动力学复习题2-1

I vC 3m2
I
10 I 3m2l
(5)以C点为基点，分析A点速度：
vA vC vAC v AC 2I vA （方向向左） 9m2
l 6
3
已知：m1=2m2 . 求：碰撞结束时vA=?
[求解]: 方法二：取分离体；
(一)A块： 冲量定理： m1vA 0 I Ax (二)AB杆： 冲量定理： m2vC 0 I I Ax （1）
“动力学”计算题二
(一)碰撞 (二)虚位移原理 (三)Lagrange方程 (四)振动理论基础
1
“碰撞定理”计算题(1)
质量为m1 的物块置于水平面上，它与质量为m2 的均质杆 AB相铰接。系统初始静止，AB铅垂， m1=2m2 . 有一冲量为I 的水平碰撞力作用于杆的B端，求碰撞结束时物体A的速度。
10
“Lagrange方程”计算题(1)
质量为m1 、半径为r的均质圆柱，可在水平面上作纯滚 动。圆柱中心O用刚度系数为k、原长为l0的弹簧系住，又在 圆柱中心用光滑铰链接一质量为m2 、长为l的均质杆。取图 示的x、为广义坐标。试建立系统的运动微分方程。
x
l0
k

O
x
A
11
“Lagrange方程”计算题(1)
O
x
A

x
C
B
16
“L方程”题(2) 解：(1)选择广义坐标; 解
(2)用广义坐标表达系统动能;
建立AB杆的运动微分方程?
O
(3)写出系统势能V及拉格朗日函数L=T-V ; 取平衡位置为重力及弹性力的零势能位置， 则系统的势能为 x 1 l 2 2 V k[( x 0 ) 0 ] mg ( x cos ) 2 2 1 l 2 k ( x 2 x 0 ) mg ( x cos ) 2 2 x
解： （1）选择广义坐标;
系统具有两个自由度。
选取x、θ为系统的广义 坐标。
建立系统的运动微分方程? x
l0
k
O
（2）用广义坐标表达系 C x 统动能: 1 1 1 1 2 T m1 x 2 J 0 2 m2 vC J C 2 A 2 2 2 2 1 1 x l l 2 J 0 m1r 2 , J C m2l 2 , , vC ( x cos ) 2 ( sin ) 2 2 12 r 2 2 1 3 1 1 2 2 2 T ( m1 m2 ) x m2l m2 l x cos 2 2 6 2 12 （3）写出势能V及拉格朗日函数L=T-V , 求解：
1 3 1 1 1 1 2 m2l 2 2 m2 l x cos m2 gl cos kx 2 L ( m1 m2 ) x 2 2 6 2 2 2
(3m1 2m2 ) m2lcos m2l 2 sin 4kx 0 x 2l 3cos 3g sin 0 x
(2)用广义坐标表达系统动能; 1 1 2 2 J C 1 m2l 2 T mv C J C 12 2 2 x l l xC x cos yC sin 2 2 l l 2 2 2 2 vC xC yC ( x sin ) ( cos ) 2 2 2 1 1 1 T mx 2 ml 2 2 m l x sin 2 6 2 (3)写出系统势能V及拉格朗日函数L=T-V ;
x1
A
B
r
k

·
M
x2
21
“Lagrange方程”计算题(4)
求解步骤： (1)选择广义坐标; (2)用广义坐标表达系统动能; (3)写出系统势能V ; (4)代入拉格朗日方程求解： 求解要点： (1)系统动能： (2)系统势能：
x1
A
B
r
k

·
M
x2
1 1 x1 2 1 3 1 2 2 2 2 T m1 x1 J B ( ) m2 x2 m1 x1 m2 x2 2 2 r 2 4 2
三根相同的均质杆AB 、BD、CD用铰链连接，杆长l ， 质量m . 问水平冲量I 作用在AB杆上何处时，铰链A处的碰 撞冲量为零？
A h I B D
5
C
问：水平冲量I作用在AB杆上何处时，铰链A处的碰撞冲量为零？
ICy
A
h C h
A
C
ICx
A

B

D
h
I B

IB
I
B
I D
解： (1)研究对象－整体 设A点碰撞冲量为零，对C点的冲量矩定理： ( J A J C ml2) 0 I h (2)研究对象－AB杆
v
C
B
A
7
试求: (1)A与B碰后的速度； (2)B与C碰后的速度； (3)当A与B，B与C碰撞后，B与A是否再次碰撞？
v
B
A
C
B
vB1 vC2 vB2 vA1 B A C 解： mvB1 mvA1 mv (1)A与B碰撞，由冲量定理得到：
1 1 vB1 (1 k )v v A1 (1 k )v 2 2 1 (1 k ) 2 v (2)B与C碰撞，同样得到： vC 2 (1 k )vB1 2 4 1 (1 k ) 2 vB 2 (1 k )vB1 v 2 4 v A1 2 81 (3)如果能满足vA1＞ vB2 就会再碰撞，即： vB 2 (1 k )
（1）
1 动量定理的水平方向投影式： ml 0 I I B （2） 2 对A点的冲量矩定理有： （3） J A 0 I h I B l
10 l 11
6
(3)联立求解(1)、(2)、(3)式，得到： h
“碰撞定理”计算题(3)
三个质量相同的套筒可沿光滑水平杆滑动。已知开始时 B、C两套筒静止，套筒A则以速度v 向左运动。若各套筒间 的恢复系数均为k（0﹤k﹤1），试求： (1)A与B碰后的速度； (2)B与C碰后的速度； (3)当A与B，B与C碰撞后，B与A是否再次碰撞？
O1
2r
0.4r
C P 1.5r
B
A
M r
O
9
“虚位移原理”计算题(2)
在 图 示 压 榨 机 机 构 的 曲 柄 OA 上 作 用 以 力 偶 ， 其 矩 M0=50N.m，已知OA=r=0.1m，BD=DC=DE=l=0.3m，平衡 时∠OAB=90，＝15，各杆自重不计，试用虚位移原理 求压榨力F的大小。
x
A

x
C
1 B VS k[( x 0 ) 2 02 ] 2 选取不同的势能零位置,广义坐标原点改变,微分方程可能不同。
19
20
“Lagrange方程”计算题(4)
在图示系统中，匀质圆 柱 B 的 质 量 m1=2kg, 半 径 r=10cm，通过绳和弹簧与质 量m2=1kg的物块M相连，弹 簧 刚 度 系 数 为 k=2N／cm ， 斜面的倾角 ＝30。假设圆 柱B滚动而不滑动，绳子的 倾斜段与斜面平行，不计定 滑轮A、绳子和弹簧的质量， 以及轴承A处摩擦，试求系 统的运动微分方程。
vB1 v A1 恢复系数： k v
“虚位移原理”计算题(1)
在图示四连杆机构中，曲柄OA上作用一力偶，其矩的大 小为M，方向如图所示，摇杆O1B上的点C受一垂直于O1B的 力P的作用。已知OA=r，AB=1.5r，O1B=2r，BC=0.4r。若机 构在图示位置(θ=30，∠O1BA=90)处平衡，试用虚位移原理 求M与P之间的关系。各杆自重与铰链摩擦均不计。
取平衡位置为势能零点，弹性力静变形的势能与重力势能 相互抵消，则系统的势能为 1 V k ( x2 x1 ) 2 22 2
“L方程”题(4)解
x1
A
系统的势能为: 1 B V k ( x2 x1 ) 2 （1） r k 2 F' [势能表达式的具体分析]： 取平衡位置为势能零点， M M · x2 设弹簧的静变形为 S，则系统 m2g 的势能为: 1 V k[( x2 x1 0 ) 2 02 ] m1 g sin x1 m2 gx2 （2） 2 F 取物块M、圆柱B为分离体，列平衡方程：
18
“L方程”题(2) 解 [此题可能出错处]
写系统势能V的表达式:
建立AB杆的运动微分方程?
O
势能的零位置取在平衡位置,则系统的势能为 1 l x V k ( x 0 ) 2 mg ( x cos ) 2 2 弹性力势能计算与所确定的零势能位置不一致。 弹性力势能的零位置取在系统的平衡位置。 弹性力势能应为：
x
d L L 0 dt x x d L L 0 dt
x
1 2 l A V kx mg cos 2 2 1 2 1 2 2 1 T mx ml m l x sin x 2 6 2
C B
1 1 ml sin ml 2 cos kx 0 2 2 2l 3sin 3g sin 0 x m x
“Lagrange方程”计算题(1)
（1）选择广义坐标; 解： 建立系统的运动微分方程? （2）用广义坐标表达系 x l0 统动能; k （3）写出系统势能V及拉 O 格朗日函数L=T-V ; C 重力势能的零点取在 O x 点，弹性力势能的零点取在 弹簧原长处，则 A 1 1 2 V m2 gl cos kx 2 2 拉格朗日函数L=T-V ，即
vA
A
I Ax
I Ay I Ay
A
（2）
（3）
I 0 Ay
I Ax
ω
B
4
2I (三)联立以上各式求解： v A 9m2
相对于质心的冲量矩定理： l l J C 0 I I （4） Ax 2 2 l 运动学关系：vC v A （5） 2
C
I
“碰撞定理”计算题(2)
1 3 1 1 2 2 2 cos 1 m gl cos 1 kx 2 L ( m1 m2 ) x m2l m2 l x 2 2 2 6 2 2 2
（4）代入拉格朗日方程求解
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“Lagrange方程”计算题(1)
(1)选择广义坐标; 解： 建立系统的运动微分方程? (2)用广义坐标表达系统动能; x l0 (3)写出系统势能V及拉格朗 k 日函数L=T-V ; O (4)代入拉格朗日方程求解： C d L L x 0 dt x x A d L L 0 dt
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“Lagrange方程”计算题(2)
质wk.baidu.com为m、杆长为l 的均
质杆，其A端用刚度系数为k 的弹簧系住，可沿铅直方向 振动，同时杆AB还可绕A点 在铅直面内摆动。试建立杆
x
x
O
A

x
AB的运动微分方程。
C B
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“L方程”题(2) 解：(1)选择广义坐标; 解
建立AB杆的运动微分方程?
系统具有两个自由度。x、为广义坐标。
A
I
B
2
已知：m1=2m2 . 求：碰撞结束时vA=?
[求解]:
(2)系统的质心坐标： yC
A C
m1 0 m2 l / 2 l m1 m2 6 (3)碰撞过程质心运动定理：
(1)研究对象：整体；
(m1 m2 )vC 0 I
B (4)相对于质心的冲量矩定理： 1 l l 1 5 J C m2 l 2 m2 ( ) 2 m1 ( ) 2 m2 l 2 J C 0 I l 12 3 6 4 6
A

x
C
B
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1 2 l V kx mg cos 2 2 (4)代入拉格朗日方程求解：
k 0 mg
“L方程”题(2) 解： (1)选择广义坐标; 解
(2)用广义坐标表达系统动能; (4)代入拉格朗日方程求解：
建立AB杆的运动微分方程?
O
(3)写出系统势能V及拉格朗日函数L=T-V ;