圆和对称性圆心角圆周角

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第24课圆的基本性质

图 248
备用图
【解析】 (1)如解图，延长 AO 交 BC 于点 H，连结 BO. ∵AB=AC，OB=OC，∴点 A，O 在线段 BC 的中垂线上， ∴AO⊥BC.又∵AB=AC，∴AO 平分∠BAC. (2)如解图，过点 D 作 DK⊥AO 于点 K. 由(1)知 AO⊥BC，又∵OB=OC， 1 1 ∴BH=CH= BC=3，∠COH= ∠BOC. 2 2 1 ∵∠BAC= ∠BOC，∴∠COH=∠BAC. 2 CH 3 3 在 Rt△COH 中，∵sin∠COH= ，CH=3，∴sin∠COH= = ，∴AO=CO=5， CO CO 5 ∴OH= CO2－CH2= 52－32=4， 3 ∴AH=AO＋OH=5＋4=9，tan∠DOK=tan∠COH= . 4 在 Rt△ACH 中，∵AH=9，CH=3， CH 3 1 ∴tan∠CAH= = = ，AC= AH2＋CH2= 92＋32=3 10. AH 9 3 1 由(1)知∠BAH=∠CAH，∴tan∠BAH=tan∠CAH= . 3 设 DK=3a， DK 1 DK 3 在 Rt△ADK 中，tan∠DAK= = ，在 Rt△DOK 中，tan∠DOK= = ， AK 3 OK 4 ∴OK=4a，OD=5a，AK=9a，∴AO=OK＋AK=13a=5， 5 25 25 90 ∴a= ，∴OD=5a= ，∴CD=OC＋OD=5＋ = . 13 13 13 13
【典例 1】 (2016· 泰安)如图 246，A，B， C 是⊙O 上的三点，且四边形 ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交⊙O 于点 F，则∠BAF 等于 ( ) A.12.5° B.15° C.20° D.22.5°
【解析】连结 OB，如解图. ∵四边形 ABCO 是平行四边形， ∴OC=AB. 又∵OA=OB=OC，∴OA=OB=AB， ∴△AOB 为等边三角形. ∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB， ∴∠BOF=∠AOF=30° ， 1 ∴∠BAF= ∠BOF=15° . 2 【答案】 B

人教版九年级数学复习：第二十四章圆的知识点总结及典型例题

圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。

3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆的性质知识点总结

圆的性质知识点总结圆是数学中一个非常重要的几何图形，它具有许多独特而有趣的性质。

下面我们就来详细总结一下圆的性质知识点。

一、圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

二、圆的相关元素1、圆心圆心是圆的中心，用字母“O”表示。

2、半径连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r”表示。

在同一个圆中，半径都相等。

3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。

直径是圆中最长的弦，且直径等于半径的 2 倍，即 d ＝ 2r 。

4、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

5、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

6、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

7、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补。

四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长 C ＝2πr 或 C ＝πd ，其中π是圆周率，约等于 314 。

圆心角,圆周角,圆内角,圆外角的定义及计算方法

圆心角,圆周角,圆内角,圆外角的定义及计算方法圆心角是指以圆心为顶点的角，其大小等于其所对弧所对应的圆周角的两倍。

圆心角是圆内角的一种特殊情况。

圆周角是指以圆上两点为端点的弧所对应的角。

圆周角的大小由所对应的弧所占的圆周长来确定。

根据圆周角的范围，可以分为两类：小于半圆的圆周角称为锐圆周角，大于半圆的圆周角称为钝圆周角。

圆内角是指以圆的弧上两点为端点的角，其顶点在圆内部。

圆内角的大小由所对应的弧所占的圆周长来确定。

圆外角是指以圆的弧上两点为端点的角，其顶点在圆的外部。

圆外角的大小等于其所对应的圆内角的补角。

计算圆心角的方法：1.如果知道圆心角所对应的弧的长度，可以利用圆心角公式求得圆心角的大小。

圆心角的度数等于所对应弧的长度除以圆周长再乘以360度。

弧所对应的圆心角度数=弧长/圆周长× 360度2.如果知道圆心角所对应的弧所占的圆周角度数，可以利用圆心角公式求得圆心角的大小。

圆心角的度数等于所对应圆周角的度数的一半。

圆心角的度数=圆周角的度数/ 2计算圆周角的方法：1.如果知道圆周角所对应的弧的长度和圆的半径，可以利用圆周角公式求得圆周角的大小。

圆周角的度数等于所对应弧的长度除以圆的半径。

圆周角的度数=弧长/圆的半径2.如果知道圆周角所对应的弧所占的圆周角度数，可以直接读取圆周角的度数。

计算圆内角的方法：1.如果知道圆内角所对应的弧的长度和圆的半径，可以利用圆内角公式求得圆内角的大小。

圆内角的度数等于所对应弧的长度除以圆的半径。

圆内角的度数=弧长/圆的半径2.如果知道圆内角所对应的圆周角度数，可以利用圆周角公式求得所对应弧的长度，再根据弧的长度求得圆内角的大小。

计算圆外角的方法：1.如果知道圆外角所对应的圆周角度数，可以利用圆周角公式求得所对应弧的长度，再根据弧的长度求得圆内角的大小。

最后利用圆内角的补角关系求得圆外角的大小。

圆外角度数= 180度-圆内角度数2.如果知道圆外角所对应的弧的长度和圆的半径，可以利用圆外角公式求得圆外角的大小。

圆心角和圆周角

O A B
.
顶点在圆上
两边都与圆相交
ห้องสมุดไป่ตู้
这样的角叫圆周角。
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P P
P
P 不是顶点不在圆上。是顶点在圆上，两边和圆相交。不是两边不和圆相交。不是有一边和圆不相交。
问题解决：
你能证明你的发现（即同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半）吗？你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？
M
如图，在⊙O中，若 ∠AMB=∠CMD，则 AB 与 CD 是否相等？
D O A B C
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（D ） O B A、50°； B、80°； C、90°； D、100° 2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（ B ） A A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
① ×
② ×
③ ×
④ √
顶点在圆心的角,叫圆心角，如 AOB , 圆心角AOB 所对所对的弦为AB；
O
B
M
的弧为 AB，过点O作弦AB的垂线, 垂则垂线段OM的长度,即圆足心到弦的距离，叫弦心距 , 图1 为 M, 中，OM为AB弦的弦心距。
OM是唯一的。
A
图1
2、下列图中弦心距做对了的是（ ④ ）
┐
①
②
┐
③
④
三、定理
这样，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的弦________ 圆心角_____ 相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的相等，所对的弧_________ 相等．圆心角______ 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．

圆的概念及性质

一、圆的相关概念1. 圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作”圆O “．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等． 2. 弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3. 圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1. 旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 2. 轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（2）推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，圆的概念及性质A注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论1： ①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3）推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．一、圆的相关概念及性质【例1】判断题：（1）直径是弦 ( )（2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( ) （7）两个劣弧之和等于半圆( )D（8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( )（10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【巩固】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（）A ．''AB A B =B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【例2】如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>【巩固】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为____________．【例3】如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．图1图2ON MHGFE DCB A二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例4】如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．80︒【巩固】如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【例5】如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【例6】如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【巩固】如图，量角器外缘边上有A P Q，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（）A．10︒B．20︒C．30︒D．40︒【例7】如图，O⊙是ABC∆的外接圆，已知60B∠=︒，则CAO∠的度数是（）A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒OA【巩固】如图，AB是O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC AD，，若35CAB∠=︒，则ADC∠的度数为．【例8】如图所示的半圆中，AD是直径，且32AD AC==，，则sin B的值是________．DCABCOA【巩固】如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【例9】如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218AB DE E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．E【巩固】如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．D【例10】如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．【巩固】如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且OC DC OF EF ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．O PFEDCB A【例11】如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为（）B.4D.5CA【巩固】如图，ABC △的三个顶点都在O ⊙上，302cm C AB ∠=︒=，，则O ⊙的半径为______cm ．【巩固】如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD 的长．【例12】如图，ABC，重合)，△是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点(点C不与A B 设OABα∠=，Cβ∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；【巩固】如图，O⊙分成度数比为12⊙相交于B、C两点，BC是P⊙与P⊙的直径，且把O∶的两条弧，A是BmC上的动点(不是B、C重合)，连结AB、AC分别交P⊙于D、E两点．（1）当ABC∆是钝角三角形时，判断PDE∆的形状．（2）当ABC∆是直角三角形时，判断PDE∆的形状．（3）当ABC∆是锐角三角形时，判断PDE∆的形状．这种情况加以证明．【例13】圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D（如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．ABCD OS 1S 2【巩固】两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CDPG FEDCBA【例14】如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．B【巩固】如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、．⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．B【例15】如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．E DCBA【巩固】在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E 分别在边BC 、AB 上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求BDE ∆的面积．图 12HOFE DCBA2. 圆内接四边形【例16】如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =，70C ∠=︒．现给出以下四个结论：①45A ∠=︒； ②AC AB =； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=．其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④BA【巩固】已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于．【例17】已知AD 是O ⊙的直经，AB AC 、是弦，若2AD AB AC ===，求由A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．图1【巩固】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD 的交点P，AB BD=，且0.6PC=，求四边形ABCD的周长．CA【例18】如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB AD，于点F E，．（1）求证：DE AF=（2）若O，1AB=，求AEED的值．【例19】圆内接四边形ABCD，AC BD⊥，AC交BD于E，EG CD⊥于G，交AB于F．求证：AF BF=．GEF A BCD【巩固】圆内接矩形CEDF，过D作圆的切线AB，分别与CE、CF的延长线相交于A、B，求证：33BF BCAE AC=．A3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例20】在同圆中，CD的度数小于180︒，且2=，那么弦AB和弦CD的大小关系为（）AB CDA．AB CD< D．无法确定= C．AB CD> B．AB CD【巩固】如图所示在O=，那么（）AB CD⊙中，2<> B.2AB CDAB CDA.2AB CD= D.AB与2CD的大小关系不能确定C.2【例21】已知AB AC∥交AC于P，求证：OP⊙于D，弦DE AB、是O⊙的弦，AD平分BAC∠交O平分APD∠．C【巩固】如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴ BEC ADF =；⑵AM BN =．A【例22】已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．dN cb aN【巩固】在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【例23】如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根． ⑴ 求证：AE BD =；⑵若ACBC ⊥，求证：AD BD +．使得BFC BAD∠=∠．若2BAD DFC∠=∠，求BEDE的值．图 4FEDCBA【例24】已知：如图，D是Rt ABC∆中直角边BC上的一点，以BD为直径的圆交斜边AB于点E，连结EC交此圆于点F，BF交AC于点G．求证：GF CA CF EA⋅=⋅．【巩固】AB是半圆的直径，C点在圆上，过点A、B分别作过C点的切线的垂线AD、BE，D、E为垂足，求证：24=⋅．DE AD DEA三、垂径定理【例25】如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对【巩固】下列判断中正确的是（）A．平分弦的直线垂直于弦B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦A ．80︒B ．50︒C ．40︒D ．20︒D【巩固】如图，ABC △内接于O ，点D 是CA 延长线上一点，若120BOC ∠=︒，则BAD ∠等于（）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒【例27】如图，AB O ⊙是的直径，弦CD AB ⊥于E ，30CDB ∠=°，O ，则弦CD的长为（） A ．3cm 2B ．3cmC ．D ．9cmC ABOE D半径为2，则结论错误的是（）A ．AD DB = B ．AE EB =C ．1OD = D．ABE【例28】如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm【巩固】如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（） A ．3B ．4C ．6D ．9【例29】如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =．B 【巩固】如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C D、两点，42AB CD==，，AB的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．【例30】在半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．【巩固】O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则O的半径长为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm【巩固】若O⊙中等于120︒的劣弧所对的弦长为，则O⊙的半径是_______．【例31】如图，已知O⊙的半径是5，点A到圆心O的距离为3，求过点A的所有弦中最短弦的长度．【巩固】如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2【例32】如图，O是等边三角形ABC的外接圆，O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）A BC．D．【巩固】如图所示，ABC∆中，10AB AC==，12BC=，求其外接圆的半径．CBA【例33】如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）A．5米 B．8米 C．7米 D．DCBA【巩固】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽16cmAB=，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【例34】如图所示，在Rt ABC∆中90C∠=︒，AC1BC=，若以C为圆心、CB的长为半径的圆交AB 于P ，则AP = ．PCBA【巩固】如图所示，在O ⊙与三角形所组成的图形中，OA OB =，求证AC BD =．DC B AO【例35】在半径为1的O ⊙中，弦AB AC 、BAC ∠的度数为________．【巩固】如图所示，已知O ⊙的直径AB 和弦CD 相交于点E ，6cm AE =，2cm EB =，30BED ∠=︒，求CD 的长．BA【例36】已知O ⊙的直径是50cm ，O ⊙的两条平行弦40cm AB =，48cm CD =，求弦AB 与CD 间的距离．【巩固】已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD 、是两条平行弦，且86AB CD ==，，求AC 的长．图(4)图(3)图(2)图(1)【例37】如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交O ⊙于点D ，点E 在O ⊙上．（1）若52AOD ∠=︒，求DEB ∠的度数；（2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．【巩固】如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC OC BC ，，．（1）求证：ACO BCD ∠=∠．（2）若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径．B【例38】如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．求证：AMN CNM ∠=∠．【巩固】如图，O ⊙中，AB 是直径，弦GE EF HF EF ⊥⊥，，GE HF 、交AB 于C D 、．求证：AC BD =．B【例39】如图，AE CD ，是O 的两条直径，弦AB CD ⊥，BC DE ，交于点F ，求证：OF AB ∥．OF EDCBA【巩固】当AB CD ，是O 的直径，弦CF AP ∥，BF PD ，相交于点E ，求证：OE PA ∥．OPFEDCBA【例40】如图，AB 是O ⊙的直径，且10AB =，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A B ，到MN 的距离分别为12h h ，，则12h h -等于（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8B【巩固】如图，O 的直径15AB cm =，有一条定长为9cm 的动弦CD 在AmB 上滑动（点C 与A ，点D与点B不重合），且CE CD⊥交AB于E，DF CD⊥交AB于F．（1）求证：AE BF=．（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【例41】如图，半径为O⊙内有互相垂直的两条弦AB CD、相交于P点．（1）求证：PA PB PC PD⋅=⋅；（2）设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF AD⊥；（3）若86AB CD==，，求OP的长．B【巩固】如图，已知：在O中，直径4AB=，点E是OA上的任意一点，过E作弦CD AB⊥，点F是BC上一点，连接AF交CE于H连接AC CF BD OD，，，．（1）求证：ACH AFC △∽△；（2）猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S =△△？并加以说明．FB【例42】（1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13．（2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是ABC △的面积的13．A【例43】如图，AM 是O ⊙的直径，过O ⊙上一点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，其延长线交O ⊙于点C ，弦CD 交AM 于点E ．⑴ 如果CD AB ⊥，求证：EN NM =；⑵ 如果弦CD 交AB 于点F ，且CD AB =，求证：2CE EF ED =⋅ ．M【例44】如图，Rt ABC ∆内接于O ⊙，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与O ⊙交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD 与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结OG ． ⑴判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；⑵求证：AE BF =；⑶若(32OG DE ⋅=，求O ⊙的面积．B1.如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则AOD ∠=___________．A2.如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（） A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3.如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒ B .60︒ C.75︒ D.90︒P4.如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（） A ．25︒B ．40︒C ．30︒D ．50︒E 5.如图，已知AB为⊙O的直径，20∠=______．∠=︒，则CBEDBC∠=︒，50E6.如图，AB是O的直径，点C，D，E都在O上，若C D E∠∠∠，求A B==+∠∠．AB 7.如图，AB是O 的直径，点C，D，E都在O上，若CD E∠∠∠，求A B==∠∠．+BA8.如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器台．9.如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．B10.已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．11.已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是．12.如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．PEC B A13.如图，O ⊙外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上一点，且1AP =，PB =求PC 的长．P DCBA14.如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．15.已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E 是BC 上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=︒． ⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长；⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A16.如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AmB 等于．A ． 60° B． 90° C． 120° D． 150°mOBA17.如图所示，AB 是O 的直径，AD DE =，AE 与BD 交于点C ，则图中与BCE ∠相等的角有（）OEDCBAA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个18.O ⊙的半径为1，AB 是O ⊙的一条弦，且3AB =，则弦AB 所对圆周角的度数为_____________．19.若O ⊙中等于120︒的劣弧所对的弦长为123，则O ⊙的半径是_______．20.如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥于D 交O ⊙于E ，则下列说法错误．．的是（）A ．AD BD =B ．ACB AOE ∠=∠C ．AE BE =D ．OD DE =OED CB A21.O ⊙的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是__________．22.如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，2cm DE =，则EF =_________．OGFE B23.如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是AC 的中点，MN AB ⊥于N ，则MN 与AC 的关系是___________．ONMCA24.已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________．25.把正ABC ∆的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点'A 上，若5BC =，则折痕在ABC ∆内的部分长为（）A ．B ．103C D ．5226.如图，O 的半径为5，BC OA OD AB ⊥⊥，，求22OD CD +的值．27.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD AB∥，且24mCD=，OE CD⊥于点E．已测得12 sin13DOE∠=．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？BA28.如图，P为O⊙外一点，过点P引两条割线PAB和PCD，点M N，分别是AB CD，的中点，连结MN交AB，CD与E F，．求证：PEF∆为等腰三角形．MD 29.如图，AD是O⊙的直径．⑴ 如图1，垂直于AD 的两条弦11B C ，22B C 把圆周4等分，则1B ∠的度数是___________，2B ∠的度数是____________；⑵ 如图2，垂直于AD 的三条弦112233B C B C B C 、、把圆周6等分，分别求123B B B ∠∠∠，，的度数；⑶ 如图3，垂直于AD 的n 条弦112233n n B C B C B C B C ，，，…，把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示n B ∠的度数(只需直接写出答案)．图3图2图1-1n -2B n 3BB C 230.已知：如图，M 是AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C，设⊙O 的半径为4cm ，MN ＝．（1）求圆心O 到弦MN 的距离；（2）求∠ACM 的度数．AMNA31.如图，在O 中，60ACB BDC ∠=∠=︒，AC =．（1）求BAC ∠的度数；（2）求O的周长．D32.如图，AB是O⊙的直径，BC是弦，OD BC⊥于E，交BC于D．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若8⊙的半径．BC=，2ED=，求OD33.圆内接四边形两条对角线互相垂直，则一边的弦心距等于它的对边的一半．A34.如图，在O的内接ABCAD=，设O的半径⊥于D，且3AB AC△中，12+=，AD BC为y，AB的长为x．（1）求y与x的函数关系式．（2）当AB的长为多少时，O的面积最大？并求出O最大面积．。

圆的对称性和圆周角知识点

圆的对称性知识点1.连接圆上任意两点的线段叫弦2.经过圆心的弦叫直经，直径是特殊的弦，也是圆内最长的弦，半径不是弦3.圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧4.弦及所对的弧组成的图形叫弓形，弦的中点和所对弧中点的连线叫弓形的高5.圆心相同，半径不等的两个圆叫同心圆6.能够完全重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆是等圆7.顶点在圆心的角叫圆心角8.从圆心到弦的距离叫弦心距9.圆是轴对称图形，直接所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴10.圆是中心对称图形，圆心为对称中心11.垂经定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧12.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧13.弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧14.平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦15.平行弦夹的弧相等16.根据垂经定理及推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，上述五个论断中的任何两个作为条件都可推出其他三个结论17.定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等18.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，或两条弦的弦心距中有一个量相等，那么它们所对的其余各种量都分别相等圆周角和圆心角知识点1.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．2.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．3.圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．4.圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．5.同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．6.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．7.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．。

圆的基本性质复习课教案

圆的基本性质复习课教案seek； pursue； go/search/hanker after； crave； court； woo； go/run after第三章圆的性质1班级__________ 姓名___________复习内容：圆、圆的对称性、圆周角、确定圆的条件.复习要求：1.进一步理解圆及有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆的位置关系；2.探索圆的性质,了解圆心角与圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征.复习重点：圆的有关性质的应用复习过程：一.梳理有关知识点：基本概念：弧、弦、圆心角、圆周角确定圆的条件：对称性：基本性质垂径定理：圆圆心角、弧、弦的关系定理：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆心角是它所对的圆周角的推论：1同弧或等弧所的圆周角290°的圆周角所对弦是 ,二.基础练习训练：1. 小红的衣服被一个铁钉划了一个呈直角三角形的一个洞,其中三角形两边长分别为1cm和2cm,若用同色圆形布将此洞全部覆盖,那么这个圆布的直径最小应等于 .2.⊙O的半径为6㎝,OA、OB、OC的长分别为5㎝、6㎝、7㎝,则点A、B、C 与⊙O的位置关系是：点A在⊙O_____,点B在⊙O_______.OACB3. 如图,△ABC 的三个顶点都在⊙O 上,∠ACB=40°,则∠AOB=____,∠OAB=_____.4. 如图,方格纸上一圆经过2,5、-2,2、2,-3、6,2四点,则该圆圆心的坐标为A ．2,-1B ．2,2C ．2,1D ．3,1 三、典型例：例1：如图,要把破残的圆片复制完整, 已知弧上的三点A 、B 、C, 1用尺规作图法,找出弧ABC 所在圆的圆心O 保留作图痕迹,不写作法； 2设△ABC 是等腰三角形,底边BC = 10cm,腰AB = 6 cm,求圆片的半径R 结果保留根号；3若在2题中的R 的值满足n 〈R 〈mm 、n 为正整数,试估算m 和n 的值.例2 、1如图,在半径为5cm 的⊙O 中,圆心O 到弦AB 的距离为3cm,则弦AB 的长是_______ ; 弦AB 所对的圆心角的度数为___________. 2如图,在⊙O 中,弦AB ＝60,弓高CD ＝9,求圆的半径.3已知点P 是半径为5的⊙Ο内一定点,且PO=4,则过点P 的OA D BCOA D BCABC所有弦中,弦长可取到的整数值共有的条数是 . 例3 、如图所示,AB 是⊙O 的弦,半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F,•且AE=BF,请你找出弧AC 与弧BD 的数量关系,并给予证明．例4：如图,在⊙O 中,直径AB=10,弦AC=6,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.求BC 和AD 的长.例5 、如图,ABC △是⊙O 的内接三角形,AC BC =,D 为⊙O 弧AB 上一点,延长DA 至点E ,使CE CD =．1求证：AE BD =；2若AC BC ⊥,求证：2AD BD CD +=．O ACＥＡＯＤＢ四、达标检：1．如图,BD 为⊙O 的直径,∠A=30°,则∠CBD 的度数为A ．30°B ．60°C ．80°D ．120°2．如图,AB 是⊙O 的直径,BC,CD,DA 是⊙O 的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD 等于 A ．100° B ．110° C ．120° D ．130°3．如图,⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G,∠EOD=40°,则∠DCF 等于 A ．80° B ．50° C ．40° D ．20°4、如图,点A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=40°,则∠OBC 的度数是________5．如图,已知圆心角∠AOB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 等于____________º.OAC BAB O COBACO BA CE D6.在半径为2的⊙O 中,弦AB 的长为22,则弦AB 所对的圆心角∠AOB 的度数是__________7．如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C,D 在⊙O 上,且AB=6,BC=3． 1求∠BAC 的度数；2如果OE ⊥AC,垂足为E,求OE 的长；3求∠ADC 的度数．课后作业：一、选择题：1、半径为6的圆中,圆心角α为60°,则角α所对弦长等于• A ．42 B ．10 C ．8 D ．62、若一个直角三角形的两边分别为6和8,则这个直角三角形外接圆直径是B.10或4或83．在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB 与CD 关系是 A ．AB =2CD B ．AB >CD C ．AB <2CD D ．不能确定 4．如图,⊙O 中,如果AB =2AC ,那么．A ．AB=2ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC 5．如图,AB 和DE 是⊙O 的直径,弦AC ∥DE,若弦BE=3,则弦CE=________．二、填空1．⊙O 的直径为10,弦AB =8,P 是弦AB 上一动点,那么OP 长的取值范围是____.第四题第五题2．如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,O 为圆心,OD ⊥AB,垂足为D,OE ⊥AC,•垂足为E,•若DE=3,则BC=________．3．如图,矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G,B,F,E,GB=8cm,AG=1cm,DE=2cm,则EF=_______cm ．4．如图,在⊙O 中,∠ACB=∠D=60°,AC=3,则△ABC 的周长为________． 5．在半径为1的⊙O 中,弦AB 、AC 分别是2、3,则∠BAC 的度数为_______________.6. 如图,已知△ABC 的一个外角∠CAM ＝120°,AD 是∠CAM 的平分线,且AD 的反向延长线与△ABC 的外接圆交于点F ,连接FB 、FC ,且FC 与AB 交于E , 1判断△FBC 的形状,并说明理由；2请探索线段AB 、AC 与AF 之间满足条件的关系式并说明理由.7.已知：⊿ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D,交AC 于E,1如图1,当∠A 为锐角时,连接BE,试判断∠BAC 与∠CBE 的关系,并证明你的结论；2如图1中的边AB 不动,边AC 绕点A 按逆时针旋转,当∠BAC 为钝角时,如图2CA 的延长线与⊙O 相交于E,请问：∠BAC 与∠CBE 的关系是否与1中你所得出的关系相同若相同加以证明；若不同,请说明理由.FBCDMA E(2)(1)C。

初三-圆的概念及性质2

O DCBA 圆周角圆心角E O DCB直角直径OC BC BAO 圆的概念及性质一、知识点 1. 圆的概念：（1）圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，一般用r 表示(备注：①圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长r ②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．)（2）圆的集合定义：圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是平面上到定点O 的距离等于定长r 的所有点组成的图形．确定一个圆的要素：①圆心和位置②半径和大小 2. 圆的对称性：①圆是中心对称图形，对称中心为圆心.②圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 3.同心圆：圆心相同，半径不同.等圆：半径相同，圆心不同（能够重合的两个圆叫做等圆.） 4.弦:连接圆上任意两点的线段（如图中的AC ）叫做弦. 经过圆心的弦（如图中的BC ）叫做直径，是______的2倍．注意：（1）弦和直径都是线段.（2）直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦（证明方法：三边关系），但弦不一定是直径.5.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

（以A 、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”, 为劣弧，为优弧；等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆6.圆心角和圆周角：(1) 顶点在圆心的角叫做圆心角． (2) 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 7.弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距分别相等。

弧、弦与圆心角关系定理的推论:在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 8.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．2AOB ACB ∠=∠ 若ACB AED ∠=∠，则AB AD =9.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，平分弦所对的两条弧。

初中数学圆心角和圆周角

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = ∠AOD,
AD C
●O
∠CBD = ∠COD,
定理：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.
1. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AE B
（1）如果AB=CD，那么__弧__A_B_=_弧__C_D_，
O
D
___A_O__B_____C_O_D___．
F C
（2）如果弧AB=弧CD，那么___A__B_=_C__D___，
O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕 B′
圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合， OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与点A′重合，点B与点B′重合．
A′ B
O
A
因此，弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．弧AB=弧A′B′，
B ∴∠ABC = ∠AOC.
A C
D
●
O
你能写出这个命题吗?
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
4.圆周角定理及其推论
圆周角定理: 圆周角的度数等于它所对弧所得的圆心角度数的一半.
即∠ABC = ∠AOC.
圆心在角的边上
A C
圆心在角内 AD C
圆心在角外 A C
●O
●O
●O D
们所对的圆心角__相__等__，所对的弧 __相__等_____．

圆心角、圆周角、弦、弧的关系

1圆的基本性质考点一、圆的相关概念（1）圆的定义圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

（2）圆的几何表示以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AC ）（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。

（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。

（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A ，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性（1）圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

（2）圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

2考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。

（2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

（3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

垂径定理-弦-弧-圆心角-圆周角-

圆的对称性，圆周角1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

3. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆周角和圆心角的关系:1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2. 圆周角定理；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；1、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（A 、CE=DEB 、BC BD = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD2、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM的长为3，则弦AB 的长是（A 、4 B 、6 C 、7 D 、83、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）． 4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．5、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，D 是AC 的中点，6BC cm =，求OD 的长.7. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？第4题CE O A D B 8. 等腰三角形ABC 中，B 、C 为定点，且AC=AB ，D 为BC 中点，以BC 为直径作圆D 。

圆的有关概念及性质

第一课时圆的有关概念及性质知识要点概括：1．圆、圆心角、圆周角的定义。

2．圆的性质：①对称性（轴对称，中心对称）②旋转不变性。

3．圆的确定：不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4．垂径定理及其推论（知“二”推“三”）5．在同圆或等圆中：等弦等弧等弦心距等圆心角。

6．圆周角定理及其推论。

7．三角形的内心与外心。

典型例题剖析：例1．如图，⊙O的弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（）A ．5B ．4C ．3D ．2例2．两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形面积为16cm 2，则半圆的半径为________.单元目标训练：一、填空题 1．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC 上一点，若∠CEA ＝28°，则∠ABD ＝_________.（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图） 2．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD=6，那么BD=_______.3．如图，⊙O 的直径CD=10，弦AB=8，AB ⊥CD ，垂足为点M ，则DM 的长为__________.4．如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°，若PE 2+PF 2=8，则AB 等于_________.5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC=30°，点P 在线段OB 上运动，设∠ACP=x ，则x 的取值范围是________. 二、选择题6．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB=28°，则∠C 的大小为（）A ．28°B ．36°O MA B（C ．60°D ．62°7．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD=22，BD=3，则AB 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（）A ．()a 12- B ．a 212- C ．a 422- D ．()a 22- 9．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ∥OC.（1）求证：AC 平分∠OAB（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交AC 于点P ，若AB=2，∠AOE=30°，求PE 的长.10．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD=24m ，OE ⊥CD 于点E. 已测得sin ∠DOE=1312 （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？第二课时与圆有关的位置关系知识要点概述：1．点与圆的位置关系：①点在圆内<=>d ＜r ②点在圆上<=>d ＝r ③点在圆外<=>d ＞r2．直线与圆的位置关系：①相交<=> d ＜r ②相切<=> d ＝r ③相离<=> d ＞r 3．切线的性质和判定：三种判定方法，五个性质 4．切线长定理5．圆与圆的位置关系：①外离<=>d ＞R ＋r ②外切<=>d ＝R ＋r③相交<=>R －r ＜d ＜R ＋r ④内切<=>d ＝R －r ⑤内含<=>d ＜R －r典型例题剖析：例1．在数轴上，点A 表示实数3，点B 表示实数a ，⊙A 的半径为2，下列说法不正确的是（） A ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外例2．两圆的圆心距为3，两圆半径分别为方程0342=+-x x 的两根，则两圆位置关系是（）A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切单元目标训练：一、选择题1．图中圆与圆之间不同的位置关系是（） A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种2．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（） A ．与x 轴相离、与y 轴相切B ．与x 轴、y 轴都相离C ．与x 轴相切、与y 轴相离D ．与x 轴、y 轴都相切3．将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了（） A ．1圈 B ．1.5圈C ．2圈D ．2.5圈4．如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB 的取值范围是（） A ．8≤AB ≤10 B ．AB ≥8C ．8＜AB ≤10D ．8＜AB ＜105．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB=2，OD=3，则BC 的长为（） A ．32 B ．23 C ．23 D ．22 二、填空题6．如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，若∠APB=60°，⊙O 的半径为3，则阴影部分的面积为____________.（第6题图）（第7题图）（第8题图）7．如图，在Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3，将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA 、BC为半径的圆形成一圆环，则该圆环的面积为__________. 8．如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使AB BP 21=，PC 切半圆O 于点C ，点D 是AC 上和点C 不重合的一点，则∠D 的度数为__________.9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接BC 、AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连接BF ，与直线CD 交于点G. 求证：BC 2=BG ·BF.10．如图，点C 是半圆O 的半径OB 上的动点，作PC ⊥AB 于C ，点D 是半圆上位于PC 左侧的点，连接BD 交线段PC 于E ，且PD=PE. 求证：（1）PD 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为34，38=PC ，设OC=x ，PD 2=y. ①求y 关于x 的函数关系式；②当3=x 时，求tan ∠DBA 的值.（第三课时圆中的计算问题知识要点概述：1．正多边形与圆的概念2．正多边形的性质3．圆中的弦长与扇形面积：180R n π= R R n S 213602==π扇形 4．圆柱和圆锥的侧面积： R S π2=圆柱（为圆柱高）R S π=圆锥（为母线长）典型例题剖析：例1．如图，已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）A ．π4cm 2B ．π6 cm 2C ．π9cm 2D ．π12 cm 2例2．如图，三角板ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点A ′落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则点B 转过的路径长为_________.单元目标训练：一、选择题1．边长为a 的正六边形的面积等于（） A ．243a B ．a 2 C ．2233a D ．233a2．挂钟分针的长为10cm ，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是（） A ．cm215π B ．π15cm C ．275πcm D ．π75cm 3．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sin θ的值为（） A ．125 B ．135 C ．1310 D ．13124．如图，水平面上有一面积为30πcm 2的扇形AOB ，半径OA=6cm ，且OA 与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（） A ．20cm B ．24cmC ．40πcmD ．30πcm5．如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 二、填空题6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ），点O 是这段弧的圆心，C 是AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB=300m ，CD=50m ，则这段弯路的半径是________m.7．将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO=________度. 8．若一个圆锥的底面积是侧面积的31，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______度.9．如图，一个圆锥的高为33cm ，侧面展开图是半圆. 求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（第7题图）（2）求∠BAC 的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留π）10．将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图①放置，图②是由他抽象出的几何图形，其中点B 在半圆O 的直径DE 的延长线上，AB 切半圆O 于点F ，且BC=OD. （1）求证：DB ∥CF.（2）当OD=2时，若以O 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，求OB.（第四课时圆的综合问题知识要点概述：图中常见辅助线：1．遇到直径时，常构造直径所对圆用角，即直角。

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圆第一节圆第1课时[基础训练]1．下列结论正确的是（)A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是弧D．过圆心的线段是直径2．两圆的圆心都是O，半径分别是r1, r2 ( r l < r2 ) , 若r l ＜OP＜r2、则点P在（)A．大圆外B．小圆内C．大圆内，小圆外D．无法确定3．若OP的半径为13，圆心P的坐标为（5, 12 ), 则平面直角坐标系的原点O与OP的位置关系是（)A．在⊙P内B．在⊙P内上C．在⊙P外D．无法确定4. 已知⊙O的半径长6cm，P为线段O A的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是（)A．等于6cm B．等于12cm C．小于6cm D ．大于12cm5.圆上各点到圆心的距离都等于, 到圆心距离等于半径的点都在.6.在Rt△ABC中，∠C=900, CD⊥AB, AB=2, BC=3，若以C为圆心，以2为半径作⊙C，则点A在⊙C ，点B在⊙C ，点D在⊙C .7.一个点到定圆上最近点的距离为4，最远点的距离为9，则此圆的半径是__________.8．如图，AB, CD为⊙O的两条直径，E, F 分别为OA, OB的中点，求证：四边形CEDF是平行四边形．[综合提高]1. ⊙0的半径为13cm，圆心O到直线l的距离d=OD=5cm．在直线l上有三点P,Q,R，且PD = 12cm , QD<12cm,RD>12cm，则点P在，点Q在，点R在.2.在以AB=5cm为直径的圆上，到直线AB的距离为2.5cm的点有（)A．无数个 B.1个 C. 2个 D. 4个3. AB为⊙0的直径，C为⊙O上一点，过C作CD⊥AB于点D，延长CD至E，使DE=CD，那么点E的位置（)A．在⊙0 内B．在⊙0上C．在⊙0外D．不能确定4. 在⊙0中，半径为6，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为(3,5)，则点P与⊙0的位置关系是( )A．点P在⊙0内B．点P在⊙0上C．点P在⊙0外D．不能确定5.如图，点A,D,G,M在半圆上，四边形ABOC, DEOF,HMNO均为矩形，BC=a, EF=b, NH=c，则下列各式中正确的是( )A.a>b>cB.a=b=cC.c>a>bD.b>c>a6.在平面直角坐标系内，以原点O为圆心、5为半径作⊙O，已知A、B、C三点的坐标分.试判断A、B、C三点与⊙O的位置关系.别为A（3，4），B（-3，-3），C（4，7.⊙0的半径为2，点P到圆心的距离OP=m, 且m使关于二的方程2x2x+m-1=0有实根，试确定点P的位置．[拓展延伸]如图，点P的坐标为（4,0), p的半径为5，且p与x轴交于点A,B，与y轴交于点C,D, 试求出点A , B,C,D 的坐标．第2课时[基础训练]1．判断正误．(1）三点确定一个圆．( )(2）已知圆心和半径可以确定一个圆．( )(3）已知圆心和圆上一点可以确定一个圆．( )(4) 已知半径和圆上一点可以确定一个圆．( )(5）已知半径和圆上两点可以确定一个圆．( )2．下列说法正确的是（)A．一个点可以确定一条直线B．两个点可以确定两条直线C．三个点可以确定一个圆D．不在同一直线上的三点确定一个圆3. l，那么它的外接圆的直径是（)A.1B.2C.3D.44. 下列命题中，正确的是（）A．三角形的外心是三角形的三条高线的交点B．等腰三角形的外心一定在它的内部C．任何一个三角形有且仅有一个外接圆D．任何一个四边形都有一个外接圆5. 下图是一个圆形轮子的一部分，请你用直尺和圆规把它补完整．[综合提高]1._______ 三角形的外心在它的内部,_______三角形的外心在它的外部；直角三角形的外心在______________.2.如果以平行四边形的对角线的交点为圆心，以它和一边中点的距离为半径画圆，若这个四边形四条边的中点都在这个圆上，那么这个四边形是（）A．矩形B．正方形C．等腰梯形D．菱形3. 下列命题正确的个数有（)① 矩形的四个顶点在同一个圆上； ② 梯形的四个顶点在同一个圆上； ③ 菱形的四边中点在同一个圆上； ④ 平行四边形的四边中点在同一个圆上．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 4.在Rt △ABC 中，AB=6 , BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（） A. 5 B.10 C.5 或 4 D. 10或85.已知等腰三角形ABC 中，AB=AC ，⊙O 是ABC ∆的外接圆，若 ⊙O 的半径是4，120BOC ∠=，求AB 的长.6.如图所示，平原上有三个村庄A 、B 、C ，现计划打一口水井p ，使水井到三个村庄的距离相等。

（1）在图中画出水井p 的位置；（2）若再建一个工厂D ，使工厂D 到水井的距离等于水井到三个村庄的距离，且工厂D 到A 、C 两个村庄的距离相等，工厂D 应建在何处？请画出其位置. .A.B .C[拓展延伸]1. 已知线段AB 和直线l ，过A 、B 两点作圆，并使圆心在l 上. (1) 当l 平行AB 时，可以作几个这样的圆？ (2) 当l 与AB 斜交时，可以作几个这样的圆？(3) 当l 与AB 垂直（不过AB 中点）时，可以作几个这样的圆？ (4) 当l 为AB 的中垂线时，可以作几个这样的圆?第二节圆的对称性第1课时 [基础训练]1．圆是轴对称图形，它的对称轴有A ．一条B 两条C ．四条D ．无数条2. 如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M, AM = 2，BM = 8,则CD 的长为（） A . 4 B , 5 C . 8 D . 163. 已知⊙O 的半径为R , 弦AB 的长也是R ，则∠AOB 的度数是 .4. 已知⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C, AB=8, OC=3，则⊙O 的半径长等于 .5. 在半径为5cm 的⊙O 中，有长5cm 的弦AB ，计算 (l)点O 到AB 的距离；(2)∠AOB 的度数．[综合提高]1. 在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于（） A.3cmC. 4cm2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦．若AB = 10cm, CD = 8cm, 那么A , B 两点到直线CD 的距离之和为 ( ) A. 12cm B. 10cm C.8cm D.6cm3．已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm ，拱高CD=4cm ，那么拱形的半径是 cm.4. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，若AP:PB=1:4, CD=8，则 AB=_______________.5.已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN//EF ，且MN =12cm, EP=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为 .6. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，且AB=10cm ，BD=．求CD 和CE 的长.[拓展延伸]1.如图，直线AD 交⊙O 于点B 、D, ⊙O 的半径为10cm, AO=16cm ，∠A=300，OC ⊥AD 于点C ，求 BC, AB, AD 的长，第2课时 [基础训练]1．填空：如图，在⊙O 中，直径CD 交弦AB （不是直径）于点E. (1)若CD ⊥AB ，则有、、； (2)若 AE = EB ，则有、、； (3)若弧AC=弧BC ，则有、、.2．若圆的一条弦长为该圆的半径等于12cm ，其弦心距等于8cm ，则弦长为_________cm.3. 如图，AB 是半圆⊙O 的直径，E 是BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，BC=8cm, DE=2cm ，则AB 的长为 cm.4. 已知：如图，在⊙O 中M, N 分别为弦AB, CD 的中点，AB=CD, AB 不平行于CD ．求证：∠AMN=∠CNM[综合提高]1.给出下列命题： (l )垂直于弦的直线平分弦；(2 )平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(3 )平分弦的直线必过圆心； (4 )弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。

其中正确的命题有（ ) A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C, D 两点，AB=10cm, CD=6cm, 则AC 的长为 A. 0. 5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm2题 3题 4题3.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB 与CD 相交于点E ，若要得到结论AB ⊥CD ，还需添加的条件是（不要添加其他辅助线） ( )A. 弧AC AD =B. 弧 BC BD =C.CE = DED.以上条件均可4. 在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度．5. 一条弦把圆的一条直径分成2cm 和6cm 两部分，若弦与直径所成的角为300，则圆心到弦的距离为 .6. 从圆上点所作的互相垂直的两弦．它们和圆心的距离分别为6cm 和10cm ，则此两弦的长分别为 .7. 如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD, CD =10cm, AP ：PB=1 : 5．求⊙O 的半径．[拓展延伸]某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2m ，拱顶高出水面2.4m ，现有一艘宽3m ，船舱顶部为长方形并高出水面2m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？第三节圆心角第1课时 [基础训练]1. 如图，AC 和BD 是⊙O 的两条直径． ( l )图中哪些量相等？（指劣弧和弦）(2 )当点A 在圆周上运动时是否存在一点，使 AB = BC=CD=DA . 2.一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数为_______. 3.在半径为9cm 的圆中，60度的圆心角所对的弦长为_________. 4.在半径为1的弦所对的圆心角是_________. [综合应用]1．若⊙O 的弦AB 的长为8cm, O 到AB 的距离为，则弦AB 所对的圆心角为 .2. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，M, N 分别是AO, BO 的中点，CM ⊥AB , DN ⊥AB ．求证：弧AC=弧BD .3．如图，在Rt △AOB 中，∠B=400，以OA 为半径，O 为圆心作⊙O ，交AB 于点C ，交OB 于点D ．求弧CD 的度数．[拓展延伸]如图所示，AB 为⊙O 的直径，弦CD 和AB 的延长线交与P ，且DP=OB ，若29P ∠=，求弧AC 的度数.DO BAC[基础训练]1．下列命题中，真命题是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．相等的弦所对的弧相等C．度数相等的弧是等弧D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等2．点O是两个同心圆的圆心，大圆的半径QA, OB分别交小圆于点C, D．给出下列结论：①弧AB=弧CD、②AB=CD；③弧AB的度数=弧CD的度数；④弧AB的长度=弧CD的长度．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C.3 个D.4 个3．如图，弧AD=弧BC，若AB=3，则CD= .4. 如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，则AB= ,∠B= ,∠C= .3题4题6题5．在半径为5cm的圆中，有一条长为6cm的弦，则圆心到此弦的距离为____.6.如图，AB, CD是⊙O的两条弦，且AB=CD , 点M是弧AC的中点，求证：MB=MD.[综合提高]1．如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD 的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A, B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．等分弧DB D．随C点的移动而移动2．如图，AB, CD是⊙O的两条弦，且AB=CD , 点M是弧AC的中点，求证：MB=MD.1题2题3题3．如图,AB, CD是⊙O的两条直径，过点A作AE//CD交⊙O于点E，连结BD , DE.求证：BD=DE.1. 如图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN, D为OA的中点，过点D作BC//MN，求证：( 1 ) 四边形ABOC为菱形；(2)∠MNB=18∠BAC.第四节圆周角第1课时[基础训练]1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=1600, 则∠BAD的度数是，∠BCD的度数是.2. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在弧AB上，则∠DPC = .3. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C为弧AB的一个三等分点，则BC : AC : AB .4. BD是⊙O的直径，OA,OC是⊙O的半径，且OA，OC在BD两侧．如果∠AOD:∠COD=4:1，那么∠ABD:∠CBD= .5. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, E是AD上一点，若∠BCD=350，求∠AED的度数．[综合提高]1．已知，A, B, C是⊙O上的三点，∠AOC=1000, 则∠ABC = .2. 下面每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（）3. 已知AB是⊙O的直径，AC, AD是弦，且，AD=1，则圆周角∠CAD的度数是( )A. 450或600B. 600 C . 1050 D. 150或10504. 如图，A, B, C为⊙O上三点，∠ABO=650，则∠BCA 等于（）A.250B.32.50C300 D. 4505. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=1400，则∠DCE= .6.如图，AB是⊙O的直径，C, D, E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2 = .7. 如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD//BC交AC于点D, AC=6cm，则DC= cm .8．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC, D是弧BC上一点，P是弧AC上一点，若∠BDC=1500,则∠APC .8题9题9. 如图，OC经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B, 点A的坐标为（0, 4 ) , M是圆上一点，∠BMO=1200．求：⊙C的半径和圆心C的坐标.[拓展延伸]1．如图，在⊙O中AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.(1)P是弧CAD上一点（不与C, D重合）．求证：∠CPD=∠COB；(2)点P在劣弧CD上（不与C , D重合）时，∠CP/D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论．第2课时[基础训练]1. 下列命题中，真命题的个数为（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个2. 如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=200, D是弧AC上任意一点，则∠D的度数是（）A . 1200 B. 1100 C .1000 D. 9003. 如图所示的暗礁区，两灯塔A, B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A, B的视角∠ASB 必须( )A．大于600B．小于600C．大于300D．小于3004. 如图，AC是⊙O的直径，点B, D在⊙O上，那么图中等于12∠BOC的角有（）A. l 个B. 2 个C.3 个D. 4 个5．如图，A, B, C, D是⊙O上的点，已知∠1=∠2，则与弧AD相等的弧是，与弧BCD相等的弧是，于是AD= , BD= .6. 如图，在⊙O中，弦AB //CD，求证：AC=BD.7. 如图，A, B, C, D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD．求弦AC的长．[综合提高]1．如图， AB, AC, AD 是⊙O 的三条弦，E 是弧AB 上一点，AD 是∠BAC 的平分线，且∠BAC=600，则∠BED . 2．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=600，∠ADC=500 ，则∠AEC= ．3. 已知3cm 长的一条弦所对的圆周角是1350 , 那么圆的直径是 .4. 如图，A, B, C 为⊙O 上三点，∠BAC=1200，∠ABC=450 , M, N 分别为BC, AC 的中点，则OM:ON 的值为5. 如图，BC 是⊙O 的直径，弦 AE ⊥BC ，垂足为点D, 弧AB 为弧BF 的一半,AE 与BF 相交于点G.求证：(1)BE EF ；(2)BG=GE6. 如图， AB 是⊙O 的直径，C, D 是AB 上的点，且AC=BD; P ，Q 是⊙O 上在AB 同侧的两点，且弧AP=弧BQ,延长PC, QD 分别交⊙O 于点M, N ．求证：弧AM=弧BN[拓展延伸]1．如图，⊙C 经过坐标原点O ，并与两坐标轴交与A ，D 两点，已知∠OBA=30，点D 的坐标为（0，2），求点A 的坐标及圆心C 的坐标.习题课[范例1]在90Rt ABC ACB CD AB ∆∠=⊥中，，，若AC=4，BC=3，以点C 为圆心，r 为半径画圆，使得A 、B 、D 三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则r 的取值范围是________________.反馈等腰三角形ABC 中，AB=AC=10，BC=12，AD BC ⊥于点D ，以点D 为圆心，r 为半径画圆，使得A 、B 、C 、D 四个点中至少有一个点在圆内，一个点在圆外，则r 的取值范围是________________. [范例2]如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为6，求圆心O 到AB 的距离OC 的长.反馈如图AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，垂足是P ，CP=2，PB=1，求AP 、OP 的长.[巩固练习]1．下列结论中正确的是（）A ．弦是直径B ．弧是半圆C ．半圆是弧D ．过圆心的线段是直径 2．在半径为5cm 的圆内有长为） A ．60120或 B.30120或 C. 60 D.1203.如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（） A ．25 B ．29 C ．30 D ．324．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的整数值有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个5．如图，四边形ABCD 内接与⊙O ，AC 是∠BAD 的平分线，OM ⊥BC 于M ，ON ⊥CD 于N ，下列选项中正确的是（）A ．OM>ON B.ON=OM C.OM<ON D.不能确定（第3题）（第4题）（第5题）6．已知：如图，45,65,BPC ABC ∠=∠=∠则ACB 等于（）A ．40B ．50C ． 60D ．707．如图，四边形ABCD 内接与⊙O ，∠BOC=100，则∠BDC 的度数是（） A ．100 B ．50 C ． 80 D ．1306题 7题 12题 13题8．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离是5，最小距离是1，则此圆的半径为_____________. 9.圆的半径等于4，圆内一条弦长为，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离是____________. 10．10cm 长的一条弦所对的圆周角是90，则此圆的直径为_________.11．在半径为2的圆中，长度等于的弦所对的圆心角是________,圆周角是_____________.12.如图，在三角形ABC 中，∠ACB=90，AC=2cm,BC=4cm,CM 是中线，以C为半径画圆，则A 、B 、M 三点在援外的是点________,在圆上的是点_____________.13．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，BD 平分∠ABC.已知BC=6，AC=8，求CD 的长。