平方差公式和完全平方公式的应用

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平方差公式和完全平方公式

平方差公式和完全平方公式

平方差公式和完全平方公式一、平方差公式:设有两个数a和b,平方差公式可以表示为:(a+b)*(a-b)=a^2-b^2例如,对于任意两个实数a和b,有(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab这个公式的应用十分广泛,对于二次方程的因式分解、求根等问题有很大的帮助。

通过平方差公式,可以将一个二次方程因式分解为两个一次方程的乘积,从而简化计算过程。

举个例子,假设有一个二次方程x^2+5x+6=0,我们可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0,然后求解得到x=-2或x=-3通过平方差公式,我们可以简化计算过程,直接得到因式分解的结果。

二、完全平方公式:完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。

设有一个二次三项式x^2 + bx + c,完全平方公式可以表示为:x^2 + bx + c = (x + m)^2 + n其中m和n是常数。

通过完全平方公式,我们可以将一个二次三项式转化为一个完全平方的形式,从而进行进一步的求解。

举个例子,假设有一个二次三项式x^2+6x+9,根据完全平方公式可以将其表示为(x+3)^2通过完全平方公式,我们可以快速得到该二次三项式的解为x=-3与平方差公式类似,完全平方公式也是简化计算的重要工具。

通过完全平方公式,我们可以将一个二次三项式转化为一个完全平方,从而更方便地进行求解。

总结:平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个公式,用于求解一元二次方程。

平方差公式使我们能够将一个二次方程进行因式分解,简化计算过程。

完全平方公式用于将一个二次三项式转化为一个完全平方,进一步求解。

这两个公式在数学的教学和实际应用中有着重要的作用,帮助我们更方便地求解问题,提高计算的效率。

完全平方公式和平方差公式的应用

完全平方公式和平方差公式的应用

完全平方公式和平方差公式的应用公式:语言叙述:两数的。

公式结构特点:左边:右边:熟悉公式:公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母,还可以表示一个单项式或者一个多项式。

(5+6x)(5-6x)中是公式中的a,是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a,是公式中的b(x-2y)(x+2y)填空:1、(2x-1)( )=4x2-12、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2第一种情况:直接运用公式1.(a+3)(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)第二种情况:运用公式使计算简便1、1998×20022、498×5023、999×10014、1.01×0.995、30.8×29.26、(100-13)×(99-23)7、(20-19)×(19-89)第三种情况:两次运用平方差公式1、(a+b)(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-12)(x2+14)(x+12)第四种情况:需要先变形再用平方差公式1、(-2x-y)(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况:每个多项式含三项1.(a+2b+c )(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式:语言叙述:两数的 . 。

公式结构特点:左边: 右边:熟悉公式:公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母,还可以表示一个单项式或者一个多项式。

公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22、(a-b )2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +(a-b )2=4、(a+b)2 --(a-b )2= 一、计算下列各题: 1、2)(y x + 2、2)23(y x - 3、2)21(b a + 4、2)12(--t5、2)313(c ab +-6、2)2332(y x +7、2)121(-x 8、(0.02x+0.1y)2二、利用完全平方公式计算: (1)1022 (2)1972三、计算: (1)22)3(x x -+ (2)22)(y x y +-(3)()()2()x y x y x y --+-四、计算:(1))4)(1()3)(3(+---+a a a a (2)22)1()1(--+xy xy(3))4)(12(3)32(2+--+a a a五、计算:(1))3)(3(-+++b a b a (2))2)(2(-++-y x y x(3))3)(3(+---b a b a (4)()()2323x y z x y z +-++六、拓展延伸 巩固提高 1、若22)2(4+=++x k x x,求k 值。

平方差公式与完全平方公式应用中易犯错误分析

平方差公式与完全平方公式应用中易犯错误分析

平方差公式与完全平方公式应用中易犯错误分析在初中数学中,学生易犯的错误很多,下面我就平方差公式与完全平方公式的计算来分析一下学生出现错误的原因,并且进一步总结反思。

许多学生由于对两个公式结构特点理解不清楚,计算时往往出现这样那样的错误。

一、我们将这些常出现的错误总结出来,进行分析。

1、平方差与完全平方公式混淆1)( x – 3y)2 = x2 - 9y22)( 2x + 3y)2 = 4x2 + 9y2错因:这两个式子都是完全平方公式,应等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。

正确解法:1、22222(x-3y)23(3)69x x y y x xy y=-+=-+2、22222(23)(2)223(3)4129x y x x y y x xy y+=++=-+2、平方差公式结构特点模糊( m + 3n ) ( -m - 3n ) = m2 - 9n2错因:平方差公式左边必须是两式中一项相同,一项互为相反数。

m+ 3n 与-m - 3n两项都互为相反数,此题不能用平方差公式。

应用完全平方公式。

正确解法:2 2222( m + 3n ) ( -m - 3n ) =(m+3n)[-(m+3n)]=-(m+3n) [23(3)]69m m n n m mn n=-++=---3、公式计算中项的概念不够明确,漏掉系数( 2x + y ) ( 2x – y ) = 2x2 - y2错因:式子在计算中都没有明确“项”的概念,包括字母前面的系数,因此在平方时漏掉了系数。

应是2x与y这两项的平方差。

正确解法:2222x y x y-=-( 2x + y ) ( 2x - y ) =(2)44、公式中的符号错误1)( -a + b )2 = a2 + 2ab + b22)( -a – b )2 = a2 - 2ab - b2错因:公式中各项的符号特点及公式右边各项与公式左边两项的的关系理解模糊,出现了符号错误。

完全平方公式和平方差公式有哪些

完全平方公式和平方差公式有哪些

完全平方公式和平方差公式有哪些完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式,它们在解决一些与平方数相关的问题时发挥着重要的作用。

下面将详细介绍完全平方公式和平方差公式的定义和应用。

一、完全平方公式完全平方公式是指将一个二次多项式转化为一个完全平方式表示的公式。

二次多项式可以写成\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]其中,a和b可以是任意实数。

完全平方公式通过将二次多项式写成一个完全平方式的形式,可以方便地进行运算和化简。

完全平方公式的应用十分广泛,特别是在因式分解与整式运算、解二次方程、求函数的最值等方面,其作用不可忽视。

二、平方差公式平方差公式是指将两个数的平方差表示为一个因式的形式的公式。

平方差公式有两种常见形式:1. \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)其中,a和b可以是任意实数。

平方差公式可以应用于因式分解、整式运算等问题的解答。

2. \(a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)\)其中,a和b表示实数,i为虚数单位。

当b不为0时,该公式可以应用于复数运算,如复数的乘法和除法。

当b为0时,该公式可以用于判定一个实数是否为一个复数的平方。

平方差公式的广泛应用使得解决与平方数相关的问题变得更加简便。

总结:完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式,它们在解决与平方数相关的问题时发挥着重要作用。

完全平方公式将二次多项式转化为完全平方式,便于运算和化简;平方差公式通过将平方差表示为因式的形式,方便因式分解、整式运算和复数运算等问题的解答。

这些公式的应用广泛,对于学习和应用数学都至关重要。

在实际问题中,我们可以根据具体情况选择合适的公式来解决与平方数相关的问题。

熟练掌握完全平方公式和平方差公式的定义、应用和证明,将会极大地提高我们在数学领域的能力和解题技巧。

通过不断的练习和实践,我们可以更好地理解和运用这些公式,为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。

平方差公式与完全平方公式的应用技巧

平方差公式与完全平方公式的应用技巧

(D)1 xn .
分析:解答时,把握好两点,一是准确的进行计算;二是准确的寻找式子的特点,结果
的特点,明确变化中,哪些量是保持不变,哪些量一直在不断变化,变化的规律是什么,问
题就顺利破解.
解:(1+x)(1-x)=1- x 2 , (1 x)(1 x x2 ) =1- x3 ,…,规律为结果的第一项是数字 1,
(2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示),并验证其正确性. 分析: 由①②③三个等式可得,被减数是从 3 开始连续奇数的平方,减数是从 1 开始连续 自然数的平方的 4 倍,计算的结果是被减数的底数的 2 倍减 1,由此规律得出答案即可. 解:
(1)因为 32 - 4? 12 =5 ①, 52 - 4? 22 =9 ②, 72 - 4? 32 =13 ③…
解:设大正方形的边长为 x1 ,小正方形的边长为 x2 ,由图①和②列出方程组得,
ìïïíïïî
x1 x1
+ -
2x2 2x2
= =
a b
,解得,x1
=
a
+ 2
b
,x2
=
a
4
b
,所以大正方形中未被小正方形覆盖部分
的面积=( a + b )2 - ( a - b )2 ×4=ab.所以应该填 ab.
2
所以 92 ﹣4×- 2 = = 92 ﹣4× 42 =17;
(2)第 n 个等式为:(2n + 1)2 - 4n2 =2(2n+1)﹣1;
证明:因为左边
=(2n + 1)2 - 4n2 =(2n + 1)2 - (2n)2 = (2n + 1+ 2n)(2n + 1- 2n) = 4n + 1

平方差公式与完全平方公式

平方差公式与完全平方公式

(1) 103 X 97(2) 118X 122(3) 19- 203 3(a+b ) ( a — b ) =a 2 — b 2应用1、平方差公式的应用: 例1、利用平方差公式进行计算:(1) ( 5+6x )( 5 — 6x )( 2)(x + 2y ) (x — 2y )(3) (— mi + n ) (— m- n ) 解:21) ( 2x — 3)1(3 ) (— x y )21(5 ) ( — x+ y )22 ) ( 4x+5y 4 ) ( — x — 2y例2、计算:1 1(1) ( x y ) ( x y )4 4(2) ( — m — n ) ( m — n )2(3) ( m + n ) ( n — m ) +3m2 2(4) ( x+y ) ( x — y ) ( x — y ) 解:例5、利用完全平方公式计算: 2 2 2(1) 102(2 ) 197 (3) 19999 — 19998 X 20002解:a+b ) a- b )2+2ab+b 2=a 2— 2ab+b 解:应用2、 完全平方公式的应用:例4、计算:平方差公式与完全平方公式例3、计算:试一试:计算:9 X 7—82= _____________应用3、乘法公式的综合应用:例6、计算:2(1)(x+5) —( x+2) (x —2)(2)(a+b+3) (a+b—3)(3)(a —b+1) (b—a+1)2(4)(a+b—c)解:1111、(1) (1-2)(1 2 )(1 2 )(1 —2)23410(2) (21)(221)(241)(281) (232 1)解:例10、证明:x2+y2+2x —2y+3的值总是正的。

1 2例7、( 1)若一x ax 4是完全平方式,则:4a= _______________(2 )若4X2+1加上一个单项式M使它成为一个完全平方式,则M= _______________例18、( 1 ) 已知:a 3 , 则:a21a 2 -a_(2) 已知:a15,则:a 2a a(3) 已知:a+b=5, ab=6,则:a2+b2=(4 ) 已知 : 2 2(a+b ) =7 , ( a —b ) =3 , 则:2 2a +b=,ab=例9、计算:【模拟试题】一、耐心填一填1、计算:(2+3x) (—2+3x) = _____________ ; (—a —b) 2= _____________ .*2、一个多项式除以a2—6b2得5a2+b2,那么这个多项式是 __________________ .23、若ax +bx+c= ( 2x—1) (x —2),则a= _______ , b= ______ , c= ________ .2 24、已知(x—ay) (x + ay ) = x —16y ,那么a = _____________ .5、多项式9x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,那么加上的单项式可以是 .(填上一个你认为正确的即可)6、计算:(a—1) (a+1) (a2—1) = _________ .7、已知x —y=3, x —y =6,贝U x+y= _____ .8、若x+y=5, xy=6,贝V x +y = ________ .9、利用乘法公式计算:1012= __________ ; 1232—124X 122= __________ .10、若A= (2—1) (2+ 1) (22+ 1) (24+ 1 )……(232+ 1) +1,贝U A的个位数字是二、精心选一选(每小题3分,共30分)1、计算结果是2x2—x —3的是( )A. (2x —3) (x+1)B. (2x —1)(x —3)C. (2x+3) (x—1)D. (2x—1) (x+3)2、下列各式的计算中,正确的是( )2 2A. (a+5) (a—5) =a —5B. (3x+2) (3x —2) =3x —42 2 2C. ( a+2) (a—3) =a —6D. (3xy+1) ( 3xy —1) =9x y—13、计算(—a+2b) 2,结果是, ( )2 2 2 2A. —a +4ab+bB. a—4ab+4b2 2C. —a —4ab+bD. a 2 2—2ab+2b4、设x+y=6, x —y=5,则x2—y2等于( )A. 11B. 15C. 30D. 605、如果(y+a) 2=y2—8y+b,那么a、b的值分别为()A. a=4 , b=16B. a= —4, b=—16C. a=4 , b= —16D. a= —4, b=166、若(x —2y) 2= (x+2y) 2+m,则m等于( )A. 4xyB. —4xyC. 8xyD.—8xy7、下列式子中,可用平方差公式计算的式子是()a b2、对于任意有理数a、b、c、d,我们规定=adc d(x y) 2x—be,求的值。

完全平方公式和平方差公式

完全平方公式和平方差公式

乘法公式1.平方差公式(1)平方差公式的推导:因为(a +b )(a -b )=a 2-ab +ab -b 2=a 2-b 2,所以(a +b )(a -b )=a 2-b 2.【例1】 利用平方差公式计算.(1)(2a +3b )(-2a +3b ); (2)503×497.2.完全平方公式(1)两数和的完全平方公式:(a +b )2=a 2+2ab +b 2;两数差的完全平方公式:(a -b )2=a 2-2ab +b 2.析规律 完全平方公式的特征 完全平方公式总结口诀为:首平方,尾平方,首尾二倍积,加减在中央.【例2】 计算:(1)(4m +n )2; (2)(y -12)2; (3)(-a -b )2; (4)(-2a +12b )2.3.添括号法则法则:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.警误区 添括号法则的易错点 添括号时,如果括号前面是负号,括到括号里面的各项都改变符号,不可只改变部分项的符号,如:a -b +c =a -(b +c ),这样添括号时只是改变了第一项的符号,而第二项的符号没有改变,所以这样添括号是错误的.【例3】 填空:(1)(x -y +z )(x +y -z )=[x -( )][x +( )];(2)(x +y +z )(x -y -z )=[x +( )][x -( )].【例4】 如图,在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a >b ),把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,验证了公式__________.【例6】 观察下列各式的规律:12+(1×2)2+22=(1×2+1)2;22+(2×3)2+32=(2×3+1)2;32+(3×4)2+42=(3×4+1)2;…写出第n 行的式子,并证明你的结论.类型一:巧用乘法公式 类型二:平方差与完全平方公式混用22114422x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭计算: ()()a b c a b c ++--计算:类型三:完全平方公式在三角形中的运用例3、已知△ABC 的三边长a,b,c 满足2220a b c ab bc ac ++---=,试判断△ABC 的形状类型四:利用乘法公式解方程(组)例4:()()()()222432x y x y x y x y ⎧+-+=+-⎪⎨-=-⎪⎩解方程组类型五:多项式的证明例5:证明无论a,b 为何值,多项式222612a b a b +--+的值恒为正类型六:灵活运用乘法公式解题例6、计算22222111111-1-1-11234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭拓展:三项完全平方公式:()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ 二次三项式:()()()2+x a x b x a b x ab +=+++ 立方和公式:()()3322a b a b a ab b +=+-+立方差公式:()()3322-+a b a b a ab b =++1、若()()234+,,x x x px q p q --=+那么的值分别是2、()()()224,b ax b x x ab ++=-+=若则3、()()3x m x ++如与的乘积中不含x 的一次项,则m 的值为4、已知()()250,3+2a a a a -+=-则的值是5、已知实数()()2222,1,25,a b a b a b b ab +=-=++=满足则a6、将代数式()2262x x x p q ++++化成的形式为7、若2+216x ax +是一个完全平方展开式,则a 的值是________-8、已知216x x k ++是个完全平方式,则常数k 的值为_______9、若()222560,x =x y xy y +-+-=+则___________- 10、已知2221114,x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭求x 和的值 11、知实数()()2222,1,25,a b a b a b b ab +=-=++=满足则a课后练习1.下列各式中,相等关系一定成立的是( )A.(x -y)2=(y -x)2B.(x+6)(x -6)=x 2-6C.(x+y)2=x 2+y 2D.x 2+2xy 2-y 2=(x+y)22.下列运算正确的是( )A.(a+3)2=a 2+9B.(13x -y)2=16x 2-23xy+y 2 C.(1-m)2=1-2m+m 2 D.(x 2-y 2)(x+y)(x -y)=x 4-y 43.将面积为a 2的正方形边长增加2,则正方形的面积增加了( )A.4B.2a+4C.4a+4D.4a4.下列多项式乘法中,不能用平方差公式计算的是( )A.(a+1)(2a -2)B.(2x -3)(-2x+3)C.(2y -13)(13+2y) D.(3m -2n)(-3m -2n) 5.不等式(2x -1)2-(1-3x)2<5(1-x)(x+1)的解集是( )A.x >-2.5B.x <-2.5C.x >2.5D.x <2.56.计算:(1)(1.2x -57y)(-57y -1.2x); (2)1523×(-1413);(3)[2x2-(x+y)(x-y)][(z-x)(x+z)+(y-z)(y+z)];(4)(a-2b+3c)(a+2b-3c).7.(1)已知x+y=6,xy=4,求①x2+y2,②(x-y)2,③x2+xy+y2的值.(2)已知a(a-3)-(a2-3b)=9,求222a b-ab的值.1.计算:(1)(a2+1)(a2-1)-(-a2)·a2;(2)(2a-b)(2a+b)-(-3a-b)(-3a+b);(3)x2-(4-x)2;(4)(3x-2y)2-4(2x-y)(x-y).2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2和ab的值.3.已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,试判断△ABC的形状.4.解方程:(1)9x(4x-7)-(6x+5)(6x-5)+38=0;(2)(y2-3y+2)(y2+3y-2)=y2(y+3)(y-3).。

平方差和完全平方公式应用举例

平方差和完全平方公式应用举例

平方差和完全平方公式应用举例一、平方差公式平方差公式描述了两个数(或代数式)的乘积与它们的差之间的关系:(a+b)(a-b)=a²-b²这个公式的应用在代数运算中非常常见,下面我们通过几个具体的例子来说明它的应用。

例子1:计算(7+2)(7-2)根据平方差公式,我们有:(7+2)(7-2)=7²-2²=49-4=45所以,(7+2)(7-2)=45例子2:计算(x+1)(x-1)根据平方差公式,我们有:(x+1)(x-1)=x²-1²=x²-1所以,(x+1)(x-1)=x²-1二、完全平方公式完全平方公式描述了一个一次多项式的平方的表达式:(a + b)² = a² + 2ab + b²这个公式的应用也非常广泛,下面我们通过几个具体的例子来说明它的应用。

例子3:展开(x+2)²根据完全平方公式,我们有:(x+2)²=x²+2(x)(2)+2²=x²+4x+4所以,(x+2)²=x²+4x+4例子4:展开(3+2x)²根据完全平方公式,我们有:(3+2x)²=3²+2(3)(2x)+(2x)²=9+12x+4x²所以,(3+2x)²=4x²+12x+9这些例子展示了平方差和完全平方公式在解题中的应用。

它们可以用来简化计算过程,化简表达式和方程。

例如,当我们需要计算两个数的乘积或平方时,我们可以利用平方差公式,将计算过程转化为相加或相减的操作,从而简化计算。

另外,完全平方公式可用于展开一个一次多项式的平方,从而获取更多的信息。

这在求解方程和证明等问题中经常会遇到。

总结起来,平方差和完全平方公式是代数中常用的公式,它们的应用在代数运算、化简表达式、求解方程和证明等问题中都具有重要的作用。

平方差公式与完全平方公式

平方差公式与完全平方公式

Word 文档平差公式与完全平公式(a+b )2 = a 2+2ab+b 2(a -b )2=a 2-2ab+b2(a+b )(a -b )=a 2-b 2应用1、平差公式的应用:例1、利用平差公式进行计算: (1)(5+6x )(5-6x ) (2)(x +2y )(x -2y ) (3)(-m +n )(-m -n ) 解:例2、计算:(1)(y x 41--)(y x 41+-) (2)(-m -n )(m -n )(3)(m +n )(n -m )+3m 2(4)(x+y )(x -y )(x 2-y 2)解:例3、计算:(1)103×97 (2)118×122 (3)32203119⨯ 解:应用2、完全平公式的应用: 例4、计算:(1)(2x -3)2(2)(4x+5y )2(3)(y x 21-)2 (4)(-x -2y )2(5)(-x+y 21)2解:例5、利用完全平公式计算:(1)1022 (2)1972 (3)199992-19998×20002解:试一试:计算:123456789×123456787-1234567882=_______________Word 文档应用3、乘法公式的综合应用: 例6、计算:(1)(x+5)2-(x+2)(x -2)(2)(a+b+3)(a+b -3) (3)(a -b+1)(b -a+1)(4)(a+b -c )2解: 例7、(1)若4ax x 412++是完全平式,则:a=________________(2)若4x 2+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平式,则M=_______________ 例8、(1)已知:3a1a =+,则:__________a1a 22=+(2)已知:5a 1a =-,则:__________a 1a 22=+(3)已知:a+b=5,ab=6,则:a 2+b 2=_______(4)已知:(a+b )2=7,(a -b )2=3,则:a 2+b 2= ,ab=例9、计算:(1))1011()411)(311)(211(2222----ΛΛ (2))12()12)(12)(12)(12(32842+++++ΛΛ解:例10、证明:x 2+y 2+2x -2y+3的值总是正的。

完全平方公式和平方差公式的应用讲课讲稿

完全平方公式和平方差公式的应用讲课讲稿

完全平方公式和平方差公式的应用完全平方公式和平方差公式的应用 公式:语言叙述:两数的 ______________________________________________________________ 。

公式结构特点:左边: __________________________________ 右边:熟悉公式:公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母,还可以表示一个单项式或者一个多项式。

(5+6x)(5-6x) 中 ______ 是公式中的a , ______是公式中的b (5+6x)(-5+6x) 中 _____ 是公式中的a , ______是公式中的b (x-2y)(x+2y) 填空: 1、 (2x-1)( )=4x 2-12、 (-4x+ )(-4x)=16x2-49y 2第一种情况:直接运用公式 1. ( a+3) (a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)第二种情况:运用公式使计算简便 1、1998X 2002 2 、 498X 502 3、 999X 1001 4、 1.01 X 0.995、 30.8 X 29.26、1(100-) X 2 (99- -33187(20-) X (19- -)99第三种情况:两次运用平方差公式 1、( a+b )(a-b)(a 2+b 2)第四种情况:需要先变形再用平方差公式5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况:每个多项式含三项2、(a+2)(a-2)(a2+4) 3(x- - )(x 2+ - )(x+ -)2 4 21、( -2x-y ) (2x-y) 2 、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y)4.(4a-1)(-4a-1)1. (a+2b+c) (a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3. x-y+z)(x+y-z)4.(m_n+p)(m_n_p)完全平方公式公式:语言叙述:两数的___________ . __________________________________________________ 。

平方差完全平方公式

平方差完全平方公式

平方差完全平方公式平方差是数学中常见的一种特殊形式的差的运算形式。

平方差经常出现在代数中的各种公式中。

在本文中,我们将通过介绍平方差公式和完全平方公式来解释这两个概念。

首先,让我们来了解平方差公式。

平方差公式是一种用来计算两个数的平方差的公式,可以表述为(a+b)(a-b)=a²-b²。

这个公式可以展开成a²-b²的形式,其中a代表一个数,b代表另一个数。

平方差公式的重要性在于它允许我们在不展开式子的情况下直接计算出结果。

举例来说,我们可以通过使用平方差公式来计算36²-25²,这个计算可以简化为(36+25)(36-25)=61*11=671接下来,让我们来介绍完全平方公式。

完全平方公式是一种特殊的平方差公式,可以用来表示一个完全平方数的平方根。

一个完全平方数是一个整数的平方,例如4、9、16等。

完全平方公式的形式为(a + b)² = a² + 2ab + b²。

其中a和b代表任意两个数。

这个公式可以被展开成(a + b)(a + b)的形式,然后简化为a² + 2ab + b²的形式。

在使用完全平方公式时,我们可以将一个数分解成两个数的平方之和,从而找到这个数的平方根。

举一个例子来说明完全平方公式的应用。

我们可以使用完全平方公式来计算25的平方根。

我们将25分解成一个平方数和另一个数的形式,即25=5²。

然后我们将完全平方公式应用于这个分解形式,得到25=(5+b)²=5²+2*5*b+b²。

为了找到b的值,我们可以将等式中的其他项化简,并使其等于0,即25-5²=10b+b²。

这可以简化为0=b²+10b-25、我们可以通过求解这个二次方程来找到b的值,得到b=-5或b=5、因此,25的平方根可以是5或-5在本文的最后,让我们来总结一下平方差公式和完全平方公式的应用。

平方差公式和完全平方公式

平方差公式和完全平方公式

平方差公式和完全平方公式在数学中,平方差公式和完全平方公式是两个重要的公式,它们在代数中的运用频繁,能够帮助我们简化计算和解决问题。

本文将介绍这两个公式的定义、应用以及推导过程。

一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差等于它们的积与和的差。

具体表达如下:a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)其中,a、b为任意实数。

平方差公式的应用可以帮助我们快速计算平方差,以及解决一些与平方差相关的问题。

例如,考虑以下例子:例1:计算 16^2 - 9^2 的值。

根据平方差公式,我们可以将该式转化为 (16 + 9)(16 - 9)。

进一步计算可得= 25 × 7= 175因此,16^2 - 9^2 的值为 175。

平方差公式也可以用于因式分解和方程求解等问题。

通过将平方差公式进行变形,可以将复杂的表达式进行简化。

二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成两个平方项的和的形式。

具体表达如下:(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2其中,a、b为任意实数。

完全平方公式的应用范围广泛,涉及到二次函数、方程、因式分解等等。

以下是一些例子:例2:将 x^2 - 6x + 9 表示为完全平方形式。

我们可以观察到该式可以写成 (x - 3)^2 的形式,其中 a = x,b = -3。

这样,我们就可以利用完全平方公式进行简化和计算。

例3:解方程 x^2 + 6x + 9 = 0同样地,我们可以将该方程改写为 (x + 3)^2 = 0 的形式。

根据完全平方公式,这意味着 x + 3 = 0 或 x = -3。

因此,方程的解为 x = -3。

总结:平方差公式和完全平方公式在代数中起到了重要的作用,能够帮助我们简化计算和解决问题。

我们可以通过灵活运用这两个公式来化简表达式、因式分解、解方程等。

熟练掌握平方差公式和完全平方公式,对理解和应用代数知识都有很大帮助。

平方差完全平方公式

平方差完全平方公式

【知识点】一、平方差公式:(a+b )(a-b)=a 2-b 2两数和与这两数差的积,等于它们的平方之差。

1、即:(a+b )(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用,即:a 2-b 2=(a+b )(a-b)。

3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积 即:(a+b )(a-b)或(a+b )(b-a) ②有两数和的相反数与两数差的积 即:(-a-b )(a-b)或(a+b )(b-a) ③有两数的平方差 即:a 2-b 2 或-b 2+a 2二、完全平方公式:(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。

1、完全平方公式也可以逆用,即a 2+2ab+b 2=(a+b)2a 2-2ab+b 2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定 ①有两数和(或差)的平方即:(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2②有两数平方,加上(或减去)它们的积的2倍,且两数平方的符号相同。

即:a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2或-a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2探索练习:1、计算下列各式: (1)()()22-+x x (2)()()a a 3131-+ (3)()()y x y x 55-+2、观察以上算式及其运算结果,你发现了什么规律?3、猜一猜:()()=-+b a b a -平方差公式1、平方差公式:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,即22))((b a b a b a -=-+。

2、其结构特征是:①公式左边是两个二项式相乘,两个二项式中第一项相同,第二项互为相反数; ②公式右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差。

随堂练习:1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 (1)()()c a b a -+ (2)()()x y y x +-+ (3)()()ab x x ab ---33 (4)()()n m n m +--2、判断:(1)()()22422b a a b b a -=-+ ( ) (2)1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x ( ) (3)()()22933y x y x y x -=+-- ( )(4)()()22422y x y x y x -=+--- ( ) (5)()()6322-=-+a a a ( ) (6)()()933-=-+xy y x ( )3、计算下列各式:(1)()()b a b a 7474+- (2)()()n m n m ---22 (3)()()33221221--+-+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x4、填空:(1)()()=-+y x y x 3232 (2)()()116142-=-aa(3)()949137122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ab (4)()()229432y x y x -=-+5、求()()()22y x y x y x +-+的值,其中2,5==y x6、计算:(1)()()c b a c b a --+- (2)()()()()()42212122224++---+-x x x x x x【例】运用平方差公式计算:102×98; 59.8×60.2;运用平方差公式计算:完全平方公式探索:一块边长为a 米的正方形实验田,因需要将其边长增加b 米,形成四块实验田,以种植不同的新品种。

高中数学公式大全平方差公式与完全平方公式

高中数学公式大全平方差公式与完全平方公式

高中数学公式大全平方差公式与完全平方公式高中数学公式大全:平方差公式与完全平方公式在高中数学中,有许多重要的公式被广泛应用于各个数学的领域。

本文将重点介绍两个重要的公式,即平方差公式和完全平方公式,并对其应用进行详细讲解。

一、平方差公式平方差公式是一种用于将一个式子因式分解的方法,它被广泛应用于高中数学的代数部分。

平方差公式可以将一个二次多项式的差平方分解为两个一次多项式的乘积。

其表达式如下:(a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)其中,a和b可以代表任意实数。

平方差公式的应用非常广泛,尤其是在化简和因式分解二次多项式时,十分有用。

下面通过一些例子进一步说明平方差公式的应用。

例1:将多项式 x^2 - 9 进行因式分解。

解:根据平方差公式,可得到:x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)因此,多项式 x^2 - 9 可以因式分解为 (x + 3)(x - 3)。

例2:将多项式 4a^2 - 25b^2 进行因式分解。

解:根据平方差公式,可得到:4a^2 - 25b^2 = (2a + 5b)(2a - 5b)因此,多项式 4a^2 - 25b^2 可以因式分解为 (2a + 5b)(2a - 5b)。

通过以上例子,我们可以看出平方差公式的应用范围相当广泛,学好此公式有助于化简和解决复杂的代数问题。

二、完全平方公式完全平方公式是另一个在高中数学中常见的重要公式。

它常用于将一个二次多项式转化为平方的形式。

其表达式如下:(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2其中,a和b可以代表任意实数。

完全平方公式的应用也非常广泛,下面通过一些例子进一步说明它的用法。

例3:将多项式 x^2 + 6x + 9 进行化简。

解:根据完全平方公式,可得到:x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2因此,多项式 x^2 + 6x + 9 可以化简为 (x + 3)^2。

例4:将多项式 9a^2 - 12ab + 4b^2 进行化简。

平方差完全平方公式的应用

平方差完全平方公式的应用

平方差完全平方公式的应用平方差和完全平方公式是数学中常用的两个重要公式。

在解决代数问题和简化计算过程中,它们具有非常重要的应用。

首先,我们来谈谈平方差公式。

平方差公式是用来将两个数的平方差表示为两个数的乘积的公式。

具体来说,平方差公式可以表达为:\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)。

这个公式的应用非常广泛。

例如,如果我们需要计算数\(a\)和数\(b\)的平方差,我们可以使用平方差公式,将这个表达式转化为\((a+b)(a-b)\)的形式,然后再进行计算。

这样可以简化计算过程,使我们更容易得到结果。

接下来,让我们来谈谈完全平方公式。

完全平方公式是指一个二次多项式可以被写成一个平方的形式。

具体来说,完全平方公式可以表达为:\( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)。

完全平方公式的应用非常广泛,特别是在因式分解方程和简化代数表达式时。

例如,如果我们需要因式分解一个二次方程,我们可以应用完全平方公式来简化等式。

一个具体的例子是\(x^2+6x+9\)。

我们可以使用完全平方公式将其转化为\((x+3)^2\)的形式。

在这个例子中,我们可以得到的结果是\((x+3)^2\)。

完全平方公式还可以用来简化代数表达式,使其更易于计算。

例如,如果我们需要计算\((a+3)^2\)和\((a-3)^2\)之间的差异,我们可以应用完全平方公式,将其转化为\(a^2+6a+9\)和\(a^2-6a+9\)的形式。

然后我们可以简化计算过程,更容易得到结果。

总结起来,平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个重要公式。

它们在解题过程中起着非常重要的作用,可以帮助我们简化计算过程,得到更准确的结果。

在实际应用中,我们应该熟练掌握这两个公式,以便在解决代数问题时能够灵活运用。

完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式完全平方公式的原型是222()2a b a ab b ±=±+.我们在充分理解它的基础上,还要熟悉它的变形式:① 222()2a b a b ab +=+- 2()2a b ab =-+② 2222()()2()a b a b a b ++-=+③ 22()()4a b a b ab +--=一、完全平方公式中系数的运用例1 如果多项式24x kx ++是一个完全平方式,则k 的值是多少?二、完全平方公式在求值中的运用例2 已知。

13a a +=-.求: (1) 221a a+; (2)21()a a-的值例3 已知2310x x -+=,求2421x x x ++的值.四、完全平方公式在因式分解及求位中的运用例4 已知1a b +=,求221122a ab b ++的值.五、完全平方公式在求差法中的运用例5 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边,试比较222a b c --和2bc 的大小.六、拆项、配方构造完全平方公式在证明中的运用例7 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边,满足222166100a b c ab bc --++=,求证: 2a c b +=.七、配方法构造完全平方公式求值的运用例8 已知: 28,16a b ab c +==+,求2016(1)a b c -+-的值.八、添项法构造完全平方公式分解因式的运用例9 分解因式: 44x +.计算下列各整式乘法。

①位置变化:22()()x y y x --+②符号变化:2(32)a b --③数字变化:2197④方向变化:2(32)a -+⑤项数变化:2(1)x y +- ⑥公式变化22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++九、配方法构建完全平方公式在证明中的运用例10 已知a 、b 、c 为三角形的三边,且2220a b c ab bc ac ++---=,求证: ABC ∆为等边三角形. 平方差公式22()()a b a b a b +-=-是恒等式,是初中数学中的重要公式,公式中的字母可以表示数字,也可以表示单项式、多项式等代数式。

平方差公式和完全平方公式的变形

平方差公式和完全平方公式的变形

平方差公式和完全平方公式的变形平方差公式和完全平方公式是数学中两个重要的式子,它们在多项式中有着重要的作用。

本文将介绍平方差公式和完全平方公式的变形,以及它们的应用。

一、平方差公式平方差公式是指在多项式中,一个多项式的平方可以由另外一个多项式的平方加上两个多项式的乘积来表示。

它的一般形式可以表示为:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2从上面的公式可以看出,平方差公式的基本形式就是一个多项式的平方等于另外一个多项式的平方加上两个多项式的乘积。

二、完全平方公式完全平方公式是指一个多项式可以由一个多项式的平方加上两个多项式的乘积表示。

它的一般形式可以表示为:a^2-2ab+b^2=(a-b)^2从上面的公式可以看出,完全平方公式的基本形式就是一个多项式可以由另外一个多项式的平方减去两个多项式的乘积来表示。

三、平方差公式和完全平方公式的变形1. 平方差公式的变形:(a-b)^2=a^2-2ab+b^2从上面的公式可以看出,平方差公式也可以表示为一个多项式的平方等于另外一个多项式的平方减去两个多项式的乘积。

2. 完全平方公式的变形:a^2+2ab+b^2=(a+b)^2从上面的公式可以看出,完全平方公式也可以由一个多项式的平方加上两个多项式的乘积来表示。

四、平方差公式和完全平方公式的应用1. 平方差公式的应用:a. 平方差公式可以用来解决二次方程。

b. 平方差公式可以用来求解三角形的面积。

c. 平方差公式可以用来计算圆的面积。

2. 完全平方公式的应用:a. 完全平方公式可以用来解决二次方程。

b. 完全平方公式可以用来求解三角形的面积。

c. 完全平方公式可以用来计算圆的面积。

五、总结从上面的介绍可以看出,平方差公式和完全平方公式是数学中重要的式子,它们可以用来解决二次方程、求解三角形的面积以及计算圆的面积。

此外,平方差公式和完全平方公式也可以变形,以求得更多的应用。

八年级上数学人教版《 平方差公式、完全平方公式》笔记

八年级上数学人教版《 平方差公式、完全平方公式》笔记

《平方差公式、完全平方公式》笔记
一、平方差公式
1.公式描述:两数和乘两数差,等于两数平方差。

2.公式结构:(a+b)(a−b)=a2−b2
3.公式说明:此公式是整式乘法中的重要公式之一,它适用于任何具有此结
构的式子,可以简化计算。

4.公式应用:在解决数学问题时,此公式可以用于计算两数之和与两数之差
的积,也可以用于分解因式和求值。

二、完全平方公式
1.公式描述:首平方又末平方,二倍首末在中央;和的平方加再加,先减后
加差平方。

2.公式结构:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a−b)2=a2−2ab+b2
3.公式说明:此公式是整式乘法中的另一个重要公式,它适用于任何具有此
结构的式子,可以简化计算。

4.公式应用:在解决数学问题时,此公式可以用于计算一个数的平方加上或
减去两倍的此数与另一数的积再加上或减去两倍的此数的平方,也可以用于分解因式和求值。

三、注意事项
1.在使用公式时要注意公式的结构以及字母的含义,避免出现错误。

2.在进行计算时要注意运算顺序和符号,确保计算结果的准确性。

3.在解决实际问题时要注意公式的应用范围和限制条件,避免出现错误的应
用。

完全平方公式和平方差公式综合应用

完全平方公式和平方差公式综合应用

完全平方公式和平方差公式综合应用对于任意实数a和b,有(a+b)² = a² + 2ab + b²。

平方差公式如下:对于任意实数a和b,有(a-b)² = a² - 2ab + b²。

一、应用问题1:求解方程2x²+8x+8=0。

解析:我们可以将方程进行变形,以便使用完全平方公式。

首先,将方程两边同时减去8,得到:2x²+8x=-8再将方程两边同时除以2,得到:x²+4x=-4观察到该方程中,系数b等于4,我们可以看到b的两倍是4*2=8、因此,我们可以使用完全平方公式。

根据完全平方公式,我们知道这个方程可以写成:(x+2)²=-4+4=0由此可得x+2=±√0x=-2±√0由于根号0等于0,所以x=-2为方程的唯一实数解。

二、应用问题2:求证正整数(n+1)³-n³-1是一个完全平方数。

解析:我们需要证明的是(n+1)³-n³-1是一个完全平方数,即证明存在一个整数x,使得:(n+1)³-n³-1=x²通过平方差公式,我们可以简化上式为:(n+1)³-n³-1=(3n²+3n+1)=(n+1)²因此,我们可以看出,(3n²+3n+1)是一个完全平方数。

三、应用问题3:Rectangle1的长是Square1的边长的2倍,它们的面积相差180平方米。

如果将Square1的边长减少2米,而Rectangle1的长增加5米,则两个图形的面积相等。

求Rectangle1和Square1的边长。

解析:设Square1的边长为x,则Rectangle1的长为2x。

根据题意,可列方程:(2x)^2-x^2=180(相差180平方米)(2x-2)^2=(x+5)^2(面积相等)通过求解上述方程组,我们可以得到Square1的边长为10米,Rectangle1的长为20米。

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作 业
1.计算:
(1)( 31x+32y 2)( 31x−3
2y 2); (2)(a+2b−c)(a−2b+c); (3)(m−2n)(m 2+4n 2)(m+2n);
(4)(a+2b)( 3a−6b)(a 2+4b 2);
(5)(m+3n)2(m−3n)2;
(6)( 2a+3b)2−2( 2a+3b)(a−2b)+(−a+2b)2.
2.利用乘法公式进行简便运算:
①20042;
②999.82;
③(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
参考答案
一、选择题
1. 答案:C
说明:利用完全平方公式(a−b)2 = a 2−2ab+b 2,A 错;(a+3b)2 = a 2+ 2a(3b)+(3b)2 = a 2+6ab+9b 2,B 错;(a+b)2 = a 2+2ab+b 2,C 正确;利用平方差公式(x+3)(x−3) = x 2−9,D 错;所以答案为C .
2. 答案:B
说明:选项B ,(−5xy+4z)(−4z−5xy) = (−5xy+4z)(−5xy −4z),符合平方差公式的形式,可以用平方差公式计算;而选项A 、C 、D 中的多项式乘法都不符合平方差公式的形式,不能用平方差公式计算,所以答案为B .
3. 答案:D
说明:( 2a+b)( 2a−b) = ( 2a)2−b 2 = 4a 2−b 2,A 错;(0.3x+0.2)(0.3x−0.2) =
(0.3x)2−0.22 = 0.09x 2−0.04,B 错;(a 2+3b 3)(3b 3−a 2) = (3b 3)2−(a 2)2 = 9b 6−a 4,C 错;( 3a−bc)(−bc− 3a) = (−bc )2−( 3a)2 = b 2c 2− 9a 2 = − 9a 2+b 2c 2,D 正确;所以答案为
D .
4. 答案:C
说明:利用完全平方公式(−2y−x)2 = (−2y)2+2(−2y)(−x)+(−x)2 = 4y 2+4xy+x 2,所以答案为C .
5. 答案:D
说明:选项D ,两个多项式中−m 2n 与m 2n 互为相反数,2与−2也互为相反数,因此,不符合平方差公式的形式,不能用平方差公式计算,而其它三个选项中的多项式乘法都可以用平方差公式计算,答案为D .
答案:B
说明:利用完全平方公式(x+y)2 = x 2+2xy+y 2,A 错;(x−2y)2 = x 2−2x(2y)+(2y)2
= x 2−4xy+4y 2,C 错;(21a−b)2 = (21a)2−2(21a)b+b 2 =4
1a 2−ab+b 2,D 错;只有B 中的式子是成立的,答案为B . 二、解答题
1. 解:(1)(
31x+32y 2)( 31x−32y 2) = (31x)2−(32y 2)2 =91x 2−9
4y 4. (2) (a+2b−c)(a−2b+c)
= a2−(2b−c)2
= a2−(4b2−4bc+c2)
= a2−4b2+4bc−c2
(3)(m−2n)(m2+4n2)(m+2n)
= (m−2n)(m+2n)(m2+4n2)
= (m2−4n2)(m2+4n2)
= m4−16n4
(4)(a+2b)( 3a−6b)(a2+4b2)
= (a+2b)•3•(a−2b)(a2+4b2)
= 3(a2−4b2)(a2+4b2)
= 3(a4−16b4)
= 3a4−48b4
(5) 解1:(m+3n)2(m−3n)2
= (m2+6mn+9n2)(m2−6mn+9n2)
= [(m2+9n2)+6mn][(m2+9n2)−6mn]
= (m2+9n2)2−(6mn)2
= m4+ 18m2n2+81n4− 36m2n2
= m4− 18m2n2+81n4
解2:(m+3n)2(m−3n)2
= [(m+3n)(m−3n)]2
= [m2−(3n)2]2
= (m2−9n2)2
= m4− 18m2n2+81n4
(6)解1:( 2a+3b)2−2( 2a+3b)(a−2b)+(−a+2b)2
= 4a2+12ab+9b2−2(2a2+3ab−4ab−6b2)+a2−4ab+4b2 = 4a2+12ab+9b2− 4a2−6ab+8ab+12b2+a2−4ab+4b2 = a2+10ab+25b2
解2:( 2a+3b)2−2( 2a+3b)(a−2b)+(−a+2b)2
= ( 2a+3b)2−2( 2a+3b)(a−2b)+(a−2b)2
= (a+5b)2
= a2+10ab+25b2
2. 解:①20042
= (2000+4)2
= 20002+2•2000•4+42
= 4000000+16000+16
= 4016016
②999.82
= (1000−0.2)2
= (1000)2−2×1000×0.2+(0.2)2
= 1000000−400+0.04
= 999600.04
③(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
= (2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
= (22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
= (24−1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
= (28−1)(28+1)(216+1)+1
= (216−1)(216+1)+1
=232−1+1
= 232.。

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