电路分析中回路分析法和割集分析法

假如选择图3－21(b)所示的三个回路电流i2，i3和i4，由于 i3=2A, i4=1A成为已知量，只需用观察法列出电流i2的回路方程
(3 5 1)i2 (1 3) 2A (1)1A 20V
求解方程得到电流i2
20V 8V 1V i2 3 5 1 3A
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练习题1：选择图示电路的i3，i4和i5作为三个回路电流， 只用一个回路方程求出电流i5；
i2 i4 i1 0
2,5,6为树支,1,3,4为连支
i5 i3 i1 0
i6 i3 i4 i1 0
连支电流 i1，i3 ， i4 是一组独立电流变量
i2 i4 i1 0 i2 i1 i4
i5 i3 i1 0 i5 i1 i3
i6 i3 i4 i1 0 i6 i1 i3 i4
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由于b个支路电流中，只有b-n+1个独立的电流变量， 其它的支路电流是这些独立电流的线性组合。假如将这种 线性组合关系代入到支路电流方程组中，就得到以b-n+1 个独立电流为变量的KVL方程(网孔方程或回路方程)。假 如采用平面电路的b-n+1个网孔电流作为变量，就得到网 孔电流方程；假如采用b-n+1个回路电流作为变量，就得 到回路电流方程。
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以上谈到的是用“ 笔”算方法分析电路时遇到的几 个问题，假若用计算机程序来分析电路，就不必考虑这些 问题了，只要将电路元件连接关系和参数的有关数据告诉 计算机，计算机就能够自动建立电路方程，并求解得到你 所需要的各种计算结果。当你用“ 笔”算分析电路遇到 困难时和深入研究某些比较复杂电路的特性时，建议用本 教材提供的计算机程序，可以为你节省大量时间。
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常用网孔分析法和结点分析法来分析复杂电路，这些 方法的优点是联立求解的方程数目少和可以用观察电路的 方法直接写出联立方程组。一般来说，当电路只含有独立 电压源而没有独立电流源时，用网孔分析法显然更容易； 当电路只含有独立电流源而没有独立电压源时，用结点分 析法显然更容易。必须记住，网孔分析法只适用于平面电 路；结点分析法只适用于连通电路。
§3－4 回路分析法和割集分析法
本节先介绍利用独立电流或独立电压作 变量来建立电路方程的另外两种方法--回 路分析法和割集分析法，然后对各种电路 分析方法作个总结。
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一、图论的几个名词
先介绍图论的几个名词。 1．树(tree)是图论的一个重要概念。图由结点和支路组成，树 是连通图中连通全部结点而不形成回路的子图。构成树的支路 称为树支，连接树支的支路称为连支。由b条支路和n个结点构 成的连通图有n-1条树支和b-n+1条连支。 2．割集(cut set)是图论的另一个重要概念，它是连通图中满足 以下两个条件的支路集合 1) 移去全部支路，图不再连通。 2) 恢复任何一条支路，图必须连通。
练习题：选择1，5，6为树支，2，3，4为连支，写出基本割集 和基本回路。
基本割集:{1,4,2},{5,2,4,3},{6,2,3}
基本回路:{2,1,5,6},{4,5,1},{3,5,6}
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二、回路分析法
与网孔分析法相似，也可用(b-n+1)个独立回路电 流作变量，来建立回路方程。由于回路电流的选择有 较大灵活性，当电路存在m个电流源时，假如能够让 每个电流源支路只流过一个回路电流，就可利用电流 源电流来确定该回路电流，从而可以少列写m个回路 方程。网孔分析法只适用平面电路，回路分析是更普 遍的分析方法。
i1的回路方程
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图3－21
用观察法列出电流i1的回路方程
(5 3 1)i1 (1 3)i3 (5 3)i4 20V
代入i3=2A, i4=1A，求得电流i1
i1
20V 8V 8V 5 3 1
4A
根据支路电流与回路电流的关系可以求得其它支路电流
i2 i1 i4 3A i5 i1 i3 2A i6 i1 i3 i4 1A9
u1 u2 u6 u5 0 u1 u5 u6 u2
u3 u5 u6 0
u3 u6 u5
u4 u6 u2 0
u4 u2 u6
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可以证明，n-1条树支电压是一组独立电压变量(它们不构 成回路)，由此可以导出割集分析法。b-n+1条连支电流是一组 独立电流变量(它们不构成割集)，由此可以导出回路分析法。
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例3－18用割集分析法重解图3－11电路，只列一个方程求电压 u2。
图3－22
解: 为了求得电压u2，作一个封闭面与支路2及其它电阻支 路和电流源支路相交，如图所示，这几条支路构成一个割 集，列出该割集的KCL方程
i4 i5 i2 i3 3A
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i4 i5 i2 i3 3A
代入用电压示电阻电流的VCR方程
i4
u4 2
1 2
(14V
u2
8V)
i5
u5 1
1 1
(14V
u2 )
i2
u2 2
得到以下方程
i3
u3 1
1 1
(8V
u2 )
1
1
1
1
2 (14V u2 8V) 1 (14V u2 ) 2 u2 1 (8V u2 ) 3A
求解方程得到u2=12V。
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四、电路分析方法回顾
到目前为此，我们已经介绍了2b方程法，支路电流法及支 路电压法，网孔分析法及回路分析法，结点分析法及割集分析 法。其核心是用数学方式来描述电路中电压电流约束关系的一 组电路方程，这些方程间的关系，如下所示
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由一条连支和几条树支构成的回路，称为基本回路。 基本回路:{1,2,6,5},{3,5,6} ,{4,6,2} 基本回路的KVL方程是一组线性无 关的方程组
u1 u2 u6 u5 0
2,5,6为树支,1,3,4为连支
u3 u5 u6 0 u4 u6 u2 0
树支电压u2，u5 ， u6 是是一组独立电压变量。
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从2b分析法导出的几种分析方法中，存在着一种对偶关 系，支路电流分析与支路电压分析对偶；网孔分析与结点 分析对偶；回路分析与割集分析对偶。这些方法对应的方 程也存在着对偶的关系，即支路电流方程与支路电压方程 对偶；网孔电流方程与结点电压方程对偶；回路方程与割 集方程对偶。利用这些对偶关系，可以更好地掌握电路分 析的各种方法。
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当电路由独立电流源和压控电阻元件组成时，将压控元 件的VCR方程{i=f(u)}代入KCL方程中，将支路电流转换 为支路电压，从而得到用b个支路电压表示的n-1个KCL方 程。这些方程再加上原来的b-n+1个KVL方程，就构成以b 个支路电压作为变量的支路电压法方程。
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由于b个支路电压中，只有n-1个独立的电压变量，其 它的支路电压是这些独立电压的线性组合。假如将这种线 性组合关系代入到支路电压方程组中，就得到以n-1个独 立电压为变量的KCL方程(结点方程或割集方程)。假如采 用连通电路的n-1个结点电压作为变量，就得到结点电压 方程；假如采用n-1个树支电压作为变量，就得到割集方 程。
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KCL可以用割集来陈述：在集总参数电路中，任一时刻， 与任一割集相关的全部支路电流的代数和为零。
例如，按照图示割集可以写出以下KCL方程
i4 i5 i2 i3 3A
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由一条树支和几条连支构成的割集，称为基本割集。
基本割集:{2,4,1},{5,1,3},{6,1,3,4}
基本割集的KCL方程是一组线性无 关的方程组
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郁 金 25 香
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由于分析电路有多种方法，就某个具体电路而言，采 用某个方法可能比另外一个方法好。在分析电路时，就有 选择分析方法的问题。
选择分析方法时通常考虑的因素有 (1) 联立方程数目 少; (2) 列写方程比较容易; (3) 所求解的电压电流就是方程 变量; (4) 个人喜欢并熟悉的某种方法。
例如2b方程的数目虽然最多，但是在已知部分电压电 流的情况下，并不需要写出全部方程来联立求解，只需观 察电路，列出部分KCL，KVL和VCR方程就能直接求出 某些电压电流，这是从事实际电气工作的人员喜欢采用的 一种方法。
练习题2：选择选择图示电路的i3，i4和i6作为三个回路电 流，只用一个回路方程求出电流i6。
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三、割集分析法
与结点分析法用n-1个结点电压作为变量来建立电 路方程类似，也可以用n-1个树支电压作为变量来建立 割集的KCL方程。由于选择树支电压有较大的灵活性， 当电路存在m个独立电压源时，其电压是已知量，若 能选择这些树支电压作为变量，就可以少列m个电路 方程。结点分析法只适用连通电路，而割集分析是更 普遍的分析方法。
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值得注意的是，当电路中含有独立电流源时，在列写 支路电流方程，网孔方程和回路方程时，由于独立电流源 不是流控元件，不存在流控表达式u=f(i)，这些电流源的 电压变量不能从2b方程中消去，还必须保留在方程中，成 为既有电流和又有电流源电压作为变量的一种混合变量方 程。与此相似，当电路中含有独立电压源时，在列写支路 电压方程，结点方程和割集方程时，由于独立电压源不是 压控元件，不存在压控表达式i=f(u)，这些电压源的电流 变量不能从2b方程中消去，还必须保留在方程中，成为既 有电压和又有电压源电流作为变量的一种混合变量方程。
网孔方程
支路电流方程 (b-n+1)
回路方程
2b方程
(b)
(2b)
结点方程
支路电压方程 (n-1)
割集方程
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2b方程是根据KCL，KVL和VCR直接列出的支路电 压和支路电流的约束方程，适用于任何集总参数电路，它 是最基本最原始的一组电路方程，由它可以导出其余几种 电路方程。
当电路由独立电压源和流控电阻元件组成时，将流控 元件的VCR方程{u=f(i)}代入KVL方程中，将支路电压转换 为支路电流，从而得到用b个支路电流表示的b-n+1个KVL 方程。这些方程再加上原来的n-1个KCL方程，就构成以b 个支路电流作为变量的支路电流法方程。