高三数学辅助角公式在高考三角题中的应用专题辅导
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高三数学辅助角公式在高考三角题中的应用
柳毓
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx
=++++a b x a a b
x b a b
222
2
2
2
(sin cos )·
·。
由于上式中的
a
a b
22
+与
b a b
2
2
+的平方和为1，故可记a a b
2
2
+=cos θ，
b a b
2
2
+=sin θ，则
。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=
由此我们得到结论：
asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由
a a b
b a b
2
2
2
2
+=+=cos ,
sin θθ来
确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。
一. 求周期
例1 （2020年上海卷选）求函数y x x x =+-+244
32cos()cos()sin π
π
的最小正周期。
解：
)
6
x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x
2sin 3)2x 2sin(x 2sin 3)4x sin()4x cos(2y π
+=+=+π
+=+π
+π+=
所以函数y 的最小正周期T=π。
评注：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。
二. 求最值
例2. （2020年北京市）已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x 。若x ∈[,]02
π
，求f(x)的
最大值和最小值。
解：f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=--224
sin()x π
。
由02
4
24
34
≤≤
≤≤
x x π
π
π
π⇒-
-
。 当24
4
x -=-
π
π
，即x=0时，sin()24
x -
π
最小值-
22；当2423
8
x x -==πππ，即时sin()24
x -
π
取最大值1。
从而f(x)在[,]02
π上的最大值是1，最小值是-2。
三. 求单调区间
例3. （2020年江西省）已知向量→，→a
x x b
x =+=+(cos
,tan())(sin()2224224ππ
，tan())x 24
-π
，令b a )x (f →→•=，求函数f(x)在[0，π]上的单调区间。
解：f x a b
()=→·→
。
)4
x sin(2x cos x sin 12x cos 22x cos 2x sin 22
x tan
11
2x tan 2x tan 12x tan 1)2
x cos 222x sin 22(2x cos 22)4
2x tan()42x tan()42x sin(2x cos 222π
+=+=-+=+--++
+=π-π++π+=·
先由04
4
54
≤≤≤≤
x x ππ
π
π⇒+。 反之再由
π
π
π
π
π
π
ππ
π4
4
2
04
2
4
544
≤≤
≤≤
；
≤≤
≤≤x x x x +
⇒+
⇒。 所以f(x)在[]04
，
π
上单调递增，在[]π
π4，上单调递减。
评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归
结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(ωx+ϕ)+k 的形式，是求单调区间的通法。
四. 求值域
例4. 求函数f x k x k x x ()cos(
)cos()sin()=+++--++61326132233
2πππ
(,)x R k Z ∈∈的值域。
解：
。
)2
x 2sin(4]
6
sin )x 23cos(6cos )x 23[sin(4)
x 23sin(32)x 23cos(2)x 23
sin(32)x 23k 2cos()x 23k 2cos()x (f π
+=π
+π+π+π=+π
++π=+π
+-π-π++π+
π= 所以函数f(x)的值域是[-4，4]。
五. 画图象
例5. （2020年新课程）已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，画出函数y=f(x)在区间[]
-π
π
22
，上的图象。
解：。
)4
x 2sin(21x 2sin x 2cos 1x cos x sin 2x sin 2)x (f y 2π
-+=+-=+==
由条件-
⇒-
-π
π
πππ
2
2
542434
≤≤
≤≤
x x 。
描点连线，图象略。
六. 图象对称问题
例6. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-
π
8
对称，那么a=( ) （A ）2
（B ）-2 （C ）1 （D ）-1
解：可化为y a x =++122sin()θ。 知x =-
π
8
时，y 取得最值±12+a ，即