最新椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结

一、 椭圆的标准方程及其几何性质

椭圆的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数()12F F 大于的点的轨 迹叫做椭圆。符号语言：()12222MF MF a a c +=>

将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F >时，点的轨迹是 椭圆

②.当122a F F =时，点的轨迹是 线段 ③.当122a F F <时，点的轨迹 不存在

标准方程

122

22=+b

y a x )0(>>b a 122

22=+b

x a y )0(>>b a 图 形

性质

焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F

焦 距 c F F 221= c F F 221= 范 围 a x ≤，b y ≤

b x ≤，a y ≤

对 称 性

关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点坐标 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±

轴 长

长轴长=a 2，短轴长=b 2；长半轴长=a ,短半轴长=b

a b c 、、关系 222a b c =+

离 心 率

)10(<<=

e a

c

e

通 径

22b a

焦点位置不确定的椭圆方程可设为：()2

2

10,0,mx ny m n m n +=>>≠

与椭圆122

22=+b

y a x 共焦点的椭圆系方程可设为：()2222

21x y k b a k b k +=>-++ 二、 双曲线的标准方程及其几何性质

双曲线的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于常数()12F F 小于 的点的轨迹叫做双曲线。符号语言：()12

-222MF MF a a c =<

将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F <时，点的轨迹是 双曲线

②.当122a F F =时，点的轨迹是 两条射线 ③.当122a F F >时，点的轨迹 不存在

标准方程

22

221x y a b

-= (0,0)a b >>

22

221y x a b -= (0,0)a b >>

图 形

性质

焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F

焦 距 c F F 221=

c F F 221=

范 围

x a ≥，y R ∈

y a ≥，x R ∈

对 称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点坐标

)0,(a ± ),0(a ±，

实轴、虚轴 实轴长=a 2，虚轴长=b 2；实半轴长=a ,虚半轴长=b

a b c 、、关系 222c a b =+

离 心 率

(e 1)c

e a

=>

渐近线方程 b y x a =±

a y x b

=±

y

o

a

x

x y o a b

x

y

a

o

焦点位置不确定的双曲线方程可设为：()2

2

10mx ny mn -=>

与双曲线22

221x y a b

-=共焦点的双曲线系方程可设为：()

2

2

222

21x y b k a a k b k -=-<<-+ 与双曲线22

221x y a b

-=共渐近线的双曲线系方程可设为：()22220x y a b λλ-=≠

三、 抛物线的标准方程及其几何性质

抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等

的点的轨迹叫做抛物线。点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

直线与抛物线相交于()1122A(x ,y ),B ,x y ，且直线过抛物线的焦点，则过焦点的弦长公式：

122

2(sin p

AB x x p AB αα

=++=

为弦的倾斜角）

直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于()1122A(x ,y ),B ,x y ，则椭圆（或双曲线、抛物线）的弦长公式：

12AB x x =-=