第四讲 随机事件的概率-高考状元之路

第四节 随机事件的概率知识梳理 1．事件(1)在条件S 下， 的事件，叫做相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下， 的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件． (3)在条件S 下， 的事件，叫做相 对于条件S 的随机事件． 2．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次实验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例 )(A f n 为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率)(A f n 随着试验次数的增加稳定于概率),(A P 因此可以用 来估计概率).(A p 3．事件的关系与运算4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围： (2)必然事件的概率 (3)不可能事件的概率 (4)概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则 (5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则AUB 为必然事件典题热身1．从6个男生、两个女生中任选3人则下列事件中必然事件是 （ ）A.3个都是男生 B ．至少有1个男生 C ．3个都是女生 D ．至少有1个女生 解析：因为只有两个女生，任选3人，则至少有1人答案:B 2．已知集合},8,6,4,2,0,1,3,5,7,9{-----=M 从集合M 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点观察点的位置，则事件A={点落在x 轴上}与事件B={点落在y 轴上}的概率关系为 （ ))()(.B p A P A > )()(.B P A P B < )()(P .B P A c = )()(.B P A P D ⋅、大小不确定解析；横坐标与纵坐标为O 的可能性是一样的. 答案：C3．某人伍新兵在打靶练习中，连续射击两次，则事件“至少1次中靶”的对立事件是 ( ) A ．至多有1次中靶 B.两次都中靶 C ．两次都不中靶 D ．只有1次中靶解析：事件“至少有1次中靶”包括“中靶1次”和“中靶两次”两种情况，由对立事件的定义，可知“两次都不中靶”与之对立，故选C ． 答案：C4．下列说法正确的有 (①随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；③任意事件A 发生的概率P(A)总满足;1)(0<<A P④若事件A 的概率趋近于O ，而,0)(>A P 则A 是不可能事件． A.O 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：由概率的定义知①正确；由基本事件的概念知②正确；对任意事件,1)(0,≤≤A P A 当A 是不可能事件时,0)(=A p 当A 是必然事件时，,1)(=A p 故③不正确}④中)(A P 趋近于 O ，说明事件A 发生的概率很小，但仍有可能发生，不是不可能事件，故④不正确，综上应选C 答案：C5． 袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35，那么黑球共有 个.解析：设红球、白球各有x 个和y 个，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,35.0100,40.0100y x∴ ⎩⎨⎧==.35,40y x ∴黑球的个数为.253540100=-- 答案：25【例1】盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球． (1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ (2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解析：(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0．(2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是⋅94 (3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1．(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解析：(1)击中10球的频率依次为0.8，0.95，0.88.，0.93，0.89,0.906． (2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9．【例3】一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球．4个黑球，两个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：（1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．解析：记事件A={任取1球为红球}； B={任取1球为黑球}；C={任取1球为白球}；D={任取l 球为绿球}， 则⋅====121)(,122)(,124)(,125)(D P C P B P A P (1)取出1球为红球或黑球的概率为⋅=+=+=43124125)()(P 1B P A P (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为⋅=++=++=1211122124125)()()(2C P B p A P p (或⋅=-=-=)12111211)(12D P p技法巧点………．(1)必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化．(2)必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：.1)(0≤≤A P(3)随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率nm总是接近于常数P(A)，称P(A)为事件A 的概率．(4)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A 的概率，然后利用)(1)(A P A p -=可得解．失误防范………．1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，事件A的对立事件压所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．3．需准确理解题意，特留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．随堂反馈1．(2010．揭阳模拟)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥事件但不是对立事件D ．以上答案都不对 解析：由互斥事件和对立事件的概念可判断. 答案：C 2．（2011．长沙模拟）已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是 ( ) A ．合格产品少于9件 B ．合格产品多于9件 C ．合格产品正好是9件 D ．合格产品可能是9件解析：因为产品的合格率为90%，抽出10件产品，则合格产品可能是9%9010=⨯件，这是随机的． 答案：D 3．（2011．济宁月考）现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为 ( )51.A 52.B 53.c 54.D 解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和，)()()()(E P D P B p E D B p ++=∴515151++=⋅=53 答案：C4．(2011．临沂联考)一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是 （ ）121.A 101.B 253.c 12512.D解析： ∵ 每条棱上有8块，共8×12= 96块， ∴ 概率为⋅=12512100096 答案：D5．（2011．宁波十校联考）将一枚骰子抛掷两次，若先后点数分别为b ，c ，则方程02=++c bx x 有实根的概率为 （ ）3619.A 21.B 95.c 3617.D 解析：一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36，方程有实根的充要条件为.42c b ≥由此可见，使方程有实根的基本事件个数为++++6421,196=于是方程有实根的概率为⋅=3619p 答案：A一、选择题…………1．（2011．浙江高考）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书l 本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 ( )51.A 52.B 53.c 54.D 解析：语文、数学只有一科的两本书相邻，有482232222=A A A 种摆放方法，语文、数学两科的两本书都相邻，有24332222=A A A 种摆放方法，而五本不同的书排成一排总共有12055=A 种摆放方法，故所求概率为,5212024481=+-故选B ． 答案：B2．(2011．课标全国卷)有三个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )31.A 21.B 32.c 43.D 解析：甲、乙两人都有3种选择，共有933=⨯种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况,∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率,3193==P 故选A ．答案：A3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高，160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160，175]的概0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为 ( ) 2.0.A 3.0.B 7.0.C 8..D 解析：“身高超过175 cm”与“身高超不过175 cm”是对立事 件，故所求概率为.3.05.02.01=-- 答案：B4．某城市2010年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数50≤T 时，空气质量为优；10050≤<T 时，空气质量为良；150100≤<T 时，空气质量为轻微污染，该城市2010年空气质量达到良或优的概率为 （ ）53.A 1801.B 191.c 65.D 解析：由表知空气质量为优的概率为,101空气质量为良的概率为,21633161==+故空气质量为优或良的概率为+101⋅=5321 答案：A5．（2011．天津模拟）某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，则选中男生的概率为 ( )361.A 601.B 52.c 53.D 解析：由题意可知男生有60-24=36(人)，故男生选中的概率为⋅=536036 答案：D6．(2011．益阳调研)福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为 ( )101.A 51.B 53.C 54.D解析：本题分甲选中吉祥物和乙选中吉祥物两种情况，先甲选后乙选的方法有5×4-20种，甲选中乙没有选中的方法有2×3=6种，概率为,103206=乙选中甲没有选中的方法有2×3=6种，概率为,103206= ∴ 恰有一个被选中的概率为⋅=+53103103 答案：C二、填空题…7．（2010．莱芜模拟）某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、o.l ，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 ．解析：依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1- (0.2十0.3=0.5)． 答案：0.58. 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是____ ．解析：从长度为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法，其中可以构成三角形的有(2，3，4)、(2，4，5)、(3，4，5)三种，故所求概率为⋅=43p 答案：43 9．（2011．广州调研）甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为解析：由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为.95.0)75.01)(8.01(1=---答案：0.95三、解答题10. (2011．杭州调研)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求： (1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．解析：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率⋅==532012)(A p (2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ， 则事件B 的概率⋅=-=1092021)(B p11．(2011．佛山模拟)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为,41得到黑球或黄球的概率是,125得到黄球或绿球的概率是,21试求得黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解析：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D ．由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+++,21)()(,125)()(,1)()()(41D P C P c P B P D p C P B p 解得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅===31)(,61)(,41)(D P C P B p ∴ 得到黑球、黄球、绿球的概率分别是⋅31,61,4112.（2011．温州五校联考）某商场举行抽奖活动，从装有编号 O ，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，求：(1)中三等奖的概率； (2)中奖的概率．解析：设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，从四个小球中有放回的取两个共有(O ，O)，(O ，1)，(O ，2)，(O ，3)，(1，O),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,o)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共有16种不同的方法． (1)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：(O,3),(1,2),(2,1),(3,O).故⋅==41164)(A p (2)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种．两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：(1，3)，(2，2)，(3，1)，两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2)，故⋅=++=169162163164)(B P。