江苏省南师大附中2020精品学案 集合与逻辑一集合基础

一、集合与简易逻辑：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征： ， ， 。

（2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。

（4）集合的表示法： ， ， 。

注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；
}12|{2
++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；
}12|)',{(2++==x x y y x F ；}
,12|{2
x y z x x y z G =++==
（5）空集是指不含任何元素的集合。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

如：}012|{2=--=x ax x A ，如果
φ=+
R A I ，求a 的取值。

二、集合间的关系及其运算
（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）_}__________{_________
=B A I ；____}__________{_________=B A Y ；
_}
__________{_________=A C U
（3）对于任意集合B A ,，则：
①A B B A Y Y ___；A B B A I I ___；B A B A Y I ___； ②⇔=A B A I ；⇔=A B A Y ；
⇔
=U B A C U Y ；
⇔
=φB A C U I ；
③
=
B C A C U U I ；
)
(B A C U I =；
（4）①若n 为偶数，则=n ；若n 为奇数，则=n ； ②若n 被3除余0，则=n ；若n 被3除余1，则=n ；
若n 被3除余2，则=n ； 三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。

（2）B A Y 中元素的个数的计算公式为：=)(B A Card Y ； （3）韦恩图的运用：
四、x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，
若 ；则p 是q 的充分非必要条件B A _____⇔； 若 ；则p 是q 的必要非充分条件B A _____⇔； 若 ；则p 是q 的充要条件B A _____⇔；
若 ；则p 是q 的既非充分又非必要条件___________
⇔； 五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ； 注意：“若q p ⌝⇒⌝，则q p ⇒”在解题中的运用，
如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。

六、反证法：当证明“若p ，则q ”感到困难时，改证它的等价命题“若q ⌝则p ⌝”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；
3
课本题
1．（P13练习4）设(){}(){},46,,53,A x y y x B x y y x ==-+==+-，则A B =I 2．（P13练习5）设
{}{}21,,21,,
A x x k k Z
B x x k k Z ==+∈==-∈
{}2,,
C x x k k Z ==∈则A B =I ，B C =I ，A C =U ，A B =U 。

3．（P14习题9）一个集合的所有子集共有n 个，若
{}
0,1,2,3,4,5n ∈，则n =
4.（P14习题10）我们知道,如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为
{}
,s C A x x S x A =∈∉且．类似地,对于集合A,B ，我们把集合叫
{},x x A x B ∈∉且做集合
Ａ，Ｂ的差集，记作Ａ－Ｂ．若
{}{}
1,2,3,4,5,4,5,6,7,8A B ==，则
()()A B B A --=I .若A B -=∅，则集合A 与B 之间的关系为
5．（P17复习题6）已知集合[)()1,4,,,A B a A B
==-∞Ø，则a ∈
6．（P17复习题8）满足
{}{}1,31,3,5A =U 的集合A 最多有 个。

7．（P17复习题10）期中考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为75%.则上述两门学
科都优秀的百分率至少为 。

8．（P17复习题11）设全集为U ，则
()()
,,U U U C A C A B C A B I U 三者之间的关系为
9．（P17复习题12）设A ，B 均为有限集，A 中元素的个数为m ，B 中元素的个数为n ，A B U 中的元素的个数s ，A B I 中的元素的个数t ，则下列各式能成立的序号是 （1）．m n s +> （2）．m n s += （3）．m n s +p 10．（P17复习题13）对于集合A ，B ，我们把集合
(){},,a b a A b B ∈∈记作A B ⨯.例如，
{}{}
1,2,3,4A B ==，则有
()()()(){}()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2,
A B B A ⨯=⨯=
()()()(){}()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3,3,4,4,3,4,4.A A B B ⨯=⨯=
据此，试解答下列问题： 已知{}{}
,1,2,3C a D ==，求C D ⨯及D C ⨯； 已知
()(){}
1,2,2,2A B ⨯=，求集合A ，B ；
若A 有3个元素，B 有4个元素，试确定A B ⨯有几个元素？
高考题 1.若集合
{}
|2A x x =≤，
{}
|B x x a =≥满足{2}A B =I ，则实数a= ．
2.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z I 则，≤≤
3.已知全集U =R ，集合{}
|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合
)
(B C A U I 等于
4.设集合
{}{}{}
1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则
=
)(B A C U I
5.设集合|0{8}x x N U =∈<≤，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则=
)(T C S U I
6.定义集合运算:
{},,.
A B z z xy x A y B *==∈∈设
{}1,2A =,
{}
0,2B =,则集合A B *的
所有元素之和为 7.（湖南卷2）“
12
x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的 条件
8.已知全集{12345}U =，，，，，集合
2
{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合
)
(B A C U Y 中元素的个数为
9.设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 条件
10.（福建卷2)设集合A={x|1x
x -＜0
},B={x|0＜x ＜3＝,那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的
条件
11.已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则
()()=A C B B C A u u I Y I 12.（辽宁卷1）已知集合{}
3|0|31x M x x N x x x +⎧⎫
==<=-⎨⎬-⎩⎭，≤，则集合
{}|1x x ≥＝（ ） A ．M N I
B ．M N U
C ．
)
(N M C U I D ．
)
(N M C U Y
13.（江苏卷4）A=
{()}
2
137x x x -<-，则A I Z 的元素的个数 ．
14.（重庆卷
11）设集合
U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则
)
()(C C B A U I Y = .。