二倍角的三角函数练习(含答案)

系化简后，将变形得到的比例式整体代入可求出值．
解答： 解：由
=
= ，得：nsinαcosβ+ncosαsinβ=msin αcosβ﹣ mcosαsinβ
移项合并得 cosαsinβ（ n+m）=sin αcosβ（ m﹣ n），变形得
=
，
则
=
=
=
．
故选 A 点评： 本题的解题思路是运用和与差的正弦函数公式和同角三角函数的基本关系把已知和所求的式子化简后找出
4．在 △ABC 中， C＞ 90°， E=sinC ， F=sinA+sinB ， G=cosA+cosB ，则 E， F， G 之间的大小关系为（
）
A ．G＞ F＞ E
B． E＞ F＞ G
C． F＞ E＞ G
D ．F＞ G＞ E
考点 ： 三角函数的积化和差公式；同角三角函数基本关系的运用．
专题 ： 综合题．
（ α+β+γ）的值，进而根据 α， β，γ的范围确定 α， β， γ的和．
解答： 解： tan（ α+β） =
=
tan（ α+β+γ）=
=1
由 α， β， γ都为锐角及各自取值，知 0＜ α， β， γ＜ ，
即 α+β+γ也是锐角，故 α+β+γ= ．
故选 B 点评： 本题主要考查了两角和与差的正切函数，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
，则 cos2θ=
．
考点 ： 诱导公式的作用；二倍角的余弦． 分析： 由 sin（α+ ） =cosα及 cos2α=2cos2α﹣ 1 解之即可．
解答： 解：由
可知，
，
而
．
故答案为：﹣ ． 点评： 本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．
8．若 cosαcosβ= ，则 sinαsinβ的取值范围是 ______．
一、选择题
1．已知 cos（α+β）= ，cos（ a﹣ β） =﹣ ，则 cosαcosβ的值为（
）
A ．0
B．
C．0 或
D．0 或
考点 ： 两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． 专题 ： 计算题． 分析： 先用两角和公式的余弦函数对题设中的等式展开后，两式相加即可求得 解答：
解：依题意可知
三、解答题 9．在 △ABC 中，∠B=60 °，且 tanAtanC=2+
，求角 A， C 的度数．
Байду номын сангаас
考点 ： 解三角形． 专题 ： 计算题． 分析： 根据 B 的值，进而确定 A+C 的值，进而利用两角和与差的正切函数公式求得
得 tanA 和 tanC 的值，进而求得 A 和 C． 解答： 解：∵∠B=60 °且 A+B+C=180 °，
专题 ： 计算题． 分析： 利用方程的根，结合判别式确定
sin22θ≤1，通过两个根求出另一个根，推出
解答：
值．
解：∵方程
x2﹣（
tanθ+cot
θ）
2
x+1=0
有两个实根，
∴△=（ tanθ+cotθ） 2﹣ 4
=
sin2θ的值，然后求出 cos4θ的
=
，
即 sin22θ≤1． 设另一个根为 m，则由根与系数的关系可得，
专题 ： 计算题．
分析： 利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数
y=
值． 解答： 解：
，然后求出最大值，及其相应的 x
=
=
，
y 取最大值，只需
，
即
，
∴当函数 y 取最大值 时，
自变量 x 的集合为 {x|x=k π+ ，k∈Z} ．
点评： 本题考查三角函数的最值，二倍角公式的应用，同时利用两角和的正弦函数化简是本题解题的关键，本题 考查计算能力，是基础题．
当 tanC=1， tanA=2+ 时， A=75 °， C=45°． 点评： 本题主要考查了解三角形问题，两角和与差的正切函数．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．
10．若已知方程 x2﹣（ tanθ+cotθ） x+1=0 有两个实根，且其中一个根是 2﹣ ，求 cos4θ的值．
考点 ： 三角函数的恒等变换及化简求值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
12．如图，在某点 B 处测得建筑物 AE 的项点 A 的仰角为 θ，沿 B 前进 30 米至 C 点处测得顶点 A 的仰角为 2θ， 再继续前进 10 米至 D 点，测得顶点 A 的仰角为 4θ，求 θ的大小及建筑物 AE 的高．
考点 ： 解三角形的实际应用． 专题 ： 计算题． 分析： 由题意及仰角的定义画出图形，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系及三角形求解即可． 解答： 解：由已知 BC=30 米， CD=10 米，∠ABE= θ，∠ACE=2 θ，∠ADE=4 θ，
考点 ： 两角和与差的正弦函数． 专题 ： 计算题． 分析： 设 x=sin αsinβ，利用两角和与差的正弦函数公式分别化简
利用余弦函数的值域列出不等式，求出不等式的解集得到 解答： 解：∵cosαcosβ= ，设 sinαsinβ=x ，
cos（α+β）与 cos（α﹣ β），将 cosαcosβ的值代入， x 的范围，即为 sinαsinβ的取值范围．
∴cos2θ= ，结合题意可知： 2θ=30°， θ=15°，
∴AE=
（米）．
点评： 此题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，还考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角， 及二倍角的正切公式．
sinA ＞cosB ，利用切化弦化简 A+B ＞ ；即：
tanAtanB ，即可得到选项． ，所以 sinA ＞ cosB，同理 sinB
＞ cosA ，
tanAtanB=
＞1
故选 D 点评： 本题是基础题，考查锐角三角形的性质，切化弦的应用，考查计算能力，常考题型．
二、填空题 7．（ 2008?浙江）若
（ 2﹣ ） m=1，于是
，
故 tanθ+cotθ=4 ，即
，
∴sin2θ= （满足 sin22θ≤1）．
∴cos4θ=1﹣
2sin2
2
θ=
．
点评： 本题考查三角函数的化简求值，考查二次方程根的问题，二倍角公式的应用，考查计算能力．
11．已知函数 y=
，求函数的最大值及对应自变量 x 的集合．
考点 ： 三角函数的最值．
在 Rt△ABE 中， BE=AEcot θ， 在 Rt△ACE 中， CE=AEcot2 θ， ∴BC=BE ﹣CE=AE （ cotθ﹣cot2 θ）． 同理可得： CD=AE （ cot2θ﹣ cot4θ）． ∴
即
而 cotθ﹣ cot2θ=
=
．
同理可得 cot2θ﹣ cot4θ=
．
∴
=
=2cos2θ=
；
由 180°＞ C＞ 90°得到 45°＜ ＜ 90°，
根据正弦、余弦函数的图象得到 sin ＞ cos ，所以 G﹣ F=2cos
（ sin ﹣cos ）＞ 0 即 G＞ F；
根据正弦定理得到
=
，因为 a+b＞ c，所以 sinA+sinB ＞sinC 即 F＞ E；
所以 E，F， G 之间的大小关系为 G＞F＞ E 故选 A 点评： 解此题的方法是利用正弦定理和做差法比较大小，要求学生灵活运用三角函数的和差化积公式及诱导公式 化简求值．
故选 C 点评： 此题是一道基础题，要求学生掌握两角和与差的正弦、余弦函数的公式，以及会利用同角三角函数间的基
本关系．
6．若 A， B 为锐角三角形的两个锐角，则
A ．不 大于 1
B．小于 1
tanAtanB 的值（
）
C．等于 1
D．大于 1
考点 ： 正切函数的值域． 专题 ： 计算题． 分析： 直接利用锐角三角形的性质，确定 解答： 解：因为三角形是锐角三角形，所以
∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣ sinαsinβ= ﹣ x，
cos（ α﹣ β） =cosαcosβ+sin αsinβ= +x，
∴﹣1≤ ﹣ x≤1，﹣ 1≤ +x ≤1，
解得：﹣ ≤x≤ ，
则 sinαsinβ的取值范围是 [﹣ ， ] ．
故答案为： [﹣ ， ] 点评： 此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
分析： 把 F 和 G 利用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简后，做差得到大小；利用正弦定理和三角形的两边
之和大于第三边判断 F 和 E 的大小，即可得到三者之间的大小关系．
解答： 解：因为 F=sinA+sinB=2sin
cos
=2cos cos
；G=cosA+cosB=2cos cos
=2sin cos
∴A+C=120 °，
∴tan（A+C ） =
．
tanA+tanC 的值，进而联立求
由 tanAtanC=2+ ， ∴tanA+tanC=3+ ， ∴tanA， tanC 可看作方程 x2﹣（ 3+ ） x+（ 2+ ） =0 的两根． 解方程得 x1=1， x2=2+ ． 当 tanA=1 ，tanC=2+ 时， A=45 °， C=75°．
其联系点，然后利用整体代入的思想解决数学问题．
3．已知 α，β， γ均为锐角，且 tanα= ， tanβ= ，
A．
B．