经济学的数学工具教学-第四章 二次型和正定矩阵

ij
0 1
i j i j
如果A为对称矩阵，那么对应着不同特征值的特征向量正 交。
• 证明
令 i 和 j 是两个不同特征值，分别对应于特征向量 x i 和x j。
那么有
Axi i xi
Axj j xj
分别左乘x j 和 x i ，有
xjAxi ixjxi xiAxj jxixj
由于x j x i 是数量，(xjxi) xixj，同理，(xjAxi)xiAxj x j A xi
• 定义 关于问题2，我们有如下定义：
（i）矩阵 A 为正定的，如果对于所有非零实向量x ，xAx0 （ii）矩阵A 为半正定的，如果对于所有实向量x ，xAx0 （iii）矩阵 A 为负定的，如果对于所有非零实向量 x ，xAx0 （iv）矩阵 A 为半负定的，如果对于所有实向量x ，xAx0
（v）矩阵 A 为不定的，如果对于某些向量x A x 为正，而对 于某些向量x A x 为负。
第3节 特殊矩阵的特征值
• 相似矩阵 定义
令A和B为nXn矩阵。A和B是相似矩阵，如果存在一非奇异 矩阵C使得
定理
BC1AC
如果A和B是相似矩阵，其具有相同的特征值。 证明 令A和B相似，考虑
BIC1ACC1C
C1(AI)C
1 AI C
C
AI
因此BI 0 和 AI 0是同一方程。
• 幂等矩阵 定理 幂等矩阵的特征值为1或0。 证明 令A为幂等矩阵，考虑
2 x2
1 2
2 2
x1 x2
0 0
标准化条件要求
x12 x22
1，从而
3
x
2 2
1
即
x2
1 3
因此我们取第二个特征向量为
x2
1
3
2
1
第5节 列为对称矩阵特征向量的矩阵
• Q 的列为对称矩阵A特征向量，A的特征值为1, ,n
• Q 的性质
Q(x1, ,xn)
定义
矩阵B是正交的，如果 B1 B
经济学的数学工具教学-第四章 二次型 和正定矩阵
• 在本章中，我们将介绍特征值和特征向量， 然后介绍由特征向量组成的矩阵，并且运 用这些知识来判断二次型的正定性，与此 同时，我们也介绍特征值与行列式、秩、 迹的关系，最后我们介绍用行列式来判断 二次型正定性的方法，作为特征值方法的 补充。
第一节 引言
2，A
25
01(1)331
2 1(54)1
2 6
25
0 11
这些顺序主子式符号交替变化，其第一个为负，则A 为负 定矩阵。
• 定义
A n n的主子式为A 剔除同号行列后形成的子方阵的行列式 定理
令 A 为对称矩阵，则
（i）当且仅当所有的主子式大于等于零时，其为半正定。
（ii）当且仅当所有奇阶数主子式小于等于零而所有的偶 阶数主子式大于等于零时，其为半负定。
而
trQ A Q 1 2 n
trQ A Q trA Q Q trA
则有如下定理：
• 定理
对于对称矩阵 A ，trA 12n
第8节 另一种方法：运用行列式
• 定义 A 的顺序主子式为
a
11
a
，a
1 2
1 1
a12 a 22
a11
，a 2 1
a 31
a12 a13
a 22 a 23 ，
而A对称，故 xiAxj xiAxj，则
0(i j)xixj
由于i j ，则xix j 0
• 定理
如果 i 为K重的特征值，存在着K个对应着 i 的特征向量， 它们和其他特征向量一起构成一个规范正交集。
• 求特征向量
求解方法：将下列两式联立求解
(AiI)x0
•
xx 1
•
例
求矩阵
A
2 2
• 二次型 完整形式：
nn
xiaijxj a11x12 a12x1x2 a1nx1xn
i1 j1
a21x2x1a22x22 a2nx2xn an1xnx1an2xnx2 annxn2
其中 x1,x2, ,xn代表变量而a i j 为常数 矩阵表示法：
x A x
常要求 A 为对称矩阵。
•例
二次型
令Q 是列为A的特征向量的规范正交向量组的矩阵。考虑
非奇异替换：
x Q y 或者 y Qx
则 x A x y Q A Q y y D y
其中D 为对角矩阵 j ij
引言所提第二个问题，我们有如下定理： 定理 （i）当且仅当 A 的每个特征值都为正（负）时，二次型
x A x 为正（负）定
（ii）当且仅当 A 的所有特征值都非负（非正）且至少一
8 x 1 2 3 x 1 x 2 6 x 1 x 3 4 x 2 2 5 x 2 x 3 2 x 3 2
用矩阵表示为
8 1.5 3x1
(x1 x2 x3)1.5
4
2.5x2
• 问题1：
3 2.5 2x3
我们能否通过对变量的一些技巧性变换而化简二次型？
• 问题2：
是否存在这样的情况，不论我们为变量赋以何值，二次型 总是取同一个正负号？
个为零时，二次型 x A x 为半正（半负）定
（iii）当且仅当的 A 的特征值有正有负时，二次型 x A x不
定
例
2 A 2
2 1
的特征值为0和3，故 A 为半正定的，因此对
于任意x 1 ，x 2 ，2x12x2 222x1x20
第7节 特征值与 A ，r ( A ) 和t r A
因为
1 0
a 32 a 33
，A
。
定理
当 A 为n n对称矩阵，则
（i）当且仅当 A 的n 个顺序主子式都为正时，其为正定矩
阵。
（ii）当且仅当 A 的顺序主子式正负符号交替变化：第一 个为负，下一个为负，依此类推，其为负定矩阵
•例
考虑
1 2 0
A
2 0
6 1
1 1
其顺序主子式为
1 2 0
-1， 1
2
Q A Q
Hale Waihona Puke Baidu
0 n
而
Q Q1 1/ Q
QAQQ AQ1AQA Q
Q AQ12 n
故有如下定理：
对于对称矩阵A A，12 n
1 0
•
r(QAQ)
r
A的非零特征值的个数
0 n
考虑到一个矩阵左乘或者右乘一个非奇异矩阵时，其秩保 持不变，故
定理
对于对称矩阵 A ，r ( A ) 等于其非零特征值的个数
定理
Q 是正交矩阵
证明 显然
x 1
Q
x 2
x
n
那么 Q Q xixjijI
因此，Q Q1
定理 矩阵Q A Q 为对角矩阵，其对角线上的元素为A的特征值。 证明
Q A Q ijQ A i Qj
xiAx j
j xix j
j ij
第6节 二次型的对角化
引言所提第一个问题：能否对二次型进行简化？
例
1 1 1
A
1
1
1
1 1 3
谢谢大家！
2 1
特征向量的规范正交向量组。
已知A的两特征值为 1 0 和 2 3
1 0
由(A1I)x0得到 Ax 0
即
2 2
2 1
x1 x2
0
由方程可得 x2 2x1，那么 作为特征向量x我12们x2 2取1 3x121 x113
x1
1 1
3 2
2 3
即 x1
由 (A2I)x0可得
第2节 对称矩阵的特征值
• 定义
A为 n n矩阵，A 的特征值是一个数 ，对应存在着一个
非零向量x ，满足： Axx
该向量x 被称为 A 的特征向量。有如下定义式：
(AI)x0
为保证非平凡解的存在，要求
AI 0
一般而言，上式表达的是 的n 次多项式方程：
b 0 b 1 b 22 b nn 0
Axx A2xAx2x
上下两式想减可得
0(1)x
由于x 0 ，则 0 或者 1
第4节 对称矩阵的特征向量
• 定义 向量集 x1,x2, ,xK（两两）正交，如果对于i j ，有xi x j 0
向量x 是标准化的，如果 xx 1
向量组x1,x2, ,xK为规范正交的，如果
定理
xixj