Mathematica基础数学实验(2)

在父子身高问题中,
s 0 . 186697 0 . 432084 ,
2 S 37 . 0354 0 . 464569 171 . 6 xx
t ( n 2 ) t ( 8 ) 2 . 306 , / 2 0 . 025 1n x x 66 .8 . i n i 1
父亲身高 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 儿子身高 63.6 65.2 66.0 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70.0
设父亲身高为x, 儿子 身高为y. 显然, y与x有关系, 但这种关系并不是确定的, 即父亲身高x相同时其儿 子身高 y并不是确定的, 也 就是说, y 除受 x这一主要 素的影响外 , 还受到诸多随机因素的影响. 这种关系被 因 称为相关关系.
70 70
69 68 67
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65
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64
66ห้องสมุดไป่ตู้
68
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72
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在一般情况下, y为随机变量, 而 x为可控制或可 精确观察的变量, 如年龄, 身高, 温度, 压力, 时间等, 因 此不把x看作随机变量. 由于y为随机变量, 则对于x的每一个确定的值, 有 它的分布. 若 y 的数学期望 Ey 存在, 则 Ey 取值随 x 的 取值而定, 因此Ey是 x 的函数, 记作(x), 称(x)为 y 关 于 x 的回归. 由于(x)的大小在一定程度上反映在 x 处随机变 量 y 的观测值的大小, 因此, 如果能通过一组样本来估 计(x), 则在一定条件下我们就能解决如下问题: (1)在给定的置信度下, 估计出当 x 取某一确定值 时, 随机变量 y 的取值范围, 即所谓预测问题; (2)在给定的置信度下, 控制自变量 x 的取值范围, 使 y在给定范围内取值, 即所谓控制问题.
ANOVATable:方差分析表, DF: SumOfSq: MeanSq: Model:模型, 均方偏差 Error:误差, 自由度 平方和 Total:总和,
FRatio: F比
三、一元线性回归的预测区间: ˆ |y y | 0 0 由于 P { t ( n 2 )} 1 2 2 1( x x ) 0 0 s1 n S xx 则 y0的置信度为1–的预测区间为: 2 1( x x ) 0 ˆ ( y t ( n 2 ) s 1 ) 0 2 n S xx 其中s为均方差的估计值; y ˆ 0 为y在x0处的估计值; Sxx 为自变量x的偏差平方和, 可以用回归(或模型)的平方 ˆ 2 计算. 和除以b的估计值 b n 2 S ( x x ) xx k k 1 2 1( x x ) 0 ( x ) t ( n 2 ) s 1 0 2 n S xx 称为预测半径.
实验十四 回归分析简介
一、线性回归分析基本概念
数学建模的基本方法: 机理分析和测试分析. 由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的 限制, 无法分析实际对象内在的因果关系, 建立合乎机 理规律的数学模型.
通过对数据的统计分析, 找出与数据拟合最好的 模型. 回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一 类模型.
则预测半径为:
2 1( x x ) 0 ( x ) t ( n 2 ) s 1 0 2 n S xx
2 1( x 66 . 8 ) 2 . 306 0 . 4321 1 0 10171 . 6 由此公式, 当输入父亲的身高值, 即可推算出儿子身高 的估计值和预测区间. 当父亲身高为65.5英吋, 其子身高的估计值为66.41英 吋, 95%的预测半径为1.05, 置信区间为: (66.41–1.05, 66.41+1.05) (65.36, 67.46)
对于 x 的取定的一组不完全相同的值x1, x2, · · · , x n, 作独立的试验, 得到 n 对(一组)观察结果: (x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn), 其中 yi 是 x=xi 处对随机变量 y 的观测结果. 这 n 对观 察结果就是一个容量为 n 的样本. 由样本估计(x), 首先需要推测(x)的形式. 方法 一, 根据所述问题的实际意义, 可以知道(x)的形式; 方法二, 当自变量仅有一个时, 描绘出样本的散点图; 方法三, 试探性回归. 对于父子身高问题, 我们根本就不知道其关系的 形式, 但我们通过散点图, 发现儿子身高与父亲身高呈 线性关系, 因此可设: y = a + bx + 其中~N(0, 2), 即y~N(a + bx, 2), a, b, 与x无关.
简单介绍回归分析的数学原理和方法; 通过实例讨论如何选择不同类型的模型; 对软件得到的结果进行分析, 对模型进行改进.
例1：F.Galton断言:儿子的身高会受父亲身高的 影响, 但身高偏离父代平均水平的父亲, 其儿子身高有 回归子代平均水平的趋势. K.Pearson给出了如下样本(单位: 英吋):
回归方程: y ˆ = 35.9768+0.46457x. y 方差估计值为: s2 = 0.186697
模型可靠 性非常好.
输出结果的说明:
ParameterTable:参数表, Estimate: SE: TStat:T 系数估计 标准差 统计量
PValue: 检验统计量的概率值
RSquared:相关系数R2, AdjustedRSquared:修正的相关系数, EstimatedVariance:方差2的估计值s2.
二、线性回归分析计算
父子身高的线性回归分析表:
利用mathematica5.0软件包作线性回归:
<<Statistics`LinearRegression`(*调入线性回归软件包*) d={{60,63.6},{62,65.2},{64,66},{65,65.5},{66,66.9},{67,67.1}, {68,67.4},{70,68.3},{72,70.1},{74, 70}};(*输入数据*) Regress[d,{1,x},x}(*线性回归*)