河北省2020年新高一数学必修一第三章函数的概念与性质知识点总结(人教版)

2020年新高一数学必修一知识点总结

第三章 函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

1.函数是刻画变量间对应关系的数学模型和工具。

2.函数问题的共同特征：①定义域、值域均为非空数集；②定义域和值域间有一 个对应关系；③对于定义域中的任何一个自变量，在值域中都有唯一确定的数 与之对应。

3.函数中的对应关系可用解析式、图象、表格等表示，为了表示方便，引进符号 f 统一表示对应关系。

【注】函数符号()y f x =是由德国数学家莱布尼茨在18世纪引入的。

4.函数定义

一般地，设,A B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按 照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就 称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对 应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。

5.函数的三要素：①定义域；②对应关系；③值域。

6.（1）函数的定义域和对应关系可以确定出函数的值域，即一个函数的值域是 由它的定义域和对应关系决定的。

（2）没有特别说明的情况下，函数的定义域默认是使其有意义的自变量取值范

围。如y ={}0x x ≠

（3）实际问题中的函数定义域要根据实际情况定.

如：匀速直线运动中位移、速度和时间的关系：()s t v t =,隐含着0t ≥。

6.几个特殊函数的定义域和值域

（1）正比例函数()0y kx k =≠，定义域和值域都为全体实数R 。

（2）一次函数()0y kx b k =+≠，定义域和值域都为全体实数R 。

（3）反比例函数()0k y k x

=≠，定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠。 （4）一元二次函数()20y ax bx c a =++≠，定义域为R 。

①当0a >时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭

； ②当0a <时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≤⎨⎬⎪⎪⎩

⎭。

7.区间及其表示

设,a b 是两个实数，且a b <（注意：a 不能等于b ）。我们规定：

（1）满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[],a b ； （2）满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(),a b ；

（3）满足a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为

[),a b 和(],a b ；

这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。

（4）在数轴上表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包 括在区间内的端点。

8.区间的几何表示

9.实数集R 可以用区间表示为()-∞+∞，，

“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负 无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。

10.我们把满足x a ≥，x a >，x b ≤，x b <的实数x ，用区间分别表示为[),a +∞、 (),a +∞、(],b -∞、(),b -∞。即

11.在函数定义中，用符号()f x 表示函数，其中()f x 表示x 对应的函数值，而不 是f 乘x 。

12.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。

13.相等函数、同一函数：因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果 两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数 值也相同，那么这两个函数是同一个函数，也称为相同函数、相等函数、同一 函数。特别地，两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不同，那么它们不 是相等函数。

14.相等函数又叫相同函数、同一函数。指的是两个函数的三要素（定义域、对 应关系、值域）完全相同的函数。而如果定义域和值域中有一个不同，即便两 个函数的解析式相同也不是相等函数。这部分题多为选择题，做题的方法多为 排除法。

【注】1.相等函数的图象相同。

2.相等函数的变量符号未必相同，如

:)0y x =≥

和)0y t =≥的定义 域相同（都是非负实数）、对应关系相同（都是一个非负实数的算术平方根）、 值域相同（都是{}0y y ≥），所以它们两个是相等函数。

再如：①()2,,x y y =∈-∞+∞，②()2,,x y x =∈-∞+∞，③()2,,u t t =∈-∞+∞， 这三个函数虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同， 所以它们三个都是相等函数。

15.一个常用的相等函数（也是分段函数）：

∵y x ==，

∴y x R =∈和,y x x R =∈是同一函数。

3.1.2 函数的表示法

1.函数常见的表示法有三种：解析法、列表法和图像法。

解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间对应关系。

列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

图像法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。

【注】函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。

2.作图通常有列表、描点、连线三个步骤。

【注意】如果函数的图象是离散的“点”时，则不能连线或用虚线连结。

3.分段函数

如果一个函数，在其定义域内，对应自变量x 在不同的取值范围内，函数 有不同的对应关系（表达式），则称这样的函数为分段函数。

【注】（1）分段函数是一个函数，而不是多个函数。

（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，并且分段函数各

段间的定义域的交集为空集。

（3）分段函数的值域是各段函数值域的并集。

（4）分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成。

（5）分段函数重要口诀：“分段函数分段画，分段函数分段求”。

4.高中阶段几种常见的分段函数 （1）(),0,0

x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，图象为：

（2）取整函数 ()[]f x x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）。

5.函数解析式的求法，常见的有代入法、配凑法、换元法、待定系数法、构造方