高三数学辅助角公式在高考三角题中的应用专题辅导
辅助角公式在三角函数问题中的应用讨论
辅助角公式在三角函数问题中的应用讨论摘要：三角函数是高中数学中的重要知识点，也是学生在今后学习非线性函数的基础，通过三角函数能够让学生对几何知识了解更加透彻。
但是在学习三角函数的过程中，学生往往会遇到诸多问题，这些问题让学生在遇到一些题目时无从下手。
如果是在高考过程中，学生被三角函数题型卡住，那么将会严重影响他们接下来做题的心情。
所以通过更好的教学方法让学生能够在解决三角函数题型时游刃有余就显得尤为重要。
我们都知道三角函数问题中公式是非常多的，并且正弦、余弦、正切之间公式变换容易记混，最终导致整体的解题思路出现严重的问题。
针对考题中辅助角公式出现频率高、记忆难度大的问题，本文分析了学生出现这些问题的原因，同时针对这些问题给出了相应的教学建议，希望对学生的学习和能力的提升有所帮助。
关键词：三角函数，辅助角公式，问题及建议引言：高中学习过程中函数是一门非常重要的学科，而三角函数问题则是几何与函数相结合的典型代表。
学生在高一阶段就会接触到三角函数的知识，在一开始阶段，往往只是较为简单三角函数公式，学生在学习的过程中也没有太多的疑问。
但是随着学习的不断深入，出现了越来越多的辅助角公式，如何将这些公式熟练的运用到解题过程中，就是学生们头疼的问题。
辅助角公式能够实现三角函数之间的转换，但是这种转换过程较为复杂，如果对其记忆不够准确或者运用不够熟练，那么将拖慢解题的速度，影响学生做题的信心。
为了能够帮助学生熟练运用辅助角公式，老师通常会用大量的题目训练学生的记忆能力，达到熟能生巧的目的。
但是这种方式虽然能够帮助学生进行公式的记忆，但是一旦遇到技巧性较强的题目学生仍然无所适从。
所以需要通过更加合理的教学方法真正提升学生的核心素养，确保学生顺利解题。
一、辅助角公式在三角函数学习中的重要意义辅助角公式时李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，其基本公式形式为：该公式的提出解决了三角函数之间转换的难点，在同时存在正弦、余弦或者正切函数的题目中，大多数情况之下三种函数之间无法进行直接转换，但是通过该辅助公式能够帮助我们实现公式的简化，最终获得较为统一的形式。
辅助角公式是什么要注意哪些地方
辅助角公式是什么要注意哪些地方
辅助角公式属于高等三角函数公式中的一个，在考试中使用的频率也是很高。
下面是由编辑为大家整理的“辅助角公式是什么要注意哪些地方”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
辅助角公式是什么
辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。
辅助角公式的具体内容
该公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。
拓展阅读：辅助角公式的记忆方法
很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a(即正弦的系数a在分母)。
如果用余弦来表示，那反正切就要变成a/b(余弦的系数b在分母)。
【高中数学高质量资料】妙用辅助角公式巧解一类三角函数题
二 &运用公式时注意的问题
在运用公式时! 因为常常只记住 " 的取值由
23&"1 # 确定 ! 所以当 23&" 为正时 " 就 可 能 出 现 在 !
一 &三 象 限 !而 为 负 时 可 能 出 现 在 第 二 &四 象 限 !这 给求解某闭区间上的取值范围 & 取最 值 时 % 的 集 合 等 问 题 时 造 成 了 困 惑!要 解 决 此 类 困 惑 还 是 得 从 推
$
5
在解三角题时 ! 把三角式化 为 一 种 角 的
点评
通 过 本 题 ! 我 们 结 合 !!0#! "#+,!! %
一次式形式 ! 可使三角式明晰规范 ! 便于解题 ! 所 以 合 理 的 转 化 在 解 题 中 很 重 要 !次 数 的 变 化 $角 的 大 小 $ 倍数关系往往在这里充当指向标的作用 !如此题 中有二次项 ! 则首先考虑降次 ! 降次后发现有角度相 同 的 正 弦 $ 余 弦 值 ! 则 考 虑 使 用 !!0#! "#+,!" %
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进而讨论一般形式 ! 通过上题的讨论发现 ! 如 果 能 确 定 % 与 " ! 使 ! $%*%!" ! # $%!"&" ! 则 原 式 $ $ !"&!*%!" 4*%!!!"&"% ! 就 能 将 原 式 转 化 为 %!"& $ !& % "% ! 要 满 足 上 述 条 件 需 确 定 % 与 "! 由 于 !"&5" ( ! 5 # 5 $%!5" 16 ! 可 得 & 16 ! 所 以 %5 1!5 ! 因 此 % %
辅助角公式是什么要注意哪些地方
辅助角公式是什么要注意哪些地方
辅助角公式属于高等三角函数公式中的一个，在考试中使用的频率也是很高。
下面是由编辑为大家整理的“辅助角公式是什么要注意哪些地方”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
辅助角公式是什么
辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。
辅助角公式的具体内容
该公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。
拓展阅读：辅助角公式的记忆方法
很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a(即正弦的系数a在分母)。
如果用余弦来表示，那反正切就要变成a/b(余弦的系数b在分母)。
专题03 辅助角公式 高考数学多题一解篇(文理通用)(解析版)
高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之辅助角公式篇【知识储备】新课标人教A 版必修四第三章习题3.2 B 组 第6题： （1）求函数3sin 4cos y x x =+的最大值与最小值；（2）你能用a,b 表示函数sin cos y a x b x =+的最大值和最小值吗？ 解析：（2）a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2（a a 2＋b 2sin α＋ba 2＋b 2cos α)， 因为22=1+，故令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2 则a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2（sin x cos φ＋cos x sin φ)= a 2＋b 2（sin （α+φ)，（或令sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝ba 2＋b2，则a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－θ)。
温馨提示：1、a sin α＋b cos α中的αϕ角所在的象限由a,b 的符号确定，ϕ的值由tan baϕ=确定，特别是当=1，3b a ±±±ϕ特殊角，此时取，，436πππ±±±。
2、对于形如()sin cos f x a x b x =+的函数，在研究其最值、周期、单调、对称等性质时，都需要化为一个角的三角函数，转化的手段是利用三角函数的和、差、倍角、半角公式结合辅助角公式，然后再利用三角函数的图象及性质去研究()f x 的性质。
【走进高考】1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x ++=；（2．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+， 所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x +=． （2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题． 2、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎝⎭π1223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力. 3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin C =【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=，1sin 2sin 2C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-． 由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.4．(2018全国卷Ⅱ)若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A【解析】解法一()cos sin )4=-=+πf x x x x ，且函数cos =y x 在区间[0,]π上单调递减，则由04ππ+≤≤x ，得344ππ-≤≤x ．因为()f x 在[,]-a a 上是减函数，所以434ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ，解法二 因为()cos sin =-f x x x ，所以()sin cos '=--f x x x ，则由题意知()sin cos 0'=--≤f x x x 在[,]-a a 上恒成立，即sin cos 0+≥x x ，)04π+≥x ，在[,]-a a 上恒成立，结合函数)4π=+y x 的图象可知有044πππ⎧-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ，所以04π<≤a ， 所以a 的最大值是4π，故选A ． 5、（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l，求a ．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=．当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=． 由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =．当4≥-a 时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-． 综上，8a =或16a =-．【典例分析】 基本题型：【例】当时,函数取得最大值,则 ．【答案】 【解析】Ⅰ=，令=，，x θ=()sin2cos f x x x =-cos θ=5-()f x sin 2cos xx -)x x cos ϕ5sin 5ϕ=-则，当=，即=时，取最大值，此时=，∴===. 【例】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位 【答案】A【解析】因为sin 3cos3))412y x x x x ππ=+=-=-，所以将函数3y x =的图象向右平移12π个单位后，可得到)4y x π=-的图象，故选A ． 【例】若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 A ．8π B ．4π C ．83π D ．43π 【答案】C 【解析】())4f x x π=+，将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得()2)4f x x πϕ=+-，由该函数为偶函数可知2,42k k Z ππϕπ-=+∈，即328k ππϕ=+，所以ϕ的最小正值是为38π． 以极坐标为平台考查辅助角公式：【例】（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+x ϕ+2,2k k z ππ+∈x 2,2k k z ππϕ+-∈()f x θ2,2k k z ππϕ+-∈cos θcos(2)2k ππϕ+-sin ϕ5-(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>．由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==．由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>． 因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．（2）设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-2|sin(2)|3πα=-2≤+当12πα=-时，S 取得最大值2．所以OAB ∆面积的最大值为2．以参数方程为平台考查辅助角公式：【例】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． (Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅰ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．【解析】2cos .().3sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩（I ）曲线C 的参数方程为为参数60.l x y +-=直线的普通方程为2（Ⅰ）cos sin l θθ曲线C 上任意一点P(2.3)到的距离为3sin 6.d θθ=+-4)6,tan .sin 303d PA θααα==+-=︒则其中为锐角，且sin PA θα当(+)=-1时，sin()15PA θα+=当时，取得最小值，最小值为以解三角形为平台考查辅助角公式：【例】设ⅠABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C －12c ＝b .(1)求角A 的大小； (2)若a ＝1，求ⅠABC 周长的取值范围． 【解析】(1)由a cos C －12c ＝b 得sin A cos C －12sin C ＝sinB.又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以12sin C ＝－cos A sin C .因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12. 又因为0<A <π，所以A ＝2π3.(2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C .l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )]＝1＋23⎝⎛⎭⎫12sin B ＋32cos B＝1＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. 因为A ＝2π3，所以B Ⅰ⎝⎛⎭⎫0，π3， 所以B ＋π3Ⅰ⎝⎛⎭⎫π3，2π3. 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3Ⅰ⎝⎛⎦⎤32，1. 所以ⅠABC 的周长的取值范围为⎝⎛⎦⎤2，233＋1. 以平面向量为平台考查辅助角公式：【例】已知向量()(),cos2,sin 2,m x x n ==a b ，函数()f x =⋅a b ，且()y f x = 的图像过点12π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫-⎪⎝⎭． （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅰ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．【解析】（Ⅰ）已知()sin 2cos 2=⋅=+r r f x a b m x n x ，)(x f Θ过点)2,32(),3,12(-ππ，Ⅰ()sincos1266f m n πππ=+=234cos 34sin )32(-=+=πππn m f ，Ⅰ12122m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅰ）由（Ⅰ）知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++，设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x由题意知2011x +=．所以00x =，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入()y g x =得sin 216πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又Ⅰ0ϕπ<<，所以6πϕ=， 因此()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由222,k x k k Z πππ-+≤≤∈， 得z k k x k ∈≤≤+-,2πππ，Ⅰ()f x 的单调增区间为[,],2k k k πππ-+∈Z ．【例】已知向量(cos ,sin )x x =a，(3,=b ，[0,]x π∈．（1）若∥a b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a，(3,=b ，∥a b，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x =[0,]x π∈，所以56x π=．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b .因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值- 以三角变换为平台考查辅助角公式：【例】已知函数()4tan cos cos()3f x x x x π=-(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期；（Ⅰ）讨论()f x 在区间[,44ππ-]上的单调性．【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．()4tan cos cos()3f x x x x π=-4sin cos()3x x π=-14sin (cos )22x x x =+22sin cos x x x =+-sin 2cos2)x x =+--sin 2x x =-2sin(2)3x π=-所以()f x 的最小正周期22T ππ==． ()II 令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦I ．所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减． 以点线距离为平台考查辅助角公式：【例】记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，Ⅰ1sin()1θϕ--≤≤,d1=Ⅰ当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．【例】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅰ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（Ⅰ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线， 所以||PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-．当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22．【跟踪练习】1、函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是A ．2πB ．πC ．32πD ．2π【答案】B【解析】由题意得()2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x πππ=+⨯+=+，故该函数的最小正周期22T ππ==．故选B ． 2、设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】Ⅰ()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++)22x x π+=，所以2y x =在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即()2k x k Z π=∈．3、函数22cos y x x =+的最小正周期为 . 【答案】π【解析】22cos y x x =+=1112cos 2sin(2)2262y x x x π=++=++，所以其最小正周期22ππ=． 4、ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为____．【答案】【解析】根据sin sin sin AB AC BCC B A ==，得sin sin 2sin sin 2AC AB C C C B=⋅==，同理2sin BC A =，因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+．5、函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是________，单调递减区间是_______．【答案】π、 () 【解析】，故最小正周期为，单调递减区间为 ()． 6、设()cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有()f x a ≤，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】【解析】得故．7、设()f x =sin 2cos2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则]87,83[ππππk k ++Z k ∈23)42sin(22)(+-=πx x f π]87,83[ππππk k ++Z k ∈2a≥()3cos32sin(3)f x x x x φ=+=+|()|2f x ≤2a ≥Ⅰ11()012f π=；Ⅰ7()10f π＜()5f π；Ⅰ()f x 既不是奇函数也不是偶函数Ⅰ()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；Ⅰ存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)． 【答案】ⅠⅠ【解析】()sin 2cos2)f x a x b x x ϕ=+=+（其中tan baϕ=），因此对一切x R ∈，()|()|6f x f π≤恒成立，所以sin()13πϕ+=±，可得()6k k Z πϕπ=+∈，故())6f x x π=+．而1111())012126f πππ=⨯+=，所以Ⅰ正确；74717|()||||123030f πππ==，17|()||530f ππ=，所以7|()||()|105f f ππ=，故Ⅰ错；Ⅰ明显正确；Ⅰ错误：由函数())6f x x π=+和())6f x x π=+的图象（图略）可知，不存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，故Ⅰ错误．8、设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若()14f π=，求方程()1f x =-ππ-［，］上的解． 【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；即22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ，化简得sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；(2)2()sin(2)2cos ()11444πππ=⨯+=+=f a a ，所以=a故2()22cos =+f x x x ．则方程()1=-f x 222cos 1+=-x x222cos 1+-=x x ，化简即为2sin(2)6π+=x即sin(2)62π+=-x ，解得1124ππ=-+x k 或524ππ'=-+x k ，,'∈Z k k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,]2424∈-k ，1929[,]2424'∈-k ， 即0=k 或1；0'=k 或1，对应的x 的值分别为：1124π-、1324π、524π-、1924π． 9、设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<．已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅰ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值．【解析】（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin )2x x ωω=)3x πω=-因为()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈，故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=．（Ⅰ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-，所以()))4312g x x x πππ=+-=-． 因为3[,]44x ππ∈-，所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-．10、已知函数2()cos 222x x xf x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期； (Ⅰ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．【解析】（Ⅰ）因为()cos )f x x x =-sin()4x π=+，所以()f x 的最小正周期为2π． （Ⅰ）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤．当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值．所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为3()14f π-=-．11、设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2x x x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若||||=a b ，求x 的值；（II ）设函数()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值．【解析】（I ）由2222)(sin )4sin ax x x =+=，222(cos )(sin )1b x x =+=，及2,4sin 1a b x ==得，又1[0,],sin 22x x π∈=从而，所以6x π=.（II ）2()cos sin f x a b x x x =⋅=⋅+1112cos 2sin(2)2262x x x π-+=-+. 当[0.]sin 2- 1.326x x πππ=∈时，（）取最大值所以3().2f x 的最大值为 12、在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0）其中0απ<≤，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：ρθ=． （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅰ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． （Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4． 13、某实验室一天的温度（单位：Ⅰ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？【解析】（Ⅰ）因为1()=102(cos sin )=102sin()212212123ππππ-+-+f t t t t ， 又240<≤t ，所以373123ππππ<+≤t ，1)312sin(1≤+≤-ππt ， 当2=t 时，1)312sin(=+ππt ；当14=t 时，1)312sin(-=+ππt ；于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒ （Ⅰ）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温.由（Ⅰ）得)312sin(210)(ππ+-=t t f ，所以11)312sin(210>+-ππt ，即1sin()1232t ππ+<-，又240<≤t ，因此61131267ππππ<+<t ，即1810<<t ，故在10时至18时实验室需要降温.。
人教版高中数学-例说辅助公式的应用.
例说辅助公式的应用在三角函数中，辅助公式asin θ+bcos θ=22b a +sin （θ+ϕ），其中ϕ角所在象限由a ，b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定，它在三角函数中应用比较广泛，下面举例说明，以供参考.一、求最值例1 求函数y=2sinx （sinx+cosx ）的最大值. 解：y=2sinx （sinx+cosx ） =2sin 2x+2sinxcosx =1－cos2x+sin2x =1+2（sin2x ·21－cosx ·21）=1+2（sin2x ·cos 4π－cosx ·sin 4π）=1+2（sin2x －4π）∴ 函数y 的最大值为1+2. 二、求单调区间 例2 求函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1的单调区间.解：y=21cos 2x+23sinxcosx+1=41（1+cos2x ）+43sin2x=43sin2x+41cos2x+45=21（sin2x ·23+ cos2x ·21）+45=21（sin2x+6π）+45由2k π－2π≤2x+6π≤2k π+2π(k ∈Z) 得 k π－3π≤x ≤k π+6π(k ∈Z)由2k π+2π≤2x+6π≤2k π+23π (k ∈Z) 得 k π+6π≤x ≤k π+32π(k ∈Z)∴函数y 的单调递增区间是[k π－3π，k π+6π] (k ∈Z)函数y 的单调递减区间是[k π+6π，k π+32π] (k ∈Z)三、求周期例3 求函数y=cos 22x+4cos2x ·sin2x 的最小正周期是（ ） A 、2π B 、π C 、2π D 、4π解：y=cos 22x+4cos2x ·sin2x =21 cos4x+2 sin4x+21=217sin （4x+ϕ） （其中sin ϕ=1717，cos ϕ=17174）∴函数y 的最小正周期T=42π=2π. 故选C. 四、求字母的值例4 如果函数y=sin2x +a ·cos2x 的图象关于直线x=－8π对称，则a 等于（ ）A 、2B 、－2C 、1D 、－1 解：y=21a +·sin （2x+ϕ） （其中tan ϕ= a ）因为x=－8π是对称轴，所以直线x=－8π过函数图象的最高点或最低点.即x=－8π时，y=21a +或y=－21a +.∴ sin （－4π）+a cos （－4π）=±21a +.即22（a －1）=±21a +. ∴a=－1.故选D.。
高三第一轮复习辅助角公式
asin α+bcos α的辅助角公式及应用【提纲挈领】 主干知识归纳 辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+，其中cos ϕ=、sin ϕ=.方法规律总结 1.推导公式()sin cos a b αααϕ+=+时，逆用和差角的正弦公式.公式是“死”的，推导方法是“活”的，逆用和差角的余弦公式也行.通常把这种变形叫做“化一”，即化为“一角一函数”.为解决三角函数的周期性、单调性、最值性、奇偶性等问题，常需对三角函数式进行“化一”，体现了转化与化归的思想方法和策略. 2.运用辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+解题，本质上是利用函数sin y x =的图象与性质.因此，还需要重视数形结合思想的运用，熟练掌握函数sin y x =的图象与性质、优先选择将sin cos a b αα+()αϕ+ 的形式；还需要重视特殊与一般思想的运用，先考察一个周期内的情形，再按周期推广.【指点迷津】【类型一】直接“化一”【例1】：s i n15c o s 15+=（）.AB【解析】：原式)⎫⎪⎭o o o o o o sin15cos45+cos15sin4522()o o o15+45=2．答案：B 【例2】：化简：3cos 2x x =( )．A3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C．6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D．3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】：原式＝⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎭1πsinx -x -223. 答案：D 【例3】：化简：cos 4444x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．【解析】：原式＝⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1ππππsin -x cos -x =-x+22424243⎛⎫⎪⎝⎭7π=-x 212.答案：⎛⎫⎪⎝⎭7π-x 212 【类型二】整理后“化一”【例1】：函数()cos sin f x x x =的单调递增区间为( )A ．(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．()2,244k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．(),22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】：因为()1f x =sin2x 2，由ππ-≤2x ≤22，得ππ-≤x ≤44.所以函数()f x 的单调递增区间为()⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-+k π,+k πk ∈Z 44.答案：A【例2】：函数()cos 4cos 436f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【解析】：因为()⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππππf x =cos +4x -+cos 4x -=-sin 4x -+cos 4x -26666-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ5π=4x -=4x -6412，所以函数()f x 的最小正周期为π2. 答案：C 【例3】：已知()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，则实数a 的值为________．【解析】：因为()ππππf x =sincosx +cos sinx +sinxcos -cosxsin +cosx +a 6666⎛⎫⎪⎝⎭π2sin x++a 6，所以2+a =1a =-1,. 答案：-1【类型三】降次后“化一” 【例1】：函数()44sin cos f x x x =- 的一条对称轴为( ) A ．4x π=- B ．4x π= C ．8x π=- D ．2x π=【解析】：因为()()()2222f x =sin x+cos xsin x -cos x =-cos2x，由()2x =k πk ∈Z ，得()k π2x =k ∈Z ，所以函数()f x 的对称轴方程为()k π2x =k ∈Z . 答案：D【例2】：函数()222cos f x x x =+取最大值时，x 的取值集合为()．A ．|,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ C ．|,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ D ．|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】：因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x =2sin 2x++16，由=ππ2x +62，得=πx 6，所以x 的取值集合为{}πx |x =+k π,k ∈Z6.答案：A【例3】：已知()()2sin sin cos f x x x x m =++的最小值为m 的值为________.【解析】：因为()2f x =2sinxcosx +2sin x +m =sin2x -cos2x +1+m⎛⎫⎪⎝⎭π2x -+1+m 4，所以m=-1.答案：-1【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题 1．计算cos 48cos18sin 48sin18+的结果是 ( )．A.1B.12C ．2D.2【解析】：()oo ooo o ocos48cos18+sin48sin18=cos 48-18=cos30=2．答案：D .2．计算sin164sin 224sin 254sin314+的结果是 ( ) ．A ．12-BC ．12D ．-【解析】：原式＝()1ooooo o o -sin16cos46+cos16sin46=sin 46-16=sin30=2.答案：C 3．化简：()()()()sinsin cos cos αββγαβγβ-----=( )．A ．()cosαγ- B. ()cos αγ-- C. ()cos αβ- D ．()cos αβ--【解析】：原式＝()()()()sin α-βsin β-γ-cos α-βcos β-γ()()()⎡⎤⎣⎦=-cos α-β+β-γ=-cos α-γ.答案：B 4．sin153cos15-=( )12C．2-D. 【解析】：()o oo o osin15=2sin 15-60=-2sin45=答案：D 5．若()sin cos αααβ-=-，则锐角β的值为 ( )．A ．6π B.4π C ．3π D ．12π【解析】：因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πsin α-cos αα-α-β4，所以锐角β的值为π4.答案：B 二、填空题 6．函数()cos f x x x =-的零点为________．【解析】：因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x -cosx =2sin x -6，由()πx -=k πk ∈Z 6，得()πx =+k πk ∈Z 6，所以函数()f x 的零点为()π+k πk ∈Z 6.答案：()π+k πk ∈Z 67．化简：1sin10-=________．【解析】：原式＝⎛⎫ ⎪⎝⎭1o o 4cos10-o o o 22cos104sin20===4o o o o o sin10cos102sin10cos10sin20.答案：4 8．函数()2cos cos f x x x x =-的对称中心为________.【解析】：因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭π1+cos2x 1f x =-=sin 2x --2226，由()π2x -=k πk ∈Z 6，得()k π2πx =+k ∈Z 12，所以函数()f x 的对称中心为(),⎛⎫⎪⎝⎭k π2π1+-k ∈Z 122.答案：(),⎛⎫⎪⎝⎭k π2π1+-k ∈Z 122 三、解答题 9．求函数()sin 2cos 2sin 236f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和递减区间.【解析】：因为()ππππf x =sincos2x +cossin2x +cos2xcos-sin2xsin+sin2x 3366⎛⎫⎪⎝⎭π==2sin 2x+3，所以函数()f x 的最小正周期为π.由()ππ3π+2k π≤2x +≤+2k πk ∈Z 223得，()π7π+k π≤x ≤+k πk ∈Z 1212，故函数()f x 的递减区间为()⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π+k π,+k πk ∈Z 1212.10.已知函数()2sin 2cos f x x x x =+．（1）求43f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；（3）解不等式()0f x ≥．【解析】：（1）因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x =2sin 2x++16，所以⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π8ππ5π5πf =2sin ++1=2sin 2π++1=2sin +1=233666. （2）设⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππt =2x+,x ∈0,62，则⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7πy =2sint+1,t ∈,66.当πt =2即πx =6时，y =3max ；当7πt =6即πx =2时，y =0min .于是，函数()f x 的值域为[0，3].（3）由()f x ≥0得，⎛⎫⎪⎝⎭12πsin 2x +6≥-，所以ππ7π-+2k π≤2x +≤+2k π,k ∈Z 666，解得ππ-+k π≤x ≤+k π,k ∈Z 62，故不等式的解集为{}ππx|-+k π≤x ≤+k π,k ∈Z 62.【二级目标】能力提升题组一、选择题 1．函数2cos 2sin 2y x x =-+的最大值为()．A ．1 B. 1- C ．4 D ．4-【解析】：因为2y =-sin x -2sinx+3，设t =sinx ，则[]2y =-t -2t+3,t ∈-1,1，所以当t =-1时，此函数有最大值4.答案：C 2．已知4coscos sinsin 665ππθθ+=，则2cos 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )．A ．725-B.45- C ．1825D ．35 【解析】：因为⎛⎫⎪⎝⎭π4cos θ-=65，所以 ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2cos 2θ+=2cos θ+-133 ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ2=2cos +θ--126⎛⎫ ⎪⎝⎭π2=2sin θ--16⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦2π472=21-cos θ--1=21--1=-6525. 答案：A 二、填空题 3．已知13sin 5cos 9αβ+=，13cos 5sin 15αβ+=，则()sin αβ+= ________.【解析】：两式平方相加得，()169+130sin α+β+25=81+225，所以()56sin α+β=65.答案：5665三、解答题4.已知扇形的内接矩形面积()sin cos ,033f x x x x x π⎛⎫=-<< ⎪ ⎪⎝⎭，试求矩形面积的最大值.【解析】：()⋅11-cos2x 12f x =sinxcosx -x =sin2x -=sin2x 32322-66⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭111πcos2x -2x+-22666. 因为π0<x <3，所以ππ5π<2x +<666，故当=ππ2x +62即πx =6时，()⎡⎤⎣⎦1f x 1-=max 66.所以矩形面积的最大值为6.【高考链接】1.（2014年上海文14）方程sin 1x x =在区间[0,2]π上的所有解的和等于.【解析】：因为=1，所以⎛⎫ ⎪⎝⎭1πsin x+=23.又0≤x ≤2π，所以ππ7π333≤x+≤.故π5π36x +=或π13π36x+=，解得π2x =或11π6x =.故方程所有解的和等于π11π7π263+=. 答案：7π32.（2013年全国新课标I 卷理15文16）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【解析】：因为()⋅⋅⎭f x sinx cosx 55()x -φ，其中cos φ=5，sin φ=5，所以()()f θθ-φ故()sin θ-φ=1，从而πθ-φ=+2k π,k ∈Z 2，πθ=φ++2k π,k ∈Z 2.于是⎛⎫ ⎪⎝⎭πcos θ=cos φ++2k π2＝⎛⎫⎪⎝⎭πcos φ+2＝-sin φ=-5.答案：-53.（2011年全国新课标I 卷理16）在ABC V中，60,B AC ==则2A B B C +的最大值为 .【解析】：由正弦定理：AB BC AC ====2o sinCsinAsinBsin60，得AB =2sinC,BC =2sinA ，所以AB+2BC =2sinC+4sinA .又2πC =-A 3，所以()⎛⎫⎪⎝⎭2π-A A+3AB+2BC =2sin +4sinA ϕ，其中sin φ=,cos φ=1414.故当πA+φ=2时，AB+2BC取得最大值.答案：。
高中数学新北师大版精品教案《辅助角公式专题》
第三章 三角恒等变形 第2节 两角和与差的三角函数之辅助角（又称合一）公式sin cos sin()a b A θθθϕ+=+【】专题教学设计 梧州高级中学数学组 周勇辅助角公式是三角变换中最重要的公式，在解决三角函数问题过程中具有广泛地应用，由于公式的推导理解和灵活运用有一定的难度，所以需要进行专题的讲解。
根据内容特点，我做出如下的教学设计。
一、学习目标1、知识与技能1掌握辅助角公式的推导过程，认识辅助角公式的作用和意义。
2利用辅助角公式进行简单的三角函数变形和求值，能解决某些简单的三角函数问题。
2、过程与方法以问题链为导学方式来帮助学生完成本节内容的学习，着重抓住学生的思维发展过程，先引导学生复习两角和差的正余弦公式并通过具体实例训练逆向使用，从中启发学生认真观察、类比、思考，深入挖掘得出辅助角公式并进行理论推导和证明，体会公式的作用和意义，并学会模仿使用公式和灵活运用。
3、情感目标与价值观通过让学生历练数学问题解决的思维发展过程，让学生体会辅助角公式的产生是自然的，方法是多样的，结果是简洁的，感受到思维的快乐和数学的美感。
【学习重点】辅助角公式的推导。
【学习难点】辅助角公式的应用。
【学法指导】通过个人自主探究和小组互相讨论，激发学生学习兴趣。
二、学习内容与过程：情景设置：（一）复习引入，公式巩固sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-cos()αβ+=cos cos sin sin αβαβ- cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+请分析上述公式形式特点，得出其记忆口诀（左复右单，正同名异，余异名同）。
设计意图：通过复习回顾公式，一方面归纳出公式形式上的特点来巩固和帮助学生记忆公式，另一方面为后续逆向使用公式提供必要铺垫。
情景设置：（二）问题探究，观察思考1.请利用正余弦和差公式进行展开：sin()6πθ+=1cos 22θθ+2请将下面式子化为只含正弦名称的三角函数形式：1sin 2θθ+=sin()3πθ+ 设计意图：通过以上两个具体实例帮助学生从正向和逆向使用公式，增强思维的互逆性，另外特别训练学生的观察能力。
关于辅助角公式的一个定理及其应用--(2019高考)数学考点分类解析
关于辅助角公式的一个定理及其应用--(2019高考)数学考点分类解析关于辅助角公式的一个定理及其应用定理1 设函数)0(cos sin )(22≠++=b ax b x a x f ，则(1)当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222cos sin b a b x b a a x 时，22max )(b a x f +=； (2)当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=2222cos sin b a b x b a a x 时，22min )(b a x f +-=． 证法1因为1222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ba b b a a ，所以可设ϕϕsin ,cos 2222=+=+ba bba a ，得)(sin cos sin cos sin )(22222222ϕ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+=x b a x b a bx b a a b a x b x a x f(1)(1)当且仅当∈+=+k k x (22ππϕZ)即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+==2222sin cos cos sin b a b x b a a x ϕϕ时，22max)(b a x f +=．(2)当且仅当∈-=+k k x (22ππϕZ)即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=+-=-=2222sin cos cos sin b a b x b a a x ϕϕ时，22min)(b a x f +-=．证法2 因为函数)0(cos sin )(22≠++=b ax b x a x f 可化成)(sin )(22ϕ++=x b a x f 的形式，所以x 是)(x f 的最值点0x ⇔是)(x f 的极值点cos sin 0)(x a x b x f =⇔='⇔又因为⇒+±=⇒-==⇒=22002202202200sin )sin 1(cos sin cos sin ba a x x a x a xb x a x b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+±=+±=220220cos sin b a b x b a a x (同时选“+”或同时选“-”)(2)显然，(2)0cos sin x a xb =⇒．所以，0x 是)(x f 的最值点⇔(2)．由此可得欲证． 注 由恒等式(1)及1cos sin22=+αα容易记忆定理．推论1 设函数)0(cos sin )(22≠++=b ax b x a x f ，则(1)当且仅当x a x b cos sin =时，)(x f 取到最值； (2)当且仅当ααcos sin a b =时，曲线)(x f y =关于直线α=x 对称．推论2 若函数)0,0(cos sin )(>>+=b a x b x a x f (定义域是D )，则(1)当⎪⎭⎫ ⎝⎛=2,0πD 时，22max)(b a x f +=；(2)当⎪⎭⎫⎝⎛=23,ππD 时，22min)(b a x f +-=．推论3 若函数)0,0(cos sin )(<>+=b a x b x a x f (定义域是D )，则(1)当⎪⎭⎫⎝⎛=ππ,2D 时，22max)(b a x f +=； (2)当⎪⎭⎫⎝⎛-=0,2πD 时，22min)(b a x f +-=．题1 (2013年高考全国卷新课标I 理科第15题)设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则=θcos ．答案552-解 由定理1(1)得55252cos -=-=θ．题2 (2008年高考浙江卷理科第8题)若5sin 2cos -=+αα，则=αtan ( )A.21B.2C.21-D.-2答案 B解 设x x x f cos sin 2)(+=，由题意得，当α=x 时)(x f 取最小值，所以由定理1(2)得51cos ,52sin -=-=αα，得2tan =α．题3 (2006年高考湖南卷理科第14题)若)0(4sin 4sin )(≠⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab x b x a x f ππ是偶函数，则有序实数对),(b a 可以是____．(写出你认为正确的一组数即可)答案)0)(,(≠-a a a解 得)0(cos 2sin 2)(≠-++=ab x b a x b a x f ，)(x f 是偶函数即曲线)(x f y =关于直线0=x 对称，所以由推论1(2)，得0cos 20sin 2b a b a +=-即0≠-=a b ，所以)0)(,(≠-a a a 是所求的所有答案．题4 若函数x a x x f 2cos 2sin )(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则=a ( ) A.2B.2- C.1D.1-答案 D解 题设即函数x a x x g cos sin )(+=的图像关于直线4π-=x 对称，所以由推论1(2)，得1,4cos 14sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ππ．题5 已知函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈+=ππ3,6cos 4sin 2)(x x x x f ． (1)求函数)(x f 的值域；(2)求函数)(x f 的最值点．解 (1)因为函数)(x f 的定义域包含了一个周期⎪⎭⎫⎢⎣⎡+--πππ26,6，所以该函数的值域是[]52,52-．(2)由定理1(1)知，当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ππ3652cos 51sin x x x 即55arcsin 2,55arcsin+=πx 时函数)(x f 取到最大值．由定理1(2)知，当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=ππ3652cos 51sin x x x 即55arcsin 2,55arcsin--=πx 时(因为可证55arcsin6-≤-π)函数)(x f 取到最小值．所以函数)(x f 的最大值点是55arcsin 2,55arcsin+=πx ，最小值点是55arcsin 2,55arcsin--=πx ．题 6 (1)求函数)),0[(cos 4sin 2)(π∈+=x x x x f 的值域及最值点；(2)求函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+=32,2cos 4sin 2)(ππx x x x g 的值域及最值点．解 (1)由定理1知当且仅当)0(52cos 51sin π<≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x 即51arcsin=x 时函数)(x f 取到最大值52；当且仅当)0(52cos 51sin π<≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=x x x (但此时∈x Ø)时函数)(x f 取到最小值52-．所以函数)(x g 没有极小值点且有唯一的极大值点，又因为4)(lim ,4)0(-==→x f f x π，所以函数)(x g 的值域是]52,4(-，最大值点是51arcsin=x ，无最小值点．(2)由定理1知当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==32252cos 51sin ππx x x (但此时∈x Ø)时函数)(x g 取到最大值52；当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=32252cos 51sin ππx x x (但此时∈x Ø)时函数)(x g 取到最小值52-．所以函数)(x g 没有极值点，即)(x g 是单调函数，进而可得)(x g 是减函数，所以其值域是]2,23(-，最大值点是2π=x ，无最小值点．题7 求函数tt z -++=642的值域及最值点．解 设yt x t =-=+6,42，得)0,0(16222≥≥=+y x y x，所以可设⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤==20sin 22,cos 4παααy x ，得⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+=+=20sin 22cos 4παααy x z ．设函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+=20cos 4sin 22)(πααααf ．由定理1知当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2032cos 31sin πααα即31arcsin=x 时函数)(αf 取到最大值62；由定理1知当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2032cos 31sin πααα(但此时∈αØ)函数)(αf 取到最小值62-．所以函数)(αf 的最小值是2222),0(min =⎪⎭⎫⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf f f ，进而可得函数z 的值域是]62,22[，最大值点是310=t ，最小值点是2-=t ． 题8 (同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷第9题)试利用三角函数求函数求函数22124)(x x xx f -+-=的最大值与最小值．解 可设⎪⎭⎫⎝⎛≤≤-=22sin πθπθx ，得32cos 2sin 21)(++=θθx f ．由定理1知当且仅当)2(522cos 512sin πθπθθ≤≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==即51arcsin21=θ时函数)(x f 取到最大值253+；由定理1知当且仅当)2(522cos 512sin πθπθθ≤≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=即251arcsin 21πθ-=时函数)(x f 取到最小值253-．题9 (2014年高考山东卷理科第9题即文科第10题)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2答案 B解 由题设，得)0,0(522>>=+b a b a .可设)0(222>=+t t b a ，所以还可设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<==20sin ,cos παααt b t a .由522=+b a ，可得ααcos 2sin 52+=t .求22b a+的最小值即求t 的最小值，即求正数⎪⎭⎫⎝⎛<<+20cos 2sin πααα的最大值．由定理1(1)知，当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛=52,51)cos ,(sin αα时，∈+ααα(cos 2sin R)取最大值5.所以当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛=52,51)cos ,(sin αα时，⎪⎭⎫⎝⎛<<+20cos 2sin πααα取最大值5，即t 的最小值是2．所以当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛=52,54),(b a 时，a 2＋b 2取最小值4．注 用柯西不等式求解题9最快． 题10 (1)(2014年高考辽宁卷理科第16题) 对于0c >，当非零实数,a b 满足224240aab b c -+-=，且使2a b+最大时，345a b c-+的最小值为 ． (2)(2014年高考辽宁卷文科第16题) 对于c >，当非零实数,a b 满足22420aab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 ． 答案 (1)2- (2)1- 解 (1)可得222(0)2b a c c ⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭⎝⎭，所以可设22b a αα⎧-=⎪⎪=即2cos a b ααα⎧⎫=⎪⎪⎪⎭⎨⎪=⎪⎩，得2cos a b αα+=+.由定理1得，当且仅当sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(两者的正负号一致，下同)即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2a b +最大，进而可求得答案．(2)同上可求．题11 (2014年高考山东卷理科第15题)已知函数y ＝f (x )(x ∈R)，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．答案 (210，＋∞) 解 可得题意即xx b 342-->恒成立．因为22≤≤-x ，所以可设)0(cos 2παα≤≤=x ，得)0)(cos 3(sin 2πααα≤≤->b 恒成立．由推论3(1)知，当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==103cos 101sin x α时，10)cos 3(sin max =-αα．所以所求b 的取值范围是(210，＋∞)．用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0.结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1. 即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法 2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e(21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解.设1(21)e ()(1)t t g t t t++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2eB ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得：当32e a <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意.当1e 23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意.得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题 1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)cc x x 11+=+.解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解.(2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，.(3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解 设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan .解 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α.题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{ka 的前k 项和为kS ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a，求数列}{ka 的通项公式.解 由题设得kk k k k a a a a a S a)(22211+++==+Λ，所以当ka a a ,,,21Λ确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a知，数列}{ka 是唯一确定的.可以观察出ka k=满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得kak=.另解(2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k①由题设得3,121==S S，再由①知{}kS 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S ak k k.再同上得kak=.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{na 的前n 项和为nS ，已知11,6,1321===a a a，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{na 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A .(2)∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}nS 是唯一确定的数列，}{na 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a知，若}{na 为等差数列，则45-=n an，于是)35(21-=n n Sn.容易验证)35(21-=n n Sn满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{na 为等差数.题6]2[ 已知数列}{na 满足nn a a an n ++==+2111,21，求na ；解 首先，由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{na 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a an n 111111121，即nk a n 1-=（k 是常数）满足递推关系nn a an n ++=+211，再由211=a，得nan123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是nan123-=.题7]2[ 已知数列}{na 满足n n a n n a a1,3211+==+，求na .解 易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得knk n kn n aa nn (111+=+=+是非零常数），即nkan=满足递推关系nn a n n a11+=+，再由321=a，得nan32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是nan32=.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有nn (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解nωωω,,,21Λ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列ΛΛ,,,,21na a a 中的每一项都不为0.证明{}na 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a n a a a a a a Λ.证明 先证必要性.若数列{}na 是公差为d 的等差数列：当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a ΛΛ111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d Λ再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ΛΛ==+++++恒成立，则na a a ,,,21Λ成等差数列，且na an1≠.当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a.假设k n ,,4,3Λ=时成立：即ka a a ,,,21Λ成等差数列，且ka a a a a ak 11413,,4,3≠≠≠Λ.由k i ,,3,2Λ=时均成立及kaa a a a ak 11413,,4,3≠≠≠Λ知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a Λ也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a Λ满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a Λ成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0.结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1. 即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法 2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e(21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解.设1(21)e ()(1)t t g t t t++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2eB ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得：当32e a <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意.当1e 23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意.得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．。
小问题大用处高中数学小问题集中营之必修四三角函数专题5辅助角公式及应用Word版含解析
我们把()sin cos a x b x x θ+=+(其中角所在的象限由a , b 的符号确定,角的值由tan baθ=确定),称作辅助角公式,该公式在高考中考查频率非常高,且常和三角函数的性质结合在一起进行考查.1．所涉及的公式（要熟记,是三角函数式变形的基础） 降幂公式：221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==2.关于()sin cos a b αααϕ+=+的说明(1)使用范围：三个特点：① 同角（均为α）,②齐一次,③正余全(2)表达式变为：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭② 二找：由221⎛⎫⎛⎫+=,故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角）,如cos ϕϕ==,可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+(3)举例说明：sin y x x =+① 12sin 22y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭②1cos sin 2cos sin sin cos 23333y x x ππππ⎛⎫==⇒=+ ⎪⎝⎭③ 2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(4)注意事项：① 在找角的过程中,一定要找“同一个角”的正余弦,因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式,所以构造的正余弦要同角② 此公式不要死记硬背,找角的要求很低,只需同一个角的正余弦即可,所以可以从不同的角度构造角,从而利用不同的公式进行合角,例如上面的那个例子：12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,可视为1sin cos 266ππ==,那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以,找角可以灵活,不必拘于结论的形式.找角灵活,也要搭配好对应的三角函数公式. 当然,角寻找的不同,自然结果形式上也不一样,但2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~）③ 通常遇到的辅助角都是常见的特殊角,这也为我们的化简提供了便利,如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦,那么可用抽象的ϕ来代替,再在旁边标注ϕ的一个三角函数值. 3.规律探究（1）观察式子：主要看三点① 系统：整个表达式是以正余弦为主,还是正切（大多数情况是正余弦）,确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）② 确定研究对象：是以作为角来变换,还是以的表达式（例如2x ）看做一个角来进行变换. ③ 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次）,若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式,那么很有可能要使用合角公式,其结果成为()()sin f x A x ωϕ=+的形式.例如：齐二次式：2sin 2cos sin 2y x x x =-+,齐一次式：sin cos 6y x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）向“同角齐次正余全”靠拢,能拆就拆,能降幂就降幂：常用到前面的公式221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==,2sin cos sin2ααα=（还有句老话：平方降幂） 例如：sin cos 6y x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭,确定研究对象了：,也齐一次,但就是角不一样（一个是,一个是6x π+）那么该拆则拆,将cos 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭打开11sin sin sin cos 2222y x x x x x ∴=+-=+ 于是就可合角了【例1】.（2016山东文17）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =---.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再把得到的图像向左平移π3个单位,得到函数()y g x =的图像,求π6g ⎛⎫⎪⎝⎭的值.（2）由（1）知()f x π2sin 213x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）,得到y =π2sin 13x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像,再把得到的图像向左平移π3个单位,得到y 2sin 1x =的图像,即()2sin 1.g x x =所以ππ2sin 166g ⎛⎫=+=⎪⎝⎭【例2】（2016天津理15）已知函数()ππ4tan sin cos 23f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.（2）令π23z x =-,函数2sin y z =的单调递增区间是()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .由πππ2π22π232k x k -+-+剟,得π5πππ1212k x k -++剟,k ∈Z . 设ππ,44A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,π5πππ,1212B x k x k k ⎧⎫=-++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟,易知ππ,124A B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.又πππ12462T ⎛⎫---=< ⎪⎝⎭,所以当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间ππ412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.1.（2016山东理7）函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是（ ）. A ．π2 B ． C ．3π2D ．2π2. （2016浙江文11）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>,则A =________,b =________.3．（2016上海文5）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为,则常数a = ．4．（2014全国丙文14）函数sin y x x =-图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移______个单位长度得到.5.（2016全国丙理14）函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移___________个单位长度得到.6.（2015安徽文）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7.（2015北京文）已知函数()2sin 2xf x x =- （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.8.（2015重庆文）已知函数()21sin22f x x x =. （1）求()f x 的最小周期和最小值；（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数()g x 的图像.当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()g x 的值域.9.（2015福建文）已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度,再向下平移（0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图像,且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）求证：存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >．答案1. B【解析】 由()()22()2sin cos cos sin sin 22f x x x x x x x ⎤=+-==⎦π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以最小正周期是. 故选B.；【解析 】2π2cos sin 2214x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,所以A =1b =.3．3±【解析 】由辅助角公式可知函数()f x 5=,故3a =±． 4.π35.2π3【解析 】由πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,显然函数π2s i n 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像可由π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像至少向右平移6.【解析 】（1）因为()()2sin cos cos21sin 2cos2f x x x x x x =++=++=π214x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,所以()f x 的最小正周期2π2ππ2T ω===.（2）因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,则πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以()max 1f x =+()min 0f x =.7. 【解析】（1）()21cos sin sin sin 22x xf x x x x x -=-=-=+π2sin 3x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭函数()f x 的最小正周期2πT =.8.【解析】（1）()()211sin 2sin 21cos 2222f x x x x x ==-+1sin 2cos 2sin 222232x x x π⎛⎫=--=--⎪⎝⎭．因此()f x 的最小正周期为π,最小值为．（2）由条件可知：()sin 23x g x f x π⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时有,2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,从而sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,那么sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭12,22⎡⎢⎣⎦,故()g x 在区间,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上的值域是12,22⎡-⎢⎣⎦. 9.【分析】（1）先利用二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()π10sin 56f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,然后利用2πT ω=求最小正周期；（2由函数()f x 的解析式中给减π6,再将所得解析式整体减去得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-,当sin x 取1时,()g x 取得最大值105a +-,列方程求得13a =,从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >,可解不等式()00g x >,只需解集的长度大于1,此时解集中一定含有整数,由周期性可得,必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．（2（i ）将()f x 的图像向右平移π6个单位长度后得到10sin 5y x =+的图像,再向下平移()0a a >个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图像．又函数()g x 的最大值为2,所以1052a +-=,解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得010sin 80x ->,即04sin 5x >．由45<知,存在0π03α<<,使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知,当()00,πx αα∈-时,均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π,所以当()()002π,2π+πx k k k αα∈+-∈Z 时,均有4sin 5x >． 因为对任意的整数,()()000π2π+π2ππ213k k ααα--+=->>,所以对任意的正整数,都存在正整数()()002π,2ππk x k k k αα∈++-∈Z ,使得4sin 5k x >． 即存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >．。
巧构辅助角，妙破高考题
角公式与辅助角公式来转化相应的三角函数关系式，
再通过代入来处理三角函数的求值问题．
解：由 于 函 数 犳（狓）＝ｓｉｎ２狓 －ｃｏｓ２狓 －２槡３·
（ ） ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓＝－槡３ｓｉｎ２狓－ｃｏｓ２狓＝－２ｓｉｎ２狓
＋
π ６
，所
（ ） （ ） 以犳
２π ３
＝－２ｓｉｎ２×２３π＋
π ６
＝－２ｓｉｎ３２π＝２．
中也频频 出 现，备 受 命 题 者 青 睐，我 们 应 当 给 予 高 度 重视．犠
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－
π，π ４４
时，可 得 ２狓
＋
π ３
∈
［ ］ （ ） （ ） －
π，５π ６６
，则知ｓｉｎ２狓
＋
π ３
≥ｓｉｎ
－
π ６
＝－
１， ２
［ ］ 所以当狓 ∈
－
π，π ４４
时，犳（狓）≥－
１ ２
．
通过巧妙构造辅助角公式，合理转化相应的三角
函数关系式，对于一些三角函数的求值、求角、最值或 取值范围、参 数 以 及 周 期 性、单 调 性 等 三 角 函 数 的 图 像与性质 问 题，应 用 非 常 广 泛，关 键 是 考 查 化 归 与 转 化思想，数学运算能力，包括未知向已知的化归、特殊 向一般的化归以及恒等变换等多个层面，在历届高考
再利用辅助角公式加以转化，从而得到对应的正弦型
函数，利用正弦函数的图像与性质来确定最小正周期
以及给定区间的不等式恒成立问题．
借助辅助角公式的构造与变换，合理转化相应的
三角函数 关 系 式，结 合 含 参 的 三 角 关 系 式、含 参 的 区
巧构辅助角公式，妙破2020高考题
（ ） 槡３犳（－
狓）犳
π ２
－狓
＝ ｓｉｎ２狓 ＋ 槡３ｓｉｎ（－ 狓）·Biblioteka （ ） ｓｉｎπ ２
－狓
＝ ｓｉｎ２狓
－
槡３ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓
１－ｃｏｓ２狓 ＝２
－
（ ） 槡２３ｓｉｎ２狓
＝
１ ２
－
槡２３ｓｉｎ２狓＋ １ ２ｃｏｓ２狓
＝
１ ２
－
（ ） ［ ］ ｓｉｎ２狓＋
π ６
，而 狓 ∈
０，４π
，可 得 ２狓 ＋
π ２
－狓
，狓 ∈
０，４π
，求犵（狓）的值域．
分析：通过三角 函 数 关 系 式 的 转 化，结 合 二 倍 角
公式与辅助角公式的转化与应用，转化为相应的正弦
型函数，再 结 合 自 变 量 的 取 值 范 围，利 用 三 角 函 数 的
图像与性质来确定相应的值域．
解析：由 于 犳（狓）＝ｓｉｎ狓，可 得 犵（狓）＝犳２（狓）＋
分析：结合三角形的内角和定理，将 犃 ＝３０°－犆 代入已知三角关系式，由两角差的正弦公式和辅助角 公 式的应用，化简得出有关角犆 的三角函数值，结合犆 的取值范围，即可求解对应的角的大小问题．
解 析：由于 犅＝１５０°，则有犃 ＋犆＝１８０°－犅＝３０°， 所以ｓｉｎ犃＋槡３ｓｉｎ犆＝ｓｉｎ（３０°－犆）＋槡３ｓｉｎ犆＝１２ｃｏｓ犆
教学 参谋 新颖试题 ２０２０年１２月
巧构辅助角公式，妙破２０２０高考题
? 江苏省宜兴第一中学 唐亚平
辅助角公式是三角恒等变换中的一个重要技巧 方法，是 近 年 高 考 中 的 命 题 热 点 之 一，可 以 用 来 处 理 一些相关的数学问题，破解的关键是通过三角关系式 的变形，巧 妙 借 助 辅 助 角 公 式 加 以 等 价 转 化，转 化 为 一个角的正弦型或余弦型函数，综合利用三角函数的 图像与性质来处理．
3.1辅助角公式及应用PPT课件
2021/5/19
小池中学 方国华
导学达标
引例 例1:求证： 3 sin x cos x 2sin(x )
6
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
“凑”, 使等式得到证明,并得出结论:
可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
Q
D
C
2021/5/19
OA
小池中学 方国华
BP
分析:在求当α取何值时,矩形ABCD的面积S 最大 ,可分二步进行:
(1)找出S与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S的最大值。
解：在RtΔOBC中，OB = cosα, BC = sinα 在RtΔOAD中，DA = tan60o = 3 OA
2021/5/19
小池中学 方国华
所以OA = 3 3 DA = 3 BC = 3 sinα
3
3
3
所以AB = OB - OA = cosα - 3 sinα 3
设矩形ABCD的面积为S，则
S = AB BC
= (cosα - 3 sinα)sinα 3
2021/5/19
小池中学 方国华
= sinαcosα - 3 sin2α 3
两个应用：
⒈利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质 解决函数问题 ⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题
2021/5/19
小池中学 方国华
课后作业
P.132 练习6
2021/5/19
小池中学 方国华
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
高考专题突破(2)--辅助角公式应用
高考专题突破--辅助角公式应用南昌二中:何涛 刘蓓蓓在三角函数的学习过程中，有一个和差角公式的变形式：辅助角公式要引起重视。
. 为便于研究，下文中辅助角公式一律化为正弦和角公式：()sin cos f x a x b x =+sin cos x x ⎫=()x ϕ=+，[,)ϕππ∈-其中cos ϕϕ==（ϕ几何意义：(),p a b 所在终边对应的中心角）当定义域为R 时，()f x ⎡∈⎣.当定义域有限定时，要根据辅助角公式ϕ的几何意义得到ϕ的估计范围，再根据x ϕ+的区间范围及三角函数的单调性（或三角函数线）来作出判断，求出函数的最值或值域. 1.求函数()sin 2cos ,0,2f x x x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域. 【解析】由辅助角公式可得：()()f x x x x ϕ⎫=+=+⎪⎭，（其中sin ϕϕ==. sin 0,cos 00,2πϕϕϕϕ⎛⎫>>∴∈ ⎪⎝⎭为第一象限角，可令0,,22x x ππϕϕϕ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，又+22ππϕπ<< ,[],0,2πϕϕπ⎡⎤∴+⊆⎢⎥⎣⎦，而sin cos 2πϕϕϕ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，()f x ⎤∴∈⎥⎦. 2.求函数()22sin 3cos ,,63f x x x x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的值域.【解析】解法一：辅助角公式: ()()sin cos f x x x x ϕ==+.其中sin ϕϕ== ，ϕ为第四象限角. 又1sin sin 62πϕ⎛⎫<-=- ⎪⎝⎭，可令,26ππϕ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 22,,6363x x ππππϕϕϕ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而20,632πππϕϕ+<+<. 函数sin ,,22y x x ππ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭单调递增，2sin 3cos 16662f πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，22232sin3cos 3332f πππ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ ()31,22f x ⎡∴∈-+⎢⎣解法二：数形结合法:令()23f x t v u ==-，如右图圆弧与直线3122v u t =-有交点，则直线如右图12,l l 位置过圆弧左右端点时是直线平移的界限.圆弧两个端点坐标为11,,,2222⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入直线方程的31,22t ⎡∈-+⎢⎣()31,22f x ⎡∴∈-+⎢⎣3.函数3cos 4sin ,[,]63y x x x ππ=+∈的值域__________.4[,5]2+【解析】4sin 3cos 5sin()y x x x ϕ=+=+,其中34sin ,cos 55ϕϕ== 且估算(,)64ππϕ∈,而[,]63x ππ∈,估算7()(,)312x ππϕ+∈所以,当6x π=时,函数有最小值min 43cos4sin662y ππ+=+=当2x πϕ+=时,函数有最大值max 5y =,即函数值域4[,5]2y +∈ 4.设x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =+ 取得最大值，则cos θ=__________.【解析】解法一：辅助角公式:由辅助角公式可得：()()sin 2cos f x x x x ϕ=+=+， 其中sinϕϕ==，当x θ=时，()f x 取得最大值. 则2,2k k Z πθϕπ+=+∈，即2,2k k Z πθπϕ=+-∈ .cos cos sin2πθϕϕ⎛⎫=-==⎪⎝⎭.解法二：导数法:()cos 2sin 0,f θθθ'=-= sin 2cos θθ+= ，得cosθ=解法三：解方程组:由条件可得()maxf x =，即22sin 2cos sin cos 1θθθθ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去sin θ得)222cos cos 1θθ-+=，解得cosθ=. 解法四：向量法 :令()()2,1,cos ,sin a b x x == ，则()cos f x a b a b ϕ==当cos ϕ取得最大值时，()f x 取得最大值，此时a 与b同向共线，易得cos θ=.解法五：数形结合法令22cos ,sin ,1u x v x u v ==+=则()2f x t v u ==+，如右图圆弧与直线2v u t =-+（t 为纵截距）有交点，则直线如右图1l 位置与圆相切时t 取最大值，切点()cos ,sin A θθ.此时1l 斜率为2-，易得cos θ=. 5.设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________.5-【解析】因()2sin cos )f x x x x α=-=-，其中cos ,sin 55αα==，又当x θ=时，函数()f x 取得最大值，所以22k θαπ-=+π，即2()2k k Z θαπ=+π+∈，所以cos cos(2)2k θαπ=+π+＝sin 5α-=-． 6.若x θ=时，函数()2sin 3cos f x x x =- 取得最大值，则tan θ=__________.23-【解析】()2sin 3cos )f x x x x ϕ=-=+其中cos ϕϕ==, 又当x θ=时，函数()f x 取得最大值，所以22k θϕπ+=+π，即2()2k k Z θϕπ=+π-∈， 所以cos 2tan tan(2)cot 2sin 3k ϕθϕϕϕπ=+π-===-. 7．已知方程2sin cos x x c +=在(0,)π上有两个根α和β，则sin()αβ+=_________．145cos x c += 其中(cosϕϕ==,sin()sin x t ϕ+==依题意方程在(0,)π上有两个根α和β，故只能有2k t αϕπ+=+，2k t βϕππ+=+-， 所以4sin()sin(2)sin 22sin cos5αβπϕϕϕϕ+=-====方法二：用特殊值2c =则6t π=或56t π=．8．已知函数()sin()2cos()f x x x πφπφ=+-+（0φπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2φ=（ ） A ．45-B ．35-C ．35D ．45A 【解析】()sin()2cos()f x x x πφπφ=+-+)]x πφα=+-， 其中sinα=，cos α=．又函数的图象关于直线1x =对称， 所以2k ππφαπ+-=+（k Z ∈），即2k πφπα=+-，则sin 2sin(22)k φπαπ=+-sin(2)sin 22sin cos απααα=-=-=-45=-=-．【点评】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．9. 若()2015sin 2016cos f x x x =-的一个对称中心为(),0a ，则a 的值所在区间可以是（ ） A ．(0,)4πB ．(,)43ππC ．(,)32ππD ．3(,)24ππ【解析】方法一:利用辅助角公式: 由于()2015sin 2016cos f x x x =-()cos f x x x ∴=+)x ϕ=+,其中2016tan 2015ϕ=-,且(,0)2πϕ∈-所以可得2016tan 12015ϕ<=-<-,估算(,)34ππϕ∈--又(),0a 是()f x 的一个对称中心,)0x ϕ+=sin()0a ϕ∴+=,得,(Z)a k k ϕπ+=∈,即,(Z)a k k πϕ=-∈由(,)34ππϕ∈--知: ,(Z)43k a k k ππππ+<<+∈故当0k =时, (,)43a ππ∈.方法二:直接应用零点定义: 由(),0a 是()f x 的一个对称中心,得()0f a =∴ ()2015sin 2016cos 0f a a a =-=,得2016tan 2015a =∈ ∴,(Z)43k a k k ππππ+<<+∈,故当0k =时, (,)43a ππ∈.。
高考常用三角函数的辅助角数学公式
高考常用三角函数的辅助角数学公式对于高考考生来说，学习数学课本中三角函数内容其实就是学习各种概念和公式。
下面店铺给高考考生带来三角函数常用辅助角公式，希望对你有帮助。
高考数学三角函数辅助角公式辅助角公式使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]。
(a>0)高考数学三角函数公式高考数学三角函数题型技巧三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用"1"的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。
如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β)-β,β=-等。
(3)降次与升次。
(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。
asinθ+bcosθ=sin(θ+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的"差异分析"。
高中数学必修：新视角之三角函数辅助角公式的推导及应用
高中数学必修：新视角之三角函数辅助角公式的推导及应用
三角函数是高中数学中相对比较简单的知识点，在高考中属于送分题，所以对于这个知识点我们必须掌握，要做到一分不丢。
其中辅助角公式的应用是最为平凡的，但是有很多同学并不知道辅助角公式是怎么推导而来的，更有甚者居然忘了辅助角公式的内容，以致在遇见这一类送分题时，只能束手无策。
所以这里有必要以一种崭新的视角来重新推导一遍，以帮助同学们记忆，最后通过例题来说明辅助角公式在实际情况中的运用，使同学们不仅知其然，还要知其所以然。
一、教学中常见的推导方法：
第一步：出示例题
第二步：辅助角公式的推导
二、重新推导：让辅助角公式来的更自然、易懂、易记忆
1、新的证明方法：
2、举例应用：
三、关于辅助角范围的说明
四、辅助角公式的灵活应用
五、与辅助角有关的解答题
与辅助角有关的解答题在实际中也比较常见，在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点
我是敬小西，如果你觉得对你有所帮助，还望大家不吝关注、转发与点赞，码字不易，小西在此先谢过大家。
高考数学复习微难点6 辅助角公式
sin(－x＋θ)，即 sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，故 2sinxcosθ＝0，所以
cosθ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或32π.
(2) 求函数 【解答】
y＝fx＋1π22＋fx＋π42 的值域． y ＝ fx＋1π2 2 ＋ fx＋π4 2 ＝ sin2 x＋1π2
3＝2sinxcosx＋2
3sin2x－
3＝sin2x＋
3(1－cos2x)－
3＝sin2x－
3cos2x＝2sin
2x－π 3
，所以
f(x)的最小正周期
T＝22π＝π.
(2) 讨论 f(x)在－π4，π4上的单调性． 【解答】 令 z＝2x－π3，函数 y＝2sinz 的单调增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z. 由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z.设 A＝－π4，π4，B ＝x|－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，易知 A∩B＝－1π2，π4.所以当 x∈－π4，π4时，f(x) 在区间－1π2，π4上单调递增，在区间－π4，－1π2上单调递减．
上恒成立，结合函数 y＝
2sin
x＋π 4
的图象可知有
－a＋π4≥0， a＋π≤π，
4
解得 a≤π，所以 4
0<a≤π4，所以 a 的最大值是π4.
设函数 f(x)＝sinx，x∈R.
(1) 已知 θ∈[0,2π)，函数 f(x＋θ)是偶函数，求 θ 的值；
【解答】 因为 f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数 x 都有 sin(x＋θ)＝
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辅助角公式在高考三角题中的应用 专题辅导 不分本 试题
辅助角公式在高考三角题中的应用柳毓对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx=++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。
由于上式中的aa b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，那么。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，〔*〕其中θ由a a bb a b2222+=+=cos ,sin θθ来确定。
通常称式子〔*〕为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。
一. 求周期例1 〔2021年卷选〕求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
解：)6x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x2sin 3)2x 2sin(x 2sin 3)4x sin()4x cos(2y π+=+=+π+=+π+π+=所以函数y 的最小正周期T=π。
评注：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。
二. 求最值例2. 〔2021年〕函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x 。
假设x ∈[,]02π，求f(x)的最大值和最小值。
解：f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=--224sin()x π。
由0242434≤≤≤≤x x ππππ⇒--。
当244x -=-ππ，即x=0时，sin()24x -π最小值-22；当24238x x -==πππ，即时sin()24x -π取最大值1。
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高三数学辅助角公式在高考三角题中的应用柳毓对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx=++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。
由于上式中的aa b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由a a bb a b2222+=+=cos ,sin θθ来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。
一. 求周期例1 （2020年上海卷选）求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
解：)6x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x2sin 3)2x 2sin(x 2sin 3)4x sin()4x cos(2y π+=+=+π+=+π+π+=所以函数y 的最小正周期T=π。
评注：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。
二. 求最值例2. （2020年北京市）已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x 。
若x ∈[,]02π，求f(x)的最大值和最小值。
解：f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=--224sin()x π。
由0242434≤≤≤≤x x ππππ⇒--。
当244x -=-ππ，即x=0时，sin()24x -π最小值-22；当24238x x -==πππ，即时sin()24x -π取最大值1。
从而f(x)在[,]02π上的最大值是1，最小值是-2。
三. 求单调区间例3. （2020年江西省）已知向量→，→ax x bx =+=+(cos,tan())(sin()2224224ππ，tan())x 24-π，令b a )x (f →→•=，求函数f(x)在[0，π]上的单调区间。
解：f x a b()=→·→。
)4x sin(2x cos x sin 12x cos 22x cos 2x sin 22x tan112x tan 2x tan 12x tan 1)2x cos 222x sin 22(2x cos 22)42x tan()42x tan()42x sin(2x cos 222π+=+=-+=+--+++=π-π++π+=·先由04454≤≤≤≤x x ππππ⇒+。
反之再由πππππππππ4420424544≤≤≤≤；≤≤≤≤x x x x +⇒+⇒。
所以f(x)在[]04，π上单调递增，在[]ππ4，上单调递减。
评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。
而化为y=Asin(ωx+ϕ)+k 的形式，是求单调区间的通法。
四. 求值域例4. 求函数f x k x k x x ()cos()cos()sin()=+++--++613261322332πππ(,)x R k Z ∈∈的值域。
解：。
)2x 2sin(4]6sin )x 23cos(6cos )x 23[sin(4)x 23sin(32)x 23cos(2)x 23sin(32)x 23k 2cos()x 23k 2cos()x (f π+=π+π+π+π=+π++π=+π+-π-π++π+π= 所以函数f(x)的值域是[-4，4]。
五. 画图象例5. （2020年新课程）已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，画出函数y=f(x)在区间[]-ππ22，上的图象。
解：。
)4x 2sin(21x 2sin x 2cos 1x cos x sin 2x sin 2)x (f y 2π-+=+-=+==由条件-⇒--πππππ22542434≤≤≤≤x x 。
描点连线，图象略。
六. 图象对称问题例6. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称，那么a=( ) （A ）2（B ）-2 （C ）1 （D ）-1解：可化为y a x =++122sin()θ。
知x =-π8时，y 取得最值±12+a ，即sin ()cos ()()()2828122111211210122222-+-=+⇒-+=+⇒-+=+⇒++=⇒=-ππa a a a a a a a a D ±±选（）。
七. 图象变换例7（2000年全国）已知函数。
R x ,1x cos x sin 23cos 21y 2∈++=该函数的图象可由y x x R =∈sin ()的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：y x x =+++14123421(cos )sin =++=++12262654122654(sin cos cos sin )sin()x x x πππ。
可将函数y=sinx 的图象依次进行下述变换： （1）向左平移π6，得到y=sin(x+6π)的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的21倍，纵坐标不变，得y=)6x 2sin(π+的图象；（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的21倍，横坐标不变，得y=21sin(2x+6π)的图象；（4）将（3）中所得图象向上平移45个单位长度，得到y=21sin(2x+6π)+45的图象。
综上，依次经过四步变换，可得y=1x cos x sin 23x cos 212++的图象。
八. 求值例8. 已知函数f(x)=x sin 32-+sinxcosx 。
设α∈（0，π），f(2α)=2341-，求sin α的值。
解：f(x)=x 2sin 21)x 2cos 1(23+--=sin 23)3x 2(-π+。
由f(2α)=sin(3π+α)-=-412323， 得sin(3π+α)=41。
又α∈（0，π）)34,3(3ππ∈π+α⇒。
而sin 41＞233=π，故α+),2(3ππ∈π，则cos(α+3π)=415-。
sin α=sin[3)3(π-π+α]=sin 3sin )3cos(3cos )3(ππ+α-ππ+α=23)415(2141⨯--⨯ =8531+。
评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。
在求sin α时，巧用凑角法：α=（α+3π）-3π，并且判断出α+3π的范围，进而求出cos(α+3π)的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。
九. 求系数例9. （2020年重庆）若函数f(x)=)2xcos(2x sin a )x 2sin(4x 2cos 1-π-+π+的最大值为2，试确定常数a 的值。
解：f(x)=cos 2x sin a x cos 4x cos 22+2x=x sin 2ax cos 21+ =)x sin(4a 412ϕ++， 其中角ϕ由sin ϕ=22a1a cos ,a11+=ϕ+来确定。
由已知有44a 412=+，解得a=15±。
十. 解三角不等式例10. （2020年全国Ⅲ）已知函数f(x)=sin 2x+sin2x ，x ]2,0[π∈，求使f(x)为正值的x 的集合。
解：f(x)=1-cos2x+sin2x=1+)4x 2sin(2π-。
由f(x)＞0，有sin (2x-,22)＞4-π则得2k π-45k 2＜4x 2＜4π+ππ-π， 故k π＜x ＜k π+)Z k (43∈π。
再由x ∈[0,2π]，可取k=0，1，得所求集合是 ⎩⎨⎧πππ47＜x＜，43＜＜x 0x 或。