数学竞赛辅导专题1—关于n项和或积的极限(15页

补充定理：施笃兹（Stolz）定理

[注] 施笃兹定理被称作数列极限的洛必达法则.

拆项相消

[练习] 1. 设),( 1211211111+

∈++++=+++++N n x n n .lim n n x ∞

→求[提示]),(211

1)

1(2211+++++-=

=

n n n n n

)(2

51225∞→→-=+n n n x 故 2. 求)1()1)(1(lim 2221

3121n

n ---

∞

→ [提示].

21 ;111

2

1=+-⋅=

-

原式n n n n n

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3. 求)(lim 42

224224221211n n n n

n +++++++∞→ [分析] 先将分子加在一起后再计算

)

21211 2

22222n +++++++ （）（由于∑=+++=n

k k 12

2

2

)21( ∑=++=n

k k k k 1

)

12)(1(61∑=++=n k k k k 123)32(61∑∑∑===++=n

k n k n k k

k k 1

12

13612131)1()12)(1()]1([2161612121312

++++++=⋅⋅n n n n n n n )]

1()12)(1()1([2

2121++++++=n n n n n n n .

121

=原式故[注] 解题时常用以下公式

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该方法不具有一般性，但可以作为一种方法积累.

夹逼准则

[思路分析] 若证得0lim 2=∞

→n

n x 则必有0lim =∞→n n x 两边同乘以 x n

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[练习].求下列极限：

n n

m

n n n m a a a a a a +++>∞

→ 2121lim ,0,,, .1求设},,,max{21m a a a M =记[提示]则

M

n M M a a a M M n n

n

n

n

n m

n n

n

n

⋅=+<+++<= 2

1

n n n

1

sin 21sin 1sin lim .2+++∞→ ∑=∞

→+n

k n k

n k 12

lim .3∑=∞

→+n

k n k

n k

122

lim .4[提示] 同上（是上题的特例）

[提示] 夹逼准则

[提示] 化为定积分

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例3. 设),,2,1( )1()1)(1)(1(22

1

1614121 =++++=n x n n .

lim n n x ∞→求)

(2 )1(2 )1)(1(2)

1()1(12222

1

21212121

∞→→-=+-=--=

+n x x n n n n

n [练习].lim , cos cos cos 2222n n n n x x x x x ∞

→=求设 ⎩⎨⎧≠=0,sin ,

10 x x x x 答案：[提示] x n 的分子分母同乘以 以利用二倍角公式合并.

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)

21ln(1e lim lim lim n n n n n n n n n

n n n

n n n ⋅⋅⋅∞→∞→∞→== ！！例4.)

ln 2ln 1(ln 1e

lim n

n n n n n +++∞

→= ∑

==∞

→n

i n

i n

n 1

ln 1e

lim ∑

==∞→n

i n n

i n

1

ln 1lim e

⎰=1

0d ln e

x

x .

e 1

-=反常积分

由此得

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d. 关于求n 项和或积的极限问题，还可以利用极限的平均值 定理的方法来求解

先介绍极限的平均值定理:

.lim lim ,lim ).1(21n n n

n n n a a n a a a ∞

→∞→∞→=∞±+++ 则存在或为设则

存在或为若设,lim ),,2,1(0).2(∞+=>∞

→n n n a n a .

lim lim 21n n n n n a a a a ∞

→∞

→= [证明] (1) 由施笃兹定理, 令分子 = x n , 则

[证明] (2) 先变形, 再由施笃兹定理得

n

a a a n n n

a a a ln ln ln 2121e

+++= n

n n a a a 21lim ∞

→)lim exp(ln ln ln 21n a a a n

n +++∞→= 算术平均值的极限

几何平均值的极限

.lim lim lim )1()()(1212121n n n n n n n a n n a a a a a a n a a a ∞

→-∞→∞→=--+++-+++=+++ )lim exp()1()

ln ln (ln )ln ln (ln 12121--+++-+++-∞

→=n n a a a a a a n n n )ln lim exp(n n a ∞→=.

lim a =