第四章相似三角形
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 利用两边及夹角判定三角形相似
BC AB 4
44
想一想
如果 △ABC 与 △A'B'C' 两边成比例，且其中
一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
小明和小颖分别画出了如图所示的三
角形.由此你能得到什么结论?
4 cm 3.2 cm
如果两个三角形两边对应成比例， 50°
但相等的角不是两条对应边的夹角，
那么两个三角形不一定相似，相等的 2 cm 1.6 cm
A
∴ AB AE . 又∵∠DAB =∠CAE， D AC AD
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC .
B
∴ △ABC ∽△AED .
E C
解：∵ AB 7， AC 14 = 7， ∴ AB AC .
A' B' 3 A'C' 6 3
A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
练一练
1. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，
AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
(×)
(3) 两个等腰直角三角形相似
(√)
(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似 (×)
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，
使 △ABC ∽ △DBA 的条件 ( D )
A
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD ·BC D. AB2 = BD ·BC → AB BC
北师大版九年级上第四章相似三角形复习课件
6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线 上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周 长比3：4 ， 9：16 为面积比。
A
D
GF
B
CE
7. 举例说明三角形类似的一些应用． 例如用类似测物体的高度
测山高
测楼高
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
8. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝ 80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O, 则△DOE与△BOC的周长之比是__1_:_3___, 面积比是___1_:_9___.
A
D
E
O
B
C
4、 两类似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm， 则两个三角形周长分别为 12cm与16cm
5、 两类似三角形的类似比为3∶5，它们的面积和为 102cm2，则较大三角形的面积为 75cm2
C2
A
C
B
A2
C1 B2
A
A1 B1
C
B
4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6， BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q 从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别 从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形类 似？
C
Q Q
B PP A
学以致用：
5.如图⊿ABC中，AB=8cm，BC=16cm ，点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向 点C以4cm/s的速度移动。若点P、Q从A 、B处同时出发，经过几秒钟后， ⊿PBQ与⊿ABC类似？
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形第三节
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形第三节 两个三角形相似的判定【课本相关知识点】相似三角形的几个判定：1、 的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
【补充】：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形也与原三角形相似2、有 角对应相等的两个三角形相似。
3、两边 ，且 的两个三角形相似。
4、三边 的两个三角形相似。
【典型例题】【题型一】判断两三角形是否相似（利用相似三角形的判定定理）现在我们再也不需要利用两个三角形相似的定义来判断它们相似，因为那样做太繁琐了。
1、在△ABC 与△A 1B 1C 1中，（1）AB=3.5，BC=2.5，CA=4；A 1B 1=24.5，B 1C 1=17.5，C 1A 1=28本题可以根据 的两个三角形相似来判定。
这两个三角形 （填相似或不相似）【题型二】利用相似三角形求线段的长度1、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M 。
若DB=9，求BM 的长【题型三】利用相似三角形证明线段比例式或等积式1、如图，四边形ABCD 内接于圆O ，E 为BA ，CD 延长线的交点。
（1）求证：△EDA ∽△EBC （2）求证：AD ﹒CE=BC ﹒AE【题型四】利用相似三角形解决实际生活问题1、如图所示，已知零件的外径为a ，要求出它的厚度x ，需先求出内径AB ，但又不能直接量出AB ，现有一个交叉卡（两条直尺长AC ＝BD ）去量，若1OC OD OA OB n==，且量得CD ＝b ，求厚度x ．【题型五】相似三角形中的“存在性”问题（2）设AB k BC=，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BFC 相似．若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由。
巩 固 练 习1、如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AO DO等于（ ）B. 13C. 23D. 122、如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆上，CD ⊥AB ，DE ∥BC ，则图中与△ABC 相似的三角形有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，且CD=2，DE=1，则BC 的长为（ ）B. 13C. 23D. 124、如图，如果∠1=∠2，那么添加下列条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）A. AB AC AD AE =B. AB BC AD DE= C. ∠B=∠D D. ∠C=∠AED 5、如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相邻的直角三角形的边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A. 只有1个B. 可以有2个C. 有2个以上但有限D. 有无数个6、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a 、b 、c 的三个正方形，则a 、b 、c 满足的关系式是（ ）A.b=a+cB.b=acC.b 2=a 2+c 2D.b=2a=2c7、如图所示，在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB=3，AC=4，P 是BC 边上一点，作PE ⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ，设BP=x ，E A B第1题 第2题 第3题 第4题A. 5x +3B. 4-5xC. 72D. 21212525x x - 8、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）9、在△ABC 与△A 1B 1C 1中，有下列条件：①1111AB BC A B B C =，②1111AC BC A C B C =，③∠A=∠A 1，④∠B=∠B 1， ⑤∠C=∠C 1，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A 1B 1C 1的共有（ ）组A. 4B. 5C. 6D. 710、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在DC 上，若DE:EC=1:2，则BF:BE=11、如图，FG ∥BC ，FC 与GB 相交于点A ，FG=4，BC=7，FC=10，则FA 的长为12、如图为△ABC 与△DEC 重叠的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB ∥DE ．若△ABC 与△DEC 的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=【温馨提示：一定要牢牢记住这几个结论：相似三角形的对应边上的高之比、对应边上的中线之比、对应边上的角平分线之比都等于对应边之比】13、已知：在ΔABC 中，BD 平分∠ ABC ，与AC 相交于点D ；DE // BC ，交AB 于点E ，AE=9cm ，BC=12cm ，则BE 的长度为 。
第四章4.6利用相似三角形测高(教案)2023-2024学年九年级上册数学北师大版(安徽)
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。它是解决实际测量问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用相似三角形测量建筑物的高度，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形的判定和相似比的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
此外，在总结回顾环节，我尝试让同学们自己总结今天的学习内容，发现他们对相似三角形的认识有了明显提高。但同时，我也意识到，有些同学对知识点的掌握还不够扎实，需要通过课后辅导和巩固练习来加强。
1.加强对相似比计算部分的讲解和练习，确保学生们能够熟练掌握。
2.在实践活动和小组讨论中，关注每个学生的参与度，引导他们独立思考、提出观点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解相似三角形的性质及其应用：掌握相似三角形的判定方法，如AA、SAS、SSS相似定理；了解相似三角形对应边、对应角的比例关系。
举例：在测高问题中，通过观察和判定两个三角形是否相似，进而利用相似比进行计算。
（2）掌握利用相似三角形测高的步骤和方法：在实际测量中，如何选择测量点、构建相似三角形模型，以及如何运用相似比进行计算。
第四章4.6利用相似三角形测高（教案）2023-2024学年九年级上册数学北师大版（安徽）
一、教学内容
本节课选自《数学》（北师大版）九年级上册第四章“三角形”中的4.6节“利用相似三角形测高”。教学内容主要包括：1.掌握相似三角形的性质及其应用；2.学会利用相似三角形解决实际问题，如测量高度；3.通过实例，理解实际测量中如何选择测量点，以及如何运用相似三角形的比例关系进行计算。具体内容包括：相似三角形的判定、相似比的应用、实际测量中运用相似三角形测高的步骤及方法。通过对本节课的学习，使学生能够运用相似三角形的性质解决实际问题，增强数学知识的应用能力。
九年级数学北师大版上册第四章图形的相似第7节相似三角形的性质教学设计
-提高题：培养学生运用相似三角形性质解决实际问题的能力；
-拓展题：激发学生的思维，提高学生的创新能力。
6.注重课堂小结，引导学生总结相似三角形的性质及其应用，培养学生的概括能力。
-通过让学生复述、总结相似三角形的性质，检查学生对知识的掌握程度。
7.课后布置适量的作业，巩固学生对相似三角形性质的理解，并关注学生的作业反馈，及时调整教学策略。
4.引导学生运用数形结合的思想，将几何问题转化为代数问题，提高学生的解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、追求真理的情感，激发学生对几何学的兴趣。
2.培养学生严谨、务实的科学态度，使学生认识到数学在现实生活中的重要性。
3.引导学生感受几何图形的美，培养学生对美的感知和鉴赏能力。
4.培养学生团结协作、互帮互助的精神，使学生学会尊重他人、倾听他人意见。
通过引导学生观察、思考，自然过渡到相似三角形的性质的学习。
2.教学目标：激发学生的学习兴趣，引导学生关注相似三角形在实际生活中的应用。
（二）讲授新知
1.教学内容：相似三角形的定义、判定方法及其性质。
-相似三角形的定义：两个三角形，如果对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
-相似三角形的判定方法：AA（角角相似）、SSS（边边边相似）、SAS（边角边相似）。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：相似三角形性质的应用。
2.教学活动设计：
-将学生分成小组，针对相似三角形性质的应用进行讨论；
-教师提供一些具有挑战性的问题，引导学生运用相似三角形的性质解决问题；
-各小组展示讨论成果，分享解题思路和方法。
3.教学目标：培养学生合作交流、解决问题的能力，提高学生对相似三角形性质的理解。
北师大版九年级数学上册第四章《相似三角形的性质》ppt课件
（2）△ A C D 和△ A′ C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. （3）如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？
（4）据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
探究活动二
如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
北师大版九年级数学上册第四章
相似三角形的性质（一）
学习目标： 1.探索相似三角形对应高的比，对应角平分 线的比和对应中线的比与相似比的关系。 2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题。
回顾与反思
1.相似三角形的判定有哪些？ 2.相似三角形的定义?
探究活动一
如图，小王依据图纸上的△ABC,以1︰2的比例建造了模型房的房梁△ A′B′C′， CD 和C′D′分别是它们的立柱.
A A/
B
F DE
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B/ F‘ D/ E/
C/
探究活动三
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k；点D,E在BC边上，点D′,E′在
B′C′边上.
（1）若∠BAD= 1 ∠BAC, ∠B′A′D′= 1 ∠B′A′C′,则
3
3
（2）若BE= 1 BC, B′E′= 1 B′C′,则 AE 等于多少?
3
3
A E
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.
AD AD
等于多少？
例题讲解
例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边
上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR= 1 BC时，求DE的长. 如果SR= 1 BC 呢？
2
3
解：∵ SR⊥AD， BC⊥AD,∴ SR∥BC. ∴ ∠ASR= ∠ B， ∠ARS= ∠ C. ∴ △ASR∽△ ABC(两角分别相等的两个三角形相似）. (相似三角形对应高的比等于相似比），
浙教版九年级上册第四章《相似三角形》经典题型归纳与总结(word版无答案)
相似三角形的判定（一）知识点1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例：知识点2：平行三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的线段成比例；知识点3：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（1）A型：如图1，ED∥BC，则△ADE∽△ABC.（2）8字型：（或漏斗型）如图2，ED∥BC，则△ADE∽△ACB.（3）A型线簇型：如图3，ED∥BC，则DF：FE=BM：MC；DF：FG：GE=BM：MN：MC（4）8字型（或漏斗型）线簇型如图4，AB平行CD，则AE：EB=CM：MD; AF：FE：EB=CN：NM：MD（5）三角形内接矩形：如图5，四边形DEFG为矩形，AN⊥BC与点N，则AM：AN=DE：BC;若四边形ABCD是正方形，则有1BG+1CG=1GF（6）三平行型：如图6，已知AB∥EF∥CD，1AB+1CD=1EF；1S△ABC+1S△BCD=1S△BCF图4图5图6图1图2图3【课堂巩固提升】1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，P 是线段DE 边上的任意一点（不与点D ，E 重合），连接AP 并延长交BC 于点Q .若BQ =5，CQ =4，DE =6，则DP =2. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段DO 上，OE ：DE =3：2，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC3. 如图，点D ,G 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，AD ：CD =2：3，BG =4AG .延长GD 与BC 的延长线交于点F ，作AE ∥BC 交DG 延长线于点E ，则BC ：BF4.如图，在△ABC 中，在BC 边上取一点P ，使得BP ：PC =2：5，点Q 是AC 的中点，AP ，BQ 相交于点R ，则AR ：RP5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是线段AD 上的一点，AF ：FD =1：5，连接CF ， 并延长交AB 于点E ，则AE ：EB6. 如图，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则AF ：AE7. 如图，在△ABC 中，AB =AC =12，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段AD 上且DE =2AE ，连接BE 并延长交AC 于点F ，则线段AF 的长为第2题第3题第1题8.如图，在△ABC中，中线AD与角平分线BE交于点G，且AD⊥BE，AD=BE=10，则AC9.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD=EC，BD=1，AE=4，BC=5，则DE=10.如图，在△ABC中，点D在AB上，AD=3BD，作DE∥BC，交AC于点E，点M在线段DE上，DM：EM=3：2，CM交AB于点N，则BD：ND11.如图，AD是△ABC的中线，点E在线段AD上，AE=3DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：AC12.如图，在RT△ABC中有一正方形DEFG，点D在斜边AC上，EF在边AB上，连接AB 并延长，分别交DE，BC于点M，N，AB=4，BC=3，EF=1则BN=13.如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，AB=10，EF=4，则CD=第16题第17题图 第18题图14. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，已知PC =6，PB =3，则PD15.如图，在△ABC 中，底边BC 上的两点E ，F 把BC 分成三等分，BM 是AC 边上的中线，AE ，AF 分别交BM 于G ，H 两点，则BG ：GH ：HM16.如图，已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，AC 交BD 于点O ，过点O 作EF ∥CD 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EF =10，则1AB + 1CD =17.如图，已知P 为△ABC 的中位线MN 上的任意一点，BP ，CP 的延长线分别交对边AC ，AB 于点D ，E ，则AD DC + AE AB =18.如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，AD 是角平分线，AE 是中线，作BF ⊥AD 于点G ，交AE于点F ，交AC 于点M ，EG 延长线交AB 于点H ，则AH BH =19.AD 是△ABC 的角平分线，AB =8，AC =6，当∠BAC =120°，AD = ，当∠BAC =90°，AD = ，当∠BAC =60°，AD =20.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 到点F ，使CF =12BC ,连接FE 并延长交AB 于点M ，若BC =a ，则△FMB 的周长为21.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，以AB 为直径作⊙O 分别交AC ，BC 于点D 、E ，过点E 作⊙O 的切线EF 交AC 于点F ，连接BD .求证：EF 是△CDB 的中位线.22.在△ABC 中，直线DN 平行于中线AF 交AB 于点D ，，交CA 延长线于点E ，交边BC于点N .求证：AD AB = AE AC23.正方形ABCD 中，以AB 为边向外作等边△ABE ，连接DE 交AC 于点F ，交AB 于点G ，连接BF . 求证：(1)AF +BF =EF(2) 1AF +1BF =1GF24.如图，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，连接DG，DG⊥BD，正方形ABCD的边长为5，线段AD与线段OC相交于点M，AM=1，求正方形OEFG的边长.。
06-第四章7相似三角形的性质
= 2 ,∴ S ABC 3 S ADE
=
2 3
2
= 4 ,
9
∵△ADE的面积是135 cm2,∴S△ABC=135× 4=60(cm2).
9
解题技巧 解答本题的关键是根据相似三角形的判定定理判定△ABC
∽△ADE,进而利用相似三角形的性质定理求解.
7 相似三角形的性质
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m.Leabharlann 图4-7-17 相似三角形的性质
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解析 如图4-7-2,过点P作PN⊥CD,分别交AB,CD于点M,N.由AB∥CD
易得△APB∽△CPD.由相似三角形的性质可知 PM = AB ,即 PM = 2 ,所
PN CD 2.7 6
以PM=0.9(m),所以MN=PN-PM=2.7-0.9=1.8(m).故AB与CD间的距离是
=
AD BM
2
=4,
∵S△BMG=1,∴S△ADG=4.
栏目索引
7 相似三角形的性质
知识点三 相似多边形的性质
栏目索引
9.如图4-7-4,在四边形ABCD中,E,F,G分别是BA,BD,BC上的点,EF∥AD,
FG∥DC,且 AE = 1 ,则四边形ABCD和四边形EBGF的周长之比为( )
2
=
1 2
2= 1 .
4
7 相似三角形的性质
知识点三 相似多边形的性质
相似多边形 性质
边、角
相似多边形的对应边的比相等,对应角相等
周长
相似多边形的周长比等于相似比
面积
相似多边形的面积比等于相似比的平方
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7 相似三角形的性质
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北师版九年级上册数学精品教学课件 第四章 图形的相似 第2课时 相似三角形的周长和面积之比
(1)与(3)的相似比=_1_∶___3_, (1)与(3)的周长比=_1_∶___3_.
等于__相__似__比__．
想一想：怎么证明这一结论呢？ 求证：相似三角形的周长比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
A
A1
AB BC CA k, A1B1 B1C1 C1 A1
A
∵AB=15cm，B′C′=24cm，
∴BC = 20cm， AC = 25cm，
A′B′=18cm，A′C′=30cm.
B
C B
C
课堂小结
相似三角形周长之比 等于相似比
相似三角形 的性质2
相似三角形面积之比 等于相似比的平方
求四边形BCDE的面积.
解：∵∠BAD=∠DAE，且 AE AD 3 ,
AC AB 5
∴△ABC ∽△ADE .
A
∴它们的相似比为5：3， 面积比为25：9.
E D
又∵△ABC的面积为100 cm2 ，
∴△ADE的面积为36 cm2 .
B
C
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .
导入新课
1.连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形 与原三角形的周长比等于__1_:_2__,面积比等于__1_:_4___.
2.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大 三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长 _1_4__cm，面积为__34__cm2.
有什么规律吗？
结论： 相似三角形的面积比 等于_相__似__比__的__平__方__．ຫໍສະໝຸດ 一想：怎么证明这一结论呢？A
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
北师大版九年级数学第四章探索相似三角形相似的条件
探索相似三角形相似的条件【学习目标】1.相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点进阶：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点进阶：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果AC BCAB AC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点进阶：512AC AB-=≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，512-是黄金分割的准确值).2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点进阶：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念例1、买西瓜为什么挑大个？思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军．回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话．思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式．远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等．思驰：人们买瓜是为了吃瓤．远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好．思驰：两者的体积比如何求呢？经过一段时间的商讨，她们提出了解决方案：设瓜瓤（视为球体）的半径为r，瓜皮厚度为a，则瓤和整个瓜的体积比为：3333343()4()()3r r rr a r ar aππ==+++＜1当a一定时，r值越大，（3()rr a+的值越接近于1，即西瓜越大，瓤与整个瓜的体积比越接近于1．思驰把解决方案讲给父亲听后，父亲充满了赞许之意，但父亲同时又提出了：你能用你正在学习的相似图形知识解决问题吗？等你学完图形的相似这一章后，我相信你还能找出新的方法的．问题：你认为生活中还有哪些与它类似的情形？类型二、相似三角形的三个判定定理例2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．举一反三【变式】如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．例3、如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长为多少？举一反三【变式】如图，在△ABC于△ADE中,AB AEBC ED，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是___________．例4、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）举一反三【变式】如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（）类型三、黄金分割例5.折纸与证明---用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）举一反三：【变式】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．【巩固练习】一、选择题1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B． 2个 C．3个D． 4个2．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定△AED∽△ABC是（）A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C. AD ACAE AB= D.AD DEAC BC=3．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（）A．8对 B． 6对 C．4对D． 2对4．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个5.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2．A.>B.=C.<D.无法确定6.有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有a cb d ．②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．其中正确的判断有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题7．如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条．9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有个．10．如图，点D、E、F在△ABC三边上，EF、DG相交于点H，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=50°，图中与△GFH相似的三角形的个数是．11．如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=．12.如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为____________．三、解答题13. 如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．14如图，已知△ABC 中，AB=，AC=，BC=6，点M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求MN 的长．15.如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF ∥AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第五节相似三角形判定定理的证明
三角形相似
转化证明
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
∴PPCF
=
PE PC
.
∴
PC2=PE·PF.∵
PC=PB，∴
BP2=PE·PF.
感悟新知
知1－练
2-1. 如图在四边形ABCD中，AB=AD.AC与BD交于点E. ∠ADB=∠ACB. 求证：AD2=AC·AE.
感悟新知
证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB. 又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB. ∴AABC＝AAEB.又∵AB＝AD，∴AADC＝AADE. ∴AD2＝AC·AE.
判定定理3是利用判定定理2证明的，体现了数学的 转化思想.
感悟新知
知1－练
例 1 如图4-5-1，在四边形ABDC中，AB∥CD，AC⊥CD，
AC=CD，AB= 14CD，E是AC的中点，试说明△ABE∽ △CED. 解题秘方：紧扣相似三角形的三种判定
方法，结合已知条件解决 问题.
感悟新知
知1－练
(1)求证： △ADF∽△DEC； 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C＋∠B＝180°， ∠ADF＝∠DEC. ∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.
知1－练
感悟新知
知1－练
(2)若AB=8，AD=6 3，AF=4 3，求AE的长.
外一点, 且∠1=∠2，∠3=∠4， 则△ABC与△DBE是 否相似？说明理由.
感悟新知
解：△ABC 与△DBE 相似，理由如下： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△BAD∽△BCE. ∴BBAC＝BBDE，即BBDA＝BBCE. ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DBC. ∴∠ABC＝∠DBE.∴△ABC∽△DBE.
北师大版九年级数学(上)第四章图形的相似：相似三角形讲义
相似三角形综合运用讲义【考点剖析】相似三角形是几何中较难的部分，也是每年中考的热点，相似三角形对圆的学习以及各种类型的综合性问题的解决都有很大的帮助。
在此，我们对相似三角形中经常出现的解答方法与技巧进行讲解。
【例题巧解点拨】一、运用三角形相似的条件进行解答。
例1.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP ．目标训练1.已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．2.如图，BD 、CE 为△ABC 的高，求证∠AED ＝∠ACB ．二、相似与函数的运用。
例2.在△ABC 中，∠C ＝90°，P 为AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB ，交AC 边于E 点，点E 不与点C 重合，若AB=10，AC=8，设AP 的长为x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 之间的函数关系式。
目标训练1.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC=25，斜边AB 在x 轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（2，0），求直角边BC 所在直线的解析式。
2.已知梯形ABCD 中，AD//BC （AD<BC ），AD=5，AB=DC=2。
（1）如图1，P 为AD 上一点，满足∠BPC=∠A 。
①求证：△ABP ∽△DPC ； ②求AP 的长。
（2）如图2，若点P 在AD 上移动（与A 、D 点不重合），且满足∠BPE=∠A ，PE 交BC 于点E ，交DC 的延长线于点Q ，设AP=x ，CQ=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
三、阅读理解类问题。
例3.阅读下列材料，补全证明过程：（1）已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点． （2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．目标训练1.如图1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．2.已知：△ABC 中，AB ＝10 ⑴如图①，若点D 、E 分别是AC BC 边的中点，求DE 的长； ⑵如图②，若点A 1、A 2把AC 边三等分，过A 1、A 2作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2，求A 1B 1＋A 2B 2的值； P A C E A B CO B A C D P B A C D P E D F O N D EF O N C OD ( F )⑶如图③，若点A 1、A 2、…、A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2、…、B 10。
第4章相似三角形复习课件(浙教版)
全效学习 学案导学设计
画一画研一研
检查视力时，规定人与视力表之间的距离 应为5米．如图4－11(1)，现因房间两面墙的距离为3米， 因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈 现完整的视力表，如图4－11(2)，由平面镜成像原理，作 出了光路图，其中视力表A，B的上下边沿A，B发出的光 线经平面镜MM′的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视 力表的全长为0.8米，请计算出镜长至少为多少米？
A.ac＝db C.a＋b2b＝c＋d 2d
B.badc＝bc D.a＋b b＝c＋d b
全效学习 学案导学设计
( C)
画一画 研一研
1.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下
的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为
( C)
A．4.8米
B．6.4米
C．9.6米
D．10米
【解析】 设树高为 x，则10..68＝4x.8，x＝9.6(米)，故选 C.
全效学习 学案导学设计
图4－3
画一画 研一研
(1)求证：△EDM∽△FBM； (2)若DB＝9，求BM. 【解析】 ∵AB＝2CD，E是AB的中点，可先证明四 边形BCDE是平行四边形，然后就证得△EDM∽△FBM. 解：(1)∵E是AB的中点，∴AB＝2EB.∵AB＝2CD， ∴CD＝EB. 又∵AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形， ∴CB∥DE，∴∠DEM＝∠BFM，∠EDM＝ ∠FBM， ∴△EDM∽△FBM.
3．如图4－9所示，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D. 下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有__①__②__④___.
相似三角形判定定理的证明课件北师大版数学九年级上册
,
=
,
D
E
.
A1D=AB ，
=
B1
C1
A
，∴DE=BC,A E=AC.
1
∴ △A1DE≌△ABC, ∵ △A1DE∽△A1B1C1,
∴△ABC∽△A1B1C1.
B
C
二 类似三角形判定定理的运用
一、会用证明判定定理的方法解决相关问题
G，∠1＝∠2.猜想线段BF、FG、EF之间的等量关系，并说明理由．
【思路分析】由图知三条线段分别位于
△BFG和△EFB中，若能让它们类似即可．
二 类似三角形判定定理的运用
二、会用三角形类似探索线段之间的关系
【例2】如图，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD、BC于点F、
G，∠1＝∠2.猜想线段BF、FG、EF之间的等量关系，并说明理由．
A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′, ∴ ∠A′DE=∠B′,又∵∠A′=∠A.
∴△A′DE∽△A′B′C′. ∴
∵A′D=AB， ′ ′
=
′
′ ′
=
′
.∴ ′ ′
′ ′
′
.
′ ′
=
′
′ ′
C
B
A'
=
.
定理1：两角分别相等的两个三角形类似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C′ 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B′.
求证：△ABC ∽△A'B'C′．
A'
北师大版九年级上册数学第四章《相似三角形的性质(1)》课件
2x＝1
200 7
(mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为6070 mm 和
1 200 7 mm.
课 堂 练习
1．两个相似三角形的相似比为 1 , 则对应高
2
的比为_________, 则对应中线的比为_________.
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的 角平分线的比为______.
它们相似吗？如何证明？
新知探索
探究：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对 应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
对应高的比等于相似比k
它们的对应中线
是否也等于相似比k？
新知探索
问题2：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作 △ABC和△A′B′C′对应中线AD和A′D′．AD和A′D′的比是多少？
分析：本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所
求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．
解：设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件，边 FG 在 BC
上，则点 E、H 分别在 AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与边
EH 相交于点 P，设矩形的边 EH 的长为 x mm.
因为 EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.所以AADP＝EBHC. 所以3030－ 002x＝20x0，解得 x＝6700(mm)，
证明：∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B′,
AB BC AB BC
BD1BC,BD1BC,
2
2
BD
1 BC 2
BC
AB
BD 1BC BC AB
2
∴△ABD∽△A′B′D′
AD AB k AD AB
分析：对应中线在哪两个三角形中，
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即s＝315(km) 量得图中∠α=28度, 基隆市在高雄市的北偏东
28的315km处。
答：略
1＝.已12知m线m，段试a＝判3断0mam、，b、b＝c、2cdm是，否c成＝比54例c线m，段d。
2.已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm， b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多上？
3.已知三角形三条边之比为a：b：c=2：3：4，三 角形的周长为18cm，求各边的长。 4.已知AB两地的实际距离是60km，画在图上的 距离A1B1是6cm，求这幅图的比例尺。
AC
A′C′
=5
25
1 =2
比例线段的定义
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
比．即 a c 那么这四条线段叫做成比例线段，简 bd
称比例线段．
5
已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm. 问：这四条线段是否成比例？为什么?
解：这四条线段成比例
∵a=10mm=1cm
课堂小结:
比例有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值 k
浙教版九（上）§第四章
Zx.xk
1
下列四个数是否成比例，如果能，请写出比例式，并
指出比例内项、外项。
(1) 5 ，3，6，10
(2) 2，0.5，3，12
比例式具有有序性：
5.相同时刻的物高与影长成比例。如果一电视塔 在地面上影长为180m，同一时刻高为2m的竹竿 的影长为3m，那么电视塔的高是多少？
6.如图，已知 AD AE 3,求
DB EC 2
AB , EC , AB DB AE AD
作业本
浙教版九（上）§第四章
定义：
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式
1、把四个正数按大小（小大）排列，再看前两个数的比是否等 于后两个数的比
2、看四个数中有没有其中两个数的积等于另两个数 的积
1 1 B′ B
∴ AB
A′B′
A′ A
C AC
= A′C′
AB= 2 AC= 5
AB AC
=
2 5
在同一单位下,两条线
段的长度比叫做这两
条线段的比
AB
21
C′A′B′
=
2
2=2
A
D
B
(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以
把高与什么知识联系起来？
想一想
如图在平行四边形ＡＢＣＤ中，
DE AB, DF BC 找出图中的一组比例
线段（用小写字母表示）并说明理由．
Ｄ c
Ａ Ｅa
d
Ｃ
Ｆb Ｂ
如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB 上的高线，求证：AD：CE=AB：BC
(1) a b c d (2) a a c
b
d
b bd
解（1）比例式成立，理由如下
ac
bd
a
两边同加1，得：
1
c
1
即：a b c d
（2）设
ac
bd
=k，则a=bk，c=dk
b
d
bd
a c bk dk k
a ac
bd bd
b bd
练一练
(1)若 2x 3y 1 ,求 x 的值。 xy 2 y
a b (a : b b : c)， 则b就
bc
叫a,c的比例中项
用符号语言表示为： a b b2 ac bc
做一做:
1、求下列线段a、b的比例中项.
（1）a＝3，b＝27； (2） a 5 1 ,b 5 1
2
2
2、 2和8两数的比例中项是______
温馨提示:
线段比例中项与数的比例中项是两个不同的概念,前者是一个正 数,而后者是一对互为相反数.
浙教版九（上）§第四章
9︰12 = 3︰4 6︰8 = 3︰4 9︰12 = 6︰8
如果两个数的比值与另两个数的比值相等，
就说这四个数成比例。
记为：
比例外项
a：b=c：d 或 a c bd
比例内项
d叫做a，b，c的第四比例项
比例的基本性质
比例的两个外项之积等于两个内项之积.
ac bd
ad=bc
探索交流
（a，b，c，d都不为零）
规定：本教科书中比例式的字母都约定取值不为零
试一试:
下列各组数能否成比例?如果能成比例,请写 出一个比例式,并指出比例的内项与外项.
13,9,2,6 2 12 , 6, 10 , 5 33, 3, 2,2
例1 根据下列条件,求a:b的值. (1)2a 3b(2) a b
(2)已知
x 2
=
y 3
= z ,求 2x 3y z ,
4
z 2x 3y
x y z 的值。 x
（3）已知x：y=3：4，x：z=2：3，求
x：y：z的值。
拓展练习
已知 c a b k,则一次函数y kx k一定 ab bc ca
经过哪些象限？
Zx.xk
探究活动
在平面直角坐标系中,过点(a,b)和原点的 直线是一个怎样的正比例函数的图象?如 果a,b,c,d四个数成比例,你认为点(a,b),点 (c,d)和原点在同一条直线上吗?
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补例 求下列比例式中的 x.
(1)4 : 3 5 : x(2) x x 1
3
2
练一练
已知ab=cd,请写出有关a,b,c,d成立的比例式. (至少写4个)
ad cb
bd ca
d a bc
ac db
ca bd
d b ac
bc da
cb ad
例2、已知 a c 判断下列比例式是否 bd
成立,并说明理由
∴
a＝ c
1 ，d＝ 2b
3＝ 6
1 2
∴
a c
＝
d b
试一试
1、如图是一块含45度角的三角尺。 A （1）求图中 AB BC CA ?
A1
（2）判断线段AB，AC， A1B1, A1C是1 否成比例，并说明理由。
C1 C
2、在如图三个长方形中,哪两个长方形的长 和宽是比例线段?
6 8
4 8
4.5 6
B1 B
想一想
如图，ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，请尽可能多的写
出比例线段
Ａ
D
E
Zx.xk
B
C
7
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的
高。请找出一组比例线段，并说明理由。
分析：(1)根据比例基本性质，要判
C
断四条线段是否成比例，只要采取什
么方法(看其中两条线段的乘积是否等
于另两条线段的乘积)
A E
B
D
C
8
如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基
隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距
离是多少km？(比例尺1：9000000)
注意：求角度时要注意方位。 解：从图上量出高雄市到基隆市的距离
约3S＝35×9000000=315000000(mm)