高中数学——面面垂直的判定
面面垂直 的 判定
面面垂直的判定面面垂直与线面垂直是高中数学学习的重点内容，面面垂直是指两条直线或两个平面垂直相交的情况，线面垂直是指一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
在解题中，已知面面垂直可推导出线面垂直。
面面垂直的判定1、在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则面面垂直。
3、如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
面面垂直的证明方法：1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。
2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。
4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。
面面垂直怎么推出线面垂直面面垂直推线面垂直的方法：任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线，因为是同一个面内，所以一定能做出来，然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。
直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1、如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
高中数学面面垂直解题技巧1、确定面面垂直的两个面或者直线。
2、利用垂直的性质，如垂直的两条直线斜率的积为-1，或者两个向量垂直的充要条件为它们的内积为0。
3、根据题目条件列方程，利用已知垂直的性质解方程，求解未知数。
4、注意题目中的单位和精度要求，最终结果要进行合理的约分和四舍五入。
面面垂直的性质定理是什么性质：若两平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一平面；若两平面垂直，则与一个平面垂直的直线平行于另一平面或在另一平面内。
高中数学——面面垂直的性质
α， α，
A
α
B
D
面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面
α⊥β α I β = l ⇒ AB ⊥ β AB ⊂ α AB ⊥ l
面面垂直 线面垂直 线线垂直 α β A
B
l
面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直, 面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直, 求证: 如果两个平面互相垂直, 例1. 求证 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二 , 平面内的一点垂直于第二个平面的直线, 平面内的一点垂直于第二个平面的直线 个平面的直线, 在第一的平面内. 个平面的直线, 在第一的平面内. 在第一的平面内. 在第一的平面内. 已知： 已知：α⊥ β , P ∈α , P∈ a, a⊥ β. 求证： ⊂ 求证： a
A
P B Q C
D
练习 2：如图，将一副三角板拼成直二面角 A-BC-D，其 中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°， A （1）求证：平面 BAD⊥平面 CAD； （2）若 CD=2，求 C 到平面 BAD 的距离。
证明：（ ） 平面ABC⊥平面 证明：（1）∵平面 ：（ ⊥平面DBC 又DC⊥BC ∴DC⊥平面 ⊥ ⊥平面ABC B 在面ABC内 ∴DC⊥AB ∵AB在面 在面 内 ⊥ AC∩CD=C， AC，AD在面 在面ACD内 D 又AB⊥AC， ⊥ ， ， ， 在面 内 在平面ABD， ∵AB⊥平面 ⊥平面ACD 而AB在平面 在平面 ， 平面ABD⊥平面 ∴平面 ⊥平面CAD 于点E 平面ABD⊥平面 （2）过C作CE⊥AD于点 ∵平面 ） 作 ⊥ 于点 ⊥平面CAD ∴CE⊥平面 ⊥平面CAD
高中数学总结归纳 点击面面垂直的判定与性质
点击面面垂直的判定与性质一、面面垂直的判定与性质1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.二、证明面面垂直的基本方法有：（1）利用定义证明，即利用两平面相交成直二面角来证明；（2）利用面面垂直的判定定理证明，即若a ⊥β，a α⊂，则α⊥β在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用.三、典例选析例1．如下图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC.剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC 的中点O ，连结AO 、SO ，既可证明AO ⊥平面BSC ，又可证明SO ⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS 是二面角A —BC —S 的平面角，转化为证明∠AOS 是直角.证法一：取BC 的中点O ，连结AO 、SO.∵AS=BS=CS ，SO ⊥BC ， 又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC ，从而AO ⊥BC. 设AS=a ，又∠BSC=90°，则SO=22a.又AO=22BO AB -=2221a a -=22a ， ∴AS 2=AO 2+SO 2，故AO ⊥OS.从而AO ⊥平面BSC ，又AO ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC. 证法二：同证法一证得AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，∴∠AOS 就是二面角A —BC —S 的平面角.再同证法一证得AO ⊥OS ，即∠AOS=90°. ∴平面ABC ⊥平面BSC.点评：本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法.此外，本题中证明∠AOS=90°的方法较为特殊，即通过“算”，定量地证得直角，而不是通过位置关系定性地推理出直角，这也是立体几何中证明垂直的一种重要方法.例3．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，若过面对角线AB 1与另一面对角线BC 1平行的平面交上底面A 1B 1C 1的一边A 1C 1于点D .（1）确定D 的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB 1D ⊥平面AA 1D ；（3）若AB ∶AA 1=2，求平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角的大小.分析：本题的结论是“开放性”的，点D 位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出. 由于AB 1与BC 1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC 1沿BA 平行移动，BC 1取AE 1位置，则平面AB 1E 1一定平行BC 1，问题可以解决.（1）解：如下图，将正三棱柱ABC —A 1B 1C 1补成一直平行六面体ABCE —A 1B 1C 1E 1，由AE 1∥BC 1，AE 1⊂平面AB 1E 1，知BC 1∥平面AB 1E 1，故平面AB 1E 1应为所求平面，此时平面AB 1E 1交A 1C 1于点D ，由平行四边形对角线互相平行性质知，D 为A 1C 1的中点.（2）证明：连结AD ，从直平行六面体定义知AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，且从A 1B 1C 1E 1是菱形知，B 1E 1⊥A 1C 1，据三垂线定理知，B 1E 1⊥AD .又AD ∩A 1C 1=D ，所以B 1E 1⊥平面AA 1D ，又B 1E 1⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥平面AA 1D .（3）解：因为平面AB 1D ∩平面AA 1D =AD ，所以过A 1作A 1H ⊥AD 于点H .作HF ⊥AB 1于点F ，连结A 1F ，从三垂线定理知A 1F ⊥AB 1.故∠A 1FH 是二面角A 1—AB 1—D 的平面角.设侧棱AA 1=1，侧棱AB =2.于是AB 1=22)2(1+=3.在Rt △AB 1A 1中，A 1F =1111AB B A AA ⨯=321⋅=36，在Rt △AA 1D 中，AA 1=1，A 1D =21A 1C 1=22，AD =2121D A AA +=26.则A 1H =ADD A AA 11⨯=33. 在Rt △A 1FH 中，sin ∠A 1FH =F A H A 11=22，所以∠A 1FH =45°. 因此可知平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角为45°或135°.点评：本题主要考查棱柱的性质，以及面面关系、二面角的计算，同时考查空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力. 立体几何的计算并非单纯的数字计算，而是与作图和证明相结合的.立体几何计算题的主要步骤可以归纳为画—证—算三步.“画”是画图，添加必要的辅助线，或画出所要求的几何量，或进行必要的转化；“证”是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，然后进行最后一步计算.这三步之间紧密相连，环环相扣，互相制约，形成了解决立体几何计算题的思维程序，是综合考查学科能力的集中体现.例3．如下图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD=G.（1）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B ；（2）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ；（3）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V.（1）证法一：如下图，连结AC.∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形， ∴AC ⊥BD.又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC.∴EF ⊥平面BDD 1B 1.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又EF ⊥D 1D ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1. ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.（2）解：在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H. ∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H.∴点D 1到平面B 1EF 的距离d=D 1H.在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H.∵D 1B 1=2A 1B 1=2·22=4，sin ∠D 1B 1H=sin ∠B 1GB=11GB B B =22144+=174，∴d=D 1H=4·174=171716. （3）解：V=V 11EFD B -=V EF B D 11-=31·d ·S EF B 1∆=31·1716·21·2·17=316. 点评：近几年立体几何的解答题一般都是一题多问，环环相扣.如本题的三小问便是如此.本题主要考查正四棱柱等基本知识，考查逻辑推理能力及空间思维能力.。
高中面面垂直的判定定理
高中面面垂直的判定定理1. 定义和背景在高中数学中，面面垂直是一个非常重要的概念。
直观上来讲，两个平面如果垂直，则它们相交的直线与两个平面的法线垂直。
垂直是一种关系，是数学中的一个基本概念。
在我们的日常生活中，垂直关系是无处不在的。
比如，我们身边的建筑物，墙壁和地板就是垂直的。
在高中阶段的几何学中，我们学习了很多关于垂直的内容，其中一个重要的内容就是高中面面垂直的判定定理。
2. 定理的表述高中面面垂直的判定定理可以表述为：如果平面A与平面B相交于直线l，并且直线l与平面C相交于点P，则平面A与平面C垂直。
3. 定理的证明为了证明高中面面垂直的判定定理，我们可以使用向量的方法。
设平面A的法线向量为n1，平面B的法线向量为n2，平面C的法线向量为n3。
由于平面A与平面B相交于直线l，所以直线l可以被平面A和平面B的法线向量表示为：l = n1 x n2而直线l与平面C相交于点P，所以点P在平面C上，点P的位置可以用点P与平面C的法线向量的点乘来表示：n3 · P = d3其中d3表示平面C到原点的距离。
由于直线l在平面C上，所以直线l的向量与平面C的法线向量点乘为0：l · n3 = 0将直线l用n1和n2表示，并将其代入上式：(n1 x n2) · n3 = 0展开运算得到：n1 · (n2 x n3) = 0由于n1是平面A的法线向量，而n1与n2 x n3垂直，所以平面A与平面C垂直。
综上所述，我们证明了高中面面垂直的判定定理。
4. 应用举例高中面面垂直的判定定理在实际问题中有很多应用。
例如，我们在学习三视图时，可以利用面面垂直的判定定理来判断三视图中的平面是否垂直。
三视图是将一个立体物体的三个不同面分别投影到三个相互垂直的平面上得到的图形。
利用面面垂直的判定定理，我们可以验证三视图中的平面是否满足垂直关系。
另外，当我们在进行空间解析几何的问题时，面面垂直的判定定理也经常被用到。
高中数学第八章立体几何初步-平面与平面垂直的判定课件及答案
则 AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS 为二面角 A-BC-S 的平面角．在 Rt△BSC
中，∵SB＝SC＝a，
∴SD＝
22a，BD＝B2C＝
2 2 a.
在 Rt△ABD 中，AD＝ 22a.在△ADS 中， ∵SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，即二面角 A-BC-S 为直二面角，故平
面 ABC⊥平面 SBC.
(3)垂线法．过二面角的一个面内异于棱上的 A 点向另一个平面作垂线，垂 足为 B，由点 B 向二面角的棱作垂线，垂足为 O，连接 AO，则∠AOB 为二面 角的平面角或其补角．如图③，∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角．
【对点练清】
1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两
D．AO⊥l，BO⊥l，且 AO⊂α，BO⊂β 答案：D
3.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，二面角 A-BC-A1 的平面 角等于 ________． 答案：45°
知识点二 平面与平面垂直
(一)教材梳理填空 1．面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直__二__面__角__，就说 定义
D．不存在
()
答案：C 3．若平面 α⊥平面 β，平面 β⊥平面 γ，则
()
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α 与 γ 相交但不垂直 答案：D
D．以上都有可能
题型一 二面角的概念及其大小的计算
【学透用活】 (1)一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的． (2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的 平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都 与棱垂直，这三个条件缺一不可． (3)当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 0°；当二面角的两 个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是 180°，所以二面角的平面角 α 的取值范围是 0°≤α≤180°.
高中数学：面面垂直判定课件共20张PPT
二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D
C
A
OB
两平面垂直
1、定义：两个平面相交，如果它们所成的 二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质: 1、凡是直二面角都相等
2、两个平面相交,可引成四个二面角,如 果其中有一个是直二面角,那么其他各个 二面角都是直二面角
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
B
10
二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度． ① 两个半平面重合：二面A角是 0o； ② 两个半平面合成一个平面：180o；
二面角的范围：[ 0o, 180o ]． B
③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
O
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列
二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
2、判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直
D
A
C
B
线面垂直
面面垂直
2、判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：
l l
α β
αβ
l
线线垂直 线面垂直
高中数学必修二6.面面垂直性质判定
授课内容 面面垂直的判定性质教学内容知识梳理一、面面垂直的判定定理1、文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2、符号语言：βααβ⊥⇒⊥⊂l l ,3、图形语言：二、面面垂直的性质定理1、文字语言：两个平面垂直，如果其中一个平面存在垂直于交线的直线，则这条直线也垂直于另一个平面。
2、符号语言：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥l m l l m ,,,3、图形语言：三、二面角1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做半平面。
2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
3、二面角的大小：以二面角棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条射线组成的角，叫做二面角的平面角。
4、二面角的找法：①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线。
②垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，平面与二面角所成的两条射线组成的角，即为二面角的平面角。
③垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角专题精讲二、面面垂直的判定定理4、文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
5、符号语言：βααβ⊥⇒⊥⊂l l ,6、图形语言：三、面面垂直的性质定理4、文字语言：两个平面垂直，如果其中一个平面存在垂直于交线的直线，则这条直线也垂直于另一个平面。
5、符号语言：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥l m l l m ,,,6、图形语言：三、二面角1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做半平面。
2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
3、二面角的大小：以二面角棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条射线组成的角，叫做二面角的平面角。
4、二面角的找法：①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线。
②垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，平面与二面角所成的两条射线组成的角，即为二面角的平面角。
【高中数学】高中数学知识点：平面与平面垂直的判定与性质
【高中数学】高中数学知识点：平面与平面垂直的判定与性质
平面和平面垂直的定义：
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是
直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
如图，
面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（线面垂直
面面垂直）
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
（面面垂直
线面垂直）
性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题
的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般
用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直
通常利用线面垂直或利用空间向量．
常用结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直
线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，
（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学人教必修二平面与平面垂直的判定定理
练习
思考
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
2.平面与平面垂直的判定
(1) 定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作
a
a
(2) 面面垂直的判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂 直． 注2：① a , a ②该定理作用：“线面垂直面面垂直” ③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
练 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, (1)求证：平面A1C⊥平面B1D (2)E、F分别是AB、BC的中点， 求证：平面A1C1FE⊥平面B1D (3)G是BB1的中点， 求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结: 直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D D1 A1 A D F E Ｂ G G G G C
A' A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
A A
l
O B
注1： ①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°； ②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.
A B C
ABC为直角三角形，ABC=90，则O为斜边AC的中点. 由PO 面PAC，PO 面ABC，可得面PAC 面ABC.
变式1 在三棱锥P-ABC中，PA PB PC，ABC=90，求证 : 面PAC 面ABC.
P
高中数学：面面垂直的判定1课件共31张PPT
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
C β
B E
D 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，
∪
∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是
直二面角，∴α⊥β.
21
平面与平面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两
个平面垂直.
解决.
31
（D ）
A.二面角的大小范围是大于0 且小于90 B.一个二面角 的平面角可以不相等 C、二面角的平面角的顶点可以
不在棱上D.二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直
29
3、已知二面角 l 的大小为 ，直线 a ，
a与 所成的角为 ，则
（A）
A.
B.
C.当 90 时， 90 ;当 90 时,
AF PC于F。
求证（1）BC AF; （2）平面AEF 平面PAB.
P
E
F
A
B
C
24
探究： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
面ABC 面BCD AB 面BCD A
面ABC 面ACD CD 面ABC
面ABD 面BCD AB 面BCD
B
D C
25
所成的角的取值范围： 1
( 0o, 90o )
A
B
3
二、课堂设问，任务驱动
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
4
二、课堂设问，任务驱动
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这 条直线和这个平面所成的角。
高中数学-直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定
已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则
π
侧面与底面所成的二面角等于 3 .
（设O为底面ABCD的中心，E为BC边
的中点，则∠PEO即为侧面与底面所成
二面角的平面角，
∵底面对角线的长为2 6，
∴底面边长为2 3.
又∵V=
1
3 Sh=12.
∴OE= 3,高OP=3，
∴tan∠PEO= ∴∠PEO= π
A1D1,A1G
A1GFD1，
∴AE⊥平面A1GF.
又∵AE
ADE，
∴平面ADE⊥平面A1FG.
返回
返回
返回
返回
返回
返回
返回
返回
返回
返回
返回
.
OP OE
=3.
3
即侧面与底面所成的二面角为
π
）
3
返回
怎样理解线面垂直的判定定理？ 直线和平面垂直的判定定理，应抓住“两条”和“相 交”这两个关键词语.要判断一条已知直线和一个平面 是否垂直，取决于在这平面内能否找出两条相交直线 和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直 线有公共点，是无关紧要的.
条相交直线”是关键性词语，证明时一定要明确指出，
弄清定理的条件是掌握好定理的关键.
（3）转化思想在本学案中的应用:
线线垂直
线面垂直.
在转化时要弄清相互转化的条件，根据具体问题灵活
选取恰当的证明方法.
返回
4.证面面垂直的方法：
（１）证明两平面构成的二面角的平面角为90°.
（２）证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将
直的判定定，理用符ຫໍສະໝຸດ 表示为：a αb α
a∩b=O l⊥a
高中数学线面、面面垂直的判定与性质
线面、面面垂直的判定与性质知识回顾1．直线与平面垂直的判定（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．（2）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．平面与平面的垂直的判定（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（2）面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．题型讲解题型一例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案：C例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案：A例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．题型二例4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C例5、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． ∴ON12CD 12AB ， ∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．题型三例6、直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( )A ．40°B ．50°C ．90°D ．150°答案：B例7、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________． 答案：(1)45° (2)30° (3)90° 题型四例6、在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．32答案：B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角． ∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]例7、过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．答案：45° 题型五例8、下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β答案：C例9、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．9．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．题型六例10、平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能答案：D例11、如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．11．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24． ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝163．跟踪训练1．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )A ．33B ．22C ． 2D ． 3答案：C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1AAO＝2，∴选C.2．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在答案：C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 答案：A[解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C. 又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C.而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C.又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C.故选A. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________．答案：90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A －A′BB′的体积V ＝________.答案： 4[解析] ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′， ∴AA′⊥β，∴V ＝13S △A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.6. 如图所示，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .证明 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC . 而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .7．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE.证明 取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF. ∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE.则GF ∥AB. 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB.则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF. 又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， ∴AF ⊥平面CDE.∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE.∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．证明(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D是45°的二面角．6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，且BC1⊥A1C．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)若D、E分别是A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1.11解析： (1)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ， ∴ACC 1A 1为正方形， ∴A 1C ⊥AC 1.又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面ABC 1， 又∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC 1.(2)如图，取AA 1的中点F ，连接DF 、EF.∵D 、E 、F 分别为A 1C 1、BB 1、AA 1的中点， ∴DF ∥AC 1，EF ∥AB ，DF∩EF ＝F ， ∴平面DEF ∥平面ABC 1， ∴DE ∥平面ABC 1.。
高中面面垂直的判定定理
高中面面垂直的判定定理高中面面垂直的判定定理在平面直角坐标系中，如果两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线互相垂直。
这就是高中数学中常见的“面面垂直”的判定定理。
下面将从定义、证明、应用三个方面详细介绍这一定理。
一、定义在平面直角坐标系中，如果有两条不重合的直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2，且k1×k2=-1，则称L1与L2互相垂直。
二、证明要证明“斜率之积为-1时，两条直线互相垂直”，我们需要用到向量的知识。
设向量a=(x1,y1)和向量b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2表示向量a和向量b的数量积。
同时，向量a和向量b垂直可表示为a·b=0。
现在考虑两条不重合的直线L1:y=k1x+b1和L2:y=k2x+b2（k1≠k2）。
分别取L1上一点A(x0,y0)和L2上一点B(x3,y3)，则有：AB^→=AO^→+OB^→=(x0-b1,y0)-(x3-b2,y3)=(x0-x3-b1+b2,y0-y3)其中，^→表示向量，O为坐标系原点。
由于L1和L2垂直，所以向量AB^→与向量L1的方向向量a=(1,k1)垂直，即：AB^→·a=0展开得：(x0-x3-b1+b2)+k1(y3-y0)=0将L2的斜率k2=-1/k1代入得：(x0-x3-b1+b2)-(y3-y0)/k2=0也就是：(x0-x3-b1+b2)+k2(y3-y0)=0这表明向量AB^→与向量L2的方向向量b=(1,k2)垂直。
因此，L1和L2互相垂直。
三、应用面面垂直定理在高中数学中经常用于解决两条直线是否垂直的问题。
例如，在解决平面几何中的证明题目时，我们需要判断两条线段是否相互垂直。
此时，可以通过计算两条线段所在的直线的斜率之积是否为-1来判定它们是否垂直。
同时，在解决函数图像问题时，也需要运用面面垂直定理。
例如，在求解过给定点且与一条已知直线垂直的函数图像时，可以通过计算该函数图像所在直线与已知直线斜率之积是否为-1来确定该函数图像的斜率。
高中数学 面面垂直的判定课件
P
证明：设⊙O所在的平面为 ，由已知
PA BC
PA
BC
∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90°即BC⊥AC
C
A
·O
B
又 PA AC A PA 平面PAC AC 平面PAC BC 平面PAC 又 BC 平面PAC 平面PAC 平面PBC
小结
1、二面角及其它的平面角
A O
l
B
二面角－ l－
二面角的范围：[ 0°, 180 °]．
2、平面与平面垂直的判定定理
β
l
l l
α
平面与平面垂直的判定方法：
（1）定义法：如果两个平面所成的二面 角是直二面角，我们就说这两个平面互相 垂直
（2）判定定理：如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线，那么这两个平面互相 垂直（“线面垂直”则“面面垂直”）
如果一个平面经过了另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面互相垂直. β
用符号表示为
l
l l
α
证明面面垂直的本质和关键是什么？
本质：线面垂直
面面垂直
关键：找垂直于平面的线
线线垂直
线面垂直
面面垂直
例1:在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
求证：平面ACC1A1 平面A1BD
.
D1 A1
C1 B1
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
∠A1O1B1 二面角的范围：[ 0°, 180 °]．
B1 B
平面角是直角的二 面角叫做直二面角
l
O1 O
A A1
人教版高中数学第二章2,4面面垂直的判定和性质(共25张PPT)教育课件
A
∴ CD⊥平面PAD. （面面垂直的性质定理）
∴ CD⊥AE .
∴ AE⊥平面PCD. AE 平面ACE ,
∴ 平面ACE⊥平面PCD . （面面垂直的判定定理）
C B
例3. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直于底面， 底面ABCD是矩形，E是PD的中点. （2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
， ，
n P
m ，n ，（面面垂直的性质定理）
又 c， m c，n c，
c . 又 a， b，
b c，c a . 同理可证 a b .
例3. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直 于底面，底面ABCD是矩形，E是PD的中点. （1）求证：平面ACE⊥平面PCD； （2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
E
PO 3 AO 3a ,
∴ ∠PBO = 45° 故 PB与底面AC所成的角为45°.
D
C
OF
A
B
作业
1. 教材习题2.3A组1、2、3、6；B组1、2、4 2.《导学精练》蓝皮+活页2.3.3；
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
•
•
•
•
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
平面与平面垂直的性质 高中数学新教材人教A版
a
l
b
O
一、复习回顾
1、直线与平面垂直的性质
(1)垂直于同一个平面的两条直线平行.
ab α
符号语言:
a⊥α
b⊥α
a//b
(2)两直线平行，其中一条垂直于一个平面， 则另一条直线也垂直于这个平面.
(3)垂直于同一条直线的
两个平面平行.
α l
β
2、面面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的 二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 3、面面垂直的判定定理
4．已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的 一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）．
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
6. 已知平面α, β,γ, β ^ γ, α ^ γ, 且β α = l, 求证：l ^ γ
证法1：设a I n, b I m,
a // a. 即直线a与平面a平行.
例10 如右图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥
平面PBC. 求证：BC⊥平面PAB .
P
分析： 要证明BC⊥平面PAB，
需要证明BC垂直于平面PAB
内的两条相交直线.
A
C
由已知条件易得BC⊥PA .
再利用平面PAB⊥平面PBC， 过点A作PB垂线AE，
B
由两个平面垂直性质可得BC⊥AE.
这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系 可以相互转化.
三、归纳小结
1、平面与平面垂直的性质定理：
ab
l
b
2、面面垂直的性质推论：
a
a
aP
b
a
b
a a
面面垂直的判定
应用巩固
例：如右图，AB是⊙O的直径， PA垂直于⊙O所在的平面， C是圆周上不同于A ， B的任意一点. 求证:平面PAC ⊥ 平面PBC C P
A
●
O
B
巩固深化、发展思维 探究： 如右图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD， 你能发现哪些平面互相垂直，为什么？ 参考答案： ①平面ABC⊥平面BCD ②平面ABD⊥平面BCD ③平面ADC⊥平面ABC 说明：今后要证明两个平面垂直，只要在其中一个平面 C B D A
普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修2
平面与平面垂直的判定
乌兰县第一中学
李晓红
复习回顾
1、二面角及其平面角： α∩β=l,O∈l, ∠AOB是二面角 OA⊂α,OB⊂β, ⇒ 的平面角 OA⊥l,OB⊥l 2、直二面角： 平面角是直角的二面角叫做直二面角。 3、平面与平面垂直的定义： 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角 是直二面角，就说这两个平面相互垂直。
探究新知
探究新知
判定定理
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直吗？
判定定理
已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB 求证：α⊥β.
α A B E D
α
证明： 设α∩β=CD,则B∈CD. ∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD. ∪ 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角， ∵AB⊥β，BE β， ∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是 直二面角，∴α⊥β. ∪
∪
C
β
结
论
平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P
Q
AN D
M
B
C
练习 1、已知△ABC中，O为AC中点， ∠ ABC=900，P 为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证： 平面PAC ⊥平面ABC
2、PD ⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，在 所有的平面中共有多少对互相垂直的平面？
P P
O
A
C
B
D
C
BC 面PAC BC 面PBC
面PAC 面PBC
探究： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
面ABC 面BCD AB 面BCD A
面ABC 面ACD CD 面ABC
面ABD 面BCD AB 面BCD
B
D C
练习、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD
A
B
C
E
D
例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中 求证：平面A1C1CA 平面 B1D1DB
D1 A1
D A
C1 B1
C B
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理
2、线线垂直 线面垂直 面面垂直
例3、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形， PA = ＡD，M、N分别是AB、PC的中点， 求证：（1）MN // 平面PAD；
A 4、直二面角——
平面角为直角的二面角 叫做直二面角
B
O
两个平面垂直的判定
两个平面互相垂直
定义：一般地，如果两个平面相交，且其所 成二面角为直二面角，则两个平面垂直。
记作：
画法：
A
BC
l
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂 直.
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面互相垂直。
已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
∪
求证：α⊥β.
α
A
证明：设α∩β=CD,则B∈CD.
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
C β
B E
D 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，面垂直］
课堂练习：
一、判断：
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条 直线，则α⊥β.（ ×）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条 直线，则α⊥β.（ ×）
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ √ ）
4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( )√
∪
问此图形中有多少直角三角形？
A
B
3、正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知E，F，G，H分
别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点.
求证：平面AH⊥平面DF
D1
C1
E
A1
G
F
B1
H
D A
C B
例三.如图,四面体P-ABC中 PA 平面ABC
P
F
BC AC
E
(1)问此图中有多少个直角三角形? A
B C
(2)过A作AE PC于E, 过A作AF PB于F，连接EF
是
P
硬
道
理
D
C
A B
例1、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在 的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC PA BC AC BC
PA AC A PA 面PAC, AC 面PAC
∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是
直二面角，∴α⊥β.
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：
l l
l
B
CD A
线线垂直 线面垂直 面面垂直
两个平面垂直的判定：
（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］
（２）利用判定定理［线面垂直
二面角
一、二面角的定义
α
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
二、二面角的平面角
复 1、定义 2、求二面角的平面角方法
ι αβ
γP
B A
习
①点P在棱上—定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线定理法
③点P在二面角内 —垂面法
β
ι
α
β
pβ
B
p
p
A
B
B
ι
α
A
O
ι
α
A
3、二面角的范围： [0。,180。]
二、填空题： 1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作__一__个平
面与α垂直.
小练习
练 三、已知PD矩形平面ABCD所在平面, 才 图中互相垂直的平面有几对?