第一章晶体结构

4
1.1 晶体结构的周期性
4.布拉维格子(Bravais lattice)： 由格点(结点)规则分布形成的晶 格称为空间晶格或布拉维格子 (布喇菲格子,布喇菲点阵).
crystal structure = lattice + basis
数学定义： Rn n1a1 n2a2 n3a3 ——格矢
l1l2l3 ——晶向指数
< > ——等价晶向
11
1.1 晶体结构的周期性
2.晶面指数：标志晶面方向
晶面在基矢坐标轴上的截距r, s, t 的倒数比简化成互质的整数:
h1
:
h2
:
h3

1 r
:
1 s
:
1 t
(h1h2h3 ) ——晶面指数
以单胞（晶胞）基矢
a,
b,
c
为坐标系决定的面指数称为密勒
四.晶系 布拉维格子
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶系，每一晶系有一 种或数种特征性的布拉维原胞，共有14种布拉维原胞：
立方(简单、体心、面心)
四方(简单、体心)
正交(简单、底心、体心、面心)
单斜(简单、底心)
三斜(简单三斜)
三角
六角
25
1.3 对称性和布拉维格子的分类
26
1.4 倒格子/倒易点阵
1.4 倒格子/倒易点阵
衍射斑点(峰) 晶格中的一族晶面 倒格子 正格子 点子 晶面
斑点分布 晶格基矢 晶体结构
27
1.4 倒格子/倒易点阵
一.定义
设布拉维格子的基矢为： a1, a2 , a3
由 Rl

l1a1

l 2 a 2

l 3 a3 决定的格子称为正格子（direct
OⅡ

1 2
,0,
1 2

OⅢ

1 2
,
1 2
,0

由五个简立方套构而成
15
1.2 典型晶体结构类型
三 .NaCl和CaF2结构
百度文库
（1）NaCl：离子晶体
Na+：0,0,0
Cl-：
1 2
,
1 2
,
1 2

两个面心立方，复式格子.
（2）CaF2:
Ca： 0,0,0
基矢长度=晶格常数（lattice constant) 原胞与惯用晶胞的关系： （1）简立方(simple cubic, sc)
a1 axˆ a2 ayˆ a3 azˆ
原胞体积： a1 a2 a3
7
8
1.1 晶体结构的周期性
（2）体心立方 (body-centered
9
1.1 晶体结构的周期性
（4）简单六角（simple hexagonal, sh)
a1 axˆ
a2

a 2
xˆ

3a 2
yˆ
a3 czˆ
4.维格纳-塞茨(Wigner-Seitz,WS)原胞
反映晶格全部对称性且体积最小的重
复单元.
以任一格点为中心，以这个格点与其
近邻格点连线的中垂面为界面围成的
指数（Miller indices).
{ }--等价晶面
面间距：密勒指数相同的各个平面之间的距离:
d h1h2h3
12
2
1.1 晶体结构的周期性
1.2 典型晶体结构类型
1.2 典型晶体结构类型
一.简单晶格(格子)与复式晶格(格子)
基元中只包含一个原子(或离子)的晶格称为简单格子即布喇 菲格子. 基元中包含两个或两个以上原子(离子)的晶格称为复式格子. 复式格子是由若干相同的布喇菲格子彼此位移套构而成. ——把等价原子各自连成一个网格.
F：

1 4
,
1 4
,
1 4


3 4
,
3 4
,
3 4

三个面心立方套构而成.
16
四.金刚石和闪锌矿结构
1.2 典型晶体结构类型
（1）金刚石:
C: 0,0,0

1 4
,
1 4
,
1 4

两个面心立方，同种原子构成
的复式格子.
定向共价键, 如碳、硅、锗和 锡的晶体。
理学院 物理系 沈嵘
固体物理学
Introduction to Solid State Physics
物理学院 陈子瑜
办公室: 主220 电 话：+86-10-8233-8289 Email：chenzy@buaa.edu.cn
1
第一章 晶体结构
(Crystal Structure)
理学院 物理系 沈嵘
a3
C
Gh
a3 h3 a2 h2 B o a1 h1 A
a1
上的截距：
a1 h1 , a2 h2 , a3 h3
a2
Gh

CA CB
CA
OOh1ABb1OOhC2Cb2aah123bhh3 12aaa133
h3 h3 h1
A


B

C



A

C

B


A

B

C

a1


2 3
3
a2
a3 a1

2 3

31
1.4 倒格子/倒易点阵
2.倒格矢与晶面
倒格矢Gh

h1b1

h2b2

h3b3
与正格子h1h2h3
晶面族正交。
最靠近原点O的晶面 ABC 在基矢 a1, a2 ,a3
3
1.1 晶体结构的周期性 2.阵点(基点、格点)
(lattice site) ： 把基元抽象成点，代替基元在晶 体中的位置.
3.晶格(点阵)(crystal lattice)： 晶体的内部结构可概括为由一些相同的点子在空间有规则 地、周期性地无限分布，这些点子在三个不同方向连成直 线，就形成一个网格，称为晶格，或格子，或点阵。
28
1.4 倒格子/倒易点阵
b1 b2 b3

2 2 2
aaa111aaa2a13aa222aaa3a21aa333
a1 a2 a3 --正格子原胞体积


b1
b2

b3
晶体对该平面作镜面反射后保持不变. 记作 m .
21
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二.基本对称操作
1. i,Cn , m
2. n度旋转-反演轴
绕μ轴旋转
2 n
后再进行中心反演：1，2，3，4，6
晶体宏观对称性有：
1, 2, 3, 4, 6, 4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性不包含平 移对称操作；但从微观上看，晶体是无限的，为描述晶体 结构的对称性，应加上平移对称操作.
a3
h3
0
Gh CB h1b1 h2b2 h3b3
a2
h2 a3
h3


Gh与晶面
0
h1h2h3

正交
32
1.4 倒格子/倒易点阵

3.倒格矢Gh
d h1h2h3

a1 h1
G的h 长度a1正 h比1b1于

--倒格子原胞体积
29
1.4 倒格子/倒易点阵
30
5
1.4 倒格子/倒易点阵
二.正格子与倒格子之间的关系
1.原胞之间的关系
倒格子原胞体积: 2 3



b1
b2

b3


2 3
3
a2
a3 a3
a1 a1
a2
13
14
1.2 典型晶体结构类型
二.CsCl结构和钙钛矿结构
（1）CsCl：
Cl-： 0,0,0
Cs+：
1 2
,
1 2
,
1 2

简立方， 复式格子.
（2）BaTiO3:
顶角：Ba 0,0,0
体心：Ti

1 2
,
1 2
,
1 2

面心：OⅠ

0,
1 2
,
1 2

lattice)，
满足
ai

bj
2 ij

2 , i 0, i j
j
的 b1 ,b2 ,b3 称为倒格子基矢.
i, j 1,2,3
由 Gh h1b1 h2b2 h3b3 （ h1 , h2 , h3 为任意整数）决定的格子
称为倒格子 (倒易点阵reciprocal lattice).
22
1.3 对称性和布拉维格子的分类 3. n度螺旋轴(screw axis) 旋转 + 平移 绕u轴旋转2/n后，再沿该轴方向平 移T/n 的l倍，晶体中的原子和原来的 原子重合.
4.滑移反映面(glide plane) 反射（镜面） + 平移
经过一镜面反射操作后，再沿平行 于该面的某个方向平移T/n 的距离.
最小多面体.
10
1.1 晶体结构的周期性
三.晶向 晶面
通过格点作出的无限族彼此平行的直线和平面—晶列和晶面.
1.晶向(crystal direction)： 晶列的取向.
通过原点的晶列上任一格点位矢： R l1'a1 l2' a2 l3' a3
l1 : l2 : l3 l1' : l2' : l3'
2.旋转轴(rotation about an axis)： 2
晶体绕其旋转一定角度 n 后保持不变，该轴称为n重轴. 记作 Cn(n)
20
1.3 对称性和布拉维格子的分类 定理：晶体中允许的转动对称 轴只能是1, 2, 3, 4和6 重轴.
n 1, 2, 3, 4, 6
3. 镜面反映（reflection across a plane)：
1.1 晶体结构的周期性 1.2 典型晶体结构类型 1.3 对称性和布拉维格子/点阵的分类 1.4 倒格子/倒易点阵 1.5 晶体结构的实验确定
2
1.1 晶体结构的周期性
1.1 晶体结构的周期性
一.布拉维格子/点阵（布喇菲格子）
“基石”的重复规则排列 微粒在空间按一定方式周期性 排列 1.基元(basis)： 构成晶体的最小重复单元 (原子或原子团) .
6
1
1.1 晶体结构的周期性 2. 原胞(primitive cell)(固体物理学原胞,初基原胞,初级晶胞)： 晶体结构的最小重复单元，每个原胞占有一个结点. 反映周期性的方式. 确定原胞基矢后, 晶体结构的周期性可确 定.
1.1 晶体结构的周期性
3.单胞(unit cell) (惯用晶胞、晶胞、结晶学原胞) 反映晶体对称性的重复单元. 基矢 a,b,c 为晶轴方向.
5.平移不变性：沿连结任意两个结点的矢量R作平移后，
与平移前的情况完全相同.
Γ(R + r)= Γ(r)
5
1.1 晶体结构的周期性
二.基矢 原胞和晶胞
1.基矢（primitive vector，初级矢量) 任选一点O为原点，由原点出发三条非共面的矢量 a1,a2 ,a3 ---基矢 由 Rn n1a1 n2a2 n3a3 可确定全部格子. 注意： a1, a2 , a3 的选择并不是唯一的.
(2)闪锌矿ZnS:
Zn: 0,0,0
S:

1 4
,
1 4
,
1 4

两个面心立方，不同原子构成
的复式格子。
17
五.六角密堆积结构
堆积比率 : 0.74 两个六方布喇菲格子
1.2 典型晶体结构类型
18
3
1.2 典型晶体结构类型
六.配位数 (coordination number)
描述晶体中粒子排列的紧密程度，指一个粒子周围的最近 邻粒子数。 全同粒子,密堆积配位数：12 非全同粒子,可能的配位数：8，6，4，3，2
23
1.3 对称性和布拉维格子的分类
三. 点群 空间群
晶体的宏观对称性用八种基本对称操作的组合来描述。每 一种组合表示晶体的一种对称类型，称为点群（point group). 共32种. 加上平移对称操作可得到230种对称类型，称为空间群 (space group).
24
4
1.3 对称性和布拉维格子的分类
Gh
h1 h1b1
1 d h2b2 h2b2
h1h2h3 h3b3 h3b3
2 Gh
4.两点阵位矢的关系: Rn Gh 2 m m为整数
利用 Rn
ai ai Gh
bj bj

2
cubic, bcc)
a1 a2

a 2a 2
xˆ
xˆ
yˆ
yˆ
zˆ zˆ
a3

a 2

xˆ

yˆ

zˆ
（3）面心立方(face-centered cubic,fcc)
a1 a2 a3

a 2a a2 2

yˆ xˆ xˆ

zˆ zˆ yˆ
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
1.3 对称性和布拉维格子的分类
一.对称元素
对称操作所依赖的几何要素：点、线、面
1.反演中心(inversion through a point)：
使坐标
r变成
r

r 的操作称为对原点的中心反演.
如经此
操作后晶体与自身重合则具有中心反演对称. 用 i (1) 代表.