一笔画和最短路线问题

独立完成练习1、2、3、4
一笔画原理：
一个图如果可以一笔画成，那么这个图 中奇数顶点的个数不是0就是2。
在七桥问题中，如果允许你再架一座 桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？这 座桥应该架在哪里？请你试一试！ A C B
D
见12
用什么方法变“不能一笔画”改成“一笔画”
把“奇点”改成“偶点”，剩2个奇点或0个奇
练习1
观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪 些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明 画法.
练习题答案
（1）图：不能一笔画，因为此图不是连通图。 （2）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A、B、C、D。 （3）图：可以一笔画，因为没有奇点； 画法可以是：A→B→C→D→E→F→G→H→ B→I→C→E→J→F→H→A。 （4）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点。
“内部”与“外部”
“内部”与“外部”是拓扑 学中很重要的一组概念
以下有趣的故事，将增加你 对这两个概念的理解：
传说古波斯穆罕默德的继承人 哈里发，有一位才貌双全的女儿。 姑娘的智慧和美貌，使许多聪明英 俊的小伙子为之倾倒，致使求婚者 的车马络绎不绝。哈里发决定从中 挑选一位才智超群的青年为婿。于 是便出了一道题目，声明说：谁能 解出这道题，便将女儿嫁给谁！
哈里发的失算，却是可以用拓扑学的知 识加以证明的。其所需之概念，只有“内部” 与“外部”两个。事实上，我们很容易用线 把①一①、②一②连起来。明眼的读者可能 已经发现：我们得到了一条简单的闭曲线， 这条曲线把整个平面分为内部(阴影部分)和 外部两个区域。其中一个③在内部区域，而 另一个③却在外部区域，要想从闭曲线内部 的③，画一条弧线与外部的③相连，而与已 画的闭曲线不相交，这是不可能的！这正是 哈里发悲剧之所在。
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
D D1 C1
2
D1
C1
1
A1
B1
4
①
②
A B 2
C1
1
D
C
2 4
③
C
A 1 A1
4
B1
A
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
AC1 =√52+22 =√29
A 5
1
3
A
5
C
12 B ∵ AB2=AC2+BC2=169, ∴ AB=13.
B
三、正方体中的最值问题
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出 发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. （A）3 （B） √5 （C）2 （D）1
2
B C
C
1
B
A
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把 正方体展开成平面图形（如图）.
每条边都只画一次，不准重复。
能够一笔画的图形必须是连通图形。
偶点:与偶数条边相连的点叫偶点。
Ａ Ｂ
奇点:与奇数条边相连的点叫奇点。
Ｄ Ｅ
Ｆ
图形
奇点个数
偶点个数
能否一笔画
0 0 4 0
4 5 1 7
能 能 不能 能
1、奇点个数为0的连通图是一笔画图形。 可任选一点为起点，起点和终点为 同一点。
下面哪些图形可以一笔画出?
小 结： 把几何体适当展开成平面图 形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D A 4 C1 1 B1 C 2 B
点A 是 在 内 部 还 是 外 部
瓶不 ”分 内 外 的 “ 克 莱 因
例5、假如直线AB是一条公路，在路两侧 有甲、乙两个村子，现在要在公路上修 一个公共汽车站，让这两个村的人到车 站的路线之和最短。问车站应修建在什 么地方？
三角形的两边之和大于第三边 连接两点的所有线中，直线段最短
A A B C E （５） D
D
B
（６）
C
（7）
（８）
图形
奇点个数
偶点个数
能否一笔画
2 2 2 4
3 2 1
能 能 能 不能
5
2、奇点数为２，偶点数为任意的连通 图是一笔画图形。 可选其中一个奇点做起点，而终点一定 是另一个奇点，即一笔画后不可以回到 出发点。
现在七桥问题可以解决了吗？
A
B
四个点都是奇点
生活中的“一笔画”问题
甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走遍 所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最 1.图中有两个奇点：A和C. 后都回到邮局（C）。如果要选择最短的线路， 谁先回到邮局？ 2.以A、C两点分别作为起点和
终点而一笔画成
邮 局 乙
3. 甲可以从A出发， 甲 不重复地走遍所有的街道， 最后到达C

公理是从实践中总结出来的任何人都承认的 原始道理。当然，有同学会想：“你那个公 理我不承认行不行呢?”那可不行，比如图（1） 中，有一只鸡在B点觅食，你在A点处放一些 米，那么鸡一定会沿直线AB跑过来吃食，决 没有一只蠢鸡沿B→C→A或沿B→D→A的线 路跑过来。这表明：公理不但人类公认，连 动物界也都遵循它。
D
A
B
C
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这个问题看起来是这样的简单，人人都乐意 是尝试，但没有找到合适的路线。 问题传开后，许多欧洲有学问的人也参与思 考，同样是一筹莫展，有人想到了当时正在俄国 圣彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮 助解决。 欧拉依靠他深厚的数学功底，运用娴熟的变 换技巧，经过一年的研究，于1736年递交了一份 题为《哥尼斯堡七座桥》的论文，圆满地解决了 这一问题。
18世纪风景秀丽的哥尼斯堡（位于立陶宛与波兰之间，现属俄罗 斯）中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建 有七座桥（如图），城中的居民经常沿河过桥散步，不知从什么时 候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传 开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次？ 最后是否仍能回到出发点？ 这就是数学史上著名的七桥问题。
一条头尾相连且自身 不相交的封闭曲线，把橡皮 膜分成两个部分。如果我们 把其中有限的部分称为闭曲 线的“内部”，那么另一部 分便是闭曲线的“外部”。 从闭曲线的内部走到闭曲线 的外部，不可能不通过该闭 曲线。因此，无论你怎样拉 扯橡皮膜，只要不切割、不 撕裂、不折叠、不穿孔，那 么闭曲线的内部和外部总是 保持不变的!
拓扑学研究的课题是极为有趣的。 在拓扑学中人们感兴趣的只是图形的位置而不是它的 大小。有人把拓扑学说成是橡皮膜上的几何学是很恰当的。 因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、 面积等等都将发生变化。此时谈论“有多长？”、“有多 大？”之类的问题，是毫无意义的!
不过，在橡皮膜几何里也有一些图形的性质保持不 变。例如点变化后仍然是点；线变化后依旧为线；相交的 图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交!
造桥选址问题:
如图, A,B两地在一条河的两岸, 现要在 河上造一座桥MN, 桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是 平行的直线,桥要与河垂直)
平行且相等的原理
利用勾股定理 求解几何体的最短路线长
一、台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？
.
解决“最短”问题的总思路：
化曲为平，化折为直
解决 “最短” 问题的方法：
1. 轴对称法 2. 平行四边形法 3. 旋转法
生活中的“一笔画”问题
练习10、11
练习17、18
橡皮膜上的几何学
在《哥尼斯堡七桥》问题中，读者 已经看到了一种只研究图形各部分位置 的相对次序，而不考虑它们尺寸大小的 新几何学。莱布尼兹(Leibniz，1646～ 1716)和欧拉为这种“位置几何学”的发 展奠定了基础。如今这一新的几何学， 已经发展成一门重要的数学分支 ——拓扑学
拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上 保持不变性质的几何学
请大家思考：“串”、“田”两字， 在橡皮膜上可变为什么图形
拓扑学是在19世纪末兴起并在20世纪 蓬勃发展的数学分支，与近世代数、近代 分析共同成为数学的三大支柱。 拓扑学已在物理、化学、生物一些工 程技术中得到越来越广泛的应用。拓扑学 主要研究几何图形在一对一的双方连续变 换下不同的性质，这种性质称为“拓扑性 质”。 以下我们将复杂的拓扑学知识应用到 简单的游戏中，使观众在游戏中了解拓扑 学的特性，并学习到相关知识。
欧拉解决这个问题的方法非常巧妙。他认为：人们关 心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长 而桥则可 短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点， 以看成是连接这些点的一条线。这样，一个实际问题就转 化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了。
A
B
所谓图的一笔画，指的是：从图的一点出发，笔不离纸，
将军饮马问题:
我们看看海伦是怎么 古希腊一位将军 解决的。海伦发现这 要从A地出发到河边 是一个求折线和最短 的问题。已知两点间 L去饮马，然后再回 直线段最短。那么， 到驻地B. 显然有许 显然要把折线变成直 多走法． 问怎样选 线再解。如果直接连 择饮马地点， 才能 AB，与l不会相交。怎 么办呢？ 使路程最短?
L
将军饮马问题
原来海伦解决本问题时，是利用作对称 点把折线问题转化成直线问题求解的。后来 这一方法已形成了思想，它在解决许多问题 中都在起作用。现在人们把凡是用对称点来 实现解题的思想方法叫对称原理。（拉直方 法）
独立完成5、6 第5题是把对称原理连续使用了两次
较复杂的最短路线问题
独立完成14、13
（Leonhard Euler 公元1707-1783年） 欧拉
欧拉出生在牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读 巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世 纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把 数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的 数学家，圣彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十 七年。 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环 境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁 边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目 失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间， 他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟大数学家高 斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了 解数学的最好方法．"

哈里发的题目是这样的：请用线把 下图中写有相同数字的小圆圈连接起 来，但所连的线不许相交，也不许与 图中的线相交
上述问题的解决，似乎不费吹灰 之力。但实际上求婚者们全都乘兴 而来，败兴而去！ 据说后来哈里发终于醒悟，发现 自己所提的问题是不可能实现的， 因而后来又改换了题目。也有的说， 哈里发固执已见，美丽的公主因此 终生未嫁。事情究竟如何，现在自 然无从查考。
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生活中的“一笔画”问题 需要顺便提到的是：既然可 由一笔画画成的脉络，其奇点个 数应不多于两个，那么，两笔划 或多笔划能够画成的脉络，其奇 点个数应有怎样的限制呢？我想， 聪明的读者完全能自行回答这个 问题。
生活中的“一笔画”问题

例3 练习9

一般地，我们有： 含有2n(n>0)个奇点的脉络，需要n笔划画成。