宏观经济学第三讲 无限期界与世代交叠模型
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(t ) r (t ) g c c(t )
欧拉方程
(t ) r (t ) C C (t )
该式意味着，如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费 的速率，每个工人的消费将上升。
10
三、经济的动态学
消费的 动态学
(t ) r (t ) g c c(t )
c
A
0 c
0 k
C D F E
A，B，C，D，F 五个初始点，经济 运动轨迹相同吗？
B
k*
k
12
五、贴现率下降
/ c [ f (k ) g ] / c 0 c f (k *) g
ρ 表示家庭对现期与未 来消费之间的偏好。ρ 下降意味着k*上升。
在t时期，由老年人拥有的资本与由年轻人供给的 劳动结合起来进行生产。老年人消费其资本收入与现 存财富。年轻人将劳动收入wtAt分配在消费和储蓄上。 他们把储蓄带入下一个时期，因此在t+1时期内的资 本存量Kt+1等于t时期的年轻人的数量Lt乘以他们的储 蓄wtAt-C1t。该资本量与下一代年轻人的劳动供给相结 合，生产持续进行。
c
资本的 动态学
(t ) f (k (t )) c(t ) (n g )k (t ) k
0 c
稳定臂
k*小于资本的黄金律水 平： 由ρ-n-(1-θ)g>0得到： ρ+θg >n+g
c*
稳态
0 k
非稳定臂 k* kG k
11
c与k的动态学：系统是鞍点路径稳定
四、c的初始位置
练习题
16
代蒙德模型与拉姆齐－凯斯－库普曼斯 模型的核心差异是存在人口的新老交替， 而非一个数量固定的永久性生存的家庭。
17
一、假设
• 由于存在新老交替，因此，假设时间是间断的而非 连续的。 • 该模型假设每个人只活两个时期。
– Lt表示t时期出生的个人。人口增长率为n，因此，Lt=Lt-1 （1＋n）。 – 由于人均生活两个时期，因此，在t时期，存在Lt个处于 他们生命第一时期的个人，并且存在Lt-1个处于他们生命 第二时期的个人。
个人的最大化问题：在预算约 束条件下分配两个时期的消费 和储蓄以使个人的效用达到最 大化。
C 1 C Max.U t 1 1 1 1 s.t.C1t C2t 1 At wt 1 rt 1
20
个人效用最大化：边际收益等于边际成本
个人效用函数： 各时期消费变化对 效用的影响（即边 际效用）：
f (k ) g / c c f (k ) c (n g )k k
c c c k
k k* c c*
0 f (k *)c *
k k* c c*
14
c c c k k c
24
贴现率下降的效应
k的动态变化方程：
1 1 kt 1 (1 )kt (1 n)(1 g ) 2
25
政府购买的变化
引入政府购买后，k的动态变化方程： 1 1 kt 1 (1 ) kt - Gt (1 n )(1 g ) 2
26
θ越高，随着消费的增加，边际效用就下降的越快，家 庭就越不愿意消费的波动。
6
二、家庭与厂商的行为
1、厂商
竞争性厂商获得零经济利润。 在竞争市场，且假设没有折旧，因此资本 报酬率等于其边际产品：
r (t ) f (k (t ))
wk.baidu.com
劳动的真实工资等于其边际产品：
W (t ) A(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t ))
收敛 速度
差分方程 的求解：
k的动态 方程为：
达到均 衡时： 在平衡 路径附 近线性 化：
第三讲 无限期界与世代交叠模型
1
本章概要
• 与索洛模型相似： • 本章的这两个模型依旧把劳动与知识当作外生的。 • 与索洛模型不同： • 模型从竞争性市场的最大化家庭与厂商的相互作用 中引出资本存量的演化，因而，储蓄不再是外生的。 • 在这两个模型中，经济总量的动态学由微观层次的 决策决定。
2
永久生存且数目固定的家庭供给劳动、持有 资本并进行消费和储蓄，又称无限期界模型。
rt
PV FVe 0
r ( ) d
t
FVe
R (t )
家庭的预算约束可以表示为：
t
0
e
R (t )
L(t ) K (0) C(t ) dt H H
t
0
e
R (t )
L(t ) W (t ) dt H
8
3、家庭最优化
家庭在预算约束限制下，选择消费的路径来最大化其终身效 用(通过构造拉格朗日函数计算)。 瞬时效用函数：
kt 1 1 1 (1 )kt (1 n)(1 g ) 2
k0
k1 k2 k*
k
t
在稳态，代蒙德模型的性质与索 洛和拉姆齐模型关于平衡增长路 径的性质相同：储蓄率不变，人 均产出增长率为g，资本－产出 比率不变。
k*是全局稳定的：给定k的任何 初始值，都会收敛于稳态值。
c c c c * k * k c c k k k k k c * k * k k c
c c A k c
系数矩阵的特征根为
三、经济的动态学
t+1时期的资本存量等于t时刻 年轻人的储蓄量 两边同时除以At+1Lt+1
Kt 1 s(rt 1 ) Lt At wt
1 kt 1 s(rt 1 ) wt (1 n)(1 g )
代换rt+1和wt得到单位有效劳动资本的动态方程（差分方程）
1 kt 1 s( f (kt 1 )) f (kt ) kt f (kt ) (1 n)(1 g )
1 C C C2 t 1 (1 r t 1) C 1
最优的个人 消费变化：
C2t 1 1 rt 1 C1t 1
1/
21
个人效用最大化：拉格朗日函数
构造拉格朗日函数，并根据一阶条件可以得到最优化条件。
1 1 C1 C 1 1 t 2t 1 L [ At wt (C1t C2t 1 )] 1 1 1 1 rt 1
U e u(C (t ))
t 0
L (t ) H (t )
dt
式中，C(t)表示t时刻家庭每个成员的消费。u( )是瞬时 效用函数。L(t)是经济中的总人口，因此，L/H等于每个家 庭的人口。u(C(t))L(t)/H是t时刻家庭的总瞬时效用。 ρ是时间偏好率，表示获得效用越晚价值越低。 ρ越大，则 相对于现期消费，家庭对未来的消费估价越小。
3
一、假设
1、厂商 • 存在大量的厂商，生产函数： • Y=F(K,AL) • A以g的速率外生地增长 • 家庭拥有企业，因此，企业产生的利润归于 家庭。
4
2、家庭
存在大量相同的家庭（H），家庭的规模以n的速率增长。家庭 拥有K（0）/H的初始资本。假设没有折旧。在每个时点上， 家庭将其收入在消费与储蓄之间进行分配，以便最大化其终身 效用。家庭的效用函数为：
C t
1
1
A 0 e 1
1
t gt c
1
1
1
家庭的效用函数：
B A 0 L 0 H
1
U B e
t 0
t
c t
n 1 g
1
dt
家庭预算约束：
t
0
e
R(t )
c( t) e
• 每个人在年轻的时候供给1单位的劳动，并且将劳 动收入在第一期的消费和储蓄之间进行分配；在第 二时期，个人只是消费其储蓄和利息。
18
在t时期出生的一个人的效用取决于两时期的消费。效用函 数为不变相对风险厌恶效用函数：
1 1 C1 C 1 2 t 1 Ut t 1 1 1 0, 1 该假设确保第二个时期的消费权数为正。
5
瞬时效用函数采取如下形式：
C (t ) u (C (t )) , 0, n (1 ) g 0 1
由于该函数的消费替代弹性为1/θ，因此被称为不变跨期 替代弹性效用函数。 边际效用弹性：消费 每增加1％，边际效用 下降的百分比。
1
du(c) c cu(c) dc u(c) u(c)
n g t
dt k 0
0
e
R(t )
w( t) e
n g t
dt
9
3、家庭最优化
家庭在预算约束限制下，选择消费的路径来最大化其终身效 用(通过构造拉格朗日函数计算)。 每单位有效劳动消 费的最优增长率： 每个工人的消费C(t)等于 A(t)c(t)，其增长率为：
1 1 C1 C 1 2t 1 Ut t 1 1 1
U t C1 t C1t
1t
U t 1 C2 t 1 C2t 1 1
在第一时期减少消费△C， 则第二时期消费增加 （1+rt+1）△C。最优化的个 人会调整消费变动使增加的 效用等于减少的效用。
当kt+1=kt=k*时，k达到均衡值（稳态）。
23
对数效用与柯布－道格拉斯生产
柯布－道格 拉斯函数
Y K ( AL)1
kt+1
kt+1 =kt
紧凑形式
y f (k ) k
稳态： k*=f(k*)
k* k2 k1
kt+1=f(kt)
w f (k ) kf (k ) (1 )k 当 =1时
19
二、家庭行为
在t时期出生的一个个人的第二时期的 消费为： 变化得到个人的预算约束：终生消费 的现值等于其初始财富（等于零）加 上终生劳动收入的现值。
C2t 1 (1 rt 1 )(wt At C1t )
1 C1t C2t 1 wt At 1 rt 1
1 1t 1 2 t 1
k*
k c
0 c
E’ E
0 k
ρ 下降与索洛模型中的储蓄率上升相似。 c在冲击时刻发生向下 跳跃，然后与k一起逐渐上升到其初始水平之上。与索洛模型不 同的是，在该模型中，储蓄在调整过程中将发生变化。
13
六、调整速度
模型的动态方程：
在平衡增长路径（c*,k*）附近进 行线性近似：
c c c ( c c *) c k ( k k *) k k k (c c*) (k k*) c k
c 0 k k 1 k
f (k *)c *
1 r1,2 2 4 f (k *)c * / 2 2 n (1 ) g
根号内的表达式为正，因此得到两个不等实根，系统为鞍 点路径稳定。其中的负根即为变量c、k向稳态收敛的速率。 15
C2t 1 1 rt 1 C1t 1
1/
储蓄率为
(1 r )(1 ) / s (r ) (1 )1/ (1 r )(1 ) /
当且仅当（1＋r) (1-θ)/θ关于r是递增的，储蓄率关于r是递增的。 当θ＞1时，s关于r是递减的；当θ＜1时， s关于r是递增的； θ ＝1时， s与r不相关。 r的上升同时具有收入效应和替代效应，当θ较小，替代效应占 22 主导，s上升；当θ较大，收入效应占主导，s下降。
每单位有效劳动的真实工资：
w(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t ))
7
2、家庭的预算约束
家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财 富与其终身劳动收入的现值之和。 连续计息的终值的贴现（贴现率为常数）： 当贴现率随时间变 化时的贴现值：
PV FVe
欧拉方程
(t ) r (t ) C C (t )
该式意味着，如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费 的速率，每个工人的消费将上升。
10
三、经济的动态学
消费的 动态学
(t ) r (t ) g c c(t )
c
A
0 c
0 k
C D F E
A，B，C，D，F 五个初始点，经济 运动轨迹相同吗？
B
k*
k
12
五、贴现率下降
/ c [ f (k ) g ] / c 0 c f (k *) g
ρ 表示家庭对现期与未 来消费之间的偏好。ρ 下降意味着k*上升。
在t时期，由老年人拥有的资本与由年轻人供给的 劳动结合起来进行生产。老年人消费其资本收入与现 存财富。年轻人将劳动收入wtAt分配在消费和储蓄上。 他们把储蓄带入下一个时期，因此在t+1时期内的资 本存量Kt+1等于t时期的年轻人的数量Lt乘以他们的储 蓄wtAt-C1t。该资本量与下一代年轻人的劳动供给相结 合，生产持续进行。
c
资本的 动态学
(t ) f (k (t )) c(t ) (n g )k (t ) k
0 c
稳定臂
k*小于资本的黄金律水 平： 由ρ-n-(1-θ)g>0得到： ρ+θg >n+g
c*
稳态
0 k
非稳定臂 k* kG k
11
c与k的动态学：系统是鞍点路径稳定
四、c的初始位置
练习题
16
代蒙德模型与拉姆齐－凯斯－库普曼斯 模型的核心差异是存在人口的新老交替， 而非一个数量固定的永久性生存的家庭。
17
一、假设
• 由于存在新老交替，因此，假设时间是间断的而非 连续的。 • 该模型假设每个人只活两个时期。
– Lt表示t时期出生的个人。人口增长率为n，因此，Lt=Lt-1 （1＋n）。 – 由于人均生活两个时期，因此，在t时期，存在Lt个处于 他们生命第一时期的个人，并且存在Lt-1个处于他们生命 第二时期的个人。
个人的最大化问题：在预算约 束条件下分配两个时期的消费 和储蓄以使个人的效用达到最 大化。
C 1 C Max.U t 1 1 1 1 s.t.C1t C2t 1 At wt 1 rt 1
20
个人效用最大化：边际收益等于边际成本
个人效用函数： 各时期消费变化对 效用的影响（即边 际效用）：
f (k ) g / c c f (k ) c (n g )k k
c c c k
k k* c c*
0 f (k *)c *
k k* c c*
14
c c c k k c
24
贴现率下降的效应
k的动态变化方程：
1 1 kt 1 (1 )kt (1 n)(1 g ) 2
25
政府购买的变化
引入政府购买后，k的动态变化方程： 1 1 kt 1 (1 ) kt - Gt (1 n )(1 g ) 2
26
θ越高，随着消费的增加，边际效用就下降的越快，家 庭就越不愿意消费的波动。
6
二、家庭与厂商的行为
1、厂商
竞争性厂商获得零经济利润。 在竞争市场，且假设没有折旧，因此资本 报酬率等于其边际产品：
r (t ) f (k (t ))
wk.baidu.com
劳动的真实工资等于其边际产品：
W (t ) A(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t ))
收敛 速度
差分方程 的求解：
k的动态 方程为：
达到均 衡时： 在平衡 路径附 近线性 化：
第三讲 无限期界与世代交叠模型
1
本章概要
• 与索洛模型相似： • 本章的这两个模型依旧把劳动与知识当作外生的。 • 与索洛模型不同： • 模型从竞争性市场的最大化家庭与厂商的相互作用 中引出资本存量的演化，因而，储蓄不再是外生的。 • 在这两个模型中，经济总量的动态学由微观层次的 决策决定。
2
永久生存且数目固定的家庭供给劳动、持有 资本并进行消费和储蓄，又称无限期界模型。
rt
PV FVe 0
r ( ) d
t
FVe
R (t )
家庭的预算约束可以表示为：
t
0
e
R (t )
L(t ) K (0) C(t ) dt H H
t
0
e
R (t )
L(t ) W (t ) dt H
8
3、家庭最优化
家庭在预算约束限制下，选择消费的路径来最大化其终身效 用(通过构造拉格朗日函数计算)。 瞬时效用函数：
kt 1 1 1 (1 )kt (1 n)(1 g ) 2
k0
k1 k2 k*
k
t
在稳态，代蒙德模型的性质与索 洛和拉姆齐模型关于平衡增长路 径的性质相同：储蓄率不变，人 均产出增长率为g，资本－产出 比率不变。
k*是全局稳定的：给定k的任何 初始值，都会收敛于稳态值。
c c c c * k * k c c k k k k k c * k * k k c
c c A k c
系数矩阵的特征根为
三、经济的动态学
t+1时期的资本存量等于t时刻 年轻人的储蓄量 两边同时除以At+1Lt+1
Kt 1 s(rt 1 ) Lt At wt
1 kt 1 s(rt 1 ) wt (1 n)(1 g )
代换rt+1和wt得到单位有效劳动资本的动态方程（差分方程）
1 kt 1 s( f (kt 1 )) f (kt ) kt f (kt ) (1 n)(1 g )
1 C C C2 t 1 (1 r t 1) C 1
最优的个人 消费变化：
C2t 1 1 rt 1 C1t 1
1/
21
个人效用最大化：拉格朗日函数
构造拉格朗日函数，并根据一阶条件可以得到最优化条件。
1 1 C1 C 1 1 t 2t 1 L [ At wt (C1t C2t 1 )] 1 1 1 1 rt 1
U e u(C (t ))
t 0
L (t ) H (t )
dt
式中，C(t)表示t时刻家庭每个成员的消费。u( )是瞬时 效用函数。L(t)是经济中的总人口，因此，L/H等于每个家 庭的人口。u(C(t))L(t)/H是t时刻家庭的总瞬时效用。 ρ是时间偏好率，表示获得效用越晚价值越低。 ρ越大，则 相对于现期消费，家庭对未来的消费估价越小。
3
一、假设
1、厂商 • 存在大量的厂商，生产函数： • Y=F(K,AL) • A以g的速率外生地增长 • 家庭拥有企业，因此，企业产生的利润归于 家庭。
4
2、家庭
存在大量相同的家庭（H），家庭的规模以n的速率增长。家庭 拥有K（0）/H的初始资本。假设没有折旧。在每个时点上， 家庭将其收入在消费与储蓄之间进行分配，以便最大化其终身 效用。家庭的效用函数为：
C t
1
1
A 0 e 1
1
t gt c
1
1
1
家庭的效用函数：
B A 0 L 0 H
1
U B e
t 0
t
c t
n 1 g
1
dt
家庭预算约束：
t
0
e
R(t )
c( t) e
• 每个人在年轻的时候供给1单位的劳动，并且将劳 动收入在第一期的消费和储蓄之间进行分配；在第 二时期，个人只是消费其储蓄和利息。
18
在t时期出生的一个人的效用取决于两时期的消费。效用函 数为不变相对风险厌恶效用函数：
1 1 C1 C 1 2 t 1 Ut t 1 1 1 0, 1 该假设确保第二个时期的消费权数为正。
5
瞬时效用函数采取如下形式：
C (t ) u (C (t )) , 0, n (1 ) g 0 1
由于该函数的消费替代弹性为1/θ，因此被称为不变跨期 替代弹性效用函数。 边际效用弹性：消费 每增加1％，边际效用 下降的百分比。
1
du(c) c cu(c) dc u(c) u(c)
n g t
dt k 0
0
e
R(t )
w( t) e
n g t
dt
9
3、家庭最优化
家庭在预算约束限制下，选择消费的路径来最大化其终身效 用(通过构造拉格朗日函数计算)。 每单位有效劳动消 费的最优增长率： 每个工人的消费C(t)等于 A(t)c(t)，其增长率为：
1 1 C1 C 1 2t 1 Ut t 1 1 1
U t C1 t C1t
1t
U t 1 C2 t 1 C2t 1 1
在第一时期减少消费△C， 则第二时期消费增加 （1+rt+1）△C。最优化的个 人会调整消费变动使增加的 效用等于减少的效用。
当kt+1=kt=k*时，k达到均衡值（稳态）。
23
对数效用与柯布－道格拉斯生产
柯布－道格 拉斯函数
Y K ( AL)1
kt+1
kt+1 =kt
紧凑形式
y f (k ) k
稳态： k*=f(k*)
k* k2 k1
kt+1=f(kt)
w f (k ) kf (k ) (1 )k 当 =1时
19
二、家庭行为
在t时期出生的一个个人的第二时期的 消费为： 变化得到个人的预算约束：终生消费 的现值等于其初始财富（等于零）加 上终生劳动收入的现值。
C2t 1 (1 rt 1 )(wt At C1t )
1 C1t C2t 1 wt At 1 rt 1
1 1t 1 2 t 1
k*
k c
0 c
E’ E
0 k
ρ 下降与索洛模型中的储蓄率上升相似。 c在冲击时刻发生向下 跳跃，然后与k一起逐渐上升到其初始水平之上。与索洛模型不 同的是，在该模型中，储蓄在调整过程中将发生变化。
13
六、调整速度
模型的动态方程：
在平衡增长路径（c*,k*）附近进 行线性近似：
c c c ( c c *) c k ( k k *) k k k (c c*) (k k*) c k
c 0 k k 1 k
f (k *)c *
1 r1,2 2 4 f (k *)c * / 2 2 n (1 ) g
根号内的表达式为正，因此得到两个不等实根，系统为鞍 点路径稳定。其中的负根即为变量c、k向稳态收敛的速率。 15
C2t 1 1 rt 1 C1t 1
1/
储蓄率为
(1 r )(1 ) / s (r ) (1 )1/ (1 r )(1 ) /
当且仅当（1＋r) (1-θ)/θ关于r是递增的，储蓄率关于r是递增的。 当θ＞1时，s关于r是递减的；当θ＜1时， s关于r是递增的； θ ＝1时， s与r不相关。 r的上升同时具有收入效应和替代效应，当θ较小，替代效应占 22 主导，s上升；当θ较大，收入效应占主导，s下降。
每单位有效劳动的真实工资：
w(t ) f (k (t )) k (t ) f (k (t ))
7
2、家庭的预算约束
家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财 富与其终身劳动收入的现值之和。 连续计息的终值的贴现（贴现率为常数）： 当贴现率随时间变 化时的贴现值：
PV FVe