数学本质概念——角

数学本质概念

－角－

纯数四

陈映妤

一、分年细目中的「角」

二、「角」的概念

数学上的角概念和日常生活中所谈到的角，所表示的意义有时是不太一样的。儿童角概念的认知，有其发展的顺序性，先由具体的经验、察觉，渐进发展至抽象概念的理解。以下先就角概念加以阐释，再说明儿童的学习发展特征及指导原则。

1、一般生活中所说的角概念

一般人对角的认识，常是真正角概念的局部：一个角有个线段当作边，两边中夹着一块区域，产生一个尖尖的顶点。此外，常以角的顶点或顶点的邻近区域来描述角，如桌角，墙角，三角形上的角，四边形上的角，.....，等，由于角的形象大都以有限度的对象呈现，因此，角的边也常以线段表示。

2、理想的角概念

从实际经验及数学上的定义，角的意义可分成以下三方面来说明(Michael C.1989)：

(1)角是一双定出两个方向间的差量之射线。

(2)角是自同一端点射出的两射线围出的一个平面区域。

(3)角是一射线绕其端点旋转一个程度的量。

因此，理想化的角概念，可简单说成是自一点朝两个不同的方向延伸出两条射线的结构，角的边是射线而不是线段(在旋转产生角的情况下，虽然旋转是一种动作，动作停止，其现象即消失，但它有一个起始方向和终止方

向，此二方向可用两条射线来表示)，此两射线是制程角的张开活动的限制边界。不论代表此射线的线段长短(此时的长短，只是线段的另一端点的不同而已)如何，均可完成同样的限制活动。

事实上，平面上的有限图形(如多边形)中，并不包含任何角，而只包含了角顶点的邻近区域。构成角顶点的邻近区域线段长度的不同，会使角顶点的邻近区域有所不同。同时，角与角的内部是共生的(二者同时出现)，角的两边之张开程度大小，不因为边长的差异而有所不同。

三、专家学者怎么看待「角度」单元内容

（一）心理学家谈儿童「角」的认知概念

1、Piaget的角概念发展阶段论

Piaget和Inhelder（1971）以三个有关角的测量设计来分析儿童角的概念，结果将儿童角的概念发展依年龄分成四个阶段，分别是阶段I（4-5岁）阶段IIA（6岁）此两阶段仅能藉由视觉估测来画图形，无法运用工具测量；阶段IIB（6-7岁）能做长度测量，但不会做角度测量；阶段IIIA（7-9岁），在复制角时，能以直尺维持线段的斜度，但无法觉察角的存在；阶段IIIB（9岁-9岁6个月）利用直角当作参考角，以直线测量的方式，找出斜度和垂直底边的高；阶段IV（大于9岁6个月）能摆脱图形本身的影响，画出补助线和高，能将角的概念普遍化。

2、Vygotsky社会文化互动论

Vygotsky并未真正对儿童角概念进行什么研究，但他提出二个很重要的名词，是在教角概念时必须要思考的问题，一个是自发性的概念（spontaneous concepts），这是一种由下而上，透过具体，每天的生活经验所获得的知识，像「桌角尖尖的，要小心」，便是对角概念所产生的自发性概念；另一个是科学性的概念（scientific concepts），指的是一种抽象，系统化的知识，这种知识，往往经由正式的学校教育来习得，它是一种由上而下的学习，必须藉由文字当中介，例如数学中，角的构成要素是始边、终边、支点和旋转的区域，这种科学性的概念，儿童无法直接看到，必须藉由文字或语言来学习，所以教师教学时，要能从儿童自发性概念，引导到科学性的概念，才能协助儿童对科学概念学习，发展出较高的知觉、抽象和控制的思考能力。

（二）数学家谈「角」的数学内涵

1、Van Hiele的几何思考阶段论

Van Hiele夫妇提出儿童对于几何学习是具有五个不同的思考发展阶段，每个阶段有其不同的特征，若经由适当的教学，学生的经验可从较低阶段的几何思考，到较高阶段的严密性思考，各发展阶段特征如下（朱建正，2002a；

Clements & Battista,1992）：

（1）阶段零: 视觉期（visualization）

即依图形的外在特征来判别，其所关注的要素是外形轮廓。

（2）阶段一：分析期（analysis）

能从图形的特质与特质间的关系来分析图形，也可以从图形的部份或整体来分析图形的构成要素。

（3）阶段二：关系期（relation）或非形式演绎期（informal deduction）

此期儿童可以透过非正式的论证，把先前发现的性质做逻辑地联结，能进一步探索图形内在特质关系，及各图形间的包含关系，

（4）阶段三：正式演绎期（formal deduction）

此阶段儿童能以演绎逻辑技巧为思考，分析与证明一些公设系统。（5）阶段四：精确期（rigor）或公理性（axiomatic）

可以在不同的公设系统中建立定理，并分析和比较这些系统的特性。

2、Close的两种角定义

Close（1982）将角分为二个范畴，一是静态角（static angle），将角视为一固定的维度，所以具有方向性，而另一个是动态角（dynamic

angle），是一直线绕一端点旋转的量，所以角是包含于平面上一边旋转到另一边的量。

3.朱建正对角的定义

朱建正（2002b）分析国小数学课程中有关角的概念，区分为图形角、张开角和旋转角。所谓「图形角」是由相交且止于一边的二线段所构成，此夹角大于0，小于180度，此二线段称为角的边，交点称为顶点，图形角变大变小的机制不明，所以儿童不易觉察角的存在。「张开角」是透过折扇的方式，可透过展开大小来表征张开角的大小，透过将张开程度的纪录和图形角比较，来表征角的大小与比较。「旋转角」是固定一点，像秒针移动的方式叫旋转，旋转的中心点叫支点，旋转具有方向性和大小，因此可做角的合成、分解和度量单位的命名。

4. 理想的角度课程设计

刘好（1997, 1999）认为理想的「角」课程设计理念应分成三阶段来完成：

(1) 从图形角、张开角到旋转角来建立各种角概念

(2) 由角的大小比较、合成、度量单位引出画特定角