上海交通大学版大学物理学习题答案之9平衡态习题思考题

3 2
3
m
9-17.
�
1023 × 2 × 3.3 × 10−24 × 103 × 1 × 2 × 10−4
2 2 = 2.33 × 106 pa
9-7.一容器内储有氧气，其压强 p=1.0atm，温度 T=300K，求容器内氧气的 （1）分子数密度； （2）分子间的平均距离； （3）分子的平均平动动能； （4）分子的方均根速度。 解：(1)由气体状态方程 p=nkT 得 n=p/(kT)=(1×1.013×10 )/(1.38×10-23×300) =2.45×1025 (2) 分子间的平均距离可近似计算 1 1 e=3 = = 3.44 × 10 −9 25 3 n 2.45 × 10 (3) 分子的平均平动动能 (4) 方均根速度
内的分子数占总分子数的比率； （3）计算 300K 时氧分子在 2v p 处单位速率区间 内分子数占总分子的比率。 解：根据最可几速率的定义： v p
=
2kT 2RT RT = = 1.414 m µ µ
（1）温度 T1 = 300K ： v p1
=
2RT 2 × 8.31× 300 = = 394m / s µ 32 ×10−3
pV = νRT ，所以
T1 T T + 30 = 2 = 1 ，可得到：T1=210K。 M1 M 2 M2
9-4. 高压氧瓶： P = 1.3 × 10 Pa ， V = 30L ，每天用 P 1 = 1.0 × 10 Pa ，
7
5
V1 = 400L ，为保证瓶内 P ′ ≥ 1.0 × 10 6 Pa ，能用几天？
∞
x
0
x µ 2 − 2 kT KT 2 vx ( ) e dvx = 2πkT µ
1
µv 2
N
那么利用
N µ 2 = n ，可得： p = ∑ vix = V V i =1
N
µN ∑ vix
i =1
2
VN
= nKT
9-16. 在麦克斯韦分布下， （1）计算温度 T1 = 300K 和 T2 = 600K 时氧气分 子最可几速率 v p1 和 v p 2 ； （2）计算在这两温度下的最可几速率附近单位速率区间
∫
120
60
v（2a −
x µ 2 − 2 kT 9-15. 理想气体分子沿 x 方向的速度分布函数： f (v x ) = ( ) e ，试 2πkT ∞ 1 π 2 − βx 2 据此推导压强公式 P = nkT （已知： ∫ x e ）. dx = 4β β 0
1
µv 2
N
解：压强的计算式为： p =
f (v) = 0.21% f (v) = 0.15%
计算 300K 时氧分子在 2v p 处单位速率区间内分子数占总分子的比率。 （3）
即将 T=300K，v=788m/s 代入： 得：
4 m 2 − 2kT v2 2 f (v ) = ( ) e v = 0.042% 2 kT π
试 将 质 量 为 µ 的 单 原 子 理 想 气 体 速 率 分 布 函 数
3kT 3RT 3P = = m µ ρ
= 3 ×1.01×105 = 1.9kg / m3 4002
所以： ρ =
3p ( v2 )2
9-12.容器的体积为 2V0，绝热板 C 将其隔为体积相等的 A、B 两个部分，A 内储有 1mol 单原子理想气体， B 内储有 2mol 双原子理想气体， A、B 两部分的
习题 9 9-1. 在容积 V=3L 的容器中盛有理想气体，气体密度为 ρ =1.3g/L。容器与大 气相通排出一部分气体后， 气压下降了 0.78atm。 若温度不变， 求排出气体的质量。 解：根据题意 pV = νRT ，可得： pV =
1 V p m RT ， RT = p = M m ρ M
60 120 1 30 30 v [ ∫ v vdv + ∫ vadv + ∫ v（2a − a）dv] = 54m / s 30 60 N 0 a 60
v = ∫ vf (v)dv =
0
∞
∞
（4）速率大于 60m/s 的那些分子的平均速率
∫ v= ∫
60 ∞ 60
vf (v) dv
v a）dv ] 60 = = 80m / s 120 v f (v)dv ∫60 （2a − 60 a）dv]
压强均为 p0。 （1）求 A、B 两部分气体各自的内能； （2）现抽出绝热板 C，求两种气体混合后达到平衡时的压强和温度。 解： （1）由理想气体内能公式： E = ν
i RT 2
A 中气体为 1mol 单原子理想气体： E = ν
3 3 3 RT = RT = p0V0 2 2 2
5 2 5 RT = RT = p0V0 2 2 2
=
p0 ln 5 8
9-6. 氢分子的质量为 3.3 × 10 −24 g ，如果每秒有 10 个氢分子沿着与容器器 壁的法线成 45 角的方向以 10 cm/s 的速率撞击在 2.0cm 面积上(碰撞是完全弹 性的)，则器壁所承受的压强为多少？ 解：根据气体压强公式：
� 5 2
23
p=
F n2mv cos 45 = = S ∆tS
∆N = N ∫
101
99
f（v）dv = N（∫ （2a −
99
101
（3）所有 N 0 个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式：
30 v a
（ 0 ≤ v ≤ 30 ） （ 30 ≤ v ≤ 60 ）
f（vFra Baidu bibliotek=
a
2a − 0
v a （ 60 ≤ v ≤ 120 ） 60
（ v0 ≻ 120 ）
所以当温度不变时，气体的压强和密度成正比，初始密度为 1.3g/L，后来的密度 为：
ρ2 =
p2 ρ1 p1
则排除的气体的质量为：
∆m = ( ρ 2 − ρ1 )V = (
p2 0.78 − 1) ρ1V = ×1.3 × 3 p1 P 1
大气压为 1atm，容器与大气相通即 p2 =1atm，也就是 p1 =1+0.78=1.78atm
解：根据题意： N 0 = 7.2 × 10 所以 a =
10
1 = （30 + 120） ×a 2
14.4 × 10 9 15 （1） 速率小于 30m/s 的分子数：
N=
1 × 30 × a = 1.44 × 10 10 2
v a） dv = 6.4 × 107 60
（2）速率处在 99m/s 到 101m/s 之间的分子数：
B 中气体为 2mol 双原子理想气体： E = ν （2）混合前总内能 由于 所以
E0 =
3 RT1 + 5RT2 2
p0V0 = RT1 T1 = 2T2
p0V0 = 2 RT2 E 0 = 4 RT1
混合后，温度为 T ，内能不变
E=
3 RT + 5RT = 4 RT1 2 8p V 8 T1 = 0 0 13 13R 3N 0 8 p V 12 3 3 kT = RT = R × 0 0 = p0 2V0 2V0 2V0 13R 13
5 RT 2
5 5 5 RT = pV = × 2 ×1.013 ×105 × 20 ×10−3 = 104 J 2 2 2
9-11.已知某种理想气体，其分子方均根率为 400m/s，当起压强为 1atm 时， 求气体的密度。 解：由气体方程： ρ = M ，PV = M RT ⇒ M = Pµ = ρ ⇒ RT = P V µ V RT µ ρ 可得到： v 2 =
v > vm
答： v =
∫
∞
0
vf (v)dv =
vm 1 ∞ 1 4 2 vdN = vAv dv = Avm ∫ ∫ 0 0 N 4
10
9-14. 大量粒子（ N 0 = 7.2 × 10 个）的速率分布函数图象如图所示，试求： （1）速率小于 30m/s 的分子数约为多少？ （2）速率处在 99m/s 到 101m/s 之间的分子数约为多少？ （3）所有 N 0 个粒子的平均速率为多少？ （4）速率大于 60m/s 的那些分子的平均速率为多少？
T = 200 + kx
其中 k =
800 。 l
νR = ∫
l
0
l p S 200 + 800 p0V pS 1 dl = p0 S ∫ dx = 0 ln = ln 5 0 200 + kx） T （ k 200 800
当封闭开口端，并使管子冷却到 100K 时， νR
=
pV 100
两式相等，所以 P
T=
p = nkT =
9-13. 金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中的气体分子 类似） ，设金属中共有 N 个自由电子，其中电子的最大速率为 v m ，电子速率在
v ~ v + dv 之间的概率为： d N ⎧ Av 2 d v =⎨ N ⎩0 式中 A 为常数．则电子的平均速率为多少？
i1 5 = i2 3
i1 ν1 RT1 5 1 5 那么内能之比为： E1 = 2 = × = E2 i2 3 2 6 ν 2 RT2 2
9-9.水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即 H2O→H2→+0.5O2，内能增加了 多少？ 解：水蒸气分解后，一份的三原子的内能变成了 1.5 份的双原子的内能，所 5 5 6 RT + 0.5 × RT − RT E 1.5 2 2 以内能的变化为： 1 = 2 = = 25% 6 E0 6 RT 2 9-10.体积为 20L 的钢瓶中盛有氧气（视为刚性双原子气体） ，使用一段时间 后，测得瓶中气体的压强为 2atm，此时氧气的内能为多少？ 解：由理想气体状态方程： pV = νRT ，以及双原子气体内能公式： E = ν 可得到： E = ν
m1 m2 0.1 m2 ，代入数据： ，所以： = = 2 32 M1 M 2
m2 =1.6kg
9-3.如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁 光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中 间，并维持氧气温度比氮气温度高 30oC，则氮气的温度应是多少？ 解：根据题意，水银滴停留在管的正中央，则两边的体积和压强相同，又：
T2 = 600K ： v p2 =
2RT 2 × 8.31× 600 = = 558m / s µ 32 ×10−3
（2）在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率就是麦 克斯韦分布函数：
m 2 − 2kT v 2 2 f(v) = ( ) e v π 2kT
4
3
m
T=300K，V=394m/s 代入： T=600K, V=558m/s 代入：
解：根据题意
pV = νRT，p1V1 = ν 1 RT ，可得：
（ 1.3 × 10 7 × 30 - 1.0 × 10 6 × 30） （ / 1.0 × 10 5 × 400） =9
9-5. 如图，长金属管下端封闭，上端开口，置于压强为 P0 的大气中。 在封闭端加热达 T1 = 1000K ，另一端保持 T2 = 200K ，设温度沿管长均 匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到 100K ，求管内压强。 解：根据题意管子一端 T1 = 1000K ，另一端保持 T2 = 200K ，所以函数
µ 2 vix = ∑ V i =1
N
µN ∑ vix
i =1
2
VN
所以关键在求出 N 个分子在 x 方向上速度分量平方的平均值：
N
∑v
i =1
2
ix
N
2
= vix
∞
2
x µ 2 − 2 kT ，根据速度分布函数 f (v x ) = ( ) e ，可得： 2πkT
1
µv 2
2 vix = ∫ v x f (v x )dv = ∫ 0
５
m
ε =(3/2)kT=(3/2)×1.38×10-23×300=6.21×10-21 J
RT = 483 M mol
v 2 ≈ 1.73
m ⋅ s −1
9-8. 在标准状态下，若氧气 (视为刚性双原子分子的理想气体 )和氦气的体积 比 V1 / V2 = 1 / 2 ，则其内能之比 E1 / E 2 为多少？ 解：根据 V1 / V2 = 1 / 2 ，可得： ν 1T1 / ν 2T2 = 1 / 2 ，
∆m =
0.78 × 1.3 × 3 = 1.7 g 1.78
9-2.有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。如果其中 的一边装有 0.1kg 某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边 装入的同一温度的氧气质量为多少？ 解：根据题意，温度相同的两个气体，活塞停留在圆筒的正中央，则两边的体积 和压强相同，又： pV = νRT ， 所以两个气体摩尔数相同， 可得：