画法几何制图平面的投影及相对位置

2 .正面投影abc反映 ABC实形。
三峡大学
15
V
c
B
b
b
W
a
A
a
a
bC
c
侧平面
b a c
a b
b a
Hc
c
投影特性：
1.abc//OYY、 abc //OZ，分别积聚为直线； 2.侧平面投影abc 反映 ABC实形。
三峡大学
c
16
积聚性
积聚性
a b c a c b
实长且垂直于相应的投影轴。
b
b
a
b
a
a b a b a
a β γ b
a b
●
a(b)
三峡大学
a b
小结 1
二、直线上的点
⒈ 从属性：点的投影在直线的同名投影上。
⒉ 定比性：点分线段之比在投影中不变。 AB:CB=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”
c
b
a
b
c
a
b
cb
a
d
ck b
b c 1 3(4)
2
d
a
X
4
b
c
3
a
1(2)
d
三峡大学
3
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的 投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上 的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时，在三个投 影面上的投影都不反映直角。
28
3.例判断5点：K是判否断在平点面上K。是否在平面上（另判断四点是否在同一平面*）
点在面上
点不在面上(*)
点不在面上
三峡大学
29
例6：已知平面ABCD的边BC//H面，完成其正面投影。
分析：根据a’d’想办法求b’c’
a’ 1’ b’
a
1
b
d’
BC为水平线
b’c’//OX
c’
d
c
三峡大学
30
b
AB
a
cW
C
b
a
a
b c
b
c H
投影特性：
c
1.abc//OX、 abc//OYW，分别积聚为直线;
2 .水平投影abc反映 ABC实形。
b a
三峡大学
c
14
正平面
V
b
a
b
b
B
b
c
W
A a
c
C
c
a
a
c
c H
b
a
c
ba
投影特性：
1.abc//OX 、 abc //OZ，分别积聚为直线；
三峡大学
23
⒉ 平面上取点
若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。 即：点在线上，则点在面上。
三峡大学
24
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助 线，然后再在该直线上确定点的位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
① a
b
k●
c
②
b d
d
b
三峡大学
38
1.5 直线与平面及两平面的相对位置 相对位置包括平行、相交（垂直）。
一、平行问题 直线与平面平行
平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行
定理: 若一直线平行于平面上的某一直线， 则该直线与此平面必平行。
即：将线面// ，转化为线线//
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39
特殊情况：
1. 当直线与特⒈殊位直置线平面与相平平面行时平，行直线的投影平行
c a
b
c b
a b c b a c
b a
a c b
c
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37
二、平面上的点与直线(P27-30)
b
⒈ 平面上的点 一定位于平面内的某条直线上.
e d
c
a
⒉ 平面上的直线（求线先找已知点）
c
⑴ 过平面上的两个点。
a e
⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。
于平面的具有积聚性的同面投影，如图。
2.当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面 的积聚性投影在同面投影上。
g’
g
//
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40
例1：过A点作平面平行于线段BC。
b’ X
b
d’ a’ c’
d a
c
分析：线线//，
f’
则线面//；过A点
做直线AD//BC。
O 作图：ad//bc，
a′d′//b′c′
1’
18
15
1
k’
2’
2
k
分别画出：
1.距H面18mm的水平线（Z 相同=18）。
2.距V面15mm的正平线（Y 相同=15）。
3.两条线的交点满足K点的 条件。
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32
例9：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下15mm （△Z）、在点A之前20mm处（△Y）。（思考题）
K在点A之下15mm 的水平线上
一节到此
35
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的 投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上 的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时，在三个投 影面上的投影不一定反映直角。
直角投影 定理
b a
c
即要在投影图中画垂直或判断
垂直，必须有投影面平行线。
.b
a
c
小结
三峡大学
36
一、各种位置平面的投影特性 b b
⒈ 一般位置平面（三类似）
a
a
三个投影为边数相等的类似多边形。
c
c
⒉ 投影面垂直面（一斜两类似）
b
在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。
c
另外两个投影为类似多边形。
a
⒊ 投影面平行面（两线一实形）
在其平行的投影面上的投影反映实形。 a 另外两个投影积聚为直线。
2.abc、abc为 ABC的类似形。
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侧垂面
V
S B
b
b
SW
b
c β c
W a
α a
c
C
a
A
H一条线， 与OYW 、 OZ 的夹角反映α、β角； 2 、 abc、 abc为 ABC的类似形。
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类似性
b
分析:在平面ABC内作一条正平 线,MN//此正平线,即得.
直角投影 定理
b a
c
即要在投影图中画垂直或判断
垂直，必须有投影面平行线。
.b
a
c
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4
1.4 平面的投影
一、平面的表示法
1、用几何元素表示平面
c
●
c
●
a●
a●
a●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
a●
● c
● c
c
●
● b ●b
●c
d a●
●
●
d
a●
c ● a●
● b ●b
●k
c
a’
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线(细实线)求解
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25
例2 已知ABC给定一平面,试判断点D是否属于该平面。
b
b
e d c
d e
c
a
a
c a
ed
b
点D不属于平面ABC
c a
de
b
点D属于平面ABC
三峡大学
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例3：作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。
K在点A之前20mm 的正平线上
三峡大学
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四、 圆的投影
圆的投影特性：
1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；(实形性)
2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆 的直径φ；(积聚性)
3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的
平行于这个投影面的直径AB的投影（ab）；短轴是与上述直径
b
b
类似性
是什么位置
的平面？
a
积聚性
γ
a
c c
βc b
a
铅垂面
投影特性：
1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影 轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 2.另两个投影面上的投影有类似性。
投影特征：一斜两类似
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2） 投影面平行面的投影
水平面
V
a
a
b c
V
PV
P
PV
H PH b.特殊位置平面的迹线表示法 PV
V
QV
PH QV
PH
PH
H
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7
二、平面的投影
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
平面//投影面 投影反映实形面
平面⊥投影面
投影积聚成直线
倾斜
平面∠投影面
投影类似原平面
实形性
积聚性
类似性
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⒉ 各种位置平面的投影(三类七种情况)
a●
●c
c
●
● b ●b
●c
不在同一直线 直线及线外一点 两平行直线 上的三个点