江苏省南师大附中2020精品学案 集合与逻辑一集合基础

一、集合与简易逻辑：

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征： ， ， 。 （2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。

（4）集合的表示法： ， ， 。

注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；

}12|{2

++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；

}12|)',{(2++==x x y y x F ；}

,12|{2

x y z x x y z G =++==

（5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

如：}012|{2=--=x ax x A ，如果

φ=+

R A I ，求a 的取值。 二、集合间的关系及其运算

（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；

符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）_}__________{_________

=B A I ；____}__________{_________=B A Y ；

_}

__________{_________=A C U

（3）对于任意集合B A ,，则：

①A B B A Y Y ___；A B B A I I ___；B A B A Y I ___； ②⇔=A B A I ；⇔=A B A Y ；

⇔

=U B A C U Y ；

⇔

=φB A C U I ；

③

=

B C A C U U I ；

)

(B A C U I =；

（4）①若n 为偶数，则=n ；若n 为奇数，则=n ； ②若n 被3除余0，则=n ；若n 被3除余1，则=n ；

若n 被3除余2，则=n ； 三、集合中元素的个数的计算：

（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。

（2）B A Y 中元素的个数的计算公式为：=)(B A Card Y ； （3）韦恩图的运用：

四、x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，

若 ；则p 是q 的充分非必要条件B A _____⇔； 若 ；则p 是q 的必要非充分条件B A _____⇔； 若 ；则p 是q 的充要条件B A _____⇔；

若 ；则p 是q 的既非充分又非必要条件___________

⇔； 五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ； 注意：“若q p ⌝⇒⌝，则q p ⇒”在解题中的运用，

如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。

六、反证法：当证明“若p ，则q ”感到困难时，改证它的等价命题“若q ⌝则p ⌝”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；

3

课本题

1．（P13练习4）设(){}(){},46,,53,A x y y x B x y y x ==-+==+-，则A B =I 2．（P13练习5）设

{}{}21,,21,,

A x x k k Z

B x x k k Z ==+∈==-∈

{}2,,

C x x k k Z ==∈则A B =I ，B C =I ，A C =U ，A B =U 。

3．（P14习题9）一个集合的所有子集共有n 个，若

{}

0,1,2,3,4,5n ∈，则n =

4.（P14习题10）我们知道,如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为

{}

,s C A x x S x A =∈∉且．类似地,对于集合A,B ，我们把集合叫

{},x x A x B ∈∉且做集合

Ａ，Ｂ的差集，记作Ａ－Ｂ．若

{}{}

1,2,3,4,5,4,5,6,7,8A B ==，则

()()A B B A --=I .若A B -=∅，则集合A 与B 之间的关系为

5．（P17复习题6）已知集合[)()1,4,,,A B a A B

==-∞Ø，则a ∈

6．（P17复习题8）满足

{}{}1,31,3,5A =U 的集合A 最多有 个。

7．（P17复习题10）期中考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为75%.则上述两门学

科都优秀的百分率至少为 。 8．（P17复习题11）设全集为U ，则

()()

,,U U U C A C A B C A B I U 三者之间的关系为

9．（P17复习题12）设A ，B 均为有限集，A 中元素的个数为m ，B 中元素的个数为n ，A B U 中的元素的个数s ，A B I 中的元素的个数t ，则下列各式能成立的序号是 （1）．m n s +> （2）．m n s += （3）．m n s +p 10．（P17复习题13）对于集合A ，B ，我们把集合

(){},,a b a A b B ∈∈记作A B ⨯.例如，

{}{}

1,2,3,4A B ==，则有

()()()(){}()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2,

A B B A ⨯=⨯=

()()()(){}()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3,3,4,4,3,4,4.A A B B ⨯=⨯=

据此，试解答下列问题： 已知{}{}

,1,2,3C a D ==，求C D ⨯及D C ⨯； 已知

()(){}

1,2,2,2A B ⨯=，求集合A ，B ；

若A 有3个元素，B 有4个元素，试确定A B ⨯有几个元素？

高考题 1.若集合

{}

|2A x x =≤，

{}

|B x x a =≥满足{2}A B =I ，则实数a= ．

2.设集合{|32}M m m =∈-<