北京四中中考数学全真试卷5套

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2022年北京四中中考数学综合复习试题及答案解析

2022年北京四中中考数学综合复习试卷1. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，它的1%用科学记数法表示正确的是( )A. 3.2×10−10B. 3.2×10−8C. 3.2×10−7D. 3.2×10−92. 如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D.3. 若n边形的内角和为1440°，则n的值是( )A. 8B. 9C. 10D. 114. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=1BC.图中相似三角形共4有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5. 把抛物线y=x2+1向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线表达式为( )A. y=(x+3)2−1B. y=(x−3)2−2C. y=(x−3)2+2D. y=(x−3)2−16. 如图，随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为( )A. 12B. 14C. 13D. 197. 下列命题中，其中正确命题的个数为个．( )①有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；②三角形的三边分别为a，b，c若a2+c2=b2，则∠C=90°③在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形．A. 0B. 1C. 2D. 38. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位：m3)与旋钮的旋转角度x(单位：度)(0≤x≤90)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为( )A. 37.5°B. 40°C. 52.5°D. 55°9. 分解因式：12ax2+a2x+12a3=______ ．10. 命题：“如果a=b，那么3a=3b”的逆命题是______，该逆命题是______(填“真”或“假”)命题．11. 如图，∠ABC=45°，AC=5，H是高AD和BE的交点，则线段BH长为______ ．12. 如图，点A 是函数y 1=−6x 图象上一点，连接AO 交反比例函数y 2=kx (k ≠0)的图象于点B ，若BO =2AB ，则k =______．13. 关于x 的一元二次方程x 2−mx +3m =0有两个相等的实数根，则实数m 的值为______ ．14. 等边△ABC 的边长为2，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，连结AQ ，CP 交于点O.以下结论：①若AP =BQ ，则∠AOP =60°；②若AQ =CP ，则∠AOC =120°；③若点P 和点Q 分别从点A 和点C 同时出发，以相同的速度向点B 运动(到达点B 就停止)，则点O 经过的路径长为√3.其中正确的是______(填序号)．15. Rt △ABC 的两条直角边的长分别为4、5，则它的斜边长为______．16. 如图，在四边形ABCD 中，AB =5，∠A =∠B =90°，O 为AB 中点，过点O 作OM ⊥CD 于点M.E 是AB 上的一个动点(不C 与点A ，B 重合)，连接CE ，DE ，若∠CED =90°且CE DE=43.现给出以下结论：(1)△ADE 与△BEC 一定相似；(2)以点O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，则⊙O 与CD 可能相离；(3)OM 的最大值是52；(4)当OM 最大时，CD =12524．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)17. 计算：√36−√643+√(−4)2．18. 因式分解：(1)−3ma 2+6ma −3m ； (2)9(m +n)2−16(m −n)2；(3)解不等式组{5x −6≤2(x +3)x 4−1<x−33，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 如图，在▱ABCD 中，AB <BC ，以点A 为圆心，AB 长为半径作圆弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于BF 的一半长为半径作圆弧，两弧交于一点P ，连结AP 并延长交BC 于点E ，连结EF ．(1)四边形ABEF 是______(填“矩形”、“菱形”、“正方形”或“无法确定”)(直接填写结果)，并证明你的结论．(2)AE 、NF 相交于点O ，若四边形ABEF 的周长为40，BF =10，则AE 的长为______，∠ADC =______°，(直接填写结果)20. 先化简，再求值：a 2−a(a−1)2−a+1a ，其中a =12．21. 如图，点A ，B ，C ，D 在一直条直线上，AB =CD ，AE//BF ，CE//DF.求证：AE =BF ．22. 从地面竖直上抛物体，已知物体离地面高度ℎ(米)和抛出时间t(秒)符合关系式ℎ=v 0t −12gt 2，其中v 0是竖直上抛时的初速度，重力加速度g 以10米/秒 2计算．设v 0=20米/秒的初速度上升，(1)抛出多少时间物体离地面高度是15米？ (2)抛出多少时间以后物体回到原处？(3)抛出多少时间物体到达最大高度？最大高度是多少？23. 小林为探索函数y=3(x>2)的图象与性质经历了如下过程x−2(1)列表：根据表中x的取值，求出对应的y值，将空白处填写完整x… 2.53 3.54 4.55…y…6______ 2______ 1.21…(2)以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点并画出函数图象．(3)若函数y=2x的图象与y=3(x>2)的图象交于点P(x0,y0)，且n<x0<n+1(n为正整x−2数)，则n的值是______．24. 如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E是AD⏜的中点，过点A作⊙O的切线交BD 的延长线于点F.连接AE并延长交BF于点C．(1)求证：AB=BC；(2)如果AB=5，tan∠FAC=1，求FC的长．225. 某中学组织全校1000名学生参加了有关“低碳环保”知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩，并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图(不完整)．分组/分频数频率50<x≤6010a60<x≤70b70<x≤800.280<x≤90520.2690<x≤1000.37合计1请根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)直接写出频数分布表中a，b的值，补全频数分布直方图；(2)学校将对成绩在90分以上(不含90分)的学生进行奖励，请估计全校1000名学生中约有多少名获奖？26. 已知二次函数y=ax2+2x的图象过点(−2,−1)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)判断点(−1,−3)是否在抛物线上．427. (1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°(如图①).求证：EB=AD；(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”，其它条件不变，则EB的值是多少？(直AD接写出结论，不要求写解答过程)28. 已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AO，垂足为点E，连接AD，点N是AD上一点，连接CN 交AE于点F，延长CN交⊙O与点M，连接AM，MD．(1)如图1，求证：∠AMC=∠MCD+∠ADM；(2)如图2，连接BC，过点A作AG⊥AD交⊙O与点G，求证：AG=BC；(3)如图3，在(2)的条件下，AN=ND，延长CM至点K，MK=2MN=6，FE=3，连接KA，GC，并延长KA，GC交于点H，求HG的长．答案和解析1.【答案】D【解析】解：0.00000032×1%=0.0000000032=3.2×10−9．故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2.【答案】B【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：B．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】C【解析】解：根据题意得(n−2)×180°=1440°，解得n=10．故选C．利用多边形内角和定理得到(n−2)×180°=1440°，然后解方程可求出n的值．本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：(n−2)⋅180(n≥3)且n为整数)；多边形的外角和等于360度．4.【答案】C【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，又由DE=CE，FC=1BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边4成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．【解答】解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，∵DE=CE，FC=1BC，4∴DE：CF=AD：EC=2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，∴AE：EF=AD：DE，即AD：AE=DE：EF，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠CEF+∠AED=90°，∴∠AEF=90°，∴∠D=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．5.【答案】A【解析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.先确定抛物线y=x2+1的顶点坐标为(0,1)，再求出点(0,1)平移后所得对应点的坐标为(−3,−1)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为(0,1)，把点(0,1)向左平移3个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为(−3,−1)，所以平移后的抛物线表达式为y=(x+3)2−1．故选A．6.【答案】B【解析】解：∵如图所示的正三角形，∴∠CAB=60°，∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，设OB=a，则OA=2a，则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为πa2π(2a)2=14．故选：B．针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．考查了几何概率，关键是得到内切圆的面积与外切圆面积的比．7.【答案】C【解析】解：①有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形，正确，符合题意；②三角形的三边分别为a，b，c若a2+c2=b2，则∠B=90°，故原命题错误，不符合题意；③在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形，正确，符合题意，正确的有2个，故选：C．利用直角三角形的判定方法判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的判定方法，难度不大．8.【答案】B【解析】解：由图象可得，该函数的对称轴x>25+502且x<50，∴37.5<x<50，∴此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，故选：B．根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.【答案】12a(x+a)2【解析】解：原式=12a(x2+2ax+a2)=12a(x+a)2．故答案为：12a(x+a)2原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10.【答案】如果3a=3b，那么a=b真【解析】解：根据题意得：命题“如果a=b，那么3a=3b”的条件是如果a=b，结论是3a=3b，故逆命题是如果3a=3b，那么a=b，该命题是真命题．故答案为：如果3a=3b，那么a=b，真．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．也考查了命题的真假判断．11.【答案】5【解析】解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，BE⊥AC，∴AD=BD，∠ADB=BEA=90°．∵∠2=∠AHE，∠1+∠2=90°，∠3+∠AHE=90°，∴∠1=∠3(等角的余角相等)在△ADC和△BDH中，{∠3=∠1AD=BD∠ADC=∠BDH，∴△ADC≌△BDH(ASA)，∴BH=AC=5，故答案是：5．由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，根据ASA，可证△ADC≌△BDH，根据全等三角形的对应边相等，可得答案．．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS等．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．12.【答案】−83【解析】解：设点A的坐标为(−m,n)，∵OB=2AB，∴OB OA =23，∴点B的坐标为(−23m,23n)，∵点A在函数y1=−6x的图象上，∴mn=6，∵点B在反比例函数y2=kx的图象上，∴k=−23m⋅23n=−49mn=−49×6=−83，故答案为−83设点A的坐标为(−m,n)，根据题意用m和n表示出点B的坐标，整体代入求出k的值．本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，此题难度不大．13.【答案】0或12【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−mx+3m=0有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=m2−12m=0，解得：m=12或m=0．故答案为：0或12．若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2−4ac=0，建立关于m的不等式，求出m的值即可．此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．14.【答案】①③【解析】解：①如图，在△APC和△BQA中，{AP=BQ∠PAC=∠B AC=BA，∴△APC≌△BQA(SAS)，∴∠PAO=∠ACP，∴∠AOP=∠OAC+∠ACO=∠PAC=60°，故①正确；②当AQ=CP时，存在两种情况，如图，故②错误；③如图，∵{AP=CQ∠CAP=∠QCA AC=AC,∴△PAC≌△QCA(SAS)，∴∠ACP=∠CAQ，∴OA=OC，∴点O在AC的中垂线上运动，当P、Q停止时，点O的运动轨迹为AC边上的中线，∵AB=2，∴点O经过的路径长为√3，故③正确．故答案为：①③．利用SAS证明△APC≌△BQA，得∠PAO=∠ACP，可说明①正确；当AQ=CP时，存在两种情况，如图，故②错误；利用SAS证明△PAC≌△QCA，得∠ACP=∠CAQ，则OA=OC，故点O在AC的中垂线上运动，可说明③正确．本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，利用全等三角形的性质得出OA=OC，从而确定点O的运动路径是解题的关键．15.【答案】√41【解析】解：由勾股定理得：斜边长为√42+52=√41，故答案为：√41．利用勾股定理即可求出斜边长．本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的内容是关键．16.【答案】(1)(3)(4)【解析】解：∵∠A=∠B=90°，∠CED=90°，∴∠AED=∠BCE，∴△ADE∽△BEC，故(1)正确；∵CE DE =43，∴DE<CE，①当点E在线段BO上时，如图，∵OM⊥CD，且OM<OA，∴⊙O与CD相交；②当点E与圆心O重合时，如图，∵OM⊥CD，且OM=OA，∴⊙O与CD相切；③当点E在线段OA上时，如图，∵OM⊥CD，且OM<OA，∴⊙O与CD相交；综上，⊙O与CD相交或相切；故②错误；AB=由(2)可知，当点E与圆心O重合时，⊙O与CD相切，如图，此时OM的值最大，且OM=OA=125，2故(3)正确；(4)当OM最大时，如图，∵CE DE =43，∴设CE=4x，DE=3x，且x>0，∵∠CED=90°，∴CD=√CE2+DE2=√(4x)2+(3x)2=5x，∵S△CDE=12CE⋅DE=12CD⋅OM，∴1 2×4x×3x=12×5x×52，解得：x=2524，∴CD=5x=5×2524=12524，即OM最大时，CD=12524，故(4)正确，∴正确的是(1)(3)(4)，故答案为：(1)(3)(4)．利用△ADE∽△BEC，故(1)正确；根据点E在线段AB上的位置，分三种情形，分别通过画图可知，⊙O与CD相交或相切；由(2)可知，当点E与圆心O重合时，⊙O与CD相切，此时OM的值最大，从而可判断(3)成立；设CE=4x，DE=3x，根据△CED的面积可得方程，从而求出CD的长．本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，通过点E的位置进行分类讨论，判断出CD与⊙O的位置关系是解题的关键．17.【答案】解：原式=6−4+4=6．【解析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：(1)原式=−3m(a 2−2a +1)=−3m(a −1)2；(2)原式=[3(m +n)+4(m −n)][3(m +n)−4(m −n)]=(7m −n)(−m +7n)；(3){5x −6≤2(x +3)①x 4−1<x−33②，由①得：x ≤4，由②得：x >0，∴不等式组的解集为0<x ≤4，表示在数轴上，如图所示：．【解析】(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；(2)原式利用平方差公式分解即可；(3)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，因式分解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.【答案】(1)菱形；(2)10√3；120．【解析】解：(1)在△AEB 和△AEF 中，{AB =AF ∠EAB =∠EAF AE =AE，∴△AEB≌△AEF ，∴∠EAB=∠EAF，∵AD//BC，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．∵AF//BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为：菱形;(2)∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO，∵AB=10，∴AB=2BO，∵∠AOB=90°∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，∴AO=√3BO=5√3，∠ABC=2∠ABO=120°．故答案为：10√3，120．【分析】(1)先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD//BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．(2)根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图−基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：a2−a(a−1)2−a+1a，=a(a−1)(a−1)2−a+1a，=aa−1−a+1a，=a2−(a−1)(a+1)a(a−1)，=a2−a2+1a(a−1)，=1a(a−1)，当a=12时，原式=112(12−1)=−4．【解析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21.【答案】证明：∵AE//BF，∴∠A=∠FBD，∵CE//DF，∴∠D=∠ACE，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△ACE和△BDF中，{∠A=∠FBD AC=BD∠D=∠ACE，∴△ACE≌△BDF(ASA)，∴AE=BF．【解析】根据两直线平行，同位角相等可得∠A=∠FBD，∠D=∠ACE，再求出AC=BD，然后利用“角边角”证明△ACE和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形的判定方法并确定出全等的条件是解题的关键．22.【答案】解：(1)把ℎ=15代入关系式ℎ=v0t−12gt2得，−5t2+20t=15，整理得：5t2−20t+15=0，即可得：t2−4t+3=0，(t−1)(t−3)=0，解得t1=1，t2=3；答：物体抛出1秒或3秒物体离地面高度是15米．(2)把ℎ=0代入关系式ℎ=v0t−12gt2得，−5t2+20t=0，解得t1=4，t2=0(不合实际，舍去)；答：抛出4秒以后物体回到原处．(3)由函数关系式得，ℎ=−5t2+20t=−5(t−2)2+20，即抛出物体2秒时到达最大高度，最大高度是20米．【解析】(1)把ℎ=15代入关系式，解关于t的一元二次方程即可；(2)把ℎ=0代入关系式，解关于t的一元二次方程即可；(3)利用配方法求得最大值即可解决问题．此题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，用配方法求二次函数最大值的问题．23.【答案】解：(1)3；1.5；(2)描点描绘出以下图象，(3)2.【解析】【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数基本性质、复杂函数的作图，此类题目通常在作图的基础上，依据图上点和线之间的关系求解．(1)分别将x=3，x=4代入方程中，即可求解；(2)描点描绘出图象即可，(3)在(2)图象基础上，画出y=2x，两个函数交点为P，n<x0<n+1，即可求解．【解答】解：(1)当x=3时，y=3x−2=3，同理当x=4时，y=1.5，故答案为3；1.5；(2)见答案；(3)在(2)图象基础上，画出y=2x，两个函数交点为P(x0,y0)，由图象值2<x0<3，∵n<x0<n+1，∴n=2，故答案为2．24.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC，而点E为AD弧的中点，∴∠ABE=∠CBE，∴BA=BC；(2)解：∵AF为切线，∴AF⊥AB，∵∠FAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABE=90°，∴∠FAC=∠ABE，∴tan∠ABE=∠FAC=12，在Rt△ABE中，tan∠ABE=AEBE =12，设AE=x，则BE=2x，∴AB=√5x，即√5x=5，解得x=√5，∴AC=2AE=2√5，BE=2√5作CH⊥AF于H，如图，∵∠HAC=∠ABE，∴Rt△ACH∽Rt△BAC，∴HC AE =AH BE =AC AB ，即HC √5=AH 2√5=2√55， ∴HC =2，AH =4，∵HC//AB ，∴FH FA =HC AB ，即FH FH+4=25，解得FH =83在Rt △FHC 中，FC =√22+(83)2=103．【解析】(1)先利用圆周角定理得到∠AEB =90°，根据根据等腰三角形的判定方法得到BA =BC ；(2)利用切线的性质得到AF ⊥AB ，则根据等角的余角相等得到∠FAC =∠ABE ，则tan∠ABE =∠FAC =12，在Rt △ABE 中利用正切的定义计算出AC =2√5，BE =2√5作CH ⊥AF 于H ，如图，接着证明Rt △ACH∽Rt △BAC ，则利用相似比得到HC =2，AH =4，然后根据平行线分线段成比例定理计算出FH ，最后根据勾股定理计算FC 的长．本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和解直角三角形．25.【答案】解：(1)∵分数在80<x ≤90中的频数是52，频率是0.26，∴被抽查的学生总数是：52÷0.26=200(名)，∴a =10200=0.05，∴b =200×(1−0.05−0.2−0.26−0.37)=24，分数70<x ≤80的频数是：200×0.2=40(名)，补图如下：(2)根据题意得：0.37×1000=370(名)，答：估计全校1000名学生中约有.370名获奖．【解析】(1)先根据分数在80<x ≤90中的频数和频率，求出被抽查的学生总数，再根据频数除以总数就是频率，即可求出a ，再用被抽查的学生总数乘以频率即可求出b ，从而补全统计图；(2)用成绩在90分以上(不含90分)的学生的频率乘以全校总学生数，即可得出答案．此题考查了频数分布直方图，解题的关键是读懂统计图，从图中获得必要的信息，获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．26.【答案】解：(1)把点(−2,−1)代入二次函数y=ax2+2x得，−1=4a−4，解得，a=34，∴二次函数的关系式为y=34x2+2x；(2)当x=−1时，y=34×1+2×(−1)=−54≠−34，∴点(−1,−34)不在抛物线上．【解析】考查二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数的关系式，把点的坐标代入是常用的方法．(1)把点(−2,−1)代入二次函数y=ax2+2x，求出a的值，即可确定函数的关系式，(2)代入验证即可，当点的坐标满足关系式时，此点在函数的图象上，否则就不在函数的图象上．27.【答案】(1)证明：作DF//BC交AC于F，如图1所示：则∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，∴△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，∴AD=DF，∵∠DEC=∠DCE，∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，在△DBE和△CFD中，{∠DEC=∠FDC ∠DBE=∠DFC=120° ED=CD ，∴△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB=DF，∴EB=AD；(2)解：EB =AD 成立；理由如下：作DF//BC 交AC 的延长线于F ，如图2所示：同(1)得：AD =DF ，∠FDC =∠ECD ，∠FDC =∠DEC ，ED =CD ，又∵∠DBE =∠DFC =60°，∴在△DBE 和△CFD 中，{∠DEC =∠FDC ∠DBE =∠DFC ED =CD ， ∴△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB =DF ，∴EB =AD ；(3)解：EB AD =√2；理由如下：作DF//BC 交AC 于F ，如图3所示：同(1)得：△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB =DF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，DF//BC ，∴△ADF 是等腰直角三角形，∴DF =√2AD ，∴DF AD =√2，∴EBAD =√2．【解析】(1)作DF//BC 交AC 于F ，由平行线的性质得出∠ADF =∠ABC ，∠AFD =∠ACB ，∠FDC =∠DCE ，证明△ABC 是等边三角形，得出∠ABC =∠ACB =60°，证出△ADF 是等边三角形，∠DFC =120°，得出AD =DF ，由已知条件得出∠FDC =∠DEC ，ED =CD ，由AAS 证明△DBE≌△CFD ，得出EB =DF ，即可得出结论；(2)作DF//BC 交AC 的延长线于F ，同(1)证出△DBE≌△CFD ，得出EB =DF ，即可得出结论；(3)作DF//BC 交AC 于F ，同(1)得：△DBE≌△CFD ，得出EB =DF ，证出△ADF 是等腰直角三角形，得出DF =√2AD ，即可得出结果．本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．28.【答案】解：(1)证明：如图1，连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AO ∴AC ⏜=AD ⏜∴∠ADC =∠ACD ，即∠ADC =∠ACM +∠MCD∵AM ⏜=AM ⏜，AC ⏜=AC ⏜∴∠ACM =∠ADM ，∠ADC =∠AMC∴∠AMC =∠ADM +∠MCD(2)证明：∵CD ⊥AO∴∠AED =90°∴∠BAD +∠ADC =90°∵∠ADC =∠ABC∴∠BAD +∠ABC =90°∵∠BAD +∠BAG =90°∴∠ABC =∠BAG∴AC ⏜=BG ⏜∴AC ⏜+CG ⏜=BG ⏜+CG ⏜ 即：ACG ⏜=BGC ⏜∴AG =BC(3)如图3，过点D 作DR//AE 交CK 于R ， ∴CF FR =CEED∵AB 为直径，CD ⊥AO∴CE =DE∴CF =FR∴DR =2EF =2×3=6∵DR//AE∴∠FAN =∠RDN∵AN =ND ，∠ANF =∠DNR∴△ANF≌△DNR(ASA)∴AF =DR =6过点A 作AT//DM 交CM 于点T ，∴∠TAN =∠MDN ，∵AN =ND ，∠ANT =∠DNM∴△ANT≌△DNM(ASA)∴TA =MD ，TN =MN∵2MN =MK∴2TN =2MN =TM =MK =6∵MD⏜=MD ⏜ ∴∠MAD =∠MCD∵∠AMC =∠ADM +∠MCD∴∠AMC =∠TAN +∠MAD =∠TAM∴TA =TM =MD =MK =6过点O 作OW ⊥MD ，连接OM ，OD ，OC ，∵OM =OD∴MW =DW =12MD =3，∠MOW =∠DOW =12∠MOD∴FE =MW =3∵MD⏜=MD ⏜ ∴2∠DCM =∠MOD∴∠MCD =∠MOW =∠DOW∵∠FEC =∠MWO =90°∴△FEC≌△MWO(AAS)∴OM =CF =OC∴FE =OE =3，OC =CF =OA =3+3+6=12在Rt △CEF 中，CE =√CF 2−EF 2=ED =3√15，在Rt △AED 中，AD =√AE 2+ED 2=6√6，在Rt △BCE 中，BC =√CE 2+EB 2=6√10，∵∠AMD =180°−∠MDA −∠MAD =180°−∠AMC =∠AMK ，AM =AM ，MD =MK∴△AMD≌△AMK(SAS)∴AK =AD =6√6过点N 作NL ⊥AK 于点L ，则∠ALN =90°，设AL =a ，LK =6√6−a ，∵AN =ND =12AD =3√6，NK =3+6=9，NL 2=AN 2−AL 2=NK 2−KL 2，∴(3√6)2−a 2=92−(6√6)2，解得：a =21√68， ∵∠GAD =90°，∠LAN +∠LNA =90°=∠LAN +∠HAG∴∠HAG=∠LNA∴sin∠HAG=sin∠LNA=ALAN =21√683√6=78，过点H作HQ⊥AG于点Q，设HA=8b，HQ=7b，则AQ=√HA2−HQ2=√(8b)2−(7b)2=√15b，∵AG=BC=6√10，∴QG=6√10−√15b，∵∠AGC=∠ABC，∴tan∠AGC=tan∠ABC，∴6√10−√15b =3√1515，解得：b=3√65，∴HQ=21√65，QG=21√105，HG=√HQ2+QG2=845．【解析】(1)连接AC，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AO，得AC⏜=AD⏜，∠ADC=∠ACM+∠MCD，再由同弧所对的圆周角相等即可得证；(2)根据等角的余角相等可得：∠ABC=∠BAG，再根据同圆中，相等的圆周角所对的弧相等可得：AC⏜=BG⏜，易证结论；(3)过点D作DR//AE交CK于R，易证：△ANF≌△DNR(ASA)，得到：AF=DR=6，再过点A作AT//DM交CM于点T，求得TA=TM=MD=MK=6，过点O作OW⊥MD，连接OM，OD，OC，可求得FE=OE=3，OC=CF=OA=12，AK=AD=6√6，过点N作NL⊥AK于点L，设AL=a，通过构建方程求a，可求得：sin∠HAG=sin∠LNA=78，最后过点H作HQ⊥AG于点Q，设HA=8b，HQ=7b，构建方程即可得解．本题是一道有关圆的综合题，涉及知识点多，难度较大，对学生解题能力要求较高；主要考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形的知识、圆的性质等，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形、全等三角形．。

北京四中2011中考数学全真模拟试题(4)及答案.doc

中考数学全真模拟试题（4）第Ⅰ卷（机读卷共32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．5-的相反数是（）A ．5B ．5-C ．15 D ．15- 2．在第十一届全国人民代表大会第二次会议上，温家宝总理在政府报告中指出：2008年我国粮食连续五年增产，总产量为52850万吨，创历史最高水平.将52850用科学记数法表示应为（）A ．528510⨯B ．352.8510⨯ C ．35.28510⨯ D ．45.28510⨯ 3．五边形的内角和是（）A ．180°B ．360°C ．540°D ．720° 4）A ．29，28B ．31，29C ．26，30D ．25，315．若两圆的半径分别是2cm 和5cm ，圆心距为3cm ，则这两圆的位置关系是（） A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 6．如图，有4张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别写有一个实数，背面完全相同．现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出卡片正面的实数是无理数的概率是A ．12B ．14C ．34D ．17．已知：2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，255552424+=⨯，…，若 21010b ba a+=⨯符合前面式子的规律，则a b +的值为（）A ．179B ．140C ．109D ．210 8．将一正方体纸盒沿下右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（）．0.16—32A ．B .C .D .第Ⅱ卷（非机读卷共88分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数y =x 的取值范围是______________．10．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠C 为20°，则∠AOB 的度数为__________°．11．分解因式：2242x x ++=____________________．12．如图，小正方形方格的边长为1cm ，则AB ⌒的长为___________cm ．三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）计算：1012sin 60(2009)2-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．14．（本小题满分5分）解不等式组()2035148x x x -<⎧⎪⎨+-⎪⎩≥，15．（本小题满分5分）已知：如图，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ，且BE ＝CF ，求证：∠ACB ＝∠F . 16．（本小题满分5分）先化简，再求值：2314223a a a a +-⎛⎫+÷⎪--⎝⎭，其中2410a a -+=． AOBA B C DFA OCBCBDA图1图2AD 'BC17．（本小题满分5分）如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于(13)A ，，(1)B n -，两点．求反比例函数与一次函数的解析式．四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）如图1，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝43，将矩形纸片沿对角线AC 向下翻折，点D 落在点D ’处，联结B D ’，如图2，求线段BD ’ 的长．19．（本小题满分5分）如图，点D 是⊙O 直径CA 的延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，弦AE 与BC 相交于点F ，且CF ＝9，cos ∠BF A ＝32，求EF 的长．图1A CE DB五、解答题（本题满分5分）20．某校学生会准备调查本校初中三年级同学每天（除课间操外）课外锻炼的平均时间．（1）确定调查方式时，①甲同学说：“我到1班去调查全体同学”；②乙同学说：“我到体育场上去询问参加锻炼的同学”；③丙同学说：“我到初中三年级每个班去随机调查一定数量的同学”．上面同学说的三种调查方式中最为合理的是___________（填写序号）；（2）他们采用了最为合理的调查方式收集数据，并绘制出如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图，请将图1补充完整；（3）若该校初中三年级共有240名同学，则其中每天（除课间操外）课外锻炼平均时间不大于20分钟的人数约为__________人． (注：图2中相邻两虚线形成的圆心角为30°)六、解答题（共2道小题，共10分） 21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：2008年5月12日14时28分在我国四川省汶川地区发生了里氏8.0级强烈地震，灾情牵动全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，在加工了300顶帐篷后，由于情况紧急，该厂又增加了人员进行生产，将工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务．问该厂原来每天加工多少顶帐篷．22．（本小题满分5分）把两个三角形按如图1放置，其中90ACB DEC ==︒∠∠， 45A =︒∠，30D =︒∠，且6AB =，7DC =．把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，如图2，这时AB 与 CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ．（1）求1ACD ∠的度数；（2）求线段AD 1的长；（3）若把△D 1CE 1绕点C 顺时针再旋转30°得到△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？请说明理由．BACD 1OF七、解答题（本题满分7分）23．如图1，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB AC =，90BAC =∠，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF BD 、所在直线的位置关系为 __________ ，线段CF BD 、的数量关系为；②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB AC ≠，BAC ∠是锐角，点D 在线段BC 上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥（点C F 、不重合），并说明理由．八、解答题（本题满分7分）24. 如图，在平面直角坐标系中，直线1(0)2y x b b =-+>分别交x 轴、y 轴于A B 、两点．点(40)C ，、(80)D ，，以CD 为一边在x 轴上方作矩形CDEF ，且:1:2C F CD =．设矩形CDEF 与ABO △重叠部分的面积为S ．（1）求点E 、F 的坐标；（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；（3）若在直线1(0)2y x b b =-+>上存在点Q ，使OQC ∠等于90，请直接．．写出b 的取值范围．图1图2C图3E九、解答题（本题满分8分） 25．已知抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于不同的两点()10A x ，和()20B x ，，与y 轴交于点C ，且12x x ，是方程2230x x --=的两个根（12x x <）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．中考数学模拟试题（4）答案及评分参考一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）1．A ； 2．D ； 3．C ； 4．B ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．A ．二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．x ≥1； 10．40； 11．()221x +； 12．三、解答题（共5道小题，共25分）13．解：1012sin 60(2009)2-⎛⎫+- ⎪⎝⎭14．()2035148x x x -<⎧⎪⎨+-⎪⎩≥， ①，②212=+-+…………4分解：解不等式①，得x >2； 2分3=-5分解不等式②，得1x -≥； 4分在数轴上表示不等式①、②的解集,∴原不等式组的解集为x >2． 5分15．证明： ∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF ， 1分∵BE ＝CF ， ∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF ， 2分 ∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ≌△DEF ． 4分 ∴∠ACB ＝∠F . 5分16．解：2314223a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭2314223a a a a +-⎛⎫=-÷⎪--⎝⎭22423a a a +-=÷-………2分 ()()23222a a a a +=⋅-+-2344a a =-+ 4分∵2410a a -+= ∴241a a -=-当241a a -=-时，原式3114==-+． 5分17．解：（1）∵点A (13)，在反比例函数ky x =的图象上，∴3k =， …………………1分∴反比例函数的解析式为3y x =， 2分∵点B (1)n -，在反比例函数3y x=的图象上，∴31n=-，∴3n =-， 3分O 1423BD 'A 图2图1ADBCE∴点B 的坐标为(31)--，，∵点A 、点B 在一次函数y mx b =+的图象上．∴331m b m b +=⎧⎨-+=-⎩，∴12m b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为2y x =+5分四、解答题（共2个小题，共10分） 18．解：设AD ’交BC 于O ，方法一：过点B 作BE ⊥AD ’于E ，矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∠B ＝∠D ＝∠BAD ＝90°，在Rt △ABC 中，∵ta n∠BAC＝BC AB == ∴∠BAC ＝60°，∴∠DAC ＝90°—∠BAC ＝30°，……………………………2分∵将△ACD 沿对角线AC 向下翻折，得到△ACD ’，∴AD’＝AD ＝BC ＝1＝∠DAC ＝30°， ∴∠4＝∠BAC —∠1＝30°，又在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°,∴BE ＝2， ……………………………………4分∴AE=D’E ＝AD’—AE ＝∴AE ＝D’E ，即BE 垂直平分AD’，∴BD ’＝AB ＝4. ……………………………5分方法二：矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，∠B ＝∠D ＝90°，∴∠ACB ＝∠DAC ，在Rt △ABC 中，∵ta n∠BAC＝BC AB == ∴∠BAC ＝60°，∴∠ACB ＝90°—∠BAC ＝30°，……………………………2分∵将△ACD 沿对角线AC 向下翻折，得到△ACD ’， ∴AD ＝AD’＝BC ，∠1＝∠DAC ＝∠ACB ＝30°， ∴OA ＝OC ，∴OD ’＝OB ，∴∠2＝∠3，∵∠BOA ＝∠1＋∠ACB ＝60°, ∠2＋∠3＝∠BOA ， ∴∠2＝12∠BOA ＝30°，…………………………………………………………4分 ∵∠4＝∠BAC —∠1＝30°，∴∠2＝∠4，∴BD ’＝AB ＝4. …………………5分19．（1）证明：联结BO ，……………………………1分方法一：∵AB ＝AD ，∴∠D ＝∠ABD ，∵AB ＝AO ，∴∠ABO ＝∠AOB ，………………2分又在△OBD 中，∠D +∠DOB +∠ABO +∠ABD∴∠OBD ＝90°，即BD ⊥BO ，∴BD 是⊙O 的切线． 3分方法二：∵AB ＝AO ，BO ＝AO ，∴AB ＝AO ＝BO ，∴△ABO 为等边三角形，∴∠BAO ＝∠ABO ＝60°， ∵AB ＝AD ，∴∠D ＝∠ABD ，又∠D ＋∠ABD ＝∠BAO ＝60°，∴∠ABD ＝30°， …………………2分∴∠OBD ＝∠ABD ＋∠ABO ＝90°，即BD ⊥BO ， ∴BD 是⊙O 的切线． ……………………………………………………3分方法三：∵ AB ＝AD ＝AO ，∴点O 、B 、D 在以OD 为直径的⊙A 上 …………2分∴∠OBD ＝90°，即BD ⊥BO ， ∴BD 是⊙O 的切线． ……………………………………………………3分（2）解：∵∠C ＝∠E ，∠CAF ＝∠EBF ，∴△ACF ∽△BEF ， …………………… 4分 ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，在Rt △BF A 中，cos ∠BF A ＝32=AF BF ，∴32==AF BF CF EF ，又∵CF =9，∴EF =6．…………………5分五、解答题（本题满分5分） 20．解：（1）③，……………………1分（2）图1补充完整， ……3分（3）220． …………………5分六、解答题（共2个小题，共10分）21．解：设该厂原来每天加工x 顶帐篷，则工作效率提高后每天加工1.5x 顶帐篷． 1分根据题意，得1500300150030041.5x x---=， 3分解这个方程，得100x =， 4分经检验：100x =是原方程的解．答：该厂原来每天加工100顶帐篷． 5分22．解：（1）如图1，由题意可知：∠BCE 1＝15°,∵∠D 1CE 1＝60°，∴∠D 1CB ＝∠D 1CE 1—∠D 1CB ＝45°，又∠ACB ＝90°,∴∠ACD 1＝∠ACB —∠D 1CB ＝45°． 1分（2）由（1）知，∠ACD 1＝45°，又∠CAB ＝45°，∴∠AOD 1＝∠CAB ＋∠ACD 1＝45°∴OC ⊥AB ， ∵∠BAC ＝45°,∠ABC ＝90°—∠BAC ＝45°， ∴∠ABC ＝∠BAC ，∴AC ＝BC ，∴OC ＝12AB ＝OA ＝3，∴OD 1＝CD 1—OC ＝4，在R t △AOD 1中，∠5＝90°，AD 15．3分（3）点B 在△D 2CE 2内部． 4分理由如下：设BC （或延长线）交D 2E 2于点P ，则∠PCE 2＝15°＋30°＝45°．在R t △PCE 2中，可求CP12CE 2＝2，B图1AE 1CD 1OFG D E FA在R t △ABC 中，可求BC ＝<BC <CP ，………5分 ∴点B 在△D 2CE 2内部．七、解答题（本题满分7分） 23．（1）①垂直，相等；………………………………………………………………………1分②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．…………………………………2分由正方形ADEF 得 AD ＝AF ，∠DAF ＝90º． ∵∠BAC ＝90º，∴∠DAF ＝∠BAC ， ∴∠DAB ＝∠F AC ，又AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC ， ∴CF ＝BD ， ∠ACF ＝∠ABD ． ∵∠BAC ＝90º， AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45º，∴∠ACF ＝45º，∴∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝90º．即 CF ⊥BD . ……………………………………………………………………5分（2）当∠ACB ＝45º时，CF ⊥BD （如图）．……………………………………………6分理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 或CB 的延长线于点G ，则∠GAC ＝90º，∵∠ACB ＝45°,∠AGC ＝90°—∠ACB ＝45°， ∴∠ACB ＝∠AGC ，∴AC ＝AG ，∵点D 在线段BC 上，∴点D 在线段GC 上，由（1）①可知CF ⊥BD . …………………………………………………………7分八、解答题（本题满分7分）24. 解：（1）∵(40)C ，，(80)D ，，∴4CD =，∵矩形CDEF 中，12CF CD =，∴2CF DE ==， ∵点E 、F 在第一象限，∴(8)E ，2，(4)F ，2．………………………1分（2）由题意，可知(2)A b ，0，(0)B b ，，在R t △ABO 中，ta n ∠BAO ＝12OA OB =，①当0<b ≤2时，如图1，0S =．……………………………………………2分 ②当2<b ≤4时，如图2，设AB 交CF 于G ，24AC b =-，在R t △AGC 中，∵ta n ∠BAO ＝12GC AC =，∴2CG b =-． ∴()()12422S b b =--，即244S b b =-+，……………………………4分③当4<b ≤6时，如图3，设AB 交EF 于G ，交ED 于H ，28AD b =-，在R t △ADH 中，∵ta n ∠BAO ＝12DH AD =，∴4DH b =-，6EH b =-，在矩形CDEF 中，∵CD ∥EF ，∴∠EGH ＝∠BAO ，在R t △EGH 中，∵ta n ∠EGH ＝12EH EG =，∴122EG b =-， ∴()()12412262S b b =⨯---，即21228S b b =-+-，……………5分 ④当b >6时，如图4，8S =．………………………………………………6分（3）0b <1+． ………………………………………………………7分九、解答题（本题满分8分）解：（1）解方程2230x x --=，得123x x ==-1,．………………1分∴点()0A -1，，点()0B 3，．∴()()221110213302b c b c ⎧-⨯-+⋅-+=⎪⎪⎨⎪-⨯+⋅+=⎪⎩解，得432b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为224233y x x =-++． 2分（2）∵抛物线与y 轴交于点C ．∴点C 的坐标为（0，2）．又点()0B 3，，可求直线BC 的解析式为223y x =-+． ∵AD ∥CB ，∴设直线AD 的解析式为23y x b '=-+．又点()0A -1，，∴23b '=-，直线AD 的解析式为2233y x =--．解2242332233y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得211241,1003x x y y =⎧=-⎧⎪⎨⎨==-⎩⎪⎩，∴点D 的坐标为（4，103-）． 4分过点D 作DD ’⊥x 轴于D ’， DD ’＝103，则又AB ＝4． ∴四边形ACBD 的面积S ＝12AB •OC +12AB •DD ’＝2103 5分（3）假设存在满足条件的点R ，设直线l 交y 轴于点E （0，m ），∵点P 不与点A 、C 重合，∴0< m <2，∵点()0A -1，，点()0,2C ， ∴可求直线AC 的解析式为22y x =+，∴点112P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ∵直线BC 的解析式为223y x =-+，∴点332Q m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，． ∴24PQ m =-+．在△PQR 中，①当RQ 为底时，过点P 作PR 1⊥x 轴于点R 1，则∠R 1PQ ＝90°，PQ ＝PR 1＝m ． ∴24m m -+=，解得43m =，∴点1433P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴点R 1坐标为（13-，0）． 6分 ②当RP 为底时，过点Q 作Q R 2⊥x 轴于点R 2，同理可求，点R 2坐标为（1，0）． 7分③当PQ 为底时，取PQ 中点S ，过S 作SR 3⊥PQ 交x 轴于点R 3，则PR 3＝QR 3，∠PR 3Q ＝90°．∴PQ ＝2R 3S ＝2m ．∴242m m -+=，解，得1m =， ∴点112P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，点312Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可求点R 3坐标为（12，0）． …………………8分经检验，点R 1，点R 2，点R 3都满足条件．综上所述，存在满足条件的点R ，它们分别是R 1（13-，0），R 2（1，0）和点R 3（12，0）．。

四中中考数学试卷真题

四中中考数学试卷真题题目：四中中考数学试卷真题正文：一、选择题（共15小题，每题2分，共30分）1. 下列哪个数是有理数？A. √3B. 0.567C. πD. e2. 若a:b = 3:4，且b:c = 2:5，则a:c =A. 5:6B. 3:5C. 6:5D. 2:33. 若x + 5 = 9，那么x的值是A. 3B. 4C. 5D. 64. 下列哪个等式成立？A. |8| = 8B. |-5| = -5C. |5| = 5D. |-9| = 95. 若2x + 5 = 15，那么x =A. 5B. 7C. 8D. 106. 若x = -3，那么|x|的值是A. -9B. -3C. 3D. 97. 若a:b = 3:4，且a + b = 28，那么a的值是A. 12B. 18C. 20D. 248. 线段AB的中点为M，若AM = 8 cm，MB = 6 cm，那么AB的长为A. 2 cmB. 7 cmC. 12 cmD. 14 cm9. 若某圆的半径为r，那么它的直径是A. rB. r^2C. 2rD. 2r^210. 一个长方形的长是宽的三倍，若宽为5 cm，那么长是多少？A. 5 cmB. 10 cmC. 15 cmD. 20 cm11. 若甲数的1/4等于乙数的1/8，且甲数比乙数大2，那么甲数和乙数分别是A. 12, 6B. 10, 5C. 8, 4D. 14, 712. 在菱形ABCD中，角A的度数是60°，那么角D的度数是A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°13. 一袋装有六种颜色的小球，每种颜色12个，一个小球是一个颜色的全集合，从袋中取出一球，不放回，那么取到一球全是红色的概率是A. 1/72B. 1/12C. 1/6D. 1/214. 已知|a| = 4，b = -2，则|a + b|的值是A. -2B. 0C. 2D. 615. 若正方形边长为5 cm，那么其对角线长为A. 5 cmB. 10 cmC. 25 cmD. 50 cm二、填空题（共10小题，每题2分，共20分）16. 已知线段AB的长度为7 cm，BC的长度为12 cm，AC的长度是_______cm。

2024年北京四中中考数学一模试卷及答案解析

2024年北京四中中考数学一模试卷一、单选题（共24分）1．（3分）据中国电子商务研究中心监测数据显示，2016年第二季度中国轻纺城市场群的商品成交额达29600000000元，将29600000000用科学记数法表示为（）A．2.96×1010B．2.96×1011C．29.6×1010D．0.296×10112．（3分）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）已知∠AOB＝60°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB＝1：4，那么∠BOC的度数是（）A．48°B．45°C．48°或75°D．45°或75°4．（3分）若a＜b，则下列不等式中不一定成立的是（）A．a﹣b＜0B．﹣2a＞﹣2b C．a+b＜0D．2﹣a＞2﹣b 5．（3分）若关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．6．（3分）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且n＞4），那么它的外角和的度数（）A．不变B．增加C．减少D．不能确定7．（3分）甲、乙两名同学随机从A，B，C三个主题中选择一个去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则两人抽到相同主题的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法正确的个数是（）①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝0②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0有一个整数根是1③存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≥0对任意实数x都成立A．0B．1C．2D．3二、填空题（共24分）9．（3分）要使分式有意义，则x应满足的条件是．10．（3分）把多项式mn2+6mn+9m分解因式的结果是．11．（3分）方程的根是．12．（3分）若A（2m，3）与B（1，m﹣5）是反比例函数y＝图象上的两个点，则k 的值为．13．（3分）某中学现对小学和初中部一共800人调查视力情况，为方便调查，学校进行了抽样调查．从中随机抽出40人，发现有30人眼睛近视，那么则小学和初中部800人中眼睛近视的人数为．14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE：EA＝2：3，EF＝4，求线段CG＝．15．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE⊥CD于F，交BC 于E，连接BF，若∠BFE＝45°，则的值为．16．（3分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要_______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．三、解答题（共72分）17．（4分）计算：．18．（4分）解不等式组：．19．（4分）已知（2﹣a）2+|b+3|＝0，若ax2+bx﹣4＝0，求代数式4x2﹣6x+1的值．20．（4分）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．EF过点O且与ABCD分别相交于点E，F（I）如图①，求证：OE＝OF；（II）如图②，若EF⊥DB，垂足为O，求证：四边形BEDF是菱形．21．（4分）如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；（2）当t为何值时，射线OC⊥OD．22．（4分）如图，直线l1：y＝2x，直线l2：y＝﹣x+m与x轴交于点A，两直线l1，l2交于点B，点B的坐标为．（1）求m，n的值；（2）直线l2上是否存在点D，使得△AOD的面积为4，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．23．（6分）某跳高集训队，对集训队员进行了一次跳高测试，经过统计，将集训队员的测试成绩（单位：m），绘制成尚不完整的扇形统计图（如图1）与条形统计图（如图2）．（1）a＝，请将条形统计图补充完整；（2）求集训队员测试成绩的众数；（3）教练发现，测试成绩不包括两名请假的队员，补测后，把这两名队员的成绩（均是0.05的整数倍）与原测试成绩并成一组新数据，求新数据的中位数．24．（6分）端午小长假，小王一家开车去麦积山景区游玩，返程时从景区出发，其行驶路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示．行驶一段时间到达C地时，汽车突发故障，需停车检修．为了能在高速公路恢复收费前下高速，车修好后加快了速度，结果恰好赶在24时前下高速．结合图中信息，解答下列问题：（1）上述问题中反映的是哪两个变量之间的关系？指出自变量和因变量．（2）汽车从景区到C地用了几小时？平均每小时行驶多少千米？（3）车修好后每小时行驶多少千米？25．（9分）已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点．（Ⅰ）求k取值范围；（Ⅱ）当k取最小整数时，此二次函数的对称轴和顶点坐标；（Ⅲ）将（Ⅱ）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你求出新图象与直线y＝x+m有三个不同公共点时m的值．26．（9分）如图，四边形ABCD为正方形，点E为BC延长线上一点，连接AE，交BD于点F，交CD于点G，连接CF．（1）求证：CF与△CEG的外接圆相切；（2）当CE＝CF时，判断CG和EF有怎样的数量关系？并说明理由；（3）在（2）的条件下，求DG与CG的比值．27．（9分）如图，点P是圆O直径CA延长线上的一点，PB与圆O相切于点B，点D是圆上的一点，连接AB，AD，BD，CD，PB＝BC．（1）求证：OP＝2OC；（2）若OC＝3，AD＝4，求BD的长．3）、C（t，0），过点A作AD⊥BC交BC于D点，交y轴正半轴于点E．（1）如图1，当t＝1时，求E点的坐标；（2）如图，连接OD，求∠ADO的度数；（3）如图3，已知点P（0，2），若PQ⊥PC，PQ＝PC，直接写出Q的坐标（用含t的式子表示）．2024年北京四中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单选题（共24分）1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：29600000000＝2.96×1010，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．【解答】解：观察图形，只有选项C中的图形能找到对称轴，则选项C中的图形是轴对称图形．故选：C．【点评】本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的知识是解题的关键．3．【分析】分两种情况求解：①当OC在∠AOB内时；②当OC在∠AOB外时；分别画图求出∠BOC即可．【解答】解：如图1，当OC在∠AOB内时，∵∠AOC：∠AOB＝1：4，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝15°，∴∠BOC＝45°；如图2，当OC在∠AOB外时，∵∠AOC：∠AOB＝1：4，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝15°，∴∠BOC＝75°；∴∠BOC＝45°或75°，故选：D．【点评】本题考查角的计算，熟练掌握角的计算方法，数形结合解题是关键．4．【分析】根据不等式的性质解答即可．【解答】解：A．若a＜b，则a﹣b＜0，故A选项不符合题意；B．若a＜b，则﹣2a＞﹣2b，故B选项不符合题意；C．当a＝1，b＝2时，则a+b＞0，故C选项符合题意；D．若a＜b，则2﹣a＞2﹣b，故D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．5．【分析】利用一元二次方程的根的判别式列出不等式即可求出k的取值范围．【解答】解：由题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2﹣1）＝4k+5＞0，解得：k＞﹣，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键．6．【分析】利用多边形的外角和特征即可解决问题．【解答】解：因为多边形外角和为360°，所以外角和的度数是不变的．故选：A．【点评】此题考查多边形内角和与外角和，掌握多边形外角和等于360°是解题的关键．7．【分析】列表展示所有9种等可能的结果数，再找出两人抽到相同主题的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：列表如下：甲A B C乙A AA AB ACB BA BB BCC CA CB CC共有9种等可能结果，其中两人抽到相同主题的有3种，则两人抽到相同主题的概率．故选：B．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．8．【分析】分类讨论a＝0与a≠0两种情况，由抛物线与x轴交点个数与Δ之间的关系可判断①，由y＝ax2﹣（a+1）x+1＝（x﹣1）（ax﹣1）可判断②，由①中已求的Δ的正负情况可判断③．【解答】解：当a＝0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1＝﹣x+1，直线y＝﹣x+1与x轴只有1个交点，当a≠0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1与x轴只有1个交点时，Δ＝（a+1）2﹣4a＝（a﹣1）2＝0，解得a＝1，∴①错误．当a＝0时，y＝﹣x+1，将y＝0代入y＝﹣x+1得﹣x+1＝0，解得x＝1，当a≠0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1＝（x﹣1）（ax﹣1），x1＝1，x2＝，∴方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根为1，②正确．当抛物线y＝ax2﹣（a+1）x+1开口向上，Δ≤0时，ax2﹣（a+1）x+1≥0对任意实数x 都成立，由①得Δ＝（a﹣1）2≥0，∴当a＝1时，抛物线开口向上，顶点在x轴上，满足题意，③正确．故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．二、填空题（共24分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为0得到x≥0且|x|﹣5≠0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得x≥0且|x|﹣5≠0，解得x≥0且x≠5，即x应满足的条件为x≥0且x≠5．故答案为：x≥0且x≠5．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．10．【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．【解答】解：mn2+6mn+9m＝m（n2+6n+9）＝m（n+3）2，故答案为：m（n+3）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．11．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x＝4x﹣2，解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：x（2x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x＝2．故答案为：x＝2．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．【分析】A（2m，3）与B（1，m﹣5）是反比例函数y＝图象上的两个点，可知2k+1＝2m•3＝1×（m﹣5），故可得出m的值，进而得出k的值．【解答】解：∵A（2m，3）与B（1，m﹣5）是反比例函数y＝图象上的两个点，∴2k+1＝2m•3＝1×（m﹣5），解得m＝﹣1，∴2k+1＝﹣2×3＝﹣6，∴k＝﹣故答案为：﹣．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键．13．【分析】根据样本估计总体，用800乘以40人中眼睛近视的占比，列出算式计算即可求解．【解答】解：（人）．故答案是：600人．【点评】本题考查了用样本估计总体，关键是得到符合条件的人数所占的百分率．14．【分析】由DG∥AB，EF∥AB，证明DG∥EF，而FG∥ED，则四边形DEFG是平行四边形，所以DG＝EF＝4，由△EFD∽△ABD，得＝＝，求得DC＝AB＝EF＝10，则CG＝DC﹣DG＝6，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DG∥AB，∵EF∥AB，∴DG∥EF，∵FG∥ED，∴四边形DEFG是平行四边形，∴DG＝EF＝4，∵DE：EA＝2：3，∴＝＝，∵△EFD∽△ABD，∴＝＝，∴DC＝AB＝EF＝×4＝10，∴CG＝DC﹣DG＝10﹣4＝6，故答案为：6．【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出＝，并且证明△EFD∽△ABD是解题的关键．15．【分析】根据直角三角形斜边中线的性质和相似三角形的性质和判定解答即可．【解答】解：过点B作BG⊥AE交AE的延长线于点G，∵AE⊥CD，∠BFE＝45°，∴△BFG为等腰直角三角形，设BG＝FG＝a，∵AG⊥DF，AG⊥BG，D为AB边上的中点，∴DF为△AGB的中位线，∴DF＝a，AG＝2a，∴AB＝a，在R t△ABC中，CD为AB边上的中线，∴CD＝a，∴CF＝a，∵CF∥GB，∴△CFE∽△BGE，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的性质和判定，根据已知条件作出辅助线是解决本题的关键．16．【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2＝53（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10＝28（分钟），故答案为：53，28．【点评】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．三、解答题（共72分）17．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：＝2×+1﹣4+2＝+1﹣4+2＝3﹣3．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．【分析】分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式解集的确定规律：大小小大中间找，确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＞﹣，由②得：x＜1，不等式组的解集为：﹣＜x＜1．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．【分析】先根据非负数的性质得出a、b的值，代入ax2+bx﹣4＝0变形得2x2﹣3x＝4，再代入4x2﹣6x+1＝2（2x2﹣3x）+1求解即可．【解答】解：∵（2﹣a）2+|b+3|＝0，∴2﹣a＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3，代入ax2+bx﹣4＝0，得：2x2﹣3x﹣4＝0，则2x2﹣3x＝4，∴4x2﹣6x+1＝2（2x2﹣3x）+1＝2×4+1＝8+1＝9．【点评】本题主要考查非负数的性质：偶次乘方、绝对值，解题的关键是掌握任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．20．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到OB＝OD，AB∥CD，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据菱形的判定定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB∥CD，∴∠EBO＝∠FDO，在△OBE与△ODF中，，∴△OBE≌△ODF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：∵OB＝OD，OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【点评】此题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．21．【分析】（1）根据题意可得，射线OC与OD重合时，20t＝5t+120，可得t的值；（2）根据题意可得，射线OC⊥OD时，20t+90＝120+5t或20t﹣90＝120+5t，可得t的值．【解答】解：（1）由题意可得，20t＝5t+120，解得t＝8，即t＝8min时，射线OC与OD重合；（2）由题意得，①20t+90＝120+5t，解得：t＝2；②20t﹣90＝120+5t，解得：t＝14；即当t＝2mint＝14min时，射线OC⊥OD．【点评】本题考查一元一次方程的应用与角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22．【分析】（1）由直线l1：y＝2x，过点B，可求解n的值，直线l2：y＝﹣x+m 过点，可求解m的值，从而可得答案；（2）先求解A（4，0），设D（x，﹣x+4），再根据△AOD的面积为4，列方程，再解方程即可．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝2x，过点B，∴．即．∵直线l2：y＝﹣x+m过点，∴，∴，∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4．（2）∵一次函数的解析式为：y＝﹣x+4．∴令y＝0，则x＝4，即A（4，0），∵点D在l2上，设D（x，﹣x+4），△AOD的面积为4，∴，∴，即|4﹣x|＝2，解得：x＝2或x＝6．∴D（2，2）或D（6，﹣2）．【点评】本题考查的是正比例函数与一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形，利用方程思想解决图形面积问题是解本题的关键．23．【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数；从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据众数的定义即可得到结论，（3）根据中位数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）6÷30%＝20，＝25%，∴a＝25，20×20%＝4，故答案为：25；补全条形统计图如解图所示：（2）由条形统计图可知，集训队员测试成绩的众数为1.65m；（3）当两名请假队员的成绩均大于或等于1.65m时，中位数为；当两名请假队员的成绩均小于1.65m或一个小于1.65m，一个大于或等于1.65m时，中位数为1.60m．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及众数和中位数的定义，弄清题意是解本题的关键．24．【分析】（1）根据函数的图象可以知道横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可以得到答案；（2）根据函数的图象可以知道汽车行驶的时间和路程，用路程除以时间即可得到速度；（3）观察图象可以得到汽车在3﹣4小时之间路程没有增加，说明此时在检修，检修后两小时走了150千米据此可以求得速度．【解答】解：（1）路程与时间之间的关系．自变量是时间，因变量是路程；（2）由图象可知，汽车从景区到C地用了3小时，速度为：150÷3＝50千米/小时；（3）检修了1小时，修后的速度为＝75千米/小时．【点评】此题主要考查了看函数图象，解此类问题时，首先要看清横纵坐标所表示的意义．25．【分析】（Ⅰ）由抛物线与x轴有两个交点可知Δ＞0，从而可求得k的取值范围；（Ⅱ）先求得k的最小整数值，从而可求得二次函数的解析式，结合函数解析式求此二次函数的对称轴和顶点坐标；（Ⅲ）先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有三个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＝16k+16＞0．∴k＞﹣1．∴k的取值范围为k＞﹣1．（Ⅱ）∵k＞﹣1，且k取最小的整数，∴k＝0．∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．∴对称轴为：x＝1．顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅲ）翻折后所得新图象如图所示．平移直线y＝x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），∴0＝﹣1+m，即m＝1．②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y＝﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点∴方程x+m＝﹣x2+2x+3，即x2﹣x﹣3+m＝0有两个相等实根．∴△＝1﹣4（m﹣3）＝0，即m＝．综上所述，m的值为1或．【点评】本题综合考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质和二次函数图象与几何变换，根据题意画出如图，找出新图象与直线y＝x+m有三个不同公共点的条件是解题的关键．26．【分析】（1）证明△ADF≌△CDF得∠DAF＝∠2，由AD∥BE得∠2＝∠E＝∠DAF，取EG的中点H，连接CH，证明∠2+∠4＝90°即可得出结论；（2）证明∠E＝30°，得出EG＝2CG，进一步得出结论；（3）设CG＝x，可求出，，从而可得结论．【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADF＝∠CDF，又DF＝DF，∴△ADF≌△CDF，∴∠DAF＝∠2，∵AD∥BE，∴∠DAF＝∠E，∴∠2＝∠E，取EG的中点H，连接CH，则CH＝EH＝GH为△CEG外接圆的半径，∴∠1＝∠E，∠4＝∠5，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠4＝90°，∴∠2+∠4＝90°，∴CF⊥CH，所以CF与△CEG的外接圆相切．（2）解：EF＝3CG．理由如下：∵CE＝CF，∴∠3＝∠E＝∠1＝2，∠5＝2∠E，而∠5+∠E＝90°，∴∠E＝30°，∴EG＝2CG，∴EF＝3CG．（3）解：设CG＝x，则，∴，由（2）知∠DAF＝∠E＝30°，∴，∴．【点评】本题主要考查切线的判定，全等三角形判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．27．【分析】（1）连接OB，由切线的性质和等腰三角形的性质得出∠P＝30°，再由直角三角形的性质即可得出结论；（2）作AH⊥BD于H，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，∠ABC＝90°得到AC＝6，根据直角三角形的性质得到AB＝AC＝3，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OB，∵PB切圆O于点B，∴∠OBP＝90°，∴∠P+∠POB＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠POB＝∠OBC+∠OCB＝2∠OCB，∵PB＝BC，∴∠P＝∠OCB，∴∠P+∠POB＝∠P+2∠OCB＝3∠P＝90°，∴∠P＝30°，∴OP＝2OB＝2OC；（2）解：如图，作AH⊥BD于H，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∠ABC＝90°，∵OC＝3，∴AC＝6，∵AD＝4，∵∠OCB＝30°，∴AB＝AC＝3，∴AH＝AD＝2，DH＝2，∴BH＝＝＝，∴BD＝BH+DH＝+2．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握切线的性质和三角函数是解题的关键．28．【分析】（1）根据△AOE≌△BOC得OE＝OC即可求出点C坐标．（2）如图，先过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据△AOE≌△BOC，＝S△BOC，底边AE＝BC，得出OM＝ON，根据角平分线的逆定理进而得到OD 得到S△AOE平分∠ADC，可得∠ADO＝∠ABO＝45°；（3）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△PCG≌△QPH，可得CG＝PH＝2，PG ＝QH＝t，又知Q在第二象限，从而得Q（﹣2，2﹣t）．【解答】解：（1）如图1，当t＝1时，点C（1，0），∵AD⊥BC，∴∠EAO+∠BCO＝90°，∵∠CBO+∠BCO＝90°，∴∠EAO＝∠CBO，在△AOE和△BOC中，，∴△AOE≌△BOC（ASA），∴OE＝OC＝1，∴点E坐标（1，0）．第15页（共15页）（2）如图2，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE ＝S △BOC ，且AE ＝BC ，∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM ＝ON ，∴OD 平分∠ADC ；∴∠ADO ＝∠ABO ＝45°；（3）如图3，过P 作GH ∥轴，过C 作CG ⊥GH 于G ，过Q 作QH ⊥GH 于H ，交x 轴于F ，∵P （0，2），C （t ，0），∴CG ＝FH ＝2，PG ＝OC ＝t ，∵∠QPC ＝90°，∴∠CPG +∠QPH ＝90°，∵∠QPH +∠HQP ＝90°，∴∠CPG ＝∠HQP ，∵∠QHP ＝∠G ＝90°，PQ ＝PC ，∴△PCG ≌△QPH （AAS ），∴CG ＝PH ＝2，PG ＝QH ＝t ，∴Q （﹣2，2﹣t ）．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的逆定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形。

北京四中重点中学2024届中考数学全真模拟试题含解析

北京四中重点中学2024年中考数学全真模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A ．平行四边形B ．圆C ．等边三角形D ．正六边形3．3-的倒数是（）A ．13-B ．3C ．13D ．13± 4．已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是反比例函数y ＝(k≠0)图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，那么一次函数y ＝kx －k 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．336．如图所示的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．7．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A ．12B ．13C ．14D ．348．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A ．310B ．15C ．12D ．7109．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．123y y y ＞＞B ．213y y y ＞＞C ．231y y y ＞＞D ．312y y y ＞＞10．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>；230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．八位女生的体重（单位：kg ）分别为36、42、38、40、42、35、45、38，则这八位女生的体重的中位数为_____kg ．12．因式分解：3a 2-6a+3=________．13．如图，在一次数学活动课上，小明用18个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后他请小亮用其他棱长为1小明所搭几何体的形状）．请从下面的A 、B 两题中任选一题作答，我选择__________．A 、按照小明的要求搭几何体，小亮至少需要__________个正方体积木．B 、按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为__________．14．某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，则商品的定价是______元.15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =可通过平移变换向__________得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是__________．16．小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s （单位：米）与他所用的时间t （单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的序号是_____．17．如图，点A 的坐标为（3，7），点B 的坐标为（6，0），将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定的角度后得到△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN 的长），直线MN 垂直于地面，垂足为点P ．在地面A 处测得点M 的仰角为58°、点N 的仰角为45°，在B 处测得点M 的仰角为31°，AB ＝5米，且A 、B 、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN 的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.1，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.1．）19．（5分）计算：（-13）-2 – 234）+ 112 20．（8分）如图，抛物线21y x bx 2c =-++与x 轴交于A ，B ，与y 轴交于点C （0，2），直线1x 22y =-+经过点A ，C .（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接PO ，交AC 于点E ，求PE EO的最大值； ②过点P 作PF ⊥AC ，垂足为点F ，连接PC ，是否存在点P ，使△PFC 中的一个角等于∠CAB 的2倍？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21．（10分） (1)解方程组31021x y x y +=⎧⎨-=⎩(2)若点A 是平面直角坐标系中坐标轴上的点，( 1 )中的解 , x y 分别为点B 的横、纵坐标,求AB 的最小值及AB 取得最小值时点A 的坐标.22．（10分）如图，菱形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 边的中点．求证：AE AF =.23．（12分）先化简再求值：2()(2)x y y y x -++，其中2x =3y =24．（14分）学了统计知识后，小红就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查，图（1）和图（2）是她根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：（1）补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数．（2）若由3名“喜欢乘车”的学生，1名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动，现欲从中选出2人担任组长（不分正副），求出2人都是“喜欢乘车”的学生的概率，（要求列表或画树状图）参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】试题解析：A. 是轴对称图形但不是中心对称图形B.既是轴对称图形又是中心对称图形；C.是中心对称图形，但不是轴对称图形；D.是轴对称图形不是中心对称图形；故选B.2、C【解题分析】根据中心对称图形的定义依次判断各项即可解答.【题目详解】选项A、平行四边形是中心对称图形；选项B、圆是中心对称图形；选项C、等边三角形不是中心对称图形；选项D、正六边形是中心对称图形；故选C．【题目点拨】本题考查了中心对称图形的判定，熟知中心对称图形的定义是解决问题的关键.3、A解：3-的倒数是13-．故选A ．【题目点拨】本题考查倒数，掌握概念正确计算是解题关键．4、B【解题分析】试题分析：当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，可判定k ＞0，所以﹣k ＜0，即可判定一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限，故答案选B ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系．5、D【解题分析】根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【题目详解】∵ED 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴∠C=∠DBC ，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CD=6，∴故选D ．【题目点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.6、D分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选D ．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．7、C【解题分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可得.【题目详解】画树状图如下，共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为14．故选C ．8、A【解题分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【题目详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是310．故选：A ．【题目点拨】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．9、C【解题分析】首先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴x=2b a-=2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A （2，1y ）中x=2，知1y 最小，再由B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞．总结可得231y y y ＞＞．故选C ．20y ax bx c a =++≠（）的图象性质． 10、D【解题分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【题目详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【题目点拨】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷一、单选题1．下面四个标志中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（）A ．2x =B ．0x =C ．2x =-，=0D ．=2，=03．若()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 为二次函数()21y x =+图象上的三点，则1y ，23,y y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数()()57y x x =-+的图象的对称轴是（）A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为⊙O 直径，点,C D 在⊙O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（）A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（）A ．()21.0581 1.167x -=B ．()1.05812 1.167x +=C ．()21.0581 1.167x +=D ．()21.1671 1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，表盘的半径长为（）A ．3BC ．D ．8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（）A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A ．B ．C ．D ．二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x 向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE 的度数为．11．抛物线y ＝x 2－5x ＋6与y 轴交点的坐标是．12．如图，,PA PB 分別切⊙O 于,A B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作⊙O 的切线分别交,PA PB 于,M N 两点，若PMN 的周长为10，则切线长PA 等于．13．已知22310a a -+=，则代数式()()233a a a -++的值为．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度是cm ．15．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点()1,0-，对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在()0,1A 和()0,2B 之间（不与A B 、重合）．下列结论：①0abc >；②93a c b +>；③40a b +=；④当0y >时，15x -<<；⑤a 的取值范围为2155a -<<-．其中正确结论有（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 是AC 上一点，10BD =，AB CD =，则BC 的最大值为．三、解答题17．解下列方程：(1)23610x x -+=；(2)()233x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()3,1B -，()1,4C -．将ABC V 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到11A BC V ．(1)请在图中画出11A BC V ；(2)线段BC 旋转过程中所扫过的面积是______（结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE．(1)求证：AEB ADC ≌ ；(2)连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数．20．已知关于x 的一元二次方程()22840x k x k +--=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围．21．已知：如图，O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：作法一（如图1）作法二（如图2）①接OP ，作线段OP 的垂直平分线，交OP 于点A ；②以点A 为圆心，以AO 的长为半径作A ，A 交O 于点B ；③作直线PB ，则直线PB 是⊙O 的切线．①连接OP ，交O 于点M ，过点M 作OP 的垂线MN ；②以点O 为圆心，以OP 的长为半径作弧，交直线MN 于点Q ；③连接OQ ，交于点B ；④作直线PB ，则直线PB 是的切线．证明：如图1，连接OB ，PO 为A 直径，∴90PBO ∠=︒．（______）∴PB OB ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．证明：……请仔细阅读，并完成相应的任务：(1)“作法一”中的“依据”是指______；(2)请写出“作法二”的证明过程．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过()0,2A -，()2,0B 两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；x⋅⋅⋅1-01212⋅⋅⋅y⋅⋅⋅2-0⋅⋅⋅(3)若一次函数y mx n =+的图象也经过,A B 两点，结合图象，直接写出不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥．(1)求证：AC 是BDE V 的外接圆的切线；(2)若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米(1)求抛物线的解析式；(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙；25．如图1，线段AB 及一定点,C P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7cm AB =，设,A P 两点间的距离为cm x ，,A Q 两点间的距离为1cm y ，,P Q 两点间的距离为2cm y ．小明根据学习函数的经验，分别对函数12,y y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．/cm x 00.30.50.81 1.52345671/cmy 00.280.490.7911.481.872.372.612.722.762.782/cmy 00.080.090.0600.290.73 1.82 3.03 4.20 5.33 6.41第二步：在同一平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点()()12,,,x y x y ，并画出函数12,y y 的图象．解决问题：(1)在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；(2)结合函数图象，解决问题：当APQ △中有一个角为30︒时，AP 的长度约为______cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2240y ax a x a =-≠．(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC BE =，连接AE ，过C 作CF AE ⊥于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ．(1)求证：AEB ACF ∠=∠；(2)用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”．已知()1,0B -，()2,0C ，(1)写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标______；(2)已知点()112,02C m m ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2:l y x b =+上，求b 的取值范围；(3)已知点H 是直线1x =上的一点，且点H 的纵坐标小于0，()3,0C ，E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线6x =上的点()6,F h ，以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．。

北京四中2019中考数学全真模拟试题(1)及答案

中考数学全真模拟试题（1）一、填空题(每空2分,共40分) 1、21-的相反数是；－2的倒数是； 16的算术平方根是；－8的立方根是。

2、不等式组⎩⎨⎧-+2804＜＞x x 的解集是。

3、函数y=11-x 自变量x 的取值范围是。

4、直线y=3x-2一定过（0，-2）和（，0）两点。

5、样本5，4，3，2，1的方差是；标准差是；中位数是。

6、等腰三角形的一个角为︒30，则底角为。

7、梯形的高为4厘米，中位线长为5厘米，则梯形的面积为平方厘米。

8、如图PA 切⊙O 于点A ，∠PAB=︒30，∠AOB= ，∠ACB= 。

9、如图PA 切⊙O 于A 割线PBC 过圆心，交⊙O 于B 、C ，若PA=6；PB=3，则PC= ；⊙O 的半径为。

10题图9题图ACDB8题图A 11题图B10、如图∆ABC 中，∠C=︒90，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，则DC 的长为。

11、如图同心圆，大⊙O 的弦AB 切小⊙O 于P ，且AB=6，则阴影部分既圆环的面积为。

12、已知Rt ∆ABC 的两直角边AC 、BC 分别是一元二次方程06x 5-x 2=+的两根，则此Rt ∆的外接圆的面积为。

二、选择题(每题4分,共20分)13、如果方程0m x 2x 2=++有两个同号的实数根，m 的取值范围是（）A 、m ＜1B 、0＜m ≤1C 、0≤m ＜1D 、m ＞014、徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元。

则平均每次降低成本的百分率是（）A ．8.5％ B. 9％ C. 9.5％ D. 10％15、二次函数c bx ax y 2++=的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论①a<0 ②a>0③ac 4-b 2>0 ④ab<0中，正确的结论有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个16题图16、如图：点P 是弦AB 上一点，连OP ，过点P 作PC ⊥OP ，PC 交⊙O ，若AP ＝4，PB ＝2，则PC 的长是（） A.2 B. 2 C. 22 D. 317、为了美化城市，建设中的某休闲中心准备用边长相等的正方形和正八边形两种地砖镶嵌地面，在每一个顶点周围，正方形、正八边形地砖的块数分别是（） A. 1、2 B. 2、1 C. 2、3 D. 3、2 三、（本题每题5分，共20分）18、计算1303)2(2514-÷-+⎪⎭⎫⎝⎛+- 19、计算22)145(sin 230tan 3121-︒+︒--20、计算）＋（）－（＋－ab b a ]a b a b b a a [2÷ 21、解方程11-x 1-1-x 22=四、解答题（每题7分，共28分）22、已知关于x 的一元二次方程0)32(22=+-+m x m x 的两个不相等的实数根α、β满足111=+βα，求m 的值。

北京四中2019-2020学年度第一学期统一练习(二) 初三年级数学试卷

数学试卷（考试时间：120分钟，试卷满分：100分）班级：________________学号：________________姓名：____________________一．选择题（每题2分，共16分）1．下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（）2．如果两个相似三角形面积的比是1:4，那么它们周长的比是（）A．1:16B．1:2C．1:4D．1:63．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1:2B．1:3C．2:1D．3:14．抛物线221y x=-+在同一直角坐标系内，则它们（）=，23y xA．都关于y轴对称B．开口方向相同C．都经过原点D．互相可以通过平移得到5．如图，点A的坐标为（1，3），O为坐标原点，将OA绕点A按逆时针方向旋转90°得到AO′，则点O′的坐标是（）A．（4，1）B．（1，4）C．（4，2）D．（2，-4）6．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．26寸C．25寸D．13寸7．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线开口向下； ②抛物线的对称轴为直线1x =-； ③m 的值是0；④图象不经过第三象限．上述结论中正确的是（）A ．①④B ．②④C ．③④D ．②③8．如图，∠AOB =120°，OP 平分∠AOB ，且OP =2．若点M ，N分别在射线OA ，OB 上，且∠PMN 为等边三角形，则满足上述条件的∠PMN 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上二．填空题（每题2分，共16分）9. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，2tan 3A =，则AC 的长为__________.10. 如果43x y =，那么x y = ______________． 11. 如图，现有测试距离为5m 的一张视力表，表上一个E 的高AB 为2cm ，要制作测试距离为3m 的视力表，其对应位置的E 的高CD 为___________cm ．12. 如图，在⊙O 中，弦=22AC ，点B 是圆上一点，且∠ABC ＝45°，则⊙O 的半径R ＝________．13. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为_________．14. 抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为（-1，3.2），部分图象如图所示，由图象可知关于x 的一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根分别是1 1.3x =和2=x ___________．15. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OB =BB′，如果点A （2，3），那么点A′的坐标为__________.16. 如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点，正方形EFGH 的顶点G 、H 都在边AD 上，若AB =3，BC =4，则tan AFE ∠=___________.三．解答题：（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．计算：26tan 303sin 60cos45sin30︒-︒-︒︒．18．已知：如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠A =60°，BC = 27，AD =2．求AB 的长．19．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，求cos EFC∠的值.20．如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．21．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8，AE=2.（1）求⊙O的半径；（2）求OF的长.22．体育场主席台侧面如图，若顶棚顶端D与看台底端A连线和地面垂直，测得看台AC的长为14 米，∠BAC=30°，∠ACD=45°．（1）求看台高BC的长；）（2）求顶棚顶端D到地面的距离AD的长．（取3 1.723．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示：（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3 s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m？请说明理由．24．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC. 过点B作AB 的垂线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE = AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE =2∠EBD；（2）如果AB=5，5sin EBD∠=，求BD的长．25. 小明利用函数与不等式的关系，对形如()()()120n x x x x x x --->（n 为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程，请补充完整．．．．： ①对于不等式20x ->，观察函数2y x =-的图象可以得到如下表格：由表格可知不等式20x ->的解集为2x >．②对于不等式()()210x x -->，观察函数()()21y x x =--的图象可得到如下表格：由表格可知不等式()()210x x -->的解集为___________________．③对于不等式()()()2120x x x -+->，请根据已描出的点画出函数()()()1=22x x y x -+-的图象；观察函数()()()1=22x x y x -+-的图象，补全下面的表格：由表格可知不等式()()()2120x x x -+->的解集为___________________．小明将上述探究过程总结如下：对于解形如()()()120n x x x x x x --⋯->（n 为正整数）的不等式，先将12,n x x x ，，按从大到小的顺序排列，再划分x 的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式()()()()64220x x x x ---+>的解集为_________________；②不等式()()()25340x x x --+>的解集为____________________．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2M y ax bx c =++： ()0a ≠经过A （-1，0），且顶点坐标为B （0，1）．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设F （t ，0）为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为________；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27. 如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，点P 为直线BD ，CE 的交点．（1）如图，将△ADE 绕点A 旋转，当D 在线段CE 上时，连接BE ，下列给出两个结论：①2BD CD AD =+ ②()2222BE AD AB =+．其中正确的是_________，并给出证明.（2）若AB =4，AD =2，把△ADE 绕点A 旋转，①当∠EAC =90°时，求PB 的长；②旋转过程中线段PB 长的最大值是______．28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：连接PC交⊙C于点N，若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D（-1，-1），E（2，0），F（0，4）中，⊙O的外称点是___________；②若点M（m，n）为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G（2，2），求m的取值范围；（2）直线y x b=-+过点A（1，1），与x轴交于点B．⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若线段AB上的所有点都是⊙T的外称点，请直接写出t的取值范围．。

2024届北京市第四中学中考一模数学试题含解析

2024学年北京市第四中学中考一模数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A ．B ．C ．D ．2．中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《2022相约北京》的文艺表演，会后表演视频在网络上推出，即刻转发量就超过810000这个数用科学记数法表示为（）A ．8.1×106B ．8.1×105C ．81×105D ．81×1043．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )A ．2B ．3C ．5D ．74．把直线l ：y=kx+b 绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A （-2,0）和点B （0,4），则直线l 的表达式是（）A ．y=2x+2B ．y=2x-2C ．y=-2x+2D ．y=-2x-25．某校在国学文化进校园活动中，随机统计50名学生一周的课外阅读时间如表所示，这组数据的众数和中位数分别是（）学生数（人）5 8 14 19 4 时间（小时）6 7 8 9 10 A ．14，9 B ．9，9 C ．9，8 D ．8，96．某种超薄气球表面的厚度约为0.00000025mm ，这个数用科学记数法表示为（）A ．72.510-⨯B ．70.2510-⨯C ．62.510-⨯D ．52510-⨯7．不解方程，判别方程2x 2﹣2x ＝3的根的情况( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个实数根D ．无实数根8．在﹣3，0，4，6这四个数中，最大的数是（）A ．﹣3B ．0C ．4D ．69．如图，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是( )A ．121x y x y -=⎧⎨-=⎩B ．121x y x y -=-⎧⎨-=-⎩C ．121x y x y -=-⎧⎨-=⎩D ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩ 10．给出下列各数式，①2?--（） ②2-- ③2 2- ④22-（）计算结果为负数的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．,A B 两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A 地出发到B 地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B 地.甲、乙两车相距的路程y （千米）与甲车行驶时间x （小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B 地还有____________千米.12．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的数为x ﹣3，点B 表示的数为2x+1，点C 表示的数为﹣4，若将△ABC 向右滚动，则x 的值等于_____，数字2012对应的点将与△ABC 的顶点_____重合．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=1．在边AB 上取一点O ，使BO=BC ，以点O 为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′（点A 、B 、C 的对应点分别是点A′、B′、C′、），那么△ABC 与△A′B′C′的重叠部分的面积是_________．14．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是_____．15．将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为_____．16．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.0000872贝克/立方米．数据“0.0000872”用科学记数法可表示为________．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．18．（8分）已知顶点为A的抛物线y＝a(x－12)2－2经过点B(－32，2)，点C(52，2)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，与y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM ＝∠MAF，求△POE的面积；(3)如图2，点Q是折线A－B－C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN′，若点N′落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．19．（8分）平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c ++＝经过点10（，）A 和30B （，），与y 轴相交于点C ，顶点为P .（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA EC ＝，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，MEQ NEB ∠∠＝，求点Q 的坐标.20．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CN 于D 、M 两点．求证：MD=MC ；若⊙O 的半径为5，AC=45，求MC 的长．21．（8分）“分组合作学习”已成为推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要措施.某中学从全校学生中随机抽取部分学生对“分组合作学习”实施后的学习兴趣情况进行调查分析，统计图如下：请结合图中信息解答下列问题：求出随机抽取调查的学生人数；补全分组后学生学习兴趣的条形统计图；分组后学生学习兴趣为“中”的所占的百分比和对应扇形的圆心角.22．（10分）先化简2211a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，然后从22a -≤<中选出一个合适的整数作为a 的值代入求值． 23．（12分）为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？24．如图，点A 的坐标为（﹣4，0），点B 的坐标为（0，﹣2），把点A 绕点B 顺时针旋转90°得到的点C 恰好在抛物线y=ax 2上，点P 是抛物线y=ax 2上的一个动点（不与点O 重合），把点P 向下平移2个单位得到动点Q ，则：（1）直接写出AB 所在直线的解析式、点C 的坐标、a 的值；（2）连接OP 、AQ ，当OP+AQ 获得最小值时，求这个最小值及此时点P 的坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得∠QPO=∠OBC ，若不存在，请说明理由；若存在，请你直接写出此时P 点的坐标．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解题分析】解：找到从左面看所得到的图形，从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，3，1．故选B．2、B【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】810 000=8.1×1．故选B．【题目点拨】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3、C【解题分析】试题解析：∵这组数据的众数为7，∴x=7，则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，1，7，7，中位数为：1．故选C．考点：众数；中位数.4、B【解题分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l．【题目详解】解：设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ．∵A （−2，0），B （0，1）， ∴ ，解得， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ＋1．将直线AB 向右平移1个单位长度后得到的解析式为y ＝2（x−1）＋1，即y ＝2x ＋2，再将y ＝2x ＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y ＝−2x ＋2，即y ＝2x−2，所以直线l 的表达式是y ＝2x−2．故选：B ．【题目点拨】本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键． 5、C【解题分析】解:观察、分析表格中的数据可得：∵课外阅读时间为1小时的人数最多为11人，∴众数为1．∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，第25个和第26个数据的均为2，∴中位数为2．故选C ．【题目点拨】本题考查（1）众数是一组数据中出现次数最多的数；（2）中位数的确定要分两种情况：①当数据组中数据的总个数为奇数时，把所有数据按从小到大的顺序排列，中间的那个数就是中位数；②当数据组中数据的总个数为偶数时，把所有数据按从小到大的顺序排列，中间的两个数的平均数是这组数据的中位数.6、A【解题分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【题目详解】70.00000025 2.510-=⨯，故选：A ．【题目点拨】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7、B【解题分析】一元二次方程的根的情况与根的判别式∆有关，24b ac ∆=-2(42(3)=--⨯⨯-420=>，方程有两个不相等的实数根，故选B8、C【解题分析】试题分析：根据实数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小．因此，在﹣3，0，1这四个数中，﹣3＜0＜1，最大的数是1．故选C ．9、C【解题分析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．【题目详解】直线l 1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；直线l 2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；因此以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是：121x y x y -=-⎧⎨-=⎩．故选C ．【题目点拨】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．10、B【解题分析】∵①(2)2--=；②22--=-；③224-=-；④2(2)4-=；∴上述各式中计算结果为负数的有2个.故选B.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、90【解题分析】【分析】观察图象可知甲车40分钟行驶了30千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车的距离为10千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达B 地，设乙车出故障前走了t 1小时，修好后走了t 2小时，根据等量关系甲车用了122133t t ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭小时行驶了全程，乙车行驶的路程为60t 1+50t 2=240，列方程组求出t 2，再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距B 地的路程.【题目详解】甲车先行40分钟（402603=h ），所行路程为30千米，因此甲车的速度为304523=（千米/时），设乙车的初始速度为V 乙，则有4452103V ⨯=+乙，解得：60V =乙（千米/时），因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时），设乙车出故障前走了t 1小时，修好后走了t 2小时，则有121260502402145()4524033t t t t +=⎧⎪⎨⨯+++⨯=⎪⎩，解得：12732t t ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 45×2=90（千米），故答案为90.【点评】本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组进行求解是关键.12、﹣1 C ．【解题分析】∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的数为x ﹣1，点B 表示的数为2x +1，点C 表示的数为﹣4，∴﹣4﹣（2x +1）=2x +1﹣（x ﹣1）；∴﹣1x =9，x=﹣1．故A表示的数为：x﹣1=﹣1﹣1=﹣6，点B表示的数为：2x+1=2×（﹣1）+1=﹣5，即等边三角形ABC边长为1，数字2012对应的点与﹣4的距离为：2012+4=2016，∵2016÷1=672，C从出发到2012点滚动672周，∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合．故答案为﹣1，C．点睛：此题主要考查了等边三角形的性质，实数与数轴，一元一次方程等知识，本题将数与式的考查有机地融入“图形与几何”中,渗透“数形结合思想”、“方程思想”等,也是一道较优秀的操作活动型问题.13、144 25【解题分析】先求得OD，AE，DE的值，再利用S四边形ODEF=S△AOF-S△ADE即可. 【题目详解】如图，OA’=OA=4，则OD=34OA’=3，OD=3∴AD=1，可得DE=35，AE =45∴S四边形ODEF=S△AOF-S△ADE=12×3×4-12×35×45=14425.故答案为144 25.【题目点拨】本题考查的知识点是三角形的旋转，解题的关键是熟练的掌握三角形的旋转.14、3cm．【解题分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA＝OB＝OD＝OC，由∠AOB＝60°，判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．【题目详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝6cm∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝3cm ，∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝3cm ，故答案为：3cm【题目点拨】本题主要考查矩形的性质和等边三角形的判定和性质，解本题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分． 15、y=2x+1【解题分析】分析：直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．详解：将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是y=2x+4-3=2x+1；故答案为y=2x+1．点睛：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．16、58.7210-⨯【解题分析】科学记数法的表示形式为ax10n 的形式，其中1≤lal<10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数.【题目详解】解：0.0000872=58.7210-⨯故答案为：58.7210-⨯【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.三、解答题（共8题，共72分）17、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）图见解析，点P 坐标为（2，0）．【解题分析】(1)根据网格结构找出点A 、B 、C 平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；(2))找出点A 、B 、C 关于原点O 的对称点的位置，然后顺次连接即可；(3)找出A 的对称点A ′，连接BA ′，与x 轴交点即为P ．【题目详解】(1)如图1所示，△A1B1C1，即为所求：(2)如图2所示，△A2B2C2，即为所求：(3)找出A的对称点A′(1，﹣1)，连接BA′，与x轴交点即为P；如图3所示，点P即为所求，点P坐标为(2，0)．【题目点拨】本题考查作图-旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，得出对应点位置是解题关键．18、(1) y＝(x－12)2－2；(2)△POE的面积为115或13；(3)点Q的坐标为(－54，32)或(，2)或，2)．【解题分析】（1）将点B坐标代入解析式求得a的值即可得；（2）由∠OPM=∠MAF知OP∥AF，据此证△OPE∽△FAE得OPFA=OEFE＝134＝43，即OP=43FA，设点P（t，-2t-1），列出关于t的方程解之可得；（3）分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得．【题目详解】解：（1）把点B(－32，2)代入y＝a(x－12)2－2，解得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝(x－12)2－2，（2）由y＝(x－12)2－2知A(12，－2)，设直线AB表达式为y＝kx＋b，代入点A，B的坐标得122322k bk b ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得21 kb=-⎧⎨=-⎩，∴直线AB的表达式为y＝－2x－1，易求E(0，－1)，F(0，－74)，M(－12，0)，若∠OPM＝∠MAF，∴OP∥AF，∴△OPE∽△FAE，∴OP OE143FA FE34===，∴OP＝43FA＝43=，设点P(t ，－2t －1)，则()225t 2t 13+--=，解得t 1＝－215，t 2＝－23，由对称性知，当t 1＝－215时，也满足∠OPM ＝∠MAF ， ∴t 1＝－215，t 2＝－23都满足条件， ∵△POE 的面积＝12OE·|t|， ∴△POE 的面积为115或13；（3）如图，若点Q 在AB 上运动，过N′作直线RS ∥y 轴，交QR 于点R ，交NE 的延长线于点S ，设Q(a ，－2a －1)，则NE ＝－a ，QN ＝－2a.由翻折知QN′＝QN ＝－2a ，N′E ＝NE ＝－a ，由∠QN′E ＝∠N ＝90°易知△QRN′∽△N′SE ，∴QR N S '＝RN ES '＝QN EN ''，即QR 1＝=2a 12a ES a---=-＝2， ∴QR ＝2，ES ＝2a 12-- ，由NE ＋ES ＝NS ＝QR 可得－a ＋2a 12--＝2，解得a ＝－54， ∴Q(－54，32)，如图，若点Q 在BC 上运动，且Q 在y 轴左侧，过N′作直线RS ∥y 轴，交BC 于点R ，交NE 的延长线于点S.设NE＝a，则N′E＝a.易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，∴QR＝5，SE＝5－a.在Rt△SEN′中，(5－a)2＋12＝a2，解得a＝355，∴Q(－355，2)，如图，若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，过N′作直线RS∥y轴，交BC于点R，交NE的延长线于点S.设NE＝a，则N′E＝a.易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，∴QR5SE5 a.在Rt△SEN′中，5a)2＋12＝a2，解得a 35，∴，2)．综上，点Q 的坐标为(－54，32)或(，2)或，2)．【题目点拨】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点．19、（1）243y x x +＝﹣，顶点P 的坐标为21（，﹣）；（2）E 点坐标为22（，）；（3）Q 点的坐标为58（，）. 【解题分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式，把一般式配成顶点式得到顶点P 的坐标；（2）设2E t （，），根据两点间的距离公式，利用EA EC ＝得到22222123t t ++（﹣）＝（﹣），然后解方程求出t 即可得到E 点坐标；（3）直线2x ＝交x 轴于F ，作2MH x ⊥直线＝于H ，如图，利用12tan NEB ∠＝得到12tan MEQ ∠＝，设243Q m m m +（，﹣），则2412HE m m QH m +＝﹣，＝﹣，再在Rt QHE 中利用正切的定义得到H 1tan HE 2Q HEQ ∠==，即24122m m m +﹣＝（﹣），然后解方程求出m 即可得到Q 点坐标.【题目详解】解：（1）抛物线解析式为13y x x ＝（﹣）（﹣），即243y x x +＝﹣， 221y x ＝（﹣）﹣，∴顶点P 的坐标为21（，﹣）；（2）抛物线的对称轴为直线2x ＝，设2E t （，）， EA EC ＝，22222123t t ∴++（﹣）＝（﹣），解得2t ＝，∴E 点坐标为22（，）；（3）直线2x ＝交x 轴于F ，作MN ⊥直线x=2于H ，如图，MEQ NEB ∠∠＝，而BF 1tan EF 2NEB ∠==， 1tan 2MEQ ∴∠=，设243Q m m m +（，﹣），则22432412HE m m m m QH m ++＝﹣﹣＝﹣，＝﹣，在Rt QHE 中，H 1tan HE 2Q HEQ ∠==， 24122m m m ∴+﹣＝（﹣），整理得2650m m +﹣＝，解得11m ＝（舍去），25m ＝， ∴Q 点的坐标为58（，）.【题目点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和锐角三角函数的定义；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式.20、（1）证明见解析；（2）MC=154. 【解题分析】【分析】（1）连接OC ，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【题目详解】（1）连接OC ，∵CN 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CM ，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM ⊥AB ，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；（2）由题意可知AB=5×2=10，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴OD AOBC AC==，可得：OD=2.5，设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=154，即MC=154．【题目点拨】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相似三角形是解决问题的关键.21、（1）200人；（2）补图见解析；（3）分组后学生学习兴趣为“中”的所占的百分比为30%；对应扇形的圆心角为108°. 【解题分析】试题分析：（1）用“极高”的人数÷所占的百分比，即可解答；（2）求出“高”的人数，即可补全统计图；（3）用“中”的人数÷调查的学生人数，即可得到所占的百分比，所占的百分比360,⨯即可求出对应的扇形圆心角的度数.试题解析：()15025%200÷=(人).()2学生学习兴趣为“高”的人数为：20050602070---=(人).补全统计图如下:()3分组后学生学习兴趣为“中”的所占的百分比为：60100%30%.200⨯= 学生学习兴趣为“中”对应扇形的圆心角为：30%360108.⨯=22、-1【解题分析】先化简，再选出一个合适的整数代入即可，要注意a 的取值范围.【题目详解】解：2211a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ (1)(1)12a a a a a ---=•- 1(1)12a a a a a -+-=•- 2a =，当2a =-时，原式212-==-．【题目点拨】本题考查的是代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键.23、（1）甲、乙两种套房每套提升费用为25、1万元；（2）甲种套房提升2套，乙种套房提升30套时，y 最小值为2090万元．【解题分析】（1）设甲种套房每套提升费用为x 万元，根据题意建立方程求出其解即可；（2）设甲种套房提升m 套，那么乙种套房提升（80-m ）套，根据条件建立不等式组求出其解就可以求出提升方案，再表示出总费用与m 之间的函数关系式，根据一次函数的性质就可以求出结论.【题目详解】（1）设乙种套房提升费用为x 万元，则甲种套房提升费用为（x ﹣3）万元，则6257003x x=-，解得x=1．经检验：x=1是分式方程的解，答：甲、乙两种套房每套提升费用为25、1万元；（2）设甲种套房提升a 套，则乙种套房提升（80﹣a ）套，则2090≤25a+1（80﹣a ）≤2096，解得48≤a≤2．∴共3种方案，分别为：方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套．方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套，方案三：甲种套房提升2套，乙种套房提升30套．设提升两种套房所需要的费用为y 万元，则y=25a+1（80﹣a ）=﹣3a+2240，∵k=﹣3，∴当a 取最大值2时，即方案三：甲种套房提升2套，乙种套房提升30套时，y 最小值为2090万元．【题目点拨】本题考查了一次函数的性质的运用，列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用．解答时建立方程求出甲，乙两种套房每套提升费用是关键，是解答第二问的必要过程．24、（1）a=12；（2）OP+AQ 的最小值为P 的坐标为（﹣1，12）；（3）P （﹣4，8）或（4，8），【解题分析】（1）利用待定系数法求出直线AB 解析式，根据旋转性质确定出C 的坐标，代入二次函数解析式求出a 的值即可；（2）连接BQ ，可得PQ 与OB 平行，而PQ=OB ，得到四边形PQBO 为平行四边形，当Q 在线段AB 上时，求出OP+AQ 的最小值，并求出此时P 的坐标即可；（3）存在这样的点P ，使得∠QPO=∠OBC ，如备用图所示，延长PQ 交x 轴于点H ，设此时点P 的坐标为（m ，12m 2），根据正切函数定义确定出m 的值，即可确定出P 的坐标．【题目详解】解：（1）设直线AB 解析式为y=kx+b ，把A （﹣4，0），B （0，﹣2）代入得：402k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：122kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB的解析式为y=﹣12x﹣2，根据题意得：点C的坐标为（2，2），把C（2，2）代入二次函数解析式得：a=12；（2）连接BQ，则易得PQ∥OB，且PQ=OB，∴四边形PQBO是平行四边形，∴OP=BQ，∴5（等号成立的条件是点Q在线段AB上），∵直线AB的解析式为y=﹣12x﹣2，∴可设此时点Q的坐标为（t，﹣12t﹣2），于是，此时点P的坐标为（t，﹣12 t），∵点P在抛物线y=12x2上，∴﹣12t=12t2，解得：t=0或t=﹣1，∴当t=0，点P与点O重合，不合题意，应舍去，∴OP+AQ的最小值为5P的坐标为（﹣1，12）；（3）P（﹣4，8）或（4，8），如备用图所示，延长PQ交x轴于点H，设此时点P 的坐标为（m ，12m 2），则tan ∠HPO=2212m OH PH m m ==，又，易得tan ∠OBC=12，当tan ∠HPO=tan ∠OBC 时，可使得∠QPO=∠OBC ，于是，得212m =，解得：m=±4，所以P （﹣4，8）或（4，8）．【题目点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．。

北京四中九年级考数学试题及答案

1E DCBA初三数学统练试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1. 长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700 000米.将6700 000用科学记数法表示应为（）A. 610×67B. 610×7.6C. 710×7.6D. 610×67.02. 如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n 与q 互为相反数，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（）A ．pB ．qC ．mD ．n3. 如左图是一个几何体的三视图，那么这几何体的展开图可以是（）4. 如图，△ABC 中，∠A =90°，点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠1=35°，则∠B 的度数为（）A . 25° B. 35° C. 55° D. 65°正左俯5.已知y x=3,则22yxyx的值为（）6. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）7. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的可估计为（）A．3000条 B．2200条 C．1200条 D．600条8. 若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（）A．30° B．60° C．90°D．120°9. 李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y (单位：米)与时间t (单位：分)的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是(用P点表示李阿姨家的位置) （）A． B． C． D．y/米t/分OPPP PA． B． C．D．10. 为了测量被池塘隔开的A, B两点之间的距离, 根据实际情况,作出如图图形, 其中AB⊥BE, EF⊥BE, AF交BE于D, C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：① BC, ∠ACB；② CD, ∠ACB,∠ADB；③ EF, DE, BD；④ DE, DC, BC．能根据所测数据, 求出A, B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.分解因式：2 x3-8 x = ．12．分式x−1x+1有意义的条件是___________.13．写出一个过点（1，-1），且当自变量0x 时y随x的增大而增大的函数表达式_____．14．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC=50cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为 cm.15．居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行B AO阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为元．16. 在数学课上，老师提出如下问题：小云的作法如下：老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是__三、解答题（本题共72 分，第17—26 题，每小题5 分，第27 题7 分，第28 题7 分，第29 题8 分）17. 计算：10)21(345cos 2)5(-+--︒+-π．18．已知2410x x +-=，求代数式22(2)(2)(2)x x x x +-+-+的值.19．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，点D 在BC 上，且BD =AC ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点B 作CB 的垂线，交DE 的延长线于点F ．求证：AB =DF ．20．已知关于x 的方程04332=++mx x 有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.EDB OCA21.如图，一次函数y 1=﹣x +2的图象与反比例函数y 2=xk 的图象相交于A ，B 两点，点B 的坐标为（2m ，-m ）．（1）求出m 值并确定反比例函数的表达式；（2）请直接写出当x ＜m 时，y 2的取值范围．22. 列方程（组）解应用题：为了把通州区打造成宜居的北京城市副中心，区政府对地下污水排放设施进行改造．某施工队承担铺设地下排污管道任务共2200米，为了减少施工对周边交通环境的影响，施工队进行技术革新，使实际平均每天铺设管道的长度比原计划多10%，结果提前两天完成任务．求原计划平均每天铺设排污管道的长度．23.如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C 、D 作CE ∥BD ，DE ∥AC ，CE 和DE 交于点E .（1）求证：四边形ODEC 是矩形；（2）当∠ADB=60°，AD=时，求tan∠EAD的值.24. “世界那么大，我想去看看”是现代很多人追求的生活方式之一．根据北京市旅游发展委员会发布的信息显示， 2012——2015年连续四年，我市国内旅游市场保持了稳定向好的态势.2012年，旅游总人数约亿人次，同比增长%；2013年，旅游总人数约亿人次，同比增长9%；2014年，旅游总人数约亿人次，同比增长%；2015年，旅游总人数亿人次，同比增长%；预计2016年旅游总人数与2015年同比增长5%.旅游不仅是亲近自然的好时机，同时也是和家人朋友沟通的好时机，调查显示，中秋国庆黄金假期成为人们选择旅游最佳时期，《2015年中秋国庆长假出游趋势报告》显示，人们出行的方式可以归纳为四种，即乘火车、乘汽车、坐飞机、其他.其中选择乘火车出行的人数约占47%，选择乘汽车出行的人数约占28%，选择坐飞机出行的人数约占17%.根据以上信息解答下列问题：（1）预计2016年北京市旅游总人数约亿人次（保留两位小数）；（2）选择其他出行方式的人数约占；（3）请用统计图或统计表，将2012——2015年北京市旅游总人数表示出来.25．如图，CE是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交CE延长线于点A，连接DE，过点O作OB ED∥，交AD的延长线于点B，连接BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若2=AE，tan∠DEO=，求AO的长．26．探究活动：利用函数(1)(2)y x x=--的图象(如图1)和性质，探究函数y=质．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x的取值范围是___________；（2）如图2，小东列表描出了函数y=-1 O 1 2 3 4 x y21图2O1212y x图1（31(1)(2)04x x x b ---=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程21324x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <．若12b <<1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系为（用“<”连接）．27．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1(2y x b b k =+＜)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．28.在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC、PE．如图1，若点E、F分别落在边AB、AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记ACBC＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）29. 我们规定：平面内点x 到图形x 上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离x ，点x 到图形x 上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离x ，定义点x 到图形x 的距离跨度为R =x −x 。

2024年北京市中考数学真题卷含答案解析

2024年北京市初中学业水平考试数学试卷考生须知：1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（）A. B. C. D. 2. 如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠大小为（）A. 29︒B. 32︒C. 45︒D. 58︒3. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. 1b >-B. 2b >C. 0a b +>D. 0ab >4. 若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A. 16-B. 4-C. 4D. 165. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从的的中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（　）A. 34 B. 12 C. 13 D. 146. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（）A. 16810⨯B. 17210⨯C. 17510⨯D. 18210⨯7. 下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C OD COD '''△≌△的依据是（）A. 三边分别相等的两个三角形全等B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8. 如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

北京市第四中学2024届中考冲刺卷数学试题含解析

北京市第四中学2024学年中考冲刺卷数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（）A．（3，-1）B．（2，﹣1）C．（1，-3）D．（﹣1，3）.若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为60的扇形，2．小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开则()A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为4cmB．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC．圆锥形冰淇淋纸套的高为235cmD．圆锥形冰淇淋纸套的高为63cm3．如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C，B重合），则2PD+PB 的最小值为（）A．B．C．10 D．=，4．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB2∠=时，AC等于（）B60A．2B．2C．6D．225．将（x+3）2﹣（x﹣1）2分解因式的结果是（）A．4（2x+2）B．8x+8 C．8（x+1）D．4（x+1）6．截至2010年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则由年龄组成的这组数据的中位数是（）A．28 B．29 C．30 D．317．如图是一个正方体的表面展开图，如果对面上所标的两个数互为相反数，那么图中x的值是（）．A．3-B．3C．2D．88．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．4233π-B．833π-C．8233π-D．843π-9．下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有()个．A．4 B．3 C．2 D．110．如图，直线y＝kx+b与x轴交于点(﹣4，0)，则y＞0时，x的取值范围是()A．x＞﹣4 B．x＞0 C．x＜﹣4 D．x＜0二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，ABC△的顶点A，B，C均在格点上，D为AC边上的一点.线段AC的值为______________;在如图所示的网格中，AM是ABC△的角平分线，在AM上求一点P，使CP DP的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM和点P，并简要说明AM和点P的位置是如何找到的（不要求证明）___________.12．如图的三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm.沿过点B的直线折叠三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD.则△AED的周长为____cm.13．如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=23+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__．14．点(a－1，y1)、(a＋1，y2)在反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则a的范围是________．15．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______.16．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为__．17．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，是5×5正方形网格，每个小正方形的边长为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图（1）中画出一个等腰△ABE，使其面积为3.5；（2）在图（2）中画出一个直角△CDF，使其面积为5，并直接写出DF的长．19．（5分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)20．（8分）某村大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，该村果农小张种植了黄桃树和苹果树，为进一步优化种植结构，小张将前年和去年两种水果的销售情况进行了对比：前年黄桃的市场销售量为1000千克，销售均价为6元/千克，去年黄桃的市场销售量比前年减少了m%（m≠0），销售均价与前年相同；前年苹果的市场销售量为2000千克，销售均价为4元/千克，去年苹果的市场销售量比前年增加了2m%，但销售均价比前年减少了m%．如果去年黄桃和苹果的市场销售总金额与前年黄桃和苹果的市场销售总金额相同，求m的值．21．（10分）化简：（x-1-2x2x1-+）÷2x xx1-+.22．（10分）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元。

2024-2025学年北京四中高三上学期开学考数学试题

数学试卷（试卷满分为100分，考试时间为90分钟）一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1. 已知集合{|11}A x x =-≤≤，{,}B a a =-. 若A B A =，则实数a 的取值范围是（A ）{|11}a a -≤≤（B ）{|11}a a -<<（C ）{|11a a -<<，且0}a ≠ （D ）{|11a a -≤≤，且0}a ≠2.若复数i 1iaz +=+是纯虚数，则实数a = （A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2- 3.已知lg e a =，2e b =，1ln 10c =（e 2.71828=），那么（A ）b c a <<（B ）c b a <<（C ）b a c<<（D ）c a b<<4.函数1()x f x x+=的图象的对称中心为（A ）(0,0)（B ）(0,1)（C ）(1,0)（D ）(1,1)5.已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则1()3f 的值为（A ）2（B ）14（C ）14-（D ）2-6.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，249a a =，42910S S =，则24a a +的值为（A ）30（B ）10（C ）9（D ）67.在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（A ）ln y x x=（B ）cos y x=（C ）2xy =（D ）ln y x x=-8.已知a ，b ∈R ，则“1ab >”是“222a b +>”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件9.在ABC ∆中，若cos cos a c B b c A -=-，则ABC ∆的形状是（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等腰三角形或直角三角形10.已知1x =是函数2()(1)()f x x x a =--的极小值点，那么实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞（B ）(1,)+∞（C ）(,1]-∞（D ）[1,)+∞11.已知函数()sin cos f x t x x ωω=+（0t >，0ω>）的最小正周期为π，最大值，则函数()f x 的图象（A ）关于直线π4x =-对称（B ）关于点π(,0)4-对称（C ）关于直线π8x =对称（D ）关于点π(,0)8对称12.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数a ，b ，c ，使得n n S a b c =⋅+，则以下结论不．正确的是（A ）0a c += （B ）数列{}n a 的公比为b （C ）0ac <（D ）数列{}n a 可能为常数列13.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户. 如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：0()e kt R t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为参考数据：lg 20.3010≈ （A ）9（B ）10（C ）11（D ）1214.已知函数21()e 2x f x a x =-（a ∈R ），有如下3个结论：①当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递减；②当10ea <<时，()f x 有两个极值点； ③当1e a ≥时，()f x 有最大值.其中，正确结论的个数是（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）15.已知0a >，则关于x 的不等式22450x ax a --<的解集是_____.16.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，且终边经过点(4,3)-，则3πcos()2α-=_____.17.若2(i)2i x +=（x ∈R ），则x =_____.18.写出一个同时具有下列性质的函数()f x =_____.①函数(1)f x +是偶函数；②当(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.19.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，2114,0,2()121,.2x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）5(())8f f =_____；（2）不等式3(1)4f x -≤的解集为_____.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =. 给出如下4个结论：①{}n a 可能为等差数列； ②{}n a 可能为等比数列；③ i a （2i ≥）均能写成{}n a 的两项之差； ④ 对任意*n ∈N ，总存在*m ∈N ，使得n m a S =. 其中正确命题的序号是_____.三、解答题（本大题共2小题，共28分） 21.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S （*n ∈N ），11a =，59a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列{}n b 的前n 项和n T .条件①：2n a n b =；条件②：2n n n b a =+；条件③：11n n n b a a +=⋅.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.（本小题满分15分）已知函数21()e 2x f x x ax ax =--（0a >）.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 的极大值为11e-，求a 的值；（Ⅲ）当1ea >时，若1[1,)x ∀∈+∞，2(,0]x ∃∈-∞，使得12()()0f x f x +=，求a 的取值范围.。

北京市第四中学2024-—2025学年上学期10月月考九年级数学试题

北京市第四中学2024-—2025学年上学期10月月考九年级数学试题一、单选题1．一元二次方程220x x +=的解为（） A ．2x =-B ．2x =C ．10x =，22x =D ．10x =，22x =-2．抛物线()212y x =-+的顶点坐标是（） A ．()1,2B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2--3．若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是（） A ．36B ．36-C ．9D ．9-4．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()21y x =-+上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（） A ．123y y y >> B ．132y y y >> C ．321y y y >>D ．213y y y >>5．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则当y ＞0时，x 的取值范围是（）A ．x ＜3B ．x ＞﹣1C ．﹣1＜x ＜3D ．x ＜﹣1 或 x ＞36．已知AB=10cm ，以AB 为直径作圆，那么在此圆上到AB 的距离等于5cm 的点共有( ). A ．无数个 B ．1个 C ．2个 D ．4个7．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，下列结论正确的是（）A ．a ＞0B ．b ＝2aC ．b 2＜4acD ．8a+c ＜08．若二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点，坐标分别为()1,0x ，()2,0x ，且12x x <，图像上有一点()00,M x y 在x 轴下方，则下列判断正确的是（） A ．0a > B ．()()01020x x x x --< C ．102x x x <<D ．()()01020a x x x x --<二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为． 10．如图，已知O e 的半径5OA =，弦AB 的弦心距3OC =，那么AB =．11．若m 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣1＝0的解，则代数式6m ﹣3m 2＋2的值是．12．若抛物线y ＝2x ﹣2x +m 与x 轴的一个交点是（﹣2，0），则另一交点坐标是．13．如图，一次函数()10y kx n k =+≠与二次函数()220y ax bx c a =++≠的图象相交于()1,4A -，()6,2B 两点，则关于x 的不等式2kx n ax bx c +>++的解集为．14．平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的半径为． 15．二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程20ax bx m +-=有实数根，则m 的取值范围是．16．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为()2,3-，()1,3，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为．三、解答题17．用适当的方法解方程 (1)228=0x x --(2)()()23530x x x ---=．18．如图所示，在O e 中，直径AB ⊥弦CD ，E 为垂足，4AE =，6CE =，求O e 的半径.19．已知二次函数222y x x -=-+．(1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2)结合函数图象，直接写出方程2220x x --+=的近似解（精确到0.1）．20．已知关于x 的方程()22120kx k x +++=．()1求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；()2当抛物线()2212y kx k x =+++（k 为正整数）图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，求此抛物线的解析式；(3)已知抛物线()2212y kx k x =+++恒过定点，求出定点坐标．21．已知：二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为()3,0-，与y 轴交于点C ，点()2,3D --在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA PD +的最小值；(3)若抛物线上有一动点Q ，使三角形ABQ 的面积为24，求Q 点坐标．22．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y (单位：m)与水平距离x (单位：m)近似满足函数关系2()y a x h k =-+(0)a <．某位同学进行了两次投掷．(1)第一次投掷时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()y a x h k =-+(0)a <；(2)第二次投掷时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.09( 3.8) 2.97y x =--+．记实心球第一次着地点到原点的距离为1d ，第二次着地点到原点的距离为2d ，则1d _____ 2d (填“＞”“＝”或“＜”)． 23．阅读以下材料：利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如()22224211415a a a a a +-=++--=+-∵()210a +≥，∴()2224155a a a +-=+-≥-，因此，代数式224a a +-有最小值5- 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式222a a -+的最小值为；(2)试比较2211a b ++与62a b -的大小关系，并说明理由； (3)已知：22450a b ab c c -=+-+=，，求代数式a b c ++的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，()p A p y ，，()q B q y ，和23t C t y ⎛⎫⎪⎝⎭，是抛物线223y x tx =--上三个不同的点．(1)当1t =，p q y y =时，求抛物线对称轴，以及p ，q 之间的等量关系；(2)当1p =-时，若对于任意的32t q t -≤≤-，都有p q t y y y >>，求t 的取值范围． 25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，BE CF =，AE ，BF 交于点G ．(1)在线段AG 上截取MG BG =，连接DM ，AGF ∠的角平分线交DM 于点N ． ①依题意补全图形；②用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明；(2)在（1）条件下，若正方形ABCD 边长为1，求线段DN 的最小值． 26．【阅读材料】①抛物线上的任意一点都具有如下性质：抛物线C 上任意一点A 到抛物线对称轴上一点F的距离和到垂直于抛物线对称轴的一条直线l 的距离相等．例如：已知抛物线2y x =，点10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线1:4l y =-，抛物线上一点()2,Q a a ．作QP l ⊥于点P ，连结QF ．则214QP a =+，214QF a QP ==+=．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．②抛物线上两点连成的线段叫做抛物线的弦，过焦点的弦叫做焦点弦．与抛物线对称轴垂直的焦点弦叫做通径．【解决问题】请你仿照①中的方法，解决以下问题：(1)已知抛物线213y x =，焦点30,4⎛⎫⎪⎝⎭，请计算出准线的解析式；(2)已知抛物线218y x =，准线2y =-，请计算出焦点坐标；(3)综合以上几问的结果，请直接写出抛物线212y x p =的焦点坐标与准线解析式（用含p 的式子表示）。