4.1圆的对称性1导学案
圆的对称性导学案设计
圆的对称性导学案设计导学案：圆的对称性一、导入（100字）1.引入：老师出示一张圆形画纸，请同学们观察它有哪些特点。
引导同学们发现圆是没有边界的，它的每一点到圆心的距离相等。
2.提问：圆是否具有对称性？如果有，又有哪些对称性？二、探究（500字）1.小组活动：将同学们分成小组，每组给一张圆形纸板。
让组员们互相交换纸板并观察，发现圆具有哪些对称性。
回到自己组内，同组成员共同探究和总结。
2.学生讨论：让小组成员展示他们发现的各种圆的对称性，并让其他同学提问和讨论。
引导他们探讨圆的对称轴的位置和性质。
三、归纳（300字）1.讲解：引导同学们总结圆的对称性。
圆有无数个对称轴，每一个经过圆心的直径都是圆的对称轴。
圆上的任意两点和圆心连线的中垂线也是圆的对称轴。
2.复习：老师可提问同学们圆上的点关于圆心的对称点是什么位置？让同学们回忆并作答。
四、应用（200字）1.实例分析：引导同学们观察和研究一些实际生活中的圆的应用例子，如太阳、存在对称轴的装饰品等。
让同学们思考并解释它们为何具有对称性。
2.创作：让同学们尝试用圆和它的对称性进行创作，可以画圆形的艺术作品或设计利用对称性来制作圆的折纸作品。
五、拓展（200字）1.拓展问题：让同学们思考圆的对称性在我们日常生活中的实际应用。
比如车轮、钟表等都具有圆的对称性。
让同学们发挥想象力，进一步探究圆的对称性的实际意义。
2.探究案例：引导同学们查阅相关资料，了解大脑的两个半球也具有对称性的结构，以及生物中的对称性的分布规律。
了解圆在不同领域的应用。
六、总结（100字）1.提示：让同学们回答圆的对称性能带给我们什么启示？2.统一讲解：引导同学们归纳总结圆的对称性的定义和特点，强调对称轴的位置和性质。
强调对称性在生活、艺术和科学中的重要性。
3.小结：通过本节课的学习，我们了解并掌握了圆的对称性的相关知识，发现了对称轴的位置和性质，培养了我们观察和分析问题的能力。
七、课后延伸（100字）1.延伸思考：同学们可以在日常生活中继续观察和探究圆的对称性，寻找更多的例子并加以说明和解释。
《圆的对称性(1)》导学案_最新修正版
§5.2 圆的对称性（第一课时）学习目标:经历探索圆的对称性及圆心角、弧、弦之间关系的过程，理解圆的对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系．学习重点:圆心角、弧、弦之间关系定理．学习难点:“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．学习过程:一、举例：【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴．（2）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．【例2】已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=120°,C是弧AB的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.【例3】如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？【例4】如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：，使∠1=∠2．二、课内练习：1、判断题（1）相等的圆心角所对弦相等（）（2）相等的弦所对的弧相等（）2、填空题⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．3、选择题如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE⊥AB，垂足为E，若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，则AB长度是___________．A、6 cmB、8 cmC、7 cmD、7.5 cm4、选择填空题如图2，过⊙O内一点P引两条弦AB、CD，使AB＝CD，求证：OP平分∠BPD．证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．A、OM⊥PBB、OM⊥ABC、ON⊥CDD、ON⊥PD【自我评价】1、本节课有困惑的题目是：2、本节课的学习收获是：。
圆的对称性 导学案
义务教育教科书（北师）九年级数学下册第三章圆3.2《圆的对称性》导学案学习目标1.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．（重点）2.圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．（难点）学习任务一、预习导学认识圆的对称性：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？阅读教材，完成预习内容。
二、新知探究11、圆是对称图形吗？（1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴）验证方法：折叠（2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？2、阅读思考了解圆心角的定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．3.探索圆心角定理尝试与交流．按下面的步骤做一做：1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O 和⊙O ′，沿圆周分别将两圆剪下．2．在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′ (如下图示)，圆心固定．注意：∠AOB 和∠A ′O ′B ′时，要使OB 相对于0A 的方向与O ′B ′相对于O ′A ′的方向一致，否则当OA 与O ′A ′重合时，OB 与O ′B ′不能重合．3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．教师叙述步骤，同学们一起动手操作．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由． 三、 自学反馈1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．2、如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 的一点，且AD CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？（过程见课本）3、你的收获还有什么？本节课的疑惑？ A B O A'B'O'。
圆的对称性(1)教学设计
圆的对称性（1）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，⌒AC =⌒BC,⌒AD= ⌒BD
分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．
证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB
在Rt △OAM 和Rt △OBM 中
OA OB
OM OM
=⎧⎨
=⎩ ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM
∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称
∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，⌒AC 与⌒BC 重合，⌒AD 与⌒BD 重合．
∴⌒AC =⌒BC,⌒AD= ⌒BD
三、 学生活动（证明垂径定理的逆定理）
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对
的两条弧．
已知：直径CD 、弦AB （除直径） 且 AM=BM 求证：（1）CD ⊥AB
（2）⌒AC =⌒BC,⌒AD= ⌒BD 四、 例题讲解
1、如图所示，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，若AB=25cm ，OC=1cm ，则⊙O 的半径长为______cm ．
2.在直径为50cm 的圆中，弦AB 为40cm ，弦CD 为48cm ，且AB ∥CD ，求AB•与CD 之间距离．
解：如图所示，过O 作OM ⊥AB ， ∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD ． 在Rt △BMO 中，BO=25cm ． 由垂径定理得BM=
12AB=1
2
×40=20cm ，
生总结师点拔
B
A
C O
M。
圆的对称性(一)导学案
C
Байду номын сангаас
4、已知：如图，直径 CD⊥AB，垂足为 E ⑴若半径 R = 2 ，AB = 2 3 ，求 OE、DE 的长。 ⑵若半径 R = 2 ，OE = 1，求 AB、DE 的长。
A D O E B
5、如图，射线 PG 平分∠EPF，O 为射线 PG 上的一点，以 O 为圆心，10 为半径作 ⊙O，分别与∠EPF 两边相交于 A、B 和 C、D，连结 OA，此时 OA∥PE。 （1） 求证：AP=AO （2） 若弦 AB=12，求 tan∠OPB 的值。
审核人：______________________ 使用时间：__________ 个性备 课与教 后 反 思：
二、探究案
一、探究垂径定理： 1、 如图，CD 是⊙O 的弦，画直径 AB⊥CD，垂足为 P，将圆形纸片沿 AB 对折，你发现了 什么？ 2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） 3、得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧。 4、注意：①条件中的“弦”可以是直径； ②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。 5、给出几何语言
2、储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度．
你争我辩 快乐无限
流泽中学（九）年级（数学）科导学案
备课人：王治国
审核人：______________________ 使用时间：__________
3、如图，已知：在⊙O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3。 ⑴求⊙O 的半径； ⑵若点 P 是 AB 上的一动点，试求 OP 的范围。
6、归纳与弦问题辅助线的做法。 我们的结论是：______________________________________________________________
最新圆的对称》导学案设计
圆的对称》导学案设
计
第2课时圆的对称性
课题圆的对称性课型新授课
设计说明
圆的对称性是在学生已经认识了长方形、正方形、等腰三角形、等腰梯形等轴对称图形并能画出它们的对称轴的基础上进行的，是对轴对称图形的巩固和拓展，这部分内容对学生来说并不难，教学中通过回顾已学知识，在个人操作、小组合作交流中掌握新知。
教学设计中通过设计向学生展示生活中轴对称图形的图片，回顾已学知识，复习轴对称图形和对称轴等环节，使学生在复习轴对称图形的特征时，深刻感受到数学知识来源于生活。
另外，教学设计重视动手操作的学习方式的采用，引导学生通过观察与思考、折一折、画一画等活动知道圆是轴对称图形，并能画出圆的对称轴。
本课时教学设计还将信息技术与课程内容有机结合，注重课件的实效性，为学生提供丰富的学习资源，充分发挥图像的效果，加深学生的学习印象，激发学生的求知欲望。
学前准备教具准备：PPT课件、各种平面图形纸片、圆规、直尺学具准备：各种平面图形纸片各一张、圆规、直尺
教学过程
教学环节教师指导学生活动效果检测
一、复习铺垫，导入新课。
(5分钟) 1.提问：什么是轴对称图形和对
称轴？
2.我们学过的平面图形中哪些是
轴对称图形？
3.导入新课。
上节课我们认识了圆，那么圆
是不是轴对称图形呢？
1.思考并回答问题。
2.回忆思考，合作交
流，汇报。
3.倾听老师解读，明
确本节课的学习内
容。
1.在下面的图形中，
哪些是轴对称图形？
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3
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圆的对称性(第一课时)导学案
圆的对称性（第一课时）导学案§3.2 圆的对称性（第一课时）导学学案【导入情景】我国古代石拱桥的杰出代表是举世闻名的河北省赵县的赵州桥（又称安济桥）该桥在隋朝大业初年（公元605年左右）为李春所创建，是一座空腹式的圆弧形石拱桥，赵州桥的设计构思和工艺的精巧，被誉为“国际历史土木工程的里程碑”。
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？开始学习：回顾与思考：探究圆的对称性 1、什么是轴对称图形？OACB2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么？它有多少对称轴？结论：圆是轴对称图形.它的对称轴可以是任意一条经过圆心的直线。
有无数条对称轴。
3、我们可以用什么方法验证上述发现？我们可用折叠的方法验证其对称性。
全面地认识圆 1、图中表示圆的直径的线段是表示圆的半径的线段是2、写出图中圆的弦的线段3、写出图中的圆弧线：优弧：（至少写2个）劣弧：（至少写2个） 4、（弦心距）过圆心O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，则OF的长度表示的距离，则OG的长度表示的距离、CGEAFBD 探究活动：垂径定理 1.如图1，AB是圆的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为P: 请同学们将图1沿着直径CD对折，你能发现什么结论？C2.如图2，AB是圆的一条弦，作直径CD，使CD与AB相较于点P: 请同学们将图2沿着直径CD对折，还有上面结论吗？ADCBABD探究活动2：提炼新知识梳理归纳：AB是⊙的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.ACB CD是直径CD⊥AB垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.1、看看下列图形，能否使用垂径定理？为什么？D2、写出垂径定理的逆命题，并判断其真假。
EEE例题分析例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米AB求⊙O的半径。
例2如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
圆的对称性导学案
大化坪中心学校数学导学案课题：25.2圆的对称性（1） 主备人：吴家兴 审核人：郑为贵 时间2012.3【学习目标】1、理解圆的描述定义.2、掌握如何确定点和圆的三种位置关系3、如何确定点和圆的位置关系.（重难点）【学习过程】一、学前准备1、说出几个与圆有关的成语和生活中与圆有关的物体。
思考：车轮为什么做成圆形？2、爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。
他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。
如下图中A 、B 、C 三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？二、合作探究:（一）、阅读课本11—12，尝试解决1、圆的定义：_______________ （运动的观点）2、画圆并体会确定一个圆的两个要素是 和3、点和圆的位置关系 量一量（1）利用圆规画一个⊙O ，使⊙O 的半径r=3cm.（2）在平面内任意取一点P ，点与圆有哪几种位置关系？若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么：点P 在圆 d r 点P 在圆 d r点P 在圆 d r（二）、合作与交流已知点P 、Q ，且PQ=4cm ，⑴画出下列图形：到点P 的距离等于2cm 的图形；到点Q 的距离等于3cm 的图形。
⑵在所画图中，到点P 的距离等于2cm ，且到点Q 的距离等于3cm 的点有几个？请在图中将它们表示出来。
⑶在所画图中，到点P 的距离小于或等于2cm ，且到点Q 的距离大于或等于3cm 的点是怎样的图形？把它画出来。
【学习检测】一、基础性练习1、正方形ABCD 的边长为2cm ，以A 为圆心2cm 为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ；点C 在⊙A ；点D 在⊙A 。
2、已知⊙O 的半径为5cm.(1)若OP=3cm ，那么点P 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O ；(2)若OQ= cm ，那么点Q 与⊙O 的位置关系是：点Q 在⊙O 上；(3)若OR=7cm ，那么点R 与⊙O 的位⇔⇔⇔r r r P P P置关系是：点R 在⊙O .3、⊙O 的半径10cm ，A 、B 、C 三点到圆心的距离分别为8cm 、10cm 、12cm ，则点A 、B 、C 与⊙O 的位置关系是：点A 在 ；点B 在 ；点C 在4、⊙O 的半径6cm ，当OP=6时，点A 在 ；当OP 时点P 在圆内；当OP时，点P 不在圆外。
41圆的对称性1导学案.doc
4. 1圆的对称性垂径定理学习目标：1、了解圆的轴对称性；2、探索证明“垂径定理”，会利用“垂径定理”进行相关的计算；3、培养猜想，论证，逻辑推理能力，以及数形结合分析问题、解决问题的能力。
学习重点：垂径定理及其应用；学习难点：垂径定理的证明学法指导：先自学课本，经历自主探索总结过程，并完成课前预习学案，然后学习小组讨论交流。
（课前预习学案）等级【检查落实措施】小组长先检查批阅，然后老师再次批阅，划成A,B,C三档，作为评价小组和个人的依据。
温故知新：1、温故：CD连结圆上任意两点的线段叫圆的,过圆内一点最长的弦是,最短的弦是,两条直径的交点是,圆上两点间的部分叫做,大于半圆的孤叫做,小于半圆的孤叫做。
（2）在AABC中，ZC= 90° ,两直角边分别是a, b,斜边是c①若 a=3, b= 4,求 c；②若 b= 6, c= 10,求 a2、知新：（动手实践，发现新知）（1）同学们能不能找到纸圆的圆心？动手试一试，" \有方法的同学请说出与同学们分享。
，J（2）_______________________________________________________ 问题①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆________________________________②刚才的实验说明圆是图形，它的对称轴是。
〔课内探究学案）教学过程：合作探究：环节1：合作交流：（取人之长，补己之短）拿出前面确定了圆心的圆形纸片，任意画一条直径AB,再画一条垂直于AB的弦CD,交点为 P （如图1）。
沿着直径将圆对折（如图2），你发现图中有哪些等量关系？说出你的结论，能说明理由吗？与同学交流。
B垂径定理：__________________________________________________环节2：探究发现：（我探究，我发现小组间交流自己的发现）讨论：如图,在下列五个条件① AB 是直径，② AB±CD,③ CP=DP, ④ AC=AD, ⑤ BC=BD.如果具备其中两个条件，能否推出其余三个结论成立？（知二推三）1、已知①②，求证③④⑤推论]：_垂直于弦的直径___________________________________________2、已知①③，求证②④⑤推论2：平分弦的直径_____________________________________________3^已知②③，求证①④⑤推论3：弦的垂直平分线___________________________________________巩固练习：1.如图，在。
圆的对称性(第一课时)教案
§4.2.1 圆的对称性设计理念数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程.重视学生的主体作用，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人.教学内容《义务教育课程标准实验教科书数学》（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时.教材分析圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习.教学目标1.知识与技能理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明．2.过程与方法经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、平移、推理证明），用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力．3.情感、态度与价值观通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，在探究垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系.教学重点垂径定理及其推论的探索．教学难点垂径定理及其推论的证明．教学方法自主探究和合作探究相结合．教学过程一、创设情境，感知数学【问题1】通过上节课《圆》的学习，进一步认识了圆的意义.这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？［学情预设］学生凭借经验易想到用折叠的方法，如图，交点O就是圆心.【问题2】你怎么验证点O就是圆心呢？［学情预设］学生根据圆的概念能想到在圆上找一些点，测量它们与点O的距离.但需要找几个点，一个、两个、三个？还是更多？会有不同的见解.【问题3】在折叠的过程中，你从中知道圆具有什么性质?【问题4】圆的对称轴有几条？与学过的轴对称图形有什么不同？［学情预设］学生可能只会找到1条、2条、3条……让学生自己得出结论：无数条，对称轴是任意一条过圆心的直线.师出示课题.【问题5】这是一个硬币，你又有办法找出这个圆形硬币的圆心吗？［学情预设］有的学生会想到利用刚才的方法；有的学生会纳闷：不能折叠怎么办？为了有更多的方法确定圆心，我们来深入探究圆的有关概念与性质.［知识链接］圆上有两点到点O的距离相等，只能说明点O在该线段的垂直平分线上，不足以说明圆心.三个点还是更多，则是后面“确定圆的条件”探究问题.应用圆的不同性质来确定圆心的方法有许多.［设计意图］问题是数学的心脏，兴趣是最好的老师.设计一连串的问题情境引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又体验了圆的对称性及应用.二、师生互动，体验探究1.自主探究：学生阅读课本，学习圆的相关概念：弦、弧.（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？（2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？（3）什么是半圆？它与弧如何区别？（4）请你写出图中的优弧和劣弧，并思考如何才能不重复不遗漏？［学情预设］学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧，如同大于零的数是正数，小于零的数是负数，但零既不是正数，也不是负数一样.问题4，学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律.［设计意图］让学生带着问题读书，有效地提高他们自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题.2.合作探究：弦与弧之间的联系-----学习垂径定理及推论. 活动一：探究垂径定理①刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？（相交） 垂直是相交的特殊情况，从垂直的图中能得出哪些等量关系？(AB=CD 、OA=OB=OC=OD 、 AC = BC = AD = BD) ②若把AB 向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？③思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM =BM ，还有什么方法？④把上述发现归纳成文字语言和几何语言.垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 如图，在⊙O 中，即①②→③④⑤ ① CD 是直径 ③AM =BM ，④⌒AD=BD，② CD ⊥AB 于M ⑤ AC = BC. ［学情预设］问题2，多数学生会用画图、折叠、测量的方法猜想出结论，而用推理证明的方法验证是本节的难点，让学生动手折叠、思考交流后，师板演示范证明.［设计意图］用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在平移中体会知识的发生与发展过程，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的概括、总结的语言表达能力.活动二：探究垂径定理的推论 议一议：【问题1】把垂径定理中条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：①③→②④⑤，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例.【问题2】你还能找出其它类似的结论吗？并判断是真命题还是假命题？ 【引例】已知：如图⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，垂足为点M ，① 若半径R =5，OM =3，求AB 、CM 的长； ② 若半径R =5，AB =8，求OM 、CM 的长；③ 由①②两题的启发，你还能编出其它什么问题？［学情预设］ 问题1，大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，师可以适时地引导.当AB 与CD 是⊙O 的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立.问题2，有②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③……学生写不完整或重复，要引导找规律：由 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论，才能不重复不遗漏.［设计意图］对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性. 师生共同归纳：垂径定理的推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线会经过圆心，并且平分弦所对的弧.…… 【问题3】现在你有办法找出圆形硬币的圆心吗？ ［学情预设］作圆中两条弦的垂直平分线，交点就是圆心. ［设计意图］首尾呼应，学以致用.三、应用新知，探寻规律【例1】：（7页例题）如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90 m ．求这段弯路的半径．(书本例题，可归为引例中哪种类型？)［设计意图］让学生在实践中悟出垂径定理应用：在四个量半径R 、弦AB 的长、弦心距OM 长、弓形高CM 的长中，任已知两个量可以求出另两个量.一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 练习1:在半径为50㎜的圆O 中，有长50㎜的弦AB ，计算：⑴点O 与AB 的距离；⑵∠AOB 的度数。
圆的对称性导学案
圆的对称性导学案学习目标：1、理解弧、优弧、劣弧、圆心角等概念。
掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理及应用。
掌握“垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧”这一结论。
2、通过教学内容向学生渗透事物相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美，激发学生的求知欲。
3、经历探索圆的对称性及相关性质的过程，培养学生实验观察、发现新问题，探究和解决问题的能力。
学习重点：圆心角、弧、弦之间关系定理学习难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养。
学习过程：一、新课导入上节课，我们学习了圆的对称性及“垂径定理”，这节课我们将继续探究圆的其它特性。
二、自学探究1、自学提纲P61-63（1）理解下列概念的定义弧、优弧、劣弧、圆心角（2）在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧，所对的弦。
（3）在同一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角，所对的弦。
（4）在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的优弧（或劣弧）。
（5）在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角之间的关系是怎样得到的？（6）垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧吗？你能用符号语言表示吗？（7）圆的两条平等弦所夹的弧相等吗？用符号语言怎么表示？2、小组讨论交流3、小组展示学习成果4、教师点拨（1）讨论圆心角、弧、弦之间的关系的前提是在同圆或等圆中。
（2）在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等。
（3）利用同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系可以证明线段相等产、角相等、弧相等。
三、小结反思这节课你有哪些收获？还有什么疑问？四、作业P63练习T1、2。
《圆的对称性(1)》(第2课时)导学案
3.2圆的对称性（1）导学案【学习目标】1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．理解垂径定理及其逆定理．【学习重点】垂径定理的理解和应用【学习难点】解决含三角函数值计算的实际问题．【课前自学】1、在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称【新课学习和探究】一、创设疑问，究知定义：1、你用什么方法验证“圆是轴对称图形”？。
概念：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、圆弧、弦的概念是什么？3、弦和直径是什么关系？弧怎么表示？把上图中的弧和弦表示出来图中的弧：图中的弦：二、探索垂径定理1、导例：如图，CD 是⊙O 的一条直径，AB 是⊙O 的一条弦，已知CD ⊥AB 。
求证：AC=BC ，AM=BM总结得出垂径定理：___________________________________________。
2、如图，AB 是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M ．利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）右图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?︵ ︵（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
总结得出垂径定理逆定理：_________________________________________.三、例题剖析：课本P99例1：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．【巩固练习】1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______，对称中心是____。
2.已知⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是_________.3.如右图，已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,则⊙O的半径长等于________.B A O 4.如图,在半径为5cm 的⊙O 中有长为8cm 的弦AB,则弦AB 到圆心的距离是( ) cmA.3B.4C.5D.8C第3题 第4题 5、已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA,C 为AB 的中点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边形OACB 的形状,并说明理由.【课堂小结】这节课你学到了什么？ 【作业布置】同步P119必做题1——6，选择做题7、8、9【课后反思】3.2圆的对称性（1）当堂训练1. 下列命题中，错误的命题是（ ）A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧C. 在⊙O 中，AB 、CD 是弦，若，则AB ∥CDD. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径所在的直线。
圆的对称性最佳导学案
课堂教学导学案年级：九学科：数学主备人：审核人：设问导读自学检测点拨：圆旋转任意角都能与本身重合，旋转180度也能与本身重合，所以说，圆也是_______对称图形,圆心是_________.2.同圆(或等圆)中圆心角、弦、弧之间的关系：（1）做一做：在两张半透明纸片上画两个⊙，并分别在圆中作一个圆心角相等的小扇形，将两圆重合，固定圆心，其中一圆绕圆心旋转，使两个小扇形试着重合，你发现这两个小扇形________(会或不会)重合，它们所对的弦_______(重合或不重合)，弧_______(重合或不重合)。
因而可得到以下定理：在同圆或(等圆)中,如果圆心角相等,那么它所对的弧_______,所对的弦________。
同理：推论:(1)在同圆或(等圆)中,如果弧相等,那么它所对的圆心角_______,所对的弦_________.(2)在同圆或(等圆)中,如果弦相等,那么它所对的圆心角_____,圆心角所对的弧_______.点拨:同圆或等圆中,圆心角、弦、弧任意一个量的大小，都可以决定扇形的大小，因而，两个扇形，圆心角、弧、弦中有一组量相等,这两个扇形就全等，它们所对应的其余各组量也相等.（2）符号表示：已知⊙O、⊙O'半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O'的两条弦填空：（1）若AB=CD，则，（2）若AB= CD，则，（3）若∠AOB=∠CO'D，则，自学检测：1.如图1所示, 在⊙O中,AB=AC, ∠B=70°，则∠C=_______.2.如图2所示,AB是⊙O的直径,BC︵＝CD︵＝DE︵，︒=∠40BOC，求AOE∠的大小。
3.下列说法中正确的是 ( )ACBDO ︵︵①面积相等的两个圆，圆心角相等，则所对的弧必相等；②两个圆心角相等,它们所对的弦也相等；③两条弦相等,它们所对的弧也相等；④在等圆中,圆心角不相等,它们所对的弦也不相等.A.①③B.②④C.①④D.②③点拨:如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其他两组量也相等，必须有同圆或等圆的前提条件。
圆的对称》导学案设计资料
作探究
对称轴。
形，画出它的
条？
圆的对
(1)思考圆的对称轴
对称轴。称轴的的ຫໍສະໝຸດ 置，并说出一共2•回答老师提
画法，
知道圆
有多少条对称轴。
出的问题，并
(2)学生试画，教师巡
的对称
视。
画出圆的对
轴有无
3.学生汇报，教师课
称轴。
数条。
(15分
件演示。
3•小组交流后
(圆的对称轴有无数
下列图形中，对称轴
题。
分钟）
最多的是（）。
A.等边三角形
2•独立解答后
B•正方形
汇报，并说明
C.圆
D•长方形
选择的理由。
五、课
堂总
结，拓
展延
伸。（4
分钟）
1.总结本节课知识。
2.布置课后学习内 容。
谈本节课的
收获。
教师批
注
板书设
计
圆的对称性
圆是轴对称图形。
圆有无数条对称轴。
圆的直径所在的直线是圆的对称轴。
形的特点，与
(2)观察折痕及两边
是轴对
图形的特点，与同桌
同桌交流。
称图
交流。
2•汇报观察发
形。(10
2.你发现了什么？
现。
分钟)
3•思考：怎样折才是
对称的？圆的对称
3.思考并回答
轴在什么位置？
老师提出的
问题。
1•引导学生自选一个
学过的平面图形，画
1•自选一个学
出它的对称轴。
过的平面图
三、合
2.指导学生画出圆的
第2课时圆的对称性
《4.2 圆的对称性》导学案(一)
C九年级数学 《4.2 圆的对称性》（新授课）导学案（一）执笔人 曲燕 参与人 曲阿芳 唐慧玉 林姣 李永义 高淑香●学习目标：知识技能目标:能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题；过程方法目标:培养综合运用知识的能力以及思维的灵活性和广阔性； 情感态度目标:在进行探索的活动过程中发展探究意识和合作交流的习惯。
●重点难点：重点:垂直于弦的直径所具有的性质以及证明. 难点:利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.●学习过程: 【情境创设】世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机。
操作：用折纸的方法确定提前准备好的圆形纸片的圆心，了解本节学习内容。
活动1：自学课本P2的内容（只限于第5页）自学指导：了解弧、弦、直径等弧、半圆等概念以及弧的读法和写法，注意学习第5页下面的注释文字，掌握优弧和劣弧的意义和表示法活动2：结合自学内容完成下面的问题1.圆是_________图形，其对称轴是_______________________的直线。
2.请在图1上画出弦CD ，直径AB.3.写出图2中的弧__________,优弧________,劣弧________.4._____________________是同圆，_____________________是等圆，等圆能够_______.5.等弧应满足的条件是_________________,长度相等的弧，_______是等弧（填“一定”或“不一定”）；半圆是指圆面还是圆弧？答：______.6._______________________叫做等圆，两个等圆能够_______.7.下列语句中不正确的有（ ）A ．①③④ B. ②③ C. ②④ D. ①④②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦； ④长度相等的弧是等弧。
活动1：自学课本P6-7的内容（从做一做到例1之间的内容）自学指导：结合课本中的图形探究小明的发现的等量关系以及小明的证明思路，掌握垂径定理的内容；思考议一议中提出的问题，并探索其证明思路）活动2：结合自学内容完成下面的问题1.如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB,垂足是点M ，除点C,D 分⊙O 所成的两个半圆外，图中还存在的等量关系是：__________________________________________________________________2.证明上述等量关系，写出证明过程 已知： 求证： 证明：3如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），M 是AB 的中点，作经过点M 的直径CD,与⊙O 相交于点C 、D.则图中存在的等量关系是__________________________________(1)为什么AB 不能是直径？答：_______________________________________ (2)证明你得到的等量关系 已知：求证： 证明：3.垂径定理①定理内容：_____________________________________________________数学语言：_____________________________________________________ ②推论内容：_____________________________________________________ 数学语言：_____________________________________________________【典例学习】例1.如图，在⊙O 中，弦AB 的长为８cm,圆心O 到AB 的距离OD ＝３cm,则⊙O 的半径为_________cm 例2.如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.【跟踪训练】A 类: 课本P8 习题 第1,2,3题（做在课本上）B 类: 课本P8 随堂练习 第2题（做在课本上）【课堂小结】1.本节课你掌握了哪些知识？2.还有哪些困惑？3.掌握了哪些数学思想？【达标检测】A 类: 如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．B 类: AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC 的度数。
初中数学九年级《4.1圆的对称性》2课时导学案
4.1 圆的对称性学习目标1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程2、理解圆的中心对称性及有关性质3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题重点：理解圆的中心对称性及有关性质难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题课前延伸知识准备：1、什么是中心对称图形?2、我们采用什么方法研究中心对称图形?课内探究：一、自主学习1、按照下列步骤进行小组活动：⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙OO(O’)B’A’BA⑵在⊙O和⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠，连接AB、⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O重合（如图）⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA重合在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流_______________________________________________2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流.你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?3、圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等二、合作交流：1.试一试：O’DCOBA如图，已知⊙O、⊙O 半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O 的两条弦填空：︵︵（1）若AB=CD，则，（2）若AB= CD，则，（3）若∠AOB=∠CO D，则，2.在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等例1、如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？例题2、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？三、精讲点拨：1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；2、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
圆的对称性教学案：培养学生的几何思维
圆的对称性教学案：培养学生的几何思维培养学生的几何思维一、教学目标：1.知识与技能：认识圆的对称性，掌握圆内、圆外、圆周上的各种对称性操作。
2.能力与素养：培养学生的几何思维，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力，并能在实际问题中灵活运用所学知识。
3.情感态度与价值观：使学生感受到几何学科的美和魅力，激发学生对几何学科的兴趣和热爱。
二、教学重点：1.认识圆的对称性。
2.掌握圆内、圆外、圆周上的各种对称性操作。
三、教学难点：1.如何让学生理解圆的对称性，提高学生的空间想象能力。
2.如何教学灵活运用所学知识，提高学生的实际问题解决能力。
四、教学方法：1.形象化教学法：通过图像、实物等形式进行教学，增强学生的感性认识和理解。
2.体验式教学法：通过生动、具体的教学情景，让学生亲身体验，加深对知识的理解和记忆。
3.问题式教学法：以问题为出发点，引导学生思考、探究、发现，培养学生分析和解决问题的能力。
五、教学内容：一、圆的对称性圆的对称性是指圆上任意两点关于圆心O对称的一种变换，称为圆的中心对称。
它是一种保形变换，即变换前圆内、圆外的点，在变换后仍在圆内、圆外，圆上的点变换后仍在圆上。
二、圆内的对称性圆内的对称性是指圆内任意两点关于圆心O的对称，可以形成一条由圆心O出发的射线，将圆分成两个对称的部分，称为圆的内中心对称。
三、圆外的对称性圆外的对称性是指关于圆心O将圆上的一个点P对称到圆上的另一个点Q的变换称为圆的外中心对称。
圆外对称的应用非常广泛，如在建筑、机械加工、航空、航天等领域应用很多。
四、圆周上的对称性圆周上的对称性是指圆上任意两点关于圆周上的另一点R对称，称为圆的周对称。
圆周对称是一种非常重要的概念，通过它我们可以得到一些重要的结论，如根据圆周角定理，圆周上两个等角所对的弧是相等的。
六、教学步骤：1.引入通过展示物品或相关图形等启发学生思考圆的对称性，让学生产生兴趣，引导学生主动探究。
2.讲解知识点让学生了解圆的对称性、圆内、圆外、圆周上对称和做一些相关的示例，巩固学生的记忆。
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4.1 圆的对称性（1）——垂径定理
学习目标：
1、了解圆的轴对称性；
2、探索证明“垂径定理”，会利用“垂径定理”进行相关的计算；
3、培养猜想，论证，逻辑推理能力，以及数形结合分析问题、解决问题的能力。
学习重点：垂径定理及其应用；
学习难点：垂径定理的证明
学法指导：先自学课本，经历自主探索总结过程，并完成课前预习学案，然后学习小组讨论交流。
〔课前预习学案〕等级
【检查落实措施】小组长先检查批阅，然后老师再次批阅，划成A,B,C三档，作为评价小组和个人的依据。
温故知新：1、温故：
（1）连结圆上任意两点的线段叫圆的，过圆内一点最长的弦是，最短的弦是，两条直径的交点是，圆上两点间的部分叫做，大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做。
（2）在△ABC中，∠C= 90°，两直角边分别是a，b，斜边是c
①若a=3，b= 4，求c；②若b= 6，c= 10，求a
2、知新：（动手实践，发现新知）
（1）同学们能不能找到纸圆的圆心？动手试一试，
有方法的同学请说出与同学们分享。
（2）问题①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆，
②刚才的实验说明圆是________图形，它的对称轴是。
〔课内探究学案〕
教学过程：合作探究：
环节1：合作交流：（取人之长，补己之短）
拿出前面确定了圆心的圆形纸片，任意画一条直径AB，再画一条垂直于AB的弦CD，交点为P（如图1）。
沿着直径将圆对折（如图2），你发现图中有哪些等量关系？说出你的结论，能说明理由吗？与同学交流。
垂径定理：。
环节2：探究发现：（我探究，我发现小组间交流自己的发现） 讨论: 如图,在下列五个条件中:
① AB 是直径, ② AB ⊥CD, ③ CP=DP, ④ AC=AD, BC=BD. 如果具备其中两个条件,能否推出其余三个结论成立？（知二推三） 1、已知①②，求证③④⑤
推论1: 垂直于弦的直径 2、已知
①③，求证②④⑤
推论2：平分弦的直径 3、已知②③，求证①④⑤
推论3：弦的垂直平分线 巩固练习：
1.如图，在⊙O 中，
（1）若AB 为直径，弦CD ⊥AB,则 、 、 。
（2）若AB 为直径，弦CD 交AB 于点E ，CE ＝DE ，则有 、 、 。
（3）若AB ⊥CD ，且CE ＝DE ，则 、 、 。
（4）若AB 为直径，且AC ＝AD ，则 、 、 。
二、精讲点拨：
例1：已知如图：在⊙O 中，⑴若OA=5，弦CD= 8，求点O 到CD 的距离。
⑵弦CD=16，点O 到CD 的距离等于6，求圆O 的直径。
三：学以致用：（相信我能行）
例2：1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为40m ，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为6m ，求桥拱的半径。
●O C
D
A P └
巩固练习：
1、在圆o 中，一条弦的长为48cm ，点O 到这条弦的距离为10cm ，求圆o 的半径。
2、如图，圆o 是水平放置的输出管道的横截面，其直径为650mm,油面的宽度AB=600mm,求油的最大深度。
小结：圆中常用辅助线的做法：当遇到弦时常
四、归纳提升：（我的课堂，我来说）
1.我学到了什么？
2.我的感触是什么？
3.我有疑问 五、课堂达标：（细心做一做） 1. 如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是过CD 的中点E 的直径，在下列结论中，不一定成立的是（ ） A ∠COE = ∠DOE B CD ⊥OB C BC = BD D OE = BE
2 ．（2011
西宁中考）如图，在半径为5的⊙O 中，若弦AB=8，则△AOB 的面积是（ ）
A 24
B 16
C 12
D 8
3.（2011西安中考）
如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6，则这条管道中此时最深为 米。
1题图 2题图 3题图
B
.
A
C
D
B
O
〔课后提升学案〕
【检查落实措施】小组长先检查批阅，然后老师再次批阅，划成A,B,C 三档，作为评价小组和个人的依据。
1. 已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。
求证：AC ＝BD 。
变式1：在上图中连结OC ，OD ，将小圆隐去，如图，设OC=OD ，求证：AC=BD
变式2：连结OA 、OB ，将大圆隐去，如图，设AO=BO ， 求证：
AC=BD。