线性规划模型
线性规划模型
汽车厂生产计划模型引申： ★ 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
Max s.t . z 2x1 3x2 4x 3 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000 x1 , x2 , x3 0或 80
对于整数线性规划模型大致可分为两类： (1) 变量全限制为整数时，称纯整数规划； (2) 变量部分限制为整数的，称混合整数规划； (3) 变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
3、整数线性规划的求解
在Lindo软件中最后加上语句：gin n
二、汽车厂生产计划模型
模型求解 整数规划（Integer Programming,简记IP）
二、Lindo软件求解 Lindo软件是解决线性规划求解问题 的对症良药，而Lingo则用来求解非线性 规划问题。
运用此软件注意的事项：
◆（1）“<, >”与“<= , =>”相同。
◆ （2）变量与系数间可以有空格（回车 符），但不能有运算符。 ◆ （3）变量以字母开头，不允许超过8个 字符。 ◆ （4）变量名不区分大小写。 ◆ （5）目标函数所在行为第一行，第二 行为约束符。
• 分析： • 1. 求什么？ • 生产多少桌子？ • 生产多少椅子？ • 2. 优化什么？ • 收益最大 • 3. 限制条件？ • 原料总量 • 劳力总数
x1 x2
Max f=80 x1+45 x2
0.2 x1 +0.05 x2 ≤4 15 x1 +10 x2 ≤450
模型I ：以产值为目标取得最大收益. 设：生产桌子 x1张, 椅子 x2张,(决策变量) • 将目标优化为：max f=80x1+45x2 • 对决策变量的约束： • 0.2x1+0.05x2≤4 • 15x1+10x2 ≤ 450, • x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
线性规划模型
线性规划模型● 知道线性规划模型的一般形式● 知道什么是可行解、可行域、最优解、最优值 ● 会用图解法求解二个变量的线性规划问题● 会利用软件WINQSB 求线性规划问题的最优解、最优值 ● 会建立简单的线性规划问题● 知道什么是缩减成本、影子价格，会利用软件WINQSB 进行灵敏度分析一、基本概念1. 线性规划模型的一般形式可以表示为：目标函数 max (或min )=c l x 1+c 2x 2+ … + c n x n 。
约束条件： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ),(),(),(22112222212111212111或或或 非负条件： x 1≥0, x 2≥0, …, x n ≥0可简写为 max(或min)=∑=n j j j x c 1 约束条件： ∑=n j j ij x a1≤(或=，≥) b i ，i=1，2，…，m非负条件： x j ≥0，j=1，2，…，n目标函数中的系数c i , i=1,2, …，n , 常称为价值系数，它反映某种价值（如利润、收益或效益）；约束条件中的右端项bj ，j=1,2, …，m ，右端系数，它反映某种资源的限制（如劳动力、原材料等）；约束条件中的a ij 常称为技术系数。
一般，它们都是已知的常数。
2.一个线性规划问题有解，是指能找出一组x j（j=1，2，…，n），使其满足所有的约束条件和非负条件。
称任何一组这样的x j（j=1，2，…，n）是线性规划问题的一个可行解。
通常，线性规划问题含有多个可行解。
称全部可行解的集合为该线性规划问题的可行域。
使目标函数值达到最优的可行解称为该线性规划问题的最优解，最优目标函数值称为该线性规划问题的最优值。
对不存在可行解的线性规划问题，称该线性规划问题无解。
二、两个变量的线性规划问题的图解法图解法的步骤为：第1步：在平面上建立直角坐标系；第2步：图示约束条件和非负条件，找出可行域；第3步：图示目标函数，并寻找最优解。
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型引言线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种方法，用于解决一类特殊的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为一个线性的目标函数和一系列线性约束条件。
本文将介绍线性规划的数学模型及其应用。
数学模型线性规划的数学模型可以用以下形式表示：最大化：$$ \\max_{x_1,x_2,...,x_n} Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n $$约束条件：$$ \\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&\\leq b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &\\leq b_2 \\\\ &\\vdots \\\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&\\leq b_m \\\\ x_1,x_2,...,x_n &\\geq 0 \\end{align*} $$其中，Z为目标函数的值，Z1,Z2,...,Z Z为目标函数的系数，Z1,Z2,...,Z Z为决策变量，Z ZZ为约束条件的系数，Z1,Z2,...,Z Z为约束条件的右侧常数。
线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，其应用领域包括但不限于以下几个方面：生产计划线性规划在生产计划中的应用是最为常见的。
通过建立适当的数学模型，可以最大化生产线的产能，同时满足客户需求和资源限制。
例如，一个工厂需要决定每个月生产的产品数量，以最大化利润。
这个问题可以通过线性规划来解决。
运输问题线性规划在运输问题中的应用也非常广泛。
运输问题涉及到将特定产品从供应地点运送到需求地点，以满足需求并尽量降低运输成本。
线性规划可以用来决定每个供应地点到每个需求地点的运输量，以最小化总运输成本。
资源分配在资源有限的情况下，线性规划可以用于优化资源的分配。
线性规划模型
j 1
i 1
将目标函数和约束条件放在一起，即得指派问题的数学模型.
第i人花费在第j项工作的时间用cijxij表示，在所有的工作中，第i人干仅干一项工作，
若第i人被分配去干第j0项工作，则当j0≠j时，cijxij=0，所以花费的总时间为T
nn
cij xij
.
i1 j 1
n
n
对于第i人，应有 xij 1 ；对于第j项工作，应有 xij 1 .
cT x
Ax b
A
eq
x beq
l b x u b
Matlab中求解线性规划的命令为：
[x，fval]=linprog(c，A，b，Aeq，beg，lb，ub)
其中，x返回的决策变量x的取值，fvla返回的是目标函数的最优值.
注：若没有某种约束，则相应的系数矩阵赋值为空矩阵，如没有等式约束，则令Aeq=[]， beq=[].
（7）模型的分析与评价
在建立线性模型是，总是假定aij，bi，cj都是常数，但实际上这些系数往往是估计值 和预测值，如市场条件一变，aij值就会变化；bi往往因工艺条件的改变而改变；cj是根据 资源投入后的经济效果决定的一种决策选择.因此，这些参数在什么范围内变化时，线 性规划问题的最优解不变.
2.整数规划模型
3. 0-1整数模型
在部分规划问题中，每个需要做的决策只有两种时，可以使用0-1整数规划建模，它的 变量xi仅取值0或1.此类模型可用Lingo和Matlab求解.Matlab中规定0-1整数规划模型中的标准形 式为：
min cT x Ax b
s.t. Aeq x beq
Matlab中求解0-1规划的命令为： [x，fval]=bintprog(c，A，b，Aeq，beq)
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划模型
第一节 线性规划模型
（一）制定生产计划
例1：某炊具生产企业生产四种产品，生产过程中要经过5 个车间，每个车间所能提供的工时数量、每种产品的工时定额、 各种产品的单位成本、销售价格、市场需求量预测等如下表。 下月生产产品B和D的金属板供应量紧缺，最大供应量为2000 平方米，若产品B每件需要2平方米，产品D每件需要1平方米。 希望实现最大利润，制定下月的生产计划。
X 11 X 21 X 31 5000 X 12 X 22 X 32 7500 X 13 X 23 X 33 7500 X 14 X 24 X 34 2000 （三）物资调运问题
产品 车间
单位产品的工时定额 （时）
ABCD
可用
工时 （时/ 月）
冲压 0.03 0.15 0.05 0.1 400
钻孔 0.06 0.12
0.1 400
装配 0.05 0.10 0.05 0.12 500
喷漆 0.04 0.20 0.03 0.12 450
包装 0.02 0.06 0.02 0.05 400
求总费用最小，运费= 单件运费× 运送量，因此目标函数为
Z min 8X11 6 X12 7 X13 4 X 21 3X 22
5X 23 7 X 31 4X 32 8X 33
即供应量的约束为：
X11 X12 X13 6000
X 21 X 22 X 23 4000
X 31 X 32 X 33 10000
约束条件为满足三种规格钢筋的最低需求，所以线性 规划模型为
Zmin 4X1 12X 2 2X 3 5X 5 10X 6
2 X1 X 2 XHale Waihona Puke 3 30s.t.X
2
3X 4
最新-第三章线性规划数学模型课件-PPT
X1
18
例4、 maxZ=3X1+2X2
X2
-X1 -X2 1
X1 , X2 0
无解
无可行解
-1
0
X1
-1
19
总结
唯一解 有解
无穷多解 无解 无有限最优解
无可行解
20
单纯形法
• 单纯形法（Simplex Method）是美国数学 家但泽（Dantzig）于1947年提出的。基 本思想是通过有限次的换基迭代来求出 线性规划的最优解。
3
线性规划的特点
❖决策变量连续性：求解出的决策变量值 可以是整数、小数；
❖线性函数：目标函数方程和约束条件方 程都是线性方程；
❖单目标：目标函数是单目标，只有一个 极大值或一个极小值；
❖确定性：只能应用于确定型决策问题。
4
例1、生产计划问题
A B 备用资源
煤12
30
劳动日 3 2
60
仓库 0 2
• 利用单纯形法解决线性规划问题，实际上是从 线性规划问题的一个基本可行解转移到另一个 基本可行解，同时目标函数值不减少的过程。
• 对于两个变量的线性规划问题，就是从可行域 的一个端点转移到另一个端点，而使得目标函 数的值不减少。
25
线性规划的扩展
一、整数规划（整数线性规划）：部分或 全部的决策变量只能取整数值。
8
一般式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
1.1 线性规划模型
计算机应 用软件
a1n xn (或 ，或 ）b1 a2 n xn (或 ，或 ）b2 LLL amn xn (或 ，或 ）bm
• 线性规划研究的问题： 1、在现有的人、财、物等资源的条件下， 研究如何合理地计划、安排，可使得 如产量、利润等。 某一目标达到最大， 2、在任务确定后，如何计划、安排，使 用最少的人、财、物等资源，去实现 该任务， 如使生产成本、费用最少等。 寻求在一定约束 条件下使某个指标达到最优
§1.1 线性规划的基本概念
即找到目标值与决策变量的数量关系
步骤三：确定约束条件 即决策变量所受到的外界条件的制约。 约束条件一般为决策变量的等式或不等式
要求：目标函数与约束条件均是线性的，
且目标函数只能是一个。
2、线性规划模型的一般形式：
max （或 min ）z c1 x1 c2 x2 L cn xn
maximum minimum
¤Ð ¸ ò º Ò ú ¶ ù È ¥Î µ ºÀ øÈ ó ¨Ô £ ¨£ §
z 工厂的总利润 目标函数：z 3x1 2 x2 5 x3
û ¿ úú ²Æ «» Ó¸ ¤Ê ª» ä¨ £« ÖÖ Ó£ § ¿ ÃÌ ì» Ó¸ ¤Ä ÜÁ ¦ ¬² » úÆ « Ò² úÆ « ø ª² úÆ « £« ¨ ÖÖ Ó£ § 1 2 1 430 3 0 2 460 1 4 0 420 3 2 5
现在我们希望每天得到的维生素不少于所规定的最低需要 量，问应该如何搭配各种食品才能使所花的费用最少？
x2 每天采购乙食品的数量 解：x1 每天采购甲食品的数量 ，
线性规划模型
线性规划模型线性规划的英文全称为：Linear Programming ，可简称为LP ． 一、线性规划所属学科线性规划是“运筹学”中应用最广泛、理论最成熟的一个分支．0-1⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩线性规划非线性规划静态规划整数规划规划论规划多目标规划动态规划运筹学对策论决策论排队论图论存储论模型论 二、线性规划发展简史早在19世纪法国数学家傅里叶关于线性不等式的研究表明，他对线性规划已有所了解，还提出了单纯形法求解线性逼近中的线性规划20世纪三是年代末，苏联数学家康托洛维奇开始研究生产组织中的线性规划问题，并写出了线性规划应用于工业生产问题的经典著作《生产组织与计划中的数学方法》．1947年美国数学家丹奇格提出了单纯形(Simplex)方法及有关理论，为线性规划奠定了理论基础．五十年代，线性规划成为经济学家分析经济问题的重要工具．随着计算机的迅猛发展，线性规划现被广泛应用于工业、农业、商业等各个领域． 三、用线性规划方法解决实际问题的两大特点1、全局性——从全局出发，将全局目标作为追求目标；2、定量性——通过建立数学模型，对实际问题进行定量分析，而不是只做定性分析． 数学模型指：将实际问题用一系列数学表达式(函数、方程、不等式等)表示出来，称这一系列数学表达式为该实际问题的数学模型． 四、线性规划方法解决的两类问题1、任务一定，如何安排，可使人、财、物最省；2、人、财、物一定，如何安排，可使任务完成量最多． 五、线性规划可解决以下几方面的问题１、运输问题：某产品有若干个产地、若干个销地，如何运输，使总运费最省；2、生产组织问题：⎩⎨⎧产，使成本最低产值一定，如何安排生最高或利润产，使产值资源一定，如何安排生)(3、配料问题：如何搭配各种原料，既符合质量(营养)要求，又使成本最低；4、投资问题：资金一定，投向谁、投多少、期限多长，使若干年后本利和最高；5、库存问题：在仓库容量有限情况下，如何确定库存物资的品种、数量、期限，使库存效益最佳；6、合理播种问题：在土地资源有限的情况下，种什么、种多少，使效益最高；……第一节 线性规划模型的基本概念 一、建立模型的方法1 根据影响所要达到的目的的因素找到决策变量2 由决策变量和所要到的目的之间的函数关系确定的目标函数3 由决策变量所受到的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件若模型满足：1 目标函数是线性函数 2 约束条件是线性等式或不等式； 则称为线性规划模型 二、常用模型 例1： 生产计划莫工厂生产I II 两种产品需要A 、B 两种原料，问怎样生产获利最大？1） 决策变量：设12,x x 分别生产I II 的数量 2） 目标函数：获利最大 12max 24x x + 3） 约束条件：1228x x +≤ 设备约束 12416,412x x ≤≤ 原料约束 12,0x x ≥ 基本约束 则我们可以建立模型12121212max 24.28416412,0z x x s tx x x x x x =++≤≤≤≥例2： 配料问题某养鸡场有一万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养，每天每只鸡平均吃混合饲料一斤，其中动物饲料不少于1/5，动物饲料每斤0.25元，谷物饲料每斤0.2元，饲料公司每周至多能供应谷物饲料5万斤，问怎样混合饲料才能使每周成本最低？ 解：1）决策变量 设动物饲料1x 斤，谷物饲料2x 斤。
线性规划模型
1
(1-7)
标准型的特征
w目标函数最大化 w约束条件为等式 w右端相为非负值 w决策变量非负值
而称以下的形式为标准矩阵形式：
Max z C X
T
s.t. AX b
X 0
(1-8)
如何将线性规划转化为标准型
（１）若目标函数是求最小值 Min S = CX
令 S ˊ = - S,
则
Max Sˊ= - CX
令 z = -f = - 3.6x1 + 5.2x2 - 1.8x3 ，
其次考虑约束，有2个不等式约束，引进
松弛变量x4，x5 ≥0。于是，我们可以得到以
下标准形式的线性规划问题： Max z = - 3.6 x1 + 5.2 x2 - 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 + x4 = 15.7 4.1 x1 x1 + 3.3 x3 + x2 + x3 - x5 = 8.9 = 38
取其等式在坐标系中作出直线，通过判断确定不等
式所决定的半平面。各约束半平面交出来的区域
（存在或不存在），若存在，其中的点表示的解称 为此线性规划的可行解。这些符合约束限制的点集 合，称为可行集或可行域。进行（3）；否则该线 性规划问题无可行解。
（3）任意给定目标函数一个值作一条目标函数的 等值线，并确定该等值线平移后值增加的方向，平移 此目标函数的等值线，使其达到既与可行域有交点又 不可能使值再增加的位置（有时交于无穷远处，此时 称线性规划的解无界）。若有交点时，此目标函数等 值线与可行域的交点即最优解（一个或多个），此目 标函数的值即最优值。
例2 将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3
线性规划模型
（1）模型中常数数据不精确
（2）模型中常数数据可能发生变化
价值变动
min z cx s.t. Ax b x0
11/43
资源总量变动
敏感性分析
max z 60d 30t 20c 8d + 6t + c <=48 4d + 2t + 1.5c <= 20 d + 1.5t + 0.5c <=8 t <= 5
mn
满足约束条件的解称为可行解，所有可行解的集合 称为可行域 ，满足最优目标的解称为最优解 决策变量为整数时，称为整数线性规划
决策变量取0或1时，称为0-1线性规划
7/43
线性规划问题的解
线性规划问题的可行域是一个凸多边形；
线性规划问题如果存在最优解，则最优解必在可行域的
顶点处达到。
单纯形法:
约束条件右端变化一个单位时目标函数变化量，只对紧约 决策变量改变一个单位时目标函数的改变量，只有非基变 量有值 束有值
12/43
敏感性分析
Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Coefficient Increase Decrease 60.00000 0.0 8.000000 30.00000 60.00000 0.0 20.00000 2.500000 INFINITY Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 48.00000 INFINITY 2.000000 20.00000 1.333333 8.000000 8.000000 1.000000 3.000000 5.000000 INFINITY 2.000000
线性规划模型
线性规划模型线性规划（Linear Programming，LP）是一种用于求解线性优化问题的数学建模方法。
线性规划模型是在一组线性约束条件下，通过线性目标函数来寻找最优解的数学模型。
其基本形式如下：最大化或最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ（目标函数）约束条件为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, …, xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数中各项的系数；a₁₁,a₁₂, …, aₙₙ为约束条件中各项的系数；b₁, b₂, …, bₙ为约束条件中的常数项；x₁, x₂, …, xₙ为决策变量。
线性规划模型的求解过程分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据问题的描述，确定决策变量，确定最优化目标，建立目标函数和约束条件。
2. 确定可行解区域：根据约束条件，画出约束条件所确定的可行解区域。
3. 求解最优解：在可行解区域内寻找目标函数最大化或最小化的解。
常用的求解方法有单纯形法和对偶单纯形法。
4. 解释结果：根据最优解，给出对决策变量和目标函数的解释，进一步分析结果的意义。
线性规划模型适用于许多实际问题的求解，如生产计划、资源分配、物流调度等。
通过构建适当的数学模型，可以帮助管理者做出理性决策，最大化或最小化目标函数。
然而，线性规划模型也有其局限性。
首先，线性规划只能处理线性约束条件和线性目标函数，对于非线性问题无法求解。
其次，线性规划假设决策变量是连续的，对于离散的决策问题，线性规划无法适用。
此外，线性规划模型还需要求解算法的支持，对于复杂问题需要较高的计算资源。
总之，线性规划模型是一种常用的数学建模方法，通过线性约束条件和线性目标函数，求解最优解，帮助解决实际问题。
但线性规划模型也有其适用范围和局限性，需要根据具体问题来选择合适的求解方法。
《运筹学》第四版线性规划模型
决策变量的意义
决策变量的具体含义应该与实际 问题相关，例如生产计划、资源 分配等。
确定目标函数
目标函数
01
线性规划的目标函数是用来衡量问题优化的标准，通
常是一个或多个决策变量的线性函数。
目标函数的优化方向
02 根据问题的实际需求，目标函数可以是最大化或最小
化。
目标函数的数学表达式
03
目标函数通常由决策变量和相应的系数组成，表示为
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,...。
线性规划模型的表示形式
标准形式
标准形式的线性规划模型通常由目标 函数和约束条件组成，表示为 max/min f(x) s.t. a11x1+a12x2+...+a1nxn<=b1, a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,...。
详细描述
在资源分配问题中，线性规划模型用于确定 最佳的资源分配方案。通过构建包含资源种 类、需求量、效益等变量的线性规划模型， 可以找到在满足资源需求和效益约束下的最 优资源分配方案。这有助于企业或组织实现 资源的合理配置和效益的最大化。
05
线性规划模型的扩展与展望
多目标线性规划
多目标线性规划是线性规划的一个重要扩展，它考虑了多个相互冲突的目 标函数，并寻求在所有目标之间找到最优的平衡。
THANK YOU
非标准形式
如果线性规划模型的目标函数或约束 条件不符合标准形式，可以通过引入 松弛变量或剩余变量将其转化为标准 形式。
03
线性规划模型的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种迭代算法，用于求解 线性规划问题。
在每次迭代中，算法会检查当前解是 否满足最优条件，如果不满足，则通 过一定的规则转换到另一个解，直到 找到最优解或确定无解。
线性规划模型
线性规划模型线性规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题，确保特定的目标实现而满足一定约束条件。
它是基于线性关系的一类优化模型，其目的是最大化或最小化一个线性函数，同时满足相关的线性约束条件。
线性规划模型涉及了数学、经济、管理、工程等领域，常常被用于优化决策和资源分配。
线性规划模型有五个基本要素：决策变量、目标函数、约束条件、可行解和最优解。
其中，决策变量是待优化的参数或变量；目标函数是一个以决策变量为自变量的线性函数，代表目标的数学表达式；约束条件是必须满足的限制条件，它们也是线性函数形式；可行解是满足所有约束条件的决策变量组合，这些组合可以被用于计算目标函数的值；最优解是在所有可行解中，能够使目标函数取得极值（最大化或最小化）的可行解。
线性规划模型的主要应用在资源优化领域，例如制造、物流、贡献分析和供应链管理。
其中，生产调度和库存管理是常见的应用场景。
生产调度通常涉及如何分配生产设备的时间和资源，以最小化成本并最大化效益。
库存管理通常涉及如何保持合理库存水平以满足需求，同时尽量减少成本和风险。
线性规划模型计算软件广泛应用，其中最广泛的是 Microsoft Excel 中的插件，如Solver。
Solver 可以通过线性规划模型来找到最佳决策组合，以最小化或最大化目标函数。
其他流行的线性规划软件包包括 MATLAB，AMPL 和 Gurobi 等。
然而，线性规划模型有几个限制：一是实际问题往往不是线性的，因此需要更复杂的模型来处理更复杂的问题；二是线性规划模型假设所有参数是确定的，但在许多情况下参数是不确定的，需要采用随机规划模型。
因此，针对问题的实际特点和需求，选择更合适的数学模型和工具是非常重要的。
总之，线性规划模型是优化问题的一个强大工具，可以在许多领域帮助决策者做出最佳决策。
然而，在应用模型过程中要仔细考虑模型的局限性，并尝试更复杂的模型，以获得更好的决策结果。
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方 法 Ⅰ
原料
工序Ⅰ
80%
产品总量 中间产品
工序Ⅱ
50%
最终产品
X2
（600元/t） 最：这是一道简化的产品结构优化问题，即在生产利润指标一定且设 备、工艺和原燃料条件的情况下，求整个车间能耗最小的生产方案。 该方案的优劣决定于产品的种类和数量。 ① 设工序Ⅰ的最终产品量为x1104t，工序Ⅱ的最终产品量为x2104t ② 工序Ⅰ和Ⅱ的工序能耗（取重油和电力的折标煤系数分别为1.4 kgce/kg， 0.4 kgce/kwh，） 30×1.4+20×0.4=50（kgce/t） （Ⅰ） 10×1.4+40×0.4=30 （kgce/t） （Ⅱ） 车间的总能耗S=50（x1+1/0.5x2）+30x2 =50x1+130x2 （104kgce）
③ 列出全部约束条件 约束条件的性质和多少，在很大程度上决定着模型计算的难度。
2、线性规划模型的建立
例2：能源消耗最小问题
某轧钢车间有两道连续的生产工序。工序Ⅰ的产品可以作为工序Ⅱ的原料 进一步深加工为企业的最终产品，也可以直接作为企业的最终产品。这两道工 序生产单位产品所消耗的重油和电力的数量，每道工序的成材率，以及两种最 终产品的单位利润如图所示 。已知在计划期内供给该车间原料坯的能力为 17.5×104t，供电能力为300×104kwh，利润指标24×106元，试问应如何组织生 产才能使整个车间的能源消耗最小。试写出问题的数学模型。
1、线性规划问题及其数学描述
③ 生产配料问题
——在保证产品质量的条件下，确定各种原料的配比，使单 位产品的生产费用最低，如：高炉配料（喷煤），转炉炼钢 （生铁、铁水和废钢）、炼焦配煤。 ④ 上下工序的协调问题
——如何确定前道工序的产品质量、理化指标、加工深度及 产品的数量等，使生产过程的总能耗最小。 ⑤ 燃料和动力资源的分配问题 ——燃料、动力资源一定，合理分配各种资源，使能源的经 济效益最大。
1、线性规划问题及其数学描述
首先，用待求的未知量表示A、B产品的产量 设A产品的产量为x1个单位；B产品的产量为x2个单位。 其次，用等式或不等式来描述对该车间生产活动的各种限制 生产能力（总工时）的限制 4x1+2x2≤120 （小时） A 、 B 产品占用设备的总工时不能超过设备的生产能力 ； 电力供应能力的限制 2x1+3x2≤100 （kwh） A 、 B 产品消耗的总电力不能超过电力的供应能力 对产品产量的限制 ； x 1≥ 0 ， x 2≥ 0 每种产品的产量都应该非负的，必须大于或等于零。
4x1+2x2≤120 2x1+3x2≤100 x1 ≥0 x2≥0
1、线性规划问题及其数学描述
（2）线性规划问题的基本特征
① 每个问题有一组待求的未知量， x1 ， x2 ….xn称为线性 规划模型中的决策变量（Decision Variables）,是决策者可以 控制的量。 ② 用一组等式或不等式描述资源（广义的）与决策变量之 间的数量关系。 这种限制变量取值范围的条件，称为约束条件（ Constraints）；或者说各种变量的取值应满足于（Subject to ）若干约束条件，用s.t.表示。 ③有一个追求的目标 S ，它是变量 X 的函数，称为目标函数 （Subjective function）。依线性规划问题的不同，目标函数可 以是求最大值（Maximize），用max.表示，也可以是求最小值 （minimize），用min.表示。
线性规划模型法
1、线性规划问题及其数学描述
线 性 规 划 （ Linear Program ） 是 运 筹 学 （ Operations Research）的一个重要分支，是优化技术中最成熟和最有用的 方法之一。线性规划研究的是一些系统在静态下如何保持最优 化工作状态的问题。
例如：
① 生产计划的安排问题 ——资源、设备条件一定，确定产品结构，使能源的经济 效益最大，或万元产值能耗最低。 ② 工艺流程的选择问题 ——产品质量、产量一定，选择最佳工艺和工艺参数，使 生产那这种产品的能耗最少，或利润最大。
1、线性规划问题及其数学描述
线性规划问题数学描述：
已知目标函数f（ x ），求一组x（x1, x2, … xn） 的取值，在满足等式约束 gi(x)=0 （i=1, 2, ….p） 和不等式约束 hj(x)≤0 （j=1，2，…q） 的条件下，使f (x)取极大（或极小）值。
在这些问题中，f (x)、gi(x)、hi(x) 均为线性函数。
1、线性规划问题及其数学描述
最后，用函数来描述车间追求的目标 设车间总利润为S，它是A、B产品产量的函数， 即 S=6x1+4x2 （元） 追求利润最大，故用maximize来标记，其缩写为max.。 max.S=6x1+4x2 最大 因此，上述问题可以用一个函数式和一组不等式来描述，即 max.S=6x1+4x2 满足（Subject to—缩写为S.t.） S.t.
这类问题线性规划问题。
2、线性规划模型的建立
一般地说，编制线性规划问题的数学模型有三个基本步骤：
① 选择合适的模型变量
处理得好，可以减少模型中约束条件的个数，或者将貌似非线性问 题变换为线性问题； ② 确定目标函数
一旦决策变量确定之后，就可以确定极小化或极大化的目标函数 。目标函数用来衡量工作的成效（效果），它与决策变量的取值是分 不开的。 此外，可能会出现多目标问题，甚至是相互矛盾的目标，如利润和 能耗。
1、线性规划问题及其数学描述
（1）例1 生产利润最大问题
某车间计划生产 A，B 两种产品。生产单位产品A需占用设备 机时 4h ，耗电 2kwh ；生产单位产品 B 需占用设备机时 2h ，耗电 3kwh。已知在计划期内，设备的总生产能力（机时）为120h，电 力供应能力为100kwh，产品A的单位利润为6元，B为4元。问如何 安排生产才能使车间获得的生产利润最大，试列出该问题的数学 模型。 这是一个如何安排最优生产计划问题，可以用数学语言来描 述。 如何安排生产——意味着A、B两种产品在计划期各应生产多 少？试列出该问题的数学模型。