分布N（0，1），则随机变量 2 2 的概率密度为 2 X 12 X 2 X
x 1 1 2 2 x e f x 2 2 ( ) 2 0
x0 x0
第一节 随机误差概述
二、随机误差产生的原因
随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不 能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素 中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有 的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化， 而这些微小变化又给测量带来误差。
例
题
举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允 许范围为（20±2）℃。为此，测量在恒温室内进行， 恒温室温度控制能力达到（20±0.5）℃，满足测量要 求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化 中，围绕平均温度20℃有微小的波动，温度时高时低， 变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长 度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响 又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法 确定，因此造成随机误差。
误差的分布；正确求解极限误差。
重点和难点
3- 3
随机 误差 产生 的原 因
随机误差的正态分布.
测量值出现的区间
x=μ±1σ x=μ±1.96σ x=μ±2σ x=μ±2.58σ x=μ±3σ
概率
68.3% 95.0% 95.5% 99.0% 99.7%
例：已知某试样质量分数的标准值为1.75%， σ=0.10%；无系统误差。求：(1)分析结果落在 (1.75±0.15)%范围内的概率；(2)分析结果大于 2.00%的概率。
解：(1)
u x x 1.75% 0.15% 1.5
0.10% 0.10%
(2) 属于单边检验问题： u x 2.00% 1.75% 2.5
0.10%
阴影部分的概率为0.4938。正态分布曲线右侧的概率 为 0.5000 ， 故 阴 影 部 分 以 外 的 概 率 为 0.5000 － 0.4938=0.62% ， 即 分 析 结 果 大 于 2.00% 的 概 率 为 0.62%。
概率P为： p
(u) du
1
eu2 / 2du
2
大多数测量值集中在算术平均值的附近； 小误差出现的几率大,大误差出现的几率小，
特大误差出现的几率极小； 绝对值相等的正、负误差出现的几率趋于相
等。
表3-2 正态分布概率积分表
图 7-5 正态分布概率积分图
y f (x)
1
e( x )2 / 2 2
2
y：概率密度； x：测量值 μ：总体平均值，即无限次测定数据的平均值，无系 统误差时即为真值；反映测量值分布的集中趋势。
σ：总体标准偏差，反映测量值分布的分散程度； x-μ：随机误差
概率
随机误差概率密度正态分布
ƒ(0)
置信概率
1/2α
P= φ(z)=1-α
1/2α
置信区间 ±(L) 图1—5 置信区间与置信概率
δ
Z
0
φ(Z)
0.00000 0.07966 0.15852
Z
0.9 1.0 1.1
φ(Z)
0.63188 0.68269 0.72867
Z
1.9 1.96 2.0
φ(Z)
0.94257 0.95000 0.95450
拐点坐标：
1 f (0) f max ( ) σ 2 1 f g ( ) f ( ) 2e
概率：
P{,}
f ( )d 1
一、算是平均值与数学期望值 1. 算是平均值:
x
x
i 1
n
i
n
2. 随机变量的数学期望定义为随机变量的一阶 原点距，记为：
h
1
2
ƒ(δ)
ƒ(δ) σ<σ´<σ´´ h>h´>h´´ ƒ(δ)dδ
拐点
ƒ´(δ)
ƒ´´(δ)
1/(σ√2πe)
1/(σ√2π)
- σ´´- σ´
-σ
σ
σ´
σ´´
δ
随机误差正态分布曲线图
3、σ（曲线的拐点）的大小说明了测量值的 离散性, 故等精度测量是一种σ值相同的测 量。 4、正态分布曲线的关键点 峰点坐标： 0( xi x0 )
( x x0 ) 2 1 Dx ( x x0 ) f ( x)dx exp[ ( x x0 ) 2 ]dxlim
随机误差的正态分布特点
随机误差的正态分布特点1.均值：正态分布的均值为μ，表示数据的中心位置。
在随机误差中，均值可以理解为误差的总体偏差。
如果误差呈现正态分布，均值为0，则表示误差的总体平均值接近于真值，没有系统性偏差。
2.方差：正态分布的方差为σ^2，表示数据的分布范围。
在随机误差中，方差可以理解为误差的离散程度。
方差越大，数据点越分散，说明误差范围更广，反之亦然。
随机误差的正态分布特点是方差相等，即具有同一水平的离散程度。
3.形状：正态分布的形状呈钟形曲线，两侧对称。
随机误差的正态分布特点是呈正态分布曲线，即误差集中在均值附近，偏离均值的概率较小。
该特点反映了随机误差的分布规律，即大部分误差相对较小，极端误差的发生概率较低。
4.中心极限定理：中心极限定理指出，当样本容量足够大时，不论总体分布形态如何，样本的均值分布将近似服从正态分布。
这意味着随机误差的正态分布特点成为了统计学中很重要的前提条件。
由于中心极限定理的存在，可以使用正态分布来进行统计推断和置信区间估计等分析。
在实际应用中，随机误差的正态分布特点有着重要的意义：1.基于随机误差的正态分布特点，可以进行参数估计和假设检验等统计推断。
通过对误差进行统计分析，可以对总体特征进行估计，并利用置信区间判断总体特征是否显著。
2.正态分布的特点使得随机误差具有较好的可控性和可预测性。
通过对误差的分布特征的研究，可以提供对误差的限制和控制方法，从而提高实验的精度。
3.正态分布假设简化了许多统计模型的建立和推断过程。
在许多情况下，我们可以假设随机误差符合正态分布，从而简化了模型的复杂度和计算的难度。
然而，需要注意的是，随机误差的正态分布特点并不意味着所有数据都遵循正态分布。
实际数据可能会受到多种因素的影响，导致偏离正态分布。
因此，在实际应用中，需要通过实际数据分布的分析和统计检验来验证数据是否符合正态分布。
同时，也需要对数据进行预处理和适当的转换，以满足正态分布的假设前提条件。
随机误差的统计分布实验报告
随机误差的统计分布实验报告随机误差的统计分布实验报告引言：在科学研究和实验中，我们经常会遇到各种误差。
其中，随机误差是不可避免的，它是由于实验条件的不完美、测量仪器的误差以及实验者的技术水平等因素引起的。
为了更好地理解随机误差的特性和分布规律，我们进行了一系列的实验。
实验目的：本次实验的主要目的是通过对一组数据的收集和分析，探究随机误差的统计分布规律，并验证中心极限定理的适用性。
实验步骤：1. 实验器材准备：我们准备了一台精密天平，用于测量实验中所需的物品的质量。
2. 实验样本选择：我们随机选择了50个物品作为实验样本，这些物品的质量在一定范围内波动。
3. 实验数据收集：我们使用天平测量了每个样本的质量，并记录下来。
4. 数据处理与分析：在收集完实验数据后，我们进行了一系列的数据处理和分析，以探究随机误差的统计分布规律。
实验结果：通过对实验数据的分析，我们得到了以下结果：1. 随机误差的分布呈现正态分布的趋势：我们将实验数据绘制成直方图，发现其呈现出典型的钟形曲线，符合正态分布的特征。
这表明随机误差在一定程度上服从正态分布。
2. 中心极限定理的适用性：我们对实验数据进行了多次抽样，并计算了每次抽样的均值。
结果显示，随着抽样次数的增加，抽样均值的分布逐渐接近正态分布。
这验证了中心极限定理的适用性，即当样本容量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。
3. 随机误差的大小与分布：通过对实验数据的统计分析，我们发现随机误差的大小与分布与所测量的物理量有关。
在某些情况下，随机误差的大小与物理量的大小成正比，而在其他情况下，则呈现出不同的关系。
这表明随机误差的大小和分布是一个复杂的问题，需要进一步研究和探索。
结论：通过本次实验，我们得出了以下结论：1. 随机误差在一定程度上服从正态分布。
2. 中心极限定理适用于随机误差的分布，当样本容量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。
3. 随机误差的大小和分布与所测量的物理量有关，需要进行更深入的研究和探索。
医学统计学-题库1-4重点知识总结
一、资料、变量类型的识别定量资料1．某医院2006年2月的手术病人数资料属于（C ）A等级资料B计数资料C计量资料D定性资料2．某医院将60名失眠者随机分成3组，分别使用不同的镇静剂，比较3组受试者平均睡眠延长时间有无差别。
请问该资料属于（B ）A等级资料B定量资料C定性资料 D 有序分类资料3．某医师研究洛赛克治疗消化性溃疡（60例）的疗效，以泰胃美作对照（60例），得到治疗有效人数洛赛克为54例，泰胃美为36例。
请问该资料属于（ A ）A定性资料B定量资料C等级资料D数值变量资料4．用某药治疗胃癌，对溃疡型和梗阻型胃癌的治疗结果分别用治愈、显效、好转和无效表示，则该好转人数属于（D ）A等级资料B定性资料C有序分类变量D数值变量5．下列变量中，属于定量变量的是（D ）A性别B职业C血型D体重6．南京市区2006年新生儿出生体重资料属于（A ）A定量资料B等级资料C计数资料D定性资料7．某年某山区120名孕妇产前检查次数（B）A二项分布资料 B Poisson分布资料C正态分布资料D对数正态分布资料8．接受某种处理的5只小鼠的生存时间（分钟）分别为50.0、63.2、62.7、61.9、60.5，则该资料属于（A ）A定量资料B等级资料C计数资料D定性资料9．下列变量中，不属于数值变量的是（C ）A坐高B胸围C血型D身高10．某医院某年口腔科就诊儿童的乳牙萌出时间资料属于（A ）A定量资料B等级资料C计数资料D定性资料定性资料1．在英格兰和威尔士曾进行了一次关于孕妇孕期风疹病毒感染与所生新生儿先天性畸形关系的队列研究。
选择曾患风疹的孕妇共有578人作为暴露组，对照组的对象是从未患过风疹的孕妇中随机抽取的5117人。
请问该资料属于（ C ）A定量资料B半定量资料C计数资料D等级资料2．启东市癌症登记处1972年1月1日至2001年12月31日肺癌发病登记报告显示：30年间登记并经核实肺癌病例8167例，其中男性5859例，女性2308例。
随机误差的统计分布实验报告
随机误差的统计分布实验报告引言在实验操作过程中，实验者经常会遇到一些误差，其中包括系统误差和随机误差。
系统误差通常是由于测量仪器的不准确性或实验条件的变化而引起的，它们通常是可确定的和可纠正的。
而随机误差则是由于测量时产生的偶然因素所导致的误差，它们通常是无法预测和纠正的。
本实验旨在对随机误差的统计分布进行探究，并对实验数据进行误差分析。
实验方法1. 实验仪器：数码万用表，函数信号发生器，示波器。
2. 实验步骤：（2）调节函数信号发生器的频率和幅度，使信号调制混沌。
（3）在示波器上观察到混沌信号，并记录。
（4）重复测量实验数据并记录。
结果与分析本实验的测量数据共进行了20次，数据结果如下表所示：| 数据组 | 实验数据 | 实验数据 | 实验数据 | 实验数据 |实验数据 || 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 || 1 | 5.15 | 5.13 | 5.11 | 5.16 | 5.10 || 2 | 5.14 | 5.10 | 5.10 | 5.17 | 5.10 || 3 | 5.09 | 5.17 | 5.12 | 5.14 | 5.14 || 4 | 5.12 | 5.16 | 5.12 | 5.13 | 5.17 || 5 | 5.10 | 5.15 | 5.14 | 5.11 | 5.12 || 6 | 5.13 | 5.13 | 5.13 | 5.15 | 5.09 || 7 | 5.11 | 5.12 | 5.16 | 5.10 | 5.11 || 8 | 5.09 | 5.11 | 5.12 | 5.10 | 5.12 || 9 | 5.12 | 5.14 | 5.15 | 5.17 | 5.15 || 10 | 5.13 | 5.12 | 5.13 | 5.16 | 5.13 |首先计算出每组数据的平均值，如下表所示：| 数据组 | 平均值 || 编号 | 1 || 1 | 5.130 || 2 | 5.121 || 3 | 5.132 || 4 | 5.144 || 5 | 5.124 || 6 | 5.134 || 7 | 5.120 || 8 | 5.110 || 9 | 5.145 || 10 | 5.133 |最后，将每组数据与该组数据的平均值之差的平方进行平均，即可得到总体方差和标准差。
随机误差的处理方法.
2
c.介于(3 ,3 )之间的随机误差出现的概率为： 3f ( )d 0.Fra bibliotek9733
《传感器应用技术》二、随机误差的处理
（三）随机误差的计算
2、实用算法
该结果含义:如果用算术平均值作为真值，100次测量有68次离真值的距离 在1倍标准误差范围之内，有95次离真值的距离在2倍标准误差范围之内， 有99.7次离真值的距离在3倍标准误差范围之内。1000次只可能有3次超出 3倍标准误差范围.
在测量次数为有限值时，推导出标准误差的估计值，作为标准误差使用：
ˆ
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
《传感器应用技术》二、随机误差的处理
（三）随机误差的计算
2、实用算法
a.介于 ( , ) 之间的随机误差出现的概率为：
f ( )d 0.6827
2
b.介于(2 ,2 ) 之间的随机误差出现的概率为： f ( )d 0.9545
抵偿性 测量次数无限多时，全体结果代数和为0。 概率密度曲线左右面积相等。
有界性 误差绝对值不会超出一定范围。 概率密度曲线在两侧呈接近于0的降落。
《传感器应用技术》二、随机误差的处理
（三）随机误差的计算
1、理论依据
连续的概率密度理论表达式
f ( )
1
2
2 exp( 2 2 )
测量值下的绝对误差
概率是研究随机事件的一个统计概念，是对大量重复实验的统计结果。 当在同一条件下对某个量进行多次重复测量时，粗大误差可以剔除；系统误差可以 修正；随机误差可以借助于对随机数值的统计概率，求出其估计值及其可能性。
《传感器应用技术》二、随机误差的处理
（一）概率与统计的几个概念
随机误差的统计分布实验报告
随机误差的统计分布实验报告摘要：本文通过实验方法对随机误差的统计分布进行了探究。
首先，我们采用了多种测量工具来获取数据。
然后，我们使用统计学方法对数据进行了分析，包括计算平均值、方差和标准差，并对数据进行正态性检验。
最后，我们使用图表展示了数据的分布情况，并对实验结果进行了讨论。
实验目的：1. 了解随机误差的统计分布特性。
2. 通过实验探究不同测量工具对数据分布的影响。
实验装备：1. 电子秤2. 温度计3. 计时器实验方法：1. 准备不同测量工具，并记录其分辨率和误差范围。
2. 使用电子秤测量15个相同重量的物品，记录每个物品的质量。
3. 使用温度计测量15个相同温度的物品，记录每个物品的温度。
4. 使用计时器测量15个相同时间的时间段，记录每个时间段所用时间。
5. 对每组数据进行统计学分析，包括计算平均值、方差和标准差，并进行正态性检验。
6. 使用图表展示数据的分布情况。
实验结果：1. 电子秤数据分布平均值：99.8g标准差：0.6g方差：0.36g²正态性检验结果：通过2. 温度计数据分布平均值：23.4℃标准差：0.3℃方差：0.09℃²正态性检验结果：通过3. 计时器数据分布平均值：30.5s标准差：0.2s方差：0.04s²正态性检验结果：通过实验讨论：1. 通过本实验的结果，我们可以看出，在同一测量条件下，不同的测量工具所得到的数据分布情况并不相同。
2. 电子秤数据呈现出较为正态的分布，这说明在重量的测量中，电子秤的准确性更高。
3. 温度计数据也呈现出较为正态的分布，但是方差和标准差相比于电子秤数据更小，这说明在温度的测量中，温度计的准确性更高。
4. 计时器数据同样呈现出较为正态的分布，但是相对于电子秤和温度计，其方差和标准差更小，这说明在时间的测量中，计时器的准确性更高。
结论：本实验通过探究不同测量工具对数据分布的影响，进一步了解了随机误差的统计分布特性，从而对科学研究、工程设计和质量控制等方面提供了基础性的数据支持。
2024 医学统计学形考作业1-4(含答案)
医学统计学专题测验一1.名词解释总体：是指根据研究目的确定的研究对象的全体。
误差：测量值与事实真相之间的差值。
抽样研究：是指以样本特征推论总体特征的研究。
极差：又称全距，是所有观察值中最大值和最小值之差。
变异系数：是标准差与均数的比值。
2.下面有关抽样误差的叙述，正确的是（ D ）。
A.严格设计和严格实施的研究可以避免抽样误差B.样本量越大，抽样误差越大C.抽样误差是由于测量人员测量技术不合格导致的误差D.抽样误差与研究特征的个体差异有关3.“是否吸烟”的变量类型是（ D ）。
A.数值型变量资料B.多分类变量资料C.等级资料D.二分类变量资料4.下面关于样本量的陈述，正确的是（ D ）。
A.样本量与总体规模有关B.抽样误差与样本量无关C.样本量与应答率水平无关D.样本量需要专门的公式估计5.下面关于研究对象的陈述，错误的是（ C ）。
A.研究对象与研究目的有关B.研究对象可以是人，也可以是动物C.研究对象不需要来自研究总体D.研究对象是研究设计的内容6.下面有关总体的叙述，正确的是（ A ）。
A.总体是由根据研究目的所确定的全部研究对象B.总体与研究目的无关C.总体由样本量决定D.总体由统计分析方法决定7.下列选项中，属于数值变量的是（ B ）。
A.民族B.体重C.血型D.性别8.数据录入时，部分数据录入有误，误差的类型属于（ B ）。
A.样本与总体之差B.系统误差C.随机测量误差D.抽样误差9.统计量是（ C ）。
A.统计总体数据得到的量B.反映总体特征的的量C.使用样本数据计算出来的统计指标D.使用参数估计出来的10.某病房记录了50名病人的护理等级，其中特级护理1名，一级护理3名，二级护理12名，三级护理34名，此资料属于（ C ）。
A.分类变量资料B.二分类资料C.有序分类变量资料D.数值变量资料11.下面有关误差的叙述，错误的是（D ）。
A.随机误差不可以避免B.系统误差一定要避免发生C.抽样误差包含个体差异D.因为样本含量越大，抽样误差越小，所样本含量越大越好12.某药物临床试验数据的两端均没有确定数值，描述其中心位置适用的最佳指标是（ A ）。
随机误差
（1）贝塞尔公式
s ( xk )
1 2 xi x n 1 i 1
lim
2 n
n
( xi ) 2
i 1
n
n 式中 x ——n次测量的算术平均值 vi xi x ——残差 n 1 ——自由度 s ( xk ) ——(测量值x 的)实验标准偏差 k
测 1 2 序 li/mm 75.01 75.04 vi/mm -0.035 -0.005 vi2/mm2 0.001225 0.000025
3
4 5 6 7 8 9 10
75.07
75.00 75.03 75.09 75.06 75.02 75.05 75.08
+0.025
-0.045 -0.015 +0.045 +0.015 -0.025 +0.005 +0.035
一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.
最佳估计的意义
若测量次数有限，由参数估计知，算术平 均值是该测量总体期望的一个最佳的估计 量 ，即满足
无偏性 有效性
一致性
E ( x ) Ex
D( x ) D( x )
P(| x Ex | ) 0
满足最小二乘原理
单次测值的实验标准差在数据处理中的意义： 1）可比较不同测量组的测量可靠性： 例：对同一被测量进行了两组测量（如由两人），其数据是：
第1组： 1.1 1.2 0.6 0.7 0.6 1.2 第2组： 1.0 1.2 0.6 0.7 0.8 1.1 x 0.9 1 0.30 x 0.9 2 0.24
02-实验二 随机误差的统计分布规律.
3. 分析本实验的测量结果和误差来源。
数据表格略（见实验报告）观察思考1. 统计规律需要大量实验数据作为基础，而且必须是在近似无系统误差或系统误差系统误差基本为一恒定值的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量才能的处正确的结论。
由本次实验，你对这一论述有何体会？ 2. 你能用计算机编程计算“测量列的算术平均值”和“平均值的标准偏差”吗？不妨试一试？附录 8-1 操作功能进入统计计算模式清除内存输入数据计算器计算平均值和标准偏差的操作方法CASIO fx-3600 型计算器按键操作 MODE 3 INV 数据x 1 AC DATA 数据x 2 SHARP EL 型计算器按键操作STAT DATA…数据x n DATA x1 , x 2 , x3 , … xn 显示算术平均值显示标准偏差显示测量次数如果 m 个数据相同，可输入 x i 后键入乘 m，再按 DATA。
x （即 INV 1 ） x （即） S （即 RM ）） n（即））（即 INV 3 ） n （即 Kout 3 附录 8-2 6 个硬币的统计分布如果把玻璃杯中的 6 个硬币摇晃并倒在桌子上，进行一次或多次，我们并不能准确的预言任一次倾倒的硬币有多少个正面。
然而对于掷出的硬币从出现概率方面研究，我们可以正确的推断出那些可能出现的可能值并估计这些可能值出现有多大的可能。
6如果摇晃 6 个质量相同的硬币，则理论上 0、1、2、3、4、5 个正面的最可能出现的概率如下表 8-3 所示：表 8-3 出现正面的数目 0 1 2 3 4 5 6 在 64 次抛掷中预期的出现频率 1 6 15 20 15 6 1 在许多次抛掷中出现的相对频率 1 / 64 = .56% 6 / 64 = 9.38% 15 / 64 = 23.44% 20 / 64 = 31.25% 15 / 64 = 23.44% 6 / 64 = 9.38% 1 / 64 = 1.56% 表 8-3 中的那些“抛掷中预期的出现频率”是基于理论上出现的几率，是“先验的” ，因此不一定在每作 64 次抛掷都肯定达到。
随机误差的统计分布实验报告
一、实验目的1. 了解随机误差的基本概念和统计分布规律。
2. 通过实验验证随机误差的统计分布特性。
3. 掌握利用统计方法分析随机误差的方法。
二、实验原理随机误差是指由于测量条件难以完全控制而引起的偶然性误差。
在物理测量中，当重复测量次数足够多时，随机误差通常服从或接近正态分布。
正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有以下特点：1. 有界性：随机误差的绝对值（幅度）均不超过一定的界限。
2. 单峰性：绝对值（幅度）小的随机误差总要比绝对值（幅度）大的随机误差出现的概率大。
3. 对称性：绝对值（幅度）等值而符号相反的随机误差出现的概率接近相等。
4. 抵偿性：当等精度重复测量次数足够大时，所有测量值的随机误差的代数和为零。
本实验通过测量时间间隔，利用统计方法分析随机误差的分布规律。
三、实验仪器与设备1. 电子秒表或毫秒计2. 摆钟或节拍器等具有固定周期事件的装置3. 数据处理软件（如Excel、Origin等）四、实验步骤1. 检查实验仪器是否能正常工作，秒表归零。
2. 将摆钟或节拍器上好发条使其摆动，用秒表测量节拍器四个周期所用时间，在等精度条件下重复测量150-200次，记录每次的测量结果。
3. 将测量数据输入数据处理软件，进行数据处理。
4. 绘制测量数据的直方图，观察其分布规律。
5. 利用数据处理软件拟合正态分布曲线，并与直方图进行比较。
6. 分析随机误差的分布规律，验证正态分布特性。
五、实验结果与分析1. 直方图分析将实验数据输入数据处理软件，绘制直方图，观察其分布规律。
根据直方图，可以得出以下结论：（1）随机误差的绝对值（幅度）均不超过一定的界限，符合有界性。
（2）随机误差的分布呈现单峰性，绝对值（幅度）小的随机误差出现的概率较大。
（3）随机误差的分布对称，符合对称性。
2. 正态分布拟合利用数据处理软件拟合正态分布曲线，并与直方图进行比较。
根据拟合结果，可以得出以下结论：（1）随机误差的分布基本符合正态分布，其概率密度函数呈钟形曲线。
随机误差的正态分布
2 有效数4时舍; 尾数≥6时入
尾数＝5时, 若后面数为0, 舍5成双;若5后面还有 不是0的任何数皆入
例 下列值修约为四位有效数字 0.324 74 0.324 75 0.324 76 0.324 85 0.324 851
0.324 7 0.324 8 0.324 8 0.324 8 0.324 9
它是由某些无法控制和避免的偶然因素造成 的。如：测定时环境温度、湿度、气压的微小波 动，仪器性能的微小变化，或个人一时的辨别的 差异而使读数不一致等。 如：天平和滴定管最后一位读数的不确定性。
它的特点：大小和方向都不固定，也无法测量 或校正。
10
除这两种误差外，往往可能由于工作上粗枝大 叶不遵守操作规程等而造成的“过失误差”。 过失
对数关系
若 R=mlgA, 则
ER
0.434m
EA A
分析结果的相对误差是测量值的相对误差 的指数倍。
28
（二）偶然误差 1、加减法 若 R=A+B-C, 则 SR2=SA2+SB2+SC2 若 R=aA+bB-cC+…, 则 SR2=a2SA2+b2SB2+c2SC2+…
分析结果的标准偏差的平方是各测量步骤标 准偏差的平方总和。
64若以样本平均值来估计总体平均值可能存在的区间可按下式进行估算对于少量测量数据必须根据t分布进行统计处理按t的定义可得出65它表示在一定置信度下以平均值为中心包括总体平均值的范围即平均值的置信区间
§3.1 分析化学中的误差
一、基本概念
1．真值 某一物理量本身具有的客观存在的真实数值，即 为该量的真值。一般说来，真值是未知的，但下 列情况的真值可以认为是知道的： a.理论真值 如某化合物的理论组成
随机误差
(x)
(b
1 a)B(g,
h)
x b
a a
g 1
1
x b
a a
h1
数学期望 bg ah
gh
标准方差 (b a) gh
(g h) g h 1
贝塔分布的性质与密度函数图
在给定分布界限a,b 下通
过参数g,h 取不同值，贝塔
0
1 a2 x2
a xa 其他
数学期望 E 0
f (x )
标准方差
a
2
置信因子 k a 2
服从反正弦分布的可能情形
度盘偏心引起的测角误差；
正弦（或余弦）振动引起的位移误差； -a
o
无线电中失配引起的误差。
a
x
瑞利分布
概率密度函数
f (x)
2、类型
▪正态分布统计检验
❖夏皮罗-威尔克检验 ❖偏态系数检验 ❖峰态系数检验
▪一般分布检验
❖皮尔逊检验
皮尔逊 2
检验( n 50
)
1、提出原假设
H0 : F (x) F0 (x)
▪把整个数轴分成m个区间
(, a1], (a1, a2 ],L L , (am1, )
▪总体X 的分布函数 F(x)未知 ▪ fi 频数，样本的观察值落
在区间 [3 ,3 ] 内的概率P 3
P 3 2(3) 1 20.9987 1 0.9974
随机误差服从正态分布，且标准偏差为 ，则 在该条件下，进行100次测量，可能有99次的随 机误差落在区间内[3 , 3 ]
2.随机误差的高斯分布、标准误差与算术平均误差的关系
系数 Gn 与测量次数 n 的对应关系（P6）
4
2 2 2
2
1 n
ni1
2 i
n1in1(xi
a)2
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高斯分布曲线
f ( )
f ( )
1
e
2 2 2
2
0 d
测量值的随机误差出现在
到 d 区间内 的概率为 f ( )d
阴影面积元
2
二、标准误差的物理意义
◆标标准准误误差差反的映物了理测意量义列 测量值的离散程度
◆测量值误差出现在
区间 ( , )内
的概率是 68.3%
记录
●说明标准误差只是一个，具有统计性质的特征
量，用以表征测量值离散程度
a-σ
a
a+σ
3
三、极限误差 莱以达准则 格罗布斯准则
1．极限误差 3
2．莱以达准则
倘若有测量值误差超出 3 范围
这种数据应当剔除 3．格罗布斯准则
倘若有测量值误差超出 Gn 范围
§2.2 随机误差的高斯分布、标准 误差与算术平均误差的关系
一、随机误差的高斯分布
大量实验事实得出随机误差的公理有三点： 1．绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。 2．大小相等，负号相反的误差出现的机会相等。 3．超过某一极限的误差，实际上不会出现。
高斯分布：
f ( ) 1
e
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大学物理实验 4 1.4 随机误差的统计分布
1.4.1 随机误差的正态分布
1．正态分布规律
在相同的测量条件下，对某一被测量进行多次重复测量，假设系统误差已被减弱到可以被忽略的程度，由于随机误差的存在，测量结果1x ，2x ，…n x 一般存在着一定的差异。
如果
该被测量的真值为a ，则根据误差的定义，各次测量的误差为
1,2,3,i i x a i n δ=-=
大量的实验事实和统计理论都证明，在绝大多数物理测量中，当重复测量次数足够多时，随机误差i δ服从或接近正态分布（或称高斯分布）规律。
正态分布的特征可以用正态分布曲
线形象地表示出来，如图1-2所示，横坐标为误差i δ，纵坐标
为随机误差的概率密度分布函数()f δ。
当测量次数n →∞
时，此曲线完全对称。
2．正态分布的性质
（1）单峰性。
误差为零处的概率密度最大，即绝对值小
的误差出现的可能性（概率）大，绝对值大的误差出现的可
能性小。
（2）对称性（抵偿性）。
大小相等的正误差和负误差出现
的机会均等，对称分布于真值的两侧，当测量次数非常多时，
正误差和负误差相互抵消，于是，误差的代数和趋向于零。
（3）有界性。
在一定测量条件下，误差的绝对值不会超过一定限度，即非常大的正误差或负误差出现的可能性几乎为零。
根据误差理论可以证明函数()f δ的数学表达式为
()2
221
e 2π
f δσδσ-= （1-3）
测量值的随机误差出现在(),d δδδ+区间内的可能性为()d f δδ，即图1-2中阴影线所包含的面积元。
式（1-3）中的σ是一个与实验条件有关的常数，称之为标准误差。
1.4.2 标准误差及其计算
1．标准误差的物理意义
按照概率理论，误差δ出现的区间(),-+∞∞的事件是必然事件，所以()d 1f δδ+-=⎰
∞∞，即曲线与横轴所包围面积恒等于1。
当0δ=时，由式（1-3）得
()102πf σ
= （1-4）
图1-2 随机误差的正态分布曲线
第1章 测量误差与数据处理的基础知识 5 由式（1-4）可见，若测量的标准误差σ很小，则必有f (0)很大。
由于曲线与横轴间围成的面积恒等于1，所以如果曲线中间凸起较大，两侧下降较快，相应的测量必然是绝对值小
的随机误差出现较多，即测得值的离散性小，重复测量
所得的结果相互接近，测量的精密度高；相反，如果σ
很大，则f (0)就很小，误差分布的范围就较宽，说明测
得值的离散性大，测量的精密度低。
这两种情况的正态
分布曲线如图1-3所示。
σ反映的是一组测量数据的离
散程度，常称它为测量列的标准误差。
可以证明，误差在区间(,σσ-)内出现的概率为
()()d 0.68268968.3%P f σσδσδδ-<==≈⎰ （1-5）
即由σ-到σ之间正态分布曲线下的面积占总面积
的68.3%。
这就是说，如果测量次数n 很大，则在所测得的数据中，将有占总数68.3%的数据的误差落在区间(,σσ-)之内；即在所测得的数据中，任一个数据x i 的误差δ 落在区间(σ-,σ)之内的概率为68.3%。
区间(σ-,σ)称为置信区间，测量误差在置信区间出现的概率P 为置信概率。
也可证明，()30.997399.7%P δσ<=≈。
这表明，在1000次测量中，随机误差超过3σ±范围的测得值大约只出现3次左右。
在一般的十几次测量中，几乎不可能出现。
依据这点，可对多次重复测量中，由于过失引起的异常数据加以剔除。
这被称为剔除异常数据的3σ准则。
它只能用于测量次数n >10的重复测量中，对于测量次数较少的情况，需要采用另外的判别准则。
同时，由概率积分表可得如下一些典型数据：
()1.960.9500P δσ<= ()20.9545P δσ<=
()2.580.9901P δσ<= ()40.9999P δσ<=
对不同的要求，置信概率可取不同的值，常见的取值有0.68，0.90，0.95，0.99等。
在P =0.95时，不必注明P 值。
多数的工业和商业用途上所用的约定概率为0.95。
在本教材中，不确定度用的置信概率一般为0.95。
2．标准误差的数学表达式
()21lim n i i n x a n
σ=→-=∑∞ （1-6） 由于实际测量次数是有限的，且真值不可能得到，所以标准误差也无法计算。
因此，在实际应用中，我们用算术平均值来代替真值，用标准偏差来代替标准误差。
3．标准偏差的计算
（1）算术平均值
根据随机误差的正态分布规律，测得值偏大或偏小的机会相等，即绝对值相等的正负误差出现的概率是相等的。
因此，在排除掉系统误差后，各次测得值的算术平均值
图1-3 σ与δ 的离散性关系
大学物理实验
6 121n i n i x x x x x n n
=++⋅⋅⋅+==∑ （1-7） 必然最为接近被测量的真值，而且当测量次数趋于无限多时(n →∞)，平均值无限接近真值，所以算术平均值是真值的最佳估计值。
（2）算术平均值的标准误差
我们通过多次重复测量获得了一组数据，并把求得的算术平均值作为测量结果。
如果我们在完全相同的条件下再重复测量该被测量时，由于随机误差的影响，不一定能得到完全相同的数，这表明算术平均值本身具有离散性。
为了评定算术平均值的离散性，我们引入算术平均值的标准误差x σ，可以证明
x σ（1-8） 式中，n 为重复测量次数。
由式（1-8）可见，x σ是测量次数n 的函数，测量次数越多，算术平均值的标准误差越小，所以多次测量提高了测量的精度。
但也不是测量次数越多越好。
因为n 增大只对随机误差的减小有作用，对系统误差则无影响，而测量误差是随机误差与系统误差的综合。
所以，增加测量次数对减小误差的价值是有限的。
其次，x σ与测量次数n 的
平方根成反比，σ一定时，当n >10以后，x σ随测量次数的增加而减小得很缓慢。
另外，测
量次数过多，观测者将疲劳，测量条件也可能出现不稳定，因而有可能出现增加随机误差的趋势。
实际上，只有改进实验方法和仪器，才能从根本上改善测量的结果。
（3）标准偏差
前面对误差的讨论只有理论上的价值，下面我们讨论误差的实际估算方法。
由于算术平均值最接近真值，因此可以用算术平均值参与对标准误差的估算。
我们常用如下的贝塞尔公式去估算标准误差：
s =（1-9） 式中，测得值i x 与平均值x 之差i v （即i i v x x =-）称为测得值i x 的残余误差，简称残差。
贝塞尔公式是用残差去求标准误差σ的估计值S ，称此估计值为测量列的标准偏差。
可以证明，当测量次数n 足够大时，可以用式（1-9）中S 的值代替按式（1-6）定义的σ值。
算术平均值的标准误差x σ的估计值为算术平均值的标准偏差x s ，若测量列的标准偏差为
S ，则
x s = （1-10） 通过前面的讨论我们看到，误差一词有两重意义。
一是它定义为测量值与真值之差，是确定的，但是一般不可能求出具体的数值；二是当它与某些词构成专用词组时（如标准误差），不指具体的误差值，而是用来描述误差分布的数值特征，表示和一定的置信概率相联系的误差范围，这个问题应引起初学者的注意。