圆柱圆锥圆台体积和表面积.ppt
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V＝ 13(S＋ SS′＋S′)h.特别地，圆台的上、下底面半径分别 为 r，r′，高为 h，其体积 V＝ 13π(r2＋rr′＋r′2)h .
基础练习
1．正方体的全面积为 a2，则它的体积为 .
[解析] 设棱长为 x，则 6x2＝a2， ∴x＝ 66a，V＝x3＝366a3.
2．长方体的长、宽分别为 4、3，体积为 24，则它的最 小的一个面的面积为 6 .
[解析] 如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底 面半径和母线长分别为r，R，l，高为h.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3. 又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1D·tan160°， 即R－r＝3× 33，∴R－r＝ 3. 又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°. ∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3× 3，
柱体、锥体、台体的表面积与体积求解
课前自主预习
2．柱体的体积 (1)棱柱(圆柱)的高是指 两底面 之间的距离，即从一底面上任 意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间 的距离． (2)柱体的底面积为 S，高为 h，其体积 V＝Sh .特别地，圆柱的 底面半径为 r，高为 h，其体积 V＝ πr2h .
8．如图所示，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截 去三棱锥C1－BCD后剩余部分的几何体的体积V＝________.
[答案]
20 3
[解析]
V＝V正方体－VC1－BCD＝23－
1 3
×
12×2×2
×2＝
20 3.
9．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直 径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台 的体积．
4、十棱柱的底面积为 3，高为 2 3，则其体积等于 ________． [答案] 6
[解析] V＝Sh＝ 3×2 3＝6.
5、已知圆锥 SO 的底面半径 r＝2，高为 4，则其体积等于
________．
[答案]
16 3π
[解析] V＝13πr2h＝13π×22×4＝136π.
5、棱台的上、下底面面积分别是 2,4，高为 3，则棱台的
[答案] B
[解析] 由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为
一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为
1 3
×
1 2
×6×3×3＝9，故选B.
7．(2012·上海高考数学试题(理科))若一个圆锥的侧面展 开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．
[答案]
3π 3
[解析] 根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根
【练一练】1.长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则这个长方 体的表面积是____.
2.已知圆锥的高为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为____.
3.棱长为1,各面都是等边三角形的四面体的表面积为____.
【例2】一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为 15,求这个 三棱锥的体积. 思路点拨：正三棱锥顶点和底面中心的连线与底面垂直，利用 此特点求出棱锥的高即可.
[解析] ∵△ABC为直角三角形，且AB为斜边，∴绕AB 边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面 半径r＝152.
∴V锥＝13·AB·πr2 ＝13×5×π×1522 ＝458π.
[例 4] (2011·天津高考)一个几何体的三视图如下图(单 位：m)，则该几何体的体积为________m3.
2、 在底面边长为a，侧棱长为2a的正
四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，求：
D1
(1) 此棱柱的体积V； (2) 点B到平面AB1C的距离。 A1
V = V B-AB1C
B1-ABC
= VA-BB1C
D
= VC-ABB1
A
C1 B1
C B
变式2
已知正三棱锥S-ABC的侧棱
两两垂直，侧棱长为 2cm ，求：
[答案] (6＋π)
[解析] 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方 体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆 锥＝3×2×1＋π3×12×3＝(6＋π)m3.
(2010·陕西高考)若某空间几何体的三视图如图所示，则 该几何体的体积是( )
[答案] C
1 A.3
2 B.3
[答案] D
[解析] 设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径r，高都为 h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R，
V柱:V锥＝πR2h:13πr2h＝3:4，故选D.
6．(2012·全国新课标(文))如图，网格上小正方形的边长 为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为 ()
A．6 B．9 C．12 D．18
有：3ah＝54
①，
3 4
a2h＝45
3
②.由①②组成的方程组得
a＝10，h＝95，所以棱柱的高为95cm，底面边长为10cm.
命题方向 旋转体的体积 [例 3] 如图是一个底面直径为 20cm 的装有一部分水的 圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6cm，高为 20cm 的圆锥形铅锤(水面高过铅锤)，当铅锤从水中取出后，杯里 的水将下降多少？
∴R＋r＝3 3，∴R＝2 3，r＝ 3，而h＝3， ∴V圆台＝13πh(R2＋Rr＋r2)
＝13π×3×[(2 3)2＋2 3× 3＋( 3)2] ＝21π. 所以圆台的体积为21π.
课后强化作业（点此链接）
1、 一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
正视图
2cm
侧视图
2 cm
2cm
俯视图
这个几何体是 _正_四__棱_锥__，
aabc＝＝36 bc＝2
，∴a2b2c2＝36
∴abc＝6
又V＝abc＝6 ∴体积为6.
一个三棱柱上下底面都是正三角形且侧棱与底面垂直， 已知它的侧面积为54cm2，体积为45 3cm3，求棱柱的高及底 面边长．
[分析]用棱柱的高与底面边长表示出侧面积与体积，解 方程组即可．
[解析] 设正三棱柱的底面边长为a，高为h，如下图，则
思路点拨：由正视图和俯视图可画出该几何体的直观图，再根 据图中已给的长度信息结合正三棱锥结构特征求解.
【练一练】1.如图，是一个几何体的三视图及其尺寸（单位： cm），则该几何体的表面积和体积分别为( ) (A)24π cm2,12π cm3 (B)15π cm2,12π cm3 (C)24π cm2,36π cm3 (D)15π cm2,36π cm3
C．1
D．2
命题方向 割补法求体积
[例 5] 三棱台 ABC－A1B1C1 中，AB:A1B1＝1:2，则三棱 锥 A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1 的体积之比为( )
A．1:1:1
B．1:1:2
C．1:2:4
D．1:4:4
[分析] 如图，三棱锥B－A1B1C可看作棱台减去两个三棱 锥A1－ABC和C－A1B1C1后剩余的几何体，分别求几何体的体 积，然后相比即可．
体积是( )
A．18＋6 2 C．24
B．6＋2 2 D．18
[答案] B
[解析] 体积 V＝13(2＋ 2×4＋4)×3＝6＋2 2.
6、圆台 OO′的上、下底面半径分别为 1 和 2，高为 6，
则其体积等于________．
[答案] 14π
[解析] V＝13π×(12＋1×2＋22)×6＝14π.
1
1
A.4
B.2
3 C. 6
3 D. 4
[答案] D
[解析]
三棱锥B1－ABC的高h＝3，底面积S＝S△ABC＝
3Hale Waihona Puke Baidu4
×12＝ 43，
则VB1－ABC＝13Sh＝13×
43×3＝
3 4.
5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那
么圆柱与圆锥的体积之比为( )
A．1
1 B.2
3
3
C. 2
D.4
3．已知有一个圆柱形水缸，其中底面半径为 0.5m，里面水高
度为 0.8m，现在有一个不规则几何体放进水缸，水面上升到 1.2m，
则此不规则几何体体积约为(精确到 0.1，π 取 3.14)( )
A．0.4m3
B．0.2m3
C．0.3m3
D．0.8m3
[答案] C
[解析] V＝π×0.52×(1.2－0.8)＝0.3(m3)
3．圆锥的高扩大为原来的n倍，底面半径缩小为原来的
1 n
倍，那么它的体积变为原来的( )
A．1倍
B．n倍
C．n2倍
D.1n倍
[答案] D
[解析]
由锥体的体积公式V＝
1 3
πr2h，可知锥体的体积与
高成正比，与底面半径的平方成正比．
4．已知高为3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正 三角形(如图)，则三棱锥B1－ABC的体积为( )
1．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1、2、3，则长
方体的体积与表面积分别为( )
A．6,22
B．3,22
C．6,11
D．3,11
[答案] A
2．已知圆台OO′的上、下底面半径分别为2和4，高为
9，则圆台OO′的体积是( )
A．84π
B．60π
C．54π
D．40π
[答案] A
[解析] V＝13π(22＋2×4＋42)×9＝84π.
[解析]
因为圆锥形铅锤的体积为
1 3
×π×(
6 2
)2×20＝
60π(cm3)，设水面下降 高度为xcm，则下降的小圆柱的体积为
π2202x＝100πx. 所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6.
故杯里的水下降了0.6cm.
已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5， 以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的 体积．
例题解析
命题方向 多面体与旋转体的面积
【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧 面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
命题方向 多面体的体积
[例 2] 长方体相邻三个面的面积分别为 2、3、6 求它的
体积．
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则有
1 VV12＝133SS21hh＝SS12＝49⇒V1＝49V2. 又V棱台＝13h(S1＋ S1S2＋S2) ＝13h49S2＋ 49S22＋S2＝199·13S2h＝199V2， 所以V3＝V棱台－(V1＋V2) ＝199V2－49V2＋V2＝23V2， 故V1:V2:V3＝4:9:6.
课堂达标
它的表面积是
_4__4__3__c_m_2，
它的体积是
_34___2__c_m__3 .
变式1：一几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
2cm
正视图
1 cm
侧视图
2 cm
2cm
俯视图
这个几何体是
由正四棱锥和长
_方__体_ 组合__而_成，
它的表面积是
_12___4__3_c_m_2，
它的体积是
4___34___2__c_m. 3
(1) 此棱锥的体积V；
S
(2) 点S到底面ABC的距离。
VS-ABC= VB-SAC
C
= VA-SBC = VC-SAB
A
O
B
典型例题精析
【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧 面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少? 思路点拨：解答本题的关键是求圆台的侧面积,要求侧面积就 要求出圆台的母线长.
3．锥体的体积 (1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与 垂足 (垂线与底面的交点)之间的距离．
1 (2)锥体的底面积为 S，高为 h，其体积 V＝ 3Sh .特别地，
圆锥的底面半径为 r，高为 h，其体积 V＝ 13πr2h .
4．台体的体积 (1)圆台(棱台)的高是指 两个底面 之间的距离． (2)台体的上、下底面面积分别为 S′，S，高为 h，其体积
【练一练】1.一组邻边长分别为1和2的矩形，绕其一边所在的 直线旋转成一个圆柱，则这个圆柱的体积为____.
2.一个圆锥经过轴的截面（称为轴截面）是边长为2的等边三 角形,这个圆锥的体积为____.
【例3】已知正三棱锥V—ABC的正视图、俯视图如图所示， 其中VA=4，AC=2 3,求该三棱锥的表面积和体积.
[解析]
三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面积之比为4:9.连接 A1B、BC1和AC1，把棱台分为三个棱锥B－A1B1C1，C1－ ABC，A1－ABC1.则这三个棱锥体积之比为________．
[答案] 4:9:6
[解析] 如图，设三棱锥B－A1B1C1，C1－ABC，A1－ ABC1体积分别为V1、V2、V3，又设棱台的高为h，上、下底面 积分别为S1、S2.依题意，得
据条件得到
1 2
πl2＝2π，解得母线长l＝2,2πr＝πl＝2π，r＝1所以
该圆锥的体积为：V圆锥＝13Sh＝13×
22－12π＝
3 3 π.
[点评] 本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开 图．审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在 展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记 牢，属于中低档题．
基础练习
1．正方体的全面积为 a2，则它的体积为 .
[解析] 设棱长为 x，则 6x2＝a2， ∴x＝ 66a，V＝x3＝366a3.
2．长方体的长、宽分别为 4、3，体积为 24，则它的最 小的一个面的面积为 6 .
[解析] 如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底 面半径和母线长分别为r，R，l，高为h.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3. 又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1D·tan160°， 即R－r＝3× 33，∴R－r＝ 3. 又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°. ∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3× 3，
柱体、锥体、台体的表面积与体积求解
课前自主预习
2．柱体的体积 (1)棱柱(圆柱)的高是指 两底面 之间的距离，即从一底面上任 意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间 的距离． (2)柱体的底面积为 S，高为 h，其体积 V＝Sh .特别地，圆柱的 底面半径为 r，高为 h，其体积 V＝ πr2h .
8．如图所示，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截 去三棱锥C1－BCD后剩余部分的几何体的体积V＝________.
[答案]
20 3
[解析]
V＝V正方体－VC1－BCD＝23－
1 3
×
12×2×2
×2＝
20 3.
9．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直 径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台 的体积．
4、十棱柱的底面积为 3，高为 2 3，则其体积等于 ________． [答案] 6
[解析] V＝Sh＝ 3×2 3＝6.
5、已知圆锥 SO 的底面半径 r＝2，高为 4，则其体积等于
________．
[答案]
16 3π
[解析] V＝13πr2h＝13π×22×4＝136π.
5、棱台的上、下底面面积分别是 2,4，高为 3，则棱台的
[答案] B
[解析] 由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为
一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为
1 3
×
1 2
×6×3×3＝9，故选B.
7．(2012·上海高考数学试题(理科))若一个圆锥的侧面展 开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．
[答案]
3π 3
[解析] 根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根
【练一练】1.长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则这个长方 体的表面积是____.
2.已知圆锥的高为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为____.
3.棱长为1,各面都是等边三角形的四面体的表面积为____.
【例2】一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为 15,求这个 三棱锥的体积. 思路点拨：正三棱锥顶点和底面中心的连线与底面垂直，利用 此特点求出棱锥的高即可.
[解析] ∵△ABC为直角三角形，且AB为斜边，∴绕AB 边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面 半径r＝152.
∴V锥＝13·AB·πr2 ＝13×5×π×1522 ＝458π.
[例 4] (2011·天津高考)一个几何体的三视图如下图(单 位：m)，则该几何体的体积为________m3.
2、 在底面边长为a，侧棱长为2a的正
四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，求：
D1
(1) 此棱柱的体积V； (2) 点B到平面AB1C的距离。 A1
V = V B-AB1C
B1-ABC
= VA-BB1C
D
= VC-ABB1
A
C1 B1
C B
变式2
已知正三棱锥S-ABC的侧棱
两两垂直，侧棱长为 2cm ，求：
[答案] (6＋π)
[解析] 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方 体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆 锥＝3×2×1＋π3×12×3＝(6＋π)m3.
(2010·陕西高考)若某空间几何体的三视图如图所示，则 该几何体的体积是( )
[答案] C
1 A.3
2 B.3
[答案] D
[解析] 设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径r，高都为 h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R，
V柱:V锥＝πR2h:13πr2h＝3:4，故选D.
6．(2012·全国新课标(文))如图，网格上小正方形的边长 为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为 ()
A．6 B．9 C．12 D．18
有：3ah＝54
①，
3 4
a2h＝45
3
②.由①②组成的方程组得
a＝10，h＝95，所以棱柱的高为95cm，底面边长为10cm.
命题方向 旋转体的体积 [例 3] 如图是一个底面直径为 20cm 的装有一部分水的 圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6cm，高为 20cm 的圆锥形铅锤(水面高过铅锤)，当铅锤从水中取出后，杯里 的水将下降多少？
∴R＋r＝3 3，∴R＝2 3，r＝ 3，而h＝3， ∴V圆台＝13πh(R2＋Rr＋r2)
＝13π×3×[(2 3)2＋2 3× 3＋( 3)2] ＝21π. 所以圆台的体积为21π.
课后强化作业（点此链接）
1、 一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
正视图
2cm
侧视图
2 cm
2cm
俯视图
这个几何体是 _正_四__棱_锥__，
aabc＝＝36 bc＝2
，∴a2b2c2＝36
∴abc＝6
又V＝abc＝6 ∴体积为6.
一个三棱柱上下底面都是正三角形且侧棱与底面垂直， 已知它的侧面积为54cm2，体积为45 3cm3，求棱柱的高及底 面边长．
[分析]用棱柱的高与底面边长表示出侧面积与体积，解 方程组即可．
[解析] 设正三棱柱的底面边长为a，高为h，如下图，则
思路点拨：由正视图和俯视图可画出该几何体的直观图，再根 据图中已给的长度信息结合正三棱锥结构特征求解.
【练一练】1.如图，是一个几何体的三视图及其尺寸（单位： cm），则该几何体的表面积和体积分别为( ) (A)24π cm2,12π cm3 (B)15π cm2,12π cm3 (C)24π cm2,36π cm3 (D)15π cm2,36π cm3
C．1
D．2
命题方向 割补法求体积
[例 5] 三棱台 ABC－A1B1C1 中，AB:A1B1＝1:2，则三棱 锥 A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1 的体积之比为( )
A．1:1:1
B．1:1:2
C．1:2:4
D．1:4:4
[分析] 如图，三棱锥B－A1B1C可看作棱台减去两个三棱 锥A1－ABC和C－A1B1C1后剩余的几何体，分别求几何体的体 积，然后相比即可．
体积是( )
A．18＋6 2 C．24
B．6＋2 2 D．18
[答案] B
[解析] 体积 V＝13(2＋ 2×4＋4)×3＝6＋2 2.
6、圆台 OO′的上、下底面半径分别为 1 和 2，高为 6，
则其体积等于________．
[答案] 14π
[解析] V＝13π×(12＋1×2＋22)×6＝14π.
1
1
A.4
B.2
3 C. 6
3 D. 4
[答案] D
[解析]
三棱锥B1－ABC的高h＝3，底面积S＝S△ABC＝
3Hale Waihona Puke Baidu4
×12＝ 43，
则VB1－ABC＝13Sh＝13×
43×3＝
3 4.
5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那
么圆柱与圆锥的体积之比为( )
A．1
1 B.2
3
3
C. 2
D.4
3．已知有一个圆柱形水缸，其中底面半径为 0.5m，里面水高
度为 0.8m，现在有一个不规则几何体放进水缸，水面上升到 1.2m，
则此不规则几何体体积约为(精确到 0.1，π 取 3.14)( )
A．0.4m3
B．0.2m3
C．0.3m3
D．0.8m3
[答案] C
[解析] V＝π×0.52×(1.2－0.8)＝0.3(m3)
3．圆锥的高扩大为原来的n倍，底面半径缩小为原来的
1 n
倍，那么它的体积变为原来的( )
A．1倍
B．n倍
C．n2倍
D.1n倍
[答案] D
[解析]
由锥体的体积公式V＝
1 3
πr2h，可知锥体的体积与
高成正比，与底面半径的平方成正比．
4．已知高为3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正 三角形(如图)，则三棱锥B1－ABC的体积为( )
1．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1、2、3，则长
方体的体积与表面积分别为( )
A．6,22
B．3,22
C．6,11
D．3,11
[答案] A
2．已知圆台OO′的上、下底面半径分别为2和4，高为
9，则圆台OO′的体积是( )
A．84π
B．60π
C．54π
D．40π
[答案] A
[解析] V＝13π(22＋2×4＋42)×9＝84π.
[解析]
因为圆锥形铅锤的体积为
1 3
×π×(
6 2
)2×20＝
60π(cm3)，设水面下降 高度为xcm，则下降的小圆柱的体积为
π2202x＝100πx. 所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6.
故杯里的水下降了0.6cm.
已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5， 以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的 体积．
例题解析
命题方向 多面体与旋转体的面积
【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧 面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
命题方向 多面体的体积
[例 2] 长方体相邻三个面的面积分别为 2、3、6 求它的
体积．
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则有
1 VV12＝133SS21hh＝SS12＝49⇒V1＝49V2. 又V棱台＝13h(S1＋ S1S2＋S2) ＝13h49S2＋ 49S22＋S2＝199·13S2h＝199V2， 所以V3＝V棱台－(V1＋V2) ＝199V2－49V2＋V2＝23V2， 故V1:V2:V3＝4:9:6.
课堂达标
它的表面积是
_4__4__3__c_m_2，
它的体积是
_34___2__c_m__3 .
变式1：一几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
2cm
正视图
1 cm
侧视图
2 cm
2cm
俯视图
这个几何体是
由正四棱锥和长
_方__体_ 组合__而_成，
它的表面积是
_12___4__3_c_m_2，
它的体积是
4___34___2__c_m. 3
(1) 此棱锥的体积V；
S
(2) 点S到底面ABC的距离。
VS-ABC= VB-SAC
C
= VA-SBC = VC-SAB
A
O
B
典型例题精析
【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧 面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少? 思路点拨：解答本题的关键是求圆台的侧面积,要求侧面积就 要求出圆台的母线长.
3．锥体的体积 (1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与 垂足 (垂线与底面的交点)之间的距离．
1 (2)锥体的底面积为 S，高为 h，其体积 V＝ 3Sh .特别地，
圆锥的底面半径为 r，高为 h，其体积 V＝ 13πr2h .
4．台体的体积 (1)圆台(棱台)的高是指 两个底面 之间的距离． (2)台体的上、下底面面积分别为 S′，S，高为 h，其体积
【练一练】1.一组邻边长分别为1和2的矩形，绕其一边所在的 直线旋转成一个圆柱，则这个圆柱的体积为____.
2.一个圆锥经过轴的截面（称为轴截面）是边长为2的等边三 角形,这个圆锥的体积为____.
【例3】已知正三棱锥V—ABC的正视图、俯视图如图所示， 其中VA=4，AC=2 3,求该三棱锥的表面积和体积.
[解析]
三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面积之比为4:9.连接 A1B、BC1和AC1，把棱台分为三个棱锥B－A1B1C1，C1－ ABC，A1－ABC1.则这三个棱锥体积之比为________．
[答案] 4:9:6
[解析] 如图，设三棱锥B－A1B1C1，C1－ABC，A1－ ABC1体积分别为V1、V2、V3，又设棱台的高为h，上、下底面 积分别为S1、S2.依题意，得
据条件得到
1 2
πl2＝2π，解得母线长l＝2,2πr＝πl＝2π，r＝1所以
该圆锥的体积为：V圆锥＝13Sh＝13×
22－12π＝
3 3 π.
[点评] 本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开 图．审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在 展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记 牢，属于中低档题．