第5讲 勾股定理及应用

E
C
D
B
A 勾股定理及应用
知识要点：
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么
222c b a =+
引例：如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能通过计算面积得到一个结论吗？
例1.如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？
例2．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，求BC 的长．
例3．如图，△ABC中，∠C＝90°．
(1)以直角三角形的三边为边向外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；
图①
(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系；
图②
(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系．
基础训练：
1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；
(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；
(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；
(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．
3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．
4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．
5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．
6．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( )． (A)8
(B)4
(C)6
(D)无法计算
7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BC 等于( )．
(A)4
(B)6
(C)8
(D)102
8．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )． (A)150cm 2 (B)200cm 2 (C)225cm 2 (D)无法计算
9．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．
10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a (1)若a ∶b ＝3∶4，c ＝75cm ，求a 、b ； (2)若a ∶c ＝15∶17，b ＝24，求△ABC 的面积；
(3)若c －a ＝4，b ＝16，求a 、c ； (4)若∠A ＝30°，c ＝24，求c 边上的高h c ；
(5)若a 、b 、c 为连续整数，求a ＋b ＋c ．
第9题图
S 1
S 2
S 3
能力提高
1．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )．
(A)1个 (B)2个 (C)3个
(D)4个
2．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．
3．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的
4个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 4＝______．
4．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，
请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
5．有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发
出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
6．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km /h .如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？
5m
13m
小汽车 小汽车
B
C
观测点
A B
C
D 7cm
A
B C
7.利用带刻度的直尺和圆规做一条长为13cm的线段
课后巩固
1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是
（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2. 如图所示，在△ABC中，三边a,b,c的大小关系是（）
A.a＜b＜c
B. c＜a＜b
C. c＜b＜a
D. b＜a＜c
3．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 .
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.
5．在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC 的路径再回到C点，需要分的时间.
6．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中：
OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8
第1题图第2题图第4题图
第6题图
拓展题．已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到
B点,
那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?
.。