消元法解线性方程组

消元法解线性方程组

学校：青海师范大学

院系：数学系

专业：数学与应用数学

班级：10B

指导教师：邓红梅

学号：20101611218

姓名：梅增旺

摘要：线性方程组在数学的各个分支，在自然科学，工程技术，生产实际中经常遇到，而且未知元的个数及方程的个数可达成百上千，因此它的理论是很重要的，其应用也很广泛。本篇将就解线性方程组在此做一浅谈，以消元法为主要方法。消元法是解一般线性方程组行之有效的方法，早在中学大家都已经有接触，消元法的基本思想是通消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组进行求解。

关键字：线性方程组消元法求解

Abstract: linear equations in various branches of mathematics, natural science,engineering technology, often encountered in actual production, and the

unknown element number and the number of equations can

be hundreds, so itis important in the theory, its application

is very extensive. This article on thesolution of linear equations based on a discussion, mainly by means ofelimination method. Elimination method is the general linear equations ofeffective early in high school, everyone has

a contact, the basic idea ofelimination method is through

the elimination of the equations of deformationinto easy to solve with the solution of equations.

Keywords:elimination method for solving linear equations

正文：

我们主要探讨一下在复数域上用高斯（C.F.Gauss,1775--1855）消元法解线性方程组（以下我们统称线性方程组）。 先梳理一下基本知识：

1. 一般地，含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m

11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （1）称为一个n 元线性方程组。其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。

2．利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。 线性方程组（1）的矩阵表示形式为：

AX = B

其中

A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 2122221

11211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21

称A 为方程组（1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵，将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵][B A =

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m mn

m m n n b b b a a a a a a a a a 212122221

11211 称为方程组（1）的增广矩阵。

3.矩阵的初等变换：

(1)交换矩阵的两行（列）；

(2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；

(3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上。

4.阶梯形矩阵，它的特点是：

（1）自上而下的各行中，第一个非零元素左边零的个数随行数增加而增加；

（2）矩阵的零行（如果有的话）都在矩阵的下面。

5.定理 若用初等行变换将增广矩阵][B A 化为][D C ，则AX = B 与CX = D 是同解方程组。

下面给出线性方程组的解法：用初等行变换将方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵（最简形），再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组的解。这种方法被称为高斯消元法，

具体步骤：

（1）写出线性方程组的增广矩阵。

（2）用行的初等变换将增广矩阵化为行最简形（阶梯形）。 在化的过程中，如果出现第一类情况，则原方程无解。

不然的话，必然得到一个行最简形矩阵。

(a).如果它属于第二类，则原方程组有唯一解。

(b).如果它属于第三类，则原方程组有无穷多解，选好自由变量，然后用一般解形式表示原方程组的全部解。

注：

第一类：有某一行，它的最右边的一个元不为零，该行的其余元都为零，以这个矩阵为增广矩阵的线性方程组中，该行的方程不能成为等式，所以方程组无解。见下例（1）.

第二类：不属于第一类，并且非零行的个数等于未知量的个数，这时方程组有唯一解。见下例（2）<1> <2> <3>.

第三类：如果不属于第一类，并且非零行的个数小于未知量的个数，这时取自由变量，得方程组有无穷多解。见下例（3）。

下面举例具体说明

例（1）：⎪⎩⎪

⎨⎧=-++=-+-=--+82226353634321

43214321x x x x x x x x x x x x