2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.2空间向量与平行关系(1)》课件
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数学3.2.1空间向量与平行关系课件步步高(人教A版选修2-1)
3.2.1 本 讲 栏 目 开 关
3.2.1
3.2.1 空间向量与平行关系
本 [读一读学习要求、目标更明确]
讲
栏 目
1.理解直线的方向向量和平面的法向量.
开 关
2.能用向量语言表述线线、线面、面面平行关系．
[看一看学法指导、学习更灵活]
用向量解决几何问题，可以建立直线、平面与向量的联系，
然后利用向量的平行关系、垂直关系来确定立体几何中线面的
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.1
例 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别
是 BB1、DD1 的中点，求证：
(1)FC1∥平面 ADE；
本 讲
(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
栏 证明 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz，
目
开 则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， 关 E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.1
例 1 已知 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个
法向量．
解 设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)．
本 讲
由题意A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0，－1)．
栏 目 开 关
∵n⊥A→B且 n⊥B→C，∴nn··AB→→BC＝＝－x－x＋z＝y0＝，0，
讲 栏
问题 3
怎样求一个平面的法向量？
目 答案 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角
开 关
坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
3.2.1
3.2.1 空间向量与平行关系
本 [读一读学习要求、目标更明确]
讲
栏 目
1.理解直线的方向向量和平面的法向量.
开 关
2.能用向量语言表述线线、线面、面面平行关系．
[看一看学法指导、学习更灵活]
用向量解决几何问题，可以建立直线、平面与向量的联系，
然后利用向量的平行关系、垂直关系来确定立体几何中线面的
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.1
例 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别
是 BB1、DD1 的中点，求证：
(1)FC1∥平面 ADE；
本 讲
(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
栏 证明 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz，
目
开 则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， 关 E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
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3.2.1
例 1 已知 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个
法向量．
解 设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)．
本 讲
由题意A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0，－1)．
栏 目 开 关
∵n⊥A→B且 n⊥B→C，∴nn··AB→→BC＝＝－x－x＋z＝y0＝，0，
讲 栏
问题 3
怎样求一个平面的法向量？
目 答案 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角
开 关
坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
【课件】高二数学选修2-1 第三章3.2立体几何中的向量方法1-平行关系
P
解得 x＝－２,ｙ＝１
E
即PA 2DE DB
于是PA、 DE、 DB共面
而PA 平面EDB 所以，PA//平面EDB A
X
D
C Y
B
练习1. 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方
形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的
中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.
C Y
B
解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E(0, 1 , 1), B(1,1，0) 22
PA (1, 0, 1), DE (0, 1 , 1) 22
Z DB =(1,1，0)
设PA xDE yDB
证 ：如图所示, 建立 Z
空间直角坐标系. A(6,0,0), P
E(3,3,3), F(2,2,0), G(0,4,2),
AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)
AE = 3 FG AE // FG
2
D
AE与FG无公共点
A
AE//FG
X
几何法呢？
EG
C
F
Y
B
练习2.
如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF所在平面相交于AD，点
Z
P
22
E
所以PA 2EG，即PA // EG
而EG 平面EDB, 且PA 平面EDB
所以，PA// 平面EDBA
X
D
G
B
C Y
解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E(0, 1 , 1), B(1,1，0) 22
空间向量与平行关系 课件
探究点三 利用空间向量证明平行关系 问题 怎样利用向量证明空间中的平行关系？
答案 可以按照下列方法证明空间中的平行关系. 线线 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 平行 l1∥l2，只需证明 a∥b，即 a＝kb (k∈R) ①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 线面 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0； 平行 ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量 与已知直线的方向向量是共线向量即可；
则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)． 设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
例 1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)， b＝(8,2,2)； (2)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)； (3)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(1， －4，－3)，u＝(2,0,3)； (4)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， u＝(－1,2，－1)．
因为 p·v＝(xa＋yb)·v＝xa·v＋yb·v＝0， 即平面 β 的法线与平面 α 内任一直线垂直． 所以平面 β 的法向量也是平面 α 的法向量，即 u∥v. 因此，α∥β.
小结 在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突 出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．以后我们用 向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是 重要的工具．
3.2.2空间向量与平行.垂直关系
∴A→B1⊥M→N，∴AB1⊥MN.
法二 (坐标法) 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴， OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系．由已知得
A(－12，0，0)，B(12，0，0)，C(0， 23，0)，N(0， 23，14)，B1(12，0， 1)， ∵M 为 BC 中点，∴M(14， 43，0)．
题型二 证明线线垂直
【例2】 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长
都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧
棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥ MN. [思路探索] 解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0 或先 建系，再证明A→B1·M→N＝0.
解 法一 (基向量法)
(3)若直线 l 的方向向量是 u，平面α的法向量是 v，则有 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0；l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)．
空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a_⊥__b__⇔ a_·_b_＝__0__⇔ _a_1_b_1＋__a_2b2＋a3b3＝0 (2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2， b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔ __u_＝__k_v．
(3)面面垂直
设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__u_⊥__v_⇔ ___u_·_v＝__0_ ⇔ _a_1_a_2_＋__b_1b_2_＋__c_1_c_2＝__0___ ．
试一试：若平面α与β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，
法二 (坐标法) 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴， OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系．由已知得
A(－12，0，0)，B(12，0，0)，C(0， 23，0)，N(0， 23，14)，B1(12，0， 1)， ∵M 为 BC 中点，∴M(14， 43，0)．
题型二 证明线线垂直
【例2】 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长
都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧
棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥ MN. [思路探索] 解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0 或先 建系，再证明A→B1·M→N＝0.
解 法一 (基向量法)
(3)若直线 l 的方向向量是 u，平面α的法向量是 v，则有 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0；l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)．
空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a_⊥__b__⇔ a_·_b_＝__0__⇔ _a_1_b_1＋__a_2b2＋a3b3＝0 (2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2， b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔ __u_＝__k_v．
(3)面面垂直
设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__u_⊥__v_⇔ ___u_·_v＝__0_ ⇔ _a_1_a_2_＋__b_1b_2_＋__c_1_c_2＝__0___ ．
试一试：若平面α与β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系课件人教A版选修2_1.ppt
知识点二 空间平行关系的向量表示
[填一填] 1．线线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)，则 l∥m⇔a∥b⇔ a＝λb ⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈ R)．
2．线面平行
设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 平面的法向量 [填一填]
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线 的向量． 2．平面的法向量 直线 l⊥α，取直线 l 的 方向向量 a ，则向量 a 叫做平面 α 的法向量．
[答一答] 1．如何确定直线的方向向量？
解：∵AD、AB、AS 是两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以射线 AD、AB、AS 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 则 A(0,0,0)、D(12，0,0)、C(1,1,0)，S(0,0,1)， ∵AS⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面 SAB，即 A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的法向量， 设平面 SCD 的一个法向量为 n＝(1，λ，u)， 则 n·D→C＝(1，λ，u)·(12，1,0)＝12＋λ＝0，
提示：a∥u 时，l⊥α；a⊥u 时，l∥α 或 l⊂α.
4．若 u，v 分别是平面 α，β 的法向量，则 u∥v，u⊥v 时， α，β 是什么位置关系？
提示：u∥v 时，α∥β；u⊥v 时，α⊥β.
1．对平面的法向量的理解 所谓平面的法向量，就是指与平面垂直的直线的方向向量， 显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．在实际应 用中，根据题意可以选取单位向量或各坐标为整数的向量作为法 向量． 在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法 向量且经过点 A 的平面是唯一确定的．
高中数学人教A版选修2-1课件：3-2-1 利用向量证明空间中的平行关系
图②
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课前预习案
课堂探究案
(3)平面的向量形式 空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.如图③,设 这两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α上任 意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得 ������������ =xa+yb.这样,点O与向量a,b不仅可以确定平面α的位置,还可以 具体表示出平面α内的任意一点.
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
课前预习案
课堂探究案
解：如图所示建立空间直角坐标系.
依题意可得 D(0,0,0), P(0,0,1),E 于是������������ =
1 1 0, , 2 2
1 1 0, , 2 2
,B(1,1,0),
, ������������ =(1,1,0).
设平面 EDB 的法向量为 n=(x,y,z), 则 n⊥������������ ,n⊥������������ , 于是 ������· ������������ =
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课前预习案
课堂探究案
1.空间中点、直线、平面的向量表示 (1)点的位置向量 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P的位 置就可以用向量 ������������ 来表示.我们把向量 ������������ 称为点P的位置向量. 如图①.
图①
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课前预习案
课堂探究案
(2)直线的方向向量 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方 向确定,如图②,点A是直线l上一点,向量a表示直线l的方向(方向向 量),在直线l上取 ������������ =a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在实数t, 使得 ������������=t������������ .
高中数学 3.2.1 空间向量与平行关系课件 新人教版选修
∴
n·S→C＝0，
x＋y－z＝0.
x＝－2y z＝－y，
令 y＝－1 得 x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．
1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的 般情况下，使用待定系数法求平面的法向量， 步骤如下：
(1)设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．
量的概念及求法．(重点) 标
2.熟练掌握用方向向量、法向量证明 解
线线、线面、面面间的平行关系．(重 读
点、难点)
直线的方向向量与平面的法向量 【问题导思】
图 3－2－1 1．如图 3－2－1，直线 l∥m，在直线 l 上取两点 A、B，在直线 m 上取两点 C、D，向量A→B与C→D有怎样 的关系？
＝0⇔___a_1a_2_＋__b_1_b_2_＋__c1_c_2_＝__0___
面面 设 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v
平行
＝(a2，b2，c2)，则 α∥β⇔__u_∥__v_____ ___(_a_1，__b_1_，__c_1_)＝__k_(_a_2_，__b_2，__c_2_)__
∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的一个法向量．
(2)在平面 SCD 中，D→C＝(12，1,0)，S→C＝(1,1，－1)． 设平面 SCD 的法向量是 n＝(x，y，z)，则 n⊥D→C，n ⊥S→C.
所
以
n·D→C＝0
得 方 程 组 12x＋y＝0
【自主解答】 以点 A 为原点，AD、 AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0,0,0)， B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(12，0,0)，S(0,0,1)．
高中数学3-2第1课时空间向量与平行关系课件新人教A版
→
→
→
→
→
→
→
→
题型三
利用空间向量证明平行问题
【例3】 (12分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、
F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明
如图所示建立空间直角坐标系
D－xyz， 则有D(0，0，0)、A(2，0，0)，C(0，
2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，
F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
所以FC1＝ (0， 2， 1)，
→
→ → DA＝ (2， 0， 0)，AE＝ (0， 2， 1).
(1)设 n1＝(x1， y1， z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥DA， n1⊥AE， → n1· DA＝ 2x1＝ 0， 即 → n · AE ＝ 2y1＋ z1＝ 0， 1
自学导引
1．直线的方向向量 平行或共线 的向量． 直线的方向向量是指和这条直线___________ 想一想：直线的方向向量唯一吗？若不唯一，它们之间有
怎样的关系？
提示 向量． 不唯一．直线的方向向量有无数条，它们都是平行
平面的法向量 2．
方向向量a ，则a叫做平面α的法向量． 直线l⊥α，取直线l的___________ 想一想：平面的法向量唯一吗？若不唯一，它们之间的关系
→
→ → a DB＝ (a， a， 0)，DF＝ (0， ， a)， 2
设平面 AMN 与平面 EFDB 的法向量分别为 m＝ (x1， y1， z1)和 n＝ (x2， y2， z2)， a → m· AN＝ 0， －2x1＋ 0× y1＋ az1＝ 0， 则 ∴ → a a m · NM ＝ 0 ， x ＋ y ＋ 0× z1＝ 0， 2 1 2 1
新人教A版数学选修2-1课件：3.2 第一课时 空间向量与平行、垂直关系
3.空间平面的向量表示
空间中平面α 的位置可以由α 内两条相交直线来确定.如图所示,设这两条直线 相交于点 O,它们的方向向量分别为 a 和 b,P 为平面α 上任意一点,由平面向量基 本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得 OP =xa+yb.这样,点 O 与向量 a,b 不仅 可以确定平面α 的位置,还可以具体表示出α 内的任意一点.
法三
因为 MN
= C1N
- C1M
=
1 2
D1
A1
-
1 2
D1D
=
1 2
(
DB +
BA )-
1 2
(
D1 A1
+
A1D
)=
1 2
DB
+
1 2
BA
-
1 2
D1 A1
-
1 2
A1D
=
1 2
DB
+
1 2
DA1
+
1 2
(
BA
-
DA
)=
解析:问题即求与n共线的一个向量.即n=(2,-3,1)=-(-2,3,-1).
3.已知直线l与平面α 垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量 v=(3,-2,1)与平面α 平行,则z等于( C ) (A)3 (B)6 (C)-9 (D)9
解析:因为l⊥α,v与平面α平行,所以u⊥v,即u·v=0,所以 1×3+3×2+z×1=0, 所以z=-9.
x xz
y
0, 0,
解得
x x
y, z.
令
x=1,则
y=z=1.
高中数学人教版A版2-1学案：3.2 第1课时 空间向量与平行关系
第1课时空间向量与平行关系［学习目标］1。
理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题。
2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．知识点一直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量n,则向量n叫做平面α的法向量知识点二空间平行关系的向量表示（1）线线平行设直线l,m的方向向量分别为a＝（a1,b1，c1)，b＝（a2，b2,c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2（λ∈R)．（2）线面平行设直线l的方向向量为a＝（a1，b1,c1)，平面α的法向量为u＝（a2，b2,c2),则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0。
(3)面面平行设平面α,β的法向量分别为u＝（a1,b1，c1）,v＝(a2,b2,c2），则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2,b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．题型一利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系例1根据下列条件,判断相应的线、面位置关系:(1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝（2，3，－1），b＝（－6，－9,3）；(2）直线l1与l2的方向向量分别是a＝（－2,1,4），b＝(6，3，3）；（3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1，2），v＝错误!;(4）平面α与β的法向量分别是u＝（2，－3，4)，v＝(4,－2，1）；（5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝（0，－8，12)，u＝(0，2,－3)．解（1)∵a＝(2，3，－1），b＝（－6，－9,3），∴a＝－错误!b,∴a∥b，即l1∥l2。
(2)∵a＝（－2，1，4)，b＝(6,3,3），∴a·b≠0且a≠k b(k∈R),∴a，b 既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面．（3）∵u＝(1，－1，2），v＝错误!，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v,即α⊥β.（4）∵u＝(2，－3,4），v＝(4,－2,1），∴u·v≠0且u≠k v(k∈R）,∴u 与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直．（5)∵a＝（0，－8，12)，u＝(0,2，－3)，∴u＝－错误!a，∴u∥a，即l⊥α.反思与感悟(1)两直线的方向向量共线时，两直线平行;否则两直线相交或异面．（2)直线的方向向量与平面的法向量共线时,直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．（3）两个平面的法向量共线（垂直）时，两平面平行(垂直);否则两平面相交但不垂直．跟踪训练1设平面α的法向量为（1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6,k)，若α∥β,则k＝________.答案4解析∵α∥β,∴(1，3，－2）＝λ(－2，－6，k)，∴错误!∴λ＝－错误!，k＝4。
空间向量与平行关系课件新人教A版选修
空间向量与平行关系课件新 人教A版选修
自学导引
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线_平__行__或__共__线__的向量． 想一想：直线的方向向量唯一吗？若不唯一，它们之间有 怎样的关系？ 提示 不唯一．直线的方向向量有无数条，它们都是平行 向量．
2．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的_方__向__向__量__a__，则a叫做平面α的法向量． 想一想：平面的法向量唯一吗？若不唯一，它们之间的关系 怎样？ 提示 不唯一，平面的法向量有无数条，它们都是平行向量 ．
②u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)； (3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列 条件判断平面α与l的位置关系； ①u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)； ②u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)． [思路探索] 可先判断直线的方向向量与平面的法向量之 间的位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系． 解 (1)①∵a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)，
解 (1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)，
∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)，
∴a与u即不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交． (4)∵a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)，
？ 提示 实际应用中，直线的方向向量即把线段看作有向线段时表
示的向量，平面的法向量一般可建系后用待定系数法求出．
名师点睛
1．平面法向量的求法 (1)当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作 为平面的法向量． (2)当已知平面α内两不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1， b2，b3)时，常用待定系数法求法向量：
自学导引
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线_平__行__或__共__线__的向量． 想一想：直线的方向向量唯一吗？若不唯一，它们之间有 怎样的关系？ 提示 不唯一．直线的方向向量有无数条，它们都是平行 向量．
2．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的_方__向__向__量__a__，则a叫做平面α的法向量． 想一想：平面的法向量唯一吗？若不唯一，它们之间的关系 怎样？ 提示 不唯一，平面的法向量有无数条，它们都是平行向量 ．
②u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)； (3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列 条件判断平面α与l的位置关系； ①u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)； ②u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)． [思路探索] 可先判断直线的方向向量与平面的法向量之 间的位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系． 解 (1)①∵a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)，
解 (1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)，
∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)，
∴a与u即不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交． (4)∵a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)，
？ 提示 实际应用中，直线的方向向量即把线段看作有向线段时表
示的向量，平面的法向量一般可建系后用待定系数法求出．
名师点睛
1．平面法向量的求法 (1)当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作 为平面的法向量． (2)当已知平面α内两不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1， b2，b3)时，常用待定系数法求法向量：
人教A数学选修21同课异构教学课件32第1课时空间向量与平行关系情境互动课型
空间中平面 的位置可以由 内两条相
交直线来确定.
r n
r b
r
O a
P
对于平面 上的任一点 P , 存在有序实数对 ( x, y) ,使得
uuur r r
OP xa yb
这样，点O与向量
rr a,b
不仅可以确定平面
的位
置，还可以具体表示出 内的任意一点.
除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向
uuur uuuur uuur uuuur ①AB②AA1③B1B④A1C1
【解析】因为AA1⊥平面ABC,BB1⊥平面ABC, 所以 可作为平面ABC的法向量. 答案:②③
例3：已知O为坐标原点，四面体OABC中，A，B，C 的坐标分别为A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5， 0)，若直线AD∥BC且AD交坐标平面xOz于点D，求点 D的坐标.
rr 设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
lm
a
b
l
/
/m
ar
/
r /b
ar
r
b
a
l
u
l / / ar ur ar ur 0
rr
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
ur
vr
/ / ur / /vr ur vr
rr 设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
【即时训练】
已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方 向向量为(x，y, 8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝ ________.
解析： ∵l1∥l2，∴－x7＝3y＝48，
∴x＝－14，y＝6.
与直线垂直的向量，与平面垂直的向量叫什么 向量？有什么性质？
3.2空间向量与平行关系 课件(人教A版选修2-1)
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜
单
新课标· 数学 选修 2-1
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
【提示】
→ → AB∥CD.
2．如图直线 l⊥平面 α，直线 l∥m，在直线 m 上 取向量 n，则向量 n 与平面 α 有怎样的关系？
当 堂 双 基 达 标
系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三 个平面的法向量在求解时方法是否相同？
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直线的方向向量与平面的法向量
【问题导思】
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
图 3－2－1 1．如图 3－2－1，直线 l∥m，在直线 l 上取两点 → → A、B，在直线 m 上取两点 C、D，向量AB与CD有怎样 的关系？
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课 标 解 读
1.掌握直线的方向向量、平面的法向 量的概念及求法．(重点) 2.熟练掌握用方向向量、法向量证明 线线、线面、面面间的平行关系．(重 点、难点)
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【提示】
→ → AB∥CD.
2．如图直线 l⊥平面 α，直线 l∥m，在直线 m 上 取向量 n，则向量 n 与平面 α 有怎样的关系？
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系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三 个平面的法向量在求解时方法是否相同？
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直线的方向向量与平面的法向量
【问题导思】
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图 3－2－1 1．如图 3－2－1，直线 l∥m，在直线 l 上取两点 → → A、B，在直线 m 上取两点 C、D，向量AB与CD有怎样 的关系？
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1.掌握直线的方向向量、平面的法向 量的概念及求法．(重点) 2.熟练掌握用方向向量、法向量证明 线线、线面、面面间的平行关系．(重 点、难点)
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数学第三章3.2第1课时空间向量与平行、垂直关系课件(人教A版选修2-1)
3．2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行、垂直关系
学习导航 学习目标
重点难点 重点：利用空间向量证明线线、 线面、面面垂直与平行． 难点：把线、面问题转化为向量问题．
新知初探思维启动
1.法向量 如图所示,直线l⊥α,取直线l的___________方，向向量a 则向量a叫做平面α的_________，法给向定量一点A 和一个向量a，则过点A，以a为法向量的平面 是完全确定的．
SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直 角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向 量．
解：以 A 点为原点建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，D21，0，0，C(1，1，0)，S(0，
0，1)，
则D→C＝21，1，0， D→S＝－12，0，1. 易知向量A→D＝21，0，0是平面 SAB 的一个法
变式训练 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、 N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
证明：法一：如图，以 D 为 原点，DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则
可求得 M0，1，12、N21，1，1、D(0，0，
E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz， 则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， 所以F→C1＝(0，2，1)，
∴M→N·n＝21，0，12·(1，－1，－1)＝0，
第1课时 空间向量与平行、垂直关系
学习导航 学习目标
重点难点 重点：利用空间向量证明线线、 线面、面面垂直与平行． 难点：把线、面问题转化为向量问题．
新知初探思维启动
1.法向量 如图所示,直线l⊥α,取直线l的___________方，向向量a 则向量a叫做平面α的_________，法给向定量一点A 和一个向量a，则过点A，以a为法向量的平面 是完全确定的．
SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直 角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向 量．
解：以 A 点为原点建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，D21，0，0，C(1，1，0)，S(0，
0，1)，
则D→C＝21，1，0， D→S＝－12，0，1. 易知向量A→D＝21，0，0是平面 SAB 的一个法
变式训练 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、 N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
证明：法一：如图，以 D 为 原点，DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则
可求得 M0，1，12、N21，1，1、D(0，0，
E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz， 则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， 所以F→C1＝(0，2，1)，
∴M→N·n＝21，0，12·(1，－1，－1)＝0，
人教A版高中数学高二选修2-1课件 3.2 第4课时 空间向量的平行、垂直关系
(法二)以CD,CB,CE为正交基底,建立空间直角坐标系,则
E(0,0,1),D( 2,0,0),B(0, 2,0),A( 2, 2,0),M( 2, 2,1),DE=
22
(-
2,0,1),BE =(0,-
2,1),AM=(-
2,-
2
2,1).
2
设平面 BDE 的法向量为 n=(a,b,c),∴n⊥DE,n⊥BE,
【解析】
以 D 为原点,DA、DC、DD1为正交基底建立空间直角坐标系 D-xyz,则 D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),E(2,2,1),F(0,0,1), B1(2,2,2),C1(0,2,2).
(1)设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 ADE,平面 B1C1F 的法向量,则 n1⊥DA,n1⊥AE.
第 4 课时 空间向量的平行、垂直关系
重点:空间向量的平行与垂直判断及其应用. 难点:空间向量的平行与垂直判断及其应用. 学法指导:认真完成导学案中基础预学,从而初步掌握如何 求平面的法向量以及如何用向量表示空间中的平行、垂直关系. 通过学习导学案的问题导学部分的三个例题的处理,进一步体会 向量在解决空间平行与垂直关系中的作用.
预学 3:用向量的方法证明线线、线面、面面之间的平行
与垂直关系 设直线 l、m 的方向向量分别为 a、b,平面α、β的法向量分
别为 u、v,当 l、m 不重合,α、β不重合且 l、m 不在平面α、β 内时,有:
(1)l∥m⇔a∥b⇔存在 k∈R,使 a=kb; (2)l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0; (3)l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0; (4)l⊥α⇔a∥u⇔存在 k∈R,使 a=ku; (5)α∥β⇔u∥v⇔存在 k∈R,使 u=kv; (6)α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0.
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【题型示范】 类型一 求直线的方向向量、平面的法向量
【典例1】 (1)已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向 向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x= ,y= .
(2)四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面
ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.在如图所示的坐标系Axyz中,分别求平
AM＝ 1 AB，
2
所以AM∥
1 1 CD，AM= CD，所以NE∥AM，NE=AM. 2 2
所以四边形AMNE是平行四边形，所以MN∥AE. 所以 AE 为直线MN的一个以A为起点的方向向量．
(2)在Rt△PAD中，∠PDA＝45°，
所以AP＝AD，所以AE⊥PD，
又因为MN∥AE，所以MN⊥PD.
ta，那么点P的轨迹是什么？
提示：点P的轨迹是过A平行于向量a的一条直线．
(2)已知两定点A，B，点M满足 OM＝ 1 OA OB ，试确定点M的
2
位置．
提示：因为 2OM＝OA OB 所以 OM OA＝OB OM 所以 ， ，
AM＝MB. 因此点M为线段AB的中点．
(3)在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只 有两个方程，如何求法向量？ 提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解， 即可作为法向量的坐标．
【即时练】 若a=(1,2,3)是平面α 的一个法向量,则下列向量中能作为平面 α 的法向量的是( A.(0,1,2) C.(-1,-2,3) ) B.(3,6,9) D.(3,6,8)
【解析】选B.因为a=(1,2,3),(3,6,9)=3(1,2,3)=3a,所以向量 (3,6,9)能作为平面α的法向量.
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为CD⊥AD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，
因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.
又因为MN∥AE，所以CD⊥MN，又因为CD∩PD=D， 所以MN⊥平面PCD. 所以MN 为平面PCD的一个法向量．
【补偿训练】两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0, -1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是 .
(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点. 求证:平面AMN∥平面EFDB.
【解题探究】1.题(1)中直线l上有一点P不在平面α内,则直线 与平面的位置关系怎样?向量u与v共线还是垂直? 2.题(2)中依据正方体的特点如何建立空间直角坐标系才能使 尽可能多的点落在坐标轴或坐标面上?
【解析】(1)正确.直线的方向向量有无数多个,与直线平行的
向量都可作为直线的方向向量,故此种说法正确.
(2)正确.若向量n1,n2为平面α的法向量,则以这两个向量为方
向向量的两条直线可能重合,也可能平行.因为两条直线不重合,
所以它们一定平行,故此种说法正确.
(3)正确.由线面平行的判定定理知,若平面外的一条直线的方 向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. 答案:(1)√ (2)√ (3)√
3.对平面法向量的两点说明 (1)平面法向量的选取:平面α 的一个法向量垂直于与平面α 共 面的所有向量.即只需作一条垂直于平面的直线,选取该直线的 方向向量. (2)平面法向量的不惟一性:一个平面的法向量不是惟一的,一 个平面的所有法向量共线.在应用时,可以根据需要进行选取.
【微思考】
(1)若点A为定点，向量a为给定向量，对任给实数t，有 AP ＝
【自主解答】(1)因为l1∥l2，所以 所以x＝-14，y＝6. 答案：-14 6
7 3 4 ＝ ＝ ， x y 8
(2)A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)． 因为AD⊥平面SAB，所以 AD ＝(1，0，0)是平面SAB的一个法 向量．
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，
位置关系 向量关系 向量运算关系 l∥m l∥ α α ∥β a∥ b _____ a⊥ u _____ u∥ v _____ a=kb,k∈R __________ a·u=0 _______ u=kv,k∈R
坐标关系 a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3 a1u1+a2u2+a3u3=0 _______________ u1=kv1,u2=kv2,u3=kv3
【变式训练】如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别 是AB，PC的中点．
(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量.
(2)若∠PDA＝45°，求证 MN为平面PCD的一个法向量．
【解析】(1)取PD的中点E，
连接NE，AE，
因为N是PC的中点，
所以NE∥DC，NE= 1 DC.
2
又DC∥AB，DC=AB，
【解析】(1)向量 AB 可以作为直线l的方向向量,
又已知A(-1,0,1),B(1,4,7),故 AB =(2,4,6).
答案:(2,4,6)
(2)因为u·v=(1,3,0)·(-3,1,5)=0,所以直线l与平面α的位
置关系为平行或直线在平面内.
答案:l⊂α或l∥α
(3)由u=(1,3,0),v=(-3,-9,0)得(-3,-9,0)=-3(1,3,0),故 u∥v,所以平面α,β的位置关系为平行. 答案:平行
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线上任意两个不同的点A,B表示的向量 AB 都可作为该直 线的方向向量.( )
(2)若向量n1,n2为平面α 的法向量,则以这两个向量为方向向 量的两条不重合直线一定平行.( )
(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则 该直线与平面平行.( )
1 则n·DC＝(1，y，z)·(1，2，0)＝1＋2y＝0，所以y＝ － . 2
又n·DS＝(1，y，z)·(－1，0，2)＝－1＋2z＝0，所以z＝ . 所以n＝ (1，－ ， ) 即为平面SCD的一个法向量.
1 1 2 2
1 2
【方法技巧】 1.利用待定系数法求平面法向量的步骤
2.求平面法向量的三个注意点 (1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量. (2)取特值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个为一特殊值得另 两个值,就是平面的一个法向量. (3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时 一定要注意这个坐标不为0.
【知识拓展】利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤 (1)适当地选取基底{a,b,c},一般情况下要知道a,b,c的长度和 两向量的夹角. (2)用a,b,c表示已知条件和明确需要解决的问题,将立体几何 问题转化为空间向量问题. (3)根据具体问题的要求通过空间向量的运算进行计算和证明.
【微思考】 (1)空间两向量的平行与空间两直线的平行含义相同吗? 提示:空间两向量平行与空间两直线平行是不同的 ,直线平行是
(3)空间直线的向量表达式的两点作用:
位置 ①定位置:点A和向量a可以确定直线的_____;
一点 ②定点:可以具体表示出l上的任意_____. 3.向量a为平面α 的法向量应满足的两个条件 方向向量 (1)向量a表示直线l的_________; ⊥ 平面α . (2)直线l___
4.用向量描述空间平行关系 设空间两条直线l,m的方向向量分别为a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),两个平面α ,β 的法向量分别为u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3),则有如下结论
【即时练】 根据下列条件,判断相应的平面与平面、直线与平面的位置关 系. (1)空间两平面α ,β 的法向量分别为u=(1,3,6),v=(-2,-6, -12). (2)直线l的方向向量、平面α 的法向量分别是a=(3,2,1), v=(1,-2,1).
【解析】(1)因为u=(1,3,6),v=(-2,-6,-12), 所以v=-2(1,3,6)=-2u,所以u∥v,所以α∥β. (2)因为a=(3,2,1),v=(1,-2,1), 所以a·v=3-4+1=0,a⊥v,所以l⊂α 或l∥α.
3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系
1.用空间向量确Байду номын сангаас空间点、直线、平面的表达式 问题 引航 分别是怎样的? 2.如何用空间向量的方法判断与证明空间平行的
位置关系?
1.点的位置向量 (1)基点:在空间中,我们取一定点O作为基点. (2)向量表示:空间中任意一点P的位置可以用________ 向量OP 来表示.
知识点2
用向量法解决空间中的平行问题
空间中平行问题的确定策略 (1)直线与直线平行:关键看直线的方向向量是否共线. (2)直线与平面平行:关键看直线的方向向量与平面的法向量是 否垂直;或者看直线的方向向量与平面内的直线的方向向量是 否共线.特别要强调直线在平面外. (3)平面与平面平行:关键看两平面的法向量是否共线.
向量OP 称为点P的位置向量. 我们把________
2.用向量表示空间直线 (1)确定空间直线l位置的两个条件: 定点A ②一个_______. 定方向 ①直线l上一个______; (2)向量表达式:点A是直线l上的一个点,向量a表示直线l的方向 向量,在直线l上取 AB =a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在 实数t,使得 AP =_____. tAB
【解析】由直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2, 0,2),所以v2=-2v1,即v2∥v1,所以l1与l2的位置关系是平行. 答案:平行
类型二
利用空间向量证明空间平行问题
【典例2】 (1)已知直线l的方向向量为u=(2,0,-1),且直线l上有一点P不在 平面α 内,平面α 的一个法向量为v=(-2,1,-4),则l与α 的位置 关系为 .