二次型及其标准型

5
.

0
0
0



单位化即得
1

1 3

1
2 2

当 2 3 2 时，解方程组 ( A 2E)x 0 ，由
1 2 2 1 2 2 A 2E 2 4 4 0 0 0
2 4 4 0 0 0
(v) 将上面求得的正交单位 向量作为列向量，排成 一个 n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。 此时 Q 1AQ QT AQ 为对角阵。
(vi) 作正交变换 X QY , 即可将二次型化为标准形
f X T AX (QY )T A(QY ) Y T (QT AQ)Y Y T Y

an1xn x1 an2 xn x2 an3xn x3 ann xn2

( x1,
x2 ,
,
xn
)
a11x1 a21x1
a12 x2 a22 x2

a1n xn a2n xn


an1x1

an2 x2
x y


x,
y
2 0
0 8

x y

2x2 8y2
启示
1. 二次齐次多项式可以写成矩阵形式，其矩阵的主对角元恰是 平方项系数，关于主对角线的对称元恰是交叉项的系数的一半 ；
2. 通过一正交变换就将二次齐次多项式化简成只含有平方项的标 准形.
二次型（quadratic form ）的定义
a21 an1
a22
an2

a1n
a2n
ann

二次型的矩阵 （显然这是实 对称阵）
x1
X

x2

xn
任给一个二次型，就惟一地确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．
这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．

4
由题设条件，有 Q1AQ QT AQ
由于A相似于对角矩阵 ，故A的特征值为 1 0，2 1，3 4
trA 1 2 3. 1 a 1 0 1 4 a 3
将 1 0 代入特征方程 det(A E) 0 ,得

y
cos
45

2 x 2
2y 2
将上面关系式代入方程（1），得到在新坐标系下的方程形式
2
2
2x 8y 1
可见二次方程（1）所表示 的曲线是椭圆,它的左边是 一个二次齐次多项式，通 过变量的坐标变换化简为 只含有平方项的二次齐次 多项式，我们叫它标准形.
另一方面，（1）的左边用矩阵表示为
ann xn
a11 a12

( x1,
x2 ,
,
xn )
a21
a22

a1n a2n


x1 x2


an1
an2

ann


xn
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X T AX
二次型的矩阵表示式
a11 a12
A



2 4 5
单位化
2
2 2

1 5

2 1 0

3

1 35

2
4 5

正交变换
1
2
2
y
3 2
5 1
3
5 4

x
3
5
3 5
2 3
0
5 3
标准形 例
f 7x12 2x22 2x32 .
5x2 6xy 5y2 x(5x 3y) y(3x 5y)
(x, y)
5x 3y 3x 5y
(x, y)
5 3
（2）
3 x
5y
坐标变换关系用矩阵表示为

x y



2 2 2 2

2 2 2 2

坐标原点重合，则一般方程是
ax2 2bxy cy 2 d
上式的左端就是x，y的一个二次齐次多项式． 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们通过坐标变换， 把方程化为只含平方项没有乘积项的标准方程， 在空间解析几何中二次曲面的研究也有类似的问题． 把二次齐次多项式化为只含平方项的标准方程不仅在几何问题 中出现，而且在数学的其他分支以及物理、力学、工程技术、 经济管理、网络计算中有着广泛的应用．
(i) 写出二次型的矩阵 A；
(ii) 求出A的所有相异的特征值 1, 2 , , m;
(iii) 对每一个重特征值i，求出对应的ri个线性无关的特
m
征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m),由性质知 ri n. i 1 .
(iv) 用施密特正交化方法将每一个重特征值i所对应的 ri个线性无关的特征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m) 先正交化再单位化为i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m)， 它们仍为属于i的特征向量。
定理2 对实二次型 f X T AX,总有正交变换X QY,使
f X T AX (QY )T A(QY ) Y T (QT AQ)Y Y T Y 1 y12 2 y22 n yn2
1



, 1,
, n为
f
的矩阵
A的特征值。
称为n元二次型，简称为二次型。
ann xn2
当 ai j 中有复数时，为复二次型．当 ai j全为实数时，为实二次型．
定义2：
y1 c11x1 c12 x2 c1n xn
若线性变换

y2

c21x1 c22 x2
c2n xn
yn cn1x1 cn2 x2 cnn xn
例 已知下面二次型的秩为2，求参数c．
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22 cx32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3
二次型 f 的矩阵为
5 1 3 A 1 5 3
3 3 c
r(A)=2<0 A 24c 72 0 c=3.
阵B CT AC且r(A) r(B).
正交变换化二次型为标准形：
d1

问题1：标准形的矩阵 = ？

dn
问题2：将二次型化为标准形实际上是什么问题？
找可逆阵 C, 使CT AC 为对角阵.
问题3：二次型能否化为标准形？
能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。
含有n个变量x1, x2 , , xn的二次齐次多项式
f (x1, x2, , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn
a22 x22 2a23x2x3 2a2n x2xn
a33x32 2a3n x3xn
1b1
b
a
1 (b 1)2 0 b 1
n
证明 因为 A是实对称阵，故总有正交矩阵Q，使Q-1AQ =
将x=Q y 代入二次型 f ，得
f＝(Qy)TA(Qy)＝yTQTAQy=yT(QTAQ)y=yT y = 1 y12 n yn2
其中1，2， ，n 是 f 的矩阵A的特征值
将二次型化为标准形的一般步骤：
x y

或
2 2
其中 2
x, y (x y) 2 2
2

2 2
2 2
2

2 2
2 是一正交矩阵. 因此(3)为正交变换.
2
2
（3）
将(3)代入（2）也有
5x2
6xy
5y2

(x,
y)
5 3
53
二次型的概念
实例：二次方程
5x2 5y2 6xy 1
（1）
的图像表示怎样的曲线? 正交变换法化上面方程为熟知形式 若将坐标系逆时针旋转450，得新坐标系 ox y
平面上任一点A的新旧坐标关系为
x

x
cos
45

y
sin
45


2 x 2
2y 2

y

x
sin
45
得基础解系
2
2
， 正交化
2


1 0
，3


0 1

(2，3 )不正交
2
2 2 1
0
3

3


T 2

3

T 2

2
2

2 0 1
4 5

2 1 0

1 5
已知二次型 f x12 ax22 ，x32 2bx1x2 2x1x3 2x2 x经3 过正交变
换化成了标准形 f y22 4y32 求 a，b 的值和正交矩阵Q．
f 的矩阵A及标准形的矩阵 分别为
1 A b
b a
11，

0
1

1 1 1
二次型经可逆变换后的矩阵：
f (x1, x2 , , xn ) X T AX

作可逆变
(CY )T
A(CY ) Y T (CT AC )Y
换X CY
B CT AC BT B,Y T BY为二次型且 A与B合同,
r( A) r(B). 由上讨论可得：
定理1
二次型f (x1, x2,L , xn ) X T AX 经可逆线性变换 X CY 变成新变元的二次型 f Y T BY ,它的矩
0 0 3 x3
二次型 f 的矩阵为
0 1 0 A 1 0 0
0 0 3
2 1 1 例 求实对称矩阵 A 1 0 3 所对应的二次型．
1 3 3
f (x1, x2 , x3 ) 2x12 3x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
的矩阵 c11 c12
Cnn

c21

cn1
c22 cn2

c1n
c2n
cnn

可逆，则称线性变换为可逆 线性变换；
正交，则称线性变换为正交 变换。
定义3： 只含平方项的二次型，即形如
f (x1, x2, , xn ) d1x12 d2x22 dn xn2
,
A的特征值
2
4 2
1 7，2 3 2
当 1 7 时，解方程组 (A 7E)x 0，由
8 2 A 7E 2 5
2 4
得基础解系
1
1 2
2
2
1 0 1

2
4 0 1 1
Ch 5 二次型
掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型 秩的概念，了解二次型的标准形、规范 形的概念及惯性定理 熟练掌握用正交变换化二次型为标准形 的方法，并会用配方法化二次型为标准 形 了解二次型的分类，熟练掌握二次型及 其对应矩阵的正定性与判别法
问题的提出：在平面解析几何中讨论的有心二次曲线，若中心与
例 求一个正交变换x =Qy，， 化二次型为标准形
f x12 2x22 2x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
解 二次型的矩阵
1 2 2 A 2 2 4
2 4 2
特征多项式
1 2
2
A E 2 2 4 ( 7)( 2)2
定义： 设二次型 f (x1, x2 , , xn ) X T AX
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵，也把 f 叫做对称矩阵A的二次型．
则称对称矩阵 A的秩为二次型 f 的秩.
例如，二次型
f
2x1 x2
3x32
用矩阵记号写出来就是
f

x1，x2，x3

0 1
1 0
0 x1 0 x2
称为二次型的标准形（或法式）。
二次型的矩阵表示法：
设aij a ji，则
n
f aij xi x j i, j1
f (x1, x2, , xn ) a11x12 a12 x1x2 a13x1x3 a1n x1xn
a21x2 x1 a22 x22 a23x2 x3 a2n x2 xn