中考必做的36道压轴题 中考数学九种题型归纳
中考数学压轴题十大题型(含详细答案)
一、中考数学压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =-x + m 交 y 轴的正半轴于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，过点A 的直线AF 交x 轴的负半轴于点F ，∠AFO=45°． （1）求∠FAB 的度数；（2）点 P 是线段OB 上一点，过点P 作 PQ ⊥OB 交直线 FA 于点Q ，连接 BQ ，取 BQ 的中点C ，连接AP 、AC 、CP ，过点C 作 CR ⊥AP 于点R ，设 BQ 的长为d ，CR 的长为h ，求d 与 h 的函数关系式（不要求写出自变量h 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE ⊥OB 于点E ，CE 交 AB 于点D ，连接 AE ，∠AEC=2∠DAP ，EP=2，作线段 CD 关于直线AB 的对称线段DS ，求直线PS 与直线 AF 的交点K 的坐标．2．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()2,0C ．直线26y x =+与x 轴交于点A ，交y 轴于点B ．过C 点作直线AB 的垂线，垂足为E ，交y 轴于点D ． （1）求直线CD 的解析式；（2）点G 为y 轴负半轴上一点，连接EG ，过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H ．设点G 的坐标为()0,t ，线段AH 的长为d ．求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（3）过点C 作x 轴的垂线，过点G 作y 轴的垂线，两线交于点M ，过点H 作HN GM ⊥于点N ，交直线CD 于点K ，连接MK ，若MK 平分NMB ∠，求t 的值．3．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（32，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．4．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 45B =，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ．（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长；（3）将O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求O 的半径长．5．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ∆的面积为S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．6．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．7．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．8．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．9．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．10．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．11．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式； （3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239334y x x =--x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）过点C 的直线5334y x =-x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值：（2）如图2， 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE C E '、， 将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆''， 是否存在点E ， 使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．13．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．14．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．15． 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝﹣x+4与x 轴交于点A ，过点A 的抛物线y ＝ax 2+bx 与直线y ＝﹣x+4交于另一点B ，且点B 的横坐标为1．（1）该抛物线的解析式为；（2）如图1，Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点（不与B 、A 重合），过Q 作QP ⊥x 轴，交x 轴于P ，连接AQ ，M 为AQ 中点，连接PM ，过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ，若点P 的横坐标为t ，点N 的横坐标为n ，求n 与t 的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN 并延长，交y 轴于E ，连接AE ，求t 为何值时，MN ∥AE ．（3）如图3，将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ，点T 为线段OA 上的一动点（不与O 、A 重合），以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点D ，以点A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ，连接DF ．在点T 运动的过程中，四边形ODFA 的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．16．如图，抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点C ，且OB OC =，()2,0A -．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=︒，连接OF 、CP 、PB ，FOB ∆的面积为3600169，求PBC ∆的面积．17．如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P．（1）求证：CM＝BN；（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；（3）在（2）的条件下，求PFBN的值．18．如图，在⊙O中，直径AB＝10，tanA＝3．（1）求弦AC的长；（2）D是AB延长线上一点，且AB＝kBD，连接CD，若CD与⊙O相切，求k的值；（3）若动点P以3cm/s的速度从A点出发，沿AB方向运动，同时动点Q以32cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t （0＜t＜103），连结PQ．当t为何值时，△BPQ为Rt△？19．如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，连接AE，过点D作DF AE⊥于点F，过点C作CN DF⊥于点N，延长CN交AD于点M．（1）求证：AM MD=（2）连接CF，并延长CF交AB于G①若2AB=，求CF的长度；②探究当ABAD为何值时，点G恰好为AB的中点．20．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）A．180° B．270° C．360° D．540°（1）请写出这道题的正确选项；（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB∥EF，请直接写出∠BAD，∠ADE，∠DEF之间的数量关系．（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD，ED分别平分∠BAC，∠CEF时，∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB∥EF，当∠ACD=90°时，∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．21．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．（2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，①求y关于x的函数解析式；②若CBBE＝45，求y的值．22．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG（a>b），开始时，点E在AB上，如图1．将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转．（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）．23．问题探究（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．24．问题一：如图①，已知AC ＝160km ，甲，乙两人分别从相距30km 的A ，B 两地同时出发到C 地．若甲的速度为80km /h ，乙的速度为60km /h ，设乙行驶时间为x （h ），两车之间距离为y （km ）．（1）当甲追上乙时，x ＝ ．（2）请用x 的代数式表示y ．问题二：如图②，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB ＝30°．（3）分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ，时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °；（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？25．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点B ，24OC OB ==．（1）如图1，求a m 、的值；（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当154d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线211y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点P 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．F解析：（1）∠FAB=90°；（2）22d h =；（3）直线PS 与直线AF 的交点K(-2，6)．【解析】【分析】（1）通过直线AB 的解析式可求出点A 、B 的坐标，可知AOB 是等腰直角三角形，再结合已知条件即可确定90FAB ∠=︒；（2）根据已知条件证明CP=AC=QC=BC 从而得出△ACP 是等腰直角三角形，在Rt △CRP 中，利用sin ∠CPR 22CR CP ==，推出2CP CR =，继而得出22BQ CR =，得出答案； （3）过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ，延长 CH 到点 G ，使 HG=CH ，连接AG ，证明△AHC ≌△CEP ，设AH CE n ==，得出EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4，再通过角的等量代换，得出∠EAG=∠G ，从而有EG=EA=n+4，在Rt △AHE 中，通过勾股定理AE²=HE²+AH²可求出n 的值为6，从而得出直线AF 的解析式y = x + 8 ，再求出直线PS 的解析式为 y=-x+4，求交点即可．【详解】解：（1）如下图，y = -x + m ，当x=0时，y=m∴A （0，m ），OA=m当y=0时，0=-x+m ，x=m ，∴B （m ，0），OB=m∴OA=OB∴∠OAB=∠OBA=45°∵∠AFO=45°，∠FAB+∠FBA+∠AFB=180°∴∠FAB=90°（2）如下图 ，∵CP 、AC 分别是 Rt △QPB 和 Rt △QAB 的斜边上的中线∴CP= 12QB ，12AC QB =， ∴CP=AC=QC=BC∴∠CAB=∠CBA设∠CAB=∠CBA=α，∴∠CBP=45°+α∴∠CPB=∠CBP=45°+α∴∠PCB=180°-（∠CPB+∠CBP ）=90°-2α∵∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-2α∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=180°-2α-（90°-2α）=90°∵AC=CP∴△ACP 是等腰直角三角形∴∠CPA=∠CAP=45°∵CR ⊥AP ，∴∠CRP=90°，在Rt △CRP 中sin ∠CPR 22CR CP == ∴2CP CR =∵12CP BQ =， ∴22BQ CR =即22d h =（3）过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ，延长 CH 到点 G ，使 HG=CH ，连接AG ∴∠AHC=∠CEP=90°∴∠HAC+∠HCA=∠PCE+∠HCA∴∠HAC=∠PCE ，∵AC=CP∴△AHC ≌△CEP∴CH=PE=2，AH=CE ，∴GH=CH=2，AH CE n ==∴EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4设∠DAP=β，则∠AEG=2β∴α+β=45°∵∠EBD=∠EDB=∠HDA=∠HAD=45°∴∠CAH=∠HAD-α=45°-α=β∵AH 垂直平分 GC∴AG=AC∴∠GAH=∠CAH=β∴∠G=90°-β 在△EAG 中∠EAG=180°-∠G-∠AEG=180°-（90°-β）-2β =90°-β∴∠EAG=∠G∴EG=EA=n+4在 Rt △AHE 中，AE²=HE²+AH²222(4)(2)n n n +=++126,2n n ==-（舍）∴AH=OE=6，EP=EB=2∴OB=OE+BE=8∴m=8，∴A （0，8）∴OA=OF=8 ， ∴F （-8，0）∴直线 AF 的解析式为 y = x + 8∵CD=CE-DE=CE-BE=6-2=4∵线段 CD 关于直线 AB 的对称线段 DS∴SD=CD=4，∠CDA=∠SDA=45°∴∠CDS=90°，∴SD ∥x 轴过点 S 分别作 SM ⊥x 轴于点 M ，SN ⊥y 轴于点 N∴四边形 OMSN 、SMED 都是矩形∴OM=SN=OE-ME=2，ON=SM=DE=BE=2∴S(2，2)∵OP=OE-EP=6-2=4，∴P(4，0)设直线 PS 的解析式为 y=ax+b∴4022a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩∴直线 PS 的解析式为 y=-x+4设直线PS 与直线AF 的交点K(x ，y)∴48y x y x =-+⎧⎨=+⎩解得26x y =-⎧⎨=⎩∴直线PS 与直线AF 的交点K(-2，6)．【点睛】本题考查的知识点是一次函数与几何图形，将一次函数的图象与几何图形综合在一起的问题，是考查学生综合素质和能力的热点题型，它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想．本题考查的知识点有一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰直角三角形的判定及性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定及性质、矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线等．2．C解析：（1）112y x =-+；（2）1d t =-+；（3）6215t -= 【解析】【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率积为-1，设出直线CE 的解析式，再将点C 坐标代入即可求解；（2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，通过解直角三角形可证EDM ≌EAN ，ENH ≌EMG ，得到AN =DM ，HN =GM ，进而得到AH DG =，再根据CE 解析式求出D 点坐标，即可找出d 与t 之间的函数关系式；（3）过点B 作BT CM ⊥于点T ，在直线BT 上截取TL NK =，证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形，得MN MT =，再进一步证明ENH ≌EMG ，利用全等三角形的性质通过角度计算，得出△BML 为等腰三角形且BM BL =，再用含有t 的代数式表示BM ，最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式，求出t 的值．【详解】解：（1）∵CE ⊥AB ，∴设直线CE 的解析式为：12y x c =-+， 把点C （2，0）代入上述解析式，得1c =，∴直线CD 的解析式为：112y x =-+； （2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，令26 112y xy x=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得22xy=-⎧⎨=⎩，∴()2,2E-，易证EDM≌EAN，ENH≌EMG，∴AN=DM ，HN=GM，∴AH DG=，由直线CE的解析式112y x=-+，可求点D（0，1）∴DG=1—t，∴1d t=-+；（3）过点B作BT CM⊥于点T，在直线BT上截取TL NK=，易证四边形BGMT与四边形HNMC均为矩形，由（2）问可知1tAH GD==-，则6tHC=-∴6tBG MT==-，∴MN MT=，∵90KNM LTM∠=∠=︒，∴ENH≌EMG，∴LNKM∠=∠，设KMNα∠=，则KMB KMNα∠=∠=，∴90NKM α∠=︒-，∴90NKM L α∠=∠=︒-，∵//BL MN ，∴2MBL BMN α∠=∠=，∴18090BML MBL L α∠=︒-∠-∠=︒-，∴BM BL =， ∵1tan 2KCH ∠=， ∴11322KH CH t ==-， ∴133322KN KH HN t t t TL =+=--=-=， ∴352BL BT TL t BM =+=-=， 在Rt BMG △中， 222BM BG GM =+，解得t =（不合题意舍去）或t =故，65t -=． 【点睛】本题一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等，利用已知条件求相等交，相等线段是解决本题的关键．3．E解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）E （2，3）或（1，4）；（3）P 点横坐标为118【解析】【分析】(1) 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，由抛物线过点B,（3，0），即可求出a 的值，即可求得解析式； （2）过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x xx -++，求出A 、D 点的坐标，得到OM=x ，则AM=x+1，由AF=2EF 得到22(1)33x AN AM +==，从而推出点F 的坐标21210(,)3333x x --+，由23FN EM =，列出关于x 的方程求解即可；（3）先根据待定系数法求出直线DM 的解析式为y=-2x+3，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.证明△FGP ≌△FHQ ，得到FG=FH ，PT=45GH.设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），则PT=m²-4m ，GH=1-m ， 可得m²-4m=45（1-m ），解方程即可. 【详解】（1）∵抛物线的顶点为C （1，4），∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，∵抛物线过点B,（3，0），∴20(31)4a =-+，解得a=-1，∴设抛物线的解析式为2(1)4y x =--+，即2y x 2x 3=-++；（2）如图，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x x x -++，∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，当y=0时，2023x x =-++，解得x=-1或x=3，∴A （-1.0），∴点D （0,3），∴过点BD 的直线解析式为3y x =-+，点F 在直线BD 上，则OM=x ，AM=x+1，∴22(1)33x AN AM +==， ∴2(1)2111333x x ON AN +=-=-=-， ∴21210(,)3333x x F --+，∴2210332233FN EM x x x +--++==， 解得x=1或x=2， ∴点E 的坐标为（2，3）或（1，4）；（3）设直线DM 的解析式为y=kx+b ，过点D （0,3），M （32，0）， 可得，3023k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得k=-2，b=3，∴直线DM 的解析式为y=-2x+3，∴32OM =，3OD =， ∴tan ∠DMO=2， 如图，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.∵PQ ⊥MT ，∴∠TFG=∠TPF ，∴TG=2GF ，GF=2PG ，∴PT=25GF ， ∵PF=QF ，∴△FGP ≌△FHQ ，∴FG=FH ，∴PT=45GH. 设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），∴PT=m²-4m ，GH=1-m ，∴m²-4m=45（1-m ）， 解得：1112018m -=，或2112018m +=（不合题意，舍去）， ∴点P 的横坐标为11201-. 【点睛】 本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用数形结合的思想解决问题，有一定难度.4．D解析：（1）DF 的长为158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258． 【解析】【分析】（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可； （2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案． 【详解】（1）如图，作EH BM ⊥于H ：∵E 为AB 中点，45,cos 5AB AD DC B ====∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ，在Rt OEH ∆中：()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：2516r =∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠又∵CMN BAM ∠=∠∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r ===∴2515588FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=① 又∵//MD AN ∴AFN DFM ∆~∆∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5；（3）作如图：∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ，圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上 ∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上∴54cos 5AB B BM BM === 解得：254BM = O 的半径长为258【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．5．A解析：（1）6y x =-+；（2）636S t =-，()6t >；（3）5599y x =+ 【解析】【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，从而得出△ABO 是等腰直角三角形，再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形，从而可求得点C 的坐标，将点B 、C 代入可求得解析式；（2）存在2种情况，一种是点D 在线段BC 上，另一种是点D 在线段BC 的延长线上，分别利用三角形的面积公式可求得；（3）如下图，先证ACR CAD ∆≅∆，从而推导出//RD AC ，进而得到CF RG =，同理还可得NF DG =，RD CN =，然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标，代入即可求得．【详解】解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，(6,0)A ∴-，(0,6)B ．6OA OB ∴==．45BAO ∴∠=︒，180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=︒，2ABC ACB ∠=∠，45BCO ∴∠=︒6OC OB ∴==，()6,0C ∴．设直线BC 的解析式为y kx b =+，将B 、C 两点坐标代得606k b b +=⎧⎨=⎩ 解得16k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为6y x =-+．（2）点D 是射线BC 上一点，点D 的横坐标为t ，(,6)D t t ∴-+，6(6)12AC =--=．如下图，过点D 作DK AC ⊥于点K ，当点D 在线段BC 上时，6DK t =-+，16362S AC DK t ∴=⋅=-+()06t ≤<； 如下图，当点D 在线段BC 的延长线上时，6DK t =-，636S t ∴=-()6t >．（3）如图，延长CE 交AB 于点R ，连接DR 交BF 于点G ，交y 轴于点P ．45BAO BCO ∠=∠=︒，BA BC ∴=．AO CO =，BO AC ⊥EA EC ∴=，EAC ECA ∴∠=∠．ACR CAD ∴∆≅∆．BAD BCR ∴∠=∠．AR CD ∴=．BR BD ∴=．//RD AC ∴．BH AD ⊥，HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠．MB MC ∴=，∠MRB MRB MBR ∠=∠MR MB ∴=．CM MR ∴=．//RD AC ，::1:1CF RG CM RM ∴==．CF RG ∴=．同理NF DG =．RD CN =．∵:7:12NF FC =．:7:12DG RG ∴=．RP PD BP ==，5tan 19PG OF OBF BP OB∴==∠= 6OB ∴=，3019OF ∴=，6OC =，8419CF ∴=． 7RD GN ∴==．1ON ∴=，72PD =．52OP OB BP ∴=-=． (1,0)N ∴-，75,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设直线 DN 的解析式为y ax c =+，将N 、D 两点代入，07522a c a c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得5959 ac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DM的解析式为5599y x=+．【点睛】本题考查了一次函数与图形的综合，需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识，解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标．6．D解析：（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜103)；（2）1769或32【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H∵∠C=45°，DH⊥BC∴△DHC是等腰直角三角形∵四边形ABCD是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC－HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103 当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4 ∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力． 7．A解析：（1）详见解析；（2）2448x x y -+=（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====， 根据勾股定理得到()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠，即HOD EOA ∠=∠，HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====， ∵BF=x，∴AF=4-x ，∴FN=2-x ， ∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+∴248EF y x x =-+ ∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴BF OF AF EF＝， ∴2248448x x x x y x x -+=---+， ∴)24804x x y x x-+≤＝＜； （3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ，∵∠EAO=90°，∴这种情况不存在；②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP⊥EG 于P ，则AP∥OE，∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴PE AE OA OE=，∵AE=AG，∴2421482x xxPE y-+==，()22248xAE yx-=-=，∴()22222224448448xx xxx xx---+=+，解得：x=2，②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO，∵GE=OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴22EQ AO==∴224242()xAE E Q-===∴43x =， ∴BF=2或43． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．B解析：（1）12；（2）3）【解析】【分析】（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长.【详解】（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，135BAC ∠=，180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，BD AD ∴=，在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，4AB =222232BD AB ∴===，解得：4BD =，6AC =，11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ， D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，PD PQ ∴=，PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，点P 为AB 上的动点，PC PD CQ ∴+≥，∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度， 点C 为半圆AB 的中点，90COB ∴∠=，90BOD COD COB ∠+∠=∠=，11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=， 10AB =，1110522OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=， 155,222DH OD QH DH ∴==∴==， 222255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，553,2OM QH MQ OH ∴==== 515522CM OM OC ∴=+=+=， 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，PC PD ∴+的最小值为53．（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠，E 为OA 上的点，F 为OB 上的点PE EF FP SN ∴++≥，∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，45POA POB AOB ∠+∠=∠=，45SOA NOB ∴∠+∠=，454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．扇形AOB 的半径为20，20OS ON OP ∴===，在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.9．A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235t tSt t t⎧⎛⎫<≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<<⎪⎪⎝⎭⎩；（3）t的值为477或727．【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan3A=，可得出PN与AP的关系，从而求出t的值；（2）如下图，存在2种情况，一种是点M在△ABC内，另一种是点M在△ABC外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在2种情况，一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC的面积平分．【详解】（1）如图1，点N在AC上图1由题意可知：PD=DQ=t ，AP=7－t∴PN=PQ=2t ∵4tan 3A = ∴43NP AP =，即2473t t =- 解得：t=145 （2）①如图2，图2四边形PQMN 是正方形，90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒，BQ MQ ∴=，即72t t -=解得73t =， 故当0t <≤73时，22(2)4S t t ==； ②如图3， 图390BQF ∠=︒，45B ∠=︒，7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒，则37MF MQ QF t =-=-，90M ∠=︒，37ME MF t ∴==-， 则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭； 综上，2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩． （3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G图4∵4tan 3A = ∴设CG=4x ，则AG=3x∵∠B=45°∴△CBG 是等腰直角三角形∴GB=GC=4x∵AB=14∴3x+4x=14，解得：x=2∴1148562ABC S== ∴1282ABCS = 情况一：PM 所在的直线平分△ABC 的面积，如下图，PM 与BC 交于点E图5则28PBES=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE是等腰直角三角形∵1282PBES PE PB==∴PE=PB=214∴PB=47∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t∴7+t=47t=477-情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H图6同理，28AFQS=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°∴△FHQ是等腰直角三角形∵4 tan3A=∴设FH=4y，则AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y∴174282AFQS y y==，解得：2∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t∴2解得：27∴综上得：t的值为477或727．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．10．A。
中考必做的36道数学压轴题[整理版]共18页
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中考必做的36道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标” 例1(2019北京，23,7分)在平面直角坐标系x O y 中，抛物线222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32<<x 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．解：（1）当 x ＝ 0 时， y ＝－2 . ∴ A （0，－2）． 抛物线对称轴为 x ＝212mm--=， ∴ B （1，0）． （2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A （2，－2） 则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 y ＝kx ＋b 则22,0.k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得2,2.k b =-⎧⎨=⎩∴直线的解析式为 y ＝－2x ＋2． （3）∵抛物线对称轴为 x ＝1抛物体在 2 <x <3 这一段与在－1<x <0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在－2<x <1这一段位于直线 l 的上方，在 －1< x <0 这一段位于直线 l 的下方． ∴抛物线与直线 l 的交点横坐标为 －1 ； 当 x ＝－1 时， y ＝－2x (－1)＋2 ＝4 则抛物线过点（－1，4） 当 x ＝－1 时， m ＋2m －2＝4 ， m ＝2 ∴抛物线解析为 y ＝2x 2 －4x －2 .连接（2019江苏南京，26，9分）已知二次函数y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）（a 、m 为常数，且a ≠0）.（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C .与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值；②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值. 【答案】（1）证明：y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am . 因为当a ≠0时，［－（2am ＋a ）］2－4a （am 2＋am ）＝a 2＞0.所以，方程ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am ＝0有两个不相等的实数根.所以，不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. ………3分 （2）解：①y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝a （x －212+m ）2－4a， 所以，点C 的坐标为（212+m ，－4a）. 当y ＝0时，a （x －m ）2－a （x －m ）＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋1.所以AB ＝1. 当△ABC 的面积等于1时，21×1×4a -＝1.所以21×1×（－4a ）＝1，或21×1×4a＝1. 所以a ＝－8，或a ＝8.②当x ＝0时，y ＝am 2＋am .所以点D 的坐标为（0，am 2＋am ）. 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，21×1×4a -＝21×1×am am +221×1×（－4a ）=21×1×（am 2＋am ），或21×1×4a =21×1×（am 2＋am ）. 所以m ＝－21，或m ＝221--，或m ＝221+-.………9分变式: （2019北京，23，7分）已知二次函数23(1)2(2)2y t xt x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。
中考必做的36道压轴题数学
中考必做的36道压轴题数学 1、解方程：已知一个方程10x - 7 = 5x + 8，求解x的值。
2、求平均数：一个班级有30个学生，他们的数学成绩分别是85、90、78、92等，求这些成绩的平均数。
3、百分数：如果某商品原价是800元，现在降价20%，求现价是多少？ 4、排列组合：有8个人参加篮球比赛，其中5人可以获得奖励，问有多少种获奖方式？ 5、面积计算：一个长方形的长是12cm，宽是8cm，求它的面积。
6、立体几何：一个正方体的棱长是4cm，求它的体积。
7、比较大小：比较8/15、9/12、5/6三个分数的大小。
8、几何图形：一个边长为3cm的正方形放置在一个边长为6cm的等边三角形内部，求三角形与正方形的重叠部分的面积。
9、函数关系：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。
10、平行线夹角：已知两条平行线AB和CD，AB的倾斜角为40度，求CD的倾斜角。
11、最大公约数：求24和36的最大公约数。
12、最小公倍数：求8和12的最小公倍数。
13、整除性：判断72是否能同时被9和4整除。
14、利息计算：存款10000元，年利率为5%，存款5年后的本息和是多少？15、线性方程组：已知方程组2x + 3y = 114x - y = 7求解x和y的值。
16、比例计算：已知一辆汽车每小时跑100公里，求它每分钟的行驶速度是多少公里？ 17、简单利率：借款5000元，年利率为4%，借款3年后应还多少钱？ 18、投影与影子：一个2米高的人与他的影子同时在太阳下向东走，太阳处于45度的高度角，走20米后，影子的长度是多少？ 19、追逐问题：甲用5分钟跑完全程，乙用6分钟跑完全程，问他们什么时候再次同时回到起跑点？20、计算难题：求1+2+3+...+100的和。
21、函数奇偶性：判断函数f(x) = x^2 + x是否为奇函数。
22、几何平移：将一个矩形向右平移3个单位，向上平移5个单位，求矩形新的顶点坐标。
中考必做的36道数学压轴题
中考必做的36道数学压轴题第一題夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”例1(2013北京，23,7分庭平面直角坐标系My中，抛物线y^mx2-2mx-2(m*0)与y轴交于点.4,其对称轴与x轴交于点B.(1)求点B的坐标；(2)设直线7与直线.43关于该抛物銭的对称轴对称，求直线7的解析式；(3)若该抛物线在-2 < X < -1这一段位于直线/的上方，并且在2 < x < 3这一段位于直线•必的下方，求该抛物线的解析式.解;口)当==0时，y =-2..'.A(0, —2).—2J»抛物线对称轴为x= -斯=1，:.B (1, 0).(2)易得1点关于对称轴的对称点为4 (2, -2)则直线，经过且、B.没直銭的解析式为)=米+方则{W解得仁....直銭的解析式为y=-2r +2.⑶•..抛物线对称轴为工=1抛物体在2 <v<3这一段与在- l<x<0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2。
<1这一段位于直线/的上方，在-IvxO这一段位于靠却的下方.抛物线与直銭/的交点横坐标为-1 ；当x=-l时，尸一2x( —D+2 =4则抛物线过点(~b 4)当x=-l时，m+2m-2=4 , m=2「•抛物线解析为］=廿-阪-2.连接(2013江苏南京，26,9分)已知二次函数］=a (x~m) 2-a (x-w) (a、巾为常数，且奶-(1)求证：不论a与冲为何值,该圈数的图象与X轴总有两个公共点；(2)设该函数的图象的顶点为U与x轴交于4、3两点，与.v轴交于点。
①当A.4BC的面积等于1时，求。
的值；②当A.4BC的面积与的面积相等时，求m的值-【答案】(1)证明：y=a (x—m) 2—a <x-m) =ax2— (2twn+a) x+an^+am. 因为当#0 时，［—(2am+a')］2—4a {am2+ am') =a2>0.所以，方程众2-(2次+ .)工+加+効=0有两个不相等的实数根一所以，不论。
2024年九年级中考数学压轴题—韦达定理及参考答案
韦达定理1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式：(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．【答案】解：(1)根据题意得k ≠0且Δ=12-4k ×-3 >0，解得k >-112且k ≠0；(2)根据题意得x 1+x 2=-1k ，x 1∙x 2=-3k，∵x 1+x 2 2+x 1x 2=4，∴-1k 2-3k=4，整理得4k 2+3k -1=0，解得k 1=14，k 2=-1，∵k >-112且k ≠0，∴k =14．2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x21+x22=8-3x1x2，求m的值．【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．∴Δ=-2m-12-4m2=4-8m≥0，解得：m≤1 2.(2)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2=2m-2，x1∙x2=m2∵x21+x22=8-3x1x2∴x1+x22-2x1x2=8-3x1x2，即5m2-8m-4=0，解得：m1=-25，m2=2(舍去)，∴实数m的值为-25.3已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1b-1=39，求m的值；(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：(1)∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根，∴a+b=2m+1，ab=m2+5，∴a-1b-1=ab-a+b+1=m2+5-2m+1+1=39，解得m=-5或m=7，当m=-5时，原方程无解，故舍去，∴m=7．(2)①当7为底边时，此时方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴Δ=4m+12-4m2+5=0，解得m=2，∴方程变为x2-6x+9=0，解得a=b=3，∵3+3<7，∴不能构成三角形．②当7为腰时，设a=7，代入方程得：49-14m+1+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时，方程变为x2-22x+105=0，解得x=7或15，∴b=15，∵7+7<15，∴不能组成三角形；当m=4时，方程变为x2-10x+21=0，解得x=3或7，∴b=3，∴此时三角形的周长为7+7+3=17．综上所述，三角形的周长为17.4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1∙x2=ca．借助该材料完成下列各题：(1)若x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x1+x2=，x1∙x2=．(2)若x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x21+x22=，1x1+1x2=．(3)若x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x21+x22=13，求m的值．【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，∴x1+x2=--41=4，x1∙x2=51=5.(2)∵x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，∴x1+x2=-6，x1∙x2=-3，∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=-62-2×-3=42，1 x1+1x2=x1+x2x1∙x2=-6-3=2．(3)∵关于x的方程x2-m-3x+m+8=0有两个实数根，∴Δ=m-32-4m+8≥0，即m≥5+43，或m≤5-43，∵x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，∴x1+x2=m-3，x1∙x2=m+8，∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=13，即m-32-2m+8=13，解得，m=-2或m=10．即m的值是-2或10．5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=；(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，求代数式2mnm2+n2的值；(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根．【答案】解：(1)设一元二次方程x2-3x+c=0的根是a，2a，由根与系数的关系，得a+2a=3，a×2a=c，解得a=1，则2a=2．∴c=2．(2)由方程x-2mx-n=0m≠0，解得x1=2或x2=n m.∵方程x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，∴n m =1或nm=4，当nm=1时，2mn m2+n2=2mn+nm=21+1=1；当nm=4时，2mn m2+n2=2mn+nm=214+4=817.(3)由方程ax2+bx+c=5，变形，得ax2+bx+c-5=0，由根与系数的关系，得k+1+3-k=-ba，即-ba=4.设x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∵方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，∴x1+x2=4，假设x1=2x2，则3x2=4，解得x2=43，则x1=83，故一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根是43和83.6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x1 +x2 =2x1x2-3，求实数k的值．【答案】解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=-2k-32-4k2+1=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5>0，∴k<512．(2)∵k<512，∴x1+x2=2k-3<0.又∵x1x2=k2+1>0，∴x1<0，x2<0，∴x1 +x2 =-x1-x2=-x1+x2=-2k+3.由x1+x2 =2x1x2-3，得-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=-2，k2=1.又∵k<5 12，∴k=-2．7已知x1，x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)如果x1，x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22，且m为整数，求m的值．【答案】解：(1)根据题意得：Δ=-22-4×2×m+1≥0解得：m≤-1 2∴实数m的取值范围是m≤-12(2)根据题意得：x1+x2=1，x1∙x2=m+12，∵4+4x1x2>x21+x22∴4+4x1x2>x1+x22-2x1x2即4+6x1x2>x1+x22∴4+6×m+12>1∴m>-2∴-2<m≤-12∴整数m的值为-18已知x1，x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根，并且x1≠x2，(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．(3)若x1-x2=6，求x1-x22+3x1x2的值.【答案】解：(1)Δ=b2-4ac=22-4×1×2k-4=20-8k．∵方程有两个不相等的实数根，∴20-8k>0，∴k<52．(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k=1或2，根据配方法可得：x+12=4-2k+1=5-2k，解得x=-1±5-2k；∵方程的根为整数，∴5-2k为完全平方数，当k=1时，5-2k=3，舍去；当k=2时，5-2k=1；∴k=2．(3)已知x1，x2为方程x2+2x+2k-4=0的两个不相等实数根，则x1+x2=-2，x1∙x2=2k-4，则x1-x2=x1-x22=x1+x22-4x1x2=20-8k=6，解得k=-2，即x1x2=2×-2-4=-8，所以x1-x22+3x1x2=62+3×-8=12.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若x1，x2是原方程的根，是否存在实数k，使2x1-x2x1-2x2=-32成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵方程有实数根，∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0，∴k≤0，∵方程是一元二次方程，∴4k≠0，即k≠0，∴k的取值范围为k<0；(2)不存在，理由如下：∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0，且4k≠0，解得k<0.∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=k+14k，∴2x1-x2x1-2x2=2x21-4x1x2-x1x2+2x22=2x21+x22-9x1x2=2×12-9∙k+14k =-k-94k，若-k-94k=-32成立，则k=9 5，∵k<0，则k=95不成立，∴不存在这样k的值．10关于x的方程k-1x2+2kx+2=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x 1，x 2是方程k -1 x 2+2kx +2=0的两个根.求①x 1+x 2和x 1∙x 2的值；②若S =x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2，那么S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)证明：当k =1时，原方程可化为2x +2=0，解得：x =-1，此时该方程有实数根；当k ≠1时，方程是一元二次方程，∵Δ=2k 2-4k -1 ×2=4k 2-8k +8=4k -1 2+4>0，∴方程有两个不相等的实数根.综上所述，无论k 为何值，方程总有实数根．(2)解：①由根与系数关系可知，x 1+x 2=-2k k -1，x 1x 2=2k -1；②若S =2，则x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2=2，即x 1+x 22-2x 1x 2x 1x 2+x 1+x 2=2，将x 1+x 2，x 1x 2代入整理得：k 2-3k +2=0，解得：k =1(舍)或k =2，∴S 的值能为2，此时k =2．韦达定理1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式：(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x21+x22=8-3x1x2，求m的值．3已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1=39，求m的值；b-1(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1∙x2=ca．借助该材料完成下列各题：(1)若x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x1+x2=，x1∙x2=．(2)若x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x21+x22=，1x1+1x2=．(3)若x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x21+x22=13，求m的值．5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=；(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，求代数式2mnm2+n2的值；(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根．6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x1 +x2 =2x1x2-3，求实数k 的值．7已知x1，x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)如果x1，x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22，且m为整数，求m的值．48已知x1，x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根，并且x1≠x2，(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．(3)若x1-x2=6，求x1-x22+3x1x2的值.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若x1，x2是原方程的根，是否存在实数k，使2x1-x2x1-2x2=-32成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．510关于x的方程k-1x2+2kx+2=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x1，x2是方程k-1x2+2kx+2=0的两个根.求①x1+x2和x1∙x2的值；②若S=x2x1+x1x2+x1+x2，那么S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．6。
初中数学：30个经典压轴题（附详解），细...
初中数学：30个经典压轴题（附详解），细...
对于初三的同学们来说，现在已经正式进入了然中考倒计时阶段，各科新知识的学习掌握都已经告一段落，都开始准备中考复习了，但是在数学学科的复习过程中，很多同学都会对最后的一个压轴题产生畏惧心理，因为压轴题都十分复杂，很多同学根本不知道该从哪里入手去解决。
但我们都知道，数学高手之间的竞争往往都出现在压轴题上，能够在考场中从容应对各种类型的压轴题，是数学取得高分的关键所在，因此数学成绩要想优异，就必须要把最后的压轴题进行一个全面的突破提升。
很多同学都表示，数学压轴自己不会做，但是一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
中考数学压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第1小题较易，大部学生都能拿到分数；第2小题中等，起到承上启下的作用；第3题偏难，不过往往建立在1、2两小题的基础之上。
而压轴题要想实突破，就必须要多做多练，把一些典型的题例做一做练一练，去提升突破。
眼看距离中考的脚步越来越近，老师这次就把初中数学常考的30个经典压轴题分享给大家（附详解），都是中考中最常考的题型，同学们可以打印出来认真做一做，2020中考冲刺必练！。
中考数学必做36道压轴题
中考数学必做36道压轴题
第1题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”
第2题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破
第3题“模式识别”记心头，看似“并列”实“递进”
第4题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”
第5题莫为“浮云”遮望眼，“洞幽察微”探指向
第6题分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质
第7题“两种对称”正方形，“以美启真”助破题
第8题对称图形为载体，特殊位置要留意
第9题平行线内“正方形”，构造全等“弦方图”
第10题“并列”问题“递进”解，经典问题再追问
第11题“伴随图形”来研究，“分类讨论”显功底
第12题中心对称“带上路”，以美启真构菱形。
2024数学中考压轴题-圆(九大题型和解题方法)
专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。
目录：题型1：圆与三角形综合题型2：圆与四边形综合题型3：圆有关的动态问题题型4：圆与坐标系或函数题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题题型6：最值问题题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆题型8：定值问题题型9：在圆综合中求解三角函数值题型1：圆与三角形综合1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知，AD 、BC 为O 两条弦，AD BC ⊥于点E ，连接OE ，AE CE =．(1)如图1，连接OE ，求AEO ∠的度数；(2)如图2，连接AC ，延长EO 交AC 于点N ，点F 为AC 上一点，连接EF ，在EF 上方作等腰直角三角形EFG ，且90EGF ∠=︒，连接NG ，求证：NG BC ∥；(3)在（2）的条件下，连接AB ，CD ，当点G 落在线段AB 上时，过点O 做OL OE ⊥，交CD 于点L ，交CE于点T ，若2OE EG CL ==，求O 半径的长．2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：AB 为O 的直径，点C 为 AB 上一点，连接AC ，点D 为 BC上一点，连接AD ，过点D 作AB 的垂线，垂足为点F ，交O 于点E ，连接CE ，分别交AD 和AB 于点H 和点K ，且90AHE =︒∠．(1)如图1，求证：CAD BAD ∠=∠；(2)如图2，连接HF ，过点H 作HF 的垂线交AB 于点T ，求证：2AB FT =；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC 交AD 于点G ，延长CD 交AB 的延长线于点M ，若CM AG =，5FT =，求CG 的长．3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点G ，连接AD ，过点C 作CF AD ⊥于F ，交AB 于点H ，交O 于点E ，连接DE ．(1)如图1，求证：2E C ∠=∠；(2)如图2，求证：DE CH =；(3)如图3，连接BE ，分别交AD CD 、于点M N 、，当2OH OG =，HF =EN 的长．4．（2024·浙江·模拟预测）如图1，ABC 内接于O ，作AD BC ⊥于点D ．(1)连结AO ，BO ．求证：2180AOB DAC ∠+∠=︒；(2)如图2，若点E 为弧AC 上一点，连结BE 交AD 于点F ，若2BAD CAD ∠∠＝，490DBF CAD ∠+∠=︒，连结OF ，求证：OF 平分AFB ∠；(3)在（2）的条件下，如图3，点G 为BC 上一点，连结EG ，2BGE C ∠=∠．若AD =3BD EG +=，求DF 的长．题型2：圆与四边形综合5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，DE AC ⊥于点F 交BC 于点E ．(1)设DBC α∠=，试用含α的代数式表示ADE ∠；(2)如图2，若3BE CE =，求BDDE的值；(3)在（2）的条件下，若,AC BD 交于点G ，设FGx CF=，cos BDE y ∠=．①求y 关于x 的函数表达式．②若BC BD =，求y 的值．6．（2024·广东珠海·一模）如图1，F 为正方形ABCD 边BC 上一点，连接AF ， 在AF 上取一点O ， 以OA 为半径作圆， 恰好使得O 经过点B 且与CD 相切于点E ．(1)若正方形的边长为4时，求O 的半径；(2)如图2， 将AF 绕点A 逆时针旋转45︒后，其所在直线与O 交于点G ，与边CD 交于点H ，连接DG BG ，．①求ADG ∠的度数；②求证：··²AB BF AG FG BG +=．题型3：圆有关的动态问题7．（2024·广东·一模）综合探究：如图，已知10AB =，以AB 为直径作半圆O ，半径OA 绕点O 顺时针旋转得到OC ，点A 的对应点为C ，当点C 与点B 重合时停止．连接BC 并延长到点D ，使得CD BC =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AD ，AC ．(1)如图1，当点E 与点O 重合时，判断ABD △的形状，并说明理由；(2)如图2，当1OE =时，求BC 的长；(3)如图3，若点P 是线段AD 上一点，连接PC ，当PC 与半圆O 相切时，判断直线PC 与AD 的位置关系，并说明理由．8．（2024·浙江湖州·一模）如图，在ABCD Y 中，∠B 是锐角，AB =10BC =，在射线BA 上取一点P ，过P 作PE BC ⊥于点E ，过P ，E ，C 三点作O ．(1)当3cos 5B =时，①如图1，若AB 与O 相切于点P ，连结CP ，求CP 的长；②如图2，若O 经过点D ，求O 的半径长．(2)如图3，已知O 与射线BA 交于另一点F ，将BEF △沿EF 所在的直线翻折，点B 的对应点记为B '，且B '恰好同时落在O 和边AD 上，求此时PA 的长．9．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在O 中，AB 是O 的直径，点M 是直径AB 上的一个动点，过点M 的弦CD AB ⊥，交O 于点C 、D ，连接BC ，点F 为BC 的中点，连接DF 并延长，交AB 于点E ，交O 于点G ．图1 图2 备用图(1)如图1，连接CG ，过点G 的直线交DC 的延长线于点P ．当点M 与圆心O 重合时，若PGC MDE ∠=∠，求证：PG 是O 的切线；(2)在点M 运动的过程中，DE kDF =（k 为常数），求k 的值；(3)如图2，连接BG OF MF 、、，当MOF △是等腰三角形时，求BGD ∠的正切值．题型4：圆与坐标系或函数10．（2024·福建龙岩·一模）如图，抛物线234y x x =-++与x 轴分别交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)与y 轴交于点C ．(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标；(2)如图(1)，P 是抛物线上异于A ，B 的一点，将点B 绕点P 顺时针旋转45︒得到点Q ，若点Q 恰好在直线AP 上，求点P 的坐标；(3)如图(2)，MN 是抛物线上异于B ，C 的两个动点，直线BN 与直线CM 交于点T ，若直线MN 经过定点()1,3，求证：点T 的运动轨迹是一条定直线．11．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q 为平面内不重合的两个点，其中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．12．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知点A 的坐标为(10)-，，点B 的坐标为(30)，．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是第一象限内该抛物线上一动点，过点D 作直线l y 轴，直线l 与ABD △的外接圆相交于点E ．①仅用无刻度直尺找出图2中ABD △外接圆的圆心P ．②连接BC 、CE ，BC 与直线DE 的交点记为Q ，如图3，设CQE △的面积为S ，在点D 运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S 的最大值；如果不存在，请说明理由．13．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =--∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =-，②41y x =-，③23y x =-+，④31y x =--中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号）(2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数2)304(2y x x x =-++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题14．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为 ；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．15．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．题型6：最值问题16．（2024·湖南长沙·三模）如图1，,,A B C 为O 上不重合的三点，GC 为O 的切线，1902G A ∠+∠=︒．(1)求证：GB 为O 的切线；(2)若ABC 为等腰三角形，345,tan 4BAC BAC ∠<︒∠=，求BC AG的值；(3)如图2，若AB 为直径，M 为线段AC 上一点且GM GB ⊥，2223880AM OB GB GB +-+-=，02GB <<，求MGBA S 四边形的最大值．17．（2024·重庆·模拟预测）如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒．点D 为ABC 内一点，且60ADB ∠=︒，E 为线段BD 的中点，连接AE ．(1)如图1，若AB AC ==，2AD =，求BE 的长；(2)如图2，连接CD ，若AB AC =，BAE ACD ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥交于F ，求证：AE =；(3)如图3，过点D 作DM AC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，连接MN ，若AB =4AC =，求MN 的最小值．题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆18．（2024·福建泉州·一模）如图1，在ABCD Y 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，F 是CD 上一点，且DF DE =．(1)求证：BE EF ⊥；(2)如图2，若120A ∠=︒，FG BC ⊥于点G ，H 是BF 的中点，连接DG ，EH ，EG ，且EG 与BF 相交于点K ．①求证：DG EH =；②若2CF DF =，求KFGK的值．题型8：定值问题19．（2024·浙江·模拟预测）如图1，E 点为x 轴正半轴上一点，E 交x 轴于A 、B 两点，P 点为劣弧 BC上一个动点，且(1,0)A -、(1,0)E ．(1) BC的度数为 °；(2)如图2，连结PC ，取PC 中点G ，则OG 的最大值为 ；(3)如图3，连接AC 、AP 、CP 、CB ．若CQ 平分PCD ∠交PA 于Q 点，求AQ 的长；(4)如图4，连接PA 、PD ，当P 点运动时（不与B 、C 两点重合），求证：PC PDPA+为定值，并求出这个定值．题型9：在圆综合中求解三角函数值20．（2024·湖南长沙·一模）如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，B C =，D 是BC 的中点．经过A ，B ，D 三点的O 交AC 于点E ，连接BE ．(1)求AE 和BE 的长；(2)如图2，两动点P 、Q 分别同时从点A 和点C 出发匀速运动，当点P 运动到点E 时，点Q 恰好运动到点B ，P 、Q 停止运动，连接PQ ．①记AP x =，当PQC △的面积最大时，求x 的值；②如图3，连接BP 并延长交O 于点F ，连接AF 、FE ．当BE 平分FBC ∠时，求sin ABF ∠的值．21．（2024·上海杨浦·一模）已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF ．(1)如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CDAF的值；(2)如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD的值．专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。
中考数学压轴题常考的9种题型汇总
中考数学压轴题常考的9种题型汇总数学压轴题不会做，没思路，怎么破?下面给大家整理了中考数学压轴题常考的9种题型，逐一攻克这九种题型，中考数学不再愁。
中考数学压轴题常考的9种题型1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。
2.图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
4.一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合5.多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
中考必做的36道数学压轴题资料讲解
中考必做的36道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标” 例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系x O y 中，抛物线222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32<<x 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．（1）当 x ＝ 0 时， y ＝－2 . ∴ A （0，－2）． 抛物线对称轴为 x ＝212mm--=， ∴ B （1，0）． （2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A （2，－2） 则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 y ＝kx ＋b 则22,0.k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得2,2.k b =-⎧⎨=⎩∴直线的解析式为 y ＝－2x ＋2． （3）∵抛物线对称轴为 x ＝1抛物体在 2 <x <3 这一段与在－1<x <0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在－2<x <1这一段位于直线 l 的上方，在 －1< x <0 这一段位于直线 l 的下方． ∴抛物线与直线 l 的交点横坐标为 －1 ； 当 x ＝－1 时， y ＝－2x (－1)＋2 ＝4 则抛物线过点（－1，4） 当 x ＝－1 时， m ＋2m －2＝4 ， m ＝2 ∴抛物线解析为 y ＝2x 2 －4x －2 .连接（2013江苏南京，26，9分）已知二次函数y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）（a 、m 为常数，且a ≠0）.（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C .与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值；②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值. 【答案】（1）证明：y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am . 因为当a ≠0时，［－（2am ＋a ）］2－4a （am 2＋am ）＝a 2＞0.所以，方程ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am ＝0有两个不相等的实数根.所以，不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. ………3分 （2）解：①y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝a （x －212+m ）2－4a， 所以，点C 的坐标为（212+m ，－4a）. 当y ＝0时，a （x －m ）2－a （x －m ）＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋1.所以AB ＝1. 当△ABC 的面积等于1时，21×1×4a -＝1.所以21×1×（－4a ）＝1，或21×1×4a＝1. 所以a ＝－8，或a ＝8.②当x ＝0时，y ＝am 2＋am .所以点D 的坐标为（0，am 2＋am ）. 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，21×1×4a -＝21×1×am am +221×1×（－4a ）=21×1×（am 2＋am ），或21×1×4a =21×1×（am 2＋am ）. 所以m ＝－21，或m ＝221--，或m ＝221+-.………9分变式: （2012北京，23，7分）已知二次函数23(1)2(2)2y t xt x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。
中考必做的36道压轴题数学
中考必做的36道压轴题1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为ts．（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．解题反思：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习。
中考必做的36道压轴题2：如图，线段AD=5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC,设AB=x. （1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，则x=;（3）设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值。
解题反思：此题考查了三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用．中考必做的36道压轴题3：如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（﹣2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M．已知点C的坐标是（﹣4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点．（1）求此抛物线的解析式及点M的坐标；（2）在x轴上有一点P（t，0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标．解题反思：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积问题．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．中考必做的36道压轴题4：已知抛物线y=ax﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD 的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB 的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解题反思：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法．在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果．中考必做的36道压轴题5：如图，已知抛物线y=-4x/9+bx+c与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1．（1）填空：b=．c=，点B的坐标为（，）：（2）若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC 的长；（3）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解题反思：本题主要考查对解二元一次方程组，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，线段的垂直平分线定理等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．中考必做的36道压轴题6：如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，-1)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，-2)作平行于x轴的直线l、l．(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON为直径的圆与直线l相切；(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线l的距离之和等于线段MN的长．解题反思：（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。
中考考试必做地36道数学压轴题
中考必做的36道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标” 例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系x O y 中，抛物线222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32<<x 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．（1）当 x ＝ 0 时， y ＝－2 . ∴ A （0，－2）． 抛物线对称轴为 x ＝212mm--=， ∴ B （1，0）．（2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A （2，－2） 则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 y ＝kx ＋b 则22,0.k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得2,2.k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线的解析式为 y ＝－2x ＋2． （3）∵抛物线对称轴为 x ＝1抛物体在 2 <x <3 这一段与在－1<x <0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在－2<x <1这一段位于直线 l 的上方，在 －1< x <0 这一段位于直线 l 的下方． ∴抛物线与直线 l 的交点横坐标为 －1 ；当 x ＝－1 时， y ＝－2x (－1)＋2 ＝4 则抛物线过点（－1，4）当 x ＝－1 时， m ＋2m －2＝4 ， m ＝2 ∴抛物线解析为 y ＝2x 2 －4x －2 .连接（2013江苏南京，26，9分）已知二次函数y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）（a 、m为常数，且a ≠0）.（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C .与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值；②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值.【答案】（1）证明：y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am . 因为当a ≠0时，［－（2am ＋a ）］2－4a （am 2＋am ）＝a 2＞0. 所以，方程ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am ＝0有两个不相等的实数根. 所以，不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. ………3分 （2）解：①y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝a （x －212+m ）2－4a， 所以，点C 的坐标为（212+m ，－4a）. 当y ＝0时，a （x －m ）2－a （x －m ）＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋1.所以AB ＝1. 当△ABC 的面积等于1时，21×1×4a -＝1.所以21×1×（－4a ）＝1，或21×1×4a＝1. 所以a ＝－8，或a ＝8.②当x ＝0时，y ＝am 2＋am .所以点D 的坐标为（0，am 2＋am ）. 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，21×1×4a -＝21×1×am am +221×1×（－4a ）=21×1×（am 2＋am ），或21×1×4a =21×1×（am 2＋am ）. 所以m ＝－21，或m ＝221--，或m ＝221+-.………9分变式: （2012北京，23，7分）已知二次函数23(1)2(2)2y t xt x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。
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一、中考数学压轴题1．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239334y x x =--与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）过点C 的直线5334y x =-交x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值：（2）如图2， 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE C E '、， 将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆''， 是否存在点E ， 使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求KG AK的值．4．已知抛物线217222y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．5．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13．（1）求直线AD 和BC 之间的距离；（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．6．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC 的值．（拓展提升） （3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．105AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求AD CD 的值．7．已知．在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，3O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处．（1）求经过点O ，C ，A 三点的抛物线的解析式．（2）若点M 是抛物线上一点，且位于线段OC 的上方，连接MO 、MC ，问：点M 位于何处时三角形MOC 的面积最大？并求出三角形MOC 的最大面积．（3）抛物线上是否存在一点P ，使∠OAP=∠BOC ？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．9．如图1，已知，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，连接AO 并延长交BC 于点H ．（1）求外接圆⊙O 的半径；（2）如图2，点D 是AH 上（不与点A ，H 重合）的动点，以CD ，CB 为边，作平行四边形CDEB ，DE 分别交⊙O 于点N ，交AB 边于点M ．①连接BN ，当BN ⊥DE 时，求AM 的值；②如图3，延长ED 交AC 于点F ，求证：NM ·NF=AM ·MB ；③设AM=x ，要使2ND -22DM <0成立，求x 的取值范围．10．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，第一颗弹珠弹出后其速度1y （米/分钟）与时间x （分钟）前2分钟满足二次函数21y ax =，后3分钟满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分钟．（1）求第一颗弹珠的速度1y （米/分钟）与时间x （分钟）之间的函数关系式；（2）第一颗弹珠弹出1分钟后，弹出第二颗弹珠，第二颗弹珠的运行情况与第一颗相同，直接写出第二颗弹珠的速度2y （米/分钟）与弹出第一颗弹珠后的时间x （分钟）之间的函数关系式；（3）当两颗弹珠同时在轨道上时，第____分钟末两颗弹珠的速度相差最大，最大相差______；（4）判断当两颗弹珠同时在轨道上时，是否存在某时刻速度相同？请说明理由，并指出可以通过解哪个方程求出这一时刻．11．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若12,(33)2ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．12．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）．（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点D 作DE //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，PDE ABMC 1S S 9=四边形． 13．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，60C ︒∠=（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直接写出此时,H I 点的坐标.14．（1）探究发现数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：在直线21y x =-上任取点()01A -，， 向左平移3个单位得到点()31，'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．因为2y x n =+过点()31，'--A ， 所以61n -+=-，所以5n =，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为（2）类比运用已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；（3）拓展运用将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．15．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90∘得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．(1) 依题意补全图形；(2) 求证：EG ⊥AD ；(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较()()11a b ++与9+6216．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝43AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示)（2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）17．已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P，G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG 绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．①求证：DF=PG；②若AB=3，PC=1，求四边形PEFD的面积；（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．18．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．（1）当BP＝时，△MBP～△DCP；（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长；（3）设⊙P的半径为x，请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围．19．如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P．（1）求证：CM＝BN；（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；（3）在（2）的条件下，求PFBN的值．20．如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是(82,0)．（1）正方形AOBC的边长为，点A的坐标是；（2）将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45︒，点A，B，C旋转后的对应点为A'，B'，C'，求点A'的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（3）动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ△为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．21．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）A．180° B．270° C．360° D．540°（1）请写出这道题的正确选项；（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB∥EF，请直接写出∠BAD，∠ADE，∠DEF之间的数量关系．（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD，ED分别平分∠BAC，∠CEF时，∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB∥EF，当∠ACD=90°时，∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．22．如图，直角梯形ABCD 中，1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ︒︒∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为ts（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值； （2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，1O 与2O 外切？23．问题提出（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究（2）如图2，在等腰ABC 中，AB AC =，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点,DE ，若5,6AB BC ==，求线段BP 的取值范围，并求AD CE +的最大值．问题解决（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为BB '、CC '、DD '．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和()BB CC DD '''++最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．24．在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一点，点M在CB的延长线上，且=，连接PA．PC PM()1如图①，求证：PA PM=；()2如图②，连接,AM PM与AB交于点,120PC AM；O ADC︒∠=求证 =()3连接AM，当90∠=时，PC与AM的数量关系是ADC︒25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求出线段EF的长；②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝∠EBA，请直接写出点H的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．B解析：（1）直线x=0；（2）B（0，1a）；（3）2-≤a≤13-或13≤a2【解析】【分析】（1）根据抛物线的表达式直接得出对称轴即可；（2）根据题意得出点A的坐标，再利用关于x轴对称的点的坐标规律得出点B坐标；（3）分a＞0和a＜0两种情况分别讨论，画图图像，求出a的范围.【详解】解：（1）在抛物线21y axa=-中，2a-=，∴对称轴为直线x=0，即y轴；（2）∵抛物线与y轴交于点A，∴A（0，1a -），∵点A关于x轴的对称点为点B，∴B（0，1a）；（3）当a＞0时，点A（0，1a-）在y轴负半轴上，当点P恰好在抛物线上时，代入得：11aa a -=，解得：2a=或2-（舍），当点Q恰好在抛物线上时，代入得：190 aa-=，解得：13a=或13-（舍），∴当13≤a≤2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；当a＜0时，点A（0，1a-）在y轴正半轴上，同理可知：当点P恰好在抛物线上时，代入得：11aa a -=，解得：2a=2-，当点Q恰好在抛物线上时，代入得：190 aa-=，解得：13a=（舍）或13-，∴当2-a≤13-时，抛物线与线段PQ只有一个公共点；综上：若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，a 的取值范围是2-≤a ≤13-或13≤a 2. 【点睛】本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．2．A解析：（1）min 119342t R H '==；（2）（0，30，6）或（0，3（0，12）． 【解析】 【分析】（1）根据题意设239(33)4P m m --，5(,33)4Q m m -，以及作R 关于y 轴对称3(3,33)2R '-，并过R '点作直线3:4xl y =的垂线交于H 点R H '即为所求，从而进行分析求解即可； （2）根据题意分四种情形即①当AA''=A''B 时；②当AA''=AB 时；③当AA''=A''B 时；④当A''B=AB 时分别画出图形并进行分析求解. 【详解】 解：（1）设239(,33)4P m m m m --，5(,33)4Q m m -， 23932()2(3)22PQMN C QP NP m ∴=+=+-矩形， 302-<，开口向下， ∴当33m =(33,33)P -，最少时间12t RK RK TB =++， 3(3,33)2R -，作R 关于y 轴对称3(3,33)2R '--，过R '点作直线3:4xl y =-的垂线交于H 点R H '即为所求， 令y=0，解得5312x =， 12()530H ∴，，t R K K T TH =+''+''， ∴过R ''作R H l ''⊥，22min 3119(33)(330)3242125t R H ∴==++'--=+. （2）①当AA''=A''B 时，如图2中，此时，A''在对称轴上 对称性可知∠AC′E=∠A''C′E 又∠HEC′=∠A''C′E ∴∠AC′E=∠HEC′∴333 ∴3， ∴E(0，3，②当AA''=AB 时，如图3中，设A″C′交y 轴于J ．此时AA''=AB=BC'=A''C'，∴四边形A''ABC'为菱形，由对称性可知，∠AC'E=∠A''C'E=30°，∴JE= 3JC′＝3，2∴OE=OJ-JE=6∴E（0，6）③当AA''=A''B时，如图4中，设AC′交y轴于M．此时，A''在对称轴上∠MC'E=75°又∠AMO=∠EMC'=30°∴∠MEC'=75°∴ME=MC'∴MC'=3 3，∴OE=3+3 3，∴E（0，3+3）.④当A''B=AB时，如图5中，此时AC'=A''C'=A''B=AB∴四边形AC'A''B为菱形由对称性可知，C''，E，B共线由抛物线2393344y x x =--与x 轴交于AB 、两点（点A 在点B 的左侧）可知， 令x=0，解得y=−3 3；令x=0，解得：x 1=− 3，x 2=4 3； ∴A （−3，0），B(43，0)，OB=43， ∴OE= 3OB ＝12， ∴E （0，12）．综上满足条件的点E 坐标为（0，3-3）或（0，6）或（0，3+3）或（0，12）． 【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用垂线段最短解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．A解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）15KG AK = 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得90AHG HAG ∠+∠=︒，进而得到90AGH ∠=︒，即可证明AG HD ⊥；（2）连接AC 、AD 、CF ，根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得HFA HAF ∠=∠，进而得到HF HA =，再根据已知HC HF =，得到HC HA =； （3）在DH 上截取DT HC =，过点C 作CM HD ⊥于点M ，通过证明AHC ≌ATD 得到AH AT =，进而得到HG CH GD +=，再根据F 为DG 中点，得到GF DF =，通过勾股定理逆用，证明90HCF ∠=︒，再通过解ACE △得1tan 3CAB ∠=，解△CDH 得1tan 2CDF ∠=，求得OF 、OH ，逆用勾股定理证明90HOF ∠=︒，易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=，最后求得KGAK的值． 【详解】（1）证明：如图，设HAG ∠为α，∵HAG BDC ∠=∠， ∴HAG BDC α∠=∠=， ∵CD AB ⊥，∴90BDC DBE ∠+∠=︒ ∴90DBE α∠=︒-，∵AHG ∠与ABD ∠为同对弧AD 所对的圆周角， ∴90AHG ABD α∠=∠=︒-， ∴90AHG HAG ∠+∠=︒，∴18090AGH AHG HAG ∠=︒-∠-∠=︒ ∴AG HD ⊥（2）如图，连接AC 、AD 、CF ，∵AB 为直径，AB CD ⊥， ∴CE DE =， ∴AB 垂直平分CD ， ∴AC AD =，FC FD =，∴ACD ADC ∠=∠，FCD FDC ∠=∠，∴ACD FCD ADC FDC ∠-∠=∠-∠，即ACF ADF ∠=∠， 设FCD FDC α∠=∠=，ACF ADF β∠=∠=， ∵ADH ∠与ACH ∠为同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH β∠=∠=， ∴2HCF HCA ACF β∠=∠+∠=， ∵HFC FCD FDC ∠=∠+∠， ∴2HFC α∠=， ∵HC HF =， ∴HCF HFC ∠=∠， ∴22αβ=， ∴αβ=， ∵AB 为直径， ∴90ADB ∠=︒， ∴90HDB β∠=︒-，∵HAB ∠与为HDB ∠同对弧BH 所对的圆周角， ∴90HAB HDB β∠=∠=︒-， ∵AB CD ⊥，∴9090BFD αβ∠=︒-=︒-， ∵9090HFA BFD αβ∠=∠=︒-=︒-， ∴HFA HAF ∠=∠， ∴HF HA =， ∴HC HA =；（3）如图，在DH 上截取DT HC =，∵ADH ∠与ACH ∠同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH ∠=∠， ∵AB 为直径，且AB CD ⊥ ∴AC =AD ， ∴AC AD =， ∴AHC ≌ATD ， ∴AH AT =， ∵AG HT ⊥， ∴HG TG =，∴HG CH GT DT GD +=+=， 设2HG k =，则4CH k =，GD 6k =， ∵F 为DG 中点， ∴3GF DF k ==，∴5HF HG GF k =+=，FD =CF =3k ，在HCF 中，由勾股定理逆定理得90HCF ∠=︒， 过点C 作CM HD ⊥于点M ， 由△HCF 面积，可求CM =125k ， ∴229=5MF CF CM k -=， ∴1tan 2CM CM CDF MD MF FD ∠===+， 解ACE △得1tan 3CAB ∠=， 易求OF ，OH ，由勾股定理逆定理得90HOF ∠=︒， 易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=， ∴15KG AK =． 【点睛】本题考查圆与三角形综合，主要考查知识点有同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆用，解直角三角形，锐角三角函数等，知识点跨度大，计算量多；熟练掌握圆的性质和三角形相关知识是解决本题的关键． 4．（1）详见解析；（2）3m =，点C 坐标为(3,2)-；（3）5k =或417k 或417k时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形．【解析】 【分析】 （1）从2172022x mxm的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；（2）根据抛物线的对称轴32b xa来求m 的值；然后利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式，由此可以写出点C 的坐标；（3）根据平行四边形的性质得到：215|1(3)|422MN k k kCD ． 需要分类讨论：①当四边形CDMN 是平行四边形，2151(3)422MN k k k，通过解该方程可以求得k 的值；②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)422NM k kk ，通过解该方程可以求得k 的值． 【详解】 解：（1）2217()4(2)(2)322m m m， ∵不论m 为何实数，总有2(2)0m -≥，2(2)30m ，∴无论m 为何实数，关于x 的一元二次方程2172022x mxm总有两个不相等的实数根，∴无论m 为何实数，抛物线217222y x mxm与x 轴总有两个不同的交点． （2）抛物线的对称轴为直线3x =，3122m ，即3m =，此时，抛物线的解析式为221513(3)2222y x xx ，∴顶点C 坐标为(3,2)-；（3）//,CD MN C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN 是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形CDMN （直线在抛物线的下方），如图所示，由已知215(3,2),(,1),(3)22D M k k N k k k，， (3,2)C ，4CD ∴=，2151(3)422MNk k kCD，①当四边形CDMN 是平行四边形，2151(3)422MNk k k，整理得，28150k k -+=，解得13k =（不合题意，舍去），25k =； ②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)422NMk kk ，整理得2810k k ， 解得，12417417k k ，，综上，5k =或417k或417k时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．5．A解析：（1）12；（2）5s 或373s ；（3）163s 或685s 或72s 【解析】【分析】（1）AD与BC之间的距离即AB的长，如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点E，在RtDEC中可求得DE的长，即AB的长，即AD与BC间的距离；（2）四边形QDCP为平行四边形，只需QD=CP即可；（3）存在3大类情况，情况一：QP=PD，情况二：PD=QD，情况三：QP=QD，而每大类中，点P存在2种情况，一种为点P还未到达点C，另一种为点P从点C处返回．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点E∵∠B=90°，AD∥BC∴AB⊥BC，AB⊥AD∴AB的长即为AD与BC之间的距离∵AD=16，BC=21，∴EC=5∵DC=13∴在Rt DEC中，DE=12同理，DE的长也是AD与BC之间的距离∴AD与BC之间的距离为12（2）∵AD∥BC∴只需QD=PC，则四边形QDCP是平行四边形QD=16－t，PC=21－2t或PC=2t－21∴16－t=21－2t或16－t=2t－21解得：t=5s或t=37 3s（3）情况一：QP=PD图形如下，过点P作AD的垂线，交AD于点F∵PQ=PD，PF⊥QD，∴QF=FD∵AF∥BP，AB∥FP，∠B=90°∴四边形ABPF 是矩形， ∴AF=BP由题意得：AQ=t ，则QD=16－t ，QF=8－2t ，AF=8+2t BP=2t 或BP=21－(2t －21)=42－2t ∵AF=BP ∴8+2t =2t 或8+2t=42－2t 解得：t=163或t=685情况二：PD=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理QD=16－t ，PF=AB=12 BP=2t 或21－(2t －21)=42－2t则FD=AD －AF=AD －BP=16－2t 或FD=16－(42－2t)=2t －26∴在Rt PFD 中，()22212162PD t =+-或()22212226PD t =+- ∵PD=QD ， ∴22PD QD =∴()()22216t 12162t =+-－或()()22216t 12226t =+-－ 解得：2个方程都无解情况三：QP=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理：QD=16－t ，FP=12 BP=2t 或BP=42－2tQF=AF －AQ=BP －AQ=2t －t=t 或QF=42－2t －t=42－3t在Rt QFP 中，22212PQ t =+或()22212423PQ t =+-∵PQ=QD ，∴22PQ QD =∴()22216t 12t =+－或()()22216t 12423t =+-－ 第一个方程解得：t=72，第二个方程解得：无解 综上得：t=163或685或72 【点睛】本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点Q 运动的轨迹，得出BP 的长度．6．A解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）AB BC =3）①5AD CD =． 【解析】 【分析】（1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到61035AD BC ==，即可得到结论；（2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出ABBC的值； （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到CF =，则(2AC x =+=DF的长度，然后得到CD 的长度；②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AFAE EC=，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案． 【详解】解：（1）ABC 是“准黄金”三角形． 理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ， ∵12AC =，30ACB ∠=︒，∴162AD AC ==． ∴:6:103:5AD BC ==．∴ABC 是“准黄金”三角形．（2）∵点A ，D 关于BC 对称， ∴BE AD ⊥，AE ED =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”， ∴:3:5AE BC =．不防设3AE k =，5BC k =， ∵点C 为ABD △的重心， ∴:2:1BC CE =． ∴52k CE =，152k BE =． ∴2215329(3)22k AB k k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ∴329329:5AB k k BC ==． （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：由题意得AE=3， ∵35AE BC =， ∴BC=5， ∵10AB BC =， ∴10AB ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22(10)31BE =-=，∴156EC =+=， ∴223635AC =+=∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ， ∴△ACE ∽△DAF ， ∴3126AE E D C F AF ===， 设DF x =，则2AF x =，∵∠ACD=30°， ∴3CF x =，∴(23)35AC x =+=， 解得：65315DF x ==- ∴2125615CD DF ==-．②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =． ∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”， ∴:3:5AE BC =． ∴5BC =． ∵105AB BC =， ∴10AB ．∴221BE AB AE =-=．∴6CE BE BC =+=，2236935AC CE AE =+=+=． 分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，∴90B GC DFC '∠=∠=︒，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=． ∵GCB FCD α'∠=∠=， ∴AEC DFA ∽△△．∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==． ∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =． ∵12l l //，∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=︒．∴AEC DFA ∽△△． ∴DF AFAE EC=．∴33k =，解得k =∴5CD k ==92AD ===．∴95AD CD ===． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．7．C解析：（1）y=﹣x 2；（2）28⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3）存在，53)或(﹣3，﹣73)【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得OC=OA ，∠BOC=∠BAO=30°，过点C 作CD ⊥OA 于D ，求出OD 、CD ，然后写出点C 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）求出直线OC 的解析式，根据点M 到OC 的最大距离时，面积最大；平行于OC 的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m 的值，利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）分两种情况求出直线AP 与y 轴的交点坐标，然后求出直线AP 的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P 的坐标． 【详解】解：（1）∵Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处， ∴BOC=∠BAO=30°， ∴∠AOC=30°+30°=60°， 过点C 作CD ⊥OA 于D ，则OD=1233 33， 所以，顶点C 33），设过点O ，C ，A 抛物线的解析式为为y=ax 2+bx ，则223)33(23)230a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：123a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴抛物线的解析式为y=﹣x 23； （2）∵C 33），∴直线OC 的解析式为：3y x =，设点M 到OC 的最大距离时，平行于OC 的直线解析式为3y x m =+，联立233y x my x x⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩， 消掉未知数y 并整理得，230x x m +=， △=（3-2-4m=0，解得：m=34． ∴23304x x +=，∴3x =； ∴点M 到OC 的最大距离=34×sin30°=313428⨯=；∵OC==∴13288MOCS∆=⨯⨯=；此时，M⎝⎭，最大面积为8；（3）∵∠OAP=∠BOC=∠BOA =30°，∴23=，∴直线AP与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2），当直线AP经过点（0）、（0，2）时，解析式为2y x=+，联立22y xy x⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得11xy⎧=⎪⎨=⎪⎩2253xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以点P的坐标为（3，53），当直线AP经过点（0）、（0，﹣2）时，解析式为2y x=-，联立223y xy x⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩解得11xy⎧=⎪⎨=⎪⎩22373xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以点P的坐标为（73-）．综上所述，存在一点P，5373），使∠OAP=∠BOA．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了折叠的性质，待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点的方法，（2）判断出点M到OC的距离最大是，平行于OC的直线与抛物线只有一个交点是解题的关键，（3）确定出直线AP的解析式是解题的关键．8．D解析：（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜103)；（2）1769或32【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H∵∠C=45°，DH⊥BC∴△DHC是等腰直角三角形∵四边形ABCD是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC－HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC ∴∠EFP=∠C=45° ∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形 ∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x ∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR ∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1 ∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10 则当y=2时，x=4，即AE=4 ∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．9．A解析：（1）O 半径为254；（2）①458AM =；②详见解析；③当1251017x <<时，有2220ND DM -<成立． 【解析】 【分析】（1）如下图，在Rt △ABH 中，先求得AH 的值，设OA=r ，在Rt △OBH 中，利用勾股定理可求得r 的长；（2）①如下图，在Rt BCN ，可求得BN 的长，然后在矩形NBHD 中，求得AD 的值，最后利用cos ∠MAD 求得AM ；②如下图，同过证AMN NFC △∽△可得结论；③如下图，通过转换，先得出222ND DM -=22AM MB DM ⋅这个等式，然后利用3sin 5DM MAD AM ∠==，设AM=x ，可得到关于x 的方程，进而求出x 的取值范围． 【详解】解：（1）如图1，连接OB ，∵AH 过圆心O ，∴AH BC ⊥， ∵AB AC =，∴162BH CH BC ===， 在Rt ABH △中，221068AH =-=，设半径OA OB r ==，则8OH r =-，在Rt OBH 中，222(8)6r r -+=， 解得254r =，即O 半径为254． （2）①如图2，连接CN在平行四边形CDEB 中，DE BC ∥，∴ENB NBC ∠=∠． ∵BN DE ⊥，即90ENB ∠=︒，∴90NBC ∠=︒． ∴CN 是O 的直径．2522CN r ==． ∴在Rt BCN 中，2272BN CN BC =-=． ∵四边形CDEB 是平行四边形，NB ⊥BH ，DH ⊥BH ∴四边形NBHD 是矩形， ∴72DH BN ==，6ND BH ==，∴79822AD AH DH =-=-=． ∴在Rt ADM △中，4cos 5AD AH MAD AM AB ∠===，∴458AM =， ②如图3，连接AN ，CN ，∵DE BC ∥，∴DNC NCB ∠=∠． ∵NAB NCB ∠=∠，∴NAB DNC ∠=∠．由DE BC ∥，AB AC =可得AMD ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠， ∴AMN NFC ∠=∠，AMAF =．∴AMN NFC △∽△，MB CF =． ∴NM NM AMCF MB NF==，即NM NF AM MB ⋅=⋅． ③∵AH BC ⊥，DE BC ∥，∴AD MF ⊥，∵AM AF =，∴MD DF =，∴222222ND DM ND DM DM -=--2()()ND DM ND DM DM =-+- 2NM NF DM =⋅-22AM MB DM =⋅．∵AM x =，∴10BM x =-，由3sin 5DM MAD AM ∠==，得35DM x =， ∴22223342(10)10525ND DM x x x x x ⎛⎫-=--=-+ ⎪⎝⎭．(010)x <<该函数图象的示意图如图4易求得点P 坐标为125,017⎛⎫⎪⎝⎭∴当1251017x <<时，有2220ND DM -<成立． 【点睛】本题考查几何图形的综合，解题过程中用到了勾股定理、相似、三角函数和平行四边形、圆的性质，解题关键是将这些知识点综合起来分析题干．10．（1）212(02)16(25)x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩；（2）220(01)2(1)(13)16(36)1x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤-⎩；（3）第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，最大相差6米/分钟；（4）存在，理由详见解析 【解析】 【分析】（1）将（1，2）代入21y ax =，得2a =，从而得到212y x =，再代入2x =求出18y =，即可得到反比例函数解析式，即可得解；（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出，故第二颗弹珠的解析式为20y =；再分别根据（1）中的结论，即可求出当13x <≤和36x <≤时第二颗弹珠的解析式；（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大，则第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，分别求出第2分钟末时两颗弹珠的速度，再相减即可的解；（4）第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到513米/分钟，第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分，故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同．可以根据速度相等时列方程求得时刻． 【详解】（1）当02x ≤≤时，将（1，2）代入21y ax =，得2a =，212y x ∴=，∵当2x =时，18y =， ∴当25x ≤≤时，116y x=， 1y ∴与x 的函数关系式为212(02)16(25)x x y x x⎧≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩；（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出， ∴第二颗弹珠的解析式为20y =；当13x <≤时，第二颗弹珠的解析式为222(1)y x =-；当36x <≤时，第二颗弹珠的解析式为2161y x =-； ∴2y 与x 的函数关系式为220(01)2(1)(13)16(36)1x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤-⎩；。
中考数学压轴题常考的9种题型汇总
中考数学压轴题常考的9种题型汇总中考数学是中学生们学习的一门重要科目，也是考生们备战中考的“拦路虎”。
其中，数学压轴题是重点考察的重要题型之一，也是考生们的“心头大患”，因为考生们往往不知道该如何应对此类题型。
为了帮助广大考生们更好地应对中考数学压轴题，本文将汇总9种常考的数学压轴题，希望能对广大考生们有所帮助。
一、三角函数三角函数是中考数学中的一个重点，也是中考数学压轴题中经常出现的题型之一，其考点主要包括基本周期、图像变化、周期、正负性、函数值等。
无论是求解绝对值、整体解还是部分解等，考生们都需要熟练掌握三角函数的相关知识点。
二、函数方程函数方程是中考数学压轴题中另一个常见的考点，其主要涉及到定义域、值域、反函数等知识点。
考生们需要掌握函数的概念和性质，也需要对函数的各种形式有充分了解。
三、平面向量平面向量是中考数学的考点之一，也是中考数学压轴题中的常见题型之一。
其考点主要包括平面向量的概念、平行向量、垂直向量、数量积、向量积等。
考生们需要掌握平面向量的相关定义和性质，以便在考试中得心应手地解答相关题目。
四、三视图三视图是中考数学中的一个重点考点，其主要涉及到空间几何的相关知识点，如直线与平面的垂直关系、平行关系、三视图之间的对应关系等。
考生们需要对立体几何有一定的了解。
五、三角形三角形是中考数学的重点考点之一，也是中考数学压轴题中经常出现的题型之一。
其考点主要包括三角形的性质、定理、构造、运用等。
考生们需要熟练掌握三角形的相关知识点，有能力分析和解决与三角形相关的各种问题。
六、统计图表统计图表是中考数学中另一个常见的考点，其主要涉及到数据的收集、整理、归纳和分析等。
考生们需要学习如何绘制各种统计图表，并且熟练掌握解读统计图表的各种方法。
七、集合运算集合运算是中考数学压轴题中的另一个重点考点，其主要涉及到集合的相关知识点，如集合的基本操作、代数运算、图形表示等等。
考生们需要熟练掌握集合的相关知识点，以便在考试中快速地解答相关题目。
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中考必做的36道压轴题中考数学九种题型归纳
中考数学是考生中难度最大的一个科目，掌握好一些中考的必考题型对于中考的发挥至关重要。
下文小编给大家整理了中考必做的一些经典题型归纳，供参考！
中考必做经典题型包括哪些一、计算题：
科学计数法、倒数相反数绝对值、简单概率运算、三视图求原图面积、三角形(相似、全等、内角外交关系)、统计(众数、中位数、平均数)、二次函数(顶点、对称轴、表达式)、函数图像关系
二、填空题：
因式分解、二次函数解析式求解、三角形(相似、周长面积计算)、坐标(坐标点运动规律)、直线和反比例函数图像问题
三、解答题：
次方、开方、三角函数、次幂(0次、-1次)计算;
求解不等式组;
分式、多项式化简(整体代入方法求值);
方程组求解;
几何图形中证明三角形边相等;
一次函数与二次函数;
四、解答题
四边形边长、周长、面积求解;
圆相关问题(切割线、圆周角、圆心角);
统计图;。