绝对值的几何意义

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绝对值的几何意义的几－b||a【知识要点】大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直、b何意义是：数轴上表示数a 观简捷，事半功倍．【例题精讲】

的绝对值点的距离，这是，|a|可以理解为|a-0|表示数a到原【例题】我们知道点、B两表示，那么A分上两个点A．B，别用a，b几何意义．进一步地，数轴问题：论，回答以下之间的距离为AB=|a-b|，利用此结两5的上数轴表示-2和3的两点之间的距离是______，（1）数轴上表示8和 __________；之间的距离是，数轴上表示-3和-7的两点点之间的距离是___________轴用数何意义是_____________，利上点A用a表示，则|a-3|=5的几（2）数轴

___________________；出a的值是绝及对值的几何意义写是小值能取得的最对值的几何意义写出该式(3) 利用数轴及绝_____________.

点拨】【思路案；式，可得答距据数轴上两点间的离公（1）根值；，可得a的点距离相等的点有两个（2）根据到一案．小，可得答两端点的距离的和最（3）根据线段上的点与线段析】【解的和5上表示-2的距离是 5，数轴解：（1）数轴上表示8和3的两点之间；离是 4间和-7的两点之的距两点之间的距离是 7，数轴上表示-3两3表示a和何意义是数轴上2）数轴上点A 用a表示，则|a-3|=5的几（；-2或8义意写出a的值是是5，利用数轴及绝对值的几何离点之间的距-2x与离与点点x与-1的距出|x+1|+|x+2|表示的几何意义数上轴3 （）说意义写出该式能取得的最小绝对值的几何值是 1，和距离的，利用数轴及故答案为：5，7，4；数轴上表示a与3两点之间的距离是5，-2或8；数轴上点x与-1的距离与点x与-2的距离的和是1．

【总结升华】本题考查了绝对值，（1）数轴上两点间的距离公式，（2）到一点距离相等的点有两个；（3）线段上的点与线段两端点的距离的和最小．

【例题】阅读下列材料：

我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即

|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；

这个结论可以推广为|x-x|表示在数轴上数x，x对应点之间的距离；2211在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：

例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；

例2：解不等式|x-1|＞2．如图，在数轴上找出|x-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应

的数为-1，3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3；

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：问题解答下列参考阅读材料，；为____________________程|x+3|=4的解（1）方 9；等式|x-3|+|x+4|≥解（2）不围．的取值范x都成立，求aa （3）若|x-3|-|x+4|≤对任意的】仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．路点拨【思析】【解x4的点对应的表示求在数轴上与-3的距离为解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4 -7．的值为1或，-4的距离为7（2）∵3和因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．

当x在3的右边时，如图，

x≥4．易知的左边时，如图，x在-4当

-5．易知x≤-5

或x≤∴原不等式的解为x≥4 |x-3|-|x+4|最大值．（3）原问题转化为：a大于或等于 -7，x≥3时，|x-3|-|x+4|应该恒等于当的增大而减小，，|x-3|-|x+4|=-2x-1随xx当-4＜＜3 ，x≤-4时，|x-3|-|x+4|=7当．|x-3|-|x+4|的最大值为7即故a≥7．本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何】结升华【总同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，意义，结合本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们不要产生畏结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，惧心理．

【巩固练习】1、我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；

这个结论可以推广为|x-x|表示在数轴上x，x对应点之间的距离；2211例1解方程|x|=2，容易看出，在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2，即该方程的解为x=±2 例2解不等式|x-1|＞2，如图，在数轴上找出|x-1|＞2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1、3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或X＞3

参考阅读材料，解答下列问题：

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_____________________. 不等式|x+3|＞4的解为

下列问题：轴与绝对值的知识回答2、结合数

点和2的两间的距离是____________；表示-31（）数轴上表示1和4的两点之，般地间的距离是_________；一是之间的距离___________；表示-5和-4的两点之 __________．之间的距离等于数数轴上表示数m和n的两点．是3，那么a=____________距表示数a和-2的两点之间的离2（）如果 |a+4|+|a-2|，求的值；数a的点位于-4与2之间上（3）若数轴表示【答案】）|＞4，1、解：∵|x+3|=|x-（-3 -7、1，即到-3的距离为4的点对应的数为

用数轴表示为：．＞1＞|x+3|4的解为x＜-7或x∴不等式 |1-4|=3，12、解：（） |-3-2|=5，|=1，|-5-（-4） |m-n|，；5；1；|m-n|；故答案为：3 （-2）|=3，（2）|a- a+2=3或a+2=-3，所以，，或a=-5解得a=1 ；1故答案为：-5和，之间与点示3（）∵表数a的位于-42 ＜＞a+40，a-20，∴（）（∴|a+4|+|a-2|=a+4+[-a-2]=a+4-a+2=6）；.