初中数学 培优专题9 分式方程及其应用含答案

精品文档12、分式方程及其应用

【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

（）解这个整式方程；2

）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于3 （

零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得3.

的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】2x解方程：例1. 1??11x?x?解首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，分析：完后记着要验根)11)(x??(x，得解：方程两边都乘以2，1)x(x?1)(?1x2?(x?)?22，1??x即x?2x?2?3?x?23经检验：x?是原方

程的根。2

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精品文档5?x?1x?6x?2x解方程例2. ???6x?2x?7x?3x?分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现

)x?3?x2)与((x?6)与x?7)、((，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用的值相差1 分式的等值性质求值。1x?6x?5x?2x?解：原方程变形为：???2?3xx?6x?x?7方程两边通分，得11?)x(x?6)(x?7)(?2)(x?3)6)(x??3?2)(x7)?(x所以(x?36?即8x?9???x29??x经检验：原方程的根是。2

19??1032x?3424x?2316x12x例3. 解方程：???5x?98x?74x??4x38可化为一个整数与一个简单的分因此，分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，

数式之和。12213解：由原方程得：???4?3??4?574x????4x38x98x2222即???7x?x?68?108xx8?98

11，于是?)x?7)()(8x?108?9(8x?)(8x6所以(8x?9)(8x?6)?(8x?10)(8x?7)

解得：x?1经检验：x?1是原方程的根。

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精品文档22y?6y?12y4例4. 解方程：0???22?4?4y?4y?4y?y?4y分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与

分母有相同的因式，于是可先约分。2y2)?2)(y??6(y2)(y解：原方程变形为：0??? 22)22(y?)(y?)2(y?2)(y?2y6y?2约分，得0???)y?2?2(y?2)(y?2y，得?2)(y?2)(y方程两边都乘以

022622?y?)(y??)?(y

16y?整理，得28?y?是原方程的根。经检验：y?8注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方

程结构特点，用特殊方法解分式方程。

、中考题解：52xm?1x?1产生增根，则m的值是（例1 ）．若解分式方程??x?1x?xx?1或2或?1?2 B. A.

2或11或?2 C. D.

分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：22x?0或x?x?1，??10x?或，?)2x(?m?1?(x1)代入解得把化简原方程为：m?1或?2，故选择D。

例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵精品文档．精品文档树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，

6660由题意得：?2?xx x6660x?120?20??x是原方程的根20经检验：x?22?x?2? 20棵，乙班每小时种树22棵。答：甲班每小时种树

说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。

6、题型展示：在另一小时；共用了7例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42

千米，

千米。求这艘轮船在静水中的千米，逆流航行70次航行中，用相同的时间，顺流航行40 速度和水流速度静水速度”，有顺水、逆水，水速+ 分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度= 取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。小时/小时，水流速度为y千米/千米解：设船在静水中的速度为x8042?7???yx?yx??由题意，得?4070???7?x?yx?y?x?17?解得：?y?3?x?17?经检验：是原方程的根?y?3?答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。

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3mx2例2. m为何值时，关于x的方程会产生增根？???2x?2x?4x?x2解：方程两边都乘

以6??3x2x?4?mx4?，得10?x?(m?1)整理，得

10?时，当m?1x?1m?22?0，即x?2或x?如果方程产生增根，那么x??4104?，则???2?m2（1）若x?1?m106???2?m?2（）若x??2，则1m?时，原方程产生增根64??或（3）综上

所述，当m说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根

【实战模拟】小时后1. a千米/小时的速度步行，走了甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v

）改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（

S2S?avS?avS B.

A.

C. D. a?bbbba?a?m2的方程如果关于x2. ）?1m的值等于（?有增根，则3?3x?x1?32??D. 3