北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
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高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)
a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，
北师大版数学高二-必修五课件 余弦定理(一)
重点突破
题型一 已知两边及夹角解三角形
例 1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，求角 A，B 和边 c 的
6＋ 2
6－ 2
值(cos 15°＝ 4 ，sin 15°＝ 4 )．
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，
π 4.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为__3______. 解析 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2aabb＝12， 又 B∈(0，π)，∴B＝π3.
解析答案
12345
5.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝1，b＝ 7，
c＝ 3，则 B＝____56_π_____.
自主学习
三角形中任何一边的 平方等于其他两边的平方的 和 减去这 文字语言
两边与它们的夹角的余弦的积的两 倍
a2＝b2＋c2－2bccos A，
符号语言 b2＝ a2＋c2－2accos B
，
c2＝a2＋b2－2abcos C
答案
cos A＝ b2＋c2－a2 ， 2bc
推论 cos B＝ a2＋c2－b2 ， 2ac
第二章 § 1 正弦定理与余弦定理
1.2 余弦定理(一)
学习 目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式，会利用向量的数量积证明余弦 定量. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 余弦定理及其证明 1.余弦定理的表示及其推论
(2)利用坐标法证明 如图，建立直角坐标系，则A (0,0，) B (ccos A，，cCsin A)
高中数学北师大版必修5《第2章 1 1.2 余弦定理》课件
25
【例 3】 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 2cos Asin
B＝sin C，确定△ABC 的形状． [解] 法一：由正弦定理得ssiinn CB＝bc，由 2cos Asin B＝sin C，有
cos A＝2ssininCB＝2cb. 又由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2， 所以2cb＝b2＋2cb2c－a2， 26
数学北师大版 高中数学
1.2 余弦定理
学习目标
核心素养
1.了解用向量数量积证明余弦定理的 1.通过余弦定理的推导提升逻
方法，体会向量工具在解决三角形度 辑推理素养．
量问题时的作用．(难点) 2．通过余弦定理在解三角形
2．掌握余弦定理，并能解决一些简 中的应用提升数学运算素养.
单的三角形度量问题．(重点)
28
1．(变条件)把例 3 的条件换为：b＝2ccos A，c＝2bcos A，判断 △ABC 的形状．
[解] 法一：由条件 b＝2ccos A，c＝2bcos A 得 cos A＝2bc＝2cb， 即 b＝c，把 b＝c 代入 b＝2ccos A 得 cos A＝12，所以 A＝60°，所以△ABC 是等边三角形．
23
化边为角：由正弦定理得 sin Acos A＝sin Bcos B，即 sin 2A＝sin 2B，故 2A＝2B 或 2A＋2B＝π，则 A＝B 或 A＋B＝2π，所以△ABC 是 等腰三角形或直角三角形．
24
4．判断三角形形状的基本思路是什么？ [提示] 思路一：从角的关系判定． 思路二：从边的关系判定． 思路三：从边与角的关系判定．
2
1．余弦定理 阅读教材 P49～P50 例 4 以上部分，完成下列问题．
【例 3】 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 2cos Asin
B＝sin C，确定△ABC 的形状． [解] 法一：由正弦定理得ssiinn CB＝bc，由 2cos Asin B＝sin C，有
cos A＝2ssininCB＝2cb. 又由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2， 所以2cb＝b2＋2cb2c－a2， 26
数学北师大版 高中数学
1.2 余弦定理
学习目标
核心素养
1.了解用向量数量积证明余弦定理的 1.通过余弦定理的推导提升逻
方法，体会向量工具在解决三角形度 辑推理素养．
量问题时的作用．(难点) 2．通过余弦定理在解三角形
2．掌握余弦定理，并能解决一些简 中的应用提升数学运算素养.
单的三角形度量问题．(重点)
28
1．(变条件)把例 3 的条件换为：b＝2ccos A，c＝2bcos A，判断 △ABC 的形状．
[解] 法一：由条件 b＝2ccos A，c＝2bcos A 得 cos A＝2bc＝2cb， 即 b＝c，把 b＝c 代入 b＝2ccos A 得 cos A＝12，所以 A＝60°，所以△ABC 是等边三角形．
23
化边为角：由正弦定理得 sin Acos A＝sin Bcos B，即 sin 2A＝sin 2B，故 2A＝2B 或 2A＋2B＝π，则 A＝B 或 A＋B＝2π，所以△ABC 是 等腰三角形或直角三角形．
24
4．判断三角形形状的基本思路是什么？ [提示] 思路一：从角的关系判定． 思路二：从边的关系判定． 思路三：从边与角的关系判定．
2
1．余弦定理 阅读教材 P49～P50 例 4 以上部分，完成下列问题．
2020-2021学年北师大版必修5 2-1-2 余弦定理 课件(54张)
整理得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0. 化简得(a2－b2)2＝c4. ∴a2－b2＝±c2， 即 a2＝b2＋c2 或 b2＝a2＋c2. 根据勾股定理的逆定理，知△ABC 是直角三角形．
类型四 利用余弦定理确定范围问题
【例 4】 设 2a＋1，a,2a－1 为钝角三角形的三边，求实数 a 的取值范围．
规律方法 本题易忽视构成三角形的条件 a＞2，而直接应用 余弦定理求解，从而使 a 的范围扩大．
在斜三角形 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， 且b2－aac2－c2＝csoinsAAc＋osCA.
(1)求角 A； (2)若csionsBC＞ 2，求角 C 的范围．
解：(1)∵b2－aac2－c2＝－2cosB，
【解】 ∵a＞c＞b，∴A 为最大角，由余弦定理的推论得： cosA＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×532×－572＝－12. 又∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.
∴sinA＝sin120°＝
3 2.
由 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝722＋×372×－352＝1114，
∴C 为锐角，sinC＝ 1－cos2C
∴cosA＝2ssiinnCB＝2cb. 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2， ∴b2＋c2－a2＝ c ，
2bc 2b ∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC 为等边三角形．
方法二：利用角的关系来判断． ∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)． ∵2cosAsinB＝sinC， ∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB， ∴sinAcosB－cosAsinB＝0， ∴sin(A－B)＝0. ∵0°<A<180°，0°<B<180°， ∴－180°<A－B<180°，
类型四 利用余弦定理确定范围问题
【例 4】 设 2a＋1，a,2a－1 为钝角三角形的三边，求实数 a 的取值范围．
规律方法 本题易忽视构成三角形的条件 a＞2，而直接应用 余弦定理求解，从而使 a 的范围扩大．
在斜三角形 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， 且b2－aac2－c2＝csoinsAAc＋osCA.
(1)求角 A； (2)若csionsBC＞ 2，求角 C 的范围．
解：(1)∵b2－aac2－c2＝－2cosB，
【解】 ∵a＞c＞b，∴A 为最大角，由余弦定理的推论得： cosA＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×532×－572＝－12. 又∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.
∴sinA＝sin120°＝
3 2.
由 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝722＋×372×－352＝1114，
∴C 为锐角，sinC＝ 1－cos2C
∴cosA＝2ssiinnCB＝2cb. 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2， ∴b2＋c2－a2＝ c ，
2bc 2b ∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC 为等边三角形．
方法二：利用角的关系来判断． ∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)． ∵2cosAsinB＝sinC， ∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB， ∴sinAcosB－cosAsinB＝0， ∴sin(A－B)＝0. ∵0°<A<180°，0°<B<180°， ∴－180°<A－B<180°，
高中数学必修五北师大版 正弦定理与余弦定理课件(32张)
三角形面积的计算 1 1 1 对于此类问题一般用公式 S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B 进行求 2 2 2 解． 将题目中的边角关系，用正、余弦定理转化为两边及夹角问题，注 意方程思想在解题中的应用．
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b＝acos C， 1 且△ABC 的最大边长为 12，最小角的正弦值为3. (1)试判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．
三角形的面积问题
[例 2] 积．
在△ABC 中，若 B＝30° ，AB＝2 3，AC＝2，求△ABC 的面
[分析] 先利用正弦定理求角或角的正弦值．
[解析]
由正弦定理得 sin C＝
3 . 2
∵AB>AC，∴C>B，则 C 有两解． ①当 C 为锐角时，C＝60° ，A＝90° ， 1 1 则 S＝2AB· AC· sin A＝2×2 3×2×1＝2 3. ②当 C 为钝角时，C＝120° ，A＝30° ， 1 1 1 则 S＝2AB· AC· sin A＝2×2 3×2×2＝ 3.
ab，则∠C的大小为(
)
A．60° B．90° C．120° D．150°
解析：∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab∴a2＋b2－c2＝－ab， a2＋b2－c2 1 即 ＝－ ， 2ab 2 1 ∴cos C＝－ ，∴∠C＝120° . 2
答案：C
2． 在△ABC 中， a＝7， b＝4 3， c＝ 13， 则△ABC 的最小角为( π π π π A.3 B.6 C.4 D.12
判断三角形形状的方法技巧 1．判断三角形的形状一般结论为锐角三角形、钝角三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形；
高中数学第二章解三角形第1节正弦定理与余弦定理1.2余弦定理课件北师大版必修5
第十七页，共39页。
【尝试解答】
由余弦定理得
cos
A
＝
b2＋c2－a2 2bc
＝
6＋2 32＋4 32－2 62 2×6＋2 3×4 3
＝36＋24483＋31＋2＋ 4848－24＝ 23，
∴A＝30°.
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32
第十八页，共39页。
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.
第十页，共39页。
(2)由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由正弦定理，得 sin A＝asibn B＝63×12＝1， 所以 A＝90°，C＝60°，当 a＝3 时，A＝30°，C＝120°.
第二十七页，共39页。
判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条 途径：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方 等得出边的相应关系；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用 A＋B＋ C＝π 这个结论.
6－ 2
2，
当 c＝
6＋ 2
2时，由余弦定理，
得 cos A＝b2＋2cb2c－a2
第十四页，共39页。
＝2＋ 2×
6＋ 2
2×
62＋2－23＝12. 2
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°，∴C＝75°.
当 c＝
6－ 2
2时，由余弦定理，得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋ 2×
【尝试解答】
由余弦定理得
cos
A
＝
b2＋c2－a2 2bc
＝
6＋2 32＋4 32－2 62 2×6＋2 3×4 3
＝36＋24483＋31＋2＋ 4848－24＝ 23，
∴A＝30°.
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32
第十八页，共39页。
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.
第十页，共39页。
(2)由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由正弦定理，得 sin A＝asibn B＝63×12＝1， 所以 A＝90°，C＝60°，当 a＝3 时，A＝30°，C＝120°.
第二十七页，共39页。
判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条 途径：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方 等得出边的相应关系；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用 A＋B＋ C＝π 这个结论.
6－ 2
2，
当 c＝
6＋ 2
2时，由余弦定理，
得 cos A＝b2＋2cb2c－a2
第十四页，共39页。
＝2＋ 2×
6＋ 2
2×
62＋2－23＝12. 2
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°，∴C＝75°.
当 c＝
6－ 2
2时，由余弦定理，得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋ 2×
高中数学《余弦定理》导学课件 北师大版必修5课件
【解析】∵a∶b∶c=2∶ 6∶( 3+1), ∴令 a=2k,b= 6k,c=( 3+1)k(k>0), 由余弦定理有:cos A=
b 2 +c 2 -a 2 6+( 3+1) -4 2bc
2
=
cos B=
2 6 ( 3+1) 2 2 c 2 +a 2 -b 2 4+( 3+1) -6 1 2ac
b 2 +c 2 -a 2 2bc
2 2
=- ,
2
1
∴A=120°,故 C=180°-120°-30°=30°; 当 c=6 时,cos A=
b 2 +c 2 -a 2 1 2bc 2
= ,
∴A=60°,故 C=180°-60°-30°=90°. 综上可知:A=60°,C=90°,c=6 或 A=120°,C=30°,c=3.
.. 导. 学 固思
问题1
上述问题中,山脚BC长度的求解用的是余弦定理,
余弦定理的内容是什么? 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平 方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,这 个定理是余弦定理,可以用式子表示为 2+c2-2bccos A 2+a2-2accos B b c 2 2 a= 、b = 、 c2= a2+b2-2abcos C .
【解析】cos B=
������ 2 +������ 2 -������ 2 2������������
=
������������
2������������ 2
= .
1
4.已知在△ABC中,a=8,b=7,B=60°,求c.
【解析】∵b2=c2+a2-2accos B, ∴72=c2+82-2×8ccos 60°, ∴c2-8c+15=0,故c=3或c=5.
b 2 +c 2 -a 2 6+( 3+1) -4 2bc
2
=
cos B=
2 6 ( 3+1) 2 2 c 2 +a 2 -b 2 4+( 3+1) -6 1 2ac
b 2 +c 2 -a 2 2bc
2 2
=- ,
2
1
∴A=120°,故 C=180°-120°-30°=30°; 当 c=6 时,cos A=
b 2 +c 2 -a 2 1 2bc 2
= ,
∴A=60°,故 C=180°-60°-30°=90°. 综上可知:A=60°,C=90°,c=6 或 A=120°,C=30°,c=3.
.. 导. 学 固思
问题1
上述问题中,山脚BC长度的求解用的是余弦定理,
余弦定理的内容是什么? 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平 方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,这 个定理是余弦定理,可以用式子表示为 2+c2-2bccos A 2+a2-2accos B b c 2 2 a= 、b = 、 c2= a2+b2-2abcos C .
【解析】cos B=
������ 2 +������ 2 -������ 2 2������������
=
������������
2������������ 2
= .
1
4.已知在△ABC中,a=8,b=7,B=60°,求c.
【解析】∵b2=c2+a2-2accos B, ∴72=c2+82-2×8ccos 60°, ∴c2-8c+15=0,故c=3或c=5.
高中数学北师大版必修五课件：1.2余弦定理
0.1691
所以
DAB 80
1. 在ABC中，已知a＝7，b＝10， c＝6，求A、B和C.
解：∵ cosA＝ ∴ A≈44° ∵ cosC＝ ∴ C≈36°
bb22＋＋cc22－－aa22 ＝0.725， 2bc
a2＋b2－c2 2ab
＝0.8071，
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
b
b2 2bc cos A c2
B
a
C
即a2 b2 c2 2bc cos A
同理可证b2 c2 a2 2ca cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍, 即
a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 a2 2ca cos B c2 a2 b2 2ab cos C
若a2 b2 c2，则C为锐角； 若a2 b2 c2，则C为钝角；
例4：如图,有两条直线AB和CD相交成80O角,交点是O.甲乙两人 同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分别为4km/h和 4.5km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1km)?
C Q
80O
BO
P
A
D
分析 经过3时,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点
2. ΔABC中，a=2，b=2 2 ，C=15°，解此三角形.
解：∵ c2 a2 b2 2ab cos C＝8－4 3
∴c＝ 6 2
∴cos B a2 c2 b2 ＝－ 2
2ac
2
∴B＝135°
∴ A＝ 180°－(B＋C) ＝ 30°
（１）余弦定理的内容． （２）余弦定理的证明 （ 3 ）余弦定理的应用
北师版数学高二北师大版必修5课件余弦定理(一)
明目标、知重点
2.余弦定理的推论
b2＋c2－a2
c2＋a2－b2
a2＋b2－c2
cos A＝ 2bc ；cos B＝ 2ca ；cos C＝ 2ab .
明目标、知重点
探要点·究所然 情境导学
我们知道已知两边和一边的对角， 或者已知两角和一角的对边能用正 弦定理解三角形，如果已知两边和 夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解 三角形求三个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们 就来学习余弦定理及其应用.
明目标、知重点
跟踪训练3 在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地
面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3m
以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )
A.200 m
B.300 m
C.400 m
D.100 3 m
解析 方法一 如图，△BED，△BDC为等腰三角形，
明目标、知重点
明目标、知重点
例 2 如图是公元前约 400 年古希腊数学家泰 特托斯用来构造无理数 2， 3， 5…的图形. 试计算图中线段 BD 的长度及∠DAB 的大小 (长度精确到 0.1，角度精确到 1°). 思考 根据图中标出的数据，你能求出∠BCD的大小吗？ 答 由△ABC中标出的数据知，△ABC为等腰直角三角形， 所以∠ACB＝45°，又因为∠ACD＝90°， 所以∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝45°＋90°＝135°.
明目标、知重点
小结 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他 两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍.即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.
明目标、知重点
2.余弦定理的推论
b2＋c2－a2
c2＋a2－b2
a2＋b2－c2
cos A＝ 2bc ；cos B＝ 2ca ；cos C＝ 2ab .
明目标、知重点
探要点·究所然 情境导学
我们知道已知两边和一边的对角， 或者已知两角和一角的对边能用正 弦定理解三角形，如果已知两边和 夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解 三角形求三个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们 就来学习余弦定理及其应用.
明目标、知重点
跟踪训练3 在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地
面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3m
以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )
A.200 m
B.300 m
C.400 m
D.100 3 m
解析 方法一 如图，△BED，△BDC为等腰三角形，
明目标、知重点
明目标、知重点
例 2 如图是公元前约 400 年古希腊数学家泰 特托斯用来构造无理数 2， 3， 5…的图形. 试计算图中线段 BD 的长度及∠DAB 的大小 (长度精确到 0.1，角度精确到 1°). 思考 根据图中标出的数据，你能求出∠BCD的大小吗？ 答 由△ABC中标出的数据知，△ABC为等腰直角三角形， 所以∠ACB＝45°，又因为∠ACD＝90°， 所以∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝45°＋90°＝135°.
明目标、知重点
小结 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他 两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍.即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.
明目标、知重点
高中数学必修五北师大版_1.2_余弦定理_课件(20张)
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
例1：如图所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点 是Ｏ.甲、乙两人同时从点Ｏ分别沿OA,OC方向出发，速 度分别是4km/h,4.5km/h.3小时后两人相距多远（结果精 确到0.1km）?
分析：经过3小时，甲到达点P，OP=4×3=12(km),乙 到达点Q，OQ=4.5×3=13.5(km).问题转化为在△OPQ 中，已知OP=12km，OQ=13.5km,∠POQ=80°，求 PQ的长.
提示：由余弦定理得 a 12 22 21 2cos 60o 3
2. ABC 的三边之比为 3:5:7，求这个三角形的最大角.
提示：
cos A 32 52 72 1 , A 120o 235 2
解： ∵三角形的三边之比为3:5:7，所以可以设三边分别 为3a,5a,7a.由正弦定理可得，7a所对的角最大,设 所对的角为A，则由余弦定理可得：
如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等 的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角 形.
从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹 角求三角形的另一边和两个角呢？
如图，已知三角形两边和它们的夹角，求三角形的另一边？
如图，在△已知a, b和∠C，求边c？
例 2:右图是公元前约 400 年古希腊数学家泰特托斯用来构造
无理数 2, 3, 5,...的图形.试计算图中线段 BD 的长度及
∠DAB 的大小（长度精确到 0.1,角度精确到 1°）
解：在△BCD 中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°. 因为 BD2 BC2 CD2 2BC CD cos BCD 12 12 211cos135o 2 2 .
例1：如图所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点 是Ｏ.甲、乙两人同时从点Ｏ分别沿OA,OC方向出发，速 度分别是4km/h,4.5km/h.3小时后两人相距多远（结果精 确到0.1km）?
分析：经过3小时，甲到达点P，OP=4×3=12(km),乙 到达点Q，OQ=4.5×3=13.5(km).问题转化为在△OPQ 中，已知OP=12km，OQ=13.5km,∠POQ=80°，求 PQ的长.
提示：由余弦定理得 a 12 22 21 2cos 60o 3
2. ABC 的三边之比为 3:5:7，求这个三角形的最大角.
提示：
cos A 32 52 72 1 , A 120o 235 2
解： ∵三角形的三边之比为3:5:7，所以可以设三边分别 为3a,5a,7a.由正弦定理可得，7a所对的角最大,设 所对的角为A，则由余弦定理可得：
如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等 的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角 形.
从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹 角求三角形的另一边和两个角呢？
如图，已知三角形两边和它们的夹角，求三角形的另一边？
如图，在△已知a, b和∠C，求边c？
例 2:右图是公元前约 400 年古希腊数学家泰特托斯用来构造
无理数 2, 3, 5,...的图形.试计算图中线段 BD 的长度及
∠DAB 的大小（长度精确到 0.1,角度精确到 1°）
解：在△BCD 中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°. 因为 BD2 BC2 CD2 2BC CD cos BCD 12 12 211cos135o 2 2 .
余弦定理课件ppt(北师大版必修五)
课前探究学习 课堂讲练互动
当 c＝ 6－ 2时，由正弦定理，得 2 6－ 2 · 6－ 2 c· sin A 2 sin C＝ ＝ ＝ ， a 4 2 2 ∴ C＝ 15° ，∴B＝180° － 15° － 45° ＝ 120° . 综上可知 c＝ 6＋ 2， B＝60° ， C＝ 75° 或 c＝ 6－ 2， B＝120° ，C＝ 15° . 法二 由正弦定理得
解
法一
2
由余弦定理 a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A 得
2 8＝ 12＋ c － 2× 2 3× c× ，整理得 c2－ 2 6c＋ 4＝ 0， 2 ∴ c＝ 6＋ 2或 c＝ 6－ 2.当 c＝ 6＋ 2时， 由正弦定理，得 2 6＋ 2 · 6＋ 2 c· sin A 2 sin C＝ ＝ ＝ ，∴ C＝ 75° ， a 4 2 2 由三角形内角和定理，得 B＝ 180° － 75° － 45° ＝ 60° .
－2a×3 3×cos 30° ，∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6.当 a＝3 时，A＝30° ，C＝120° .
课前探究学习 课堂讲练互动
1 6× asin B 2 当 a＝ 6 时，由正弦定理得 sin A＝ ＝ ＝1. b 3 ∴ A＝ 90° ，C＝ 60° . 法二 1 3 3 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝ 3 3× ＝ 知本题有两 2 2
课前探究学习 课堂讲练互动
名师点睛
余弦定理的理解 1． (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中 一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与 角的一种数量关系． (4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角 关系的互化．
当 c＝ 6－ 2时，由正弦定理，得 2 6－ 2 · 6－ 2 c· sin A 2 sin C＝ ＝ ＝ ， a 4 2 2 ∴ C＝ 15° ，∴B＝180° － 15° － 45° ＝ 120° . 综上可知 c＝ 6＋ 2， B＝60° ， C＝ 75° 或 c＝ 6－ 2， B＝120° ，C＝ 15° . 法二 由正弦定理得
解
法一
2
由余弦定理 a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A 得
2 8＝ 12＋ c － 2× 2 3× c× ，整理得 c2－ 2 6c＋ 4＝ 0， 2 ∴ c＝ 6＋ 2或 c＝ 6－ 2.当 c＝ 6＋ 2时， 由正弦定理，得 2 6＋ 2 · 6＋ 2 c· sin A 2 sin C＝ ＝ ＝ ，∴ C＝ 75° ， a 4 2 2 由三角形内角和定理，得 B＝ 180° － 75° － 45° ＝ 60° .
－2a×3 3×cos 30° ，∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6.当 a＝3 时，A＝30° ，C＝120° .
课前探究学习 课堂讲练互动
1 6× asin B 2 当 a＝ 6 时，由正弦定理得 sin A＝ ＝ ＝1. b 3 ∴ A＝ 90° ，C＝ 60° . 法二 1 3 3 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝ 3 3× ＝ 知本题有两 2 2
课前探究学习 课堂讲练互动
名师点睛
余弦定理的理解 1． (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中 一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与 角的一种数量关系． (4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角 关系的互化．
北师大版高中数学必修五课件1.2余弦定理
方法二：(利用正弦定理将边转化为角) ∵bcos A＝acos B，又 b＝2Rsin B，a＝2Rsin A， ∴2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， ∴sin(A－B)＝0.又∵0＜A，B＜π， ∴－π＜A－B＜π， ∴A－B＝0，即 A＝B， ∴△ABC 为等腰三角形．
[题后感悟] 判断三角形的形状，通常有两个途径： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因 式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间 的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断 出三角形的形状，此时要注意应用∠A＋∠B＋∠C＝π这个结 论．在两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应 移项提取公因式，以免漏解．
＝4＋8－2×2×2 2× 22＝4，∴c＝2，
∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2×2×8 2
＝ 2
22，
∴A＝45°，B＝180°－(A＋C)＝90°.
△ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，∠B＝30°，解三角形．
既可以先用正弦定理求出角C，再求其余的边和角，也 可以先由余弦定理列出边长a的方程．解出a后再用正弦定理 求角A和角C.
3.在△ABC 中，bcos A＝acos B，试判断△ABC 的形状．
解析： 方法一：(利用余弦定理的推论将角转化为边) ∵bcos A＝acos B， ∴b·b2＋2cb2c－a2＝a·a2＋2ca2c－b2， ∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2， ∴a2＝b2，a＝b， ∴△ABC 为等腰三角形．
(3)已知两边和它们的夹角，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦 定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个 角． (4)已知三角形的三边，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正 弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理， 求出第三个角． 要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中 一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解．
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PQ OP2 OQ2 2OPOQcosPOQ
122 13.52 21213.5cos800
16.4(km)
答 3时后两人相距约16.4km.
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
四、理论迁移 北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
1.已知两边及一角，求其他边和角
cosC a2 b2 c2 2ab
2.已知三边，求三个角
利用余弦定理可以解 决什么问题？
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
小试身手： 北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
已测得AC=8km,AB=5km,角
A=600，求山脚BC的长度
C
解：BC2 AB2 AC2 2AB AC cos 600
25 64 258 1 49 2
BC 7
B A
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
四、理论迁移 北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
例1：如图,有两条直线AB和CD相交成80O角,交点是O.
甲乙两人同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分
别为4km/h和4.5km/h.3时后两人相距多远(结果精确
C
到0.1km)? Q
80O
BO
P
A
D
分析 经过3时,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点
Q,OQ=4.5×3=13.5(km),问题转化为在△OPQ中,已知在 ABC 中，利用向量加法
或减法的三角形法则，可以得到
b
c
BC = __A_C__A_B_或__B_A__ AC
问题2、|
BC
|=
2
2
2
_B_C_____A_C___A_B___2
|
AC
||
AB
|
cos
AA
问题3、由上式可得，a 2=_b_2___c_2___2_b_c_c_o_s_A_______
例2、在ΔABC中，已知a=1，b＝2,c= 7 ，
求最大内角。1200
思考：如果例2已知条件不变，你能判断ΔABC 的形状吗？
结论：ΔABC中，C为最大角，
C是直角 C是锐角 C是钝角
c2=a2+b2 _c_2_<_a_2+_b_2_ _c_2_>_a_2+_b_2_
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
余弦定理 北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
问题3、你能得到什么样的结论？b2 a2 c2 2ac cosB
c2 a2 b2 2abcosC
问题4、当A为直角或钝角时，你的结论还成立吗？
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
三、定理探究，形成结论 北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
加辅助线构造直角三角形，在直角三 b
a
角形内通过边角关系作进一步的转化
工作,故作CD垂直于AB于D
问题1、在Rt△ADC中, CD =_b__si_n_A____A, Dc
B
AD=_b_c_o_s_A__,BD=_c___b_c_o_s_A__
问题2、在RtΔCBD中，a2=__b_2___c_2___2_b_c_cos A
C
B
A
实际问题转化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
在△ABC中，已知角A,边b,c,求边a.
C
a
B
思考
b
a (1)当恰好测得 A 900，则 =_______, (2)当A是任意角，怎么求边a ？
c
A
三、定理探究 在△ABC中，已知角A,边b,c,求边a.
合作探究一：我们必修四学过向量有关知识，思考
问题4、你还能得到什么样的结论？
b2 a2 c2 2ac cosB
c2 a2 b2 2abcosC
三、定理探究 在△ABC中，已知角A,边b,c,求边a. 北师大版高中数学必修5第一章1.2余弦定理课件(共18张PPT)
合作探究二:由于初中平面几何所接触 C
的是解直角三角形问题，所以可以添
一、复习回顾：
1、直角三角形中的边角关系： B
在RtABC中，C 900，a,b, c分别
c
是A, B, C所对的边，那么：
a
c2 a2 b2 , A B 900，b c cos A, C b A a c sin A等
2.用勾股定理可以解什么样的三角形？
二、创设情境，提出问题
隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技 术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、 C的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC 的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。
余弦定理：
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
b
a
c2 a2 b2 2ab cos C
Ac
B
余弦定理和勾股定理 之间有什么关系？
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定 理是余弦定理的特殊情形
OP=12km, OQ=13.5km,∠POQ= 80O,求PQ的长.
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
四、理论迁移 北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
解 经过3时后,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达 点Q,OQ=4.5×3=13.5(km).依余弦定理,知
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
五、课堂练习
1.在ABC中,已知a : b : c 3 : 5 : 7, 求这个三角形 的最大内角. 1200
2.在∆ABC中，A=600，b=4,c=7,求边a. 37
3.若三条线段的长为5,6,7，则用这三条线段（ B ）
122 13.52 21213.5cos800
16.4(km)
答 3时后两人相距约16.4km.
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
四、理论迁移 北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
1.已知两边及一角，求其他边和角
cosC a2 b2 c2 2ab
2.已知三边，求三个角
利用余弦定理可以解 决什么问题？
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
小试身手： 北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
已测得AC=8km,AB=5km,角
A=600，求山脚BC的长度
C
解：BC2 AB2 AC2 2AB AC cos 600
25 64 258 1 49 2
BC 7
B A
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
四、理论迁移 北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
例1：如图,有两条直线AB和CD相交成80O角,交点是O.
甲乙两人同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分
别为4km/h和4.5km/h.3时后两人相距多远(结果精确
C
到0.1km)? Q
80O
BO
P
A
D
分析 经过3时,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点
Q,OQ=4.5×3=13.5(km),问题转化为在△OPQ中,已知在 ABC 中，利用向量加法
或减法的三角形法则，可以得到
b
c
BC = __A_C__A_B_或__B_A__ AC
问题2、|
BC
|=
2
2
2
_B_C_____A_C___A_B___2
|
AC
||
AB
|
cos
AA
问题3、由上式可得，a 2=_b_2___c_2___2_b_c_c_o_s_A_______
例2、在ΔABC中，已知a=1，b＝2,c= 7 ，
求最大内角。1200
思考：如果例2已知条件不变，你能判断ΔABC 的形状吗？
结论：ΔABC中，C为最大角，
C是直角 C是锐角 C是钝角
c2=a2+b2 _c_2_<_a_2+_b_2_ _c_2_>_a_2+_b_2_
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
余弦定理 北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
问题3、你能得到什么样的结论？b2 a2 c2 2ac cosB
c2 a2 b2 2abcosC
问题4、当A为直角或钝角时，你的结论还成立吗？
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
三、定理探究，形成结论 北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
加辅助线构造直角三角形，在直角三 b
a
角形内通过边角关系作进一步的转化
工作,故作CD垂直于AB于D
问题1、在Rt△ADC中, CD =_b__si_n_A____A, Dc
B
AD=_b_c_o_s_A__,BD=_c___b_c_o_s_A__
问题2、在RtΔCBD中，a2=__b_2___c_2___2_b_c_cos A
C
B
A
实际问题转化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
在△ABC中，已知角A,边b,c,求边a.
C
a
B
思考
b
a (1)当恰好测得 A 900，则 =_______, (2)当A是任意角，怎么求边a ？
c
A
三、定理探究 在△ABC中，已知角A,边b,c,求边a.
合作探究一：我们必修四学过向量有关知识，思考
问题4、你还能得到什么样的结论？
b2 a2 c2 2ac cosB
c2 a2 b2 2abcosC
三、定理探究 在△ABC中，已知角A,边b,c,求边a. 北师大版高中数学必修5第一章1.2余弦定理课件(共18张PPT)
合作探究二:由于初中平面几何所接触 C
的是解直角三角形问题，所以可以添
一、复习回顾：
1、直角三角形中的边角关系： B
在RtABC中，C 900，a,b, c分别
c
是A, B, C所对的边，那么：
a
c2 a2 b2 , A B 900，b c cos A, C b A a c sin A等
2.用勾股定理可以解什么样的三角形？
二、创设情境，提出问题
隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技 术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、 C的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC 的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。
余弦定理：
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
b
a
c2 a2 b2 2ab cos C
Ac
B
余弦定理和勾股定理 之间有什么关系？
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定 理是余弦定理的特殊情形
OP=12km, OQ=13.5km,∠POQ= 80O,求PQ的长.
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
四、理论迁移 北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
解 经过3时后,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达 点Q,OQ=4.5×3=13.5(km).依余弦定理,知
北师大版高中数学必修5第一章 1.2余弦定理课件(共18张PPT)
五、课堂练习
1.在ABC中,已知a : b : c 3 : 5 : 7, 求这个三角形 的最大内角. 1200
2.在∆ABC中，A=600，b=4,c=7,求边a. 37
3.若三条线段的长为5,6,7，则用这三条线段（ B ）