【中考数学】中考复习第4课时 分式
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
【2014中考复习方案】(河北专版)中考数学复习权威课件 ：第4课时 分式(含13年试题)
分式的基 本性质 适用范围
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考点聚焦
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第4课时┃分式
考点3 分式的运算
运算类型 分式的加减 字母表示或法则说明 a±b a b 同分母： ± ＝________ c c c 异分母：先通分，转化为____________ 同分母分式 ，然后相加减 ac a c · ＝________ bd b d
冀考解读 考点聚焦 冀考探究
第4课时┃分式
探究二 分式基本性质的应用
命题角度： 1．利用分式的基本性质进行通分； 2．利用分式的基本性质进行约分． [2013· 淄博] 下列运算错误的是 （a－b）2 A. 2＝1 （b－a） 0.5a＋b 5a＋10b C. ＝ 0.2a－0.3b 2a－3b ( D ) －a－b B. ＝－1 a＋ b a－b b－a D. ＝ a＋b b＋a
考 点 聚 焦
考点1 分式的概念与意义
A 形如________( A，B B
定义 分 式 有意义的 条件 值为 0 的 条件
是整式，且 B 中含有字母， B≠0)的式子叫做分式 分母不为 0 分子为 0，但分母不为 0
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考点聚焦
冀考探究
第4课时┃分式
考点2
分式的基本性质
A A×M A A÷M B＝B×M， B＝B÷M (M 是不为 0 的整式) 约分、通分
冀 考 探 究
探究一 分式的判断与意义
命题角度： 1. 分式的概念； 2. 使分式有(无)意义、值为 0(正或负)的条件． x2－1 [2013· 淄博] 如果分式 的值为 0，则 x 的 2x＋2 值是 A．1 B．0 C．－1 D．±1 ( A )
冀考解读
2015备战中考数学总复习 第一单元 数与式第4讲 分式
第4讲分式考点3分式的运算【易错提示】分式运算的结果一定要化成最简分式.1.乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.2.在分式的加减运算中，如需要通分时，一定要先把分母可以分解因式的多项式分解因式后再找最简公分母，分式的乘除运算中，需要约分时，也要先把可以分解因式的多项式先分解因式再约分.命题点1 分式有意义、值为零的条件例1 (2014·温州)要使分式12xx+-有意义，则x的取值应满足( )A.x≠2B.x≠-1C.x=2D.x=-1方法归纳：当分式的分母为0时,分式没有意义;当分式的分母不为0时,分式有意义;当分式的分子为0,而分式的分母不为0时,分式的值为0.1.(2014·贺州)分式21x-有意义，则x的取值范围是( )A.x≠1B.x=1C.x≠-1D.x=-12.(2014·凉山)分式33xx-+的值为零，则x的值为( )A.3B.-3C.±3D.任意实数3.(2014·昆明)要使分式110x-有意义，则x的取值范围是.命题点2 分式的运算例2 (2014·荆门)先化简，再求值：(22222a b a ab b --++a b a-)÷22b a ab -，其中a ，b ＝0. 【思路点拨】先把括号里的异分母通分变成同分母，进行同分母分式的加减，再把除变乘，进行分式的乘法，然后根据条件求出a 、b 的值代入化简后的代数式中进行求值运算.【解答】方法归纳：分式的运算是中考常见题型，一般的解法有：(1)分子或分母能分解因式的可先分解因式，再按运算法则化简求值；(2)当括号外的因式与括号内的因式可约分时，可先去括号，再化简求值.1.(2014·河北)化简：21x x --1x x -=( ) A.0 B.1 C.x D.1x x - 2.(2013·临沂)化简2121a a a +-+÷(1+21a -)的结果是( ) A.11a - B.11a + C.211a - D.211a + 3.(2014·襄阳)计算：2212a a a -+÷1a a-= . 4.(2014·长沙)先化简，再求值：(1+12x -)÷22214x x x -+-，其中x ＝3.1.(2014·毕节)若分式211x x --的值为0，则x 的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.±12.(2014·广州)计算242x x --,结果是( ) A.x-2 B.x+2 C.42x - D.2x x + 3.(2014·无锡)分式22x-可变形为( ) A.22x + B.-22x + C.22x - D.-22x - 4.下列计算错误的是( )A.0.20.7a b a b +-=27a b a b +-B.3223x y x y =x yC.a b b a--=-1 D.1c +2c =3c5.(2013·枣庄)化简21x x -+1x x-的结果是( ) A.x+1 B.x-1 C.-x D.x6.(2014·丽水)若分式15x -有意义，则实数x 的取值范围是 . 7.(2014·遵义)计算：11a -+1a a-的结果是 . 8.(2014·广安)化简(1-11x -)÷2221x x x --+的结果是 . 9.(2013·衢州)化简：22444x x x ++--2x x -= . 10.(2013·新疆)化简12x x --÷22214x x x -+-= . 11.(2014·枣庄)化简：(21x x x +--221x x x -+)÷11x -.12.(2014·陕西)先化简，再求值：2221x x -- 1x x +，其中x=-12.13.(2014·株洲)先化简，再求值：41x -·212x --3(x-1),其中x=2.14.（2014·黄石）先化简，再计算：（1-3x )÷(x-69x x-),其中+3.15.(2014·达州)化简求值：(1+1a)÷21a a - -22221a a a --+，a 取-1、0、1、2中的一个数.16.(2013·广东)从三个代数式：①a 2-2ab+b 2，②3a-3b ，③a 2-b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a=6，b=3时该分式的值.17.(2014·重庆B 卷)先化简，再求值：(x-1-31x +)÷2441x x x +++，其中x 是方程12x --25x -=0的解.18.(2014·凉山)先化简，再求值：2336a a a --÷(a+2-52a -),其中a 2+3a-1=0.参考答案考点解读①字母 ②公因式 ③基本性质 ④同分母各个击破例1 A题组训练 1.A 2.A 3.x ≠10例2 原式＝［()()()2a b a b a b -+--a a b -］·()2a a b b -＝b a b -·()2a a b b -＝a b .＝0，a+1≥0，≥0，∴a+1＝0，且0，即a ＝-1，b＝-3. 题组训练 1.C 2.A 3.12a a ++ 4.原式=12x x --·()()()2221x x x +--＝21x x +-. 当x=3时，原式＝3231+-=52. 整合集训 1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.x ≠5 7.-1 8.x-1 9.22x - 10.21x x +- 11.原式=()()()22111x x x x x +---·(x-1)=()211x x --·(x-1)=-()11x x -. 12.原式=()()()22111x x x x x --+- =()()()2111x x x x x -++- =1x x -. 当x=-12时，原式=13. 13.原式=41x -·()()112x x +--3x+3 =2x+2-3x+3=5-x.当x=2时，原式=5-2=3.14.原式=3x x-÷269x x x -+ =3x x -·()23x x - =13x -.当时，原式15.原式=1a a +×()()11a a a -+-()2221a a -- =11a --()2221a a -- =()211a a --=11a-. 当a=2时，原式=112-=-1.16.共有六种结果：(1) 22233a ab b a b -+-=3a b -,当a=6，b=3时，原式=1； (2)交换(1)中分式的分子和分母的位置，结果也为1；(3) 2233a b a b --= 3a b +，当a=6，b=3时，原式=3； (4)交换(3)中分式的分子和分母的位置，结果为13； (5) 22222a ab b a b -+-=a b a b-+，当a=6，b=3时，原式=13； (6)交换(5)中分式的分子和分母的位置，结果为3.17.原式＝2131x x --+·()212x x ++ ＝()()()2222x x x +-+ ＝22x x -+. 解方程12x --25x -=0,得x=13. 当x=13时，原式＝-57. 18.原式=()332a a a --÷［()()222a a a +---52a -］ =()332a a a --÷()24532a a a --- =()332a a a --·()()233a a a -+- =()133a a + =()2133a a +. ∵a 2+3a-1=0，∴a 2+3a=1.∴原式=13.。
中考数学一轮总复习 第4课时 分式(无答案) 苏科版
第4课时：分式【课前预习】（一）知识梳理1、分式的有关概念：①定义；②分式有意义的条件；③分式的值为0的条件．2、分式的基本性质：①约分；②最简分式；③通分；④最简公分母．3、分式的运算：①分式的乘除；②分式的加减；③分式的混合运算．（二）课前练习1. 下列有理式: x 1，()12x y +，y x y x --22，π2,3-x x ，1394y x +,212-+x x 中,分式是____ _______________.2、当x 时，分式x x -2有意义，当x 为 时，分式3212-++x x x 的值为零. 3、不改变分式的值，把分式b a b a 212.031+-的分子和分母各项系数化为整数，结果是__ ______.4、约分:222axy y ax =_ ____ ，32)()(x y y x --=___ __, 11222-+-x x x =____ ___. 5、分式245a b c ，2310c a b 与252b ac -的最简公分母为_________；分式11,122-+x x x 的最简公分母为_________. 6、计算① xx x x x x x +-⋅-+÷+--111112122= ； ② 1111--+x x = .【解题指导】例1 计算： (1)112---x x x (2) x x x x x x 11132-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- (3) )212(112a a a a a a +-+÷--例2 化简求值：①（x 2＋4x －4）÷ x 2－4 x 2＋2x ，其中x ＝－1， ②222(1)(1)(1)121x x x x x x x --÷+---+，其中210x x +-=．③先化简211()1122x x x x -÷-+-，1-中选取一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值．例3、已知22)2(2)2(3-+-=-+x B x A x x ,则A= ,B= .【巩固练习】 1.要使分式212x x x -+-的值为零，则x 的取值为 （ ） A.x =1 B. x =－1 C. x ≠1且x ≠－2 D.无任何实数2.将分式y x xy -中的y x ,都扩大2倍,分式的值 ( ) A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.不变 D.缩小23、计算：（1）)3()42()(-62322b a b a ab -÷-⋅ （2）222+-+y y y （3）)11(122b a b a b a -++÷-4、 先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷--11211222x x x x x x ，其中21=x【课后作业】 班级 姓名一、必做题： 1.要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（ ）A ．1x ≠B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >2.若分式33x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．3± D ．03.化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a -B ．a ba - C ．a ba + D ．b -4.化简22422b a a b b a +--的结果是（ ）A ．2a b --B ．2b a -C ．2a b -D ．2b a +5.计算22()ab a b -的结果是（ ）A ．aB ．bC ．1D ．－b6.分式111(1)a a a +++的计算结果是（ ）A ．11a +B ．1a a +C ．1aD ．1a a +7.学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x xx x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的8、当x 时，分式12x -无意义；若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 ．9、化简： 22a aa += ；=---b a bb a a _____________.10、计算：①(12-a )÷(1a 1-) ②2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭11、先化简aa a a a -+-÷--2244)111( ，再选取一个适当的a 的值代入求值.二．选做题：1、 a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111a b +++，则P Q （填“＞”、“＜”或“＝”）． 2、某单位全体员工在植树节义务植树240棵，原计划每小时植树a 棵，实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务(用含a 的代数式表示)．3、设0a b >>，2260a b ab +-=，则a b b a+-的值等于 ． 4、（1）若3a b +=0，求22222124b a ab b a b a b ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭； （2已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1x 2的值．5、观察下列格式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，… （1）计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯__________； （2）探究()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+…__________；（用含有n 的式子表示） （3）若()()111117133557212135n n ++++=⨯⨯⨯-+…，求n 的值.。
中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。
2022年中考数学二轮复习攻略专题04 分式、分式方程及一元二次方程
专题04分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。
【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。
2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A CB BC ⋅=⋅；A A CB B C÷=÷（C≠0）。
3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。
【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
4、分式的乘除①乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
④整数负指数幂：1nn aa-=。
5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=；②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。
【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．【例1】若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1【例2】若分式11x+的值不存在，则x=__________．【例3】分式52xx+-的值是零，则x的值为（）A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（）A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考点02 分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。
中考数学(北京专版)总复习课件 第4课时 分式
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第4课时┃ 分式
方法点析
在代数式求值中，有些不能确定或不便确定式子的每个字母的值，这时往往用 到“构造法”．对已知分式和所求分式进行变形构造，使二者产生相同部分， 通过整体代入求值．对代数式进行变形，构造出具有某种特定特征的形式，是 转化思想的具体体现．在一些不便直接求值或化简求值的问题中，经常把转化 思想与整体思想结合使用．
京考探究 考情分析
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第4课时┃ 分式
热考京讲
热考一 分式有意义的条件
例 1 [2013·西城一模] 函数 y＝x＋3 2中，自变 量 x 的取值范围是__x_≠__－_2__．
[解析] 由 x＋2≠0，得 x≠－2.
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第4课时┃ 分式 方法点析 当函数解析式是分式时，分母不等于 0 是这个函数有意义的条件．
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京考探究
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京考探究
第4课时┃ 分式
变式题
[2014·门头沟二模] 已知xy＝13， 求x2－22xxy＋y2·xx2－ ＋yy2＋x2－yy的值．
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第4课时┃ 分式
解：x2－22xxy＋y2·x2x－＋yy2＋x2－yy ＝（x－2xy）2·（x－y）x＋（yx＋y）＋x2－yy ＝x2－xy＋x2－yy ＝2（（xx－＋yy））. 当xy＝13时，y＝3x，∴原式＝2（（xx－＋33xx））＝－4.
第4课时 分式
第3课时┃ 分式
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考点1 分式的概念
A B
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第3课时┃ 分式 考点2 分式的基本性质
公因式
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第3课时┃ 分式 考点2 分式的运算
安徽省2014年中考数学专题复习课件 第4课时 数的开方与二次根式
8×
1 ＋( 2)0＝ 2
1 8× ＋1＝2＋1＝3，故选 C. 2
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第4课时┃ 数的开方与二次根式
(1)利用二次根式的性质， 先把每个二次根式化简， 然后进行 运算； (2)运算顺序与实数四则运算的运算顺序相同．
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第4课时┃ 数的开方与二次根式
x－2 3 例 4 [2013· 苏州] 先化简，再求值： ÷(x＋1－ )， x－1 x－1 其中 x＝ 3－2.
x－2 x2－1－3 3 x－2 x ＋ 1 － 原式＝ ÷ ＝x－1÷ x－1 x － 1 x－1
解
x－2 x－1 1 ＝ · ＝ ， x－1 （x＋2）（x－2） x＋2 1 1 3 当 x＝ 3－2 时，原式＝ ＝ ＝ . 3－2＋2 3 3
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第4课时┃ 数的开方与二次根式
(1)此类分式与二次根式综合计算与化简问题， 一般先化简再 代入求值； (2)最后的结果要化为分母中没有根号的数或者是最简二次 根式．
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第4课时┃ 数的开方与二次根式 探究四 二次根式的大小比较
命题角度： 1．二次根式的大小比较方法； 2．利用计算器进行二次根式的大小比较．
第4课时 数的开方与二次根式
第4课时┃ 数的开方与二次根式
皖 考 解 读
考点 考纲要求 年份 数的开方 了解 二次根式 了解 2013 的概念 二次根式 2010 理解 的运算 2011 题型 填空题 填空题 选择题 分值 5分 5分 4分 预测热度 ★ ★★ ★★★★
云南中考数学 4_第4讲 分 式
(a b)(a b) a(a b) a b
当a+b- 1 =0,即a+b= 1 时,原式=2.
2
2
2
2.(2016昆明,2,3分) x22xy2 - x22yy2 = x y .
3.(2016曲靖,17,6分)先化简:
x ÷ x2 x + 3x 3 ,再求当x+1与x+6互为相反数时代数式的值.
,其中a= 3
-2.
解
原式= (a a2)2
÷
a2
4 2a a2 4
4
= (a a2)2
· (a 2)(a a(a 2)
2)
= 1
a
2
.
当a= 3-2时,原式= 1 = 3 . 33
6.(2014云南,15,5分)化简求值: x 2 x2
x 2x
第4讲 分 式
预学案·记易 考点一 分式的概念及性质 考点二 分式的运算
精讲案·学易 类型一 分式的概念及性质 类型二 分式的运算
试真题·练易 命题点一 分式的运算
预学案·记易
考点一 分式的概念及性质
1.分式的定义:形如 A (A,B是①整式),且B中②含有字母的式子叫做分式,其中
B
A叫做③分子,B叫做④分母 .
特别提醒 1.公因式的确定:系数取分子、分母的最大公约数,字母取分子分母都含有的 字母,字母指数取相同字母的最小次数,约分要约成最简分式或整式. 2.最简公分母的确定:如果都是单项式,那么取分母系数的最小公倍数,相同字 母最高次幂以及所有单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的因式, 得到的积就是最简公分母;如果各分母都是多项式,先分解因式,再按照单项 式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去求.
中考数学复习方案(苏科版)第4课时 分式
│ 归类示例 归类示例
► 类型之一 分式的有关概念
命题角度： 1．分式的概念 2．使分式有(无)意义、值为 0(正或负)的条件
1 (1)若分式 有意义，则实数 x 的取值范围是 x－5 ________ x≠5 ． 3x2－27 (2)[2011· 内江] 如果分式 的值为 0， 则 x 的值应 x－3 －3 ． 为_____运算 1．分式的加减
a b (1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即 ± ＝ c c a± b ________. c (2)异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相 bc ad a c ad± bc bd bd 加减，即 ± ＝ ________± ________＝ . b d bd 2．分式的乘除 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分 a c 式除以分式， 把除式的分子、 分母颠倒位置后， 与被除式相乘． 即 × b d d ac a a c ad c bd b ＝ ________ ， ÷ ＝ ________ × ________＝ .(b≠ 0, c≠ 0, d≠ 0) b d bc
│ 分式
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│ 考点聚焦 考点聚焦
考点1 分式
A 字母 ， 分式的概念： 形如 (A、 B 是整式， 且 B 中含有________ B B≠ 0)的式子叫做分式． A [辨析] (1)分式 有意义的条件：___________. B≠0 B A (2)分式 的值为 0 的条件：__________________. A＝0 且 B≠0 B
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► 类型之二
分式的基本性质的运用
命题角度： 1．利用分式的基本性质进行通分 2．利用分式的基本性质进行约分
中考数学专题复习四--分式方程和不等式
中考数学专题复习四--分式方程和不等式(组)(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中考数学专题复习（四）分式方程和不等式（组）【知识梳理】1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.6．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.7．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或ca cb ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 8．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1.9．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集.10．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”； x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”； x a x b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”.11．易错知识辨析：（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.（2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）. 12．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.13．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）；③找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥验：检验所求解是否符合题意；⑦答：写出答案（包括单位）.14．易错知识辨析：判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质.【真题回顾】一、选择题1．(2010年山东菏泽全真模拟1)下列运算中，错误．．的是（ ） A.(0)a ac c b bc =≠ B.1a b a b--=-+2(4)4-= D.x y y x x y y x --=++ 2．(2010年江西省统一考试样卷)若分式21x x +有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ≠0D ．x ≠－13.（2009年孝感）关于x 的方程211x a x +=- 的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a≠－24.（2011.鸡西）分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 产生增根，则m 的值是（ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 35.（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．5二、填空题1.（2010年西湖区月考）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 2.(2010年江苏省泰州市中考模拟题)使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 . 3．（2009年滨州）解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为 ． 4．（2011襄阳）已知关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解是正数，则m 的取值范围为 5．（2010新疆乌鲁木齐）在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2 ，15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为 。
中考数学复习课《分式方程》说课稿
中考数学复习课《分式方程》说课稿尊敬的各位评委、各位老师：大家好!我今天说课的内容是《分式方程》，下面我将从说教材、说学情分析、说教学策略、说教学过程这四个方面对本节课的教学设计进行说明.一、说教材1.教材的地位和作用本节课复习的主要内容是分式方程的概念、解法及应用，是对分式方程单元学习的梳理、归纳、深化和巩固.解分式方程的基本思想是通过“转化”，将分式方程转化为整式方程. 通过复习强化数学与生活的密切关系，因此本节复习可起到巩固基础，提升认识的作用.2.教学目标（1）知识目标：①理解分式方程的概念、会解分式方程，能列分式方程解决实际问题.②掌握解分式方程的验根方法.（2）能力目标：会用去分母法解分式方程，体会化归思想.（3）情感目标：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成就感，树立学好数学的自信心.3.教学重点：分式方程的解法和列分式方程解决实际问题.4.教学难点：列分式方程解决实际问题以及解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根．二、学情分析学生是在前面复习分式的意义、分式的混合运算和熟练解一元一次方程的基础上复习本节内容的.但对于解分式方程过程中会出现增根，部分同学理解起来较为困难，因此在教学过程中应重点强调如何把分式方程转化为整式方程和解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.三、教学策略1、说教法教法：本节课采用启发式、引导式教学方法．特别注重“精讲多练”，真正体现以学生为主体．针对学生的回答所出现的一些问题给出及时的纠正，在上课做练习时，除了让尽可能多的学生板演以外，自己还在下面及时的发现学生所出现的问题，比较典型的则全班讲评，个别小问题，个别解决．教学手段：为了更有效地突出重点，突破难点，提高课堂效率，本节课采用多媒体辅助教学.2.说学法本节课里我主要指导学生采用了自主探索、合作交流、自我反思的学习方法，使学生积极主动地参与到教学过程，通过合作交流，激发学生的学习兴趣，体现探索的快乐，使学生的主体地位得到充分的发挥．四、说教学过程。
2013年中考数学一轮复习 第4课 分式及其运算课件
x－2 2 (2)(2011·泉州) 当 x＝________时，分式 的值为 0. x＋2
解析
当 x－2＝0，x＝2 时，分母 x＋2＝4，分式的值为 0.
探究提高
(1)首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数 不等于这些值，便可使分式有意义； (2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母 的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时， 这就是所要求的字母的值．
要点梳理
(3)分式的乘除法： a c ac a c · ＝ b d bd · ＝___________； b d b
a c ad ÷ ＝ a c b d bc ÷ ＝___________．
d
(4)分式的乘方：
a a (n为正整数) n bn ＝__________________．
x－a 3 (2)(2012·荆门东宝区模拟) 若关于 x 的分式方程 － ＝1 x－1 x 1或－2 无解，则 a＝________．
题型分类
题型四 分式方程的解法
4 x＋2 知能迁移 4 (1)(2012·梅州) 解方程： 2 ＋ ＝－1. x －1 1－x
解 方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，得 2 4－(x＋1)(x＋2)＝－(x －1)， 1 整理得 3x＝1，解得 x＝ . 3 1 经检验，x＝ 是原方程的解． 3 1 故原方程的解是 x＝ . 3
题型分类
题型一 分式的概念,求字母的取值范围
x 知能迁移 1 (1)使分式 有意义的 x 的取值范围是 2x－4 x≠2 ________． x 知能迁移 1 (1)使分式 有意义的 x 的取 2x－4 解析 当 2x－4≠0，x≠2 时，分式有意义，故 x 的取 值范围是________． 值范围是 x≠2. x －3 －3 (2)当 x＝________时，分式 的值为 0. x－3
2024年中考数学复习-分式性质的拓展应用考点培优练习
分式性质的拓展应用考点培优练习考点直击1.分式定义：形如AB的式子叫分式，其中A，B是整式，且B中含有字母.(1) B=0时,分式无意义; B≠0时,分式有意义.(2) 分式的值为0:A=0,B≠0时,分式的值等于0.(3)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫作分式的约分.方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式.(4)最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫作最简分式.分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式.(5)通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫作分式的通分.(6)最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积.(7)有理式：整式和分式统称有理式.2.分式的基本性质：(1)AB =A⋅MB⋅M(M是不为0的整式)；(2)AB =A÷MB÷M(M是不为0的整式)；(3)分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.例题精讲例1若实数a，b，c满足条件1a +1b+1c=1a+b+c,则a,b,c中( )A.必有两个数相等B.必有两个数互为相反的数C.必有两个数互为倒数D.每两个数都不等【思路点拨】首先把等式去分母得到b²c+bc²+a²c+ac²+a²b+ab²+2abc=0，用分组分解法将上式左边分解因式得(a+b)(b+c)(a+c)=0,，从而得到a+b=0或b+c=0或a+c=0，根据相反数的定义即可选出选项.举一反三1 (湖北中考)已知分式x+y1−xy的值是a，如果用x，y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a，b ( )A. 相等B.互为相反数C.互为倒数D.乘积为−1举一反三2 下列分式从左到右的变形一定正确的是 ( )A.b+xa+x =baB.b2a=b22abC.x−yx+y =y−xx+yD.−x−yx+y=−1举一反三3 要使1x+2=x−3x2−x−6成立，必须满足 ( )1A. x≠-2B.x≠−2且x≠3C. x≠3D.以上都不对例2 (南京统考)已知三个数x，y，z满足xyx+y =−2,yzy+z=43,xzx+z=−43,求xyzxy+yz+zx的值.【思路点拨】分式的分子是单项式，分母是多项式时，可以通过对等号两边同时取倒数来帮助运算.举一反三 4 已知代数式x⁴−x²+6x−8的值等于1，求代数式xx+1的值.举一反三5 已知xx2+x+1=13,求分式x2x4+x2+1的值.举一反三6 已知1x −1y=3,求分式2x−3xy−2yx−2xy−y的值.例3【探索】(1)若3x+4x+1=3+mx+1,则m=;(2) 若5x−3x+2=5+mx+2,则m= .【总结】若ax+bx+c =a+mx+c(其中a,b,c 为常数),则m=.【应用】利用上述结论解决：若代数式4x−3x−1的值为整数，求满足条件的整数x的值.举一反三7 已知x+1x =3,求x2x4+x2+1的值.11举一反三8 (西安统考)阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+23=223.在分式中，我们定义：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如x−1x+1,x2x−1这样的分式就是假分式；再如3x+1,2xx2+1这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式(即整式与真分式的和的形式).如x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1;再如x2x−1=x2−1+1x−1=(x+1)(x−1)+11=x+1+1x−1.解决下列问题：(1) 分式2x是 (填“真分式”或“假分式”)；(2)将假分式x−1x+2化为带分式：；(3)如果分式2x−1x+1的值为整数，那么整数x的值为 .过关检测基础夯实1.下列各式中2x ,a+2b2,a+bπ,a+1a,(x−1)(x+2)x+2,a+√bb，分式的个数是 ( )A. 2B. 3C.4D. 52.使分式x−1x2−3x+2有意义的x 的取值范围是 ( ) A. x≠1 B. x≠2C. x≠1且x≠2D.x可为任何数3.若分式x2−4x+3(x−1)(x−2)的值为0，则( )A. x=1或x=3B. x=3C. x=1D. x≠1且. x≠24.下列约分正确的是 ( )A.a9a3=a3 B.x+1x+1=0 C.x2+2x+1x+1=x+1 D.a2+b2a+b=a+b5.a5,n2m,12π,ab+1,a+b3,y5−1z中,分式有个.6.当分式1x−3有意义时，则 x 满足的条件是 .7.若分式x+1x−1的值为 0，则 x 的值是8.利用分式的基本性质填空：(1)3a5xy =()10axy(a≠0);(2)a+2a2−4=1().9.约分:(1)a3b3a2b+ab ;(2)x2−2x+1(x2+1)2−4x2.10. 通分: 2m−3,12(m+3).能力拓展11. 当分式62x−3的值为整数时，自然数x 的取值可能有 ( )A.3个B. 4个C.6 个D.8个12. 如果分式a2a+b中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值 ( ) A. 不变 B. 缩小 2倍C. 扩大 2倍D. 扩大 4 倍13. 设xyz≠0,且3x+2y—7z=0,7x+4y—15z=0,则4x2−5y2−6z2x2+2y2+3z2=¯.14.不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则a−23b12a+2b=15.x 取何值时，下列分式有意义：(1)x+22x−3;(2)6(x+3)|x|−12;(3)x+6x2+1.16. (1) 已知分式2x2−8x−2,x取何值时，分式的值为0?(2)x 为何值时,分式x2+23x−9的值为正数?17.已知实数a,b满足, 6ᵃ=2010,335ᵇ=2 010,求1a +1b的值.综合创新18. 设 a +b +c = abc(abc≠0),化简: a (1−b 2)(1−c 2)+b (1−c 2)(1−a 2)+c (1−a 2)(1−b )2aℎc= .19.若 x²+x −1=0,则x 4+(x−1)2−1x (x−1)的值为 .20.(舟山中考)给定下面一列分式(其中x≠ 0):x 3y,−x 5y2,x 7y3,−x 9y 4,⋯(1)把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律? (2)根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.4 分式性质的拓展应用【例题精讲】 1. B 解析: 1a+1b+1c=1a+b+c,去分母并整理得 b²c +bc²+a²c +ac²+a²b + ab²+2abc =0,即 (b²c +2abc +a²c )+(bc²+ac²)+(a²b +ab²)=0,∴c(a + b)²+c²(a +b )+ab (a +b )=0,(a +b ). (ac +bc +c²+ab )=0,(a +b )(b +c )⋅(a+c)=0,即a+b=0或b+c=0或a+c=0，则a ，b ，c 中必有两个数互为相反数.2. --4 解析：由已知条件可得x+y xy= −12,y+zyz=34,z+xzx=−34,即 1x+ 1y=−12,1y+1z=34,1z+1x=−34,三式相加得 2x+2y+2z=−12,∴1x+ 1y+1z=−14,∴xy+yz+zxxyz=−14, ∴xyz xy+yz+zx=−4.3.【探索】(1)1 (2)-13【总结】b-ac 【应用】x=2或x=0 解析：【探索】(1)将已知等式整理得3x+4x+1=3x+3+m x+1,即3x+4=3x+3+m,解得m=1;(2) 将已知等式整理得5x−3x+2=5x+10+m x+2,即5x-3=5x+10+m,解得:m=-13.【应用】4x−3x−1=4(x−1)+1x−1=4+1x−1,:x 为整数且4x−3x−1为整数,∴x-1=±1,∴x=21或x=0.【举一反三】1.B 解析：根据题意，用x ，y 的相反数代入这个 分 式,即 b =−x−y1−(−x )(−y )= −x+y 1−xy=−a,所以a ，b 互为相反数.2. D 解析:当a≠0且x=0时,等式才能成立，A 错误；当b≠0时，从左到右的变形才能成立，B 错误；分式从左不能变形到右,C 错误;−x−y x+y=−(x+y )x+y=−1,D 正确.3. B 解析:x+2≠0,解得x≠--2,又∵x²-x--6≠0,(x+2)(x -3)≠0,解得x≠-2且x≠3,则x≠-2且x≠3时,等式成立.4.7±√136解析： ∵x⁴−x²+6x −8=1, ∴x⁴−x²+6x −9=0,∴x⁴−(x −3)²= ,∴(x²+x −3)(x²−x +3)=0,∴x²+(x--3=0或 x²−x +3=0.当 x²−x +3=0时，方程无解；当 x²+x −3=0时,x=−1±√132.当 x =−1+√132时, xx+1=−1+√132−1+√132+1√131+√13= 7−√136;当 x =−1−√132时,xx+1=−1−√132−1−√132+1√131−√13=7+√136. 5. 13解析：由x x 2+x+1=13整理变形得1x+1+1x=13,从而得 x +1x=2.而 x 2+x 2x 4+x 2+1=1x 2+1+1x2,1x 2=(x +1x)2−2=2, 故x2x4+x2+1=13.6. 35解析：∵1x−1y=3,∴y−x=3xy,∴x−y=−3xy,∴2x+3xy−2yx−2xy−y=2(x−y)+3xy(x−y)−2xy=2×(−3xy)+3xy−3xy−2xy=−3xy−5xy=35.7. 18解析：将x+1x=3两边同时乘x，得x2+1=3x,x2x4+x2+1=x2(x2+1)2−x2=x29x2−x2=18.8.(1) 真分式(2)1−3x+2(3)2或-4或0或-2解析：(3)2x−1x+1=2x+2−3x+1=2−3x+1.所以当x+1=3或-3或1或-1时，分式的值为整数.解得x=2或x=-4或x=0或x=-2.【过关检测】1. B 解析: a+2b2,a+bπ的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；a+√bb的分子不是整式，因此不是分式.2. C 解析: ∵x²−3x+2≠0即(x-1)(x-2)≠0,∴x-1≠0且x-2≠0,∴x≠1且x≠2.3. B 解析:∵分式x2−4x+3(x−1)(x−2)的值为0,∴x²−4x+3=0且(x--1)(x--2)≠0,∴x=3.4. C 解析:原式=a⁶,A错误;原式=1,B错误；该分式是最简分式，不需要约分，D错误.5.3 解析: n2m ,ab+1,y5−1z为分式.6. x≠3解析：由题意得x--3≠0，解得x≠3.7.-1 解析:由分式x+1x−1的值为0,得x+1=0且x-1≠0,解得x=-1.8.(1) 6a² (2)a-29.(1) 原式=a3b3ab(a+1)=a2b2a+1(2) 原式=(x−1)2(x2+1+2x)(x2+1−2x)=(x−1)2(x+1)2(x−1)2=1(x+1)210.2m−3=4(m+3)2(m+3)(m−3)12(m+3)=m−32(m+3)(m−3)11. B 解析:要使62x−3的值为整数，则2x-3只能取±1,±2,±3,±6,而x 是自然数,分析知2x-3可取±1或±3,对应得x为0,1,2,3.12. C 解析:∵分式a2a+b 中的a，b都同时扩大2倍, ∴(2a)22a+2b=2a2a+b,∴该分式的值扩大2倍.13.−116解析:∵xyz≠0,∴x≠0且y≠0且z≠0,{3x+2y−7z=0circle17x+4y−15z=0circle2②--①×2得7x-6x--15z+14z=0,∴x=z,将x=z代入①得3z+2y-7z=0,解得y=2x= 2z,原式=4z2−5×4z2−6z2z2+2×4z2+3z2=−22z212z2=−116.14.6a−4b3a+12b 解析a−23b12a+2b=6(a−23b)6(12a+2b)=6a−4b3a+12b.15.(1)x≠32(2)x≠±12 (3) x 为任意实数解析:(1)要使x+22x−3有意义,则2x-3≠0,解得x≠32.当x≠32时, x+22x−3有意义.(2)要使6(x+3)|x|−12有意义,则|x|-12≠0,解得x≠±12.当x≠±12时, 6(x+3)|x|−12有意义.(3)要使x+6x2+1有意义，则x²+1≠0.x为任意实数，x+6x2+1有意义.16.(1) -2 (2)x>3解析:(1)由2x2−8x−2=0,得2x²−8=0且x--2≠0,解得x=-2.当x=-2时,分式的值为0.(2)x2+23x−9的值为正数，得3x-9>0,解得x>3.当x>3时,分式x2+23x−9的值为正数.17. 1 解析: ∵6ᵃ=2010,335ᵇ=2010,∴6ᵃᵇ=2010ᵇ,335ᵃᵇ=2010ᵃ,∴6ᵃᵇ×335ᵃᵇ=2010ᵇ⁺ᵃ,(6×335)ᵃᵇ=2010ᵃ⁺ᵇ,∴ab=a+b,∴1a +1b=a+bab=1.18.4 解析:分子=a(1−b²−c²+b²c²)+b(1−c²−a²+a²c²)+c(1−a²−b²+a²b²)=(a+b+c)−ab(a+b)−bc(b+c)-ac(c+a)+abc(ab+ac+bc).∵a+b+c=abc,∴分子=abc-ab(abc-c)-bc(abc-a)-ac(abc-b)+abc(ab+ac+bc)=abc-abc(ab-1+bc-1+ac-1)+abc(ab+ac+bc)=abc+3abc=4abc.∴原式=4abcabc=4.19. 3 解析: ∵x²+x−1=0,∴x²=−(x−(1),x2+x=1,∴x4+(x−1)2−1x(x−1)=[−(x−1)]2+(x−1)2−1x(x−1)=2x2−4x+1x2+x−2x=2(1−x)−4x+11−2x=3(1−2x)1−2x=3.20.(1)任意一个分式除以前面一个分式恒等于−x2y(2)观察这一列分式：①发现分母上是y¹,y²,y³,…,故第7 个式子的分母是y⁷.②发现分子上是x³, x⁵,x⁷,…,i故第7个式子的分子是：x¹⁵.③再观察符号，发现第偶数个分式为负，第奇数个分式为正.综上，第 7 个分式应该是x15y7.。
2020年中考数学考点总动员第04讲 分式(含答案解析)
第04讲 分式1．分式的基本概念(1)形如AB(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式．(2)当B≠0时，分式A B 有意义；当B ＝0时，分式A B 无意义；当A ＝0 时，分式AB 的值为零.2．分式的性质(1)分式的分子与分母都乘(或除以)一个不为零的整式，分式的值不变，即A B ＝A×M B×M ，A B ＝A÷MB÷M ；(M 是不等于零的整式)(2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．即A B ＝－－A B ＝－A －B ＝－A－B .3．最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式． 4．分式的运算(1)通分：把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． (2)确定最简公分母：确定方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母． (3)约分：把分式中分子与分母的___公因式____约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质． (4)分式的运算法则： ①加减法：同分母加减法：a c ±b c ＝_a±bc _；异分母加减法：b a ±d c ＝bc±abac .②乘除法：a b ·c d ＝ac bd ； a b ÷c d ＝_adbc __． ③乘方：(a b )n ＝a nbn .考点1： 分式的化简【例题1】下列变形错误的是（ ）A.46323224y y x y x -=-B.1)()(33-=--x y y xC.9)(4)(27)(12323b a x b a b a x -=--D.y x a xy a y x 3)1(9)1(32222-=-- 【答案】D【解析】：A 选项分子和分母同时除以最大公因式322x y ；B 选项的分子和分母互为相反数；C 选项分子和分母同时除以最大公因式()3a b -，D 选项正确的变形是22223(1)9(1)3x y a x xy a y-=-所以答案是D 选项 考点2： 分式的化简【例题2】（2018包头）化简；22442x x x x-++÷（42x +﹣1）= ． 【答案】﹣2x x-． 【解析】：原式=2(2)(2)x x x -+÷（42x +﹣22x x ++）=2(2)(2)x x x -+÷22x x -+ =2(2)(2)x x x -+•2(2)x x +-- =﹣2x x-， 故答案为：﹣2x x-． 考点3：分式的加减乘除运算【例题3】先化简，再求值：9－3a 2a －4÷(a ＋2－5a －2)，其中a 满足a 2－a －6＝0.【解答】解：原式＝3（3－a ）2（a －2）÷a 2－9a －2＝3（3－a ）2（a －2）·a －2（a ＋3）（a －3）＝－32（a ＋3）.∵a 2－a －6＝0，且a ≠2，±3，∴a ＝3(舍去)或a ＝－2. ∴当a ＝－2时，原式＝－32.归纳：1.分式化简时，应注意：当自主确定代数式中字母的取值时，一定要注意所选取的值不能使原分式中的分母为0；另外对于所给值是代数式时，可考虑整体代入思想计算以达到简便计算的目的．2．分式化简求值的一般步骤：第一步：若有括号的，先计算括号内的运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；第二步：若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子、分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋、－”就只有“×或·”，简称：除法变乘法；第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解、约分来计算乘法运算，简称：先算乘法；第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式，简称：再算加减； 第五步：将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义，简称：代入求值．一、选择题：1. （2018•金华）若分式的值为0，则x 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ．3或﹣3D ．0【答案】A【解答】由分式的值为零的条件得x ﹣3=0，且x+3≠0， 解得x=3． 故选：A ．2. （2018•台州）计算，结果正确的是（ ）A ．1B ．xC ．D ．【答案】A【解答】原式==1，故选：A ．3. （2019•江苏扬州•3分）分式x-31可变形为( D ) A.x +31 B.-x +31 C.31-x D.31--x【答案】：故选B.【解析】：分式的分母整体提取负号，则每一个都要变号4.（2019•河北省•2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】B【解析】∵﹣＝﹣＝1﹣＝又∵x为正整数，∴≤x＜1故表示﹣的值的点落在②5. （2019•四川省达州市•3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【答案】D【解答】解：∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝，故选：D．二、填空题：6. （2019•江苏泰州•3分）若分式121x有意义，则x的取值范围是．【答案】 x≠1 2【解答】解：根据题意得，2x﹣1≠0，解得x≠12．故答案为：x≠12．7. （2018•襄阳）计算﹣的结果是．【答案】【解答】原式===，故答案为：．8. （2018·四川自贡·4分）化简+结果是．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=+=故答案为：9. 先阅读下面一段文字，然后解答问题：一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．设初三年级共有x名学生，则①x的取值范围是；②铅笔的零售价每支应为元；③批发价每支应为元．（用含x、m的代数式表示）．【分析】①关系式为：学生数≤300，学生数+60≥301列式求值即可；②零售价=总价÷学生实有人数；③批发价=总价÷（学生实有人数+60）．【解答】解：①由题意得：x≤300，x+60≥301，∴241≤x ≤300；②铅笔的零售价每支应为元；③批发价每支应为元．三、解答题：10. （2018•玉林）先化简再求值：（a ﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣．【分析】据分式的运算法则即可求出答案，【解答】：当a=1+，b=1﹣时，原式=•=•===11.（2017张家界）先化简（1﹣）÷，再从不等式2x ﹣1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值．【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数据代入即可．【解答】解：（1﹣）÷=×=，∵2x ﹣1＜6， ∴2x ＜7，∴x ＜，把x=3代入上式得：原式==4．12. (2018·遵义)化简分式(a 2－3a a 2－6a ＋9＋23－a )÷a －2a 2－9，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．【解析】：原式＝[a （a －3）（a －3）2－2a －3]÷a －2（a ＋3）（a －3） ＝(a a －3－2a －3)·（a ＋3）（a －3）a －2 ＝a －2a －3·（a ＋3）（a －3）a －2＝a ＋3.∵a ≠－3，2，3， ∴a ＝4或a ＝5.∴当a ＝4时，原式＝7.(或当a ＝5时，原式＝8.)13. (2018·石家庄模拟)化简a a 2－4÷a 2－3a a ＋2－12－a ，并求值，其中a 与2，3构成△ABC 的三边，且a 为整数．【解析】：原式＝a （a ＋2）（a －2）·a ＋2a （a －3）＋1a －2＝1（a －2）（a －3）＋a －3（a －2）（a －3）＝1a －3. ∵a 与2，3构成△ABC 的三边， ∴1<a<5. 又∵a 为整数， ∴a ＝2，3，4.又∵a ≠±2且a ≠3，∴a ＝4. ∴当a ＝4时，原式＝1. 14. 问题探索：（1）已知一个正分数（m ＞n ＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．（2）若正分数（m ＞n ＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k ＞0），情况如何？ （3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．【分析】（1）使用作差法，对两个分式求差，有﹣=，由差的符号来判断两个分式的大小．（2）由（1）的结论，将1换为k ，易得答案，（3）由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；结合实际情况判断，可得结论．【解答】解：（1）＜（m ＞n ＞0）证明：∵﹣=，又∵m ＞n ＞0，∴＜0，∴＜．（2）根据（1）的方法，将1换为k，有＜（m＞n＞0，k＞0）．（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；则可得：＞，所以住宅的采光条件变好了．。
2015届湘教版中考数学复习课件(第4课时_分式)(共21张PPT)
x＝1不合题意；当x＝－1时，x－1＝－2≠0，所以x＝－1 时分式的值为0，故选C.
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第4课时┃ 分式
【方法点析】 (1)分式有意义的条件是分母不为零． (2)分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零． (3)分式的值为正数的条件是分子与分母同号；分式的值 为负数的条件是分子与分母异号．分式的值为正(负)数经常与 不等式组结合考查．
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第4课时┃ 分式
考点2 分式的基本性质
分式的基 本性质
A A×M A A÷M B＝B×M， B＝B÷M，(M是不为零的整式)
应 用
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母 约分 的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因 式)，叫作分式的约分 通分 利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成 同分母的分式 ____________________ 的过程，叫作分式的通分
d ad ________ ＝bc (b≠0, c≠0, d≠0) c
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第4课时┃ 分式
分式的 乘方
法则
分式的乘方是把分子、分母各自乘方
n a an n ＝________( n为整数) b 公式 b
在分式的混合运算中，应先算乘方，再将 分式的 混合运 算 法则 除法化为乘法，然后进行约分化简，最后 进行加减运算，如果有括号，先算括号里 面的 特别 (1)实数的各种运算律也符合分式的运算； 说明 (2)分式运算的结果要化成最简分式或整式
探究四 有关分式的规律探究题
命题角度： 1.探究分式中的规律问题； 2.有条件的分式化简．
例5 [2013· 衡阳] 观察下列按顺序排列的等式：a1＝ 1 1 1 1 1 1 1 1－ ，a2＝ － ，a3＝ － ，a4＝ － ，„，试猜想第n 3 2 4 3 5 4 6 1 1 个等式(n为正整数)an＝______________. n－n＋2
2024年全国各省市数学中考真题汇编 专题4分式与分式方程(34题)含详解
专题04分式与分式方程（34题）一、单选题1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川雅安·中考真题）计算()013-的结果是（）A ．2-B ．0C ．1D ．43．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行0.5h ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km ，求慢车的速度？设慢车的速度为km /h x ，则可列方程为（）A ．60601202x x -=+B ．60601202x x -=-C ．60601202x x -=+D ．60601202x x -=-4．（2024·四川雅安·中考真题）已知()2110a b a b+=+≠．则a ab a b +=+（）A ．12B ．1C ．2D ．3二、填空题5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式619x -有意义，则x 需满足的条件是．6．（2024·辽宁·中考真题）方程512x =+的解为．7．（2024·重庆·中考真题）计算：011(3)()2π--+＝．8．（2024·重庆·中考真题）计算：023-+=．9．（2024·安徽·中考真题）若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是．10．（2024·青海·中考真题）若式子13x -有意义，则实数x 的取值范围是．11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程11x 2=-的解为．12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程322x x=-的解为．13．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的不等式组()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y -=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算：22x y xy y x x x ⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭．15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式11x -有意义的x 的取值范围是．16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．17．（2024·四川自贡·中考真题）计算：31211a aa a +-=++．18．（2024·江苏常州·中考真题）计算：111x x x +=++．19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a ，b 满足1ab =，那么221111a b +++的值为．三、解答题20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：7411a a a a ++⎛⎫+÷⎪+⎝⎭，其中4a =．21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：221412x x x x x+-⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭，其中3x =．22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：22391369x x x x -⎛⎫+÷ --+⎝⎭，其中2x =-．23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：2121121x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：32222x x x x ---，其中x =26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：11x y y x y x ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2x y =-．27．（2024·四川·中考真题）化简：11x x x x +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭．28．（2024·四川雅安·中考真题）（1()111525-⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：2221211a a aa a -+⎛⎫-÷⎪-⎝⎭，其中2a =．29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m 0.8m ⨯，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m 、b m 、c m 、d m ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10，且a b =，c d =，2c a =，求四周边衬的宽度．32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：22224xx x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．33．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a-⎛⎫+÷ ⎪+⎝⎭．34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：22422324x xx x x -⎛⎫+-÷+⎪+-⎝⎭，其中72x =-．专题04分式与分式方程（34题）一、单选题1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=【答案】A【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．【详解】解：方程两边同乘26x -，得()()152626263126x x x x x---⨯=-⨯---，整理可得：2625x -+=-故选：A ．2．（2024·四川雅安·中考真题）计算()013-的结果是（）A ．2-B ．0C ．1D ．4【答案】C【分析】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键．根据零指数幂的运算性质进行计算即可．【详解】解：原式0(2)1=-=．故选：C ．3．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行0.5h ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km ，求慢车的速度？设慢车的速度为km /h x ，则可列方程为（）A ．60601202x x -=+B ．60601202x x -=-C ．60601202x x -=D ．60601202x x -=【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为km /h x ，则快车的速度是()20km /h x +，再根据题意列出方程即可．【详解】解：设慢车的速度为km /h x ，则快车的速度为()20km /h x +，根据题意可得：60601202x x -=+．故选：A ．4．（2024·四川雅安·中考真题）已知()2110a b a b+=+≠．则a ab a b +=+（）A ．12B ．1C ．2D ．3二、填空题5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式619x -有意义，则x 需满足的条件是．6．（2024·辽宁·中考真题）方程12x =的解为．7．（2024·重庆·中考真题）计算：011(3)()2π--+＝．8．（2024·重庆·中考真题）计算：023-+=．【答案】3【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式=2+1=3，故答案为：3．【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2024·安徽·中考真题）若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是．【答案】4x ≠【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．【详解】解： 分式有意义的条件是分母不能等于0，∴40x -≠∴4x ≠．故答案为：4x ≠．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．10．（2024·青海·中考真题）若式子13x -有意义，则实数x 的取值范围是．11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程1x 2=-的解为．【答案】x 3=【分析】首先去掉分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程2x x=-的解为．13．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的不等式组()1321x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y-=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算：22x y xy y x x x ⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭．15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式1x -有意义的x 的取值范围是．【答案】x ≠1【详解】根据题意得：x -1≠0，即x ≠1.故答案为：x ≠1．16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．17．（2024·四川自贡·中考真题）计算：11a a +-=++．【答案】118．（2024·江苏常州·中考真题）计算：11x x +=．19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a ，b 满足1ab =，那么221111a b +的值为．三、解答题20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：7411a a a a ++⎛⎫+÷⎪+，其中4a =．21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：212x x x+-⎛⎫-÷ ⎪+，其中3x =．22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：21369x x x -⎛⎫+÷ ，其中2x =-．23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．【答案】该市谷时电价0.3元/度【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为x 元/度，则峰时电价()0.2x +元/度，根据题意列出分式方24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：21121x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：22x x -，其中x =26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：11x y y x y x ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2x y =-．27．（2024·四川·中考真题）化简：11x x x x ⎛⎫-÷ ⎪．28．（2024·四川雅安·中考真题）（1()111525-⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：2221211a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪-，其中2a =．29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m 0.8m ⨯，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m 、b m 、c m 、d m ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10，且a b =，c d =，2c a =，求四周边衬的宽度．【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出,AB AD 的长，列出分式方程，进行求解即可．【详解】解：由题意，得： 1.2 1.22 1.24AB c d c a =++=+=+，0.80.82AD a b a =++=+，∵AB 与AD 的比是16:10，∴1.24160.8210a a +=+，解得：0.1a =，经检验0.1a =是原方程的解．∴上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、．32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：2224x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】41x +，当1x =时，原式2=．【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x 的值，最后代值计算即可．【详解】解：22224x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭()()()()()()()2212222x x x x x x x x x x +--+=÷-+-+()()()()()222222221x x x x x x x x x x -++-+=⋅-++()()()()()224221x x x x x x x -+=⋅-++41x =+，∵分式要有意义，∴()()()22010x x x x ⎧+-≠⎪⎨+≠⎪⎩，33．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a -⎛⎫+÷ ⎪．34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：22324x x x -⎛⎫+-÷+ ⎪，其中2x =-．。
专题04分式(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)
中考数学一轮复习学案04 分式考点课标要求考查角度1分式的概念①了解分式的概念，明确分式与整式的区别，会确定使分式有意义的字母的取值范围；②会求分式值为零时x的值．考查分式的意义和分式值为零的情况．常以选择、填空题为主．2分式的运算①掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分；②能熟练地进行分式的加、减、乘、除运算及混合运算，并能解决相关的化简求值问题．考查分式的基本性质和分式的运算．常以选择、填空题、解答题的形式命题．中考命题说明思维导图1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．分式AB中，A叫做分子，B叫做分母．三个条件缺一不可：①是形如AB的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母．特别说明：11aa-+也可以表示为(a-1)÷(a+1)，但(a-1)÷(a+1)不是分式，因为它不符合AB的形式．判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，4aa就是分式．2．有意义的条件：分母B的值不为零(B≠0).3. 分式的值为零的条件：当分子为零，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)【例1】（2022•怀化）代数式25x，1π，224x+，223x-，1x，12xx++中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】分式的定义【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式AB叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：22 4x+，1x，12xx++，整式有：25x，1π，223x-，分式有3个，故选：B．知识点1：分式的相关概念知识点梳理典型例题【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式是解题的关键，注意π是数字． 【例2】（2022•凉山州）分式13x+有意义的条件是（ ） A ．x ＝－3B ．x ≠－3C ．x ≠3D ．x ≠0【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3＋x ≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 3＋x ≠0， ∴x ≠－3， 故选：B ．【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【例3】（2022•广西）当x ＝ 时，分式22xx +的值为零． 【考点】分式的值为零的条件【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x ＝0且x ＋2≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 2x ＝0且x ＋2≠0， ∴x ＝0且x ≠－2， ∴当x ＝0时，分式22xx +的值为零， 故答案为：0．【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．1．分式的基本性质：A A MB B M⨯=⨯，A A M B B M ÷=÷ （M 为不等于零的整式）． 2．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．知识点2：分式的基本性质知识点梳理3．最简分式：分子与分母没有 公因式 的分式叫做最简分式．4．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 相等 的同分母的分式，叫做分式的通分．5. 最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积．6. 变号法则：A A A AB B B B--=-=-=--．【例4】（3分）（2020•河北7/26）若a ≠b ，则下列分式化简正确的是（ ）A ．22a a b b+=+ B ．22a ab b-=- C ．22a ab b= D ．1212aa b b = 【考点】分式的基本性质【分析】根据a ≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵a ≠b ， ∴22a ab b+≠+，故选项A 错误； 22a ab b-≠-，故选项B 错误； 22a ab b≠，故选项C 错误； 1212aa b b =，故选项D 正确； 故选：D ．【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【例5】若把分式3xyx y-（x ，y 均不为0）中的x 和y 都扩大3倍，则原分式的值是（ ） A ．扩大3倍 B ．缩小至原来的13C ．不变D ．缩小至原来的16典型例题【分析】若把分式3xyx y-（x，y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则分子扩大了3×3＝9倍，分母的x和y均扩大3倍，可用提取公因数法将3提到前面，9÷3＝3，故原分式的值扩大了3倍．故选A．【答案】A．【例6】下列分式变形中，正确的是（）A．22a ba ba b+=++B．1x yx y-+=-+C．a amb bm=D．32()()n mn mm n-=--【例7】约分：2332415a ba b-=（）A．85baB．285ba-C．85ba-D．283ab11112242222(2)(2)(2)(2)x x B x x x x x x x x ---=+=-==-+-+-+-+-， 故A ＝-B. 【答案】C ．1．分式的乘除法： （1）乘法法则：(0)a c acbd b d bd=≠； （2）除法法则：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝adbc .(bcd ≠0)2．分式的加减法： （1）同分母分式相加减：a b a bc c c±±=(c ≠0) （2）异分母分式相加减：a b ±c d ＝ad ±bcbd.(bd ≠0)3. 分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (n 为整数，b ≠0)4. 分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的．①实数的各种运算律也适用于分式的运算；②分式运算的结果要化成最简分式或整式．【例9】（2022•济南）若m －n ＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（ ） A ．－2B ．2C ．－4D ．4【考点】分式的乘除法【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把m －n 的值代入计算即可． 【解答】解：原式()()2m n m n mm m n+-=⋅+ ＝2(m －n )．知识点3：分式的运算知识点梳理典型例题当m －n ＝2时．原式＝2×2＝4． 故选：D ．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【例10】（2022•山西）化简21639a a ---的结果是（ ） A ．13a + B ．a －3 C ．a ＋3 D ．13a - 【考点】分式的加减法【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：21639a a --- 36(3)(3)(3)(3)a a a a a +=-+-+- 36(3)(3)a a a +-=+-3(3)(3)a a a -=+-13a =+， 故选：A ．【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键． 【例11】（3分）（2021•包头14/26）化简：2211()422m m m m +÷=--+ ． 【考点】分式的混合运算【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：原式2(2)(2)(2)(2)m m m m m -+=⋅++-2=12m m -=-．故答案为1．【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【例12】（5分）（2021•重庆B 卷19（2）/26）计算：22293()211x x x x x x --÷++++． 【考点】分式的混合运算【分析】先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．【解答】解：原式222(3)(3)3()(1)11x x x x x x x x +-+-=÷++++2(3)(3)3(1)1x x x x x +-+=÷++ 2(3)(3)1(1)3x x x x x +-+=⋅++ 31x x -=+． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序及其运算法则．【例13】（6分）（2020•安徽17/23）观察以下等式： 第1个等式：121(1)2311⨯+=-，第2个等式：321(1)2422⨯+=-，第3个等式：521(1)2533⨯+=-，第4个等式：721(1)2644⨯+=-．第5个等式：921(1)2755⨯+=-．⋯按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示），并证明． 【考点】规律型：数字的变化类；列代数式【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；（2）把上面发现的规律用字母n 表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 【解答】解：（1）第6个等式：1121(1)2866⨯+=-； （2）猜想的第n 个等式：2121(1)22n n n n-⨯+=-+． 证明：∵左边21221122n n n n n n n-+-=⨯==-=+右边， ∴等式成立． 故答案为：1121(1)2866⨯+=-；2121(1)22n n n n-⨯+=-+．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．1. 分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．2. 分式的自选代值：分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意：当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．【例14】（2022•内蒙古）先化简，再求值：2344(1)11x x x x x -+--÷--，其中x ＝3． 【考点】分式的化简求值【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x ＝3代入计算即可． 【解答】解：原式223(1)11(2)x x x x ---=⋅-- 2(2)(2)11(2)x x x x x +--=-⋅-- 22x x +=--， 当x ＝3时， 原式3232+=-- ＝－5． 【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简． 【例15】（2022•菏泽）若a 2－2a －15＝0，则代数式244()2a a aa a --⋅-的值是 ．【考点】分式的化简求值【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．知识点4：分式的化简求值知识点梳理典型例题【解答】解：244()2a a a a a --⋅- 22442a a a a a -+=⋅- 22(2)2a a a a -=⋅- 22a a =-，∵a 2－2a －15＝0， ∴a 2－2a ＝15， ∴原式＝15． 故答案为：15．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【例16】（2022•黄石）先化简，再求值：2269(1)11a a a a +++÷++，从－3，－1，2中选择合适的a 的值代入求值． 【考点】分式的化简求值【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式23(3)11a a a a ++=÷++ 2311(3)a a a a ++=⋅++ 13a =+， 由分式有意义的条件可知：a 不能取－1，－3， 故a ＝2， 原式11235==+． 【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【例17】（3分）（2019·河北省13/26）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1+441x x x x +-++的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【考点】分式的加减法，化简求值．【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x 为正整数，从所给图中可得正确答案．【解答】解：∵22(2)+44x x x ++﹣11x +＝22(2)(2)x x ++﹣11x +＝1﹣11x +＝1x x +又∵x 为正整数，∴12≤1xx +＜1 故表示22(2)+44x x x ++﹣11x +的值的点落在②故选：B ．【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．1．（2022•德阳）下列计算正确的是( ) A ．222()a b a b -=- B ．2(1)1-= C ．1a a a a÷⋅= D ．233611()26ab a b -=-2．（2022•天津）计算1122a a a ++++的结果是( ) A ．1B ．22a + C ．2a + D ．2aa + 3．（2022•眉山）化简422a a +-+的结果是( ) A ．1 B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa +4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式111()v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像)到镜头的距离．已知f ，v ，则(u = )A ．fvf v- B ．f vfv- C ．fvv f- D ．v ffv- 5．（2022•内蒙古）下列计算正确的是( ) A ．336a a a +=B ．1a b a b÷⋅= 巩固训练C ．22211a a a -=--D ．3325()b b a a=6．（2022•威海）试卷上一个正确的式子11()a b a b +÷+-★2a b=+被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) A ．aa b- B ．a ba- C ．aa b+ D ．224aa b -7．（2022•玉林）若x 是非负整数，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是( )A ．①B ．②C ．③D ．①或②8．（2022•河北）若x 和y 互为倒数，则11()(2)x y y x+-的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（2022•南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111()()a b a b+÷-的值是( )AB ．CD ．10．（2022•南通）分式22x -有意义，则x 应满足的条件是 ． 11．（2022•湖北）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是 ． 12．（2022•湖州）当1a =时，分式1a a+的值是 ． 13．（2022•襄阳）化简分式：ma mba b a b+=++ ． 14．（2022•益阳）计算：2211a a a -=-- ． 15．（2022•张家界）有一组数据：13123a =⨯⨯，25234a =⨯⨯，37345a =⨯⨯，⋯，21(1)(2)n n a n n n +=++．记123n n S a a a a =+++⋯+，则12S = ．16．（2022•包头）计算：222a b aba b a b -+=-- ． 17．（2022•苏州）化简2222x xx x ---的结果是 ． 18．（2022•衡阳）计算：2422a a a +=++ ．19．（2022•怀化）计算5322x x x +-=++ ． 20．（2022•温州）计算：22x xy xy x xy xy+-+= ．21．（2022•黔西南州）计算：2x y yx y x y+-=-- ． 22．（2022•武汉）计算22193x x x ---的结果是 ． 23．（2022•淄博）计算：2211x x x+=-- ． 24．（2022•湘西州）计算：111x x x -=-- ． 25．（2022•沈阳）化简：211(1)1x x x --⋅=+ ．26．（2022•自贡）化简：223424432a a a a a a --⋅+=++-+ ．27．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 ．28．（2022•衢州）（1）因式分解：21a -． （2）化简：21111a a a -+-+． 29．（2022•临沂）计算： （1）34112()963-÷⨯-；（2）1111x x -+-． 30．（2022•舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，⋯⋯ （1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）． （2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．31．（2022•连云港）化简221311x x x x -+--．32．（2022•重庆）计算： （1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244(1)24m m m m m -+-÷+-． 33．（2022•德州）（1）化简：52(2)23m m m m -+-⋅--； （2）解方程组：43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩．34．（2022•淮安）（1）计算：0|5|(32tan 45-+-︒； （2）化简：23(1)93a a a ÷+--． 35．（2022•徐州）计算：（1）202211(1)3|()3--+-+（2）22244(1)x x x x +++÷．36．（2022•镇江）（1）计算：11()tan 451|2--︒+；（2）化简：11(1)()a a a-÷-．37．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． 212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅⋯--第一步 22242x x x x ---=⋅⋯-第二步22(2)(2)2x x x --=⋅⋯+-第三步 12x =-⋯+第四步 任务一：填空①以上化简步骤中，第 一 步是通分，通分的依据是 ． ②第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 38．（2022•南通）（1）计算：22242a a aa a a -⋅+-+；（2）解不等式组：211418x x x x ->+⎧⎨-+⎩．39．（2022•西藏）计算：222242a a a a a a +⋅---． 40．（2022•兰州）计算：21()(1)x x x x ++÷．41．（2022•大连）计算：2224214424x x x x x x x -+÷--+-．42．（2022•十堰）计算：2222()a b b aba a a--÷+．43．（2022•常德）化简：231(1)22a a a a a +--+÷++． 44．（2022•陕西）化简：212(1)11a aa a ++÷--． 45．（2022•泰安）（1）化简：244(2)24a a a a ---÷--； （2）解不等式：5231234x x -+->． 46．（2022•江西）以下是某同学化简分式2113()x +-÷的部分运算过程： （1）上面的运算过程中第 步出现了错误； （2）请你写出完整的解答过程．47．（2022•甘肃）化简：22(3)3322x x x x x x ++÷-++．48．（2022•泸州）化简：22311(1)m m m m m-+-+÷． 49．（2022•重庆）计算： （1）2(2)(4)x x x ++-；（2）22(1)2a a b b b--÷．50．（2022•阜新）先化简，再求值：22691(1)22a a a a a -+÷---，其中4a =．51．（2022•辽宁）先化简，再求值：22221124()11x x x x x x x -+--÷-++，其中6x =． 52．（2022•福建）先化简，再求值：211(1)a a a-+÷，其中21a =+．1．（2022•德阳）下列计算正确的是( ) A ．222()a b a b -=- B ．2(1)1-= C ．1a a a a÷⋅= D ．233611()26ab a b -=-【考点】算术平方根；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；分式的乘除法【分析】根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断．【解答】解：A ．222()2a b a ab b -=-+，故A 选项错误，不符合题意；2.(1)11B -==，故B 选项正确，符合题意；C ．1111a a a a a÷⋅=⨯=，故C 选项错误，不符合题意； D ．233611()28ab a b -=-，故D 选项错误，不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算． 2．（2022•天津）计算1122a a a ++++的结果是( ) A ．1B ．22a + C ．2a + D ．2aa + 【考点】分式的加减法【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可． 【解答】解：原式112a a ++=+ 22a a +=+ 1=．故选：A ．【点评】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．巩固训练解析3．（2022•眉山）化简422a a +-+的结果是( ) A ．1B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa + 【考点】分式的加减法【分析】先通分，根据分式的加减法法则计算即可． 【解答】解：422a a +-+ 24422a a a -=+++ 22a a =+． 故选：B ．【点评】本题考查了分式的加减法，把2a -看成分母是1的分数进行通分是解题的关键． 4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式111()v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像)到镜头的距离．已知f ，v ，则(u = )A ．fvf v- B ．f vfv- C ．fvv f- D ．v ffv- 【考点】分式的加减法【分析】利用分式的基本性质，把等式111()v f f u v=+≠恒等变形，用含f 、v 的代数式表示u ．【解答】解：111()v f f u v=+≠， 111f u v =+， 111u f v =-， 1v fu fv -=， fvu v f=-． 故选：C ．【点评】考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 5．（2022•内蒙古）下列计算正确的是( ) A ．336a a a +=B ．1a b a b÷⋅=C ．22211a a a -=--D ．3325()b b a a=【考点】合并同类项；分式的混合运算【分析】根据合并同类项的法则、分式运算的法则逐项判断即可． 【解答】解：3332a a a +=，故A 错误，不符合题意； 2111aa b a b b b b÷⋅=⋅⋅=，故B 错误，不符合题意； 22222(1)21111a a a a a a a ---===----，故C 正确，符合题意； 3326()b b a a=，故D 错误，不符合题意； 故选：C ．【点评】本题考查合并同类项、分式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则、分式相关运算的法则．6．（2022•威海）试卷上一个正确的式子11()a b a b +÷+-★2a b=+被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) A ．aa b- B ．a b a- C ．aa b+ D ．224aa b- 【考点】分式的混合运算【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是112()a b a b a b+÷+-+，再根据分式的运算法则进行计算即可； 【解答】解：11()a b a b +÷+-★2a b=+， ∴被墨汁遮住部分的代数式是112()a b a b a b+÷+-+ ()()2a b a b a ba b a b -+++=⋅+- 212a a b =⋅- aa b=-； 故选：A ．【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．7．（2022•玉林）若x 是非负整数，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是( )A ．①B ．②C ．③D ．①或②【考点】数轴；分式的化简求值【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断． 【解答】解：原式22(2)(2)2(2)x x x x x +-=-++ 2222x x x x -=-++ 2(2)2x x x --=+222x x x -+=+22x x +=+ 1=，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是②． 故选：B ．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（2022•河北）若x 和y 互为倒数，则11()(2)x y y x+-的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】分式的化简求值【分析】根据x 和y 互为倒数可得1xy =，再将11()(2)x y y x+-进行化简，将1xy =代入即可求值． 【解答】解：x 和y 互为倒数，1xy ∴=， 11()(2)x y y x +-1212xy xy=-+-21121=⨯-+- 2121=-+-2=．故选：B ．【点评】本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．9．（2022•南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111()()a b a b+÷-的值是( )A B ．C D ．【考点】分式的化简求值【分析】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由223a b ab +=，得出2()5a b ab +=，2()a b ab -=，由0a b >>，得出a b +a b -=可得出答案．【解答】解：2221111()()a b a b+÷-2222222()a b b a a b a b +-=÷ 22222()()()a b a b a b b a b a +=⋅+- a ba b+=--， 223a b ab +=，2()5a b ab ∴+=，2()a b ab -=， 0a b >>，a b ∴+a b -=a b a b +∴-===-， 故选：B ．【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则，分式的乘除法法则，把分式正确化简是解决问题的关键． 10．（2022•南通）分式22x -有意义，则x 应满足的条件是 2x ≠ ． 【考点】分式有意义的条件【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可． 【解答】解：分母不等于0，分式有意义，20x ∴-≠，解得：2x ≠，故答案为：2x ≠．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式是解题的关键．11．（2022•湖北）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是 1x ≠ ． 【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件可知10x -≠，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：10x -≠，解得：1x ≠，故答案为：1x ≠．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．12．（2022•湖州）当1a =时，分式1a a+的值是 2 ． 【考点】分式的值【分析】把1a =代入分式计算即可求出值．【解答】解：当1a =时， 原式1121+==． 故答案为：2．【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2022•襄阳）化简分式：ma mb a b a b+=++ m ． 【考点】分式的加减法【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式ma mb a b +=+ ()m a b a b +=+ m =，故答案为：m ．【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于基础题型．14．（2022•益阳）计算：2211a a a -=-- 2 ． 【考点】分式的加减法 【分析】根据同分母分式加减法则进行计算即可．【解答】解：原式221a a -=- 2(1)1a a -=- 2=．故答案为：2【点评】本题考查了同分母分式的加减，同分母分式的加减，分母不变，分子相加减．15．（2022•张家界）有一组数据：13123a =⨯⨯，25234a =⨯⨯，37345a =⨯⨯，⋯，21(1)(2)n n a n n n +=++．记123n n S a a a a =+++⋯+，则12S = 201182． 【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．【解答】解：13111311123222212a ===⨯+-⨯⨯⨯+； 25511131234242212222a ===⨯+-⨯⨯⨯++； 37711131345602331232a ===⨯+-⨯⨯⨯++； ⋯，2111131(1)(2)2122n n a n n n n n n +==⨯+-⨯++++， 当12n =时， 原式11111113111(1...)(...)(...)22312231323414=++++++++-⨯+++ 201182=， 故答案为：201182． 【点评】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．16．（2022•包头）计算：222a b ab a b a b-+=-- a b - ． 【考点】分式的加减法【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，分子分解因式后，一定要约分．【解答】解：原式222a ab b a b-+=- 2()a b a b-=- a b =-，故答案为：a b -．【点评】本题考查了分式加减法，熟练运用同分母分式加减法法则是解题关键．17．（2022•苏州）化简2222x x x x ---的结果是 x ． 【考点】分式的加减法【分析】依据同分母分式的加减法法则，计算得结论．【解答】解：原式222x x x -=- (2)2x x x -=- x =．故答案为：x ．【点评】本题考查了分式的减法，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．18．（2022•衡阳）计算：2422a a a +=++ 2 ． 【考点】分式的加减法【分析】根据同分母分式的加法计算即可．【解答】解：2422a a a +++ 242a a +=+ 2(2)2a a +=+ 2=，故答案为：2．【点评】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．19．（2022•怀化）计算5322x x x +-=++ 1 ． 【考点】分式的加减法【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式532x x +-=+ 22x x +=+ 1=．故答案为：1．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2022•温州）计算：22x xy xy x xy xy+-+= 2 ． 【考点】分式的加减法【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可．【解答】解：原式22x xy xy x xy++-=， 2xy xy=， 2=．故答案为：2．【点评】本题主要考查了分式的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．21．（2022•黔西南州）计算：2x y y x y x y+-=-- 1 ． 【考点】分式的加减法【分析】利用分式的减法法则，化简得结论．【解答】解：原式2x y y x y +-=- x y x y -=- 1=．故答案为：1．【点评】本题考查了分式的减法，题目比较简单，掌握分式的减法法则是解决本题的关键．22．（2022•武汉）计算22193x x x ---的结果是 13x + ． 【考点】分式的加减法【分析】先通分，再加减．【解答】解：原式23(3)(3)(3)(3)x x x x x x +=-+-+- 23(3)(3)x x x x --=+-3(3)(3)x x x -=+- 13x =+． 故答案为：13x +． 【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键．23．（2022•淄博）计算：2211x x x+=-- 2- ． 【考点】分式的加减法【分析】先变形，再根据分式的加减法则求出即可．【解答】解：原式2211x x x =--- 221x x -=- 2(1)1x x --=- 2=-，故答案为：2-．【点评】本题考查了分式的加减，能灵活运用运算法则进行化简是解此题的关键．24．（2022•湘西州）计算：111x x x -=-- 1 ． 【考点】分式的加减法【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式11x x -=- 1=．故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．25．（2022•沈阳）化简：211(1)1x x x--⋅=+ 1x - ． 【考点】分式的混合运算【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．【解答】解：211(1)1x x x--⋅+11(1)(1)1x x x x x +-+-=⋅+ (1)(1)1x x x x x+-=⋅+ 1x =-，故答案为：1x -．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．26．（2022•自贡）化简：223424432a a a a a a --⋅+=++-+ 2a a + ． 【考点】分式的混合运算【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．【解答】解：223424432a a a a a a --⋅+++-+ 23(2)(2)2(2)32a a a a a a -+-=⋅++-+ 2222a a a -=+++ 2a a =+， 故答案为：2a a +． 【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．27．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 5 ．【考点】合并同类项；分式的化简求值【分析】先将题目中的分式化简，然后令化简后式子的值为1-，求出相应的x 的值即可．【解答】解：314x x -+-344x x x -+-=- 14x=-， 当114x =--时，可得5x =， 检验：当5x =时，40x -≠，∴图中被污染的x 的值是5，故答案为：5．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．28．（2022•衢州）（1）因式分解：21a -．（2）化简：21111a a a -+-+． 【考点】分式的加减法；因式分解-运用公式法【分析】（1）应用因式分解-运用公式法，平方差公式进行计算即可得出答案；（2）运算异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进行计算即可得出答案．【解答】解 （1）21(1)(1)a a a -=-+；（2）21111211111a a a a a a -+=+=-++++． 【点评】本题主要考查了分式的加减法及因式分解-运用公式法，熟练掌握分式的加减法及因式分解-运用公式法的方法进行求解是解决本题的关键．29．（2022•临沂）计算：（1）34112()963-÷⨯-； （2）1111x x -+-． 【考点】有理数的混合运算；分式的加减法【分析】（1）利用有理数的混合运算法则运算即可；（2）利用异分母分式的减法法则运算即可．【解答】解：（1）原式9128()466=-⨯⨯- 91846=⨯⨯3=；（2）原式1(1)(1)(1)x x x x --+=+- 221x -=- 221x =-． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，分式的减法，正确利用相关法则进行运算是解题的关键．30．（2022•舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，⋯⋯ （1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法【分析】（1）观察已知等式，可得规律，用含n 的等式表达即可；（2）先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到（1）中的等式．【解答】解：（1）观察规律可得：1111(1)n n n n =+++； （2）111(1)n n n +++ 1(1)(1)n n n n n =+++ 1(1)n n n +=+ 1n=， ∴1111(1)n n n n =+++． 【点评】本题考查探索规律及分式的运算，解题的关键是观察得到已知等式中的规律．31．（2022•连云港）化简221311x x x x -+--． 【考点】分式的加减法【分析】先通分，再计算通分母分式加减即可．【解答】解：原式213(1)(1)(1)(1)x x x x x x x +-=++-+- 221(1)(1)x x x x -+=+- 2(1)(1)(1)x x x -=+-11x x -=+． 【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的通分是解题关键．32．（2022•重庆）计算：（1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244(1)24m m m m m -+-÷+-． 【考点】单项式乘多项式；平方差公式；分式的加减法【分析】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式可以解答本题；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．【解答】解：（1）()()(2)x y x y y y +-+-2222x y y y =-+-22x y =-；（2）原式22(2)2(2)(2)m m m m m m +--=÷+-+ 2222m m m +=⋅+- 22m =-． 【点评】本题考查分式的混合运算、平方差公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．33．（2022•德州）（1）化简：52(2)23m m m m -+-⋅--； （2）解方程组：43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩． 【考点】解二元一次方程组；分式的混合运算【分析】（1）先通分，把能分解的因式进行分解，再进行约分即可；（2）利用加减消元法进行求解即可．【解答】解：（1）52(2)23m m m m -+-⋅-- 245223m m m m ---=⋅-- (3)(3)223m m m m m -+-=⋅-- 3m =+；（2）43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩①②， ②2⨯得：4106x y -=-③，①-③得：99y =，解得1y =，把1y =代入①得：413x -=，解得1x =，故原方程组的解是：11x y =⎧⎨=⎩． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握．34．（2022•淮安）（1）计算：0|5|(32tan 45-+-︒；（2）化简：23(1)93a a a ÷+--． 【考点】零指数幂；分式的混合运算；实数的运算；特殊角的三角函数值【分析】（1）先计算零次幂、代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后算加法；（2）先通分计算括号里面的，再把除法转化为乘法．【解答】解：（1）原式5121=+-⨯512=+-4=；（2）原式(3)(3)3a a a a a =÷+-- 3(3)(3)a a a a a -=⨯+- 13a =+． 【点评】本题考查了实数和分式的运算，掌握零次幂、绝对值的意义及分式的运算法则是解决本题的关键．35．（2022•徐州）计算：（1）202211(1)3|()3--+-+ （2）22244(1)x x x x +++÷．【考点】负整数指数幂；实数的运算；分式的混合运算【分析】（1）根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂可以解答本题；（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【解答】解：（1）202211(1)3|()3--+-1333=++4=；（2）22244(1)x x x x +++÷ 222(2)x x x x +=⋅+ 2x x =+． 【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．36．（2022•镇江）（1）计算：11()tan 451|2--︒+； （2）化简：11(1)()a a a-÷-． 【考点】实数的运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】（1）利用负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则计算即可；（2）利用分式的混合运算来做即可．【解答】解：（1）原式211=-=（2）原式211()()a a a a a a=-÷- 211a a a a -=⨯- 1(1)(1)a a a -=-+ 11a =+． 【点评】本题考查了实数的运算和分式的混合运算，做题关键要掌握负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则、通分、约分．37．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅⋯--第一步 22242x x x x ---=⋅⋯-第二步 22(2)(2)2x x x --=⋅⋯+-第三步 12x =-⋯+第四步 任务一：填空①以上化简步骤中，第 一 步是通分，通分的依据是 ．②第 步开始出现错误，错误的原因是 ．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【考点】分式的混合运算；通分【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质． ②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为：①一，分式的性质．②二，去括号没有变号．任务二：212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅-- 22242x x x x -+-=⋅- 22(2)(2)2x x x -=⋅+- 12x =+． 【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．38．（2022•南通）（1）计算：22242a a a a a a -⋅+-+；。
百色市中考数学《第4课时：分式》精讲精练
第4课时分式百色中考命题规律与预测近五年中考考情中考预测年份考查点题型题号分值预计将很可能在选择、填空题中考查分式的有关概念及运算，也会在解答题中考查分式的化简求值，与“解方程与不等式”轮流考查.分式的化简求值：整体代入求值解答题20 6分分式有意义的条件填空题139分分式的化简求值：整体代入求值解答题20未单独考查分式的化简选择题11 3分最简公分母选择题89分分式的化简求值：给定值求值解答题20百色中考考题感知与试做分式的有关概念1.（·百色中考）若分式1x－2有意义，则x的取值范围是x≠2Ｗ.2.（·百色中考）下列三个分式12x2，5x－14（m－n），3x的最简公分母是（ D ）A.4（m－n）xB.2（m－n）x2C.14x2（m－n）D.4（m－n）x2分式的化简求值3.（·百色中考）已知a2＝19，求2a＋1－2aa2－1－118的值.解：∵a2＝19，∴2a＋1－2aa2－1－118＝2（a－1）－2aa2－1－118＝－2a2－1－118＝－219－1－118＝－16.核心考点解读分式的有关概念1.分式：形如AB（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫分式，其中A叫分子，B叫分母.2.（1）分式AB无意义时，B ＝0 ；（2）分式AB有意义时，B ≠0；（3）分式AB的值为零时，A ＝0 且B ≠0；（4）分式AB的值为正时，A，B 同号，即{A>0，B＞0或{A<0，B ＜0；（5）分式A B 的值为负时，A ，B 异号 ，即{A>0，B ＜ 0或{A<0，B ＞ 0. 3.最简分式：分子与分母只有公因式 1 的分式. 4.有理式：整式和分式统称为有理式. 分式的基本性质5.分式的基本性质：a·m b·m ＝ a b ，a÷m b÷m ＝ a b（a ，b 是整式，且m ≠0）. 6.通分的关键是确定几个分式的 最简公分母 ，约分的关键是确定分式的分子、分母的 最大公因式 .分式的运算7.分式的运算法则（1）分式的加减：b a ±c a ＝ b±c a， b a ±d c ＝ bc±ad acＷ. （2）分式的乘除：b a ·d c ＝ bd ac ，b a ÷d c ＝ bc adＷ. （3）分式的乘方：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝（ab －1）n ＝ a n b n Ｗ. 8.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，遇到括号，先算括号里面的.分式运算的结果要化成整式或最简分式.【方法点拨】1.分式化简的一般步骤：（1）有括号先计算括号内的（加减法关键是通分）；（2）除法转化为乘法；（3）分子、分母能因式分解的先分解因式；（4）约分；（5）进行加减运算：①通分：关键是寻找公分母；②分子合并同类项；（6）得出代数式.2.分式化简求值是在分式化简的基础上，代入数字求代数式的值.特别强调：不要把分式的化简与解分式方程的变形弄混淆，不能将分母去掉.1.（·武汉中考）若分式5x ＋2在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ D ） A.x ＞－2 B.x ＜－2C.x ＝－2D.x ≠－22.（·百色中考适应性演练）若分式x －1x ＋1的值等于0，则x ＝ （ D ） A.±1 B.－1 C.0 D.13.（·百色中考）化简2x x 2＋2x －x －6x 2－4的结果为（ C ） A.1x 2－4 B.1x 2＋2x C.1x －2 D.x －6x －24.（·贵港中考）若分式2x ＋1的值不存在，则x 的值为 －1 Ｗ.5.（·百色中考）先化简，再求值：2a －2b a 2－2ab ＋b 2＋1a －b ，其中a ＝2－1，b ＝ 2.解：原式＝2（a －b ）（a －b ）2＋1a －b＝2a －b ＋1a －b ＝3a －b. 当a ＝2－1，b ＝2时，原式＝32－1－2＝－3.典题精讲精练分式的有关概念例1 若分式x ＋12－x有意义，则x 满足的条件是（ C ） A.x ≠－1 B.x ≠－2C.x ≠2D.x ≠－1且x≠2【解析】根据分式有意义即分母不等于0，列不等式求解即可.由题意，得2－x≠0，解得x≠2.【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零.分式的运算与求值例2 （·百色中考）已知a ＝b ＋2 018，求代数式2a －b ·a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2÷1a 2－b2的值. 【解析】先根据分式的乘除法则把原式进行化简，再把a ＝b ＋2 018变形整体代入进行计算即可.【解答】解：原式＝2a －b ·（a －b ）（a ＋b ）（a ＋b ）2·（a －b ）（a ＋b ）＝2（a －b ）.∵a ＝b ＋2 018，∴a －b ＝2 018，∴原式＝2×2 018＝4 036. ,1.（·宁波中考）要使分式1x －1有意义，x 的取值应满足 x≠1 Ｗ.2.（·桂林中考）若分式x 2－4x ＋2的值为0，则x 的值为（ C ） A.－2 B.0 C.2 D.±23.下列分式中，最简分式是（ C ）A.x 2＋xy x 2＋2xy ＋y 2 B.2x ＋8x 2－16C.x 2＋1x 2－1D.x 2－9x 2＋6x ＋94.（·百色中考）当a ＝2 014时，求a 2＋2a a －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a －1的值. 解：原式＝a （a ＋2）a －1÷a 2a －1＝a （a ＋2）a －1·a －1a 2 ＝a ＋2a . 当a ＝2 014时，原式＝2 0162 014＝1 0081 007. 5.（·眉山中考）先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－2x －2＝0. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－1x （x ＋1）－x 2－2x x （x ＋1）÷x （2x －1）（x ＋1）2＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x2. ∵x 2－2x －2＝0， ∴x 2＝2x ＋2＝2（x ＋1），则原式＝x ＋12（x ＋1）＝12.请完成精练本第5页作业。
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第一章 数与式
第4课时 分式1.了解分式和最简分式的概念，
2.会利用分式的最基本性质进行约分和通分，
3.会进行简单的分式加、减、乘、除运算.
.
.
一、预习考点
阅读中考帮13页，了解分式的概念、基本性质方法和分式的运算法则。
将预学中的疑问用笔标出。
（3-5分钟）
二、考点分析
考点1：分式的概念
1定义：能识别给定的代数式是整式还是分式
典例：下列哪些是整式，哪些是分式？
2.分式有无意义和值为零的条件
典例：若分式x 2－1
x ＋1的值有意义，则 ，那么x 的取值范围
若分式x 2－1
x ＋1的值无意义，则 ，那么x 的取值范围
若分式x 2－1
x ＋1的值为零，则 且 ，那么x 的值 考点2：能利用分式的基本性质进行约分和通分
1.通过类比分数的基本性质引导学生掌握分式的基本性质（中考帮P13）
2.最简分式、最简公分母、约分、通分的含义（中考帮P13）
典例：1.中考帮典例3
2.化简
y x xy m x x b 22
1)4(33(41)2(,2)1(+-+-，π），
考点3：分式的运算
1.分式的乘除法则
典例：（1）226283a y y a ⋅（2） x y xy 2262÷ （3）22122a a a a
+⋅-+（4）41441222--÷+--a a a a a 2.分式的加减法法则
典例：同分母分式相加减
（1）y x y y x x -+-；（2）a a a a ----12112；（3）m
n n n m n m n n m ---+-+22 典例：异分母分式相加减 x xy x xy y -++1)1(； 11)2(2+-+x x x ； 3
1913)3(2+---+-a a a a a 备选题目：112)1(--x ； 1
312(22--+-a a a a ）； 222)3(n m m n m n n m m -++++ 3.分式的乘方法则
4.分式的混合运算
典例：见中考帮典例4、变式3、典例5
备选题目：（1）3
41213-31222+-+-•---x x x x x x x （2） x
x x x x -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2422 ，其中x =–1． 三、随堂巩固：随堂帮第4页
四、学习体会
本节课你有哪些收获？ 预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？
五、布置作业
作业帮第4页
A 、
B 层：第1-13题
C 、
D 层：第1-9题
E 层：第1-8题 ，，1
21)2(205)1(222+--x x x y x xy。