计数原理单元测试题
计数原理单元测试卷一
计数原理单元测试卷一同学们，今天我们进行的是计数原理单元的测试，请大家认真审题，仔细作答。
现在，让我们开始今天的测试。
一、选择题（每题3分，共30分）1. 某班级有30名学生，需要选出5名代表参加校运会，有多少种不同的选法？A. 3000B. 300C. 150D. 1002. 如果一个事件可以由n个步骤组成，每个步骤有两种选择，那么完成这个事件共有多少种不同的方法？A. 2^nB. n^2C. 2nD. n!3. 某图书馆有100本书，需要选出10本进行展示，如果不考虑书籍的排列顺序，共有多少种不同的选法？A. 100B. 10C. 10^100D. 100!/(10!*90!)...（此处省略其他选择题）二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果一个事件有5种可能的结果，每种结果发生的概率相等，那么这个事件的期望值是______。
2. 从5个不同的数字中选出3个数字进行排列，不考虑排列顺序，共有______种不同的组合。
...（此处省略其他填空题）三、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是排列和组合，并给出一个例子说明它们的区别。
2. 请解释什么是二项式定理，并给出一个应用二项式定理的例子。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 某学校有5个班级，每个班级有50名学生。
现在需要从这5个班级中随机选出10名学生组成一个学习小组。
如果不考虑班级之间的差异，计算出有多少种不同的组合方式。
2. 假设有5个不同的球和5个不同的盒子，每个盒子只能放一个球。
计算出有多少种不同的放球方法。
五、论述题（共10分）请论述计数原理在日常生活中的应用，并给出至少两个具体的例子。
同学们，测试结束。
请检查自己的答案，确保没有遗漏。
希望你们都能取得好成绩。
如果有任何疑问，可以在课后与我讨论。
谢谢大家的努力和参与。
(人教版)重庆市选修三第一单元《计数原理》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．在二项式()12nx -的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（ ） A ．960- B ．960 C ．1120D ．16802．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．13．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ） A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种4．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n +B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C5．已知二项式()nx x-的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为 A ．－20B ．－15C ．15D ．206．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．407．在()nx x+的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21B ．63C ．189D ．7298．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．1659．在二项式3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )A ．400B ．460C ．480D ．49611．若()()()2202020202019201801220201111a x a x x a x x a x +-+-++-=，则012020a a a +++=（ ）A ．1B ．0C ．20202D ．2021212．以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492二、填空题13．已知13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含10x 项的系数是___________.14．把4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，全部分完，不同的分配方案数为________.15．方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.16．4名志愿者被随机分配到、、A B C 三个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率为______. 17．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.18．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______．19．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有____个．20．622x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）三、解答题21．设函数(,)(1)(0,0)x f x y my m y =+>>.（1）当3m =时，求()9,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知(2,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和大4032，若01(,)nn f n y a a y a y =++⋅⋅⋅+，且2135a =，求1i ni a =∑22．求值：（1）333364530C C C C +++⋅⋅⋅+； （2）12330303030302330C C C C +++⋅⋅⋅+.23．已知i ，m ，n 是正整数，且1i m n <≤<． （1）证明：i i i im n n A m A <； （2）证明：(1)(1)m n n m +<+． 24．已知()(n f x x =，()f x 的展开式的各二项式系数的和等于128，（1）求n 的值；（2）求()f x 的展开式中的有理项；（3）求()f x 的展开式中系数最大的项和系数最小的项.25．已知二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为256. （1）求n ；（2）求展开式中的常数项．26．已知5nx⎛⎝.（1）当6n =时，求： ①展开式中的中间一项； ②展开式中常数项的值；（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，求展开式中含x 项的系数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先根据条件求出8n =，再由二项式定理及展开式通项公式，即可得答案. 【详解】由已知可得：2256n =，所以8n =，则展开式的中间项为44458(2)1120T C x x =-=，即展开式的中间项的系数为1120. 故选：C ．【点睛】本题考查由二项式定理及展开式通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．2．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A =种情况， ②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A =种情况；则若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案有121224+=种； 故选：B ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．4．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.5．C解析：C 【分析】利用二项式系数之和为64解得6n =，再利用二项式定理得到常数项. 【详解】二项式(nx 的展开式中二项式系数之和为642646n n ⇒=⇒=36662166(((1)r r r r rr r x T C x C x --+-⇒=⋅=-当36042r r -=⇒=时，系数为15 故答案选C 【点睛】本题考查了二项式定理，先计算出6n =是解题的关键，意在考查学生的计算能力.6．B解析：B 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．7．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773r r r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．故选C ． 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 8．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．A解析：A 【解析】分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得B ，最后根据72B +=解出.n详解：因为各项系数之和为(13)4nn+=，二项式系数之和为2n , 因为72A B +=，所以4272283n n n n +=∴=∴=, 选A.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.10．C解析：C 【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有31116321C C C C 种方法，用四种颜色涂色时，有41126322C C C A 种方法，根据分类计数原理得到结果.详解：只用三种颜色涂色时，有31116321120C C C C =种方法， 用四种颜色涂色时，有41126432360C C C A =种方法，根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.11．C解析：C 【分析】 由()202011x x =+-⎡⎤⎣⎦结合二项式定理可得出2020kk a C =，利用二项式系数和公式可求得012020a a a +++的值.【详解】()2020201920182202001220202020(1)(1(1)11)x x a x a x x a x x a x +-+-++-=⎡⎤⎣⎦+-=，当02020k ≤≤且k ∈N 时，2020kk a C =，因此，01220202020202020202020012202020202a a a C C a C C =++++=+++⋅⋅⋅+.故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式0122nn n n n n C C C C ++++=，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.12．B解析：B 【分析】根据平行六面体的几何特征，可以求出以平行六面体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共面的情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，即可得到答案． 【详解】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的8个顶点任意三个均不共线， 故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面， 从8个顶点中4点共面共有12种情况， 每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种， 故选：B. 【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了组合数的计算，在解题过程中注意共面和不共面的情况，做到不重不漏，属于中档题.二、填空题13．【分析】首先由二项式系数相等求再根据通项公式求指定项的系数【详解】由条件可知所以所以的通项公式是令解得：所以函数的系数是故答案为：-4【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数其中二项式系数与 解析：4-【分析】首先由二项式系数相等求n ，再根据通项公式求指定项的系数. 【详解】由条件可知57n n C C =，所以5712n =+=，所以1213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式是12122112121133r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令12210r -=，解得：1r =， 所以函数10x 的系数是112143C ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭. 故答案为：-4 【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数，其中二项式系数与项的关系是第1r +项的系数是rn C ，这一点容易记错，需注意.14．36【分析】先从4个人中选出2人作为一个元素看成整体再把它同另外两个元素在三个位置全排列根据分步乘法原理得到结果【详解】从4名学生中选出2名学生作为一个整体有种再和另外两人分别推荐到3所不同的大学共解析：36 【分析】先从4个人中选出2人作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果. 【详解】从4名学生中选出2名学生作为一个整体，有24C 种，再和另外两人分别推荐到3所不同的大学，共有234336C A =种分配方案.故答案为：36 【点睛】本题考查分步乘法计数原理，利用了捆绑法，属于中档题.15．【分析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里有多少种方法利用隔板法即可求得答案【详解】问题中的看作是三个盒子问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里有多少种方法将个球排一排后中间插入两块隔板将它们 解析：36【分析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案. 【详解】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球． 隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36 【点睛】本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.16．【分析】要保证每个岗位至少一人人所以首先将四个人分成三组在将三组全排列求出总事件数然后再将甲乙分到不同两组得出甲乙不在同一岗位的基本事件数总而得出概率【详解】因为每个岗位至少有一人所以要将四个人分成解析：56【分析】要保证每个岗位至少一人人，所以首先将四个人分成三组，在将三组全排列求出总事件数，然后再将甲乙分到不同两组，得出甲乙不在同一岗位的基本事件数，总而得出概率. 【详解】因为每个岗位至少有一人，所以要将四个人分成三组，则只能是211、、所以总事件数为： 2113421322=36C C C A A ⋅⋅⋅， 甲乙不在同一岗位的基本事件数：()11232223+=30C C C A ⋅⋅ 所以甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率305=366P =， 故答案为：56. 【点睛】本题考查等可能性事件的概率，利用排列组合公式求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键.17．40【分析】先求出的展开式的通项再求出即得解【详解】设的展开式的通项为令r=3则令r=2则所以展开式中含x3y3的项为所以x3y3的系数为40故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系解析：40 【分析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.【详解】设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r rr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案即可求解得到答案【详解】由题意先在4位同学中选2人选地理学科共种选法再将剩下的2人在政治化学生物3门活动课任选一门报名共3×3＝9种选法故地 解析：54【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共246C =种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法， 故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝54种选法， 故答案为54． 【点睛】本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．19．14【解析】由题意得必有则具体的排法列表如下：由图可知不同的规范01数列共有14个故答案为14解析：14 【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：由图可知，不同的“规范01数列”共有14个. 故答案为14.20．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】622x x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()3666216612222xrr x r r r r T C x C x x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为60三、解答题21．（1）4511206T y =，5633618T y =；（2）4095. 【分析】（1）根据二项式的性质知二项式系数最大项为第5、第6项，代入通项计算；（2）利用展开式中各项的二项式系数和公式列出等式求解n ，代入(,)f n y 由2135a =列等式求解m ，即可利用赋值法求1i ni a =∑.【详解】（1）9(9,)(13)f y y =+，二项式系数最大项为第5、第6项，44459(3)11206T C y y ==，55569(3)33618T C y y ==.（2）由题意：2224032n n -=，即()()2642630nn-+=，解得6n =，6260126(6,)(1)f y my a a y a y a y =+=+++⋅⋅⋅+，则2226135a C m ==，29m =，解得3m =或3-（舍去），则6(6,)(13)f y y =+，令1y =可得601264a a a a =+++⋅⋅⋅，所以661260126011414095n i ii i a aa a a a a a a a ====++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅-=-=∑∑.【点睛】本题考查二项式定理，涉及二项式系数最大项、展开式中二项式系数和、赋值法求展开式中项的系数和，属于中档题. 22．（1）31464；（2）29302⋅. 【分析】（1）根据组合数性质11m m mn n n C C C -++=即可得结果； （2）根据组合数性质0122n n n n n n C C C C ++++=即可得结果；【详解】（1）333343333456304456301C C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-4311C =-31464=（2）()12330012293030303029292929233030C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+29302=⋅ 【点睛】本题主要考查了通过组合数的性质计算式子的值，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于中档题.23．（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析. 【分析】（1）根据排列数的公式，结合不等式的性质进行证明即可；（2）根据二项式定理，结合（1）中的结论、排列数、组合数的公式进行证明即可. 【详解】（1）由排列数的公式得：(1)(2)(1)121i m i A m m m m i m m m m i m mmm m m m m m---+---+==⋅⋅， (1)(2)(1)121i n i A n n n n i n n n n i n nnn n n n n n---+---+==⋅⋅， 当1i m n <≤<，1,2,31k i =-时，()()()=0m k n k n m k m n k k m n m k n km n mn mn m n ---------=<⇒<， 由不等式的性质可知： 121m m m m i m m mm ---+⋅⋅<121n n n n i n n nn---+⋅⋅，即i m i A m <i i i m ni i n i n A nm A A <⇒； （2）由二项式定理可知：0(1),(1)mnmi i ni imn i i n n Cm m C ==+=⋅+=⋅∑∑，因为,!!i iiim n mn A A C C i i ==，由（1）知：i i i i m n n A m A <， 所以有i i i im n n C m C <,又因为000011111,,0i in m n m n m C n C m C n C nm m C ====>(1)i m n <≤<，所以(1)(1)n mii ii n m nm i i m C n Cm n ==⋅>⋅⇒+>+∑∑.【点睛】本题考查了排列数、组全数公式的应用，考查了二项式定理，考查了不等式的性质，考查推理论证能力和数学运算能力.24．（1）7n =；（2）71=T x ，3435T x =-，177-=T x ；（3）系数最大的项为第五项53535T x =；系数最小的项为第4项3435T x =-【分析】（1）根据()f x 的展开式的各二项式系数的和等于2128n =求解. （2）先得到()f x 的展开式中的通项公式47317(1)r r rr TC x-+=-，再令473r-为整数求解. （3）由通项公式知：第1r +项的系数为7(1)⋅-r r C ，若该系数最大，则r 为偶数，且7rC 最大求解.若该系数最小，则r 为奇数，且7rC 最大求解. 【详解】 （1）已知()(n f x x =，()f x ∴的展开式的各二项式系数的和等于2128n =，7n ∴=.（2）()f x 的展开式中的通项公式为47317(1)-+=⋅-⋅r r rr T C x，令473r-为整数，可得0r =，3，6， 故展开式的有理项为71=T x ，3435T x =-，177-=T x . （3）第1r +项的系数为7(1)⋅-r r C ，当该系数最大时，r 为偶数，且7rC 最大，此时，4r =， 故()f x 的展开式中系数最大的项为第五项53535T x =； 当该系数最小时，r 为奇数，且7rC 最大，此时，3r =， 故()f x 的展开式中系数最小的项为第4项3435T x =-.【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，项的系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 25．（1）8；（2）28. 【分析】⑴观察1nx ⎫⎪⎭可知，展开式中各项系数的和为256，即112...256nn n n n C C C C ++++=，解出得到n 的值⑵利用二次展开式中的第1r +项，即通项公式11rn rrr nT C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，将第一问的n 代入，并整理，令x 的次数为0，解出r ，得到答案 【详解】（1）由题意，得112...256nn n n n C C C C ++++=，即2n ＝256，解得n ＝8.（2）该二项展开式中的第1r +项为T r ＋1＝8483881rr rr r CC x x --⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令843r-＝0，得r ＝2，此时，常数项为238T C =＝28.【点睛】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题． 26．（1）①322500x -；②375；（2）150.【分析】（1）当6n =时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值；（2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240求出n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x 项的系数． 【详解】（1）①当6n =时，65x⎛- ⎝的展开式共有7项，展开式中的中间一项为()33333322465201252500T C x x x -⎛=⋅⋅=-⨯=- ⎝；②展开式的通项公式为()()36662166515r r rr rr r r T C x C x---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3602r -=，得4r =，所求常数项的值为()442615375C ⋅-⋅=； （2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240，而展开式中各项系数之和为4n ，各二项式系数之和为2n ， 则42240nn，即()()2152160n n+-=，解得4n =.所以，展开式通项为()()34442144515rr rr rr r r T C x C x---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3412r -=，解得2r ，因此，展开式中含x 项的系数为()222415150C ⋅-⨯=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．。
苏州市选修三第一单元《计数原理》测试(有答案解析)
一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．402．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，()()!!24642n n n n =--⨯⨯；当n 为奇数时，()()!!24531n n n n =--⨯⨯．现有四个命题：①()()2009!!2008!!2009!=；②2008!!21004!=⨯；③2008!!个位数为0；④2009!!个位数为5．其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．254．若()352()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．15．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n+B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C6．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）A ．-250B ．250C ．-500D ．5007．甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了3种不同食品的情况有( ) A ．84种B ．100种C ．120种D ．150种8．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．1659．若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(),m n 的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ） A ．525 B ．1050C ．432D ．86410．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或611．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．240种B ．288种C ．192种D ．216种12．若()()()2202020202019201801220201111a x a x x a x x a x +-+-++-=，则012020a a a +++=（ ）A ．1B ．0C ．20202D ．20212二、填空题13．有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有________种.（用数字作答）14．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中4x 的系数为___________.15．若变量x ，y 满足约束条件202020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，22n x y =+-，则n取最大值时，1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为______．16．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______．17．已知()()()()()23n2012111...+1...*n n x x x x a a x a x a x n N +++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，那么n的展开式中的常数项为______．18．已知33210n n A A =，那么n =__________．19．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为_______．20．设S 为一个非空有限集合，记||S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集A 、B 满足：||A B k =并且A B S =，则称子集{,}A B 为集合S 的一个“k —覆盖”（其中0||k S ≤≤），若||S n =，则S 的“k —覆盖”个数为________三、解答题21．已知n的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256. （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项.22．已知在n 的展开式中第5项为常数项.（1）求n 的值；（2）求展开式中含有2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项. 23．设()52501252x 1a a x a x a x -=++++，求：（1）015a a a +++；（2）015a a a +++；（3）135a a a ++；（4）()()22024135a a a a a a ++-++．24．记2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ）的展开式中第m 项的系数为m b . （1）求m b 的表达式； （2）若3412b b =，求n ； （3）若6n =，求展开式中的常数项. 25．已知()23*23n n A C n N =∈.（1）求n 的值；（2）求12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数. 26．已知4530nnA C =，设()nf x x ⎛= ⎝． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求()f x 的展开式中的常数项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．C解析：C 【分析】利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简2008!!可判断②的正误；由2008!!能被10整除可判断③的正误；由2009!!能被5整除且为奇数可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，由双阶乘的定义得2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯，2008!!2462008=⨯⨯⨯⨯，所以，()()2009!!2008!!1234200820092009!=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，命题①正确；对于命题②，()()()()2008!!246200821222321004=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯100421004!=⨯，命题②错误；对于命题③，2008!!2468102008=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则2008!!能被10整除，则2008!!的个位数为0，命题③正确； 对于命题④，2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯能被5整除，则2009!!的个位数为0或5，由于2009!!为奇数，所以，2009!!的个位数为5，命题④正确.故选：C. 【点睛】本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意，用赋值法，在()352()x x a -+中，令1x =可得()521(1)32a -+=，解可得a的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，()352()xx a -+的展开式的各项系数和为32，令1x =可得：()521(1)32a -+=， 解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．5．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.6．A解析：A 【分析】分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数. 【详解】215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N = 429925n n M N n -=-=⇒=5251031551(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x---+=-=- 取3r = 值为-250故答案选A 【点睛】本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.7．C解析：C 【分析】由分步乘法计数原理先由5种食物中选择3种，共35C 种情况; 第二步，将3种食物编号，用列举法列举所有情况即可； 【详解】由分步乘法计数原理：第一步：由5种食物中选择3种，共35C 种情况； 第二步：将3种食物编号为A,B,C ，则甲乙选择的食物的情况有：()AB C ，，()AB AC ，，()AB BC ，，()AC B ，，()AC BC ，，()BC A ，，()A BC ，，()BC AC ，，()B AC ，，()BC AB ，，()AC AB ，，()C AB ，共12种情况，因此他们一共吃到了3种不同食品的情况有3512C 120=种.故选C【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理，按定义逐步计算，最后求乘积即可，属于常考题型.8．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．B解析：B 【分析】由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种取法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，第三位有7种取法，从0，1，2，3，4，5，6取一个数字，第四为有5种，从0，1，2，3，4取一个数字，根据分步计数原理得到结果． 【详解】由题意知本题是一个分步计数原理， 第一位取法3种为0，1， 2，第二位有10种为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ， 第三位有7种为0，1，2，3，4，5，6， 第四为有5种为0，1，2， 3，4根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个 故选：B. 【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．10．D解析：D 【解析】因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.11．D解析：D 【详解】最前排甲，共有55A 120=种；最前排乙，最后不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有种，故选D ．考点：排列及计数原理的应用．12．C解析：C 【分析】 由()202011x x =+-⎡⎤⎣⎦结合二项式定理可得出2020kk a C =，利用二项式系数和公式可求得012020a a a +++的值.【详解】()2020201920182202001220202020(1)(1(1)11)x x a x a x x a x x a x +-+-++-=⎡⎤⎣⎦+-=，当02020k ≤≤且k ∈N 时，2020kk a C =，因此，01220202020202020202020012202020202a a a C C a C C =++++=+++⋅⋅⋅+.故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式0122nn n n n n C C C C ++++=，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】由题意可得一个盒子里有2个球一定为1红1黄其余盒子每个盒子放一个根据分步计数原理可得【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中要求每个盒子至少放一个球且同色球不能放在同一个盒子中则一个盒子里有 解析：144【分析】由题意可得一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得． 【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球， 且同色球不能放在同一个盒子中，则一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，故有11134233144C C C A =种，故答案为：144. 【点睛】本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键..14．-48【分析】令x=1解得a=1再利用的通项公式进而得出【详解】令x=1=2解得a=1又的通项公式令5−2r=35−2r=5解得r=1r=0∴该展开式中的系数为=−80+32=−48故答案为：−48解析：-48 【分析】令x =1，解得a =1，再利用512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式，进而得出． 【详解】令x =1,()()5112a +-=2，解得a =1.又512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式()5521512r r rr r T C x --+=-⋅，令5−2r =3，5−2r =5. 解得r =1，r =0.∴该展开式中4x 的系数为()()141505512+12C C --=−80+32=−48， 故答案为：−48. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，根据通项公式求系数，属于中等题.15．240【分析】首先利用约束条件得到可行域结合的几何意义求出其最大值然后对二项式的通项求常数项【详解】作出可行域如图：由变形为当此直线经过图中时直线在轴的截距最大最大所以的最大值为所以二项展开式中的通解析：240 【分析】首先利用约束条件得到可行域，结合z 的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项． 【详解】 作出可行域如图：由22n x y =+-变形为22y x n =-++，当此直线经过图中(2,4)B 时，直线在y 轴的截距最大，n 最大， 所以n 的最大值为22426⨯+-=，所以12n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的通项为6362661(22rr rr rrC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =此项为常数项， 所以常数项为4462240C =； 故答案为：240． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出n ，然后由二项展开式通项求常数项．16．【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案即可求解得到答案【详解】由题意先在4位同学中选2人选地理学科共种选法再将剩下的2人在政治化学生物3门活动课任选一门报名共3×3＝9种选法故地 解析：54【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共246C =种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法， 故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝54种选法， 故答案为54． 【点睛】本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．17．-20【分析】由题意令x ＝1可得n ＝6再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项【详解】∵已知且∴令可得∴那么的展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项为故答案为﹣20【点睛】本题主要考查二解析：-20 【分析】由题意令x ＝1，可得n ＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 【详解】∵已知()()()()()232*0121111nnn x x x x a a x a x a x n N++++++⋯++=+++⋯+∈，且012126n a a a a +++⋯+=，∴令1x =，可得()210122122222212612n n n n a a a a +-+++⋯+=++⋯+==-=-，∴6n =，那么6n =的展开式的通项公式为()3161r rr r T C x -+=⋅-⋅， 令30r -=，求得3r =，可得展开式中的常数项为3620C -=-，故答案为﹣20． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．18．8【详解】分析：利用排列数公式展开解方程即可详解：解得即答案为8点睛：本题考查排列数公式的应用属基础题解析：8 【详解】分析：利用排列数公式展开，解方程即可. 详解：33210n n A A = ，()()()()221221012,n n n n n n ∴--=-- ()()22152,n n -=-解得8n =. 即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.19．61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式求出代入可求展开式中常数项为详解：的展开式中只有第4项的二项式系数最大即最大解得又则展开式中常数项为点睛：在二项展开式中有时存在一些特殊的项如常数项有理项解析：61 【解析】分析：根据题设可列出关于n 的不等式，求出6n =，代入可求21(1)(12)n x x++展开式中常数项为61. 详解：(12)n x +的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即3n C 最大，3234n n n nC C C C ⎧>∴⎨>⎩，解得57n <<， 又*,6n N n ∈∴=， 则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为02266261C C +⋅=. 点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T +.20．【分析】当时共有种情况当时共有种情况由此可计算得到答案【详解】由题意当时即中有个元素所以共有种情况此时集合中剩下个元素其子集个数为个即共有种情况所以的—覆盖个数为故答案为：【点睛】本题主要考查组合数解析：2k n kn C -⋅【分析】 当||A B k =时，共有k n C 种情况，当A B S =时，共有2n k -种情况，由此可计算得到答案. 【详解】 由题意，当||AB k =时，即A B 中有k 个元素，所以共有kn C 种情况，此时集合S 中剩下n k -个元素，其子集个数为2n k -个， 即AB S =共有2n k -种情况，所以S 的“k —覆盖”个数为2k n kn C -⋅. 故答案为：2k n kn C -⋅【点睛】本题主要考查组合数的应用和集合子集个数的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）3；（2）70x 或1220412x - 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为256，可得2256n =，解出8n =，再由通项公式163418k k k k Ta C x-+=，0,1,2,,8k =，分析即得；（2）根据各项系数的和均为256，可得()81256a +=，解出3a =-或1a =，再由通项公式分情况进行计算即得. 先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256求出n .【详解】（1）n的二项展开式的各二项式系数的和为2n，各项系数的和为()1n a +，由已知得2256n =，故8.n =此时n展开式的通项为：163418k k k k T a C x -+=，0,1,2,,8k =，当0,4,8k =时，该项为有理项，故有理项的个数为3. （2）由()81256a +=，得3a =-或 1.a = 当1a =时，展开式通项为163418k kk TC x-+=，0,1,2,,8k =，故二项式系数最大时系数最大，即第5项系数最大，即系数最大的项为45870T C x x ==；当3a =-时，163418(3)k kk k TC x-+=-，0,1,2,,8k =，展开式系数最大的项是奇数项，其中41T x =，523252T x =，55670T x =，12720412T x-=，296561T x -=，故展开式中系数最大的项为第7项，即系数最大的项为12720412T x-=.综上，展开式中系数最大的项为70x 或1220412x -. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题. 22．（1）8；（2）4-；（3）24x -，358，2116x- 【分析】（1）先写出展开式的通项公式2311()2n rr r r nT C x -+=-，由展开式中第5项为常数项，则当4r =时，有203n r-=，从而求出n 出的值. （2）由（1）中得到8n =，则含有2x 项，即8223r-=，得到1r =，从而求出答案. （3）展开式中所有的有理项,则82308r r r Z -⎧∈Z ⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，可得r 可取1，4，7，可得到答案.【详解】（1）展开式的通项公式为2311(()2n rr n rrr r r nnT C C x --+==-.因为第5项为常数项. 所以4r =时，有203n r-=，解得8n =. （2）令223n r-=，由（1）8n =，解1r =， 故所求系数为181()42C -=-（3）有题意得，82308r r r Z -⎧∈Z ⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令82()3r k k Z -=∈，则833422k r k -==- 所以k 可取2,0,2-，即r 可取1，4，7它们分别为24x -，358，2116x -. 【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式应用，求展开式中某项的系数，属于中档题. 23．（1）1；（2）243；（3）122；（4）243- 【分析】（1）令x=1即得015a a a +++的值；（2）在521x +（）中，令1x =得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·f(-1)即得解. 【详解】∵()52501232x 1a a x a x a x -=++++， （1）令1x =，可得015a a a 1+++=；（2）在521x +（）中，令1x =，可得015a a a 243+++=；（3）令f(x)=()5250125 2x 1a a x a x a x -=++++,f(1)=015 a a a 1+++=,所以f(-1)=012345243a a a a a a -+-+-=-， 所以f(1)-f(-1)=2135()244a a a ++=, 所以135122a a a ++=．（4）22024135a a a a a a ++-++（）（）012345012345a a a a a a a a a a a a =+++++-+-+-()()1?11243243f f =-=⨯-=-．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．（1）112m m m n b C --=；（2）5；（3）160【分析】（1）先求出其通项公式，进而求出结论； （2）结合通项公式以及组合数的性质即可求解； （3）先求出其通项公式，令指数为零，进而求出结论． 【详解】（1）2()nx x+的展开式中第m 项为11111222()2m n m m m m n m n n C x C x x--+----+=；112m m m n b C --∴=．（2）由3412b b =，得22331222n n C C =；即23n n C C =；5n ∴=．（3）当6n =时，2()nx x+展开式中的通项公式6621662()2r r r r rr r T C x C x x--+==，依题意得620r -=，3r =，所以展开式中的常数项是33462160T C ==． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．25．（1）6n =；（2）240. 【分析】（1）根据排列数和组合数公式，列方程；（2）写出二项展开式的通项公式，求出2x 系数为()4462C -，即可得到答案；【详解】解：（1）因为2323n n A C =所以()()()3122132n n n n n ---=⨯即42n =- 所以6n =（2）由（1）得12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中6n =， 所以612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，()()626166122kkkk kk k T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以262k -=，所以4k =，所以2x 系数为()4462240C -=.【点睛】本题考查排列数和组合数公式的计算、二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别. 26．（Ⅰ）8n =；（Ⅱ）728T ．【分析】（Ⅰ）利用排列数，组合数公式化简4530n n A C =即可得n 的值.（Ⅱ）写出()f x 的展开式的通项公式，令x 的指数为0即可得到常数项. 【详解】（Ⅰ）由已知4530n n A C =得：!30!4!5!5!n n n n ，!30!45!1205!n n n n n解得:8n =．（Ⅱ）8x ⎛⎝展开式的通项为488318831kk kkkk k T C xCxx由4803k 得6k =，即()f x 的展开式中的常数项为728T ．【点睛】本题考查排列数组合数公式的应用，考查求解二项展开式中的常数项，考查计算能力，属于基础题.。
第一章计数原理单元测试题
02
测试题目的内容
测试范围和知识点
计数原理的掌握和应用 排列组合的应用 概率计算的基本方法 测试题目的难易程度和覆盖面
题目类型和数量
题目类型：选择题、填空题、解答题等 题目数量：根据考试大纲和知识点分布确定，一般在20-30道题 左右
题目难度和区分度
难度：指测试题目的难易程 度，一般分为容易、较容易、 中等难度、较难和很难五个 等级。
测试题目可以反 映学生对计数原 理的掌握程度， 为后续学习打下 基础。
计数原理在计算 机科学、统计学 等领域也有广泛 应用，因此了解 其背景和意义对 于相关领域的人 才培养也具有重 要意义。
目的和意义
目的：通过测试题目了解学 生对计数原理的掌握情况
意义：巩固所学知识，提高 解题技巧，为后续学习奠定
题目难度适中， 适合学生水平
题目覆盖面广， 知识点考查全
面
题目设计有层 次，能够满足 不同层次学生
的需求
题目类型多样， 包括选择题、 填空题、解答
题等
总结和反思
测试题目的难易程度和覆盖面 学生对知识点的掌握情况 教学方法和效果的评价 针对不足之处提出改进建议
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计数原理单元测试题
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汇报人：XX目录来自01测试题目的背景和意义
02
03
测试题目的评价标准
04
测试题目的内容 测试题目的分析和总结
01
测试题目的背景和意义
背景介绍
计数原理是数学 中的基本概念之 一，对于解决实 际问题具有重要 意义。
通过单元测试题， 可以帮助学生更 好地理解和掌握 计数原理的应用。
04
测试题目的分析和总结
人教版数学高二A版选修2-3单元测试第一章计数原理
第一章过关检测(时间90分钟,满分100分)一、选择题(每小题4分,共40分) 1.若A 3m ＝6C 4m ,则m 等于( )A.9B.8C.7D.62.男、女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人3.若100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是( )A.C 16C 294B.C 16C 299C.C 3100－C 394D.C 3100－C 2944.从5位男教师和4名女教师中选出3位教师,派到3个班担任班主任(每班一位班主任),要求这三位班主任中男女教师都有,则不同的选派方案共有( ) A.210种 B.420种 C.630种 D.840种5.现有6个人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘4人(不含司机),则不同的乘车方案的种数是( )A.50B.60C.70D.806.在10)3( x 的展开式中,x 6的系数为( )A.－27C 610B.27C 410C.－9C 610D.9C 4107.把1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填入图中的表格,从上到下,从左到右,依次增大.当3、4固定在图中位置,余下的数的填法有( )A.6种B.12种C.18种D.24种8.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子里,使得每个盒子都不空的放法总数是( )A.C 13A 33B.C 34A 22C.C 24A 33D.C 14C 34C 229.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10种 B.20种 C.36种 D.52种10.已知(1－3x)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9,则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|等于( ) A.29 B.49 C.39 D.1 二、填空题(每小题4分,共16分)11. 8次投篮中,投中3次,其中恰有2次连续命中的情形有______种.12.四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方案的总数是_______.13.某药品研究所研制了5种消炎药a 1,a 2,a 3,a 4,a 54种退烧药b 1,b 2,b 3,b 4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验,但又知a 1,a 2两种药必须同时使用,且a 3,b 4两种药不能同时使用,则不同的方案有_______种.14.若nx x )(13-+展开式中,第5项是常数,问中间项是第_______项.三、解答题(共44分)15.(10分)如右图,若灯不亮,则元件R 1,R 2,R 3断路的情况共有多少种?16.(10分)解关于n 的不等式:C 4n ＞C 6n .17.(12分)求84)21(xx +展开式中系数最大的项.18.(12分)“十一”国庆期间,公司从网络部抽4名人员、人事部抽3名人员(两个部门的主任都在内),从10月1号至7号,安排每人值班一天,分别回答下列问题: (1)两个部门的主任不能安排在1号和7号;(2)若各部门的人员安排不能连续(即同部门的人员相间安排); (3)若人事部因工作需要,他们的值班必须安排在连续三天; (4)网络部主任比人事部主任先值班.参考答案1解析:由m(m －1)(m －2)＝1234)3)(2)(1(6⨯⨯⨯---•m m m m ,解得m ＝7. 答案:C2解析:设女生有x 人,则30128=•-C C x x ,即302)7)(8(=•--x x x .解得x ＝2或3. 答案:A3 解析:不考虑限制条件,从100件产品中任取3件,有C 3100种取法,然后减去3件全是正品的取法C 394,故有C 3100－C 394种取法. 答案:C4解析:分两类:第一类2男1女,则不同的选派方案有C 25C 14A 33＝240种. 第二类1男2女,则不同的选派方案有C 15C 24A 33＝180种. 由分类加法计数原理得:共有240＋180＝420种不同的选派方案. 答案:B5解析:分三类:第一辆车乘2人,第二辆车乘4人,有C 26种乘法;第一、二辆车各乘3人,有C 36种乘法;第一辆车乘4人,第二辆车乘2人,有C 46种乘法,由分类加法计数原理,共有C 26＋C 36＋C 46＝50种. 答案:A6 解析:T5＝C410x10－4·(－3)4＝9·C410 x6.答案:D7解析:左上角格必须填1,右下角格必须填9,第二行最左端格必须填2,如图.A、B从余下的5,6,7,8四个数中任选两个,从左到右依次增大填入,有C24种.剩余的两个数由上到下,依次增大填入C、D即可.故共有C24＝6种不同的填法.答案:A8解析:选2个小球捆在一起看成1个元素,有C24种选法.把3个元素放入3个不同的盒中,有A33种放法.故共有C24·A33种不同的放法.答案:C9 解析:分两类:第一类2号盒内放2个球,有C24种放法(剩余的球放入1号盒内即可);第二类,2号盒内放3个小球,有C34种放法(剩余的球放入1号盒内即可).由分类加法计数原理,共有C24＋C34＝10种不同的放法.答案:A10解析:由展开式可知a1,a3,a5,a7,a9都小于0,a0,a2,a4,a6,a8都大于0,故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8－a9,只需令x＝－1即可得:(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8－a9＝49.答案:B11解析:将2次连续命中当作一个整体,和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空档里进行排列有A26种.答案:3012 解析:将其中两名学生视为一个元素,其余二名同学分别视为一个元素,然后将三个元素分配到三所学校,所以不同的保送方案的总数为C 24A 33＝36. 答案:3613解析:分3类:当取a 1,a 2时,再取退烧药有C 14种方案;取a 3时,取另一种消炎药的方法有C 12种,再取退烧药有C 13种,共有C 12C 13种方案;取a 4,a 5时,再取退烧药有C 14种方案.故共有C 14＋C 12C 13＋C 14＝14种不同的实验方案. 答案:1414解析:由通项公式可得第5项3164434414---+==n n n nxx xT C C,即n ＝16,所以中间项是第9项. 答案:915解:每个元件都有通或断两种可能,以m,n,p 表示元件的通断,m,n,p 可取值均为0(表示断),1(表示通),故所有可能情况为(m,n,p)的可能情况共有2×2×2＝8种.因为是串联电路,所以一断则断,只要排除全通的情况(m ＝1,n ＝1,p ＝1)即可,所以若灯不亮,则元件R 1,R 2,R 3断路的情况共有8－1＝7种. 16解:因为C 4n ＞C 6n ,所以⎪⎩⎪⎨⎧≥->-,6,)!6(!6!)!4(!4!n n n n n即⎩⎨⎧≥<--.6,01092n n n 所以6≤n ＜10. 又因为n ∈N *,所以满足不等式的n 的取值为{6,7,8,9}. 17 解:记第r 项系数为T r ,设第k 项系数最大,则有⎩⎨⎧≥≥+-.,11k k k k T T T T 又1182+--•=r r r C T ,那么有⎪⎩⎪⎨⎧•≥••≥•-+--+--+--,22,228118228118kk k k k k k k C C C C 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-•≥⨯-•-⨯-•-≥-•-,)!8(!!82)!9()!1(!8,2)!10()!2(!8)!9()!1(!8k k k k k k k k所以⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-.192,10211kk k k 解得3≤k≤4.所以系数最大的项为第3项257x 和第4项477x .18解:(1)第一步,在2号至6号五天中安排两名主任,有A 25种排法;第二步,剩下五人安排在剩下的五天有A 55种排法,故共有A 25·A 55＝2 400种排法.(2)两个部门的人员相间安排,先排4名网络部人员,有A 44种;然后在他们的三个空档中插入三名人事部人员,有A 33种,故共有A 44·A 33＝144种排法.(3)把人事部三个人看成一个人,再与网络部4人,有A 55种排法;人事部三个人的内部排列,有A 33种,故共有A 55·A 33＝720种排法.(4)不考虑任何限制的排法有A 77,两人中排谁先值班的可能性相同,故有52022177=A种排法.。
(人教版)重庆市选修三第一单元《计数原理》测试(包含答案解析)
一、选择题1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种2．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．403．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ）A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种4．有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．42种 B ．48种 C ．60种 D ．72种5．两名老师和3名学生站成两排照相，要求学生站在前排，老师站在后排，则不同的站法有（ ） A ．120种B ．60种C ．12种D ．6种6．关于6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法中正确的是（ ） A ．展开式中二项式系数之和为32B ．展开式中各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项为第3项D ．展开式中系数最大的项为第4项 7．某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．248．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112B ．48C ．-112D ．-489．本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（ ） A ．330种B ．420种C ．510种D ．600种10．()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A ．-5 B ．7C ．-11D ．1311．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或6 12．899091100⨯⨯⨯⨯可表示为（ ）A ．10100AB ．11100AC ．12100AD ．13100A第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含10x 项的系数是___________.14．已知()2311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*N n ∈且58n ≤≤，则n =______. 15．关于x 的方程222424x xC C =的解为_________. 16．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______．17．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)18．若28C x ＝3828C x -，则x 的值为_______．19．若()*212nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________.20．若102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，则12310a a a a +++⋯+＝_____．三、解答题21．求值：（1）333364530C C C C +++⋅⋅⋅+；（2）12330303030302330C C C C +++⋅⋅⋅+.22．已知在2nx ⎫⎪⎭的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6: 1. （1）求展开式中11x 的系数； （2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求2319819n nn n n n C C C -++++的值.23．已知n+的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项.24．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？ (1)比21034大的偶数；(2)左起第二、四位是奇数的偶数．25．在二项式nx ⎛⎝的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. ()1求项数n ；()2求展开式中的常数项与二项式系数最大的项.26．在n的展开式中，前3项的系数的和为73. （1）求n 的值及展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的有理项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果. 【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶， 先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法； （2）之后就相当于三个元素的一个全排； （3）利用分步乘法计数原理求得结果.2．B解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.3．B解析：B 【分析】由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3节，而自习课可以上任意一节.故以生物课（或政治课）进行分类，再分步排其他科目.由计数原理可得张毅同学不同的选课方法.由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3、4节，而自习课可以上任意一节.若生物课排第2节，则其他课可以任意排，共有336A =种不同的选课方法.若生物课排第3节，则政治课有12C 种排法，其他课可以任意排，有22A 种排法，共有12224C A =种不同的选课方法.所以共有6410+=种不同的选课方法. 故选：B . 【点睛】本题考查两个计数原理，考查排列组合，属于基础题.4．A解析：A 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①甲在最中间，将剩余的4人全排列，②乙在中间，分析可得此时的排法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，中间只能排甲或乙，分2种情况讨论：①甲在中间将剩余的4人全排列，有4424A =种情况，②乙在中间，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排在剩下的三个位置，此时有33318A ⨯=种情况，则一共有241842+=种排法。
(人教版)杭州市选修三第一单元《计数原理》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30 B ．30 C ．-40D ．402．若2021220210122021(12)x a a x a x a x -=++++，则1232021a a a a ++++=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项是（ ） A ．15B ．-15C ．7D ．-74．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．255．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ) A ．48B ．72C ．84D ．1686．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n+B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C7．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．27B ．81C ．54D ．1088．212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中二项式系数之和是64，含6x 项的系数为a ，含3x 项系数为b ，则a b -=（ ） A ．200 B ．400 C ．-200D ．-4009．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一.在欧洲，左下图叫帕斯卡三角形，帕斯卡在1654年发现的这一规律，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.某大学生要设计一个程序框图，按右下图标注的顺序将表上的数字输出，若第5次输出数“1”后结束程序，则空白判断框内应填入的条件为( )A ．3n >B ．4n <C ．3n <D ．4n >10．在下方程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式342()(1)x m x x x+⋅-+的展开式中的常数项是A ．224B ．336C ．112D ．56011．在()nx x的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21 B ．63C ．189D ．72912．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或6二、填空题13．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．设122012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=，则n =_____15．在()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是_______________.16．在32nx x ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____. 17．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.18．二项式92(x展开式中3x 的系数为__________．19．二项式6ax ⎛ ⎝⎭的展开式中5x20a x dx =⎰________. 20．若()202022020012202032x a a x a x a x +=++++，则1352019a a a a ++++被12整除的余数为______．三、解答题21．若7767610(31)x a x a x a x a -=++++，求（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++．22．已知2nx ⎛⎝展开式前三项的二项式系数和为22.（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项.23．（1）求91x ⎛- ⎝的展开式的常数项； （2）若1nx ⎛ ⎝的展开的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.24．设()52501252x 1a a x a x a x -=++++，求：（1）015a a a +++；（2）015a a a +++；（3）135a a a ++；（4）()()22024135a a a a a a ++-++． 25．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.26．已知4530n n A C =，设()nf x x ⎛= ⎝． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求()f x 的展开式中的常数项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．D解析：D 【分析】分别令0x =和1x =，即可解出所求． 【详解】解：由2021220210122021(12)x a a x a x a x -=+++⋯+， 令0x =得01a =；令1x =得01220211a a a a -=+++⋯+， 1220212a a a ∴++⋯+=-．故选：D ． 【点睛】本题考查赋值法在研究二项展开式中系数的问题，同时考查方程思想在解题中的作用．属于中档题．3．B解析：B 【分析】先求得7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，分别令r =4,5,6,7，求得对应的四项，又()3264226128x x x x +=+++，则()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中所有x 的零次幂的系数和即为常数项，计算化简，即可得结果. 【详解】7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为721417721()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令4r =，得446657(1)35T C x x --=⋅-⋅=， 令=5r ，得554467(1)21T C x x --=⋅-⋅=-， 令6r =，得662277(1)7T C x x --=⋅-⋅=， 令7r =，得77087(1)1T C x =⋅-⋅=-，又()3264226128x x x x +=+++，所以()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为351(21)6712(1)815⨯+-⨯+⨯+-⨯=-， 故选：B 【点睛】本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.4．B解析：B 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．5．D解析：D 【分析】分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得. 【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有2412A =种第二步：分三类①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查另2名理科生所在的班级，有22224A A =种②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生互查所在的班级，有21212A A =种③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有1112228A A A =种根据分步分类技术原理可得，共有()12428168⨯++=不同的安排方法 故选：D 【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.6．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.7．B解析：B 【分析】以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果. 【详解】甲在五楼有33种情况，甲不在五楼且不在二楼有11232354C C ⨯=种情况，由分类加法计数原理知共有542781+=种不同的情况， 故选B. 【点睛】该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.8．B解析：B 【分析】由展开式二项式系数和得n ＝6，写出展开式的通项公式，令r=2和r=3分别可计算出a 和b 的值，从而得到答案. 【详解】由题意可得二项式系数和2n ＝64，解得n ＝6．∴212n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的通项公式为：()()6261231661212rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴当r=2时，含x 6项的系数为()2262612240C a --==， 当r=3时，含x 3项的系数为()3363612160C b --=-=，则400a b -=, 故选B ． 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．9．C解析：C 【分析】利用()!!!in n C i n i =-，执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出的值为22C ，即可得到输出条件. 【详解】利用()!!!in n C i n i =-，执行程序框图，当0n =时，输出的是00C ； 当1n =时，输出的是0111,C C ； 当2n =时，012222,,C C C ；当3n =时，输出的是01233333,,,C C C C ，因为第5次输出数“1”，即2n =，输出22C 后结束程序， 所以3n =时不满足条件，结束程序，所以，空白判断框内应填入的条件为3n <，故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10．D解析：D 【分析】由程序图先求出m 的值，然后代入二项式中，求出展开式中的常数项 【详解】由程序图可知求输入18100a b ==，的最大公约数，即输出2m =则二项式为())348332812161x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)81的展开通项为()82181r rr r T C x-+=-要求展开式中的常数项，则当取38x 时，令832r-= 解得2r =，则结果为288224C =，则当取12x 时，令812r-=，解得6r =，则结果为6812336C =，故展开式中的常数项为224336560+=，故选D【点睛】本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数，并求出二项式展开式中的常数项，在求解过程中注意题目的化简求解，属于中档题11．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773r r r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．故选C ． 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 12．D解析：D 【解析】 因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrrr r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．9【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析：9 【分析】记函数122012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++，012222(1)2n n f a a a a =+++=++++，利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++，021222(12)(21)212n nn f a a a a -=++++++=-=+， 即1221022n +-=，121024,9n n +==故答案为：9 【点睛】此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想.15．84【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数利用组合数的性质求出系数和即可得结果【详解】的展开式中含项的系数为：故答案是：84【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题涉及到的知识点有指定项解析：84 【分析】通过求出各项二项展开式中2x 项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果. 【详解】()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数为：2222222322222223456783345678C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++399878432C ⨯⨯===⨯， 故答案是：84. 【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.16．112【分析】由题意可得再利用二项展开式的通项公式求得二项展开式常数项的值【详解】的二项展开式的中只有第5项的二项式系数最大通项公式为令求得可得二项展开式常数项等于故答案为112【点睛】本题主要考查解析：112 【分析】由题意可得8n =，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值． 【详解】2)nx的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r rr r r rr nT C x C x--+=-=-，令843r-=，求得2r，可得二项展开式常数项等于284112C⨯=，故答案为112．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．17．175【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝4再令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan的值再令x＝0可得a0=81即可求解【详解】由C233n+1＝C23n+6（n∈N*）可得3n+1+解析：175【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝4，再令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）n a n的值，再令x＝0可得a0=81，即可求解.【详解】由C233n+1＝C23n+6（n∈N*）可得 3n+1+（n+6）＝23，或 3n+1＝n+6，解得n＝4 或n52=（舍去）．故（3﹣x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a4 x4，令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）n a n＝44＝256，再令x＝0可得a0=81，∴﹣a1+a2﹣…+（﹣1）n a n＝256-81=175，故答案为 175．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和问题，属于中档题．18．【分析】由题意求得二项展开式的通项利用展开式的通项即可求解的系数得到答案【详解】由题意二项式展开式的通项为令解得所以即中的系数为【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解其中熟记二项展开式解析：18【分析】由题意，求得二项展开式的通项，利用展开式的通项，即可求解3x的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式92x⎛⎝展开式的通项为(()93992199212rr rrr r rrT C C xx---+⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅⋅⎪⎝⎭令3932r -=，解得8r =，所以()81833191218r T C x x +=-⋅⋅⋅=，即中3x 的系数为18. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解，其中熟记二项展开式的通项，利用通项求解指定项的系数是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得的系数进而得到的值然后再根据微积分基本定理求解即可详解：二项式的展开式的通项为令可得的系数为由题意得解得∴点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项解析：13【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．详解：二项式66ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式的通项为666166()(),0,1,2,,6r r r r r r rr T C ax a C x r ---+===，令1r =，可得5x5156a C =，5=， 解得1a =．∴12310011|33x dx x ==⎰． 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．20．0【分析】根据题意给自变量赋值取和两个式子相减得到的值用二项展开式可以看出被12整除的结果得到余数【详解】在已知等式中取得取得两式相减得即因为能被12整除所以则被12整除余数是0故答案为：0【点睛】解析：0 【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和1x =-，两个式子相减，得到1352019a a a a +++的值，用二项展开式可以看出被12整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x =得202001220205a a a a ++++=，取1x =-得01220201a a a a -+-+=， 两式相减得202013520192()51a a a a +++=-，即()202013520191512a a a a +++=⨯-，因为()()()1010202010101111512512412222⨯-=⨯-=⨯+- ()01010110091010101010101010101124242422C C C C =⨯++++-()0101011009110101010101012424242C C C =⨯+++能被12整除，所以则1352019a a a a ++++被12整除，余数是0.故答案为：0. 【点睛】本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中等题．三、解答题21．（1）129（2）8256（3）-8128 【分析】（1）利用赋值法令0x =得0a ，再令1x =即可得到结果. （2）令1x =和1x =-，将得到的两个式子作差可得结果. （3）令1x =和1x =-，将得到的两个式子相加可得结果. 【详解】（1）令0x =，则01a =-，令1x =，则128270167==++++a a a a ．∴129721=+++a a a ．（2）令1x =，则128270167==++++a a a a ． 令1x =-，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ,两式相减得：()713572128(4)16512a a a a +++=--=，则1357=8256a a a a +++.（3）令1x =，则128270167==++++a a a a ． 令1x =-，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ,两式相加得：()02462=a a a a +++()7128416256+-=-，则02468128a a a a +++=- 【点睛】本题考查赋值法求二项展开式的各项系数和，考查计算能力，属于基础题. 22．（1）60（2）32160x【分析】（1）根据2nx⎛ ⎝展开式前三项的二项式系数和为22，由01222n n n C C C ++=，解得6n =，再得到2nx⎛+ ⎝展开式的通项1r T +366262rr r C x --=，令3602r -=求解. （2）根据6n =，得到展开式中二项式系数最大的项为第四项，再利用通项公式求解.. 【详解】（1）因为2nx⎛⎝展开式前三项的二项式系数和为22，所以01222n n n C C C ++=，即(1)1222n n n -++=， 所以2420n n +-=， 解得6n =或7n =-（舍去）.所以2nx⎛+ ⎝展开式的通项为：16216(2)rr r r T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭366262r r r C x --=，令3602r -=，得4r =， 所以展开式中的常数项为41T +=4206260C x =.（2）因为6n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第四项，即3133322316(2)160T C x x x -+⎛⎫== ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，二项式系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．(1)84 (2)2048 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，令x 的次数为0，即可求出常数项．（2）通过第6项与第7项的系数互为相反数，可得11n =，111(x的各项系数绝对值之和与111(x的各系数之和相等，令x=1,即可得到答案.【详解】解：（1）因为91(x 的通项是39921991()((1)r r r r r r r T C C x x--+==-，当r=6时可得展开式的常数项，即常数项是6679(1)84T C =-=.（2）1(n x 的通项为3211()((1)r n r n r r r r r n n T C C x x--+==-，则第6项与第7项分别为15526n nT C x-=-和697nn T C x -=，它们的系数分别为5n C -和6n C .因为第6项与第7项的系数互为相反数，所以56n n C C =，则11n =，因为111(x 的各项系数绝对值之和与111(x 的各系数之和相等，令1x =，得111(x的各项系数的绝对值之和为1122048=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项式展开式通项公式和二项式系数的应用，属于基础题.24．（1）1；（2）243；（3）122；（4）243- 【分析】（1）令x=1即得015a a a +++的值；（2）在521x +（）中，令1x =得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·f(-1)即得解. 【详解】∵()52501232x 1a a x a x a x -=++++， （1）令1x =，可得015a a a 1+++=；（2）在521x +（）中，令1x =，可得015a a a 243+++=；（3）令f(x)=()5250125 2x 1a a x a x a x -=++++,f(1)=015 a a a 1+++=,所以f(-1)=012345243a a a a a a -+-+-=-， 所以f(1)-f(-1)=2135()244a a a ++=, 所以135122a a a ++=．（4）22024135a a a a a a ++-++（）（）012345012345a a a a a a a a a a a a =+++++-+-+-()()1?11243243f f =-=⨯-=-．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.25．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10i ii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即100246810132a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 26．（Ⅰ）8n =；（Ⅱ）728T ．【分析】（Ⅰ）利用排列数，组合数公式化简4530n n A C =即可得n 的值.（Ⅱ）写出()f x 的展开式的通项公式，令x 的指数为0即可得到常数项. 【详解】（Ⅰ）由已知4530n n A C =得：!30!4!5!5!n n n n ，!30!45!1205!n n n n n解得:8n =．（Ⅱ）8x⎛⎝展开式的通项为488318831k kk kk kkT C x C xx由4803k得6k=，即()f x的展开式中的常数项为728T．【点睛】本题考查排列数组合数公式的应用，考查求解二项展开式中的常数项，考查计算能力，属于基础题.。
专题01 两个计数原理(原卷版)
专题01 两个计数原理类型一、加法原理例1．（2023·全国·高三专题练习）某奥运村有A，B，C三个运动员生活区，其中A区住有30人，B区住有15人，C区住有10人.已知三个区在一条直线上，位置如图所示.奥运村公交车拟在此间设一个停靠点，为使所有运动员步行到停靠点路程总和最小，那么停靠点位置应在（）A．A区B．B区C．C区D．A，B两区之间例2．（2023·全国·高三专题练习）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A．7种B．9种C．14种D．70种例3．（2023·全国·高三专题练习）2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（）场次．A．53B．52C．51D．50例4．（2023·全国·高三专题练习）在北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，中国队成功夺冠，为中国体育代表团夺得本届冬奥会首金.短道速滑男女接力赛要求每队四名运动员，两男两女，假设男女队员间隔接力，且每位队员只上场一次，则不同的上场次序的种数为（）A．8B．16C．18D．24例5．（2023·高二单元测试）某学校为落实“双减政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排如下表.小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共有（）A．15种B．10种C．8种D．5种类型二、乘法原理例6．（2023·高二课时练习）一次时装表演，有7顶不同款式的帽子，12件不同款式的上衣和8条不同款式的裤子．一位模特要从这些帽子、上衣和裤子中各选1款穿戴，则有______种不同的选法．例7．（2023·高二课时练习）4个学生各写一张贺卡放在一起，然后每人从中各取一张，要求不能取自己写的那张贺卡，但有1个学生取错了，则不同的取法共有______种．例8．（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每位学生必须参加其中一项竞赛，有______种参赛情况．例9．（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每项竞赛只需其中一位学生参加，有______种参赛情况．例10．（2023·高二课时练习）甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己所写的贺卡，共有______种不同的取法．例11．（2023·高二课时练习）某酒店的大楼有18层，每层12个房间，如果每个房间都安装一个电话分机，那么用1、2、3、4、5、6这六个数字所组成的三位数作为各分机的号码，是否够用？例12．按序给出a，b两类元素，a类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在a，b两类中各取1个元素组成1个排列，求a类中选取的元素排在首位，b类中选取的元素排在末位的排列的个数．a类的10个元素叫作天干，b类的12个元素叫作地支．两者按固定顺序相配，形成古代纪年历法，求天干各地支相配可形成的纪年历法可以表示多少年.例13．某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？类型三、基本计数原理的综合应用例14．（2023秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（）A．5B．7C．8D．12例15．（2023·高二单元测试）一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员，其中有6人会表演口技，有5人会表演魔术，现从这8人中选出2人上台表演，1人表演口技，1人表演魔术，则不同的安排方法有______种．例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．例17．（2023春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数有______个例18．（2023·全国·高三专题练习）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：例19．（2023·高二课时练习）书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．(1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？(3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？例20．（2023·高二单元测试）在某次国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数是多少？。
(好题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测(有答案解析)
一、选择题1．某县政府分派4名干部到甲、乙、丙三个贫困村开展“精准扶贫”工作，要求每名干部只去一个贫困村，且每个贫困村至少安排一名干部，则不同的分配方案种数有（ ） A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种2．已知()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-，则展开式中的常数项为（ ） A ．80B ．80-C ．40D ．40-3．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 A ．96种 B ．124种 C ．130种D ．150种4．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( ) A ．35种B ．38种C ．105种D ．630种5．262()x x-的展开式中常数项为( ) A ．-240B ．-160C ．240D ．160 6．若4()(1)a x x ++的展开式关于x 的系数和为64，则展开式中含3x 项的系数为（ ） A ．26B ．18C ．12D ．97．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．408．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A ．18B ．200C ．2800D ．336009．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45 B ．55 C ．120 D ．16510．如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( )A ．0B ．256C ．64D ．16411．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．240种B ．288种C ．192种D ．216种12．设（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，当a 0+a 1+a 2+…+a n =254时，n 等于（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．已知()()()()238238012381111x x x x a a x a x a x a x ++++++++=+++++，则0128a a a a ++++=_______.14．关于x 的方程222424x xC C =的解为_________. 15．621(2)x x-的展开式中的常数项为______． 16．在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.17．二项式66ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中5x20a x dx =⎰________. 18．已知()n x y +的展开式中，只有第七项的系数最大，则n =___________ 19．若()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=_________.20．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个.三、解答题21．已知（(31)nx -的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：（1）所有二项式系数之和； （2）二项式系数最大的项； （3）系数的绝对值最大的项.22．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止.（1）若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？ （2）若恰在第2次测试才测试到第1件次品，第7次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？23．已知二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为256.（1）求n ；（2）求展开式中的常数项．24．已知112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为164. （1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项；（2）求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项.25．已知(1n -的展开式中，所有项的二项式系数之和为128. （1）求展开式中的有理项；（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和. 26．已知(2nx+的展开式中各项的二项式系数之和为32． ()1求n 的值； ()2求(2nx的展开式中2x 项的系数； ()3求(2nx x⎛⎝展开式中的常数项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意，利用分步计数原理：首先4名干部中任选2名作为一组，其它各自成组，再随机分派到3个村，即可知分配方案的种数； 【详解】由题意，按分步计数原理：4名干部中任选2名为一组，其它2名各为一组，即共三组，有24C 种选法； 将三组干部随机分派到甲、乙、丙三个贫困村，有33A 种分法；∴不同的分配方案种数有：234336C A =种；故选：B 【点睛】本题考查了分步计数原理，先分组后分派求分配方案种数；2．B解析：B 【分析】令1x =，由展开式中所有项的系数和为2-，列出方程并求出a 的值，得出展开式中常数项为52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和，然后利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】解：由题可知，()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-， 令1x =，则所有项的系数和为()()5211121a a ⎛⎫+-=-+=- ⎪⎝⎭，解得：1a =，()()555522221x a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为： 52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和， 由于52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()5515522rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，当521r -=-时，即3r =时，52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数为：()335280C ⨯-=-，当520r -=时，无整数解，所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为80-.故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查利用赋值法求二项展开式所有项的系数和，以及二项展开式的通项公式，属于中档题.3．D解析：D 【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①、五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有C 53=10种分组方法；当按照1、2、2来分时共有22532215C C A = 种分组方法；则一共有101525+= 种分组方法；②、将分好的三组对应三家酒店，有336A = 种对应方法；则安排方法共有256150⨯= 种； 故选D ． 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．4．C解析：C 【分析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有23C 种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有37C 种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有2337105C C ⨯=种； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．5．C解析：C 【分析】求得二项式的通项12316(2)r r rr T C x -+=-，令4r =，代入即可求解展开式的常数项，即可求解. 【详解】由题意，二项式262()x x-展开式的通项为261231662()()(2)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-， 当4r =时，4456(2)240T C =-=，即展开式的常数项为240，故选C.本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】取1x =解得3a =，展开式中含3x 项有两种情况，相加得到答案. 【详解】令1x =得4(1)264a +⋅=，所以3a =．所以4(3)(1)x x ++展开式中含3x 项为33223443C C 18x x x x ⋅+⋅=，所以展开式中含3x 项的系数为18， 故选B ． 【点睛】本题考查了二项式定理，把握展开式中含3x 项的两种情况是解题的关键.7．B解析：B 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．8．C解析：C 【分析】根据组合定义以及分布计数原理列式求解. 【详解】从5种主料中选2种，有2510C =种方法, 从8种辅料中选3种，有3856C =种方法,根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为10565=2800⨯⨯，选C.求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如 (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.9．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．10．D解析：D 【解析】分析：先确定n 值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是611(1)264-=, 选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法 ①如果n 是偶数，则中间一项(第12n+ 项)的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第12n +项与第1(1)2n ++项的二项式系数相等并最大. 11．D解析：D 【详解】最前排甲，共有55A 120=种；最前排乙，最后不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有种，故选D ．考点：排列及计数原理的应用．12．C解析：C 【解析】试题分析：观察已知条件a 0+a 1+a 2+…+a n =254，可令（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n 中的x=1，可得254=2n+1﹣2，解之即可．解：∵（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ∴令x=1得2+22+23+…+2n =a 0+a 1+a 2+…+a n ， 而a 0+a 1+a 2+…+a n =254==2n+1﹣2，∴n=7 故答案为C考点：数列的求和；二项式定理的应用．二、填空题13．【分析】在等式中令利用等比数列求和公式可求得的值【详解】在等式中令可得故答案为：【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数和同时也考查了等比数列求和考查计算能力属于中等题 解析：510【分析】在等式中令1x =，利用等比数列求和公式可求得0128a a a a ++++的值.【详解】在等式()()()()238238012381111x x x x a a x a x a x a x ++++++++=+++++中，令1x =可得()82380128212222251012a a a a -++++=++++==-.故答案为：510. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数和，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.14．0或2或4【分析】因为所以：或解方程可得【详解】解：因为所以：或解得：（舍）故答案为：0或2或4【点睛】本题考查了组合及组合数公式属于基础题解析：0或2或4 【分析】因为222424x x C C =，所以：22x x =或2224x x +=，解方程可得． 【详解】解：因为222424x x C C =， 所以：22x x =或2224x x +=，解得：0x =，2x =，4x =，6x =-（舍） 故答案为：0或2或4本题考查了组合及组合数公式．属于基础题．15．240【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数再代入得结果【详解】令得所以的展开式中的常数项为【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项考查基本分析求解能力属基础题解析：240 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果 【详解】()()616211C 2rrrr r T x x -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()31261C 2rrr r x -⎡⎤=-⋅⎣⎦， 令3120r -=得，4r =，所以6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()44461C 2240-⋅=.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.16．112【分析】由题意可得再利用二项展开式的通项公式求得二项展开式常数项的值【详解】的二项展开式的中只有第5项的二项式系数最大通项公式为令求得可得二项展开式常数项等于故答案为112【点睛】本题主要考查解析：112 【分析】由题意可得8n =，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值． 【详解】2)n x的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n ∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r r r rrr r nTC xC x--+=-=-，令8403r-=，求得2r ，可得二项展开式常数项等于284112C ⨯=， 故答案为112． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．17．【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得的系数进而得到的值然后再根据微积分基本定理求解即可详解：二项式的展开式的通项为令可得的系数为由题意得解得∴点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项解析：13分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．详解：二项式6ax ⎛+ ⎝⎭的展开式的通项为666166()()((),0,1,2,,666r r r r r r rr T C ax a C x r ---+===，令1r =，可得5x5156a C =，5=， 解得1a =．∴12310011|33x dx x ==⎰． 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．18．12【分析】根据题意利用二项式定理二项式系数的性质得出结论【详解】的展开式中只有第七项的系数最大故展开式中有13项则故答案为：12【点睛】结论点睛：本题考查二项式定理如果二项式的幂指数n 是偶数中间一解析：12 【分析】根据题意，利用二项式定理，二项式系数的性质得出结论. 【详解】()+n x y 的展开式中，只有第七项的系数最大，故展开式中有13项，则12n =故答案为：12 【点睛】结论点睛：本题考查二项式定理，如果二项式的幂指数n 是偶数，中间一项12n T +项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，中间两项12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．19．【分析】根据二项式定理知为正数为负数然后令可得出所求代数式的值【详解】展开式通项为当为偶数时即为正数；当为奇数时即为负数故答案为：【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算解题时要结合二项 解析：1【分析】根据二项式定理知0a 、2a 、4a 为正数，1a 、3a 、5a 为负数，然后令1x =可得出所求代数式的值.【详解】展开式通项为()55152rr rr r r r T C x a x -+==⋅⋅-=∑，当r 为偶数时，0r a >，即0a 、2a 、4a 为正数；当r 为奇数时，0r a <，即1a 、3a 、5a 为负数.()5012345012345211a a a a a a a a a a a a ∴-+-+-=+++++=-=.故答案为：1. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算，解题时要结合二项展开式通项确定各系数的正负，便于去绝对值，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】组成没有重复数字的三位数且是偶数按个位是0和不是0进行分类;个位不是0时要注意选中的数有0和无0情况求解【详解】由题意从六个数字中任取个数字组成没有重复数字的三位偶数可分为两类当末位是时这样 解析：52【分析】组成没有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是0和不是0进行分类; 个位不是0时要注意选中的数有0和无0情况求解. 【详解】由题意，从0,1,2,3,4,5六个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位偶数，可分为两类，当末位是0时，这样的三位数有2520A =个当末位不是0时，从余下的两位偶数中选一个放在个位，再从余下的四位非零数字中选一个放在首位，然后从余下的四个数中取一个放在中间，由此知符合条件的偶数有11124432A A A ⨯⨯=综上得这样的三位数共有203252+=个. 【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题.使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．三、解答题21．（1）1024；（2）8064-；（3）第4项31415360T x +-=.【分析】（1）由题知14nnC C =，进而得5n =，故212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项式系数和为1021024=；（2）由于210n =为偶数，故展开式中第6项的二项式系数最大，进而根据公式计算即可得答案；（3）由于展开式的通项公式为10102110(1)2r r rr r T C x --+=-⋅⋅⋅，故101101101010110110102222r r r r r r r r C C C C ---+-+--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解不等式组得81133r ≤≤，即3r =，进而得系数的绝对值最大的是第4项. 【详解】解：（1）由题意14n n C C =，解得5n =. 二项式系数和为1021024=（2）由于210n =为偶数，所以1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项的二项式系数最大， 即555651101(2)8064T T C x x +⎛⎫==⋅⋅-=- ⎪⎝⎭.（3）设第1r +项的系数的绝对值最大，则1010102110101(2)(1)2rr r r rr r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭∴101101101010110110102222r r r r r r r r C C C C ---+-+--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，得110101101022r r r r C C C C -+⎧≥⎨≥⎩，即1122(1)10r r r r -≥⎧⎨+≥-⎩ ∴81133r ≤≤，∴3r =， 故系数的绝对值最大的是第4项，即：10333311044(1)215360x T C x -+=-=-⋅⋅⋅ 【点睛】本题第三问解题的关键在于根据题意设第1r +项的系数的绝对值最大，进而列式101101101010110110102222r r r r r r r r C C C C ---+-+--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，再结合组合数公式计算即可得答案，本题考查基本公式的应用，突出运算求解的核心素养考查，是中档题. 22．（1）576种；（2）17280种. 【分析】（1）由已知得第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，且前4次有一件正品出现，根据排列组合知识可得不同的测试方法总数；（2）由已知分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，最后排余下4件的测试位置，再每一步中运用排列组合知识，再由分步乘法原理可得测试方法总数. 【详解】（1）根据题意，若恰在第5次测试后就找出了所有次品， 即第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，则前4次有一件正品出现，所以共有()11344634576A C C A ⋅=种不同的测试方法； （2）根据题意，分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，有6种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，有2412A =种测试方法，最后排余下4件的测试位置，有2454240C A =种测试方法. 所以共有61224017280⨯⨯=种不同的测试方法. 【点睛】本题考查分类、分步计数原理，综合考查排列组合知识，属于中档题. 23．（1）8；（2）28. 【分析】⑴观察1nx ⎫⎪⎭可知，展开式中各项系数的和为256，即112...256nn n n n C C C C ++++=，解出得到n 的值⑵利用二次展开式中的第1r +项，即通项公式11rn rr r nT C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，将第一问的n 代入，并整理，令x 的次数为0，解出r ，得到答案 【详解】（1）由题意，得112...256nn n n n C C C C ++++=，即2n ＝256，解得n ＝8.（2）该二项展开式中的第1r +项为T r ＋1＝8483881rr rr r CC x x --⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令843r-＝0，得r ＝2，此时，常数项为238T C =＝28.【点睛】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题． 24．（1）352x-；（2）1-. 【解析】分析：（1）先根据展开式中所有项的系数和为164得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的一次项和常数项，再求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项.详解：（1）由题意，令1x =得11264n⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6n =，所以112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项是第4项， 即334631522T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （2）112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1k +项为. ()166110,1,2, (622)kk k k k T C C x k x -+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由1k -=-，得1k =；由0k -=，得0k =.所以()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 11612112x C x -⎛⎫⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭. 点睛：（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数和二项式系数，考查展开式中的特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的难点在第2问，展开式的常数项有两种生成方式，一是由（x+2）的一次项“x”和112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的“1x -”项相乘得到，二是由（x+2）的常数项“2”和112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项相乘得到，再把两个相加即得.25．(1) 11T =，384T x =，25560T x =，37448T x = (2) 2187【解析】分析：（1）根据题意，求的7n =，写出二项展示的通项，即可得到展开式的有理项；（2）由题意，展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为7(1+展开式中各项系数之和，即可求解.详解：根据题意，n2128,n=7=得， （1）展开式的通项为r r r2r 17TC 2x ,r 0,1,2,,7+==.于是当r 0,2,4,6=时，对应项为有理项，即有理项为00017T C 2x 1,== 2237T C 2x 84x,== 442257T C 2x 560x ,== 66377T C 2x .=（2）(71-展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为(71+展开式中各项系数之和，在(71+中令x ＝1得展开式中所有项的系数和为（1＋2）7＝37＝2 187．所以(71-展开式中所有项的系数和为2187.点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题，二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 26．(1)5. (2)80. (3)-30. 【解析】分析：（1）由二项展开式的二项式系数和为2n 求解即可．（2）由（1）得到二项展开式的通项后求解．（3）根据52x⎛⎝展开式的通项并结合组合的方法求解．详解：（1）由题意结合二项式系数的性质可得232n =， 解得5n =．（2）由题意得52x⎛+ ⎝的通项公式为()3555215522rrr r r r r T C x C x ---+==， 令3522r-=，解得2r =， 所以52x⎛+ ⎝的展开式中2x 项的系数为325280C ⨯=．（3）由（2）知，52x⎛ ⎝的展开式的通项为3552152r r r r T C x --+=，令3512r-=-，解得4r =； 令31522r -=，解得3r =． 故2nx x⎛ ⎝展开式中的常数项为5445335522104030C C ---=-=-．点睛：（1）求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1r n r rr n T C a b =－＋的特点，一般需要建立方程求r ，再将r 的值代回通项求解，注意r 的取值范围(r ＝0，1，2，…，n )． （2）使用二项式的通项公式时要注意：①通项公式表示的是第r ＋1项，而不是第r 项；②通项公式中a 和b 的位置不能颠倒．。
(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．448B ．448-C ．672D ．672-3．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．254．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12965．已知（x a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．26．若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则0CC mn m k n k n k --==∑（ ）A ．2m n +B ．C 2n mmC ．2C nmnD ．2C m mn7．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．18．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( ) A ．35种B ．38种C ．105种D ．630种9．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n +B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C10．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．9611．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -12．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．二项式261(2)x x -的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．()3621()x x x-的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）15．在()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是_______________.16．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)17．若二项式nx x ⎛⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.18．622x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）19．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）20．已知关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数为n ，若1101(1)(1)(3)n x x a a x +++=++2101121011(3)(3)(3)a x a x a x +++++++，则1a 的值为______.三、解答题21．已知二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？ 22．设函数(,)(1)(0,0)x f x y my m y =+>>.（1）当3m =时，求()9,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知(2,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和大4032，若01(,)nn f n y a a y a y =++⋅⋅⋅+，且2135a =，求1i ni a =∑23．计算：（1）2490n n A A =；（2）383321nn nn C C -++.24．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.25．已知二项式10x⎛⎝的展开式.(1)求展开式中含4x 项的系数；(2)如果第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值．26．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知()123012321nn n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（n *∈N ），若()21nx -的展开式中，______. （1）求n 的值；（2）求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．B解析：B 【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5进行求解即可． 【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2rr rr r r r rx T C x C x---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.3．B解析：B 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.4．B解析：B 【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36 故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数5．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．D解析：D 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和. 【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n knm kn mn k n n C Cn m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()012mmn m k m k m m m m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑故选：D 【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.7．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有23C 种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有37C 种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有2337105C C ⨯=种； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．9．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立.令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.10．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.11．D解析：D 【解析】分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案. 详解：()()()()()()829999!181920...9917!k k k k k k A k ------==-.故选：D.点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解.有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．180【分析】根据二项式定理结合展开式通项即可确定的指数形式将多项式展开即可确定常数项【详解】的展开式中的通项公式而分别令解得或∴的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展解析：180 【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定x 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】62x ⎫⎪⎭的展开式中的通项公式 363216622kkkk k k k T C C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，而()666332221)x x x x x =-⎫⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭⎭ 分别令3332k -=-，3302k -=，解得4k =，或2k =．∴()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项44226622180C C -=． 故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.15．84【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数利用组合数的性质求出系数和即可得结果【详解】的展开式中含项的系数为：故答案是：84【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题涉及到的知识点有指定项解析：84 【分析】通过求出各项二项展开式中2x 项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果. 【详解】()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数为：2222222322222223456783345678C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++399878432C ⨯⨯===⨯， 故答案是：84. 【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.16．【解析】分析：根据排列定义求结果详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置从中任选3个位置给3名大学毕业生则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60( 解析：60【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.17．15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64令得的通项为令常数项为故答案为【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项系数及各项系数和的求法属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一关于二项解析：15【解析】二项式nx ⎛+ ⎝展开式中各项系数的和为64，∴令1x =，得6264,8,n n x ⎛== ⎝的通项为36622166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=，令360,42r r -==，常数项为4615C =，故答案为15.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.18．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】62x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()366621661222xrr x r r r r T C x C x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为6019．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为解析：8 【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.20．【分析】利用图象法判断出关于的方程的实数根的个数由此求得利用结合二项式展开式求得【详解】当时画出和的图象如下图所示由图可知两个函数图象有个交点所以关于的方程的实数根个数为1所以所以所以故答案为：【点 解析：11265【分析】利用图象法判断出关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数，由此求得n ，利用132x x +=+-，结合二项式展开式求得1a . 【详解】当01a <<时，画出x y a =和log ay x =的图象如下图所示，由图可知两个函数图象有1个交点，所以关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根个数为1，所以1n =.所以()()()()11111113232n x x x x +++=+-++-，所以10101111(2)11265a C =+-=.故答案为：11265【点睛】本小题主要考查方程的根的个数判断，考查二项式展开式，属于中档题.三、解答题21．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解. 【详解】（1）由二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥， 可得021212123111,,222nn n nn n T C x T C x T C x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =.因为*,2n N n ∈≥，所以8n =.（2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项r n rr r n T C ab -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 22．（1）4511206T y =，5633618T y =；（2）4095. 【分析】（1）根据二项式的性质知二项式系数最大项为第5、第6项，代入通项计算；（2）利用展开式中各项的二项式系数和公式列出等式求解n ，代入(,)f n y 由2135a =列等式求解m ，即可利用赋值法求1i ni a =∑.【详解】（1）9(9,)(13)f y y =+，二项式系数最大项为第5、第6项，44459(3)11206T C y y ==，55569(3)33618T C y y ==.（2）由题意：2224032n n -=，即()()2642630nn-+=，解得6n =，6260126(6,)(1)f y my a a y a y a y =+=+++⋅⋅⋅+，则2226135a C m ==，29m =，解得3m =或3-（舍去），则6(6,)(13)f y y =+，令1y =可得601264a a a a =+++⋅⋅⋅，所以661260126011414095n i ii i a aa a a a a a a a ====++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅-=-=∑∑.【点睛】本题考查二项式定理，涉及二项式系数最大项、展开式中二项式系数和、赋值法求展开式中项的系数和，属于中档题. 23．（1）12；（2）466. 【分析】（1）由排列数公式化简后再解方程可得；（2）由组合数性质求得n 的范围，求得n ，再利用组合性质变形后计算． 【详解】（1）由2490n n A A =，得90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，且4n ≥，解得12n =；（2）由题意383321n nn n -≤⎧⎨≤+⎩，*n N ∈，解得10n =．∴383321n n n n C C -++283021303130313029314662C C C C ⨯=+=+=+=. 【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式，掌握排列数和组合数性质是解题关键．在组合数中一定要注意上标不大于下标． 24．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10iii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即10024*******a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 25．（1）3360；（2）1 【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果. 【详解】(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝令10－k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为()441023360C =-.(2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为，∵＝，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1. 26．（1）10；（2）1031- 【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出； （2）令0x =和1x =-可求出. 【详解】（1）选择条件①，若()21nx -的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则52n=， 10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则37n n C C =，10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中所有二项式系数的和为102，则1022n，10n ∴=；（2）由（1）知10n =，则()101231001231021x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+， 令0x =，得01a =，令1x =-，则100123101012331a a a a a a a a a +=-+-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++=+，101231031a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-.【点睛】本题考查二项展开式系数关系，属于基础题.。
新教材人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 单元测试 (含答案)
新教材人教A 版选择性必修第三册 第六章 计数原理 单元测试一、选择题1、将5名实习生分配到三个班实习，每班至少1名，则分配方案共有（ ） A. 240种 B. 150种 C. 180种 D. 60种2、如果 (3x 2－)n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6 D ．103、某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ） A ．72种 B ．36种 C ．24种 D ．18种4、将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为 A ．96 B ．114 C ．128 D ．1365、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ） A．10或1 B ．53-或1 C ．2或53- D ．10±6、某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为（ ）A. 5400种B. 3000种C. 150种D. 1500种7、算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）．A ．38B ．12C ．23 D ．348、从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( )A ．108种B ．186种C ．216种D ．270种 9、在()()()()23111111x x x x ++++++++的展开式中， 2x 的系数是A. 220B. 165C. 66D. 55A ．B ．C ．D ．11、汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）A ．180B ．192C ．420D ．480 12、已知2132n A =，则n =( )A ．11B ．12C ．13D ．14二、填空题13、在()()5311x x -+的展开式中，3x 的系数为______（结果用数值表示）14、若4)(x a +的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝_____________.15、有3张都标着字母R ，5张分别标着数字1，2，3，4，5的卡片，若任取其中4张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于______（用数字作答）.16、（a-b ）n展开式中第r 项为 。
(新教材)人教A版数学选择性必修第三册单元测试：第06章 计数原理(A卷基础卷)(学生版+解析版)
（新教材）人教A版数学选择性必修第三册单元测试第六章计数原理（A卷基础卷）考试时间：100分钟；学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共8小题）1．（2020春•河西区期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（）A．9 B．10 C．20 D．402．（2020春•和平区校级期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．16种B．18种C．24种D．36种3．（2020春•通州区期末）甲、乙等7人排成一排，甲在最中间，且与乙不相邻，那么不同的排法种数是（）A．96 B．120 C．360 D．4804．（2020春•重庆期末）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（）A．216 B．729 C．540 D．4205．（2020•北京）在（2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．106．（2020•济宁模拟）在的展开式中，常数项为（）A．B．C．D．7．（2020春•天津期末）若（n∈N*）的展开式中常数项为第9项，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．（2020春•东城区期末）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A．36种B．40种C．44种D．48种9．（2020春•东海县期中）下列各式中，等于n!的是（）A．A B．A C．nA D．m!C10．（2020春•常州期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项11．（2019春•日照期中）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（）A．C C C C B．C AC．C C A D．1812．（2020春•宝应县期中）若（2x+1）10＝a0+a1x+a2x2+…a10x10，x∈R，则（）A．a0＝1 B．a0＝0C．a0+a1+a2+…+a10＝310D．a0+a1+a2+…+a10＝3三．填空题（共4小题）13．（2020•上城区校级模拟）在二项式的展开式中，二项式系数之和是，含x4的项的系数是．14．（2020•甘肃模拟）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种．15．（2020春•南郑区校级期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射“和“御“两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种．16．（2020春•西城区校级期中）设有编号为1，2，3，4，5的五把锁和对应的五把钥匙．现给这5把钥匙也分别贴上编为1，2，3，4，5的五个标签，则有种不同的姑标签的方法；若想使这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，则有种不同的贴标签的方法．（用数字作答）17．（2019春•武汉期中）现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学．（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？18．（2019春•黄浦区校级期中）从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率．（化成最简分数）19．（2020春•栖霞市月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻．20．（2019春•台州期末）已知（1+x）n的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．（Ⅰ）求n的值和这两项的二项式系数；（Ⅱ）在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）n+2的展开式中，求含x2项的系数（结果用数字表示）．21．（2020•南通模拟）已知（1+2x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N*）．（1）当n＝6时，求a0+a2+a4+a6的值；（2）化简：C22k．（新教材）人教A版数学选择性必修第三册单元测试：第六章计数原理（A卷基础卷）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020春•河西区期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（）A．9 B．10 C．20 D．40【解答】解：利用第一种方法有：种，利用第二种方法有：种方法．、故共有：5+4＝9种完成工作．故选：A．2．（2020春•和平区校级期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．16种B．18种C．24种D．36种【解答】解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有A31A33＝18种．故选：B．3．（2020春•通州区期末）甲、乙等7人排成一排，甲在最中间，且与乙不相邻，那么不同的排法种数是（）A．96 B．120 C．360 D．480【解答】解：从出甲乙之外的5人中选2人排在甲的两边并和甲相邻，剩下的全排即可，故有A52A44＝480种，故选：D．4．（2020春•重庆期末）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（）A．216 B．729 C．540 D．420【解答】解：根据题意，分2步进行计算：①先将6名医生分为3组，若分为1、1、4的三组，有C64＝15种分组方法，若分为1、2、3的三组，有C63C32＝60种分组方法，若分为2、2、2的三组15种分组方法，则有15+60+15＝90种分组方法；②将分好的三组对应三个医院，有A33＝6种情况，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为90×6＝540种；故选：C．5．（2020•北京）在（2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10【解答】解：（2）5的展开式中，通项公式为T r+1•（﹣2）r•，令2，求得r＝1，可得x2的系数为•（﹣2）＝﹣10，故选：C．6．（2020•济宁模拟）在的展开式中，常数项为（）A．B．C．D．【解答】解：因为（x）6的通项公式为：T r+1•x6﹣r•（）r＝（）r••x6﹣2r；6﹣2r＝0时，r＝3；6﹣2r＝﹣1时，r不存在；∴的展开式中，常数项为：（）3•3；故选：A．7．（2020春•天津期末）若（n∈N*）的展开式中常数项为第9项，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵（n∈N*）的展开式中的第9项T9•（﹣3）8•2n﹣8•x2n﹣20为常数项，故有2n﹣20＝0，∴n＝10，故选：D．8．（2020春•东城区期末）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A．36种B．40种C．44种D．48种【解答】解：根据题意，将9个数分为2组，一组为奇数：1、3、5、7、9，一组为偶数：2、4、6、8，若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有C53＝10种情况，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有C51C42＝30种情况，则和为奇数的情况有10+30＝40种．故选：B．二．多选题（共4小题）9．（2020春•东海县期中）下列各式中，等于n!的是（）A．A B．A C．nA D．m!C【解答】解：n!，A正确；（n+1）!，B错误；n n•（n﹣1）!＝n!，C正确；m!m!•n!，D错误；故选：AC．10．（2020春•常州期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项【解答】解：∵的展开式中第3项与第8项的系数相等，∴；所以n＝9，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项；故选：CD．11．（2019春•日照期中）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（）A．C C C C B．C AC．C C A D．18【解答】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：（1）分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，有C42种分组方法；②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33种放法；则没有空盒的放法有C A种；（2）分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C C种情况②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A22种放法；则没有空盒的放法有C C A22种；故选：BC．12．（2020春•宝应县期中）若（2x+1）10＝a0+a1x+a2x2+…a10x10，x∈R，则（）A．a0＝1 B．a0＝0C．a0+a1+a2+…+a10＝310D．a0+a1+a2+…+a10＝3【解答】解：因为（2x+1）10＝a0+a1x+a2x2+…a10x10，x∈R，令x＝0可得：a0＝1；令x＝1可得a0+a1+a2+…a10＝310；故选：AC．三．填空题（共4小题）13．（2020•上城区校级模拟）在二项式的展开式中，二项式系数之和是32，含x4的项的系数是10．【解答】解：在二项式的展开式中，二项式系数之和是25＝32，通项公式为T r+1•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，求得r＝2，可得含x4的项的系数是10，故答案为：32；10．14．（2020•甘肃模拟）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种1344．【解答】解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法，若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有4×A，若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有3×A，若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有3×A，若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有4×A，则共有4（4×A3×A3×A4×A）＝4×14×A4×14×24＝1344，故答案为：134415．（2020春•南郑区校级期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射“和“御“两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有120种．【解答】解：根据题意，“数”必须排在前三节，据此分3种情况讨论：①“数”排在第一节，“射“和“御“两门课程联排的情况有4×A22＝8种，剩下的三门课程有A33＝6种情况，此时有8×6＝48种排课顺序；②“数”排在第二节，“射“和“御“两门课程联排的情况有3×A22＝6种，剩下的三门课程有A33＝6种情况，此时有6×6＝36种排课顺序；③“数”排在第三节，“射“和“御“两门课程联排的情况有3×A22＝6种，剩下的三门课程有A33＝6种情况，此时有6×6＝36种排课顺序；则有48+36+36＝120种排课顺序；故答案为：12016．（2020春•西城区校级期中）设有编号为1，2，3，4，5的五把锁和对应的五把钥匙．现给这5把钥匙也分别贴上编为1，2，3，4，5的五个标签，则有120种不同的姑标签的方法；若想使这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，则有31种不同的贴标签的方法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，现给这5把钥匙也贴上编号为1，2，3，4，5的五个标签，则有A55＝120种不同的贴标签的方法：若这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，分3种情况讨论：①5把都可以打开贴有相同标签的锁，即5个标签全部贴对，有1种贴标签的方法；②5把钥匙中有3把可以打开贴有相同标签的锁，即有3个标签贴对，有C53＝10种贴标签的方法；③5把钥匙中有2把可以打开贴有相同标签的锁，即有2个标签贴对，有2C52＝20种贴标签的方法；则一共有1+10+20＝31种贴标签的方法；故答案为：120，31．四．解答题（共5小题）17．（2019春•武汉期中）现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学．（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【解答】解：（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有C42＝6种情况，即有6种不同的分法；（2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有3×3×3×3×3＝35＝243种；（3）根据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有C53＝10种分组方法，若分成1、2、2的三组，有15种分组方法，则有10+15＝25种分组方法；②将分好的三组全排列，对应3名学生，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种分法．18．（2019春•黄浦区校级期中）从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率．（化成最简分数）【解答】解：（1）根据条件可知有以下两种情况：①选两个男医生和三个女医生，有C•C15种建组方案；②选三个男医生和两个女医生，有C•C60种建组方案；故共有15+60＝75种不同的建组方案．（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，若选2男3女，甲必选，则还需要在5名男医生选1名，有5种建组方案；若选3男2女，甲必选，则还需要在5名男医生选2名，有30种建组方案；若选4男1女，甲必选，则还需要在5名男医生选3名，有30种建组方案；则共有5+30+30＝65种组建方案．（3）6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，有126种组建方法，若男医生甲与女医生乙被同时选中，则有35种方法，则男医生甲与女医生乙不被同时选中的方法有126﹣35＝91种，则男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率P．19．（2020春•栖霞市月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻．【解答】解：（1）根据题意，有3名男生、4名女生，共7人，从中选出5人排成一排，有A75＝2520种排法；（2）根据题意，前排4人，有A74种排法，后排3人，有A33种排法，则有A74×A33＝5040种排法；（3）根据题意，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，将剩下的6人全排列，有A66种排法，则有5×A66＝3600种排法；（4）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A44种排法，将这个整体与3名男生全排列，有A44种排法，则有A44×A44＝576种排法；（5）根据题意，先排4名女生，有A44种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A53种排法，则有A44×A53＝1440种排法．20．（2019春•台州期末）已知（1+x）n的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．（Ⅰ）求n的值和这两项的二项式系数；（Ⅱ）在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）n+2的展开式中，求含x2项的系数（结果用数字表示）．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以n＝10，所以120，故两项的二项式系数120．（Ⅱ）含x2项的系数为285，故答案为：285．21．（2020•南通模拟）已知（1+2x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N*）．（1）当n＝6时，求a0+a2+a4+a6的值；（2）化简：C22k．【解答】解：（1）当n＝6时，令x＝1，则（1+2）6＝36＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6①，令x＝﹣1，则（1﹣2）6＝1＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6②，①+②得，；（2）③，④，③+④得，，即．。
上海中国中学选修三第一单元《计数原理》测试(包含答案解析)
一、选择题1．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ）A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种2．某县政府分派4名干部到甲、乙、丙三个贫困村开展“精准扶贫”工作，要求每名干部只去一个贫困村，且每个贫困村至少安排一名干部，则不同的分配方案种数有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种3．若2021220210122021(12)x a a x a x a x -=++++，则1232021a a a a ++++=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-4．()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项是（ ） A ．15B ．-15C ．7D ．-75．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，()()!!24642n n n n =--⨯⨯；当n 为奇数时，()()!!24531n n n n =--⨯⨯．现有四个命题：①()()2009!!2008!!2009!=；②2008!!21004!=⨯；③2008!!个位数为0；④2009!!个位数为5．其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ) A ．48B ．72C ．84D ．1687．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中1，3至少选一个，若1，3都选则0不选，这样的五位数中偶数共有（ ） A ．144个B ．168个C ．192个D ．196个8．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( ) A ．35种B ．38种C ．105种D ．630种9．若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---等于（ ）A ．515m P -B ．1520mm P --C ．520m P - D ．620m P -10．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn mk n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n +B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C11．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）A ．-250B ．250C ．-500D ．50012．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ） A ．15-B ．15C ．60-D ．60二、填空题13．把4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，全部分完，不同的分配方案数为________.14．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________. 15．621(2)x x-的展开式中的常数项为______． 16．用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____________． 17．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.18．设0(cos sin )a x x dx π=-⎰，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数为______．19．已知集合S={﹣1，0，1}，P={1，2，3，4}，从集合S ，P 中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点共有_____个．20．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)的值为_____.三、解答题21．已知()2*12nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求221122nx x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的常数项. 22．（1）求91x x ⎛- ⎝的展开式的常数项； （2）若1nx x ⎛ ⎝的展开的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.23．已知(1)n x -的展开式中，所有项的二项式系数之和为128. （1）求展开式中的有理项；（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和.24．已知二项式10x x ⎛⎝的展开式.(1)求展开式中含4x 项的系数；(2)如果第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值．25．已知4530nnA C =，设()3nf x x x ⎛= ⎝． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求()f x 的展开式中的常数项．26．已知二项式()*1,22nx n N n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．（1）若该二项式的展开式中前三项的系数成等差数列，求正整数n 的值； （2）在（1）的条件下，求展开式中4x 项的系数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3节，而自习课可以上任意一节.故以生物课（或政治课）进行分类，再分步排其他科目.由计数原理可得张毅同学不同的选课方法. 【详解】由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3、4节，而自习课可以上任意一节.若生物课排第2节，则其他课可以任意排，共有336A =种不同的选课方法.若生物课排第3节，则政治课有12C 种排法，其他课可以任意排，有22A 种排法，共有12224C A =种不同的选课方法.所以共有6410+=种不同的选课方法. 故选：B . 【点睛】本题考查两个计数原理，考查排列组合，属于基础题.2．B解析：B 【分析】根据题意，利用分步计数原理：首先4名干部中任选2名作为一组，其它各自成组，再随机分派到3个村，即可知分配方案的种数； 【详解】由题意，按分步计数原理：4名干部中任选2名为一组，其它2名各为一组，即共三组，有24C 种选法； 将三组干部随机分派到甲、乙、丙三个贫困村，有33A 种分法；∴不同的分配方案种数有：234336C A =种；故选：B 【点睛】本题考查了分步计数原理，先分组后分派求分配方案种数；3．D解析：D 【分析】分别令0x =和1x =，即可解出所求． 【详解】解：由2021220210122021(12)x a a x a x a x -=+++⋯+， 令0x =得01a =；令1x =得01220211a a a a -=+++⋯+， 1220212a a a ∴++⋯+=-．故选：D ． 【点睛】本题考查赋值法在研究二项展开式中系数的问题，同时考查方程思想在解题中的作用．属于中档题．4．B解析：B 【分析】先求得7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，分别令r =4,5,6,7，求得对应的四项，又()3264226128x x x x +=+++，则()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中所有x 的零次幂的系数和即为常数项，计算化简，即可得结果. 【详解】7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为721417721()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令4r =，得446657(1)35T C x x --=⋅-⋅=， 令=5r ，得554467(1)21T C x x --=⋅-⋅=-， 令6r =，得662277(1)7T C x x --=⋅-⋅=， 令7r =，得77087(1)1T C x =⋅-⋅=-，又()3264226128x x x x +=+++，所以()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为351(21)6712(1)815⨯+-⨯+⨯+-⨯=-， 故选：B 【点睛】本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.5．C解析：C 【分析】利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简2008!!可判断②的正误；由2008!!能被10整除可判断③的正误；由2009!!能被5整除且为奇数可判断④的正误.综合可得出结论.对于命题①，由双阶乘的定义得2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯，2008!!2462008=⨯⨯⨯⨯，所以，()()2009!!2008!!1234200820092009!=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，命题①正确；对于命题②，()()()()2008!!246200821222321004=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯100421004!=⨯，命题②错误；对于命题③，2008!!2468102008=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则2008!!能被10整除，则2008!!的个位数为0，命题③正确； 对于命题④，2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯能被5整除，则2009!!的个位数为0或5，由于2009!!为奇数，所以，2009!!的个位数为5，命题④正确.故选：C. 【点睛】本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.6．D解析：D 【分析】分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得. 【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有2412A =种第二步：分三类①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查另2名理科生所在的班级，有22224A A =种②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生互查所在的班级，有21212A A =种③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有1112228A A A =种根据分步分类技术原理可得，共有()12428168⨯++=不同的安排方法 故选：D 【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.7．B解析：B 【分析】根据条件分选1不选3、选3不选1、选1和3三种情况分别计算五位数中偶数的个数.解:当选1不选3时,五位数中偶数有4113432360A C C A +=个; 当选3不选1时,五位数中偶数有4113432360A C C A +=个; 当选1和3时,五位数中偶数有142448C A =个, 所以这样的五位数中偶数共有60+60+48=168个. 故选:B . 【点睛】本题考查了排列、组合与简单的计算原理,考查了分类讨论思想,属中档题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有23C 种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有37C 种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有2337105C C ⨯=种； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．9．D解析：D 【分析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】()()()()()()()()()()1231415162020!1516201231414!m m m m m m m m m m ⋅⋅--------==⋅⋅--()()20!206!m m -=--⎡⎤⎣⎦，由排列数的定义可得()()()620151620m m m m P ----=. 故选D. 【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.11．A解析：A 【分析】分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数. 【详解】215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N = 429925n n M N n -=-=⇒=5251031551(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x---+=-=- 取3r = 值为-250故答案选A 【点睛】本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.12．D解析：D 【分析】根据二项展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】631216C (1)2rr r r r T x --+=-，令3120r -=，即4r =， ∴常数项为60， 故选：D 【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式的通项公式，属于中档题.二、填空题13．36【分析】先从4个人中选出2人作为一个元素看成整体再把它同另外两个元素在三个位置全排列根据分步乘法原理得到结果【详解】从4名学生中选出2名学生作为一个整体有种再和另外两人分别推荐到3所不同的大学共解析：36 【分析】先从4个人中选出2人作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果. 【详解】从4名学生中选出2名学生作为一个整体，有24C 种，再和另外两人分别推荐到3所不同的大学，共有234336C A =种分配方案.故答案为：36 【点睛】本题考查分步乘法计数原理，利用了捆绑法，属于中档题.14．40【分析】先求出的展开式的通项再求出即得解【详解】设的展开式的通项为令r=3则令r=2则所以展开式中含x3y3的项为所以x3y3的系数为40故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系解析：40 【分析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.【详解】设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r rr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．240【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数再代入得结果【详解】令得所以的展开式中的常数项为【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项考查基本分析求解能力属基础题解析：240 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果 【详解】()()616211C 2rrrr r T x x -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()31261C 2r r r r x -⎡⎤=-⋅⎣⎦， 令3120r -=得，4r =，所以6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()44461C 2240-⋅=.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.16．40【分析】将问题分成三步解决首先将排列再将插空排列再根据已排好的位置将整体插空放入利用分步乘法计数原理计算可得结果【详解】第一步：将进行排列共有种排法第二步：将插空排列共有种排法第三步：将整体插空解析：40 【分析】将问题分成三步解决，首先将3,5排列，再将4,6插空排列，再根据已排好的位置将1,2整体插空放入，利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】第一步：将3,5进行排列，共有222A =种排法第二步：将4,6插空排列，共有2224A =种排法第三步：将1,2整体插空放入，共有155C =种排法根据分步乘法计数原理可得共有：24540⨯⨯=种排法 本题正确结果：40 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，关键是能够根据题意将问题拆分成几个步骤来进行处理，要注意不重不漏.17．175【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4再令x ＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan 的值再令x ＝0可得a0=81即可求解【详解】由C233n+1＝C23n+6（n ∈N*）可得3n+1+解析：175 【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4，再令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n 的值，再令x ＝0可得a 0=81，即可求解. 【详解】由C 233n +1＝C 23n +6（n ∈N *）可得 3n +1+（n +6）＝23，或 3n +1＝n +6，解得 n ＝4 或n 52=（舍去）．故（3﹣x ）4＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 4 x 4，令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝44＝256，再令x ＝0可得a 0=81，∴﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝256-81=175， 故答案为 175． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和问题，属于中档题．18．192【分析】根据微积分基本定理首先求出的值然后再根据二项式的通项公式求出的值问题得以解决【详解】的通项公式为令故含项的系数为故答案为【点睛】本题主要考查定积分二项式定理的应用二项式展开式的通项公式解析：192 【分析】根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决． 【详解】()()sin cos 1120a cosx sinx dx x x ππ=-=+=--=-⎰66⎛⎛∴-= ⎝⎝的通项公式为63162r r rr T C x --+= 令32r -=，1r = 故含2x 项的系数为61162192C -=故答案为192 【点睛】本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．19．23【解析】试题分析：由题意知本题是一个分步计数问题S 集合中选出一个数字共有3种选法P 集合中选出一个数字共有4种结果取出的两个数字可以作为横标和纵标因此要乘以2去掉重复的数字得到结果解：由题意知本题解析：23 【解析】试题分析：由题意知本题是一个分步计数问题，S 集合中选出一个数字共有3种选法，P 集合中选出一个数字共有4种结果，取出的两个数字可以作为横标和纵标，因此要乘以2，去掉重复的数字，得到结果．解：由题意知本题是一个分步计数问题， 首先从S 集合中选出一个数字共有3种选法， 再从P 集合中选出一个数字共有4种结果，取出的两个数字可以作为横标，也可以作为纵标，共还有一个排列， ∴共有C 31C 41A 22=24，其中（1，1）重复了一次．去掉重复的数字有24﹣1=23种结果， 故答案为23考点：计数原理的应用．20．164【分析】根据图形可知从第三行起每一行取第二和第三个数字再根据组合数的性质即可计算求出【详解】由图可知这十六个数的和为故答案为：164【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用解题关键是凑出的形式反解析：164 【分析】根据图形可知，从第三行起每一行取第二和第三个数字，再根据组合数的性质，即可计算求出. 【详解】由图可知，这十六个数的和为2112121222334499C C C C C C C C ++++++++()()1112223493493C C C C C C =++++++++()()21113222334933491C C C C C C C C =+++++++++-2310101451201164C C =+-=+-=．故答案为：164. 【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用，解题关键是凑出1m m n n C C -+的形式，反复利用组合数性质求和，属于基础题．三、解答题21．（1）54500T x =-，25280T x =（2）112 【分析】（1）由偶数项二项式系数可得7n =，可知展开式中间两项二项式系数最大，利用展开式通项公式求解；（2）由（1）利用展开式通项公式求含1x -和2x 项，结合与212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭相乘即可求解. 【详解】（1）由展开式中所有的偶数项二项式系数和为64，得1264n -=， 所以7n =所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项.因为7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()()72714317712121rrrr rr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的展开式中二项式系数最大的项为54500T x =-，25280T x =（2）由（1）知7n =，且7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中1x -项为684T x =-， 2x 项为25280T x =，所以221122nx x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式的常数项为()2841280112⨯-+⨯=, 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.22．(1)84 (2)2048 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，令x 的次数为0，即可求出常数项．（2）通过第6项与第7项的系数互为相反数，可得11n =，111(x的各项系数绝对值之和与111(x的各系数之和相等，令x=1,即可得到答案.【详解】解：（1）因为91(x 的通项是39921991()((1)r r r r r r r T C C x x--+==-，当r=6时可得展开式的常数项，即常数项是6679(1)84T C =-=.（2）1(n x 的通项为3211()((1)r n r n r r r r r n n T C C x x--+==-，则第6项与第7项分别为15526n nT C x-=-和697nn T C x -=，它们的系数分别为5n C -和6n C .因为第6项与第7项的系数互为相反数，所以56n n C C =，则11n =，因为111(x 的各项系数绝对值之和与111(x 的各系数之和相等，令1x =，得111(x的各项系数的绝对值之和为1122048=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项式展开式通项公式和二项式系数的应用，属于基础题.23．(1) 11T =，384T x =，25560T x =，37448T x = (2) 2187【解析】分析：（1）根据题意，求的7n =，写出二项展示的通项，即可得到展开式的有理项；（2）由题意，展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为7(1+展开式中各项系数之和，即可求解.详解：根据题意，n2128,n=7=得， （1）展开式的通项为r r r2r 17TC 2x ,r 0,1,2,,7+==.于是当r 0,2,4,6=时，对应项为有理项，即有理项为00017T C 2x 1,== 2237T C 2x 84x,== 442257T C 2x 560x ,== 66377T C 2x .=（2）()712x -展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为()712x +展开式中各项系数之和，在()712x +中令x ＝1得展开式中所有项的系数和为（1＋2）7＝37＝2 187．所以()712x -展开式中所有项的系数和为2187.点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题，二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 24．（1）3360；（2）1 【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果. 【详解】(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝令10－k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为()441023360C =-.(2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为，∵＝，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1. 25．（Ⅰ）8n =；（Ⅱ）728T ．【分析】（Ⅰ）利用排列数，组合数公式化简4530n n A C =即可得n 的值.（Ⅱ）写出()f x 的展开式的通项公式，令x 的指数为0即可得到常数项. 【详解】（Ⅰ）由已知4530n n A C =得：!30!4!5!5!n n n n ，!30!45!1205!n n n n n解得:8n =．（Ⅱ）8x ⎛⎝展开式的通项为488318831kk kkkk k T C xCxx由4803k 得6k =，即()f x 的展开式中的常数项为728T ．【点睛】本题考查排列数组合数公式的应用，考查求解二项展开式中的常数项，考查计算能力，属于基础题.26．（1）8n =；（2）7. 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的前3项，利用等差数列得到关系式，即可求出n 的值．（2）利用通项，令x 的指数为4，求出r ，然后求出所求结果． 【详解】（1）211122rr r n r r nn rT C C x x -+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 由题知210211222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2980n n -+=，从而1n =或8n =，由于2n ≥，故8n =.（2）由上知其通项公式为81812r r rr T C x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，即821812rr rr T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭令824r -=得2r，故4x 项的系数为228172C ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二项式定理及其应用，注意项的系数的讨论关键是弄清楚二项展开式的通项，本题属于中档题.。
高一数学计数原理单元测试.doc
计数原理、概率与统计班级 姓名 学号 成绩一、选择题:1．某次抽奖活动，甲中奖的概率为12，乙中奖的概率为14，则甲、乙都中奖的概率为 A ．18B ．34C ．14D ．122．已知211(),(),()5410P A P B P AB ===，则()P B A = A ．110B ．14C ．25D ．13203．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为本。
若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数 是 A ．2 B ．3 C ．5 D ．134．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 A.16种 B.36种 C.42种 D.60种 5．过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有 A.4条 B.6条 C.8条 D.12条6．在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为A ．1－k pB ．()k n kp p --1 C ．1－()kp -1 D ． ()k n kkn p p C --17．事件A 与B 相互独立是事件A 与B 相互独立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： A ．110B ．120C ．140D ．1120二、填空题：9．在72)x的展开式中，2x 的系数为_________________（用数字作答）.10．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人11．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_________种。
2023-2024学年高二数学单元速记——计数原理(单元重点综合测试)+答案解析
第七章计数原理（单元重点综合测试）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若2A3m＝A5m，则m的值为()A.5B.3C.6D.7【答案】A【解析】依题意得m！（m－5）！＝2·m！（m－3）！，化简得m2－7m＋10＝0，解得m＝2或m＝5，又m≥5，∴m＝5，故选A.2．若C3n＋C4n＝C3n＋1，则n的值是()A．5B．7C．6D．8【答案】C【解析】∵C3n＋1＝C3n＋C4n＝C4n＋1，∴n＋1＝3＋4，解得n＝6.3．现有6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是()A．56B．65C．30D．11【答案】A【解析】第一名志愿者有5种选择方法，第二名志愿者有5种选择方法，……，第六名志愿者有5种选择方法，综上，6名志愿者共有56种不同的选法．4.若实数a＝2－2，则a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210等于()A.32B.－32C.1024D.512【答案】A【解析】由二项式定理，得a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝C010(－2)0a10＋C110(－2)1·a9＋C210(－2)2a8＋…＋C1010(－2)10＝(a－2)10＝(－2)10＝25＝32.5.(1＋x)3(1－2x)的展开式中含x3的项的系数为()A.－5B.－4C.6D.7【答案】A【解析】因为(1＋x)3(1－2x)＝(1＋x)3－2x(1＋x)3，所以含x3项的系数为C33－2C23＝1－2×3＝－5.6.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有()A.24种B.36种C.48种D.72种【答案】B【解析】若第一棒选A，则有A24种选派方法，若第一棒选B，则有2A24种选派方法.由分类计数原理知，共有A24＋2A24＝3A24＝36(种)选派方法.7.已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的()A.第9项B.第10项C.第19项D.第20项【答案】D【解析】∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是C45＋C46＋C47＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20.故选D.3．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是()A．56B．65C．30D．11【答案】A【解析】第一名同学有5种选择方法，第二名同学有5种选择方法，……，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.若C m－18>3C m8，则m的取值可能是()A.6B.7C.8D.9【答案】BC【解析】对于C m －18和3C m8，有0≤m －1≤8且0≤m ≤8，则1≤m ≤8.又C m －18>3C m 8，∴8！（m －1）！（9－m ）！>3·8！m ！（8－m ）！，化简得m >27－3m ，解得m >274.综上可得274<m ≤8，又m ∈N ，故m ＝7或m ＝8.故选BC.10.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为()A.A 55－A 44 B.A 44－C 12A 33C.C 11C 12A 33D.12A 44【答案】BCD【解析】间接法：四名同学全排再去掉甲与老师相邻的情况为A 44－C 12A 33.直接法：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有N 1＝C 11·C 12＝2种站法，其余三名学生任意排列有N 2＝A 33＝6种排法，则不同站法共有N ＝N 1×N 2＝2×6＝12(种).或者，四名同学全排时，适合题意与不适合题意各占12，故有12A 44，故选BCD.11．(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为()A ．a ＝1，b ＝2，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝－1，b ＝－2，n ＝5【答案】AD【解析】只要令x ＝0，y ＝1，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b )n ，令x ＝1，y ＝0，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含y 的项的系数的和为(1＋a )n .如果a ，b 是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a ，b 中有负值，相应地，分别令y ＝－1，x ＝0；x ＝－1，y ＝0.此时的和式分别为(1－b )n ，(1－a )n ，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b |)n ，(1＋|a |)n .根据题意得，(1＋|b |)n ＝243＝35，(1＋|a |)n ＝32＝25，因此n ＝5，|a |＝1，|b |＝2.故选AD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有__________种.【答案】240【解析】分两步完成：第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A 22种种植方法；第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A 55种种植方法.由分步计数原理得，不同的种植方法共有A 22A 55＝240(种).13.2x 的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x 2的系数为________.【答案】－448【解析】2＋a ）n ＝1，n ＝128，＝7，＝－1.2x 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(2x )7－＝C r 727－r(－1)r x 7－3r 2，令7－3r 2＝2，解得r ＝1.所以x 2的系数为C 1726(－1)1＝－448.14．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有________种．【答案】54【解析】根据题意知，甲、乙都没有得到冠军，且乙不是最后一名，分2种情况讨论：①甲是最后一名，则乙可以是第二名、第三名或第四名，即乙有3种名次排列情况，剩下的三人有A 33＝6(种)名次排列情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况；②甲不是最后一名，则甲、乙需要排在第二、三、四名，有A 23＝6(种)名次排列情况，剩下的三人有A 33＝6(种)名次排列情况，此时有6×6＝36(种)名次排列情况．综上可知，一共有36＋18＝54(种)不同的名次排列情况．四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解析】(1)将取出的4个球分成三类：①取4个红球，没有白球，有C 44种取法；②取3个红球，1个白球，有C34C16种取法；③取2个红球，2个白球，有C24C26种取法，故共有C44＋C34C16＋C24C26＝115(种)取法．(2)设取x个红球，y＋y＝5，x＋y≥7，≤x≤4，≤y≤5，＝2，＝3＝3，＝2＝4，＝1.因此，符合题意的取法有C24C36＋C34C26＋C44C16＝186(种)．16.(本小题满分15分)在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，并解决下面两个问题.已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a n x n(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________.(1)求n的值及展开式中所有项的系数和；(2)求展开式中含x3的项.【解析】(1)若选①，则n2＝5，∴n＝10；若选②，则C3n＝C7n，∴n＝37＝10；若选③，则2n＝210，∴n＝10.令x＝1得，(2×1－1)10＝1，故展开式中所有项的系数和为1.(2)由(1)知，n＝10，∴(2x－1)10的展开式的通项为T r＋1＝C r10·(2x)10－r·(－1)r＝(－1)r·210－r·C r10x10－r.令10－r＝3，得r＝7，∴展开式中含x3的项为T8＝(－1)7×23·C710x3＝－960x3.17.(本小题满分15分)某兴趣小组有男生12名，女生8名，现选派5名参加知识竞赛．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？(4)兴趣小组中至少有1名男生和1名女生，有多少种选法？【解析】(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)选法．(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8568(种)选法．(3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加．则共有C 12C 418＋C 318＝6936(种)选法．(4)方法一(直接法)至少有1名男生和1名女生的选法可分4类：1内4外；2内3外；3内2外；4内1外．所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14656(种)选法．方法二(间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数所得的结果即为所求，即共有C 520－(C 512＋C 58)＝14656(种)选法．18.(本小题满分17分)组合数公式的推广：定义C m x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！，其中x ∈R ，m ∈N *，且规定C 0x ＝1.(1)求C 3－15的值；(2)设x >0，当x 为何值时，函数f (x )＝C 3x （C 1x ）2取得最小值？【解析】(1)由题意得C 3－15＝（－15）×（－16）×（－17）3！＝－680.(2)由题意得f (x )＝C 3x（C 1x ）2＝x （x －1）（x －2）6x 2＝＋2x －又x >0，由基本不等式得x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2时，等号成立，所以当x ＝2时，C 3x （C 1x ）2取得最小值.19.(本小题满分17分)已知m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为7.(1)对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数；(2)利用上述结果，求f (0.003)的近似值；(精确到0.01)(3)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，求ba .【解析】(1)根据题意得C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7，①f(x)中的x2的系数为C2m＋C2n＝m(m－1)2＋n(n－1) 2＝m2＋n2－m－n2.将①变形为n＝7－m，代入上式得x2的系数为m2－7m＋21＋354，故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.当m＝3，n＝4时，x3的系数为C33＋C34＝5；当m＝4，n＝3时，x3的系数为C34＋C33＝5. (2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C04＋C14×0.003＋C03＋C13×0.003≈2.02. (3)由题意可得a＝C48＝70，再根据r8·2r≥C r＋18·2r＋1，r8·2r≥C r－18·2r－1，≥5，≤6，又r∈N*，∴r＝5或6，此时，b＝7×28，∴ba＝1285.。
长沙市选修三第一单元《计数原理》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．402．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．448B ．448-C ．672D ．672-3．已知（a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -5．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．16．由0,1,2,3,,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）A ．180B ．196C ．210D ．2247．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ) A ．48 B ．72C ．84D ．1688．411()x y x y+--的展开式的常数项为（ ） A ．36B ．36-C ．48D ．48-9．若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---等于（ ）A ．515m P -B ．1520mm P --C ．520m P - D ．620m P -10．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A ．24B ．27C ．30D ．3611．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为() A ．6B ．7C ．8D ．912．在(nx的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21B ．63C ．189D ．729二、填空题13．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援. 若将5名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有_______种分配方案．（用数字作答） 14．某老师安排甲、乙、丙、丁4名同学从周一至周五值班，每天安排1人，每人至少1天，若甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为______.（请用数字作答） 15．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.16．若251(3)(2)x a x x--的展开式中3x 的系数为80，则a =_______.17．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答） 18．已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.19．()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______． 20．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有______种.参考答案三、解答题21．已知()()2*01212,6nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈，其中012,,,,n a a a a R ∈．（1）当6n =时，求6(12)x +的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项；（2）若n 为偶数，求246n a a a a +++⋯+的值． 22．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅．（1）求0a 的值；（2）求1232n a a a a +++⋯+的值； （3）求13521n a a a a -+++⋯+的值．23．已知)23nx展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中,2n N n +∈≥．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．24．计算：（1）2490n n A A =；（2）383321nn nn C C -++.25．已知()*nx n⎛∈ ⎝N 展开式的前三项的二项式系数之和为16．（1）求n 的值：（2）复数z 满足325nz i z i -=++(i 为虚数单位)，求z ．26．已知n的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255（1）求展开式所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．B解析：B 【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5进行求解即可． 【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2r r r r rr r rx T C x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.3．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．D解析：D 【分析】根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项； 【详解】10∴二项式展开式为：(10)113211012kk k k T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设系数绝对值最大的项是第1k +项，可得11101011101011221122kk k k k k k k C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩可得11112101112k k k k -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⋅⎪+⎩，解得81133k ≤≤*k N ∈ ∴3k =在10的展开式中， 系数的绝对值最大的项为：3711310523241215x x T C x -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎭- ⎪⎝⎭⎝故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．5．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.6．C解析：C 【分析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案．【详解】 分两种情况：（1）个位与百位填入0与8，则有2228A A 个； （2）个位与百位填入1与9，则有722711A A A 个. 则共有2221128277210A A A A A +=个. 故选：C 【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，注意分类讨论的运用．7．D解析：D 【分析】分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得. 【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有2412A =种第二步：分三类①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查另2名理科生所在的班级，有22224A A =种②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生互查所在的班级，有21212A A =种③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有1112228A A A =种根据分步分类技术原理可得，共有()12428168⨯++=不同的安排方法 故选：D 【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.8．A解析：A 【分析】先对多项式进行变行转化成441()1x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出22x y 项，第2个括号出221x y 项. 【详解】∵4444111()1x y x y x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴411x y x y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为22244222(C (C 361))x y x y ⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.9．D解析：D 【分析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】()()()()()()()()()()1231415162020!1516201231414!m m m m m m m m m m ⋅⋅--------==⋅⋅--()()20!206!m m -=--⎡⎤⎣⎦，由排列数的定义可得()()()620151620m m m m P ----=. 故选D. 【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】分两种情况讨论：选0或2，4，分别求出组成无重复数字的三位奇数的个数，再求和即可. 【详解】第一类，从0，2，4中选一个数字，若选0，则0只能排在十位，故有236A =个奇数，第二类，从0，2，4中选一个数字，若不选0，先把奇数排个位，再排其它，故有2112322224C C C A =个奇数，综上可得，从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为62430+=个， 故选C ． 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.11．C解析：C 【分析】根据古典概型概率计算公式列出不等式，利用组合数公式进行计算，由此求得至少抽取的产品件数. 【详解】设抽取x 件，次品全部检出的概率为2228100.6x xC C C ->，化简得()154x x ->，代入选项验证可知，当8x =时，符合题意，故选C. 【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.12．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773r r r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．故选C ． 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 二、填空题13．30【分析】根据题意先将5名医生分成2组再分配的两家医院即可求得分配方案的种数分组时有和两种分组方法结合组合的运算集合求出结果【详解】解：由题可知先将5名医生分成2组有种再分配的两家医院有种即有30解析：30 【分析】根据题意，先将5名医生分成2组，再分配的两家医院即可求得分配方案的种数，分组时有14+和23+两种分组方法，结合组合的运算集合求出结果. 【详解】解：由题可知，先将5名医生分成2组，有1423545351015C C C C ⋅+⋅=+=种， 再分配的两家医院有221530A =种，即有30种分配方案.故答案为：30. 【点睛】本题考查排列和组合的运算和应用，考查了先选再排的技巧，分组时要注意分类讨论.14．24【分析】首先在周一到周五任选连续的两天安排甲值班即有种方式其它三天安排乙丙丁值班有种方式由分步计数原理即有总方法有种即可求得所有安排方法数【详解】从周一至周五值班甲连续两天值班乙丙丁每人值班一天解析：24 【分析】首先在周一到周五任选连续的两天安排甲值班，即有14C 种方式，其它三天安排乙、丙、丁值班，有33A 种方式，由分步计数原理，即有总方法有14C 33A 种，即可求得所有安排方法数 【详解】从周一至周五值班，甲连续两天值班，乙、丙、丁每人值班一天，可知 周一到周五任选连续的两天安排给甲值班，则有：14C 种安排方法 甲值班两天除外，其它三天安排乙、丙、丁值班，则有：33A 种安排方法 以上两步是分步计数方法：故总的不同的安排方法为14C 33A = 24种 故答案为：24 【点睛】本题考查了排列组合，应用分步计数原理求总计数，注意其中“对甲连续两天的值班安排”应用了捆绑法15．40【分析】先求出的展开式的通项再求出即得解【详解】设的展开式的通项为令r=3则令r=2则所以展开式中含x3y3的项为所以x3y3的系数为40故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系解析：40 【分析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.【详解】设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r rr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．【解析】分析：中的系数与的积加上中的系数与的系数的积就是展开式的系数详解：展开式通项为令则令则∴解得故答案为－2点睛：二项式的展开式的通项为由此通项公式可求展开式中的特定项如果是两个（或多个）式子相 解析：2-【解析】分析：31(2)x x -中3x 的系数与a -的积，加上31(2)x x-中x 的系数与23x 的系数的积就是展开式3x 的系数．详解：51(2)x x-展开式通项为55521551(2)()2r rr r r r r T C x C x x---+=-=， 令523-=r ，则1r =，令521r -=，则2r，∴41325523280a C C -⨯+⨯=，解得2a =-，故答案为－2.点睛：二项式()n a b +的展开式的通项为1C r n r rr n T a b -+=，由此通项公式可求展开式中的特定项．如果是两个（或多个）式子相乘，可在第个式子中取一项相乘，只要未知数的次数满足要求，这时要注意不能遗漏.17．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为解析：8 【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.18．【分析】对原方程两边求导然后令求得表达式的值【详解】对等式两边求导得令则【点睛】本小题主要考查二项式展开式考查利用导数转化已知条件考查赋值法属于中档题 解析：22【分析】对原方程两边求导，然后令1x =-求得表达式的值. 【详解】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x +=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.19．80【分析】先求出展开式中的常数项与含的系数再求展开式中的常数项【详解】展开式的通项公式为: 令解得 令解得 展开式中常数项为: 故答案为：80【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解属于基础题解析：80 【分析】先求出62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数,再求()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项. 【详解】62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为: 662166(2)2rr r r r rr T C x C xx --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭, 令620r -=，解得3r =,33316(2)160T C +∴=-⋅=-，令622r -=-，解得4r =,444162211(2)240T C x x+∴=-⋅⋅=⋅， ()6212x x x ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为: (160)24080-+=.故答案为：80. 【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解，属于基础题.20．【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论并计算出每种情况下的安排方案种数利用分类加法计数原理可得结果【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇若甲乡镇派遣三名医生则共有种 解析：68【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论，并计算出每种情况下的安排方案种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，若甲乡镇派遣三名医生，则共有112214242420C C C C C +⋅+⋅=种方案；若甲乡镇派遣四名医生，则共有211132224242420428C C C C C C C C ⋅+⋅+⋅+⋅=种方案； 若甲乡镇派遣五名医生，则共有03122324242420C C C C C C ⋅+⋅+⋅=种方案.综上可得，不同的派遣方案有20282068++=种. 故答案为：68. 【点睛】本题考查人员的分配问题，考查分类讨论基本思想的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）二项式系数最大的项是第4项为3160x ，系数最大的项是第5项为4240x ；（2）312n -． 【分析】（1）由二项式系数性质求解，由二项展开式通项公式得各项系数，由第k 项系数不小于前后两项系数可得系数最大的项；（2）先求出0a ，在展开式中令1x =和1x =-后可得奇数项系数和然后可得结论． 【详解】（1）()()2*01212,6nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈中6n =时，展开式中有7项，中间一项的二项式系数最大，此项为3336(2)160C x x =， 又166(2)2rrrr r T C x C +==，设第1k +项系数最大，则116611662222k k k k k k k k C C C C ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解得111433k ≤≤，∴4k =，即第5项系数最大，第5项为4446(2)240C x x =； 二项式系数最大的项是第4项为3160x ，系数最大的项是第5项为4240x ；（2）首先01a =，记()()2*012()12,6nn n f x x a a x a x a x n N n =+=++++∈，则012(1)3nn f a a a a ==++++，01231(1)n n f a a a a a a --=-+-+-+，所以024(1)(1)3(1)31222n n n n f f a a a a +-+-+++++===， 所以243131122n n n a a a +-+++=-=． 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项式定理是解题关键．赋值法是求二项展开式中某些项系数和常用方法．22．（1）1；（2）231n-；（3）2312n -.【分析】（1）赋值0x =即可得解；（2）赋值1x =，结合（1）即可得解； （3）赋值1x =-，结合（2）即可得解. 【详解】（1）0x =代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：01a =； （2）1x =代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：032122=3n n a a a a a ++++⋯+，所以： 13222=31n n a a a a +++⋯-+；（3）1x =-代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：01232=1n a a a a a -+-+⋯+，又032122=3n n a a a a a ++++⋯+，、两式相减可得：5221312()31n na a a a -+++⋯=-+，所以221351312n n a a a a -+=+⋯-++. 【点睛】本题考查了二项展开式中项的系数和项的系数和，主要方法是赋值法，属于基础题. 23．（Ⅰ）5n =；（Ⅱ）690x 、10243x . 【分析】（Ⅰ）由题意)23nx展开式中二项式系数和为2n、各项系数和为()134nn +=，列方程即可得解；（Ⅱ）写出展开式的通项公式4103153r r rr T C x++=⋅⋅，分别令2r 、=5r 即可得解.【详解】（Ⅰ）由题意可得)23nx展开式中二项式系数和为2n ，令1x =，可得)23nx展开式中各项系数和为()134nn +=，则由题意可得42992n n -=，化简得()()2322310nn-+=， 由2310n +>可得2320n -=， 所以5n =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得))52233nxx=，则其展开式的通项公式()5241023315533rr rr r rr T C x xC x-++⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，要使4103r +为有理数，则2r 或=5r ，当2r时，41022663553390r r r C xC x x +⋅⋅=⋅⋅=；当=5r 时，41055101035533243r r rC xC x x +⋅⋅=⋅⋅=；所以其展开式中的有理项为690x 、10243x . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 24．（1）12；（2）466. 【分析】（1）由排列数公式化简后再解方程可得；（2）由组合数性质求得n 的范围，求得n ，再利用组合性质变形后计算． 【详解】（1）由2490n n A A =，得90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，且4n ≥，解得12n =；（2）由题意383321n nn n -≤⎧⎨≤+⎩，*n N ∈，解得10n =．∴383321n n n n C C -++283021303130313029314662C C C C ⨯=+=+=+=. 【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式，掌握排列数和组合数性质是解题关键．在组合数中一定要注意上标不大于下标． 25．（1）5；（2）34z i =+. 【分析】（1）利用前三项的二项式系数和建立方程进行求解即可．（2）根据模长公式与复数相等的性质，利用待定系数法建立方程进行求解． 【详解】（1）由题意知01216n n n C C C ++=，即(1)1162n n n -++=， 得2300n n +-=得5n =或6n =-（舍)， 故5n =．（2）设z x yi =+，x ，y R ∈， 原方程化为||23z i z i -=++，23i x yi i =-++，2(4)0x y i -+-=，20x -=且40y -=， 得3x =，4y =，即34z i =+． 【点睛】本题主要考查二项式定理以及复数的计算，利用待定系数法以及建立方程是解决本题的关键，难度不大．26．（1）4112,256x x -；（2）731792x -【分析】令1x =可得展开式的各项系数之和，而展开式的二项式系数之和为2n ，列方程可求n 的值及通项， （1）832r r--为整数，可得r 的值，进而可得展开式中所有的有理项； （2）假设第1r +项最大，且r 为偶数，则22882288(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩，解出r 的值，进而可求得系数最大的项. 【详解】解：令1x =可得，展开式中各项系数之和为(1)n-，而展开式中的二项式系数之和为2n ，2(1)255n n ∴--=，8n ∴=，883322188(2)(2)r r rr r rrr r T C xxC x----+∴=-=-，（1）当832r r--为整数时，1r T +为有理项，则2,8r =， 所以展开式所有的有理项为：4112,256x x -； （2）设第1r +项最大，且r 为偶数则22882288(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩， 解得：6r =，所以展开式中系数最大的项为：8667663238(2)1792C xx ----=.【点睛】本题主要考查了利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和及展开式的二项式系数和的应用，二项展开式的通项的应用，属于基本知识的综合应用.。
2022-2023苏教版选择性必修第二册第7章《计数原理》单元测试A卷(word版含解析)
2022-2023苏教版选择性必修第二册第7章《计数原理》A 卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足b ⃗ =2a ⃗ ，如果a ⃗ =(1,2)，那么b ⃗ =( )A. (−2,−4)B. (−2,4)C. (2,−4)D. (2,4)2. 如图，已知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD =2DB ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DC⃗⃗⃗⃗⃗ 为( )A. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−53a ⃗ +23b ⃗B. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ −13b ⃗C. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ −13b ⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ −23b ⃗ 3. 设a ⃗ ，b ⃗ 是非零向量，则“存在实数λ，使得a ⃗ =λb ⃗ ”是“|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2−b 2=√3bc ，sinC =√3sinB ，则A =．( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°5. 在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( ) A. −54B. −43C. −45D. −346. 设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−b,0)，其中O 为坐标原点，a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则2a+1b的最小值为( )A. 4B. 6C. 8D. 97. 在△ABC 中，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22，则△ABC 为．( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形D. 等腰直角三角形8. 梯形ABCD 中AB 平行于CD ，AB =2,CD =1,∠DAB =π4，P 为腰AD 所在直线上任意一点，则|3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是( )A. 4√3B. 4√2C. 4D. 3√6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
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《计数原理》单元测试题一、选择题1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法共有（ ）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种 3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种 B ．960种 C ．720种D ．480种4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）A ．()2142610C A 个B ．242610A A 个C ．()2142610C 个D ．242610A 个 5．（x －2y ）10的展开式中x 6y 4项的系数是( )A. 840B. －840C. 210D.－2106. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( )B.607.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数.和CD 为平面内两条相交直线，AB 上有m 个点，CD 上有n 个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( ) A.2121mn n m C C C C + B.21121mn n m C C C C -+ 21211m n n m C C C C +-.2111211---+m n n m C C C C 9.设()10102210102x a x a x a a x+⋅⋅⋅+++=-,则()()292121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++的值为( )B.-1 D.10．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( ) 种种 种 种11．从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为 ( )A ．208 B ．204 C ．200 D ．196 12. 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为 （ ）.240 C二、 填空题13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）.14. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）． 15. 若(2x 3+x1)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n = .16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。
（用数字作答） 三、解答题17．从4名男生,3名女生中选出三名代表(1)不同的选法共有多少种(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种 (3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种（第10题）（第11题）18．平面内有12个点，其中有4点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点可得到多少个不同的三角形19．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法（l）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端．20．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.（1）43251是这个数列的第几项（2）这个数列的第96项是多少（3）求所有五位数的各位上的数字之和（4）求这个数列的各项和.21.在的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等。
（1）求r的值；（2）写出展开式中的第4r项和第r+2项。
22.求证：能被25整除。
第一章 计数原理单元测试题参考答一、选择题：（每题5分，共60分）1、D2、C 解析．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有23344496C C C ⋅⋅=种，选C3、B 解析：5名志愿者先排成一排，有55A 种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5524A ⋅⋅=960种不同的排法，选B4、A 解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()2142610C A 个，选A 5、A 6、B 解析:只考虑奇偶相间,则有33332A A 种不同的排法,其中0在首位的有3322A A 种不符合题意,所以共有33332A A 603322=-A A 种. 7、C 解析: 比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有633=A 个; 第二类是千位为2 ,百位比3小为0,有222=A 个; 第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以12340是第10个数.8、D 解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点. 9、C 10、B 11、C12、A 解析:先取出一双有15C 种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,有121224C C C 种不同的取法,共有15C 120121224=C C C 种不同的取法. 二、 填空题(每小题4分，共16分）13、1260 解析： 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有4239531260C C C =14、24 解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成33212A ⋅=个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2224A ⋅=个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有222(2)A ⋅⋅=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个15、7 解析：若(2x 3+x1)n 的展开式中含有常数项，31(2)n r n rrr n T C x --+=⋅为常数项，即732rn -=0，当n =7，r =6时成立，最小的正整数n 等于7. 16、36种 解析．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有123434336C A ⋅=⨯⨯=种三、解答题17.解：（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法3735C = 种；（2）至少有一名女生的不同选法共有122133434331C C C C C ++= 种；（3）男、女生都要有的不同的选法共有33374330C C C --= 种。
18.解：把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准。
第一类：共线的4点中有两点为三角形的顶点，共有：（个）； 第二类：共线的4点中有一点为三角形的顶点，共有（个）； 第三类：共线的4点中没有点作为三角形的顶点，共有：（个）。
由分类计数原理知，共有三角形：（个）。
答：可得到216个不同的三角形。
19.解析：（l ）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有种站法，然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理共有站法480 （种）方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站，有种站法，然后中间 4 人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法480 （种） 方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有480（种）（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有240 （种）站法．方法二：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有种站法，再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有240 （种） （3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队，有种；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端）中，有种，故共有站法为= 480 （种）.也可用“间接法”，6 个人全排列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有240 种站法，所以不相邻的站法有－720－240＝480（种）．(4)方法一：先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有种站法．方法二：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有144 种站法．（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有种站法．方法二：首先考虑两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有种站法．（6）方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端的站法有种，共有种站法．方法二：以元素甲分类可分为两类：① 甲站右端有种，② 甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有种，故共有=504 种站法． 20.解：⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类第一类：以5打头的有：44A =24 第二类：以45打头的有：33A =6 第三类：以435打头的有：22A =2故不大于43251的五位数有：()8822334455=++-A A A A （个） 即43251是第88项.⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项， 即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321. （3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有44A 个五位数，所以万位上各个数字的和为：（1+2+3+4+5）·44A同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个44A 五位数，所有五位数的各位上的数字之和5·（1+2+3+4+5）·44A =1800（4）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有44A 个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）·44A ·10000同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有44A 个五位数，所以这个数列各项和为：（1+2+3+4+5）·44A ·（1+10+100+1000+10000）21.解：（1）展开式第4r 项的二项式系数为，第r+2项的二项式系数为，根据二项式系数的性质，当且仅当或时它们的二项式系数相等，解得（舍），。