初中数学一题多变一题多解(五)

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初中数学一题多解与一题多变

初中数学一题多解与一题多变时代在变迁，教育在进步，理念在更新。

前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。

面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。

我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。

下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。

一、一题多解，多解归一对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。

一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。

例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE.E D C B A（本题来自《几何》第2册69页例3）思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。

其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH.思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。

利用一题多解、一题多变来提高初中学生的数学解题能力

利用一题多解、一题多变来提高初中学生的数学解题能力作者：苏淑妮来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2017年第04期（广东省惠州市惠阳区崇雅中学广东惠州 516000）【摘要】数学课程标准中，要求使学生站在不同角度，探索分析和解决问题的方法，此外，教育心理学也指出：问题解决有两种类型：一是常规性问题解决；二是创造性问题解决。

通过一题多解、一题多变训练，使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法，使所学的知识得到活化，融会贯通，开阔思路，培养学生的发散、创新思维能力。

【关键词】一题多解一题多变初中数学发散思维【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）04-173-01先观察以下4个例题，是初中数学练习过程经常碰到的，具体的解答过程后文有详细的描述，以此四个例题用以论述本文的观点。

例1：相切两圆半径分别是4和6，求圆心距。

例2：在几何题型中：直角三角形两边长3和4，求第三边。

例3：一道求证题：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形变式1：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形变式2：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形变式3：顺次连接正方形各边中点所得的四边形变式4：顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边变式5：顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形变式6：顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形例4：在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE.一、一题多解、一题多变帮助学生循坏往复调动所学知识，强化记忆在学习生涯中，知识点是解题的基础和灵魂，千千万万的题目是从知识点出发延伸设计出来问题考察学生的。

由于时间和空间有限，学生不可能做完所有的题目，对于教师也不可能讲解完所有的题目。

而对于数学，单是一道题目中也不可能只有一个知识点的考察，例题1这道题中涉及的知识点有：相切圆、半径、圆心距，最终的问题虽然是求圆心距，但是如果没有正确的对于圆、半径以及相切的概念，那么也就无从下手。

浅谈中学数学的一题多解与一题多变

浅谈中学数学的一题多解与一题多变中学数学解题研究一题多解一题多变学生姓名：学生学号：院系班级：指导老师：中学数学解题研究一题多解一题多变摘要:一题多解与一题多变是开发智力、培养能力的一种行之有效的方法,正文：对于所有中学生来说，要学好数学这门学科，却不是一件容易的事。

众所周知，数学题是做不完的。

我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。

要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。

在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。

这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。

另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。

对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义，推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。

下面就几道典型的一题多解与一题多变问题在教学中的运用谈谈我个人的几点看法，借以使学子们初步认识一题多解与一题多变问题，领略一题多解与一题多变问题的魅力，激发起学习兴趣，活化其解题思想。

一题多解1、解不等式32某-35解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当2某-30时，不等式可化为32某-353某4（2）当2某-30时，不等式可化为3-2某35-1某0综上：解集为某3某4或-1某0解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于2某-33且2某-353某4或1某0中学数学解题研究一题多解一题多变综上：解集为某3某4或-1某0解法三：利用等价命题法原不等式等价于32某-35或-52某-3-3，即3某4或-1某0解集为某3某4或-1某0解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为33335某-，不等式的几何意义时数轴上的点某到的距离大于，222225且小于2，由图得，解集为某3某4或-1某0解法分析：本题利用了定义法、等价转化及数形结合等常用解题方法。

初中几何的习题一题多解与一题多变-最新文档(可编辑修改word版)

初中几何的习题一题多解与一题多变数学课程标准中，要求使学生经历站在不同角度，探索分析和解决问题的方法这一重要过程。

使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法。

数学中“一题多解”和“一题多变”，被普遍看作是培养学生能力，以及开发学生智力，最佳途径之一，能够培养出学生的发散性思维，以及创造性思维，提高学生对几何的学习兴趣。

一、初中几何“一题多解”和“一题多变”的相关问题初中生在学习几何的过程中，鉴于其概念和定理繁多，又要求学生需要具有较强的综合性能力，且巧妙多变的解题方法，导致学生学习的时候，有一种困难的感觉，提高了教师实施教学的难度。

在教学过程中，不仅要帮助学生理清概念和定理的条件、结论，而且有效将其系统化、条理化，进而建立较为完整的、独立的知识结构体系。

其中，为之重要的是要牢固掌握课本习题灵活多变的解题方法，比较各种方法，更深刻的领悟相关的概念与定理，归纳各种习题的解决方法，灵动的掌握各种题型，以至于可以轻巧熟练地运用相关的概念和定理来推理论证，提升学生的解题能力。

通过课本习题，多角度思考问题，寻求解题的一般规律，从而引领学生入门。

二、“一题多解”和“一题多变”需注重学生“猜测”能力“一题多解”和“一题多变”在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中，将学生从已知的彼岸，渡到未知的彼岸。

教师在教学生平面几何的过程中，不仅要教会学生怎么证明，而且重点是教会学生猜测和思考。

因为猜测可以导致发现，所有证题者在解决数学问题时，都要猜测，都是先猜测后证明的。

这就要求教师教学时要创立一个激发学生积极性思维、主动猜测的意境，提高学生自主探索的能力。

为了调动学生思维的主动性，形成有益的思维方式，教师要鼓励和引导学生去猜，千万不要制止，哪怕是不合理的猜测，更不要把全部的秘密立即说出来，由学生自己猜测出来不仅可以开阔他们的证题的思路，而且对培养学生探究以及深究问题能力有很大的帮助。

《一题多解与一题多变在中学数学中的应用开题报告2000字》

一题多解和一题多变是数学中经常遇到的问题，学生通过自己的思考和研究，对于一道问题进行多种解答，从而在其中找到最优的解决方法，在解决问题的过程中，体验学习的乐趣，从而感受到自己学习的主体地位，意识到自己在学习中的创造和自学能力，这样能使学生大大的提高学习数学的信心，在无形中提高了学生的发散性思维。通过一题多解和一题多变的训练，让学生从各个方面进行反复的思考，从中联想各个知识点的联系，让其融会贯通，找出最简洁、最优化的解题思路。
[4] 黄跃惠. 一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用[J]. 试题与研究：高考版, 2019(28):1.
[5] 宫代印. 浅谈"一题多解"和"一题多变"在高中数学教学中的应用[J]. 试题与研究：教学论坛, 2019(2):1.
[6] 王菊香. 一题多变和多解成就智慧课堂[J]. 考试周刊, 2019(87):2.
[13] 江猷敏. "一题多解和一题多变"在培养学生数学思维能力的应用策略探析[J]. 考试周刊, 2020(66).
[14] 章勇. "一题多解"与"一题多变"在培养学生思维能力中的应用[J]. 新教育时代电子杂志（学生版）, 2020(24):2.
八．指导教师意见
指导教师签字：
年月日
九．系意见
系主任签字：
年月日
十．学院毕业论文（设计）工作领导小组意见
负责人签字：
年月日
[7] 颜天伦. 初中数学教学中"一题多变","一题多解"渗透[J]. 中学课程辅导:教学研究, 2019.
[8] 张海玲. 谈利用"一题多解与一题多变"培养学生的思维能力[J]. 新智慧, 2021(6):2.

一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用

一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用以《一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用》为标题，写一篇3000字的中文文章近年来，数学教学在中国初中教育中发挥着重要作用，也受到了社会的重视与认可。

随着教育理念的发展，数学教育便出现了“以题为本”的全新概念，由“题海”演变为“题山”，因此“一题多解”和“一题多变”在初中数学教学中有着不可替代的作用。

“一题多解”是指一道题可以用多种不同的方法来解决，甚至是完全不同的答案，这也就有利于学生提升综合运用与多种解题思路的能力。

在初中数学的教学中，可以用多种不同的方法来解答同一题目。

比如《上初三数学课本》中的第四十八题，是一道求混合比的问题，可以用法则公式或者解一元二次方程的方法来解答，不仅能够让学生拓宽视野，同时也能够让学生学会主动思考，激发学生的学习兴趣，提高学习效率。

而“一题多变”则是指针对同一道题目，改变条件及参数，重复解决同一问题。

这样可以最大程度拓展学生的知识面，丰富学生的思维水平，培养学生解决类似问题的能力。

比如，《初中数学》中的第八九题，是一道有关直线正比的问题，可以令学生用多种参数来解决，不仅可以练习学生的数学推理能力，同时也能让学生熟悉这一数学思想，增强学生的计算能力及总结能力。

此外，教师在课堂上利用“一题多解”和“一题多变”的方法，还可以帮助学生构建解决问题的思路与方法，培养学生的解题能力，建立正确的逻辑思维。

比如，教师可以找出容易解决的简单题，然后根据学生的反应，多给予一些提示和建议，教师可以把解题思维分步拆解，起到指导的作用，帮助学生进行解题构思。

“一题多解”和“一题多变”在初中数学教学中发挥着重要的作用，它不仅可以帮助学生学会独立思考，克服思维定式，同时也可以帮助学生增强解题能力，提高解决实际问题的能力。

针对”一题多解“和”一题多变”，教师应该重视不同学生在学习上的经验和特点，加大课堂上的实践性教学，激发学生的积极性，实现数学教学的质量提升。

初中数学“一题多解与一题多变”教学研究

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０８初中数学一题多解与一题多变教学研究初中数学一题多解与一题多变教学研究Һ陈㊀斌㊀（昆山市新镇中学，江苏㊀苏州㊀２１５３００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解与一题多变是数学教师所要关注的重要内容，这两种解题训练模式的构建可以突破原有解题教学的结构，帮助学生更加深入地认识数学习题的解题方法，这对其解题能力的提升与发展有着重要的意义．为了构建一题多解与一题多变教学课堂，教师需要对其价值进行分析研究，再从实际教学的开展出发探寻有效教学设计的方法，对初中数学一题多解与一题多变教学的开展方法进行探究．ʌ关键词ɔ初中数学；一题多解；一题多变；教学研究数学是初中阶段学生所要学习的重要学科，在中考中占有重要的分数比例，为了帮助学生成功通过中考的考验，教师需要从实际出发进行数学习题的筛选，引领学生进行一题多解的研究，带领学生思考解题的多种方法，再通过习题变形设计的研究，来设计变式问题，以此推动学生的解题思考，发展学生的解题能力．在实际教学中，教师可以围绕解析原题结构㊁融合数学思想㊁设置多解训练㊁构建多变训练㊁引领学生归纳五个方面来开展教学．一㊁一题多解与一题多变的价值分析一题多解是多元解题方法的显现，其可以让学生针对一道习题进行多种解题方法的思考．一般而言，每一种解题方法都印证着一条不同的解题思路．多解题的展示与引导解析，可以帮助学生了解习题的解法与其背后隐含的解题思维，进而开阔学生的解题视野，提升学生的思维灵活度，对学生的发展有着重要的意义．一题多变是变式思想的显现，在一题多变的训练设计中，教师将选取典型的习题作为原式，通过题目条件调整㊁问题新拟㊁题目信息倒置等方法将原本的习题转化为多道表现形式不同的习题．此时，教师就可以从习题的不同特征出发引领学生进行训练，并发展学生的解题能力．在这一类习题的解题中，教师可以引导学生对习题的特征进行归纳，并围绕习题的快速解答进行建模设计，构建合理化的解题模型．二㊁一题多解与一题多变教学的开展方法（一）解析原题结构，分析习题特征原题的解析与研究是帮助学生进行一题多解或一题多变的基础，教师要展示原题，帮助学生认识原题的突出特点，并引领学生深入解析原题．在实际的展示过程中，教师需要利用课前时间进行检索，搜集教学展示所需的习题，并在课上对习题进行展现，重点围绕习题的考查点进行分析，解析相关习题解答需要的条件．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下原题：例题㊀两个连续奇数的积是３２３，求出这两个数．分析㊀通过研究可以发现，习题考查的内容为一元二次方程的应用，习题的解题关键是条件中给出的描述语两个连续奇数的积是３２３．学生可以从一元二次方程的不同未知数设列出发得出多种不同的解法．其中，教师可以为学生展示将较小的奇数设为ｘ将较大的奇数设为ｘ将ｘ设为任意整数将两个连续奇数设为ｘ－１和ｘ＋１，这四种设列方法可以对应四种不同的解题方法．四种解题方法看似都是对一元二次方程的应用，但其切入思考的角度存在差异．通过这一展示，教师便可以引导学生对题目进行系统的认识与理解，为之后一题多解和一题多变的思索研究做好铺垫．为了让学生了解一题多变的意义，使其了解相关题目的特点，教师可以选择原题进行调整，构建一些简单的变式题．在变式题的设计上，针对该习题，教师通过调整问法的形式即可生成多个变式，如教师可以将习题改制为两个连续奇数的积是３９９，求出这两个数，通过调整题干的数字大小来实现对题目的简单变更，让学生进行解答．教师也可以将习题改制为两个连续偶数的积是４４０，求出这两个数，通过题目条件的对应变更，生成与原题相似的变式题．在完成变式题的设计后，教师可将其展示给学生，让学生就变式题与原题的差别进行分析，使其探析题目发生的变化．（二）融合数学思想，研究解题方法解题方法的掌握与否直接关系到学生解题能力的发展，教师要关注一题多解的教学，从解题方法的内涵思想入手进行解析，让学生联系解题方法进行分析，找出方法中隐含的解题理念．在实际教学中，一题多解的研究需要教师为学生创建相应空间，帮助学生探寻解答题目的多种解法．在实际教学中，教师要从学生的发展出发选择适于学生进行多解探究的例题，并结合问题的解法分析进行多方面㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０８展示．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下习题，引导学生从习题的特点出发来研究相关题目的多种解法：例题㊀某人买１３个鸡蛋㊁５个鸭蛋㊁９个鹅蛋，共用去９．２５元；若买２个鸡蛋，４个鸭蛋，３个鹅蛋，则会用３．２０元，若每种蛋只买一个，需要用多少钱？分析㊀通过简要分析可以得出该题目考查的是三元一次方程组的内容，但由于题目中只提供了两组等量关系，因此若想分别求出三种蛋的单价是不现实的，但题目所求的内容为三种蛋的共价，所以可以通过式子的变形来求解．在明确了这一思路后，学生就可以围绕学过的数学方法选择方向，寻找有效列式解答的方法．方法一㊀凑整法解：设鸡㊁鸭㊁鹅三种蛋的单价分别为ｘ元㊁ｙ元㊁ｚ元，根据题意可以列出一个由两个式子组成的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{通过将方程式相加化简的方式可以得到新式子，①＋②３：５ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝４．１５㊀③将②和③相加可以得到７ｘ＋７ｙ＋７ｚ＝７．３５，化简可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，这一方法应用了化归的数学思想，利用这一思想可以转换与调整题目的条件，让算式简化，从而得出可以计算解答的式子．在讲授这一解题方法时，教师要注意开展数学思想的拓展活动，让学生了解化归思想及其在解题中的实际应用．方法二㊀主元法这一方法是对函数方程思想与化归思想的融合运用，其核心在于将方程的三个未知数进行区别看待，将ｘ，ｙ作为未知数处理，将ｚ视为一个常数，以此对方程变形：通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{此时视ｘ，ｙ为主未知数，ｚ为常数，使用移项代数的方法可以得到ｘ＝０．５－０．５ｚ，ｙ＝０．５５－０．５ｚ，此时，ｘ＋ｙ＋ｚ＝（０．５－０．５ｚ）＋（０．５５－０．５ｚ）＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，主元法实质上是对函数与方程的运用，选择适当的字母作为主元可以起到化难为易的作用．在上述习题解答中所使用的主元法，其特征是将未知数进行区别看待，形成一个特殊的数学关系，符合方程思想的构成要求，即从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程（组）㊁不等式（组）㊁或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．在实际教学中，教师要为学生解读函数方程思想的构成，并展现函数方程思想在常见问题中的运用实例．方法三㊀参数法通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{再设ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ，此时可以得到新的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ㊀③ìîíïïï观察式子之间的关系，得①－②ˑ３可以消去ｚ，再化简可得ｘ－ｙ＝－０．０５㊀④③ˑ３－②可以得到ｘ－ｙ＝３ｋ－３．２０㊀⑤此时通过式子④和⑤可以得到３ｋ－３．２０＝－０．０５，所以ｋ＝１．０５，此时可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．解析㊀上述三种方法对应了三种解题思路，而每一种解题思路还可以延伸出新的解题方法，限于篇幅此处不再赘述，教师在进行解析教学时，可以让学生尝试着寻找额外的习题解答方法．参数法是指在解题过程中通过引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），再进行分析和综合，从而解决问题的方法．这一方法从数学思想的角度来看，其同样运用了化归的数学思想，通过参数的引入，用参数代指一部分数学量，从而将算式转换为有利于解答的形式，从而实现有效解答．通过上述三种解题方法与其对应数学思想的解读，学生就可以在不同解法的研究中认识数学思想的拓展应用价值，获得解题意识和认知的提升．为了发展学生的解题能力，让一题多解真正发挥作用，教师还需要为学生设计针对性的练习，用练习推动学生解题能力的提高与发展．（三）设置多解训练，推动学生探究一题多解的训练其目的在于帮助学生认识多种解题方法，从解题方法的探究入手，带领学生认识数学习题解答的多种思想．在实际教学中，教师要考虑学生的发展情况，选取难度合理且解法较多的习题进行展示，构建有效的多解训练，帮助学生学习解答问题的多种解法．如，在实际教学中，教师便可以给学生展示如下习题：练习题１㊀已知ａ，ｂ满足ａｂ＝１，那么１ａ２＋１＋１ｂ２＋１＝．练习题２㊀已知ｘ＋ｙ＝１，求ｘ３＋ｙ３＋３ｘｙ的值．㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０８练习题３㊀甲㊁乙㊁丙三种货物，若甲３件㊁乙７件㊁丙１件共需３．１５元；若甲４件㊁乙１０件㊁丙１件共需４．２０元．请问：买甲㊁乙㊁丙各一件需要多少钱？在展示了上述练习题后，教师需要引导学生解答题目，并要求每名学生至少找出两种解法．在这一环节，为了渗透分层理念，教师可以要求发展较好的学生最少找出３种解题方法，并要求其对解题方法的思路进行整理分析，以便在班级中进行汇报与展示．在学生实际解题过程中，教师要关注学生的解题情况，分析学生的思维拓展能力发展情况，并借助引导性的语言对学生进行点拨，推动学生主动思考．（四）构建多变训练，促进学生拓展一题多变的训练需要教师秉持万变不离其宗的核心思想，对习题的题干信息㊁提问方式㊁条件构成进行调整，并从学生的实际解答出发来引领学生分析相关的变式题组．在学生解答前，教师需要围绕解题模型的建立与公共解题思路的明确来提出问题，引导学生在解答问题的同时进行思考．为确保变式题具有较高的质量，教师在设计变式题时要从原式的各个角度思考延伸，选择不同的方向来设置对应的题目．如，在实际教学中，教师便可以展示如下习题：原式㊀依次连接任意四边形各边中点所得的四边形可称为中点四边形．求证平行四边形的中点四边形是平行四边形．变式一㊀按照原式所给条件，求证矩形的中点四边形是菱形．变式二㊀按照原式所给条件，求证正方形的中点四边形是正方形．变式三㊀一个四边形的中点四边形是平行四边形，请问这个四边形可能是什么图形？原式㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式一㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由２０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式二㊀一个宽为１００ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式三㊀一个宽为５０ｃｍ㊁长为１００ｃｍ的长方形图案由８个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．在实际教学中，教师在给出变式练习后，要引导学生对相关的题目进行分析㊁求解．在学生解答的过程中，教师要关注学生的解题情况，并予以帮助与引导，让学生总结各个变式题与原题的不同之处．对于学生给出的答案，教师要认真判定，并引导学生回顾与整理．在学生完成变式题的解答后，教师可以引导学生进行拓展思考，让其尝试着对原式进行变形，然后采用同桌互换的方式来完成相关习题的解答．在这一过程中，学生的思维会变得更为开阔，其创造能力也能得到培养与发展．（五）引领学生归纳，培养模型意识模型意识与能力是数学核心素养的关键构成，新课标强调对学生数学核心素养的培养．模型意识与能力的培养关系到学生解题能力的发展，具有较强建模能力的学生可以更好地实现一类习题的解答．为了培养学生的模型意识与能力，教师可以引导学生对一题多变习题进行分析思考，让其对比原式与变式题，逐一分析其差异，对相关习题进行二次分类．在分类完成后，教师可以引导学生对一类习题的解题方法进行系统总结与整理，构建解答相关题目的有效数学模型．如，在实际教学中，教师便可以依托一题多变教学的进行，引领学生对数学一题多变习题的原式与变式题进行归纳，从公共解答思路中总结出解题的通用方法，建立解题模型．在这一过程中，为了发挥学生群体的主动性，让其进行协作探究，教师可以从学生发展入手划分学生小组，并布置针对性的探究任务，让其合作完成整理探究任务．学生在探究思考中，其能力可以得到逐步的提升与发展．结㊀语综上所述，一题多解与一题多变是开展数学解题教学的一种有效模式．通过解题教学的进行，教师可以帮助学生实现解题理念的发展，有效地推动其解题能力水平的提升．在实际的教学中，教师需要进行习题的解析研究，从解题方法的多元介绍与习题的变式展示两个方面进行系统构建，帮助学生认识并掌握相关习题的有效解答方法．在学生了解了相关的内容后，教师还要依托教学的进行，推动学生进行归纳，发展并培养其模型意识．ʌ参考文献ɔ［１］黄跃惠．一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用［Ｊ］．试题与研究，２０１９（２８）：１４５．［２］王茁力．初中数学一题多解的教学价值［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１８（Ｚ３）：９９－１００．［３］罗春梅．一题多解与一题多变在初中数学教学中的应用以‘人教版九年级上册第二十四章圆中两道习题“为例［Ｊ］．散文百家，２０１９（０１）：１６２．［４］秦小刚．初中数学一题多解教学策略分析［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２１（０１）：２１．［５］张秀霞．一题多解与一题多变在人教版初中数学教学中的应用［Ｊ］．智力，２０２０（１０）：５０－５１．。

“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用练芳宙

“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用练芳宙发布时间：2021-09-29T00:58:37.125Z 来源：《现代中小学教育》2021年9月上作者：练芳宙[导读] 数学教学要注重培养学生的数学思维能力，而根据数学教学过程中的反馈也可以得知“一题多解与一题多变”思维对于培养学生的数学思维能力，建立学生的思维空间以及发散学生的数学思维等方面具有重要的作用。

浙江省杭州市建德市航头初级中学练芳宙摘要：数学教学要注重培养学生的数学思维能力，而根据数学教学过程中的反馈也可以得知“一题多解与一题多变”思维对于培养学生的数学思维能力，建立学生的思维空间以及发散学生的数学思维等方面具有重要的作用。

在数学教学过程中也可以发现，以一些常见的习题求解与分析过程为例，通过对于同一道题目分析和寻找出不同的解答方式，能够帮助学生加强知识点之间的联系，增加数学知识学习的有效性。

那么这也就要求初中数学教师在教学环节当中，就需要注重将这种思维运用，以及渗透到数学课堂中，帮助学生逐渐建立这种数学学习思维。

而笔者也将针对于该种教学方式，在学科当中的渗透展开相关探讨。

关键词：初中数学；一题多解；一题多变；提高效果；加快思维转变；加强知识联系；提高解题效果；增强思考水平随着近几年来素质教育在教育过程中的不断渗透，培养学生一题多解的能力也是教学要求。

不仅要求学生进行概念知识点的掌握，更加要求学生在学习概念知识基础上，加强知识点之间的联系，学会从多角度多方面解决这些问题。

一题多解让学生学会从不同的方位以及角度去分析题目。

而一题多变则是通过题目设题变化出的新问题让学生对知识的理解更深刻，体现出思维的可创性。

而且在课堂中让学生学会从不同的角度，从不同的方向去看待问题，也是为了能够帮助学生，在学习数学知识内容时可以建立自身的思维形式，提高学生数学学习的综合能力。

经过教师的合理设置和数学课堂的趣味开展，学生不仅能够借助一题多解建立起良好的数学知识应用能力，也将借助一题多变的探究和分析实现数学素养的建立和健全。

初中数学一题多变的教案

初中数学一题多变的教案教学目标：1. 理解一题多变的含义，学会从不同角度思考问题。

2. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

3. 提高学生的数学解题技巧和解决问题的能力。

教学内容：1. 一题多变的定义和意义。

2. 一题多变的解题策略。

3. 实际例题讲解和练习。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾学过的数学知识，让学生思考一下自己遇到过哪些题目有多个解法。

2. 提问：什么是数学的一题多变？一题多变的意义在哪里？二、讲解一题多变的定义和意义（15分钟）1. 解释一题多变的含义：一题多变指的是一个数学题目可以通过不同的角度、不同的方法得到多个解法。

2. 讲解一题多变的意义：一题多变能够培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高学生的数学解题技巧和解决问题的能力。

三、讲解一题多变的解题策略（15分钟）1. 分析题目：在解题前，先分析题目的要求和条件，确定解题的方向。

2. 尝试不同的解法：在解题过程中，尝试从不同的角度和方法去解决问题，找到多个解法。

3. 比较和筛选：比较各个解法的优缺点，选择最合适的解法。

四、实际例题讲解和练习（15分钟）1. 给出一个实际例题，让学生独立思考和解答。

2. 引导学生尝试不同的解法，讨论并找出多个解法。

3. 对每个解法进行讲解和分析，让学生理解并掌握。

4. 给出几个类似题目，让学生进行练习和巩固。

五、总结和反思（5分钟）1. 让学生总结一下自己在解题过程中的收获和体会。

2. 引导学生反思一下自己在解题中遇到的问题和困难，思考如何解决。

教学评价：1. 学生能够理解一题多变的含义和意义。

2. 学生能够运用一题多变的解题策略解决问题。

3. 学生在练习中能够灵活运用一题多变的解法。

教学反思：在教学过程中，要注意引导学生从不同的角度思考问题，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

同时，要关注学生在解题过程中的困难和问题，及时进行指导和帮助。

在练习中，要鼓励学生尝试不同的解法，培养学生的解题技巧和解决问题的能力。

一题多解和一题多变在数学教学中的运用探讨

一题多解和一题多变在数学教学中的运用探讨作者：黄廉春来源：《少男少女·教育管理》2018年第08期摘要：文章从一题多解和一题多变这两种常用的有效教学方法出发，分析了一题多解和一题多变的教学方法产生的前提与作用，以及列举了如何巧妙地选择典型例题，实现一题多解和一题多变的教学方法的交互运用，摸索新课程改革背景下如何利用一题多解与一题多变的教学方法发展学生的思维，实现与高中数学课程的整合，以达到最佳的教学效果。

关键词：中学数学；一题多解；一题多变；运用策略教师在平时的教学中要有意识地激发学生思维的创造性、灵活性，使学生在积极主动的状态下探索，为学生的思维发散提供情景、条件和机会，启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法解决同一个数学问题，或改变题目的条件与问题形成相关题型，从而锻炼学生思维的灵活性，培养学生的开拓性和创造性。

进行一题多解和一题多变的训练，是培养学生思维的敏捷性，提高学生的变通能力与综合运用数学知识的行之有效的方法，能促进学生智能和思维的发展，起到意想不到的教学效果。

一、开展一题多解和一题多变教学所需的条件任何一种教学方法的实施与应用都离不开一定的前提条件，下面就谈谈实现一题多解和一题多变的教学所要具备的条件。

（一）健全的知识结构是一题多解和一题多变的基础一题多解与一题多变的根基在于全面、系统、准确、透彻地理解和掌握数学基础知识、基本技能、基本原理和方法。

真正掌握了数学知识的学生就能将所学的知识内化成知识点、知识线、知识面有机结合的自我知识结构，就能使所学知识具有稳固性、迁移性和灵活性，就能从知识结构的网络上找到具体的知识点以及相关的知识线、知识面，从而得出不同的解题策略。

只要知识结构中有一项残缺、断链，则解题过程必然中断，无法使思维触角伸向不同的方向。

（二）灵活的思维是一题多解和一题多变的关键问题的解决过程是活跃的、敏捷的思维运动过程。

实践表明，思维习惯好、思维品质佳的学生，一题多解和变式联想的能力就强。

“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-最新文档

“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。

所谓“一题多解”，就是尽可能用多种例外方法去解决同一道题，更严重的是可以培养学生的思考能力和创造能力。

所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。

一、利用一题多解训练学生的思维能力发散思维是从同一来源材料中探求例外答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。

通过一题多解，引导学生就例外的角度、例外的观点审视分析同一题中的数量关系，用例外解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的熟练运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。

二、利用一题多变培养学生的广漠思维提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的严重教学手段。

通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。

在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。

即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。

这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广漠性和深刻性，从而培养创新思维的品质。

三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变（一）在例题讲解中运用一题多解一题多解，一道数学题，因思考的角度例外可得到多种例外的思路，广漠寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。

一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种多见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

浅谈数学中的一题多解与一题多变

浅谈数学中的一题多解与一题多变发表时间：2019-12-13T18:03:02.603Z 来源：《中小学教育》2020年第392期作者：董利杰[导读] 新课程标准明确指出, 课堂教学要突出学生的主体地位, 考虑学生的身心发展规律。

山东省淄博市临淄区边河中学255400摘要：新课程标准明确指出, 课堂教学要突出学生的主体地位, 考虑学生的身心发展规律。

在数学教学中采用一题多解与一题多变的思想方法, 一题多解与一题多变的变式在教学之中, 往往起到一座桥的作用, 在最近发展区能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸, 有利于学生提高解决综合问题的能力。

关键词：数学一题多解一题多变数学, 是一门自然学科, 同时也是一门逻辑性很强的学科，所以学好数学, 对于大多数学生是很难的一件事。

大多数学生认为数学枯燥、乏味，对数学学习提不起兴趣。

“如何帮助学生学好数学? ”便成了教师们的首要任务。

数学题是做不完的, 因此我们要采用巧妙的方法解决这个问题。

我认为要使学生学好数学, 要从提高学生学习能力和学习兴趣两方面着手。

在数学教学过程中, 通过利用一切条件, 采取一题多解与一题多变的形式进行教学, 这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性是一种很好的方法。

在赵振威著的文献[1]中, 详细地讲解了学好数学要采用一题多解与一题多变的思想方法；在文献[2]、[3]中作者讲解了一题多解在初、高中数学的运用；文献[4]说明了在高中数学教学中要充分利用课本上的例题和习题展开一题多解与一题多变的教学。

由此可见, 在数学教学中采用一题多解与一题多变的思想方法是很重要的。

那么, 下面就教学中如何运用“一题多解”与“一题多变”两个方面展开谈谈。

一、一题多解1.何为一题多解一题多解, 就是引导和启发学生运用不同的方法, 从不同角度、不同思路, 解答同一道数学问题。

用多种解法解答同一道数学题, 就是要充分运用学过的基础知识调动一切解题手段, 从各个不同的角度去探索解题途径。

初中平面几何一题多变(可编辑修改word版)

平面几何一题多变在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。

19、（增加题1 的条件）AE 平分∠BAC 交BC 于E，求证：CE：EB=CD：CB20、（增加题1 的条件）CE 平分∠BCD，AF 平分∠BAC 交BC 于F求证：（1）BF·CE= BE·DF（2）AE⊥CF（3）设AE 与CD 交于Q，则FQ‖BC21、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，以CD 为直径的圆交AC、BC 于E、F，求证：CE：BC=CF：AC（注意本题和16 题有无联系）22、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，以AD 为直径的圆交AC 于E，以BD 为直径的圆交BC 于F，求证：EF 是⊙O1 和⊙O2 的一条外公切线23、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，作以AC 为直径的圆O1，和以CD 为弦的圆O2，求证：点A 到圆O2 的切线长和AC 相等（AT=AC）24、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，E 为ACD 的中点，连ED 并延长交CB 的延长线于F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，⊙O1 与⊙O2 外切与点D，内公切线DO 交外公切线EF 于点O，求证：OD 是两圆半径的比例中项。

题14 解答：因为CD^2=AD·DBAC^2=AD·ABBC^2=BD·AB所以1/AC^2+1/BC^2=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）=（AD+DB）/（AD·BD·AB）=AB/AD·BD·AB=1/AD·BD=1/CD^215 题解答：因为M 为AB 的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB=(AD-DB)AB=2DM*AB26、（在19 题基础上增加一条平行线）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BAC 交BC 于E、交CD 于F，FG‖AB 交BC 于点G，求证：CE=BG27、（在19 题基础上增加一条平行线）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BAC 交BC 于E、交CD 于F，FG‖BC 交AB 于点G，连结EG，求证：四边形CEGF 是菱形28、（对19 题增加一个结论）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BAC 交BC 于E、交CD 于F，求证：CE=CF29、（在23 题中去掉一个圆）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，作以AC 为直径的圆O1，求证：过点D 的圆O1 的切线平分BC30、（在19 题中增加一个圆）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BAC 交BC 于E，交CD 于F，求证：⊙CED 平分线段AF31、（在题1 中增加一个条件）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，∠A=30 度，求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第117 页第3 题）32、（在18 题基础上增加一条直线）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，作∠BCE=∠BCDP 为AC 上任意一点，直线PQ 交CD 于Q，交CB 于M，交CE 于N求证：PQ/PN=QM/MN32 题证明：作NS‖CD 交直线AC 与点S，则PQ/PN=CQ/SN又∠BCE=∠BCD∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）∠BCE+∠NCS=∠BCD +∠ACDNS‖CD，∴∠NSC=∠ACD∴∠NSC=∠NCS∴SN=CN∴PQ/PN=QM/MN题33在“题一中”，延长CB 到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DE·AB= AE·BE题33 证明CB^2= BD·AB因EB=CB∴EB^2= BD·AB∴EB：BD=AB：BE又∠EBD=∠ABE∴△EBD∽△ABE∴EB：AB=DE：AE∴DE·AB= AE·BE题34（在19 题基础上增加一条垂线）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分CD 于F，EG⊥AB 交AB 于点G，求证：EG^2= BE·EC证明：延长AC、GE，设交点为H，∴△EBG∽△EHC∴EB：EH=EG：EC∴EH·EG= BE·EC又HG‖CD，CF=FD∴EH=EG∴EG^2= BE·EC题35（在题19 中增加点F）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BCA 交BC 于点E，交CD 于F，求证：2CF·FD = AF·EF题36、（在题16 中，减弱条件，删除∠ACB=90 度这个条件）已知，△ABC 中，CD⊥AB，D 为垂足，DE⊥AC 于E，DF⊥BC 于F，求证：CE/BC=CF/AC题37（在题17 中，删除∠ACB=90 度和CD⊥AB，D 为垂足这两个条件，增加D 是AB 上一点，满足∠ACD=∠ABC）已知，△ABC 中，D 是AB 上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE 平分∠BCD求证：AE^2= AD·AB题38已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，PC 为⊙ABC 的切线求证：PA/AD=PB/BD题39（在题19 中点E“该为E 为BC 上任意一点”）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，E 为BC 上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F 为垂足，连结DF，求证：△ADF∽△AEB题40：已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足求证：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB题41已知，如图，△ABC 中，CD⊥AB，D 为垂足，且AD/CD=CD/BD，求∠ACB 的度数。

拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解

拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解初三数学总复习是大家所关注的重要问题,确立复习的指导思想,选择正确的复习方法,使学生在毕业前把基础知识系统化,对所学教学内容有一个较全面的认识,并且得到综合和提高,以便为升学考试打好基础.在复习时间紧、内容多、任务重的情况下,选择典型题目进行精讲精练,探索研究揭示规律,训练解题技巧,以拓展学生思维,达到举一反三之功效,使知识融会贯通.因此,在复习解题中,应做到三个“一”,即一题多变,多题一解,一题多解.下面就举例说明.一、一题多变对培养学生分析问题和解决问题的能力,提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力都是十分有效的如:农机厂职工距工厂15千米的农村检修农机,一部分人骑自行车先走40分钟后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是自行车的3倍,求两种车的速度.分析:设自行车的速度是x千米/时,则汽车的速度是3x千米/时,速度、时间、路程三者间的关系如下表:■因为汽车晚开出40分钟(即■小时),与自行车同时到达,说明行驶15千米,汽车比自行车少用■小时,即有如下等量关系:汽车所用时间=自行车所用时间-■小时于是得■=■-■,此题可变换成如下题目:变换1:若把条件中“他们同时到达”分别变换成如下条件:(1)汽车比自行车早到10分钟;(2)汽车到达时,自行车距目的地2千米.则可根据时间关系列出方程:设自行车速度是x千米/时,有:(1)■=■-■-■;(2)■=■-■.变换2:若把条件“汽车速度是自行车的3倍”,分别作如下变换:(1)已知汽车的速度是自行车的3倍多0.5千米;(2)汽车与自行车相同路程所用时间比为1∶3,则可列出方程:设自行车速度为x千米/时,有:(1)■=■-■;(2)■=■-■.变换3:农机厂职工骑自行车到距工厂15千米的农村检修农机.(1)行车5千米后,因有人车坏,因而以比原速度少1千米/时的速度骑行,结果比原计划晚15分钟到达;(2)行车5千米后,以后以速度的1.2倍骑行,因而比原计划早20分钟到达;(3)在回来的路中,用原速度行了半小时后,因事停留半小时,以后每小时多骑2千米,结果往来时间一样.分别求骑自行车原来的速度.设自行车原来的速度为x千米/时,则可列出相应的方程:(1)■=■+■;(2)■=■-■;(3)■=■-■.以上一组题都是同向而行,也可变换成异向而行,此时,只要掌握异向、相向而行与同向而行的区别,仍可按时间关系列出方程.又如:已知:如图1,点c为线段ab上一点,△acm,△cbn是等边三角形.求证:an=bm.■分析:为证结论,首先可按题中条件画出图形,让学生从直观上比较an与bm的大小关系,然后给予证明.证明:由∠acm=∠bcn得∠acn=∠bcm,又ac=mc,bc=nc,故△can≌△mcb,从而an=bm.此题可作如下变换:变换1:设an、bm交于d点,试求∠adb的度数.分析:根据三角形外角的性质和全等三角形的对应角相等,可得∠adb=120°.变换2:若an交cm于e,bm交cn于f,求证ce=cf.分析:△cen≌△cfb不难得出ce=cf.变换3:若连结ef,试证fe∥ab.分析:由ce与cf的关系和∠ecf为60°,可知△ecf是等边三角形,进而可得ef∥ab.变换4:若an的中点为p,bm的中点为q,试证:cp=cq.分析:因为cp是△can的一边an上的中线,而cq是△mcb的一边bm上的中线,又△acn≌△mcb,全等三角形对应边上的中线相等,故cp=cq.变换5:如图2,点c为线段ab上一点,且ac∶cb=2∶1,△acm、△cbn是等边三角形,连结mn,试证mn⊥cn.■分析:利用已知条件,ac∶cb=2∶1,再取ac中点h,连结mh,显然mh为等边△acm的中线,故可知mh⊥ac,由全等三角形判定定理(sas)可得△mcn≌△mch,故mn⊥cn.变换6:如图3,若ac=3,cb=1,试计算△cef的面积.■分析:仍从条件ac∶cb=3∶1入手,不难发现ec∥nb,故有ce∶bn=ac∶ab,即ce∶1=3∶4,解得ce=■,因为△cef为等边三角形,用勾股定理,可迅速求得s△cef=■.对这道几何题,从各个方面进行变换,对提高学生的思维能力大有裨益.下面一组题是利用图形位置的变化进行变换的,变换后的题与原题证法完全相似.例.如图4,在正方形abcd中,ae⊥bf,求证:ae=bf.■本题利用全等三角形的知识不难给出证明,若将bf平移,则有: 变换1:如图5,在正方形abcd中,ae⊥mn,求证:ae=mn.■若再将ae作类似的平移,即有:变换2:如图6,在正方形abcd中,若mn⊥gh,求证:mn=gh.■这两个变题,只需利用平行的有关知识,作出如各自图中所示的辅助线,即可仿照原题给出证明.本题还可给出下列变式:变换3:点h在正方形的一边上,将纸片折叠,使点h正好与所在边的对边上一点g重合,若折痕长10cm,试求hg的长度.在几何教学中,使用从一些基本题出发变换的相关题组,可帮助学生在解题过程中掌握知识间的联系,培养良好的思维习惯,提高解题效率.二、多题一解能训练学生的集中思维,揭示各方面知识的内在联系和规律,从而加深对各方面知识的理解和应用,使知识融会贯通如:如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为2∶3,求证6b2=25ac.本题有多种证法,这里从略.若将两根之比推广到一般,即有命题:如果一元二次方程的两根之比为m∶n,求证mnb2=(m+n)2ac.证明:设已知方程的两根分别为mk、nk,则mk+nk=-■,mk·nk=■(m+n)k=-■,①mnk2=■②若m+n=0,则b=0,等式仍然成立;若m+n≠0,则由①得:k=-■,③将③代入②中,消去k,得:mn-■2=■.所以mnb2=(m+n)2ac,综上可知,命题成立.特别地,若m=n,这个等式就是b2=4ac,与方程有等根的条件一致. 利用此结论,解某些与一元二次方程两根之比有关的问题非常简单。

“一题多解、多变”练思维 “多解、多题归一”悟本质

文/王永坚近年来，在初中数学教学实践中，围绕着培养学生的创造性思维能力问题，已作出了许多有益的探索。

系统论指出：整体功能大于部分功能之和。

它的启示是：在数学教学中，如果能以某一主题为中心，注意把“一题多解”、“一题多变”、“多解归一”、“多题归一”等方法组成一个互相联系互相作用的综合整体，更有助于加深对知识的巩固与深化，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性、变通性和创新性。

一、一题多解，激活学生思维的发散性一题多解，培养学生求异创新的发散性思维。

通过一题多解的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路。

例1：有两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米。

如果把这两个长方体改拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是多少？【解法1】30-30÷6+30÷6×2=30-5+10=35（平方厘米）。

或：30+30÷6×（2-1）=30+5=35（平方厘米）。

【解法2】30+30÷6=30+5=35（平方厘米）。

【解法3】30÷6×（6+1）=30÷6×7=35（平方厘米）。

【评注】比较以上三种解法，解法2和解法3是本题较好的解法。

在数学解题过程中，可以通过“一题多解”训练拓宽自己的思路，在遇到新的问题时能顺利挖掘出新旧知识间的相互关系和内在联系，培养求异思维，使自己的思维具有流畅性。

二、一题多变，激励学生思维的变通性一题多变，培养学生思维的应变性。

把习题通过条件变换、因果变换等，使之变为更多的有价值、有新意的新问题，使更多的知识得到应用，从而获得“一题多练”、“一题多得”的效果。

这种习题，有助于启发引导学生分析比较其异同点，抓住问题的实质，加深对本质特征的认识，从而更好地区分事物的各种因素，形成正确的认识，进而更深刻地理解所学知识，促进和增强学生思维的深刻性。