天津市六校联考2020届高三下学期期初检测数学试题含答案

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2020届天津市部分区高三下学期质量调查(一)数学(文)试题(解析版)

2020届天津市部分区高三下学期质量调查（一）数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,2,3A =，{}13B x R x=∈-<<，则A B =I （） A ．{}1,2 B ．{}1,3C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】A【解析】直接利用交集的定义求解即可. 【详解】Q 集合{}1,2,3A =，{}13B x R x =∈-<<，∴集合A 与集合B 公共元素组成的集合{}1,2A B ⋂=，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩，将2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 3．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值为（）A ．3B ．2C ．23D ．12-【答案】A【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的a 的值. 【详解】输入3,1a i ==，第一次循环2,23a i ==；第二次循环1,32a i =-=；第三次循环3,4,43a i ==>，退出循环输出3a =，故选A. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4．设，则“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立. 【详解】在上递减，若充分性成立，若，则，必要性成立，即“”是“”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()()0.322,2,log 5a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c b a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】00.310.3222,122<<∴<<Q ， 22log 5log 42>=Q ， 0.3222log 5∴<<，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上递减，()()()0.3222log 5f f f ∴>>，即a b c >>，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看两个区间()()1,2,2,+∞ ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程为（） A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -=D ．22143x y -= 【答案】C【解析】根据双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，结合222+=a b c ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果. 【详解】()3,4Q 在22221x y a b-=的渐近线上，43b a ∴=，① 又Q 12PF PF ⊥，44133c c∴⋅=--+，② 又222+=a b c ，③由①②③得，229,16a b ==，∴双曲线方程为221916x y -=，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论. 7．函数()()()sin 2f x x ϕϕπ=+<的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭（如图所示），若将()f x 的图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴的方程为（）A ．512x π=B ．23x π=C ．4x π=D ．12x π=【答案】D8．已知函数()216,42,4x x x x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩若存在实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，其中c b a >>，则()()a b f c +的取值范围是（）A ．24,36（）B ．48,54（）C ．24,27（）D ．()48,+∞【答案】B【解析】由二次函数的性质可得()()()6a b f c f c +=，数形结合求出c 的取值范围，可得()f c 的取值范围，从而可得结果.【详解】画出()216,42,4x x x x x x -⎧-+<=⎨≥⎩ 图象，如图， a b c <<Q ，∴由二次函数的性质可得6a b +=，由图可知，24log 91c <<+，()()()24log 91f f c f ∴<<+， ()()()2log 911248,log 9129f f +-=+==，()89f c ∴<<， ()48654f c <<，即()()a b f c +的取值范围是()48,54，故选B.二、填空题9．i 是虚数单位，复数132ii-=+_____________. 【答案】1755z i =-- 【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数132i i-+即可. 【详解】()()()()13i 2i 13i 2i 2i 2i ---=++- 17i 17i 555--==--，故答案为17i 55z =--. 10．已知函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()'11f =，则a =____________.【答案】e11．圆柱的体积为34π，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为____________. 【答案】43π 【解析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高，由勾股定理求出球的半径，根据球的体积公式可得结果. 【详解】设圆柱的高为h ，Q 圆柱体积为34π，底面半径为32，2334h ππ∴⨯⨯=⎝⎭，1h =，设球半径为R ，则()222231R =+，244R =，可得1R =，∴球的体积为34433R ππ=，故答案为43π.12．已知圆心在直线10x y --=上的圆与y 轴的两个交点坐标分别为()()0,4,0,2-，则该圆的方程为_____________. 【答案】()()222113x y -+-=13．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________. 【答案】222+14．在ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD u u u v u u u v=，OA OB ⊥，若10AB =，则AC BC ⋅=u u u v u u u v___________.【答案】200【解析】由已知，求得15,2102OD AB OC OD ====，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，则()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】ABC ∆Q 中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD u u u v u u u v=，OA OB ⊥， 10AB =，15,2102OD AB OC OD ∴====，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ， ()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()2OC OC OA OB OA OB =-⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22OC OC OD =-⋅u u u r u u u r u u u r22100100200OC OC =+=+=u u u r u u u r ，故答案为200.三、解答题15．在ABC ∆中，b =cos A =，2B A π=+．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求cos 2C 的值．【答案】（Ⅰ）3a =（Ⅱ）79【详解】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos A =，(0,)A π∈得sin A ==．因为2B A π=+，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin()2a A A π+=，即cos 3a A =，所以3a =．（Ⅱ）因为cos 3A =，2B A π=+，所以sin sin()cos 23B A A π=+==，cos 3B ==-．所以1sin sin()sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B A B π=--=+=⋅+⋅=．故27cos212sin 9C C =-=．【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.16．“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动.”他随机的选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为()1,2,3i A i =L ，属于“懈怠型”的人依次记为()1,2,3i B i =L ，现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查. （i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M 发生的概率.【答案】（1）56；（2）（i ）{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B ；（ⅱ）35【详解】解：（1）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. （2）（i ）5人中“积极型”有125230⨯=人，这两人分别记为1A ，2A .5人中“懈怠型”有185330⨯=人，这三人分别记为1B ，2B ，3B . 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ， {}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B .（ii ）事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：{}11,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B所以根据古典概型公式，得其概率为()63105P M ==. 所以事件M 发生的概率35. 【点睛】本题考查利用频率估计概率，分层抽样中各层数量的计算，求古典概型概率，属于简单题.17．如图，四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，AD BC ∥，90ADC PAD ∠=∠=︒，，112BC CD AD ===，2PA =，M 为PD 的中点.（1）求证：PA AB ⊥；（2）求证：CM ∥平面PAB ；（3）求直线CM 与平面PAD 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6π【解析】（1）根据PA AD ⊥，PA CD ⊥，得到PA ⊥平面ABCD ，从而得到PA AB ⊥；（2）【详解】（1）证明：90PAD ∠=︒Q ，PA AD ∴⊥又PA CD ⊥Q ，CD AD D =I ，,CD AD ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD又AB ⊂Q 平面ABCDPA AB ∴⊥.（2）证明：取PA 中点N ，连接,MN BN .M Q ，N 分别是PA ，PD 的中点， MN AD ∴P 且12MN AD =，又BC AD Q ∥且12BC AD =，MN BC ∴P 且=MN BC ，∴四边形MNBC 是平行四边形，CM BN ∴P ，又CM ⊄Q 平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，CM ∴P 平面PAB .（3）解：CD PA ⊥Q ，CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，CD \^平面PADCMD ∴∠为直线CM 与平面PAD 所成的角在Rt PAD ∆中，PA =Q 2AD =，PD ∴=MD ∴=所以在Rt CMD ∆中，tan CD CMD MD ∠==. 6CMD π∴∠=.所以，直线CM 与平面PAD 所成的角为6π.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，线面平行的判定，求直线与平面所成的夹角，属于简单题.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且11a =，3412a a +=，12b a =，25b a =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设()()*1nn n n c a b n N=-∈，求数列{}nc 的前n 项和nS.【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）()1341388n n n S +-=-⋅-. 【解析】（1）由11a =，3412a a +=求出{}n a 的公差，可得{}n a 的通项公式，由1225,b a b a ==求出等比数列的首项与公比，从而可得{}n b 的通项公式；（2）利用（1）得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果. 【详解】（1）Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，1341,12a a a =+=，12512a d ∴+=，2d ∴=，21n a n ∴=-.设等比数列{}n b 的公比为q ，1225,b a b a ==，1223,9b a b ∴===，3q ∴=，∴3n n b =.（2）由题意，得()()()11213nnn n n n c a b n =-⋅⋅=-⋅-⋅()()213nn =-⋅- ,()()()()()23133353213nn S n ∴=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅-L , ()()()()()()23131333233213nn n S n n +∴-=⋅-+⋅-++-⋅-+-⋅-L ,上述两式相减，得()()()()()23143232323213n n n S n +=-+⋅-+⋅-++⋅---⋅-L()()()()2112313321313n n n -+⎡⎤⋅---⎣⎦=-+--⋅-+()1341322n n +-=-⋅-. ()1341388n n n S +-∴=-⋅-.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为22.（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于,A B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM ∆面积为23，求k 的值. 【答案】（1）22142x y +=；（2）2±【解析】（1）根据椭圆的离心率为22，短轴长为22222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得直线EM 的斜率，可得直线EM 方程，与直线AH 的方程联立求得点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式可得24132213APMkS AP d k ∆=⋅==+，从而可得结果. 【详解】（1）由题意，知2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩.解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）易知，椭圆的左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()()0,2,0,2E k H k -.由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得()2222218840k x k x k +++-=.设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，()()422644218416k k k ∴∆=-+-=. 2122821k x x k +=-+，21228421k x x k -⋅=+.()2012214221k x x x k ∴=+=-+，()2002242222121k k y k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭， 0012OP y k x k ∴==-，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =-=. ∴直线EM 方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+.∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离为d ==12AB x ∴=-==12AP AB ==. 224113222121APMkS AP d k k ∆∴=⋅=⨯=++. AOMS ∆=Q，243213k k ∴=+，解得2k =±. 20．已知函数()322f x x ax b x =+-，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线30y -=平行，求a 与b 满足的关系；（2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0,1a b ==时，对任意的()0,x ∈+∞，总有()()xf x x e k <+成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）2320a b +-=；（2）①当0a =时，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；（3）[)2,-+∞.【解析】（1）求出()'f x ，由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得()'10f =，从而可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）当0,1a b ==时，()3f x x x =-，()()x f x x e k <+对任意的()0,x ∈+∞恒成立等价于21x k x e >--在()0,x ∈+∞恒成立. 设()()21,0x g x x e x =-->，两次求导，可得()()02g x g <=-，从而可得结果.【详解】（1）由题意，得()22'32f x x ax b =+-.由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得()'10f =. 即2320a b +-=.（2）当0b =时，()2'32f x x ax =+，由()'0f x =知240a ∆=≥.①当0a =时，0∆=，()'0f x ≥在R 恒成立，∴函数()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，由()'0f x >，解得0x >或23x a <-；由()'0f x <，解得203a x -<<. 函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，()'0f x >，解得23x a >-或0x <；由()'0f x <，解得203x a <<-. 函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.（3）当0,1a b ==时，()3f x x x =-，由()()xf x x e k <+，得()3xx x x e k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立.0x Q >，21x x e k ∴-<+，21x k x e ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.设()()21,0xg x x e x =-->，则()'2xg x x e =-，令()2xh x x e =-，则()'2xh x e =-，由()'0h x =，解得ln2x =. 由()'0h x >，解得0ln2x <<；由()'0h x <，解得ln2x >.∴导函数()'g x 在区间()0,ln2单增；在区间()ln2,∞+单减，()()''ln22ln220g x g ∴≤=-<，∴()g x 在()0,∞+上单调递减， ()()02g x g ∴<=-，2k ∴≥-.故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞.。

天津市和平区2020届高三下学期第一次质量调查数学试卷及答案解析

天津市和平区2020届高三下学期第一次质量调查数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设全集}33,I x x x Z =-<<∈，{}1,2A =，{}2,0,2B =-，则()I A C B =( )A.{}1B.{}1,1,2-C.{}2D.{}0,1,22.“3k παπ=+（k Z ∈）”是“tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =（）A.4B.5C.2D.34.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()22:20C y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，若双曲线C 的离心率为2，AOB ，O 为坐标原点，则抛物线2C 的焦点坐标为（）.A.)B.()1,0C.,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为( )A.13B.12C.23D.346.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（） A.函数()f x 的最小正周期是2π B.函数()f x 在区间5[,]88ππ上是减函数C.函数()f x 的图象关于16x π=对称D.函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 7.函数f(x)是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1,x 2,(x 1<x 2)，都有f(x 1)x1>f(x 2)x 2，记a =25f(0.22)，b =f(1)，c =−log 53f(log 135)，则a,b,c 大小关系为（） A. c>b >a B. b >c >a C. a >b >c D. a >c >b8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（） A.378B.306C.268D.1989.已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且60,POQ AB ∠=是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+（R λ∈），则CA CB ⋅的最小值为（） A.-1B.-2C.-3D.-4第II 卷（非选择题）二、新添加的题型10.若0x >,0y >,且224log 3log 9log 81x y+=,则此时2x y +=__,233x y x y++的最小值为__．11.已知函数()[]()()11,2,022,0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()3log 2563f =_______；若方程()f x x a =+在区间[]2,4-有三个不等实根，则实数1a的取值范围为______.三、填空题12.已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则2020||1a ii+=+__．13.若8(x +的展开式中4x 的系数为448-，则实数a =__．14.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为__．15.函数()ln f x x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________.四、解答题、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，(cos cos )0C a B b A c ++=．（1）求角C 的大小；（2）若a =2b =．求：（ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．17.如图所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（Ⅰ）求证：//AF 平面CDE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，左、右焦点分别为12,F F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 与,M N 两个不同的点，记2QF M △的面积为1S ，2OF N △的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值.19.数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和*()n S n N ∈，{}n b 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ；（Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为*():n T n N ∈ （ⅰ）求n T ；（ⅱ）若11312()n n n n n n T b b c b b +++++-=，记1n n n n R C ==∑，求n R 的取值范围．20.已知函数()xax b f x e x+＝，a ，b R ∈，且0a >. （1）若函数()f x 在1x =-处取得极值1e，求函数()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()f x 的单调区间；（3）设()()()1xg x a x e f x -=-，()g x '为()g x 的导函数.若存在()01,x ∈∞＋，使()()000g x g x '+=成立，求ba的取值范围.参考答案1.B【解析】1.先利用补集运算求出I C B ，即可根据并集运算求出()I AC B ．因为{}{}33,2,1,0,1,2I x x x Z =-<<∈=--，所以{}1,1I C B =-，故()I AC B ={}1,1,2-．故选：B ． 2.C【解析】2.分别从充分性和必要性入手进行分析，最后作出判断即可. 充分性：当3k παπ=+（k Z ∈）时，66k ππαπ-=+（k Z ∈），所以tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，充分性成立；必要性：由tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得66k ππαπ-=+（k Z ∈），即3k παπ=+（k Z ∈），必要性成立；所以“3k παπ=+（k Z ∈）”是“tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的充分必要条件.故选：C . 3.C【解析】3.根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得()0g x 的值. 函数()ln 4f x x x =+-在(0,)+∞递增，且(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->，所以函数()f x 存在唯一的零点0(2,3)x ∈，故()02g x =，故选：C.4.B【解析】4.求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB ∆p 的值，可得所求焦点坐标．双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线方程是b y x a =±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-，故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±，又由双曲线的离心率为2，所以2c a =2=，则b a = A ，B两点的纵坐标分别是=y ，又AOB ∆=，得2p =，所以抛物线2C 的焦点坐标为(1,0)，故选： B 5.B【解析】5.由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x ＝1，解得x ＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝29212C C ＝611，P(ξ＝1)＝1139212C C C ⋅＝922，P(ξ＝2)＝23212C C ＝122，∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.选B.6.B【解析】6.先将()2221fx sin x sin x =-+化简为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再逐个选项判断即可．2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为16f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则()fx 的图象不关于直线16x π=对称，结论错误；D 选项，设()g x x ，则()2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误．故选：B 7.C【解析】7. 构造函数g(x)=f(x)x，则函数g(x)单调递减，且a= g (0.22)，b = g (1)，c =g (log 35)，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可.构造函数g(x)=f(x)x，则函数g(x)单调递减，a =25f(0.22) =f(0.22)0.2=g (0.22)，b =f(1) =f (1)1=g (1)，c =−log 53f(log 135) =f (log 35)log 35=g (log 35)，∵0.22<1<log 35，∴a >b >c .故选：C . 8.D【解析】8.分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可. 解：分两种情况讨论.①若选两个国内媒体一个国外媒体,有21263290C C A 种不同提问方式；②若选两个外国媒体一个国内媒体,有123633108C C A 种不同提问方式. 所以共有90108198种提问方式. 故选：D 9.C【解析】9.根据向量的运算法和向量的数量积的运算，得到224[(1)]4CA CB CO OP OQ λλ⋅=-=-+-2134[3()]24λ=--,结合二次函数的性质，即可求解.因为2()()()CA CB CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅, 由于圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，所以0OA OB +=，22(1)4OA OB ⋅=⨯⨯-=-，又60POQ ∠=，所以224[(1)]4CA CB CO OP OQ λλ⋅=-=-+-()()2222121?4OP OP OQ OQ λλλλ=-+-+-222134(331)44(33)4[3()]24λλλλλ=-+-=-=--,所以当12λ=时，2133[3()]244λ--=-，所以CA CB ⋅的最小值为34()34⨯-=-. 故选：C. 10.223+【解析】10.(1)由对数运算和换底公式,求得x y 、的关系为22x y +=即可. (2)根据22x y +=化简232233x y y x x y x y++=++,再利用基本不等式求最小值即可. (1)因为0x >,0y >,224log 3log 9log 81x y+=,所以()224222222log 33log3log 3log 3x yx y +⇒=⨯=,所以22x y +=.(2)因为22x y +=,故2323222333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+2=+ 当且仅当23y x x y =,22x y +=,即62x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩时取等号.所以最小值为2+故答案为：2；2+ 11.81 {}11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】11.（1）利用分段函数解析式求出()3f ，再根据对数、指数的运算法则计算可得. （2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数1a的取值范围. 解：由[]()11,2,0()2(2),0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()()()()()()3232212212414104f f f f f =-==⨯-=-=⨯-=，所以()34log 256log 256433381f ===.作出函数()f x 在区间[]2,4-上的图象，如图所示，设y x a =+，由图象可知要使方程()f x x a =+在区间[]2,4-有3个不等实根，则直线y x a =+应位于1l 与2l 之间或直线3l 的位置，所以实数a 的取值范围为20a -<<或1a =. 所以，112a <-或11a=，故答案为：81；{}11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】12.利用纯虚数的定义、复数的运算法及复数模的公式即可得到答案. 解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-，所以20201|||1|1i i i +=-=+. 13.﹣2【解析】13.写出展开式通项公式，令x 的指数为4，求得4x 的项数，得其系数，由系数为－448可得a ．由题意展开式通项公式为4883188r rrr r rr T C xa C x --+==，令4843r -=，3r =，∴4x 系数为338448a C =-，解得2a =-．故答案为：2-．14.【解析】14.过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆，在此平面图形中求得半球的半径后可得体积，过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆O ，矩形11AAC C 是正方体对角面，O 是11A C 中点，设正方体棱长为a ，则38a =，2a =，由图知球半径为OC ==，半球体积为332233V OC ππ=⋅=⨯=．故答案为：．15.6-或2.【解析】15.由题可知切线的斜率()11k f '==，又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-.圆心到切线的距离d =，则22213+=，求出实数a 的值.因为()ln f x x x a =+，所以()1ln f x x '=+代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率()11k f '==.又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，所以函数()ln f x x x a =+的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-.又因为圆22:2440C x y x y +-+-=，圆心坐标为()1,2-，半径为3，所以圆心到切线的距离d =. 因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则22213+=，解得实数a 的值是6-或2. 故答案为：6-或2.16.（1）34C π=；（2）（ⅰ）c =ii ）sin(2)B C -=【解析】16.（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得角C 的大小. （2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边c ；（ⅱ）由两角差的正弦公式求得sin(2)B C -的值.解：（1(sin cos sin cos )sin 0C A B B A C ++=∴sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-，0C π<<， ∴34C π=（2）（ⅰ）因为2a b =，34C π=，由余弦定理得2222cos 2422(10c a b ab C =+-=+-⨯=，∴c =（ⅱ）由sin sin sin 5c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以cos 5B =4sin 22555B =⨯=，223cos 2cos sin 5B B B =-=，43sin(2)sin 2cos cos2sin (55B C B C B C -=-=⨯-=17.（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4π【解析】17.证明DC ⊥平面BCEF ，以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，（Ⅰ）CB 为平面CDE 的一个法向量，证明AF 平面CDE ，只需证明·0AF CB =;（Ⅱ）求出平面ADE 的一个法向量、平面BCEF 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求出平面ADE 一个法向量为()()10,1,1,2,2,0n EF ==-，利用向量的夹角公式，即可求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值.（Ⅰ）证明：四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，BC CE ∴⊥，BC CD ⊥，又平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD平面BCEF BC =，DC CE ∴⊥DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意,得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(20,0)B ，，(00,0)C ，，(00,4)D ，，(04,0)E ，，(22,0)F ，则(0,2,4)AF =-，(20,0)CB =，． BC CD ⊥，BC CE ⊥， ∴CB 为平面CDE 的一个法向量．又·0AF CB =．AF ⊂/平面CDE ． //AF ∴平面CDE ．（Ⅱ）设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则(20,0)AD =-，，(044)DE =-，，， ·20·440AD n x DE n y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩得(01,1)n =， DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则cos =4n CD n CDα⋅==⨯⋅因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为4π．（Ⅲ）根据（Ⅱ）知平面ADE 一个法向量为得(01,1)n=， (2,2,0)EF =-，设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则1111sin cos ,2222EF n EF nEF n θ=〈〉===cos θ∴==因此，直线EF 与平面ADE 18.（1）22142x y +=；（2.【解析】18.（1）由离心率可得222a b =，再根据条件求出b =a ，写出椭圆方程；（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，直线OQ x my =：，则直线MN x my=+：，联立椭圆方程，根据弦长公式求出()22412m MN m +=+，再求出点O 到直线MN 的距离d =，即可表达出OMN 的面积，进而求出最大值.（1）由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===，即222a b =，又以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆为222x y b +=，且与直线20x y -+=相切，所以b ==2224a b ==，故椭圆C 的标准方程为22142x y+=.（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，直线OQ x my =：，则直线MN x my =：由22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22220m y ++-=，1222y y m +=-+，12222y y m=-+. ∴22MN y y =-∣==()22412m m +=+ ，因为MN OQ ∥，所以2QF M △的面积等于2OF M △的面积，12OMNS S S S =+=，因为点O到直线MN x my =+：d =，所以()224111222m S MN d m +=⋅=⨯=+∣∣t =，则()2211m t t =-≥，211S t t t==++，因为12t t +≥=，当且仅当1t t =，即1t =时，也即0m =时取等号，所以当0m =时，S. 19.（Ⅰ）12n n a =；1n b n =-；（Ⅱ）（i ）112n nT n =-+；（ii ）3[8，1)2．【解析】19.（Ⅰ）由等比数列的定义求得公比q ，得通项公式n a ，再由等差数列的定义求得1b 和d ，得n b ；（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列前n 项和公式求得n S ，由分组求和法求得n T ，（ⅱ）求得n c 后，用裂项相消法求得n R ，结合函数性质可得取值范围．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为112a =，32114a a =+，可得121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得21120q q --=，解得1q =-（舍)或 12q =，所以数列{}n a 通项公式为12n n a =．设数列{}n b 的公差为d ，因为3461a b b =+，45712a b b =+，即1128831616b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得10b =，1d =，所以数列{}n b 的通项公式为1n b n =-；（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前n 项和公式可得11(1)12211212n n nS -==--，所以211111(111)()(1)122222n n n n T n n =++⋯+-++⋯+=--=-+；（ⅱ）由（ⅰ）可得111311121()(2)()(2)112(1)(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n T b b n c b b n n n n n n +++++++++-+-+====-+++，所以{}n c 的前n 项和122231*********()()()122222322(1)22(1)2n n n n n R c c c n n n ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-++．又n R 在*n N ∈上是递增的，∴13182n R R =<．所以n R 的取值范围为3[8，1)2．20.（1）()()210x x f x e x x +=≠；（2）调递增区间是(),1-∞-，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间是()1,0-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）()1,-+∞.【解析】20.（1）先求导函数，再由函数()f x 在1x =-处取得极值1e ，得1(1)(1)0f e f ⎧-=⎪⎨⎪'-=⎩，代入求解参数a ，b ，（2）由（1）可得()f x ，再求出函数的导函数，利用令()0f x '和()0f x '<求解函数的单调区间；（3）将()f x 代入()g x 化简，再求()g x '，然后得00()()g x g x +'，令其为0，得2(23)21b x x a x -=-，令2(23)()21x x h x x -=-，则问题转化为求()h x 在区间(1,)-+∞上的值域，利用导数求解．解：（1）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞.()22xax bx b f x e x +-'=，由题知()()1011f f e ⎧-=⎪⎨-'=⎪⎩即()()112011a b e a b e e --⎧-=⎪⎨-+⋅=⎪-⎩解得2a =，1b =，所以函数()()210xx f x e x x+=≠. （2）()()()2212121x xx x x x f x e e x x +-+-'=⋅=⋅ 令()0f x '>得1x <-或12x >，令()0f x '<得10x -<<或102x <<. 所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞-，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减区间是()1,0-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）()2x b g x ax a e x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()0a >()2x b b g x ax a e x x ⎛⎫'∴=+-- ⎪⎝⎭22221()()23(23)x x xxxxe e x g x g x axe ae b e ax a b x x --∴+'=--=--，由条件存在0(1,)x ∈+∞，使00()()0g x g x +'=成立，得22230x xxxxe e axe ae bx ---=，对(1,)x ∈+∞成立，又0x e >221230x ax a bx-∴--=对(1,)x ∈+∞成立，化简得2(23)21b x x a x -=-，令2(23)()21x x h x x -=-，则问题转化为求()h x 在区间(1,)+∞上的值域，求导得222(463)()(21)x x x h x x -+'=-，令2463y x x =-+，为二次函数，图象开口向上，△120=-<，则24630x x -+>，又0x >，则()0h x '>，()h x 在区间(1,)+∞上单调递增，值域为(1,)-+∞，b a 的取值范围是(1,)-+∞．所以。

【精准解析】天津市六校2020届高三上学期期初检测数学试题+Word版含解析

可得 a 4, c 6 ，
由余弦定理可得： b2 a2 c2 2ac cosB 16 36 2 6 4 ( 1) 64 ，得 b 8 ，
4
由正弦定理 a b ，可得： sin A 15 ,cos A 7 ．
sin A sin B
8
8
所以 cos 2 A 2cos2 A 1 17 ， sin 2 A 2sin Acos A 7 15 ，
3.已知
a
ln
，b
lg125
，
c
1 e
0.3
，则
a
，b
，
c
的大小关系是（
）
A. a b c
B. b a c
C. c a b
D. 以上选项都不对
【答案】B
【解析】
只要坚持梦想终会实现
-1-
高中学习讲义
【分析】
利用指数对数函数的图像和性质确定 a, b, c 的范围即得它们的大小关系.
【详解】由题得
x甲
=
18+26+28+28+31+33 6
=
82 3
，
只要坚持梦想终会实现
-2-
高中学习讲义
x乙
=
12+18+19+25+26+32 6
=22
，
所以 x甲 x乙 .
从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定，
所以要派甲参加.
故选：B
【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和
A. x R ， 2x2 3x
B. x R ， 2x2 3x
C. x R ， 2x2 3x

2020天津六校第二学期统练(1)

．
i
11.在
1 3x
−
x 2
n
的展开式中，只有第
5
项的二项式系数最大，则展开式的常数项为
．
12.正方体外接球的表面积为16π ，则该正方体的表面积为
.
13.已知圆 C 经过点 A(2,−1) ，和直线 x + y = 1相切，且圆心在直线 y = −2x 上.则圆的方程
为
.
14.微信群里发四个红包（每个红包限 1 人抢），五人来抢，每人限抢一个，面值分别是 3 元 3
A.0
B. 1
C. 2
D.3

4.
5. 函数 f (x) = 1 sin 2x + 3 cos 2x(x ∈ R)，将函数 f (x) 的图象向右平移 π 个单位长度，得
2
2
3
到函数
g
(x)
的图象，则
g
(x
)
在区间
0，π2
上的最小值为（
）
A.0
B. − 3
C.-1
1
D.
2
2
数学试卷第 1 页共 5 页
x2 5.已知双曲线 C : a2
−
y2 b2
= 1(a > 0,b > 0) 的右焦点为 F
，抛物线
y2
= 16x 与双曲线 C 共焦
点，点 A 在双曲线的渐近线上，∆OAF 是等边三角形（ O 为原点），则双曲线的标准方程为（）
x2
A.
− y2 =1
x2
B.
− y2 =1
x2
C.
− y2 =1
2020 届高三年级第二学期期初检测六校联考

【附加15套高考模拟试卷】天津市六校2020届高三数学(文)下学期期末联考试题含答案

天津市六校2020届高三数学（文）下学期期末联考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有（）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种 2．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．3．下列命题中错误的是（）A ．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B ．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C ．若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面αD ．垂直于同一个平面的两条直线平行4．已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R 都有()()2cos f x f x x +-=，()sin 0f x x '+<，若角α满足不等式()()0f f παα++≥，则α的取值范围是（）A ．,2π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B ．(,]π-∞ C ．,22ππ轾犏-犏臌 D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．已知向量()1,22a =r ，1b =r ，向量a r 与b r的夹角为120︒，则a b +r r 的值为（）A ．13B ．7C ．7D ．136．如图所示是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A ．242+ B．322+ C ．326++ D．2226++7．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换，如果n 是奇数，则下一步变成31n +；如果n 是偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 的值为6，则输入的n 值可以为（）A ．5或16B ．16C ．5或32D ．4或5或328．执行下边的程序框图，输入，则输出S 的值为（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（）A ．[]1,2B ．[]3,5C ．[]1,1-D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，若函数()sin 21g x x =+与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑（）A ．mB ．2mC ．3mD ．4m11．已知命题p ： “,a b a b ∀>>”，命题q ：“000,20x x ∃”，则下列为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∨⌝12．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数()g x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x 12()x D D ∈I 是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数, 但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值. 那么真命题的个数是 ( )． A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市六校2020学年度高三数学文科联考试卷

天津市六校2020学年度高三年级联考数学试题（文科）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（每小题5分，共10个小题，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数)1)(1ln()(>-=x x x f 的反函数是（） A ．)(1)(1R x e x f x ∈+=- B ．)(110)(1R x x f x ∈+=-C ．)1(110)(1>+=-x x fxD ．)1(1)(1>+=-x e x fx2．已知条件265:,2|1:|x x q x p >->+条件，则q p ⌝⌝是的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．设α是三角形的一个内角，且,51cos sin =+αα则方程1cos sin 22=-ααy x 表示（）A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆4．设x x f x x f x a x f x =⎩⎨⎧>-≤-=-)(,0),1(0,2)(若有且只有两个实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．)2,(-∞B ．)2,1[C ．),1[+∞D ．]1,(-∞5．m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（）（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m I （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβαI I （3）αγβγαβα⊥=⊥⊥m m 则,,,I（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）6．若多项式=+++++++=+910109910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则Λ（）A ．9B ．10C ．－9D ．－107．若函数)(,0)(21,0)1,0)(2(log )(2x f x f a a x x x f a 则内恒有在区间>⎪⎭⎫ ⎝⎛≠>+=的单调递增区间是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-41, B ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,41 C ．()+∞,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,8．如果直线N M my kx y x kx y ,04122交于与圆=-++++=两点，且M 、N 两点关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 所表示的平面区域的面积是（）A ．41 B ．21 C ．1 D ．29．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的左右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且21PF PF ⋅的最大取值范围是,],3,[2222b a c c c -=其中则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2110．设)(),(22222)(1031074n f N n n f n 则∈+++++=+Λ等于（）A ．)18(72-nB ．)18(721-+n C ．)18(723-+n D ．)18(724-+n第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每小题4分，6个小题，共24分）11．已知抛物线方程为,2ax y =则其准线方程为 . 12．向量θ夹角与则满足,6||,2||,=-=+的最小值为 .13．点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB的中点，△ABC 、△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB ，则△ABC 的边长为 . 14．设3log log 2log ,10=-+<<y a x y x a x x a 满足和，如果y 有最大值,42则此时a = ，x = .15．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689），则五位“渐升数”共有个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为 . 16．函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且只有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共76分）17．（本小题满分12分）已知△ABC 的面积为2,32=⋅- （1）求A tan 的值；（2）求)4cos(12cos 2sin 22sin 22A AA A --+π的值. 18．（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二等奖；摸出两个红球获得一等奖。

【附加15套高考模拟试卷】天津市六校2020届高三下第一次联考数学(文)试题含答案

天津市六校2020届高三下第一次联考数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．182．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（） A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%3．若向量a r ，b r 满足同3a =r ，2b =r ，()a ab ⊥-r r r ，则a r 与b r的夹角为（）A ．2πB ．23πC ．6πD ．56π4．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（）A ．3B ．3C ．3D 35．设()f x 为定义在R 上的函数,当0x ≥时，()22()x f x x b b =++为常数，则(1)f -= A ．-3B ．-1C ．1D ．36．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驾马多行（） A ．1125里 B ．920里C ．820里D ．540里分别交1l ，2l 于,A B 两点，若||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，且(0)FA FB λλ=<u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（）A ．5B ．3C ．5D ．528．若实数，满足，则的最大值是（）A ．-4B ．-2C ．2D ．49．已知菱形ABCD 的边长为2，π3B ∠=，点P 满足AP AB λ=uu u r uu u r ，R λ∈．若3BD CP ⋅=-u u u r u u u r ，则λ=（） A ．12 B ．12- C ．13 D ．13-10．函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，若其图象向左平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（） A ．关于点(0)12，π对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点(0)6π，对称 D ．关于直线6x π=对称 11．设,a b 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,,a b αβ⊂⊥,则“//αβ”是“a b ⊥r r”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件12．已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()0xf x f x -<'，且()22f =，则()0xxf e e->的解集是（）A ．(),ln2-∞B ．()ln2,+∞ C ．()20,e D ．()2,e +∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届天津市部分区高三下学期质量调查数学(文)试题Word版含解析

2020届天津市部分区高三下学期质量调查数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,2,3A =，{}13B x R x=∈-<<，则A B =I （）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}2,3D ．{}1,2,3 【答案】A【解析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】 Q 集合{}1,2,3A =，{}13B x R x =∈-<<，∴集合A 与集合B 公共元素组成的集合{}1,2A B ⋂=，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩，将2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值为（）A ．3B ．2C ．23D ．12- 【答案】A 【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的a 的值.【详解】输入3,1a i ==，第一次循环2,23a i ==；第二次循环1,32a i =-=；第三次循环3,4,43a i ==>，退出循环输出3a =，故选A. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4．设，则“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立.【详解】在上递减，若充分性成立，若，则，必要性成立，即“”是“”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()()0.322,2,log 5a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果.【详解】00.310.3222,122<<∴<<Q ，22log 5log 42>=Q ，0.3222log 5∴<<，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上递减， ()()()0.3222log 5f f f ∴>>，即a b c >>，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看两个区间()()1,2,2,+∞ ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程为（）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22143x y -= 【答案】C【解析】根据双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，结合222+=a b c ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果.【详解】()3,4Q 在22221x y a b -=的渐近线上， 43b a ∴=，① 又Q 12PF PF ⊥，44133c c ∴⋅=--+，② 又222+=a b c ，③由①②③得，229,16a b ==，∴双曲线方程为221916x y -=，故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.7．函数()()()sin 2f x x ϕϕπ=+<的图象过点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭（如图所示），若将()f x 的图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴的方程为（）A ．512x π=B ．23x π=C ．4x π= D ．12x π=【答案】D【解析】利用图象求得函数()f x 的解析式，根据平移法则求得()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由232x k πππ+=+可得结果.【详解】()sin 2y x ϕ=+Q 过,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3k πϕπϕπ∴+=<，k Z ∈,3ϕπ∴=-或23ϕπ=，又()200,3f πϕ>∴=Q ， ∴()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位，得()2sin 263g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令232x k πππ+=+，212k x ππ=+，k Z ∈, 0k =时，12x π=为()y g x =的一条对称轴的方程，故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8．已知函数()216,42,4x x x x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩若存在实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，其中c b a >>，则()()a b f c +的取值范围是（）A ．24,36（）B ．48,54（）C ．24,27（）D ．()48,+∞【答案】B【解析】由二次函数的性质可得()()()6a b f c f c +=，数形结合求出c 的取值范围，可得()f c 的取值范围，从而可得结果.【详解】画出()216,42,4x x x x x x -⎧-+<=⎨≥⎩ 图象，如图， a b c <<Q ，∴由二次函数的性质可得6a b +=，由图可知，24log 91c <<+，()()()24log 91f f c f ∴<<+，()()()2log 911248,log 9129f f +-=+==，()89f c ∴<<，()48654f c <<，即()()a b f c +的取值范围是()48,54，故选B.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查了二次函数指数函数的性质以及数形结果思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题9．i 是虚数单位，复数132i i -=+_____________. 【答案】1755z i =--【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数132i i-+即可. 【详解】 ()()()()13i 2i 13i 2i 2i 2i ---=++- 17i 17i 555--==--，故答案为17i 55z =--. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．已知函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()'11f =，则a =____________.【答案】e【解析】利用对数函数的求导公式求出()'f x ,将1x =代入所求导函数，从而可得结果.【详解】()log a f x x =Q ，()()11','11ln ln f x f x a a∴===， a e ∴=，故答案为e .【点睛】本题主要考查初等函数的求导公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.11．圆柱的体积为34π，底面半径为2，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为____________. 【答案】43π 【解析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高，由勾股定理求出球的半径，根据球的体积公式可得结果.【详解】设圆柱的高为h ，Q 圆柱体积为34π3 23324h ππ⎛∴⨯⨯= ⎝⎭，1h =，设球半径为R ，则()222231R =+，244R =，可得1R =，∴球的体积为34433R ππ=，故答案为43π. 【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质，以及柱体与球体的体积公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，考查了空间想象能力，属于中档题.12．已知圆心在直线10x y --=上的圆与y 轴的两个交点坐标分别为()()0,4,0,2-，则该圆的方程为_____________.【答案】()()222113x y -+-=【解析】求出()()0,4,0,2-的垂直平分线方程，与直线10x y --=联立，可得圆心坐标，从而求得圆的半径，进而可得结果.【详解】 Q 圆与y 轴的两个交点坐标分别为()()0,4,0,2-，∴圆心在()()0,4,0,2-的垂直平分线上1y =，又Q 圆心在10x y --=上，∴由110y x y =⎧⎨--=⎩得圆心坐标为()2,1，=∴圆的方程为()()222113x y -+-=，故答案为()()222113x y -+-=.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，属于中档题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.13．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a b a b c+++的最小值为___________.【答案】2+ 【解析】由(),P a b 在直线2x y c ++=上，可得20a b c +=->，设2c m c n -=⎧⎨=⎩，则2m n +=，原式化为4212m n m n +⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可得结果. 【详解】(),P a b Q 在2x y c ++=上，2a b c ∴++=，20a b c +=->，4422a b c a b c c c +-+=++-4212c c=+--，设2c m c n -=⎧⎨=⎩，则2m n +=， 42424222m n c c m n m n +⎛⎫+=+=⨯+ ⎪-⎝⎭2333n m m n =++≥+=+当222m n =，即2c =时，“=”成立，4213122c c ∴+-≥+=+-即4a b a b c+++的最小值为2+，故答案为2+. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．在ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD u u u v u u u v=，OA OB ⊥，若10AB =，则AC BC ⋅=u u u v u u u v___________.【答案】200【解析】由已知，求得15,2102OD AB OC OD ====，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，则()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】ABC ∆Q 中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD u u u v u u u v=，OA OB ⊥， 10AB =， 15,2102OD AB OC OD ∴====，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ， ()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()2OC OC OA OB OA OB =-⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22OC OC OD =-⋅u u u r u u u r u u u r22100100200OC OC =+=+=u u u r u u u r ，故答案为200.【点睛】本题主要考查平面向量的运算以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．三、解答题15．在ABC ∆中，b =cos A =，2B A π=+．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求cos 2C 的值．【答案】（Ⅰ）3a =（Ⅱ）79【解析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合cos A =，可以求出sin A 的值，运用正弦定理，可以求出a 的值；（Ⅱ）由cos 3A =，2B A π=+，运用诱导公式，可以求出sin B 的值，根据同角的三角函数关系式，可以求出cos B 的值，运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出sin C ，最后利用二倍角的余弦公式求出cos 2C 的值. 【详解】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos A =，(0,)A π∈得sin A ==因为2B A π=+，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin()2a A A π+=，即cos a A =，所以3a =．（Ⅱ）因为cos A =，2B A π=+，所以sin sin()cos 2B A A π=+==cos B ==．所以1sin sin()sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B A B π=--=+=⋅+⋅=．故27cos212sin 9C C =-=．【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.16．“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动.”他随机的选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为()1,2,3i A i =L ，属于“懈怠型”的人依次记为()1,2,3i B i =L ，现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查.（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）56；（2）（i ）{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B ；（ⅱ）35【解析】（1）根据统计表各区间段的人数和总人数，得到每日走路步数超过5000步的频率，利用频率估计出概率；（2）（i ）根据分层抽样，得到“积极型”和“懈怠型”的人数，从而列出所有的可能结果；（ii ）写出满足事件M 的情况，根据古典概型公式，得到答案. 【详解】解：（1）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. （2）（i ）5人中“积极型”有125230⨯=人，这两人分别记为1A ，2A . 5人中“懈怠型”有185330⨯=人，这三人分别记为1B ，2B ，3B .在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ， {}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B .（ii ）事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：{}11,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B所以根据古典概型公式，得其概率为()63105P M ==. 所以事件M 发生的概率35. 【点睛】本题考查利用频率估计概率，分层抽样中各层数量的计算，求古典概型概率，属于简单题. 17．如图，四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，AD BC ∥，90ADC PAD ∠=∠=︒，，112BC CD AD ===，2PA =，M 为PD 的中点.（1）求证：PA AB ⊥；（2）求证：CM ∥平面PAB ；（3）求直线CM 与平面PAD 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6π【解析】（1）根据PA AD ⊥，PA CD ⊥，得到PA ⊥平面ABCD ，从而得到PA AB ⊥；（2）【详解】（1）证明：90PAD ∠=︒Q ，PA AD ∴⊥又PA CD ⊥Q ，CD AD D =I ，,CD AD ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD又AB ⊂Q 平面ABCDPA AB ∴⊥.（2）证明：取PA 中点N ，连接,MN BN .M Q ，N 分别是PA ，PD 的中点， MN AD ∴P 且12MN AD =，又BC AD Q ∥且12BC AD =，MN BC ∴P 且=MN BC ，∴四边形MNBC 是平行四边形，CM BN ∴P ，又CM ⊄Q 平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，CM ∴P 平面PAB .（3）解：CD PA ⊥Q ，CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，CD \^平面PADCMD ∴∠为直线CM 与平面PAD 所成的角在Rt PAD ∆中，PA =Q 2AD =，PD ∴=MD ∴=所以在Rt CMD ∆中，tan 3CD CMD MD ∠==. 6CMD π∴∠=.所以，直线CM 与平面PAD 所成的角为6π.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，线面平行的判定，求直线与平面所成的夹角，属于简单题. 18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且11a =，3412a a +=，12b a =，25b a =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设()()*1nn n n c a b n N=-∈，求数列{}nc 的前n 项和nS.【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）()1341388n n n S +-=-⋅-. 【解析】（1）由11a =，3412a a +=求出{}n a 的公差，可得{}n a 的通项公式，由1225,b a b a ==求出等比数列的首项与公比，从而可得{}n b 的通项公式；（2）利用（1）得()()()()()11213213n n nn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果. 【详解】（1）Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，1341,12a a a =+=，12512a d ∴+=，2d ∴=，21n a n ∴=-.设等比数列{}n b 的公比为q ，1225,b a b a ==，1223,9b a b ∴===，3q ∴=，∴3n n b =.（2）由题意，得()()()11213nnn n n n c a b n =-⋅⋅=-⋅-⋅()()213nn =-⋅- ,()()()()()23133353213nn S n ∴=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅-L ,()()()()()()23131333233213n n n S n n +∴-=⋅-+⋅-++-⋅-+-⋅-L ,上述两式相减，得()()()()()23143232323213n n n S n +=-+⋅-+⋅-++⋅---⋅-L()()()()2112313321313n n n -+⎡⎤⋅---⎣⎦=-+--⋅-+()1341322n n +-=-⋅-. ()1341388n n n S +-∴=-⋅-.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为22.（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于,A B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM ∆面积为23，求k 的值. 【答案】（1）22142x y +=；（2）22±【解析】（1，短轴长为222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得直线EM 的斜率，可得直线EM 方程，与直线AH 的方程联立求得点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式可得2413221APMkS AP d k ∆=⋅==+，从而可得结果. 【详解】（1）由题意，知22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩.解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）易知，椭圆的左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()()0,2,0,2E k H k -.由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得()2222218840k x k x k +++-=.设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，()()422644218416k k k ∴∆=-+-=. 2122821k x x k +=-+，21228421k x x k -⋅=+. ()2012214221k x x x k ∴=+=-+，()2002242222121k k y k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭，0012OP y k x k ∴==-，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =-=. ∴直线EM 方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+.∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离为d ==12AB x ∴=-==12AP AB ==. 241132221APMkS AP d k ∆∴=⋅==+. AOMS ∆=Q，243213k k ∴=+，解得k =. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.20．已知函数()322f x x ax b x =+-，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线30y -=平行，求a 与b 满足的关系；（2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0,1a b ==时，对任意的()0,x ∈+∞，总有()()xf x x e k <+成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2320a b +-=；（2）①当0a =时，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，()f x 在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增；在2,03a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；（3）[)2,-+∞. 【解析】（1）求出()'f x ，由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得()'10f =，从而可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）当0,1a b ==时，()3f x x x =-，()()x f x x e k <+对任意的()0,x ∈+∞恒成立等价于21x k x e >--在()0,x ∈+∞恒成立. 设()()21,0x g x x e x =-->，两次求导，可得()()02g x g <=-，从而可得结果.【详解】（1）由题意，得()22'32f x x ax b =+-.由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得()'10f =. 即2320a b +-=.（2）当0b =时，()2'32f x x ax =+，由()'0f x =知240a ∆=≥.①当0a =时，0∆=，()'0f x ≥在R 恒成立，∴函数()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，由()'0f x >，解得0x >或23x a <-；由()'0f x <，解得203a x -<<. 函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，()'0f x >，解得23x a >-或0x <；由()'0f x <，解得203x a <<-.函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. （3）当0,1a b ==时，()3f x x x =-，由()()x f x x e k <+，得()3x x x x e k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立. 0x Q >，21x x e k ∴-<+，21x k x e ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.设()()21,0x g x x e x =-->，则()'2xg x x e =-，令()2x h x x e =-，则()'2xh x e =-，由()'0h x =，解得ln2x =.由()'0h x >，解得0ln2x <<；由()'0h x <，解得ln2x >.∴导函数()'g x 在区间()0,ln2单增；在区间()ln2,∞+单减，()()''ln22ln220g x g ∴≤=-<，∴()g x 在()0,∞+上单调递减，()()02g x g ∴<=-，2k ∴≥-.故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞.【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。

天津2020届高三年级第二学期期初检测六校联考

2020届高三年级第二学期期初检测六校联考数学学科试卷第I 卷（选择题，共45分）一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.考试结束后，上交答题卡. 1.已知集合{}{}22|,|g 14lo A x x B x x ==<≤，则A B =I （）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．()2,0-D ．(]2,2-2.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B =( )A ．34 B ． 14C ．4D ．33.下列命题正确的个数为（） ①“函数sin 2y x =的最小正周期为2π”为真命题；②对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，则命题p 的否定：x R ∀∈，210x x ++≥ ③若,m n R ∈ ，“ n m ln ln <”是“n m e e <”的充分不必要条件 ④随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ<4)＝0.8则P (2≤ξ<4)＝0.3.A.0B. 1C. 2D.34. 函数()()R x x x x f ∈+=2cos 232sin 21，将函数()x f 的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最小值为（）A.0B.23-C.-1D.21 5.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ，抛物线x y 162=与双曲线C 共焦点，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是等边三角形（O 为原点），则双曲线的标准方程为（） A.112422=-y x B.141222=-y x C.1322=-y x D.1322=-y x 6.已知数列{}n a 满足()*+∈-=N n a a nn 111，且21=a ，则2020a =（） A.-1 B.21 C.23D.2 7.已知函数2()2sin12xxf x e =+-，15(log 3),a f =0.5(0.4)b f -=-， 3log 3.1(3)c f =则,,a b c 的大小关系（）A.a c b >>B.b c a >>C.c b a >>D.a b c >>8.已知56BAC π∠=,3,AB AC ==BP BC λ=u u u r u u u r ,且5AP BC ⋅=-u u u r u u u r ,则λ的值为（）A.12 B.23 C.13 D.149.已知定义在R 上的奇函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤---=)10(,12)1(,27321)(2x x x x x f x ，若关于t 的方程)()(R m m t f ∈=恰有5个不同的实数根54321,,,,t t t t t ，则54321t t t t t ++++的取值范围是（）A.()1,2--B.()1,1-C.()2,1D.()3,2第Ⅱ卷 (非选择题，共105分)二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.) 10.已知i 是虚数单位，n m ,均为实数，若复数1n mii i-=+，则n m +=___ ． 11.在2nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为． 12.正方体外接球的表面积为16π，则该正方体的表面积为 .13.已知圆C 经过点()1,2-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上.则圆的方程为 .14.微信群里发四个红包（每个红包限1人抢），五人来抢，每人限抢一个，面值分别是3元3元6元8元（相同面值算一种），则五人得到红包面值不同结果的种数有 .（填数字）15.已知,,x y z R +∈求22234xz yzx y z +++的最大值为 .三.解答题(本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16.（本题14分）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团。

天津市天津南开中学等六校2020届高三上学期期初检测数学试题 Word版含答案

15 x 2020 届高三第一学期六校联考期初检测—数学一、选择题（每题 5 分，共 45 分）1. 设全集为 R ，集合 A ={x ∈ R |0 ≤ x < 2} ， B ={x ∈ N | x > 1} ，则 A (C R B ) =7. 在∆ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c 。

已知∆ABC 的面积为3 ，3sin A = 2 sin C ， cos B = - 1 ，则cos ⎛2 A + π ⎫的值为2. 命题“ ∀x ∈ R ， 2x 2 = 3x ”的否定是8. 已知 F ， F 分别为双曲线3x2- y 2 = 3a 2(a > 0) 的左右焦点， P 是抛物线 y 2 = -8ax 与123. 已知a = ln π ， b = lg125 ， c = ⎛ 1 ⎫0.3，则a , b , c 的大小关系是双曲线的一个交点，若| PF 1 | + | PF 2|= 18 ，则抛物线的准线方程为4. 为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队,教练将二人最近6 次篮球比赛的得分数进行统计,甲乙两人的平均得分分别是 ,则下列说法9. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足： f '(x ) - f (x ) < e 2 x ， f (ln 2) = 4 ，则不等式 f (x ) > e 2 x 的解集为A . (-∞, ln 2)B . (-∞,2)C . (ln 2，+ ∞) D . (2，+ ∞) 二、填空题（每题 5 分，共 30 分）正确的是10. 二项式⎛ 2⎫5- 3 x ⎪ 的展开式的常数项是A . ,乙比甲稳定,应选乙参加比赛B . ,甲比乙稳定,应选甲参加比赛C .,甲比乙稳定,应选甲参加比赛 D . ,乙比甲稳定,应选乙参加比赛5. 已知直线m , n ，平面α ， n ⊂ α ，那么“ m //α ”是“ m // n ”A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6．函数 f (x ) = A sin(ωx + φ) ，（其中 A > 0, ω > 0,| φ |< π ） 2的一部分图像如图所示，将函数上的每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2 倍，得到的图像表示的函数可以为⎝ ⎭11. i 是虚数单位，则 (3 + 4i )(1- i)=1+ i12．如图，在三棱柱的侧棱 A 1 A 和 B 1B 上各有一动点 P , Q 且满足 A 1P = BQ ，过 P , Q , C 三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥C - ABQP 与三棱柱 A 1B 1C 1 - ABC 的体积比为13. 如图，在∆ABC 中， D 是 BC 的中点， E 在边 AB 上， BE = 2EA ， AD 与CE 交于点O 。

天津市六校2020届高三数学下学期期初检测试题

14.60
15. 5 2
三.解答题(本大题 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16.（本小题满分 14 分）
【答案】解：（Ⅰ）设“恰有两个同学选报的社团完全相同”为事件 A，
7
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P( A)
C32C42 (C21C21 (C42 )3
则
| 2 4 |
2 ，解得 2 （ - 2 舍）
2 3 92 4 4 3
5
3
………15 分
18.【答案】（Ⅰ）因为 e 3 ， b 1，所以 a 2, c 3 2
………2 分
椭圆的标准方程为 x2 y2 1 4
………………………3 分
（Ⅱ）因为 k AB
1, 2
AB
5
,
l AB
………………………5 分 ………………………6 分
由题知 l : y 1 x - 2 ，所以 d 2 2 2
2
5
………………………7 分
所以 SPAB
1d 2
AB
1 2
2
2 1 5
5
2 1.
…………………8 分
（法 2）设 Pcos ,sin , AB 5
……………4 分
则 d 2 cos 2sin 2 2 2 cos 2 2
1)
5 12
………………4 分
另解：四个社团中选两个一共有 6 个组合，每位同学从一个组合中选一个
P(
A)
C32
6 63
5
5 12
（Ⅱ）设“甲同学选报足球社”为事件 B
（以上列式正确给 2 分）
P(B)

天津市十二区县重点校2024届高三下学期第一次模拟考试数学含答案

2024年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将答题卡交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；2．本卷共9小题，每小题共5分，共45分。

参考公式：·如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足()z 1-i =1+，则z =（）A ．1i-B ．1i+C ．22i-D ．22i+2．已知,a b ∈R ，则“b a >”是“22a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能为（）A ．()sin522x xx f x -=-B ．()cos522x xx f x -=+C ．()cos522x xx f x -=-D ．()sin522x xx f x -=-4．已知函数()1x f x x e =-，若0.61212,log 29a f b f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，134c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n N ==+∈，则5a =（）A ．6B ．9C ．11D ．146．下列说法正确的是（）A ．一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17；B ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到24.712χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验()0.05 3.841x =，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；C ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；D ．若随机变量,ξη满足32ηξ=-，则()()32D D ηξ=-．7．如图是函数()()sin 0,0,22f x K x K ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象，A 是图象的一个最高点，D 是图象与y 轴的交点，,B C 是图象与x 轴的交点，且()0,1,D ABC -△的面积等于2π，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；B ．函数()f x 的最小正周期为2π；C ．函数()f x 的图象可由()2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到；D ．函数()f x 的单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦。