数学建模论比赛资料 艾滋病模型
数学建模竞赛-艾滋病疗法评价及疗效预测模型
二、 基本假设
1、题中所给出的数据真实，能反映现实情况； 2、最佳治疗终止时间是指：CD4 的浓度(个 / l )达到某值 的初始时间； 3、治疗有效果是指：HIV 的数量降低，同时产生更多的 CD4 细胞，至少能有效地降 低 CD4 减少的速度； 4、问题 2 中疗法的优劣评价，仅以 CD4 为标准； 5、在疗法 1 中，以日用量 600mg zidovudine 或 400mg didanosine 按每月交替服用， 1 个月按 30 天计算，且在第 1 月中，每日服用 600mg zidovudine ； 6、在测试过程中，忽略病人年龄的变化； 7、处于同一年龄段的病人，生理状况一致。
y 0.0003x3 0.0201x2 0.4414 x 0.7203
相关系数的平方：rsquare=0.9839 残差平方和 ：S= 0.1540 由此认为拟合比较好 散点图、拟合曲线及置信区间如下图：
3
图 1：CD4 比值的曲线拟合图 同样由于 numHIV(i)<20 的数据不具有统计意义，因此只画出 numHIV(i)>=20 时对 应 meanHIV(i)的散点图，根据散点图确定用负指数函数来拟合。 拟合曲线方程 y k1g e k 2gx k 3 用 Matlab 求得：k1=3.4668,k2=0.4673,k3=2.8365
CD 4i 。 CD 40
meanCD4(i)
sumCD4(i 1) sumCD4(i) sumCD4(i 1) numCD4(i 1) numCD4(i) numCD4(i 1)
用 meanCD4(i) 的值代替 sumCD4(i) 。 统计第 i 周 HIV 的测得值总和 sumHIV(i)与测试人数 numHIV(i)， 用三项移动平均法 的思想，令
19322-数学建模-B甲1915
效果或最佳治疗终止时间。我们知道，一次和二次样条函数其局限性较大、缺陷十分明 显，若要求曲线更光滑，则必须使用更高次数的样条。
最常用的高次样条是三次样条。对 (ti , xi ) 和 (ti , yi ) 数值对组成的数据表，我们分别
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
卢西存 代春光 董学前 指导老师：数模组
（海军航空工程学院 烟台 264001） 摘要：本文利用美国艾滋病医疗试验机构的研究数据，首先对原始数据做散点图处理。 在问题 1 里对数据进行拟合处理确定了 CD4 和 HIV 浓度的预测函数，建立了 Logistic 模型，得到了最佳治疗终止时间为第 25 周。问题 2 采用求平均值和方差的统计方法确 定了第 4 种疗法最优，然后对第 4 种疗法取得的数据分别进行二次拟合处理，在 CD4 浓度的对数值（取值 log(CD4+1)）达到最大值 3.2373 时得到了最佳治疗终止时间为第 16 周。问题 3 在考虑经济因素时引入了权重，使用问题 2 中的方法判断出第 3 种疗法 最优，并解得第 3 种疗法的最佳治疗终止时间为第 14 周，CD4 的对数值为 3.1173。 关键字：样条函数；Logistic 模型；拟合；最小二乘法；
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时间 (单位:周)
把 x0 = 86.2366 代入方程（8）中，利用附录程序 3 对参数 a,b 进行拟合得到
则方程（8）为
a = 0.2942 ， b = 0.0057
数学建模论比赛资料--艾滋病模型
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B题我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：200620110912所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：艾滋病疗效数学模型与分析摘要本文就艾滋病疗效的问题做了深入的研究，由于数据量庞大，我们首先对数据进行筛选，排除那些部分信息量过少或偏离总体规律的数据，并对剩余数据逐个曲线拟合，然后通过对拟合后每个个体数据的散点分布趋势，找出图中密集点分布的大致范围，在此范围内求取平均值的方法，以此来确定普遍规律中方程的未知数，利用这种将大量的个体数据归纳为一个总体规律的方法来建立数学模型并求解。
在第一题中,由于HIV与CD4高度相关,因此我们通过研究CD4的变化率与HIV的变化率的关系，由于两者成反比关系，于是我们将CD4的变化率与HIV的变化率的关系模型假定为 ，整理得到：EMBED Equation.3 ；我们对个体数据进行了逐个曲线拟合，并将各个拟合后方程的系数看作坐标轴中的点(k1，k2）画出散点图，根据这些点在图中的疏密性确定(k1，k2）的大致范围,并利用平均值的方法求出（ EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ），再根据短时间内HIV与CD4的变化规律，即“当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作”列出两者间的关系方程 EMBED Equation.3 ,消去方程EMBED Equation.3 中EMBED Equation.3 HIV，得到EMBED Equation.3间的线性关系： EMBED Equation.3 ；通过斜率判断出药物对艾滋病的疗效是显著的。
艾滋病疗法的评价及疗效的预测数学建模竞赛优秀论文Word版
高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛的题目是：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要针对问题一我们建立了两个模型：曲线拟合模型和灰色预测模型。
对曲线拟合模型，我们采用了分区间分类讨论的思想，使预测精度有了很大提高；在建立灰色预测模型的的过程中，我们对经典的GM（1，1）模型进行了拓展，建立了不等时距的拓GM（1，1）模型，并对其算法进行了简化。
最终得出结果：在未来一段时间内CD4浓度将持续增长，HIV指标将缓慢低速下降，应继续服药。
问题二可以分解为两个子问题：对四种疗法的评价和对最优疗法的预测。
我们的总体思想是：先将年龄分段，再对每个年龄段进行评价和预测。
在评价中，我们将疗效定义为：期望与方差的加权组合。
最终结果为：适合青、中、老年的最优疗法分别为：疗法四、二、一。
在预测中，我们又引进了指数平滑模型，对不同年龄段对应的最优疗法作出了合理的预测，并进确定出个疗法的最佳治疗终止时间为：青年——试验结束后135.68周；中年——试验开始后8—16周；老年——试验结束后0.472周。
19310-数学建模-B甲1903
3 种情况 ○1 ○2
○3
表 1 治疗效果的评价标准
治疗有效
治疗无效
Cx ≥ 0 Hx ≤ 0 Cx ≠ Hx
Cx ≤ 0 Hx ≥ 0 Cx ≠ Hx
Cx > 0 Hx > 0
Cx > 0 Hx > 0
Cx > Hx
Cx < Hx
Cx < 0 Hx < 0
Cx < Hx
Cx < 0 Hx < 0
Cx > Hx
现在根据美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组资料，我们研究以下问题： （1）利用附件 1 的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续 治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。 （2）利用附件 2 的数据，评价 4 种疗法的优劣（仅以 CD4 为标准），并对较优的疗 法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。
v j ：第 j 种疗法有效治疗平均斜率， j = 1,2,3,4 。
σ j ：第 j 种疗法的综合评价标准， j = 1,2,3,4 。
ζ ： 某病人的预测相对误差平方和。 U ：被评判物的因素论域。 u1 ：疗法疗效因素。
u2 ：疗法费用因素。 V ：评语等级域。 v1, v2 , v3 , v4 ：评语的四个等级。 R ：模糊关系矩阵。 rij ：U 中因素 ui 对于V 中等级 v j 的隶属关系， i = 1,2 ， j = 1,2,3,4 。
从图中我们可以看出，对于大部分的患者来说经过治疗 CD4 的浓度呈升高的趋势，
而 HIV 的浓度呈下降的趋势，也就是说对大多数病人来说治疗还是有效的。
5.1.1.2 治疗效果评价的标准 记 CD4 的斜率为 Cx ，HIV 的斜率为 Hx ，根据 AIDS 的治疗目的，我们以下列方法确
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛全国一等奖B题艾滋病疗法的评价及疗效的预测3
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，以HIV 病毒破坏人体免疫系统而最终导致病人死亡，被称为“世纪顽症”。
医学界至今没有针对艾滋病的有效的治疗方法，对艾滋病的医学研究工作依然艰苦而漫长。
本文尝试运用数学原理和工具，来评价不同药物对艾滋病的治疗效果，为艾滋病的研究工作尽一份微薄的力量。
问题 1 我们首先运用模糊聚类法中的类平均法，将病人分为了6类，然后针对每一类病人，按照正文中所介绍的分类标准，将有治疗效果的病人选取出来，并计算出与此对应的比例，这个比例所反映的是药物对此类病人的有效率，然后用拟合的方法计算出有效类中每个病人的最佳治疗终止时间，最后统计得到该类病人的最佳治疗终止时间点集，也就得到了这类病人在各时段的疗效终止概率，直观地得到各分类的最佳疗效终止时间。
问题2采用了多元线性回归的方法，对四种治疗方案分别预测了每一时刻CD4细胞的浓度，并在此基础上画出CD4细胞的浓度曲线。
由曲线图即可直观地看出四种治疗方案任意时刻CD4细胞的浓度，从而判别四种治疗方案的优劣。
然后使用MATLAB 软件拟合最佳治疗方案中CD4细胞浓度与治疗时间的函数关系，通过函数图求出最佳治疗终止时间。
问题3 我们引入了一个可以直接表示结果的变量：)()1()()1()(i m i m i X i X i −+−+ε)(i ε称为性价差分比。
先利用问题2中建立的函数关系，分别预测四种治疗方案中一组CD4细胞的浓度值，求得四种治疗方案在各个时间段的性价差分比，并利用MATLAB 编程绘出四种治疗方案的性价差分比的曲线图。
然后我们采用了一种利用面积来体现整体优劣的方法，即面积比较、整体最优法，得出第三种治疗方案为整体较优的治疗方案。
关键字：模糊聚类 终止概率 线性拟合 性价差分比 面积比较整体最优法１ 问题重述 剥夺了千万人生命的艾滋病，是以HIV 病毒破坏人体的免疫系统而最终导致艾滋病人死亡的。
数模_ODE_例
任务描述
任务1 任务1：在每个大洲中选取一个艾滋病病情严重的 国家，建立模型，未来50年中， 50年中 国家，建立模型，未来50年中，预测在没有任何 干预措施的情况下你所选定的国家中艾滋病感染 者的数量的变化率。 者的数量的变化率。并对模型及模型假设作详细 的解释。 的解释。
任务描述
任务2 估计所选定国家中， 2006年到2050年 任务2：估计所选定国家中，从2006年到2050年 年到2050 每年对抗艾滋病所需的国际支援的水平， 每年对抗艾滋病所需的国际支援的水平，利用 这些财政资源和任务1 这些财政资源和任务1中建立的模型来预测在所 选定的国家中， 2006年到2050年 年到2050 选定的国家中，从2006年到2050年，在下面三种 情况下艾滋病感染者数量的变化率。 情况下艾滋病感染者数量的变化率。 实施抗逆转录酶(ARV) (ARV)药物治疗 （1）实施抗逆转录酶(ARV)药物治疗 （2）注射抗艾滋病毒疫苗 （3）实施抗逆转录酶药物治疗和注射疫苗
数学建模论文赏析-The United Nations and the Quest for the Holy Grail (of AIDS)
基本模型
在t年患病的人数＝t年新患的人数 +(t-1)年患病的人数－t年死亡的人数
即：
a(t)=In(t)+a(t-1)-d(t)
CaR b c
通过异性性交感染人数的计数
Tn t r (1 CR ) anv (t 1) (1 %an )
Tnv t r (1 CR ) an (t 1) (1 %anv )
The United Nations and the Quest for the Holy Grail (of AIDS)
艾滋病的 主要传播 方式
没使用安全套
没受保护 的性交
使用无消毒的针头
异性性交 同性性交 吸毒
呈阳性的孕妇所生 的婴儿
防止艾滋病传 播的主要方法
进行性教育 ARV的治疗 艾滋病疫苗
aH (t 1) 指（t-1）年同性感染人数
因吸毒感染的人数
nT t d r H nu 35% H pu
nT(t) 指t年吸毒感染的人数
d 指一年中用针头的次数
指呈阴性而吸毒的人数
nu
H pu 指呈阴性而吸毒的人数
r 指危险系数
呈阳性孕妇所生中感染的人数
bT (t) bR anv (t 1) rb
bT(t) 指t年所生的婴儿数
bR 指婴儿出生率
anv (t 1) 指（t-1）年感染的女性的人数
r b 出生婴儿感染率
死亡的人数 d(t)=nI(t-aD)
d(t) 指t年死亡的人数
nI(t) 指t年新感染的人数 aD 指感染到死之间的时间
10373-数学建模-艾滋病疗法的评价及疗效的预测解答概要
艾滋病疗法的评价及疗效的预测解答概要1．把所有CD4的观测值与时间重排记做),(i i x t ，把所有HIV 的观测值与时间重排记做),(i i t y ，1665,,2,1 i 。
画出散点图程序如下： clc,cleara=textread('b1_2.txt'); %该文件保留病例号23725的观测值 a2=a(:,[1,4,5]);temp=find(a2(:,2)+a2(:,3)==0); %求未测得HIV 浓度的行 a2(temp,:)=[]; %删除未测得HIV 浓度的行 ind1=[];ind1=union(ind1,a(:,1)); n1=length(ind1); ind2=[];ind2=union(ind2,a(:,2)); n2=length(ind2); cd4=[];hiv=[]; for i=1:n1temp1=find(a(:,1)==ind1(i)); cd4=[cd4;a(temp1,[2,3])]; temp2=find(a2(:,1)==ind1(i)); hiv=[hiv;a2(temp2,[2,3])]; endplot(cd4(:,1),cd4(:,2),'*') figureplot(hiv(:,1),hiv(:,2),'*') 通过散点图可以看出，虽然每个人的采样周期不一样，但基本上在0，4，8，24，40周左右进行采样。
我们可以不考虑具体的采样时间，只考虑5次采样，这5次采样时间都看作是在第0，4，8，24，40周进行。
我们建立logistic 模型，考虑到logistic 模型的增长曲线是单调的，不能在整个时间段上进行拟合，应当在每个单调区间上进行拟合。
我们利用前4次采样数据建立logistic 模型。
设)(t x 表示t 时刻CD4的浓度，对于logistic 连续模型，设微分方程为)1(bx ax dtdx-=，0)0(x x = （1）其中参数b a ,需要通过拟合得到。
数学建模竞赛-艾滋病疗法评价及疗效预测模型(一)
数学建模竞赛-艾滋病疗法评价及疗效预测模型(一)随着科学技术的不断发展，数学建模竞赛正在成为越来越广泛的研究方式。
数学建模竞赛不仅可以提高学生的科学素养和解决问题的能力，还能够推动科学技术的发展。
本文将以“数学建模竞赛-艾滋病疗法评价及疗效预测模型”为例，介绍数学建模竞赛的作用以及该竞赛的具体内容。
一、数学建模竞赛的作用数学建模竞赛可以提高学生的综合素质和科学素养，不仅能够锻炼学生的问题解决能力，还可以培养学生的团队合作精神。
通过数学建模竞赛，学生可以学习到如何应用数学知识解决实际问题，而不仅仅是为了应对考试而学习。
同时，数学建模竞赛推动着科学技术的发展。
通过竞赛，优秀的建模方法和模型可以被广泛传播，促进科学研究的进步和发展。
二、竞赛内容及要求本次数学建模竞赛的主题是“艾滋病疗法评价及疗效预测模型”。
参赛选手需要从医学、数学、生物统计学等多个方面，构建完整且有效的评估艾滋病疗法疗效的模型。
具体要求如下：1.对艾滋病的基本病理特征进行掌握。
2.通过大量的数据分析，得到艾滋病治疗过程中的关键指标和变量，并编写计算机程序。
3.建立可靠的数学模型，通过数学计算的方法，对艾滋病疗效进行评价，预测疗效。
4.结合实际的临床治疗情况，对模型进行验证、分析和优化。
5.撰写出科学规范、准确简明、结构合理的竞赛报告。
三、形成良好的竞赛习惯数学建模竞赛不只是比赛，更是一种在现实问题中结合数学、物理、计算机等多方面的综合学习、发现与解决问题的思维方式。
因此，参赛者在比赛的过程中，还要注意形成良好的竞赛习惯，既要专注于解决问题，又要保持良好的心态，为合作共赢不断努力。
四、总结数学建模竞赛，对于学生来说，是一种有益的学习方式，可以提高学生的综合素养和解决问题的能力，并为未来的科学研究和技术进步奠定基础。
此次以“艾滋病疗法评价及疗效预测模型”为主题的竞赛，不仅有助于深入了解艾滋病，还可以培养学生的计算机编程和数据分析能力，提高其科学研究的素养，促进科学技术的发展。
艾滋病数学建模
模型的建立1.建模思想建立HIV/AIDS的传播模型，利用模型对不同控制措施下的感染情况进行预测。
对AIDS建立模型应考虑一下方面因素：1)传染病的一般传播原理；2)AIDS的特殊性，例如从感染病毒到发病，其潜伏期不定，且潜伏期期间没有明显症状，一旦感染将不能治疗痊愈；3)艾滋病感染人群层次广泛，包括各个阶层，知识分子，农民，学生等，在吸毒人群，嫖客人群，暗娼人群等高危人群中流行更为广泛；4)每年新出生人口中会有艾滋病感染者；5)每年都有一般人群通过不同途径进入高危人群，成为易感人群；6)艾滋病感染者是否具有较高的道德修养，发现自己感染后能否控制自己的行为，不传染给其他人；7)感染艾滋病后，二次感染的可能性；8)国家采取一些措施，例如加大对艾滋病知识的宣传，发放避孕套等，对高危发病人群的影响。
考虑这些方面，进行条件的合理假设和参数确定。
2.假设条件1）研究高危人群，主要包括吸毒人群，嫖客人群，暗娼人群；2） 一个艾滋病病人被感染后不会被二度感染；3） 假设一个艾滋病病毒感染者具有较高的道德修养，自己感染后不会再传染他人即不考虑对周围人群的影响；4） 假设HIV 的潜伏期为8年。
3. 参数确定1) 针对艾滋病的特点，我们将人群分为三类：S ：易感者(susceptible)，即未感染HIV 病毒的健康人，但有可能被感染的人；E ：潜伏着(exposed)，已经感染HIV 病毒，但未被发现，仍处于潜伏期者；I ：患病者(infectious)，感染HIV 病毒，有明显的发病症状，到医院注册治疗者。
t 时刻以上各类人数分别用S(t)，E(t)，I(t)表示，用N(t)表示t 时刻人口总规模N(t)= S(t)+E(t)+I(t)2) p ----------------------------每年新出生人口中HIV 病毒携带者所占比例3) β---------------------------感染率，即单位时间内一个病毒携带者对易感人群的感染率 4)b ----------------------------自然出生率 5)d ----------------------------自然死亡率 6)k ----------------------------每一年进入与退出高危人群的比例之差 7)ε----------------------------处于潜伏期的病人的每年发病率 8) γ----------------------------每年因艾滋病死亡的死亡率4. 模型的建立根据艾滋病的流行规律，易感者受到感染后先变为潜伏着，潜伏者发病后变为感染者，感染者转变为移出者，不属于我们模型的考虑范围。
数学建模山大推荐国家队试卷2006艾滋病疗法的评价及疗效的预测
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘 要本文所要讨论问题的关键在于对所提供的统计数据的分类处理。
根据对CD4和HIV 在不同病重程度的人体内浓度的变化规律，使用神经网络模型中的径向基函数网络方法分别进行曲线拟合并近似预测，确定了继续治疗的效果，并应用模糊综合评价方法对不同疗法进行了近似预测。
对问题1，根据CD4细胞和HIV 病毒的浓度把病人按造病情不同分成4类。
先对病情相似的病人在不同时间段内的统计数据进行平均化处理，把处理结果看作是此类病人体内浓度变化的一般规律，然后对处理结果利用神经网络模型中的径向基函数网络方法进行曲线拟合，得出细胞和病毒浓度的近似变化规律，并做出对继续治疗效果的预测：B 类与D 类的继续治疗效果很好，推荐继续治疗；A 类较好，但应提前终止治疗；C 类较差，应提前终止治疗。
对问题2 ,为判定疗法的优劣，按疗法不同，病人共分为四类1E , 2E , 3E , 4E ，分别对应第1，2，3，4种疗法。
我们先忽略病人的初始病情的不同，由主成分分析法确定了三个影响疗法优劣的指标：CD4的产生量，CD4速度减小的程度a ，CD4浓度在人体内的稳定程度S(因为我们总希望CD4浓度在人体内越稳定越好)。
最后我们使用模糊综合评价模型，采用模糊评价的方法得到模糊评价矩阵P1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12.017.031.040.053.026.015.006.044.030.016.010.0,并根据主成分分析法和艾滋病的治疗目的确定出三个指标的权系数向量 τ =(0.5 0.4 0.1）,从而最终确定第4种方法最优，但继续治疗效果并不很好，应提前终止治疗。
对问题3，我们利用第2问已得结果，考虑到价格因素对不同收入水平的病人选择治疗方案的影响，仍然利用模糊综合方法评价模型，计算出价格的归一化向量η=（0.46，0.16, 0.23，0.15）,得到疗效和价格的模糊评价矩阵P2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15.023.016.046.0444.0271.0171.0114.0 ,进一步设出根据收入水平不同分成的四组的疗效和价格的权系数向量，得最终结果：高收入人群和中高收入人群趋于选择疗效好的治疗方法，适于选择第四种疗法；低收入人群和中低收入人群趋于选择低价位疗法，适于选择第一种疗法，但由于继续治疗效果不佳，我们建议提前终止治疗。
数学建模--艾滋病之役
艾滋病之役摘要本文研究的是艾滋病的预测和预防问题，艾滋病毒肆虐人间已达26年之久，严重威胁着人类的健康和社会的发展，因此我们研究有关艾滋病的预测和预防问题显得越来越必要。
对问题1，运用传染病基本原理，将人群分为两大类、六小类，即易感人群（正常男性、正常女性、正常婴儿）与感染人群（HIV男性感染者、HIV女性感染者、HIV婴儿感染者），同时考虑艾滋病自身特色的三种传播途径，在无任何干预下，在经典传染病模型的基础上，建立了艾滋病传染的差分模型。
然后，考虑两种基本干预（ARV与预防性疫苗的使用）对不同传播途径的阻碍，引入药物的覆盖率，作为对各自传播途径的阻碍因子，建立了干预下的差分模型。
对问题2，首先基于国内艾滋病发病的严重程度与人均GNP，确定分类的指标，将国家分为可援助与待援助两类，在相应的假设下得到各国期望而且有可能得到的用于抗击HIV/AIDS的来自国外捐赠人资助的资金水平。
然后，考虑各国可用于抗击HIV/AIDS的资金总额，包括国外援助与国内预算。
最后，对三种方案分开做了较为详细的讨论，特别是方案1、2.对方案1，按可用资金的覆盖率，作为阻碍因子，运用1中的干预模型求解；对方案2，将时间分段，在较为合理的假设下，建立疫苗的投入使用年份与额外投资的关系，得到投入使用年份，在人群的不同的接种率下，得到疫苗的阻碍因子，并在干预模型下求解；对方案3，在方案1、2的基础上，考虑资金的分配比，结合查分方程组与单目标规划，得到最佳的分配比，同时得到艾滋病感染者的变化率。
关键词：差分模型 HIV感染率目标规划一、问题重述艾滋病严重地威胁着人类的生存，已引起世界卫生组织及各国政府的高度重视。
艾滋病在世界范围内的传播越来越迅猛，严重威胁着人类的健康和社会的发展，已成为威胁人们健康的第四大杀手。
HIV/AIDS(人体免疫缺损病毒/艾滋病)的大范围流行已经进入第 25 年，由于这种疾病导致的感染人数和死亡人数一直在不断上升.尽管已经付出了巨大的努力，但是国际社会对怎样才能最有效地抗击这种流行病仍然心中无数。
全国大学生数学建模竞赛题 艾滋病疗法的评价及疗效的预测模型
艾滋病疗法的评价及疗效的预测模型摘 要本论文通过对影响艾滋病疗法的疗效的主要因素进行了综合评价,通过统计方法得到已知数据的特征变化趋势，利用灰色预测法对疗效做了分析预测,由此得出最佳治疗终止时间和最佳疗法．针对问题一，对缺省数据，采用了插值和取截断值的方法进行恢复，按时间分段后统计得出病人体内CD4和HIV 浓度的变化趋势（见文中图一、图二），并对这些数据进行分析和预测得出最佳治疗终止时间在25周左右．针对问题二，将数据按整周点作为时间点划分，根据数据的特点将CD4浓度分段，统计出按时间和CD4分段后的人数百分比（文中表1至表4），分析数据对四种疗法进行综合评价，可得结论为：疗法四为最佳。
对此最优疗法进行预测，由于有很多不确定的因素，运用灰色预测法建立GM （1，1）微分方程模型：μ=+)1()1(ax dt dx 可得CD4浓度与时间的预测关系： ae ax k x ak μμ+-=+-])1([)1()0()1(^ （k=0,1,2…n ）由于残差检验观察相对误差序列有的误差很大，修正后CD4浓度与时间的预测关系：k a eee ak e e a e a k ae ax k x -----++-=+])1()[)(1(])1([)1()0()0()1(^μσμμ由此得到停止治疗时间为第40周。
对于问题三，在考虑疗效的同时还应考虑费用问题，因此主要利用问题二得出的结论选择一个疗效比较好且费用较低的疗法，得出结论为：对于考虑经济效益的情况下最好选择疗法三。
关键词灰色预测法、最小二乘法、关联度检验、后验差检验问题重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
导致艾滋病的主要是一种叫做HIV的病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。
艾滋病疗法的评价及疗效的预测高教社杯全国大学生数学建模竞赛共15页word资料
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，它的传染能力强、致命性极高，从而对人类造成很大的威胁。
为能尽早征服艾滋病，对医疗机构所做的试验性疗法作出合理的评价和预测就十分重要。
本文针对提出的问题，分别就疗效预测和不同疗法的评价建立模型并求解。
问题1：根据问题的要求和数据特点，需要分三步建模和求解：第一步，利用聚类分析。
将问题中附件1的数据按初始检测值（包括CD4和HIV）和治疗中期疗效进行两次聚类，共分为11类。
第二步，用Lagrange插值法对每类中的数据进行扩展，形成较连续的数据列。
第三步，对形成的数据列用多项式函数拟和预测继续治疗的效果或者确定最佳治疗终止时间。
以聚类结果中第七类为例，得出结论：最佳治疗终止时间大致应为第38周。
问题2：将其求解过程分为两部分。
第一部分，不同疗法优劣的评价。
考虑方差分析对样本观测值要求较高，故此处选用非参数检验中的两种处理方法比较的Wilcoxon检验和多种处理方法比较的Kruskal-Wallis检验。
得到的结果是：在青年组和中年组中疗法4疗效显著，其次是疗法 3 。
第二部分，疗效预测。
选用青年组的数据作为主要分析对象。
对数据按疗法分为4类，再将每类中不同患者的检测数据按每个患者取最大值筛选出来。
在筛选出的数据中对时间列求均值，得到的均值即为该疗法最佳治疗终止时间。
得出结论：选取疗法四做研究对象，可得最佳治疗终止时间为20.2359周。
问题3：大体上预测方法和问题二相同，主要是在评价问题上，我们要对花费资金和疗效进行权衡，各个疗法的疗效我们用问题二中求出的秩和均值来表示，然后赋上权重，就可以得到一个指标，结果为疗法三，其在中年组中的最佳治疗终止时间约是12.37周，较原来的18.55周减少了约六周。
关键字：聚类分析 Lagrange插值 Wilcoxon检验 Kruskal-Wallis检验一．问题重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
数学建模第五讲：微分方程—传染病模型
区分病人
考虑治愈
和健康人
模型3 (SIS) 模型4 (SIR)
模型3, 4: 描述传播过程, 分析变化规律, 预报高潮时刻, 预防蔓延手段.
模型4: 数值计算与理论分析相结合.
2. 人口预测和控制
• 年龄分布对于人口预测的重要性. • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移.
人口 发展 方程
F (r,t) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N (t) ~ 人口总数 rm ( ) ~ 最高年龄 F (0, t ) 0, F ( rm , t ) N (t )
MATLAB计算作图i(t), s(t)及i(s)
1
0.8 s(t) 0.6
0.4
0.2
i(t)
0
0
10
20
30
40
50
0.4
i
相轨线i(s)
0.3
0.2
0.1
P0 s
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
i(t)从初值增长到最大; t, i0 s(t)单调减; t, s0.04
传染病模型
模型1
模型2
的解析解
i(0)
i0 ,
s(0)
s0
先做数值计算, 再在相平面上研
究解析解性质
i0 s0 1 (通常r(0) r0很小）
模型4 SIR模型的数值解
di
dt ds
dt
si i, i(0) i0 si , s (0 ) s0
设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用
需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程.
【全国大学生数学建模竞赛获奖优秀论文作品学习借鉴】艾滋病疗法的评价及疗效的预测2
学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学年级： 2 0 0 5 级姓名：程为民学号： 222005*********艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文通过对大量艾滋病患者用药情况调查数据的分析处理，建立了数据的统计分析及推断模型，对不同数据按照实际情况进行合理分类。
根据建立的模型比较艾滋病各种不同疗法的优劣，并通过多项式拟合的方法做出药物治疗的拟合曲线以预测其治疗的最佳终止时间以及疗效。
最后综合病人自身经济条件，利用图像选择出一种疗效佳、成本又低的疗法，实际可行性很高！接着还对模型的稳定性、误差作了深入的分析，评价，并且做出细致的灵敏度分析，还有对模型优缺点的分析讨论也十分客观、实际，据此做出的改进使模型的预测、评价结果更准确，更科学！本文还适当利用图形进行比较，增强问题分析解说的力度和真实准确性！关键词多项式拟合统计分析分类处理一问题的提出当前人类社会最严重的瘟疫之一（艾滋病）。
全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（英文简称HIV）引起的。
破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
如何有效防治及治疗艾滋病已经成为社会关注的焦点。
首先让我们了解一下治疗机理：人类免疫系统的CD4细胞担任着“门卫”的工作。
在抵御HIV的入侵中有重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，CD4数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS 发作。
因此艾滋病的治疗方向：是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。
人类很需要寻找一个疗效佳、成本低的AIDS疗法。
在寻找疗法的过程中，我们需要根据收集到的数据统计分析来预测继续治疗的效果及确定最佳治疗终止时间。
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2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B题我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：200620110912所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：艾滋病疗效数学模型与分析摘要本文就艾滋病疗效的问题做了深入的研究，由于数据量庞大，我们首先对数据进行筛选，排除那些部分信息量过少或偏离总体规律的数据，并对剩余数据逐个曲线拟合，然后通过对拟合后每个个体数据的散点分布趋势，找出图中密集点分布的大致范围，在此范围内求取平均值的方法，以此来确定普遍规律中方程的未知数，利用这种将大量的个体数据归纳为一个总体规律的方法来建立数学模型并求解。
在第一题中,由于HIV与CD4高度相关,因此我们通过研究CD4的变化率与HIV的变化率的关系，由于两者成反比关系，于是我们将CD4的变化率与HIV的变化率的关系模型假定为 ，整理得到： EMBED Equation.3 ；我们对个体数据进行了逐个曲线拟合，并将各个拟合后方程的系数看作坐标轴中的点(k1，k2）画出散点图，根据这些点在图中的疏密性确定(k1，k2）的大致范围,并利用平均值的方法求出（ EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ），再根据短时间内HIV与CD4的变化规律，即“当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作”列出两者间的关系方程 EMBED Equation.3 ,消去方程EMBED Equation.3 中EMBED Equation.3 HIV，得到EMBED Equation.3 间的线性关系： EMBED Equation.3 ；通过斜率判断出药物对艾滋病的疗效是显著的。
在第一题中,由于HIV与CD4高度相关,因此我们通过研究CD4的变化率与HIV的变化率的关系，由于两者成反比关系，于是我们将CD4的变化率与HIV的变化率的关系模型假定为 EMBED Equation.3，整理得到：EMBED Equation.3 ；我们对个体数据进行了逐个曲线拟合，并将各个拟合后方程的系数看作坐标轴中的点(k1，k2）画出散点图，根据这些点在图中的疏密性确定(k1，k2）的大致范围,并利用平均值的方法求出（ EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ），再根据短时间内HIV与CD4的变化规律，即“当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作”列出两者间的关系方程 EMBED Equation.3 ,消去方程 EMBED Equation.3 中 EMBED Equation.3 HIV，得到 EMBED Equation.3 间的线性关系： EMBED Equation.3 ；通过斜率判断出药物对艾滋病的疗效是显著的。
在第一题中,由于HIV与CD4高度相关,因此我们通过研究CD4的变化率与HIV的变化率的关系，由于两者成反比关系，于是我们将CD4的变化率与HIV的变化率的关系模型假定为 EMBED Equation.3，整理得到： EMBED Equation.3 ；我们对个体数据进行了逐个曲线拟合，并将各个拟合后方程的系数看作坐标轴中的点(k1，k2）画出散点图，根据这些点在图中的疏密性确定(k1，k2）的大致范围,并利用平均值的方法求出（ EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ），再根据短时间内HIV与CD4的变化规律，即“当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作”列出两者间的关系方程 EMBED Equation.3 ,消去方程EMBED Equation.3 中EMBED Equation.3 HIV，得到EMBED Equation.3 间的线性关系： EMBED Equation.3 ；通过斜率判断出药物对艾滋病的疗效是显著的。
第二题的模型中，首先通过对人年龄的仔细分类，由于在大于50岁或小于30岁的年龄人群中，药物对他们的疗效并不显著，因此我们在这里重点讨论年龄在30至50岁之间的人群，从而将年龄对于疗效的影响减地至最小。
然后将此年龄段间的数据进行筛选，排除那些部分信息量过少或偏离总体规律的数据，并对剩余数据逐个进行多项式CD4= EMBED Equation.3 的曲线拟合，计算出各个数据的a,b,c,d的值，并对各个CD4= EMBED Equation.3 方程对t求导并利用类似于第一题的方法求出其方程 EMBEDEquation.3 的系数2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B题我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：200620110912所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：艾滋病疗效数学模型与分析摘要本文就艾滋病疗效的问题做了深入的研究，由于数据量庞大，我们首先对数据进行筛选，排除那些部分信息量过少或偏离总体规律的数据，并对剩余数据逐个曲线拟合，然后通过对拟合后每个个体数据的散点分布趋势，找出图中密集点分布的大致范围，在此范围内求取平均值的方法，以此来确定普遍规律中方程的未知数，利用这种将大量的个体数据归纳为一个总体规律的方法来建立数学模型并求解。
在第一题中,由于HIV与CD4高度相关,因此我们通过研究CD4的变化率与HIV的变化率的关系，由于两者成反比关系，于是我们将CD4的变化率与HIV的变化率的关系模型假定为 EMBED Equation.3，整理得到： EMBED Equation.3 ；我们对个体数据进行了逐个曲线拟合，并将各个拟合后方程的系数看作坐标轴中的点(k1，k2）画出散点图，根据这些点在图中的疏密性确定(k1，k2）的大致范围,并利用平均值的方法求出（ EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ），再根据短时间内HIV与CD4的变化规律，即“当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作”列出两者间的关系方程 EMBED Equation.3 ,消去方程EMBED Equation.3 中EMBED Equation.3 HIV，得到EMBED Equation.3 间的线性关系： EMBED Equation.3 ；通过斜率判断出药物对艾滋病的疗效是显著的。
第二题的模型中，首先通过对人年龄的仔细分类，由于在大于50岁或小于30岁的年龄人群中，药物对他们的疗效并不显著，因此我们在这里重点讨论年龄在30至50岁之间的人群，从而将年龄对于疗效的影响减地至最小。
然后将此年龄段间的数据进行筛选，排除那些部分信息量过少或偏离总体规律的数据，并对剩余数据逐个进行多项式CD4= EMBED Equation.3 的曲线拟合，计算出各个数据的a,b,c,d的值，并对各个CD4=EMBED Equation.3 方程对t求导并利用类似于第一题的方法求出其方程 EMBED Equation.3 的系数，从而得出疗效变化率方程。
最后对疗效变化率方程利用Mathematica进行画图，从而分析出四种疗效的变化规律，即第一和三种疗法没有持续疗效，而最佳疗效分别在第5.815周和第18.712周，第二种没有疗效，而第四种疗法从20.5周后有明显疗效。
第三题中，运用运筹学中的线性规划的方法，将每一个疗法的费用作为方程的系数，把到达最佳疗效的周期作为未知数，建立每一种疗法的费用与其到达疗效周期的线性关系式：Y=kX。
通过上(2)已求得的最佳疗效周期数据，进行逐个代入求有效治疗的费用。
再通过坐标图型作出每一种疗法的所对应的函数图形，由不同的斜率来，来判断到达最佳周期时的费用，得出第四种疗法最好的结果。
关键词：数据优化曲线拟合线性规划MathematicaEMBED Equation.3问题重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。
这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
艾滋病究竟是什么？即获得性免疫缺陷综合症（acquired immunodeficiency syndrome,AIDS）,是一种由人免疫缺陷病毒引起的，以全身免疫系统严重损害为牲的传染性疾病。
感染者终生携带病毒，且缺乏治愈该病的有效方法。
导致这场悲剧的恶魔便是人免疫缺陷病毒（human immunodeficiency virus,HIV），或称为艾滋病毒，在分类学上属扫转录病毒科慢性病毒属长类慢病毒群（Murphy,1996）。