线性规划模型

1、线性规划问题及其数学描述
线性规划问题数学描述：
已知目标函数f（ x ），求一组x（x1, x2, … xn） 的取值，在满足等式约束 gi(x)=0 （i=1, 2, ….p） 和不等式约束 hj(x)≤0 （j=1，2，…q） 的条件下，使f (x)取极大（或极小）值。
在这些问题中，f (x)、gi(x)、hi(x) 均为线性函数。
线性规划模型法
1、线性规划问题及其数学描述
线 性 规 划 （ Linear Program ） 是 运 筹 学 （ Operations Research）的一个重要分支，是优化技术中最成熟和最有用的 方法之一。线性规划研究的是一些系统在静态下如何保持最优 化工作状态的问题。
例如：
① 生产计划的安排问题 ——资源、设备条件一定，确定产品结构，使能源的经济 效益最大，或万元产值能耗最低。 ② 工艺流程的选择问题 ——产品质量、产量一定，选择最佳工艺和工艺参数，使 生产那这种产品的能耗最少，或利润最大。
1、线性规划问题及其数学描述
首先，用待求的未知量表示A、B产品的产量 设A产品的产量为x1个单位；B产品的产量为x2个单位。 其次，用等式或不等式来描述对该车间生产活动的各种限制 生产能力（总工时）的限制 4x1+2x2≤120 （小时） A 、 B 产品占用设备的总工时不能超过设备的生产能力 ； 电力供应能力的限制 2x1+3x2≤100 （kwh） A 、 B 产品消耗的总电力不能超过电力的供应能力 对产品产量的限制 ； x 1≥ 0 ， x 2≥ 0 每种产品的产量都应该非负的，必须大于或等于零。
1、线性规划问题及其数学描述
最后，用函数来描述车间追求的目标 设车间总利润为S，它是A、B产品产量的函数， 即 S=6x1+4x2 （元） 追求利润最大，故用maximize来标记，其缩写为max.。 max.S=6x1+4x2 最大 因此，上述问题可以用一个函数式和一组不等式来描述，即 max.S=6x1+4x2 满足（Subject to—缩写为S.t.） S.t.
1、线性规划问题及其数学描述
③ 生产配料问题
——在保证产品质量的条件下，确定各种原料的配比，使单 位产品的生产费用最低，如：高炉配料（喷煤），转炉炼钢 （生铁、铁水和废钢）、炼焦配煤。 ④ 上下工序的协调问题
——如何确定前道工序的产品质量、理化指标、加工深度及 产品的数量等，使生产过程的总能耗最小。 ⑤ 燃料和动力资源的分配问题 ——燃料、动力资源一定，合理分配各种资源，使能源的经 济效益最大。
这类问题线性规划问题。
2、线性规划模型的建立
一般地说，编制线性规划问题的数学模型有三个基本步骤：
① 选择合适的模型变量
处理得好，可以减少模型中约束条件的个数，或者将貌似非线性问 题变换为线性问题； ② 确定目标函数
一旦决策变量确定之后，就可以确定极小化或极大化的目标函数 。目标函数用来衡量工作的成效（效果），它与决策变量的取值是分 不开的。 此外，可能会出现多目标问题，甚至是相互矛盾的目标，如利润和 能耗。
4x1+2x2≤120 2x1+3x2≤100 x1 ≥0 x2≥0
1、线性规划问题及其数学描述
（2）线性规划问题的基本特征
① 每个问题有一组待求的未知量， x1 ， x2 ….xn称为线性 规划模型中的决策变量（Decision Variables）,是决策者可以 控制的量。 ② 用一组等式或不等式描述资源（广义的）与决策变量之 间的数量关系。 这种限制变量取值范围的条件，称为约束条件（ Constraints）；或者说各种变量的取值应满足于（Subject to ）若干约束条件，用s.t.表示。 ③有一个追求的目标 S ，它是变量 X 的函数，称为目标函数 （Subjective function）。依线性规划问题的不同，目标函数可 以是求最大值（Maximize），用max.表示，也可以是求最小值 （minimize），用min.表示。
重油 （30kg/t） 电力 （20kwh/t） 电力 重油 （10kg/t） （40kwh/t）
来自百度文库方 法 Ⅰ
原料
工序Ⅰ
80%
产品总量 中间产品
工序Ⅱ
50%
最终产品
X2
（600元/t） 最终产品 （200元/t）
X1
2、线性规划模型的建立
解：这是一道简化的产品结构优化问题，即在生产利润指标一定且设 备、工艺和原燃料条件的情况下，求整个车间能耗最小的生产方案。 该方案的优劣决定于产品的种类和数量。 ① 设工序Ⅰ的最终产品量为x1104t，工序Ⅱ的最终产品量为x2104t ② 工序Ⅰ和Ⅱ的工序能耗（取重油和电力的折标煤系数分别为1.4 kgce/kg， 0.4 kgce/kwh，） 30×1.4+20×0.4=50（kgce/t） （Ⅰ） 10×1.4+40×0.4=30 （kgce/t） （Ⅱ） 车间的总能耗S=50（x1+1/0.5x2）+30x2 =50x1+130x2 （104kgce）
1、线性规划问题及其数学描述
（1）例1 生产利润最大问题
某车间计划生产 A，B 两种产品。生产单位产品A需占用设备 机时 4h ，耗电 2kwh ；生产单位产品 B 需占用设备机时 2h ，耗电 3kwh。已知在计划期内，设备的总生产能力（机时）为120h，电 力供应能力为100kwh，产品A的单位利润为6元，B为4元。问如何 安排生产才能使车间获得的生产利润最大，试列出该问题的数学 模型。 这是一个如何安排最优生产计划问题，可以用数学语言来描 述。 如何安排生产——意味着A、B两种产品在计划期各应生产多 少？试列出该问题的数学模型。
③ 列出全部约束条件 约束条件的性质和多少，在很大程度上决定着模型计算的难度。
2、线性规划模型的建立
例2：能源消耗最小问题
某轧钢车间有两道连续的生产工序。工序Ⅰ的产品可以作为工序Ⅱ的原料 进一步深加工为企业的最终产品，也可以直接作为企业的最终产品。这两道工 序生产单位产品所消耗的重油和电力的数量，每道工序的成材率，以及两种最 终产品的单位利润如图所示 。已知在计划期内供给该车间原料坯的能力为 17.5×104t，供电能力为300×104kwh，利润指标24×106元，试问应如何组织生 产才能使整个车间的能源消耗最小。试写出问题的数学模型。