初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中数学抛物线

经典试题集锦

【编著】黄勇权

【第一组题型】

1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）

（1）求此二次函数的解析式，

（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。

2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．

（1）求抛物线的表达式及对称轴

（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。

3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。

（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标

（2）求该抛物线的表达式

（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标

4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，

（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式

（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式

【答案】

1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）

（1）求此二次函数的解析式，

（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点

的坐标。

解：

【第一问】

因为函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）

分别将x=2，y=0代入y=x²+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x²+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x²+bx+c，

所以：二次函数的解析式y=x²+ 2x -8

【第二问】

△ABP的面积= 1

2

│AB│*│y p│----------------------④

因为A、B两点在x轴上，令x²+ 2x -8=0

（x-2）（x+4）=0

解得：x1=2，x2= -4

所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥

由④⑤⑥，得：1

2

*6*│y p│=15

│y p│=5

故有：y p= ±5

即：p点的纵坐标为5或-5.

把y=5代入y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8

x²+ 2x -13=0

解得：x= -1± 14

那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦

把y=-5代入y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8

x²+ 2x -3=0

（x-1）（x+3）=0

解得：x= 1或x= -3

那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧

由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：

（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）

2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．

（1）求抛物线的表达式及对称轴

（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。

解：

【第一问】

因为抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．

将x=5，y=0 代入y=2x²+mx+n，得：0=50+5m+n-------------------①将x=2，y= -6代入y=2x²+mx+n，得：-6=8+2m+n--------------------②此时，由①、②，得：m= -12，n=10

所以，抛物线的表达式：y=2x²-12x+10

再将抛物线表达式进行变形：

y=2x²-12x+10

y=2（x²-6x+9）-8

y=2（x-3）²-8

所以，抛物线的对称轴是x=3

【第二问】

因为B点坐标为（2，-6），

C是B关于原点的对称点，所以，C点的坐标（-2，6）

设过A、C两点的直线方程为：y=kx+b

因为过A（5，0），C（-2，6），

将x=5，y=0 代入y=kx+b，得：0= 5k +b---------③

将x=-2，y=6代入y=kx+b，得：6= -2k+b-------④

由③④解得：k= - 6

7，b=

30

7

所以，过A、C两点的直线表达式为：y= - 6

7x+

30

7

3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。

（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标

（2）求该抛物线的表达式

（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标

解：

【第一问】

因为抛物线的顶点C为（2，4），

所以，对称轴是：x=2

又因为抛物线在x轴上截得的长度为6，

那么，对称轴x=2将6平分，

也就是说，A、B两点关于x=2对称，且他们到x=2的距离是3 所以，A的横坐标：2-3 = -1

B的横坐标：2+3 = 5

故，抛物线与x轴交点A、B的坐标是（-1,0），（5,0）

【第二问】

因为抛物线的顶点C为（2，4），

那么，抛物线的表达式直接可设为：

y=a（x-2）²+4 【特别提示，这个非常重要，大大简化了计算】再将A（-1,0）代入y=a（x-2）²+4，得，0=a（-1-2）²+4

解得：a= - 4 9

所以，抛物线的表达式为，y= - 4

9（x-2）²+4

【第二问】

令x=0，代入y= - 4

9（x-2）²+4 ，得y= -

4

9（0-2）²+4

y=

20

9