凸函数

§3.2.6

如果任取曲线上两点，则两点构成的都在此曲线弧的上方，我们称这样的曲线对应的函数为凸函数，如图21便是凸函数的图像，严格定义的话，如果D 是一个实轴上的区间，或者更为一般的向量空间上的凸集，则函数

:f D R →是凸函数，如果其满足：()()()()1()1f x y f x f x λλλλ+-≤+-，

对所有(),,0,1x y D λ∈∈这里我们注意集合D 叫做凸集，如果对于任意

,x y D ∈和()0,1λ∈，()1x y λλ+-也在D 中，其几何意义是D 是这些半空

间的交点。

如果f -是凸函数，则f 叫做凹函数，如果f 既凸又凹，则f 是一条直线。例如：()f x ax b =+，,a b 是常数。

定理：函数f 在(),a b 内二阶可导，f 是凸函数当且仅当()''0f x ≥ 一般地，定义在n 维实空间上的凸环上的二阶可导函数是凸的，如果它的海塞矩阵是半正定型的，对于()12,,n f x x x 。若f 所有的二阶导数都存在，

那么f 的海塞矩阵即()22221121222221

22222

21

2

0n n n n n f

f f x x x x x f f f H f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢

⎥

=≥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦

，这是对坐标的求模的一种说法，在

f

的每一点都有形式

22121

212(,,)(,,)n n k f x x x x x x x x

x φ=+++ ，这里k n ≤，12(,,)n x x x φ 是线性的。

作为凸函数的应用，我们利用其性质来证明Holder 不等式。

Holder 不等式：如果

()()

:0,,l n f R f x x

+∞→=，其中1212,,,,,n n x x x y y y p q 都是

正

数

，

且

111p q

+=，

则

1

1111n

n

n

p

q

p q i i i i i i i x y x x ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑∑

等号成立当且仅当两向量12(,)n x x x 和12(,)n y y y 共线。 证明：()():0,,ln f R f x x +∞→=的二阶导数为：()21

''f x x

=-，它是负的，所以这个函数是凹的，我们得到对于所有,X Y ,有

111111ln ln ln ln p q

X Y X Y X Y p q p

q ⎛⎫

=

+≤+ ⎪⎝⎭， 所以1111

p

q

X Y X Y p q

≤

+，利用这个结论，如果我们令p i X x =∑，q

i Y y =∑则

111

1

1111111n

p

q p p

i i

n

p

q

i i

i

i i i p q

x y

x y x y X Y p X q Y p q

X Y

==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭∑∑∑

11111

1

1

()()n

n

n

p

q p q

p

q

i i i i i i i x y X Y x y ===∴≤=∑∑∑

则不等式即证得。

通过类比，序列()0n n a ≥满足11

2

n n n a a a +-+≤

，所有1n ≥，()n n a 叫做凸序列，如果()n n a -是凸序列，则()n n a 是凹序列。同理，若序列其二阶导数0≥，则这个序列是凸的，若其二阶导数大于等于0，则序列是凹的，下面的例子解释了为什么把凸序列和凸函数放在一起研究的原因。

例1：已知()n n a 是有界凸序列，证明：()1lim 0n n n a a +→∞

-=。

证明：一个定义在()0,+∞上的有界凸函数有水平渐进线，所以它的导数无限趋近于0，我们的问题是这个结论是离散的。这个序列的一阶导数为：

1(1)n n n b a a n +=-≥，由凸序列的性质可以写成11n n n n a a a a +--≥-，这就推出

()n n b 是单调递增的，又()n n a 是有界的，所以()n n b 也是有界的，又()n n b 是单

调的，由维尔斯特拉斯定理，单调有界必收敛，所以()n n b 必存在极限L ，如果0L >则n b 最终是正的，所以()n n a 是递增的，再有维定理，()n n a 必收敛于某个极限l ，则0L l l =-=，同理0,L <同样也会出现矛盾，所以只存在一种可能0L =。

下面是一些有关的问题。

425．令12,n x x x 是正实数，求实数a 使得12n

a x a x a x -+-+- 取

得最小值。

426．已知a,b 大于0，x,c>1.证明 ：2

()2c

c

c

a

b ab x x x

+≥

427．已知一个三角形，边长满足

a b c ≥≥，对应角为

A,B,C 。证明：

A b

B c

C a A c B a C b ++≥++.

428．如果函数[]:,f a b R →是凸函数，则在(),a b 上连续。

429．证明一个定义在凸环上的连续函数是凸的，当且仅当对于任何,x y D ∈，

()()(

)22

f x f y x y

f ++≤。 430. 如果一个实数函数()f x 对所有实数,x y 满足

()()()22

f x f y x y

f x y

++≥+-，我

们定义为严格函数，证明这样的严格函数不存在。

430. 已知：

[]:,f a b R

→是一个凸函数，证明：对于所有[],,,x y z a b ∈

()()()332()()()222x y z f x f y f z f x y y z z x f f f ++⎛⎫

+++ ⎪

⎝⎭

+++⎡

⎤≥++⎢⎥

⎣⎦

432. 如果对于所有实数a ，正实数数列()n n b

使得()n

n n a b 是一个凸序列，,则()ln n n b 也

是凸的。